ΘΔΜΑ «ΜΔΛΔΣΗ ΣΩΝ ΓΤΚΟΛΙΩΝ ΔΠΙΛΤΗ ΔΞΙΩΔΩΝ ΣΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ»

ΣΔΙ : ΥΟΛΗ : ΣΜΗΜΑ : ΚΑΒΑΛΑ ΓΙΟΙΚΗΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΛΟΓΙΣΙΚΗ ΘΔΜΑ «ΜΔΛΔΣΗ ΣΩΝ ΓΤΚΟΛΙΩΝ ΔΠΙΛΤΗ ΔΞΙΩΔΩΝ ΣΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ» ΔΙΗΓΗΣΡΙΑ : ΦΟΙΣΗΣΡΙΑ : ΓΙΑΝΝΟΤΛΑ ΦΛΩΡΟΤ ΥΑΛΙΚΙΑ ΚΑΣΔΡΙΝΑ ΚΑΒΑΛΑ 2009

«Μηδείς αγεωμέτρητως εισίτω μοι την θύραν» δεν επιτρέπεται να μπει κάποιος που δεν γνωρίζει γεωμετρία Πλάτωνας, Ακαδημία 4 ος αιώνας π.χ. «Ο μαθηματικός συναρπάζεται από την απίστευτη ομορφιά στους τύπους που δημιουργεί, και μέσα στην ομορφιά αυτή βρίσκει αδιαμφισβήτητη αλήθεια J.B. Shaw

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟ 1 ΔΙΑΓΩΓΗ 2 1. Σι είναι ηα Μαθημαηικά ; 3 1.1 Η Ιζηοπία ηυν Μαθημαηικών από ηοςρ απσαίος πολιηιζμούρ 3 1.2 Σα μαθημαηικά ζήμεπα 4 2. Σι είναι η εξίζυζη; 4 2.1 Η έννοια ηηρ εξίζυζηρ 5 3. Η ζσέζη ηυν μαθηηών με ηα Μαθημαηικά 6 3.1 Η διδακηέα Ύλη ηυν Μαθημαηικών ζηο Γςμνάζιο 10 4. Γιαηί οι μαθηηέρ θοβούνηαι ηα μαθημαηικά; (math phobia) 10 4.1 Καηανόηζη ηηρ Άλγεβπαρ από μαθηηέρ Γςμναζίος 12 4.2 Θευπίερ Μάθηζηρ αλλά και Γιδαζκαλίαρ ηυν Μαθημαηικών 13 4.2.1 ςνειπμική θευπία - Μπησεϋβιοπιζμόρ (behaviorism) 13 4.2.2 Ψςσολογία ηηρ Μοπθήρ (Gestalt) Δςπεηική μέθοδορ ηος G. Polya 14 4.2.3 Οι γνυζηικέρ θευπίερ ζηιρ Η.Π.Α. Θευπία Δπεξεπγαζίαρ Πληποθοπιών 16 4.2.4 Αναπηςξιακή θευπία ηος J. Piaget ή Γενεηική επιζηημολογία Genetic Epistemology) 18 4.2.4.1 Ποζοηική κπιηική ηηρ θευπίαρ ηος Piaget 22 4.2.5 Η θευπία ηος κοινυνικό-πολιηιζμικού πλαιζίος 22 4.2.6 Η μάθηζη μέζυ ανακάλςτηρ ηος Jerome Bruner (discovery learning) 23 4.2.7 Καηαζκεςαζηική θευπία ηηρ γνώζηρ (Costructivism) 24 4.2.8 Η πεαλιζηική διδακηική θευπία διδακηική θαινομενολογία ηος Freudenthal 25 4.3 Κπιηική ηηρ ζσολικήρ Άλγεβπαρ και η Δλληνική ππαγμαηικόηηηα 25 5. Σα νέα Βιβλία Μαθημαηικών, η απάνηηζη ζηο ππόβλημα 26 5.1 Η Γιαδικαζία ζςγγπαθήρ ηυν νέυν βιβλίυν 27 5.2 Καινοηομίερ διδακηικήρ Μεθοδολογίαρ 27 5.2.1 Άλλερ καινοηομίερ 28 5.2.2 Πποβλήμαηα πος πποκύπηοςν με ηα νέα βιβλία 29 5.2.3 Ο πόλορ ηυν εκπαιδεςηικών με ηην άθιξη ηυν νέυν βιβλίυν 30 6. Η Μελέηη ειδικόηεπα : Η έπεςνα ζε Γςμνάζιο ζηη Κέπκςπα 30

ΔΡΩΣΗΜΑΣΟΛΟΓΙΟ 32 ΤΜΠΔΡΑΜΑΣΑ ΑΠΟΣΔΛΔΜΑΣΩΝ ΔΡΩΣΗΜΑΣΟΛΟΓΙΟΤ 33 ΓΡΑΦΗΜΑΣΑ 35 ΔΠΙΛΟΓΟ 44 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 45

ΠΡΟΛΟΓΟ Πνιιέο θνξέο ζα δνχκε φηη ε ςπρνινγία ησλ καζεηψλ κε ην πέξαζκα ησλ δεθαεηηψλ δελ δηαθνξνπνηείηαη ηδηαηηέξσο. Τπάξρνπλ καζεηέο πνπ ηνπο αξέζεη πάξα πνιχ ην δηάβαζκα ή ε επίιπζε πξνβιεκάησλ, άιινη πνπ ελψ δελ ηνπο αξέζεη ηφζν πνιχ λα δηαβάδνπλ ή λα ιχλνπλ αζθήζεηο ην θάλνπλ θαη είλαη αξθεηά θαινί ζε απηφ. Φπζηθά κελ μερλάκε ηνπο καζεηέο πνπ αλαγθαζηηθά πάλε ζρνιείν θαη αλαγθαζηηθά κειεηάλε γηαηί βαξηνχληαη. Καη ηέινο, ηηο ηδηαίηεξεο πεξηπηψζεηο καζεηψλ πνπ δελ θαηαλννχλ ηα καζήκαηα. ην κπαιφ φκσο φισλ ησλ καζεηψλ επηθξαηεί ε ίδηα αληίιεςε. Σα Μαζεκαηηθά είλαη ην πην δχζθνιν κάζεκα. Γηαβάδνληαο αθφκα θαη εγψ ε ίδηα απηή ηε πξφηαζε γπξλάσ πίζσ ζηα καζεηηθά κνπ ρξφληα θαη βιέπσ φηη γελλνχληαη απνξίεο. Αιήζεηα, πφζν εχθνια γίλεηαη ε κεηάβαζε απφ απιή αξηζκεηηθή ηνπ Γεκνηηθνχ ζε πεξίπινθεο εμηζψζεηο θαη καζεηηθνχο Σχπνπο ζην Γπκλάζην θαη αξγφηεξα ζην Λχθεην ; Μήπσο ηειηθά απφ ην 1+1=2 ζην α+γ = β+γ θαη ζην f(ρ)=αρ²+βρ+γ, α 0 γίλεηαη βίαηα θαη βηαζηηθά γηα ηνπο καζεηέο ; Η κειέηε, κε ζέκα ηηο δπζθνιίεο επίιπζεο εμηζψζεσλ πνπ αληηκεησπίδνπλ νη καζεηέο, πξαγκαηνπνηήζεθε ζε Γπκλάζην ηεο Κέξθπξαο, θαη είλαη έλα αληηπξνζσπεπηηθφ δείγκα γηα εκάο λα δνχκε αλ ηειηθά ηα παηδηά ζα επαιεζεχζνπλ απηφ πνπ ηφζα ρξφληα απιά αησξείηαη κέζα ζηηο δηδαθηηθέο αίζνπζεο. Αλ φλησο ηα Μαζεκαηηθά είλαη ή φρη ην πην δχζθνιν κάζεκα. 1

ΔΙΑΓΩΓΗ ηελ πηπρηαθή εξγαζία απηή δελ ζέισ λα αζρνιεζψ κφλν κε ην θνκκάηη απηφ ηεο δπζθνιίαο πνπ παξνπζηάδνπλ νη καζεηέο ζηα Μαζεκαηηθά αιιά άκεζα ηαπηίδεηαη θαη κε θνηλσληθά πξνβιήκαηα πνπ παξνπζηάδνληαη πιένλ ηα ηειεπηαία ρξφληα θαη φιν θαη απμάλνληαη. Γηαηί ν κηθξφθνζκνο ελφο παηδηνχ είλαη ην ζρνιείν θαη ην ζπίηη ηνπ, νπφηε αλ ηα πξάγκαηα αθφκα θαη κεηά απφ ηφζεο έξεπλεο θαη κειέηεο πνπ έρνπλ γίλεη γηα θαιχηεξε Παηδαγσγηθή δελ αιιάδνπλ, ηφηε θάηη άιιν θηαίεη. Μέζα ζην ζχγγξακκα απηφ ζα δνχκε θαη ζα κάζνπκε ηελ Ιζηνξία ησλ Μαζεκαηηθψλ απφ ηελ δεκηνπξγία ηνπο αιιά θαη πσο έρνπκε θηάζεη κέρξη ην ζήκεξα. Θα δνχκε ζεσξίεο κεγάισλ εξεπλεηψλ θαη παλεπηζηεκηαθψλ θαζεγεηψλ πνπ πξαγκαηηθά έδσζαλ άιιε κνξθή ζε απηφ πνπ εκείο ιέκε Παηδαγσγηθή θαη έθαλαλ ηνπο εθπαηδεπηηθνχο λα αλαζεσξήζνπλ παιηέο κεζφδνπο. Λίγν πξηλ θαηαιήμνπκε ζηελ πξνζσπηθή έξεπλα θαη ηα ζπκπεξάζκαηα απηήο, βιέπνπκε πσο θαη γηαηί έλαο καζεηήο έρεη καζεκαηηθνθνβία, πνηεο είλαη νη αηηίεο δεκηνπξγίαο απηήο θαη πην ζπγθεθξηκέλα ζηελ Διιάδα ηη πξνβιήκαηα αληηκεησπίδακε κέρξη πξφζθαηα θαη γηαηί απηά καο νδήγεζαλ ζηελ δεκηνπξγία λέσλ βηβιίσλ καζεκαηηθψλ θαη ζηελ εθαξκνγή λέσλ κεζφδσλ δηδαζθαιίαο. Η εξγαζία απηή είλαη έλα πέξαζκα κέζα απφ κειέηεο ρξφλσλ, θέξλεη ζηελ επηθάλεηα πξάγκαηα πνπ δελ είλαη γλσζηά ζε πνιχ θφζκν σο ηψξα γηαηί ίζσο δελ είρακε πνηέ ηελ απνξία λα δνχκε θαη λα αλαθαιχςνπκε ην πνιχ ελδηαθέξνλ ζεσξεηηθφ ζθέινο ηεο Ιζηνξίαο ησλ Μαζεκαηηθψλ. 2

1. Σι είναι ηα Μαθημαηικά ; Σα Μαζεκαηηθά ζπρλά νξίδνληαη σο ε κειέηε ησλ πνζνηήησλ, ησλ δνκψλ, ησλ κεηαβνιψλ θαη ηνπ ρψξνπ. Καηά ηε ζχγρξνλε επίζεκε άπνςε ηα καζεκαηηθά είλαη ε έξεπλα ησλ αμησκαηηθά ζεκειησκέλσλ αθεξεκέλσλ δνκψλ ρξεζηκνπνηψληαο ηε ινγηθή θαη ηε καζεκαηηθή ζεκεηνινγία ( Γηαδίθηπν, Βίθηπαηδεία, αλαδήηεζε κε ηε ιέμε Μαζεκαηηθά. ) Οη καζεκαηηθνί εξεπλνχλ απηέο ηηο δνκέο θαη πξνζπαζνχλ λα ζρεκαηίδνπλ ππνζέζεηο θαη λα εμαθξηβψλνπλ ηελ αιήζεηα ηνπο κέζσ απζηεξψλ θαλφλσλ ζπλεπαγσγήο θαη έρνληαο σο βάζε νξηζκέλα αμηψκαηα θαη νξηζκνχο. Οη δνκέο πνπ εξεπλψληαη ζπρλά έιθνπλ ηελ πξνέιεπζή ηνπο απφ ηηο θπζηθέο επηζηήκεο, ζπλεζέζηεξα απφ ηελ θπζηθή, αιιά νη καζεκαηηθνί επίζεο νξίδνπλ θαη εξεπλνχλ δνκέο γηα ιφγνπο θαζαξά εζσηεξηθνχο ζηα καζεκαηηθά, επεηδή νη δνκέο απηέο κπνξνχλ λα παξέρνπλ, παξαδείγκαηνο ράξηλ, κηα ελνπνηεηηθή γελίθεπζε γηα δηάθνξα ππνπεδία, ή έλα ρξήζηκν εξγαιείν γηα ηνλ ινγηζκφ. Σειηθά, πνιινί καζεκαηηθνί κειεηνχλ ηνπο ηνκείο πνπ κειεηνχλ γηα θαζαξά αηζζεηηθνχο ιφγνπο, αληηκεησπίδνληαο ηα καζεκαηηθά σο κηα κνξθή ηέρλεο πεξηζζφηεξν παξά σο κηα πξαθηηθή ή εθαξκνζκέλε επηζηήκε. Η ιέμε πξνέξρεηαη απφ ηνλ (αξραίν) πιεζπληηθφ ηνχ νπδεηέξνπ ηνχ επηζέηνπ καζεκαηηθφο < κάζεκα < καλζάλσ, καζαίλσ, απνθηψ γλψζεηο, γλψζε, παηδεία, πείξα, εκπεηξία ( Γηαδίθηπν, Βίθηπαηδεία, αλαδήηεζε κε ηε ιέμε Μαζεκαηηθά ). 1.1 Η Ιζηοπία ηυν Μαθημαηικών από ηοςρ απσαίοςρ πολιηιζμούρ Δπηθξαηνχζε παιηφηεξα ε άπνςε πσο ηα Μαζεκαηηθά παξνπζηάζηεθαλ πξψηα ζηελ Διιάδα. Νεψηεξεο φκσο έξεπλεο ζρεηηθέο κε ην ζέκα απηφ, απνδέρνληαη πσο ηα καζεκαηηθά παξνπζηάζηεθαλ γηα πξψηε θνξά ζε ρψξεο ηεο Μέζεο Αλαηνιήο. Φπζηθά, ε καζεκαηηθή ζθέςε έζησ θαη ζε απιή θαη ζηνηρεηψδε κνξθή έθαλε ηελ εκθάληζή ηεο ηαπηφρξνλα κε ηελ αλάπηπμε ηεο θνηλσληθήο δσήο ησλ αλζξψπσλ θαη ηε ζπζζψξεπζε γλψζεσλ πνπ είλαη ζρεηηθέο κε ηελ πνζφηεηα, ηηο δηαζηάζεηο θαη ηε κνξθή ησλ δηάθνξσλ ζσκάησλ. Η αλάπηπμε ησλ καζεκαηηθψλ αξρίδεη ζηελ αξραία Διιάδα πξηλ απφ ην 300 π.υ., φηαλ γξάθηεθαλ ηα <<ηνηρεία>> ηνπ Δπθιείδε. Αξγφηεξα νη εξγαζίεο ηνπ Αξρηκήδε πάλσ ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ εκβαδνχ, ηνπ φγθνπ θαη ηνπ θέληξνπ βάξνπο δηάθνξσλ 3

ζσκάησλ, έδσζαλ λέα ψζεζε ζηα καζεκαηηθά. Μεηέπεηηα, ν Πηνιεκαίνο βάδεη ηηο βάζεηο ηεο ηξηγσλνκεηξίαο. Οη Άξαβεο, πνπ ζηεξίρηεθαλ ζε πξνεγνχκελεο εξγαζίεο ησλ Ιλδψλ, ζεκειηψλνπλ ηελ άιγεβξα. ηελ δπηηθή Δπξψπε ε αλάπηπμε ησλ καζεκαηηθψλ έγηλε χζηεξα απφ ην 17 ν αηψλα. Παξνπζηάζηεθαλ λένη θιάδνη ησλ καζεκαηηθψλ, φπσο ε αλαιπηηθή γεσκεηξία, ν δηαθνξηθφο ινγηζκφο, ε ζεσξία ηεο ζρεηηθφηεηαο θηι. Οπζηαζηηθή είλαη ε ζπκβνιή ησλ κεγάισλ επηζηεκφλσλ ηνπ 18 νπ αηψλα, Νηεθάξη, Νεχηνλα, Λάηκπληηο θαη ζηα λεφηεξα ρξφληα ηνπ Λνκπαηζέβζθη, Γθάνπο, Αηλζηάηλ θ.α. ζηελ αλάπηπμε ησλ καζεκαηηθψλ, (εγθπθινπαίδεηα, Τδξία, ζει. 2384 2385, έηνο έθδνζεο 1978). 1.2 Σα μαθημαηικά ζήμεπα Μεγάιε είλαη ε ζεκαζία ησλ καζεκαηηθψλ ζηελ επνρή καο ζηελ αλάπηπμε ηεο θπζηθήο, ηεο ρεκείαο, πνιιψλ θιάδσλ ηεο ηερληθήο θαη γεληθά ζηε κειέηε ησλ θαηλνκέλσλ, πνπ ε αθαίξεζε ησλ ηδηνηήησλ ηνπο δελ εκπνδίδεη λα γίλνπλ θαηαλνεηνί νη λφκνη πνπ ηα δηέπνπλ. Η καζεκαηηθή κειέηε ηεο θίλεζεο ησλ νπξάλησλ ζσκάησλ βνεζάεη λα πξνβιέπνπκε ηελ εθδήισζε ησλ νπξάλησλ θαηλνκέλσλ ( εθιείςεηο, ζέζεηο ησλ πιαλεηψλ θ.α. ). ήκεξα θαηαζθεπάζηεθαλ καζεκαηηθά φξγαλα θαη ειεθηξνληθέο ππνινγηζηηθέο κεραλέο ηαρχηαηεο ιεηηνπξγίαο πνπ απινπνηνχλ θαη επηηαρχλνπλ ηε ιχζε πνιιψλ πξνβιεκάησλ ππνινγηζκνχ. Η ξαγδαία αλάπηπμε ζηηο καζεκαηηθέο επηζηήκεο κπνξεί πιένλ λα επηηξέςεη ζε θάπνηνλ λα πεη πσο ηα καζεκαηηθά ζηελ επνρή καο έρνπλ θηάζεη λα έρνπλ ηφζν πινχζην πεξηερφκελν ψζηε δελ είλαη δπλαηφ έλαο επηζηήκνλαο φζν κεγάινο θαη ζπνπδαίνο θαη αλ είλαη λα αζρνιείηαη κε φινπο ηνπο θιάδνπο ησλ Μαζεκαηηθψλ. 2. Σι είναι η εξίζυζη; Δμίζσζε ζηα καζεκαηηθά είλαη κία ηζφηεηα πνπ ζπλδέεη γλσζηέο πνζφηεηεο κε άγλσζηεο, ηηο νπνίεο ζέινπκε λα πξνζδηνξίζνπκε. Λχζε κηαο εμίζσζεο κε λ αγλψζηνπο είλαη κία λ-άδα (αξηζκψλ, ζπλαξηήζεσλ) πνπ επαιεζεχεη ηελ εμίζσζε: 4

αληηθαζηζηψληαο ηνπο άγλσζηνπο ζηελ εμίζσζε κε ην αληίζηνηρν ζηνηρείν ηεο λ-άδαο, ε ηζφηεηα γίλεηαη αιεζήο (Γηαδίθηπν, Βίθηπαηδεία, αλαδήηεζε κε ηε ιέμε εμίζσζε ). 2.1 Η έννοια ηηρ εξίζυζηρ Μία απφ ηηο βαζηθφηεξεο έλλνηεο ησλ Μαζεκαηηθψλ είλαη ε θσδηθνπνίεζε ησλ ηδεψλ. Καη είλαη ε αθξίβεηα ηεο θσδηθνπνίεζεο κέζσ ησλ εμηζψζεσλ πνπ εμαζθαιίδεη ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ησλ Μαζεκαηηθψλ. Η εμίζσζε κπνξεί, ινηπφλ, λα ζεσξεζεί σο ην απνηέιεζκα θαη ε βάζε ηεο κνληεινπνίεζεο ησλ θαηλνκέλσλ κέζσ ηεο λνεκνζχλεο. Η εμίζσζε είλαη ε νπζία κε ηελ έλλνηα φηη απνηειεί ην θνηλφ ζηνηρείν κηαο νηθνγέλεηαο πξνβιεκάησλ. Πην γεληθά, ζα κπνξνχζακε λα πνχκε φηη φπνηνο μέξεη λα ιχλεη εμηζψζεηο, μέξεη λα ιχλεη πξνβιήκαηα δηφηη ε εμίζσζε εκπεξηέρεη ηε δπζθνιία θαη ηελ νληφηεηα, κε ηε καζεκαηηθή έλλνηα, ηνπ πξνβιήκαηνο. Η εμίζσζε είλαη ην αληηθείκελν ηνπ θεηκέλνπ, ην ζέκα ησλ εξκελεηψλ. Έηζη ε κάζεζε ηεο επίιπζεο ησλ εμηζψζεσλ είλαη βαζηθή γηα φζνπο ζέινπλ λα μεπεξάζνπλ ηα φξηα ηεο ηερληθήο γηα λ αγγίμνπλ ηελ ηέρλε ησλ Μαζεκαηηθψλ θαη ηε γλψζε ησλ Δπηζηεκψλ. Μ απηφλ ηνλ ηξφπν, καζαίλνπκε ηα πξψηα βήκαηα ηεο κεζνδνινγίαο θαη ηεο αιγνξηζκηθήο ζπγθξίλνληαο ηελ πνιππινθφηεηα ηεο ζχιιεςεο θαη ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο απφδεημεο. Η θσδηθνπνίεζε επηηξέπεη ηε κεηάζεζε ηεο αμίαο ησλ αξρηθψλ ηδεψλ ηνπ πξνβιήκαηνο ζηηο ζηξαηεγηθέο ηεο επίιπζεο. Καη ε εμίζσζε σο βάζε επηηξέπεη ηε δεκηνπξγία κηαο πνιχπινθεο δνκήο πάλσ ζηελ νπνία βαζίδνληαη θαη ηα Μαζεκαηηθά θαη νη Δπηζηήκεο. Ο ζπλδπαζκφο ησλ εμηζψζεσλ δεκηνπξγεί ηελ έλλνηα ηνπ γξακκηθνχ ζπζηήκαηνο ζε κηα πξψηε θάζε, απφ ηελ νπνία είλαη δπλαηφλ κέζσ ηεο έλλνηαο ηεο νξίδνπζαο θαη ηεο κεζφδνπ Cramer αθελφο, θαη ησλ θιηκαθσηψλ ζπζηεκάησλ θαη ηεο κεζφδνπ Gauss αθεηέξνπ, λα επηλνήζνπκε γεληθφηεξεο ηδέεο κε επξχηεξν θάζκα φπσο ηα πνιπψλπκα θαη νη ζπλαξηήζεηο. απηφ ην λέν πιαίζην, νη εμηζψζεηο κπνξνχλ λα εξκελεπζνχλ σο ζπλνξηαθά ζεκεία κηαο καζεκαηηθήο νληφηεηαο πνπ ειέγρεη ην λνεηηθφ επίπεδν ελφο πξνβιήκαηνο ή ελφο πξνβιεκαηηζκνχ. Άξα απφ ηελ άιιε πιεπξά, νη εμηζψζεηο κπνξνχλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ σο εξεπλεηηθά εξγαιεία γηα ηελ αλίρλεπζε λέσλ νληνηήησλ. Η δχλακε ηεο θσδηθνπνίεζεο επηηξέπεη ηελ απνθσδηθνπνίεζε ηνπ αγλψζηνπ. Η έλλνηα ηεο εμίζσζεο ζηα Μαζεκαηηθά είλαη ηφζν ξηδηθή θαη ζε πνιιαπιά επίπεδα πνπ ρξεηάδεηαη κηα ζθαηξηθή εηθφλα ηεο πνιππιεπξηθφηεηάο ηεο. Οη εμηζψζεηο πνπ βξίζθνληαη παληνχ θαη δελ είλαη πνπζελά γξακκέλεο, καο ππελζπκίδνπλ φηη βιέπνπκε κφλν φηη θαηαλννχκε. Καη είλαη ελδεηθηηθφ ην πφζν δχζθνιν είλαη λα εξκελεχνπκε 5

έλα θαηλφκελν ή έλαλ πξνβιεκαηηζκφ φηαλ δελ κπνξνχκε λα ηνλ θσδηθνπνηήζνπκε θαη λα εθθξάζνπκε κέζσ εμηζψζεσλ ηελ νπζία ηνπο. Οη εμηζψζεηο κε ηα λνεηηθά ζρήκαηα πνπ απνηεινχλ είλαη ηα ζεκεία αλαθνξάο ηεο έξεπλαο ζηα Μαζεκαηηθά θαη ζηηο Δπηζηήκεο, δηφηη ν εγθέθαιφο καο βαζίδεηαη ζηα θνηλά γηα λα εμεηάζεη ηηο δηαθνξέο. Έηζη, ε εμίζσζε σο ηζφηεηα είλαη ην ζηίγκα ηεο λνεκνζχλεο πνπ εληνπίδεη ηηο δηαθνξεηηθέο κνξθέο κηαο έλλνηαο θαη επηλνεί κηα θαηλνχξγηα κε βάζε ηελ επίιπζε.( πεγή : ηζηνζειίδα Ν. Λπγεξνχ, έλαο απφ ηνπο αλζξψπνπο κε ηνλ πςειφηεξν δείθηε λνεκνζχλεο 189. Ιδξπηήο ηνπ ηδξχκαηνο Αιηξνπηζκφο ζηελ Κχπξν θαη ηεο νξγάλσζεο "The Pi Society" ). 3. Η ζσέζη ηυν μαθηηών με ηα Μαθημαηικά O Schoenfeld έγξαςε απηφ ην θεθάιαην σο απάληεζε ζε κηα πξφθιεζε ησλ θαζεγεηψλ καζεκαηηθψλ ( αλάκεζα ηνπο: Joe Crosswhite, Herrny Pollak, Anna Hendeerson θαη Steve Mawrer ) κε ζθνπφ λα εμεγήζεη «ηη είλαη κεηαγλψζε, γηαηί είλαη ζεκαληηθή θαη ηη κπνξνχκε λα θάλνπκε γη απηή. ια απηά ζε κηα εχθνιε γιψζζα ηελ νπνία κπνξνχκε λα θαηαιάβνπκε». Η εμήγεζε ηνπ Schoenfeld πεξηγξάθεη ηε κεηαγλψζε, ή αιιηψο ζηνραζκφ ζηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν ζθεπηφκαζηε, κέζα απφ κηα ζπδήηεζε γηα ην πψο ιχζεθε έλα πξφβιεκα θαη πην ήηαλ ην πεξηερφκελν ηνπ, ή πνπ θαη γηαηί αληηκεησπίζηεθε θάπνηα δπζθνιία θαηά ηε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Πξνηείλεη αθφκε κεξηθνχο ηξφπνπο ρξεζηκνπνίεζεο ηεο κεηαγλψζεο ζηελ ζρνιηθή αίζνπζα. Πεξίιεςε κε ζέκα ηε κεηαγλψζε : Πνιινί καζεηέο δελ αηζζάλνληαη φκνξθα γηα ηα καζεκαηηθά, απηφ νθείιεηαη θπξίσο ζηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν ηα έρνπλ δηδαρζεί. Δμαηηίαο, ηεο δηαδεδνκέλεο άπνςεο φηη ηα καζεκαηηθά πνπ δηδάζθνληαη ζηελ ηάμε αθνινπζνχλ επηηαθηηθέο θφξκνπιεο, απηνί νη καζεηέο δελ κπνξνχλ λα θαηαλνήζνπλ πσο ηα καζεκαηηθά ζα κπνξνχζαλ λα θαλνχλ ρξήζηκα. Η κεηαγλψζε έρεη ηε δπλαηφηεηα λα απμήζεη ηε ζεκαζία ηνπ λα καζαίλνπλ νη καζεηέο ζηελ ηάμε, θαη ε δεκηνπξγία κηαο «καζεκαηηθήο θνπιηνχξαο» ζηελ ηάμε θαιιηεξγεί θαιχηεξα ηε κεηαγλψζε. Ο Schoenfeld πηζηεχεη πσο έλαο «κηθξφθνζκνο κηαο καζεκαηηθήο θνπιηνχξαο» ζα ελζάξξπλε ηνπο καζεηέο λα ζθεθηνχλ ηα καζεκαηηθά σο έλα αλαπφζπαζην κέξνο ηεο θαζεκεξηλήο ηνπο δσήο, ζα πξνήγαγε ηελ 6

δπλαηφηεηα ησλ καζεηψλ λα θάλνπλ δηαζπλδέζεηο αλάκεζα ζε καζεκαηηθέο έλλνηεο ζε δηαθνξεηηθά πεξηβάιινληα θαη ζα έθηηδε ηελ αίζζεζε κηαο θνηλφηεηαο καζεηψλ νη νπνίνη ζα αληηκεηψπηδαλ καδί ηηο δπζθνιίεο ησλ καζεκαηηθψλ. Τπάξρνπλ ηξεηο ηξφπνη λα κηιήζεη θαλείο γηα ηε κεηαγλψζε ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ: νη απφςεηο θαη νη δηαηζζήζεηο, νη γλψζεηο θαη ε απηνγλσζία (απηνξξχζκηζε). 1. Οη απφςεηο θαη νη δηαηζζήζεηο: Ση αληηιήςεηο έρεηε φηαλ εξγάδεζηε ζηα καζεκαηηθά, θαη πσο απηέο ζρεκαηίδνπλ ηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν «θάλεηε» καζεκαηηθά. ε απηφ ην ζεκείν ν Schoenfeld επηθαιείηαη ηελ «θνλζηξνπθηηβηζηηθή» άπνςε αληηκεησπίδνληαο αηνκηθά ηνπο καζεηέο θαζψο θαηαζθεπάδνπλ ηα πιαίζηα εξγαζίαο ηνπο ζηα καζεκαηηθά απφ ηηο απφςεηο, ηηο δηαηζζήζεηο θαη ηηο εκπεηξίεο απφ ην παξειζφλ πξνζπαζψληαο λα θαηαλνήζνπλ θαη λα βγάινπλ λφεκα γηα ηνλ θφζκν. Μηα ηέηνηα άπνςε πνπ κπνξεί λα πξνθχπηεη είλαη φηη ηα καζεκαηηθά ηεο ηάμεο είλαη ηππνπνηεκέλα, κε δηαπξαγκαηεχζηκα θαη αζχλδεηα κε ηνλ έμσ θφζκν. (ζει. 190) 2. Οη γλψζεηο ζνπ γηα ηηο δηθέο ζνπ δηαδηθαζίεο ζθέςεο: Πφζν αθξηβήο είζαη ζην λα πεξηγξάθεηο ην δηθφ ζνπ ηξφπν ζθέςεο; Η θαιή ιχζε ελφο πξνβιήκαηνο απαηηεί λα ρξεζηκνπνηήζεηο απνηειεζκαηηθά ην ηη γλσξίδεηο: αλ δελ έρεηο θαιή αίζζεζε ηνπ ηη γλσξίδεηο, κπνξεί λα δπζθνιεπηείο ζην λα είζαη έλαο απνηειεζκαηηθφο ιχηεο πξνβιεκάησλ. ( ζει. 190 ) «Με άιια ιφγηα, ε πξνζέγγηζή ζνπ ζε έλα δχζθνιν πξφβιεκα θαη ν βαζκφο θαηαλφεζεο ηνπ ηξφπνπ κε ηνλ νπνίν ζα ιχζεηο ην πξφβιεκα είλαη επεξεαζκέλα απφ ην βαζκφ ζηνλ νπνίν κπνξείο λα απνηηκήζεηο ξεαιηζηηθά ην ηη είζαη ηθαλφο λα κάζεηο. Γηα παξάδεηγκα, έξεπλα δείρλεη φηη κηθξά παηδηά δελ γλσξίδνπλ ην πφζν θαιά κπνξνχλ λα απνκλεκνλεχζνπλ, κπνξεί λα ιέλε φηη κπνξνχλ λα απνκλεκνλεχζνπλ εθαηνληάδεο αζχλδεηεο κεηαμχ ηνπο ιέμεηο φηαλ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα κπνξνχλ λα απνκλεκνλεχζνπλ κφλν ηέζζεξηο ή πέληε. Ωζηφζν θαζψο ηα παηδηά κεγαιψλνπλ, νη εθηηκήζεηο ηνπο γηα ηηο ηθαλφηεηεο κλήκεο ηνπο γίλνληαη φιν θαη πεξηζζφηεξν αθξηβείο. 3. Απηνγλσζία ή απηνξξχζκηζε: «Πφζν θαιά νξγαλψλεηο ηα βήκαηα πνπ θάλεηο φηαλ,γηα παξάδεηγκα, ιχλεηο πξνβιήκαηα θαη πφζν θαιά (ή θαη θαζφινπ) κπνξείο λα ρξεζηκνπνηήζεηο ην απνηέιεζκα απφ ηέηνηεο παξαηεξήζεηο γηα λα 7

θαζνδεγεζνχλ νη ελέξγεηεο επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηφο ζνπ». Έλαο άιινο ηξφπνο λα ην αληηιεθζείο είλαη ην λα γλσξίδεηο ηη ζθέθηεζαη θαη ηελ πξφνδφ ζνπ θαζψο ιχλεηο ην πξφβιεκα. Ο Schoenfeld πξνηείλεη φηη κπνξείο λα ην αληηιεθζείο ρξεζηκνπνηψληαο κηα δηαρεηξηζηηθή πξνζέγγηζε (management). Οη ζέζεηο απηήο ηεο πξνζέγγηζεο πεξηιακβάλνπλ: α) λα είζαη ζίγνπξνο φηη θαηαιαβαίλεηο ηη αλαθέξεη έλα πξφβιεκα πξνηνχ πξνζπαζήζεηο βηαζηηθά λα δψζεηο κηα ιχζε β) ζρεδηαζκφο πιάλνπ γ) παξαηήξεζε, θαηαγξαθή ηνπ βαζκνχ εμέιημεο ηεο ιχζεο ηνπ πξνβιήκαηνο θαη δ) θαηαλνκή ησλ δεδνκέλσλ ζνπ ή απνθαζίδεηο ηη ζα θάλεηο θαη γηα πφζν, θαζ φιε ηε δηάξθεηα πνπ ιχλεηο ην πξφβιεκα (ζει. 190-191). Ο Schoenfeld πεξηγξάθεη ηηο δηαδηθαζίεο επίιπζεο κε νηθείσλ πξνβιεκάησλ κε ηνπο καζεηέο ηνπ. Γξάθεη ηέηνηα πξνβιήκαηα ζηνλ πίλαθα θαη δνπιεχνπλ ζε απηά νκαδηθά. Οη καζεηέο ζπκκεηέρνπλ θάλνληαο ιάζε αξθεηά θαη έηζη αλαγθάδνληαη λα επαλέξζνπλ ζην ζεκείν πνπ είραλ κείλεη. Μηα ηέηνηα πξνζέγγηζε ηνπο εθζέηεη ζηε δηαδηθαζία λα ζθεθηνχλ γηα ηνλ ηξφπν πνπ ιχλεηαη ή κπνξεί λα ιπζεί έλα πξφβιεκα, φηαλ επαλέξρνληαη ζην αξρηθφ πξφβιεκα ή κηινχλ γηα ηε δηαδηθαζία επίιπζεο πξνβιήκαηνο, απηφ είλαη κεηαγλψζε. «Γηαθσλψ φηη, αξθεηνί καζεηέο θπξίσο ιφγσ ηεο εθπαίδεπζήο ηνπο αλαπηχζζνπλ θάπνηεο πεπνηζήζεηο γηα ην ηη είλαη ηα καζεκαηηθά, νη νπνίεο είλαη ιάζνο θαη απηέο νη απφςεηο έρνπλ πνιχ αξλεηηθέο επηπηψζεηο ζηε καζεκαηηθή ζπκπεξηθνξά ησλ παηδηψλ.(ζει. 195)» «Έλα απφ ηα πξνβιήκαηα ησλ καζεκαηηθψλ εμεηάζεσλ ηνπ γπκλαζίνπ ηεο Δζληθήο Απνηίκεζεο ηεο Δθπαηδεπηηθήο Γηαδηθαζίαο, ην νπνίν δηαρεηξίδνληαλ έλα δηαζηξσκέλν δείγκα απφ 45.000 καζεηέο φινπ ηνπ έζλνπο ήηαλ ην αθφινπζν. Έλα ζηξαηησηηθφ ιεσθνξείν κεηαθέξεη 36 ζηξαηηψηεο. Αλ 1128 ζηξαηηψηεο πξέπεη λα κεηαθεξζνχλ απφ ηε ζηξαηησηηθή ηνπο βάζε, πφζα ιεσθνξεία ρξεηάδνληαη; Έλα 70% απφ ηνπο καζεηέο πνπ ζπκκεηείραλ ζηηο εμεηάζεηο έθαλαλ ην ζσζηφ δηαρσξηζκφ θαη ην έιπζαλ ζσζηά. Αθνινπζνχλ, σζηφζν απαληήζεηο πνπ έδσζαλ νη ίδηνη καζεηέο ζηελ εξψηεζε πφζα ιεσθνξεία ρξεηάδνληαη: 29% (1 ζηνπο 3) είπαλ φηη ν αξηζκφο ησλ ιεσθνξείσλ είλαη 31 θαη κέλνπλ 12 ζηξαηηψηεο, 18% είπαλ φηη ν αξηζκφο ησλ ιεσθνξείσλ πνπ ρξεηάδεηαη είλαη 31, 23% είπαλ φηη ν αξηζκφο ησλ ιεσθνξείσλ πνπ ρξεηάδεηαη είλαη 32, ην νπνίν είλαη ζσζηφ. Έλαο ζηνπο ηξεηο καζεηέο 8

είπε φηη είλαη 31 θαη κέλνπλ 12, ρσξίο λα ειέγμνπλ αλ ην απνηέιεζκα είλαη ινγηθφ. ηελ νπζία, αληηκεηψπηζαλ ην πξφβιεκα ζαλ λα έθαλαλ έλαλ ηππνπνηεκέλν ππνινγηζκφ. Παξφιν πνπ ε εθθψλεζε αλαθέξνληαλ ζε αιεζνθαλή ζηνηρεία, ν ππνινγηζκφο δελ είρε θακία ζρέζε κε ηελ πξαγκαηηθφηεηα.(ζει.196)» «Αξθεηνί καζεηέο έρνπλ ηελ ηάζε λα πηζηεχνπλ φηη ηα καζεκαηηθά ηνπ ζρνιείνπ πεξηιακβάλνπλ ηππνπνηεκέλεο, θνξκαιηζηηθέο δηαδηθαζίεο νη νπνίεο είλαη εληειψο δηαρσξηζκέλεο απφ ηελ πξαγκαηηθφηεηα, απφ ηελ αλαθάιπςε θαη απφ ηε δηαδηθαζία επίιπζεο πξνβιήκαηνο. Δάλ ηα καζεκαηηθά πξνβιήκαηα ήηαλ αζήκαληα γηα ηνπο καζεηέο, πηζαλφλ ζα κπνξνχζαλ λα αλαθέξνπλ φηη ν αξηζκφο ησλ ιεσθνξείσλ πνπ ρξεηάδνληαη είλαη 31 θαη κέλνπλ 12(Έλαο ζπλάδειθνο ηφληζε φηη κηα νκάδα καζεηψλ ζην πξναχιην πνπ ζα ήζειε λα απνθαζίζεη γηα ην πφζα απηνθίλεηα ζα ρξεηάδνληαλ λα πάλε θάπνπ, δε ζα έθαλε πνηέ ηέηνην ιάζνο).(ζει.197)» «Η καζεκαηηθή ζθέςε ζαλ θνπιηνχξα δε κπνξεί λα κπεη κέζα ζε κηα νπζηαζηηθά μέλε θνπιηνχξα, ζηελ παξαδνζηαθή ηάμε».(δίλαη απαξαίηεην λα μαλαζθεθηνχκε απφ ηη πξέπεη λα απνηειείηαη ε παξαδνζηαθή ηάμε,λα ζθεθηνχκε γηα παξάδεηγκα πνηνο ζα πξέπεη λα κηιάεη ζηελ ηάμε θαη πφηε. Δίλαη επίζεο απαξαίηεην λα ζθεθηνχκε γηα ην ηη νη καζεηέο γλσξίδνπλ ήδε θαη ηη είλαη έηνηκνη λα αζρνιεζνχλ ζηελ πνξεία).(ζει.214) «Θα δηαθσλνχζα.. ζην γεγνλφο φηη νη αιιειεπηδξάζεηο θαη ε αίζζεζε ηεο θνηλφηεηαο -ε καζεκαηηθή θνπιηνχξα, δειαδή- είλαη ηξφπνο δηαηήξεζεο ησλ καζεκαηηθψλ. Να παίξλεη κέξνο θαλείο ζε απηή ηελ θνπιηνχξα είλαη ην πψο ζα θαηαιάβεη ηη είλαη ηα καζεκαηηθά.(ζει.212)» «πλεηδεηνπνηψ φηη, φηη πέηπρα λα θάλσ ζηηο πην πξφζθαηεο εθδνρέο ηεο πνξείαο κνπ ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ ήηαλ λα δεκηνπξγήζσ έλα κηθξφθνζκν καζεκαηηθήο θνπιηνχξαο. Σα καζεκαηηθά ήηαλ ην κέζν ζπλαιιαγήο. Μηιάκε γηα ηα καζεκαηηθά, ηα εμεγνχκε ν έλαο ζηνλ άιιν, κνηξαζηήθακε ηηο ιαλζαζκέλεο πξνυπάξρνπζεο αληηιήςεηο καο, απνιαχζακε ηελ αιιειεπίδξαζε ησλ ραξαθηήξσλ καο. Δλ ζπληνκία, γίλακε «καζεκαηηθνί» άλζξσπνη. Δίρε πιάθα, αιιά αθφκε είρε θπζηθφηεηα θαη ληψζακε σξαία. Γελ ήηαλ κηα μερσξηζηή ζρνιηθή εκπεηξία, γηα κεξηθέο ψξεο ηελ εβδνκάδα. αλ απνηέιεζκα, απηήο ηεο απνξξφθεζεο ηεο θνπιηνχξαο ζηα καζεκαηηθά νη καζεηέο απέθηεζαλ εκπεηξία κε έλα ηξφπν πνπ λα έρεη λφεκα. Γη απηφ ην ιφγν, ην κάζεκα έρεη δηαξθή απνηέιεζκα. «Απηφ πνπ ρξεηαδφκαζηε είλαη έλα πξφγξακκα ζρεδηαζκνχ θνπιηνχξαο γηα ηελ εθπαίδεπζε. Σν λα θαηαιάβνπκε αξθεηά γηα ην θνηλσληθά πεξηερφκελα πνπ 9

πξνσζνχλ ηελ αλάγθε λα αλαπηχμνπκε θαη λα θαηαιάβνπκε καζεκαηηθέο ηδέεο θαη γηα ηα πεξηβάιινληα πνπ ππνζηεξίδνπλ ηελ αλάπηπμε θαη ηελ εμέιημε απηψλ ησλ ηδεψλ, κπνξεί λα καο επηηξέςεη λα δεκηνπξγήζνπκε θνπιηνχξεο ζηελ ηάμε ζηηο νπνίεο νη καζεηέο ζα κπνξνχλ λα θάλνπλ καζεκαηηθά κε θπζηθφ ηξφπν. ηαλ ζπκβεί απηφ, «ην ζέκα κεηαθνξάο ηνπ πξνβιήκαηνο ζηελ πξαγκαηηθφηεηα» ( ην γεγνλφο φηη δελ ππάξρεη άκεζε επαθή κεηαμχ ησλ καζεκαηηθψλ ελλνηψλ ζε δηαθνξεηηθά πεξηβάιινληα ) δε ζα απνηειεί πνηα ηφζν ζνβαξφ δήηεκα(ζει.214)( Schoenfeld, Α. Η. έηνο έθδνζεο 1987, Γηαηί φιε απηή ε θαζαξία γηα ηε κεηαγλψζε; Α. Η. Schoefeld, Cognitive science and mathematics education (ζει. 189-215). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates). 3.1 Η διδακηέα Ύλη ηυν Μαθημαηικών ζηο Γςμνάζιο ηηο ηξεηο ηάμεηο ηνπ Γπκλαζίνπ ν καζεηήο ζα γλσξίζεη ηελ "καγεία" ησλ αξηζκψλ θαη ησλ ζρεκάησλ αληίζηνηρα ζε ζέκαηα άιγεβξαο θαη γεσκεηξίαο. Σα ζέκαηα άιγεβξαο πνπ παξνπζηάδνληαη ζηαδηαθά ζηηο ηξεηο ηάμεηο ηνπ γπκλαζίνπ ζα κπνξνχζακε λα ηα ζπλνςίζνπκε ζηα αθφινπζα: πξαγκαηηθνί αξηζκνί, εμηζψζεηοαληζψζεηο, αλάινγα θαη αληηζηξφθσο αλάινγα πνζά, ζπλαξηήζεηο, ζπζηήκαηα γξακκηθψλ εμηζψζεσλ θαη ζηνηρεία πηζαλνηήησλ θαη ζηαηηζηηθήο. Δλψ ζηελ γεσκεηξία ζα ιέγακε αληίζηνηρα: Βαζηθέο γεσκεηξηθέο έλλνηεο, γσλίεο, θχθινο, κέηξεζε θχθινπ, ζπκκεηξία, ηξίγσλα, ηζφηεηα ηξηγψλσλ, παξαιιειφγξακκα, ηξαπέδηα, Ππζαγφξεην ζεψξεκα, ζεψξεκα ηνπ Θαιή, νκνηφηεηα θαη ηξηγσλνκεηξία. Η εκπέδσζε φισλ ησλ παξαπάλσ ελλνηψλ νδεγνχλ ηνλ καζεηή ζηελ Α Λπθείνπ κε γεξέο βάζεηο ζηα καζεκαηηθά θαη ρσξίο θελά. 4. Γιαηί οι μαθηηέρ θοβούνηαι ηα μαθημαηικά ; ( math phobia ) χκθσλα κε ηελ Cemen ζηελ ςπρνινγία νη έλλνηεο θφβνο, θνβία θαη άγρνο ζεσξνχληαη γεληθά δηαθεθξηκέλεο κεηαμχ ηνπο. πλεπψο, φπσο ππνζηεξίδεη, ην άγρνο γηα ηα καζεκαηηθά, θαη ν θφβνο γηα ηα καζεκαηηθά δελ ζα πξέπεη λα ζεσξνχληαη έλλνηεο ηαπηφζεκεο. κσο ζηα πιαίζηα απηήο ηεο εξγαζίαο ζα ηηο ρξεζηκνπνηνχκε γηα λα πεξηγξάςνπκε ην ίδην θαηλφκελν, απηφ ηεο απέρζεηαο θαη αληηπάζεηαο πνπ λνηψζεη θάπνην άηνκν γηα ηα καζεκαηηθά. Με ηελ ιέμε καζεκαηηθνθνβία ελλννχκε 10

ην θφβν, ηελ αλαζθάιεηα θαη ην δένο πνπ αηζζάλνληαη νη καζεηέο γηα ην κάζεκα ησλ καζεκαηηθψλ. Η καζεκαηηθνθνβία δελ είλαη παζνινγηθή θαηάζηαζε, αιιά πξνμελείηε απφ ηηο αξλεηηθέο εκπεηξίεο ησλ καζεηψλ ζην κάζεκα ησλ καζεκαηηθψλ θαη επεξεάδεη άκεζα ηε καζεηηθή ηνπο επίδνζε, κεηψλνληάο ηε ζην ειάρηζην. Σα θπξηφηεξα αίηηα ηεο καζεκαηηθνθνβίαο είλαη: Ο απηαξρηζκφο θαη δηδαθηηζκφο ησλ δαζθάισλ, νη νπνίνη ζπλήζσο επηβάιινπλ ζηνπο καζεηέο ηνπο ηελ άπνςή ηνπο. Λέλε ζηα παηδηά ηη λα θάλνπλ, ηη είλαη ρξήζηκν, ηη δελ είλαη, ηη "δνπιεχεη", ηη φρη θαη γεληθά δίλνπλ ζπληαγέο πνπ πεγάδνπλ απφ ηελ εμνπζία ηνπο. Ο καζεηήο εμαξηάηαη απφ ηελ εμνπζία ηνπ δαζθάινπ, θάηη πνπ φπσο είλαη θπζηθφ εληζρχεη ην θφβν θαη ην δένο πνπ αηζζάλνληαη νη καζεηέο γηα ηα καζεκαηηθά. Σα ηεζη θαη ηα δηαγσλίζκαηα, πνπ έρνπλ σο ζθνπφ ηελ αμηνιφγεζε ησλ καζεηψλ, αζθνχλ ηελ πην βιαβεξή επίδξαζε. Γηαπεξλνχλ θαη ζεκαδεχνπλ νιφθιεξε ηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία, γίλνληαη απηνζθνπφο. Πξνυπνζέηνπλ φηη νη καζεηηθέο ηθαλφηεηεο κπνξνχλ λα κεηξεζνχλ κε έλαλ απιφ αξηζκφ ζ' έλα ηεζη. Έηζη δηαζηξεβιψλεηαη ε πνιπδηάζηαηε θχζε ηεο κάζεζεο ησλ καζεκαηηθψλ. Οη αξλεηηθέο εκπεηξίεο θαη ζηάζεηο εληζρχνληαη θαη απφ ηηο πξνθαηαιήςεηο πνπ επηθξαηνχλ ζην θνηλσληθφ πεδίν ζρεηηθά κε ηα καζεκαηηθά θαη ηελ κάζεζή ηνπο. Η πιεηνςεθία φπσο δείρζεθε ζε πξνεγνχκελν θεθάιαην πηζηεχεη φηη θάπνηνο ή γελληέηαη κε καζεκαηηθέο ηθαλφηεηεο ή φρη. Δμάιινπ δελ είλαη ιίγνη απηνί πνπ ππνζηεξίδνπλ φηη ηα θνξίηζηα δελ έρνπλ θαηάιιειν κπαιφ γηα ηα καζεκαηηθά. Σα καζεκαηηθά δελ δηδάζθνληαη ζε ζρέζε κε ηελ δσή θαη ην πεξηβάιινλ ηνπ παηδηνχ θαη επνκέλσο ε κάζεζε δελ βαζίδεηαη ζηελ θαηαλφεζε κέζσ δξαζηεξηνηήησλ, αιιά ζηε κεραληθή απνκλεκφλεπζε. Η αλαγφξεπζε, φκσο, ηεο κλήκεο ζε ζπνπδαία δηαλνεηηθή ιεηηνπξγία νδεγεί ζηελ ππεξθφξησζή ηεο. Η ζπνπδαηφηεηα ησλ καζεκαηηθψλ ζήκεξα σο βαζηθφ ππφβαζξν νπνηαζδήπνηε επηζηήκεο θαη ε ζπλεηδεηνπνίεζε ηεο αλαγθαηφηεηαο ηνπο, πξνμελεί άγρνο θαη έληαζε ζηνπο καζεηέο. Σειεηψλνληαο ζα ζέιακε λα ηνλίζνπκε πσο ε εκπεηξία ησλ παηδηψλ, απφ ηα ζρνιηθά καζεκαηηθά, είλαη ηφζν ηξαπκαηηθή πνπ αθφκα θαη φηαλ ελειηθησζνχλ έρνπλ βαζηά ξηδσκέλα αηζζήκαηα άγρνπο θαη αλεπάξθεηαο ζ' απηφ ην ζέκα. ηαλ ηα κέιε κηαο εξεπλεηηθήο επηηξνπήο πξνζπάζεζαλ λα πάξνπλ ζπλεληεχμεηο απφ έλα δείγκα ελειίθσλ γηα ηα καζεκαηηθά, πνπ ρξεζηκνπνηνχζαλ ζηε θαζεκεξηλή ηνπο δσή, 11

αλαθάιπςε φηη νη κηζνί απφ απηνχο, πνπ πιεζίαζε, αξλήζεθαλ λα δψζνπλ ζπλέληεπμε απιά θαη κφλν γηαηί ην ζέκα ήηαλ ηα καζεκαηηθά! Αθφκε ε Cemen πεξηγξάθεη κηα ελήιηθε γπλαίθα ε νπνία δελ ελεκέξσλε ζην θαξλέ ησλ επηηαγψλ ηεο ηα έμνδα πνπ έθαλε, επεξεαζκέλε απφ ηελ ζρνιηθή ηεο εκπεηξία κε ηα καζεκαηηθά!( δηαδηθηπαθφο ηφπνο, Γηψξγνο Παπιάθνο, Μαζεκαηηθφο Μ. ed. Παλ. Αζελψλ.) 4.1 Καηανόηζη ηηρ Άλγεβπαρ από μαθηηέρ Γςμναζίος Η πιεηνςεθία ησλ καζεηψλ, αθφµα θαη ζε ειηθίεο πάλσ απφ 15 ρξφλσλ, δελ έρεη ηελ ηθαλφηεηα λα εξµελεχεη ηα αιγεβξηθά γξάµµαηα, είηε σο γεληθεπκέλνπο εξπζξνχο είηε σο ζπγθεθξηκέλνπο άγλσζηνπο. Η θχξηα εξκελεία πνπ δίλεηαη γηα ηηο δπζθνιίεο ησλ καζεηψλ ζηελ άιγεβξα είλαη απηή ηεο ζχλδεζεο µε ηα επίπεδα ηεο γλσζηηθήο αλάπηπμεο. Τπνζηεξίδεηαη επίζεο φηη πνιιέο απφ ηηο δπζθνιίεο ησλ αξραξίσλ ζηελ άιγεβξα καζεηψλ µπνξεί λα νθείινληαη ζηνλ ηξφπν πνπ δηδάζθνληαη ηηο αξηζκεηηθέο δηαδηθαζίεο ζην δεµνηηθφ θαη ν νπνίνο δελ δνπιεχεη ζηελ πεξίπησζε ηεο άιγεβξαο ή αθφµε ζηνλ παξαδνζηαθφ ηξφπνο δηδαζθαιίαο πνπ δίλεη έµθαζε ζηηο δεμηφηεηεοθάλε φηη θάλσ- θαη δελ βνεζά ζηε ελλνηνινγηθή θαηαλφεζε. Η παξαδνζηαθή δηδαζθαιία επηρεηξεί λα αληηκεησπίζεη ηα εµπφδηα δίλνληαο έµθαζε ζηνπο ππνινγηζκνχο θαη ζην ρεηξηζµφ αιγεβξηθψλ παξαζηάζεσλ, γηα παξάδεηγκα νη καζεηέο δηδάζθνληαη θαλφλεο έηζη ψζηε λα αλαπηχμνπλ ηηο απαηηνχκελεο δεμηφηεηεο ειπίδνληαο φηη ε θαηαλφεζε ζα αθνινπζήζεη. Δίλαη ηεθκεξησκέλν φηη νη µαζεηέο έρνπλ κεγάιε δπζθνιία ζηελ επηζπκεηή θαηαλφεζε (Matz 1980, Kuchemann 1981, Wagner, Rachlin & Jensen 1984).Τπάξρεη πιήζνο ελδείμεσλ απφ tests, απνηειέζµαηα ζε δηάθνξεο εμεηάζεηο θαη βαζµνχο εηζαγσγήο ζηα παλεπηζηήκηα, φηη ε έµθαζε ζε ρεηξηζηηθέο δεμηφηεηεο δελ έρνπλ σο απνηέιεζµα ηελ επηζπκεηή θαηαλφεζε. Αλ ινηπφλ ηα γλσζηηθά επίπεδα απνηεινχλ έλα θξάγµα γηα ηε θαηαζθεπή νξηζκέλσλ ελλνηψλ, απηφ µπνξεί λα εμεγήζεη ην γηαηί νη µαζεηέο δελ κπνξνχλ λα θάλνπλ νξηζκέλεο αιγεβξηθέο εξγαζίεο. Απηή ε ππφζεζε µπνξεί λα νδεγήζεη ζην ζπκπέξαζκα φηη ίζσο πξέπεη λα επαλεμεηάζνπκε ην ηη µαζεµαηηθά δηδάζθνπµε θαη πσο ηα δηδάζθνπµε ζηνπο µαζεηέο µαο. 12

4.2 Θευπίερ Μάθηζηρ αλλά και Γιδαζκαλίαρ ηυν Μαθημαηικών Σν πξφβιεκα γηα ην ηη είλαη "Γλψζε" θαη πψο ηελ απνθηνχκε είλαη απφ ηα ζεκειηψδε εξσηήκαηα ηεο θηινζνθίαο. Πνιχ πξηλ ηελ επνρή ησλ Διιεληζηηθψλ ρξφλσλ θαη ηελ εκθάληζε ησλ κεγάισλ θηινζφθσλ θαη καζεκαηηθψλ ππήξμε έληνλν ην ελδηαθέξνλ σο πξνο ηε θχζε ηεο γλψζεο. κσο ε πξνζνρή ήηαλ ζηξακκέλε ζηελ νληνινγία ηεο γλψζεο θαη φρη ζην ππνθείκελν. Οη επηζηήκεο ηεο αγσγήο, ηεο ςπρνινγίαο θαη γεληθφηεξα νη αλζξσπηζηηθέο επηζηήκεο δελ αληηκεησπίδνληαλ σο απηφλνκα πεδία. Μέζα ζηνλ πξνεγνχκελν αηψλα μεθίλεζε ε κηα ζεηξά ζεσξηψλ γηα ην πψο καζαίλνπκε θαη γεληθφηεξα κηα ζπζηεκαηηθή έξεπλα θαη θαηαγξαθή ησλ ζπκπεξηθνξψλ θαηά ηε καζεζηαθή δηαδηθαζία. Ήηαλ ε αξρή κηαο λέαο επηζηήκεο: ηεο Παηδαγσγηθήο. Οη ζεκαληηθφηεξεο ζεσξίεο πνπ έρνπλ λα θάλνπλ κε ηε Γηδαθηηθή ησλ Μαζεκαηηθψλ δηαηππψλνληαη ζε γεληθέο γξακκέο παξαθάησ. 4.2.1 ςνειπμική θευπία - Μπησεϋβιοπιζμόρ (behaviourism) Η ζπλεηξκηθή ζεσξία (Connectionism ή Associationism) εκθαλίζηεθε ζηηο Η.Π.Α. ζηηο αξρέο ηεο δεθαεηίαο ηνπ 1920 κε ηε ζπγγξαθή ηνπ βηβιίνπ The Psychology of Arithmetic (1922 New York: Macmillan) ηνπ Edward Thorndike. Η ζεσξία νλνκάζηεθε ζπλεηξκηθή δηφηη ππνζηεξίδεη φηη γηα νπνηαδήπνηε πξνβιεκαηηθή θαηάζηαζε ππάξρνπλ "ζπλδέζεηο" (associations) ή "δεζκνί" κε πνιιέο πηζαλέο αληηδξάζεηο. Οη δεζκνί βξίζθνληαη ζην κπαιφ ηνπ ιχηε θαη ζπληζηνχλ έλα ζχλνιν πηζαλψλ απαληήζεσλ σο πξνο έλα ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα. H ζεσξία ηνπ Σhorndike πεξηγξάθεηαη κε βάζε ηνπο εμήο λφκνπο: 1. Νφκνο ηνπ Απνηειέζκαηνο (law of effect). Οη απαληήζεηο πνπ ζπλνδεχνληαη απφ θάπνηα αληακνηβή-επηβξάβεπζε, γίλνληαη ελδπλακψλνληαη θαη γίλνληαη ζπλήζεηο αληηδξάζεηο ζην ζπγθεθξηκέλν εξέζηζκα, ελψ φζεο δελ νδεγνχλ ζε επηζπκεηφ απνηέιεζκα ράλνπλ ζηαδηαθά ηελ ηζρχ ηνπο. 2. Νφκνο ηεο Δηνηκφηεηαο (law of readiness). Μηα ζεηξά αληηδξάζεσλ κπνξεί λα ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο θαη ζε πεξίπησζε πνπ θάπνπ ραιάζεη ν θάπνηνο δεζκφο δεκηνπξγείηαη αίζζεκα ελφριεζεο. 13

3. Νφκνο ηεο Δμάζθεζεο (law of exercise). Οη δεζκνί κεηαμχ εξεζίζκαηνο θαη αληίδξαζεο ηζρπξνπνηνχληαη φζν ε ίδηα πξνβιεκαηηθή θαηάζηαζε εκθαλίδεηαη ζπρλφηεξα, ελψ εμαζζελνχλ φηαλ ζηακαηά λα εκθαλίδεηαη ε θαηάζηαζε πνπ ηνπο δεκηνπξγεί. Καηά ηνπο κπηρεβηνξηζηέο ινηπφλ ην κπαιφ ηνπ καζεηή είλαη άγξαθν ραξηί, πάλσ ζην νπνίν ν εθπαηδεπηηθφο κπνξεί λα εγγξάςεη ηε γλψζε. Καη' απηνχο, ε κάζεζε είλαη παζεηηθή, ιεπηηθή, ζηαηηθή θαη αλαπαξαγσγηθή δηαδηθαζία. Η έκθαζε δίλεηαη ζηελ πνζφηεηα θαη ην εχξνο ηεο γλψζεο. Ο ξφινο ηνπ εθπαηδεπηή είλαη λα κεηαδίδεη ηηο πιεξνθνξίεο, νη εθπαηδεπφκελνη ηηο απνξξνθνχλ παζεηηθά θαη ηηο αλαπαξάγνπλ φηαλ ρξεηαζηεί. Βαζηθφ κεηνλέθηεκα, φκσο, απηήο ηεο ζεσξίαο είλαη ην φηη δελ εξκελεχεη ηθαλνπνηεηηθά ηε κάζεζε ζχλζεησλ κνξθψλ. ιεο νη ζεσξίεο πνπ ζηεξίρζεθαλ ζηελ εμάζθεζε ή ζηελ δεκηνπξγία δεζκψλ κεηαμχ εξεζίζκαηνο θαη αληίδξαζεο (S-R theories) άθεζαλ αλαπάληεηα εξσηήκαηα φπσο: - Σα δηαθνξεηηθά είδε γλψζεο απαηηνχλ δηαθνξεηηθέο πξαθηηθέο; - Η επηηπρία ζε απιέο δξαζηεξηφηεηεο ζπλεπάγεηαη θαη ηελ επηηπρία ζε δπζθνιφηεξεο θαηαζηάζεηο; - Πψο επηηπγράλεηαη ε κεηαβίβαζε ηεο γλψζεο απφ έλα γλσζηηθφ πεδίν ζε έλα άιιν (αθνχ ην θάζε πεδίν έπξεπε λα ζπλδέεηε κε ζπγθεθξηκέλν θαη δηαθνξεηηθφ ζηελ θάζε πεξίπησζε εξέζηζκα). - Η επαλάιεςε ζπκβάιιεη ζηελ θαηαλφεζε; - Μπνξνχκε κε βάζε ηηο ζεσξίεο απηέο λα απνθαλζνχκε γηα ην πνηα ζέκαηα ελφο αλαιπηηθνχ πξνγξάκκαηνο ζπνπδψλ πξέπεη λα πξνεγεζνχλ θάπνησλ άιισλ; - Τπάξρνπλ θξηηήξηα θαηάηαμεο ησλ καζεκαηηθψλ πξνβιεκάησλ σο πξνο ηε δπζθνιία ηνπο; - Γηα λα κπνξεί λα ζθέθηεηαη θάπνηνο ρξεηάδεηαη έλα απφζεκα λνεκάησλ θαη φρη κπξηάδεο απηφκαηεο απαληήζεηο. 4.2.2 Ψςσολογία ηηρ Μοπθήρ (Gestalt) - Δςπεηική μέθοδορ ηος G. Polya Σελ ίδηα επνρή κε ηελ πλεηξκηθή ζεσξία εκθαλίδεηαη κηα άιιε ζρνιή ζηελ Δπξψπε κε θχξην εθπξφζσπν ηνλ W. Kohler. Με ηα καζεκαηηθά αζρνιήζεθε ηδηαίηεξα ν Μ. 14

Wertheimer, ν νπνίνο ππνγξάκκηζε ηελ νπζηαζηηθή δηαθνξά κεηαμχ ηεο κεραληθήο κάζεζεο (rote learning) θαη ηεο κάζεζεο πνπ βαζίδεηαη ζηελ θαηαλφεζε ηνπ λνήκαηνο (learning with meaning). χκθσλα κε ηε ζεσξία Gestalt (κνξθή), ην πξντφλ ηεο αληίιεςεο δελ είλαη κηα απιή άζξνηζε εξεζηζκάησλ: ην άηνκν εξκελεχεη ελεξγά απηά ηα εξεζίζκαηα αλαδεηψληαο ηελ ππνθείκελε ζπλνιηθή δνκή, ηελ ελνπνηεηηθή ηνπο αξρή θαζψο θαη ηηο κεηαμχ ηνπο αιιειεπηδξάζεηο. Ο Kohler ππνζηήξημε φηη ε ζθέςε θαη επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο δελ είλαη κηα δηαδηθαζία ηνπ ηχπνπ "εξέζηζκααληίδξαζε" αιιά κηα ζθαηξηθή νξγαλσηηθή λνεηηθή δηαδηθαζία. Η ελφξαζε "insight" (ε ζθέςε θαη ε επίιπζε ελφο πξνβιήκαηνο) πξνθχπηεη απφ κηα επαλνξγάλσζε ησλ ζηνηρείσλ ηνπ πξνβιήκαηνο κε ζηφρν ηελ αλαθάιπςε κηαο αξρήο, ελφο κεραληζκνχ πνπ ππάξρεη πίζσ απφ ην αληηθείκελν ηεο γλψζεο θαη ηελ θαηαλφεζε ησλ εζσηεξηθψλ ζρέζεσλ. Η ζεσξία Gestalt παξέρεη κηα ζεσξεηηθή βάζε γηα ηελ κεηέπεηηα (θαηά ηε δεθαεηία ηνπ '50) ζηξνπθηνπξαιηζηηθή πξνζέγγηζε ηεο δηδαζθαιίαο (δηδαζθαιία πνπ δίλεη έκθαζε ζηελ θαηαλφεζε ηεο δνκήο ησλ αληηθεηκέλσλ πνπ κειεηάκε θαη επνκέλσο νη δνκηθέο ηδηφηεηεο ησλ καζεκαηηθψλ ελλνηψλ θαη νη κεηαμχ ηνπο ζρέζεηο). Γηα ηνπο ςπρνιφγνπο ηεο κνξθήο αιιά θαη ηνπο ζηξνπθηνπξαιηζηέο, ην ίδην ην άηνκν είλαη εθείλν πνπ νξγαλψλεη ηα πξντφληα ησλ αηζζήζεσλ θαη ηηο εκπεηξίεο ηνπ. Η δνκή ινηπφλ πνπ ηνπ δεηάκε λα αλαπηχμεη πξέπεη λα αληαπνθξίλεηαη ζηηο ηθαλφηεηεο ηνπ αηφκνπ. Γηαγξάκκαηα, ζρήκαηα, εηθφλεο θαη παξφκνην πιηθφ πξνζθέξνπλ ζεκαληηθή βνήζεηα ζηελ επαλαδηαηχπσζε ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ηελ αλάιπζε ηνπ επηζπκεηνχ ζηφρνπ, πνπ είλαη απαξαίηεηεο δηαδηθαζίεο γηα κηα ελνξαηηθή αληηκεηψπηζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Η ζεσξία Gestalt θάλεη κηα ελδηαθέξνπζα δηάθξηζε φζνλ αθνξά ηε λνεηηθή δηαδηθαζία κε ηελ νπνία ν καζεηήο ζα κπνξέζεη λα δηαθξίλεη ηε δνκή ελφο πξνβιήκαηνο. Απηή κπνξεί λα έρεη δχν θαηεπζχλζεηο: απαγσγηθή ή παξαγσγηθή δηαδηθαζία "απφ θάησ πξνο ηα πάλσ" δει. απφ ηα επηκέξνπο ζην γεληθφ θαη ε επαγσγηθή δηαδηθαζία "απφ πάλσ πξνο ηα θάησ" δει. απφ ηε γεληθή δνκή πξνο ηα επηκέξνπο - ζπγθεθξηκέλα βήκαηα. Οη δχν απηέο δηαδηθαζίεο δίλνπλ θαη δχν δηαθνξεηηθέο δηδαθηηθέο πξνζεγγίζεηο. ηελ παξαγσγηθή δίλεηαη έκθαζε πρ. ζηηο απιέο καζεκαηηθέο πξάμεηο θαη πξνβιήκαηα θαη επηρεηξείηαη θαηφπηλ ην πέξαζκα ζε πην αθεξεκέλεο καζεκαηηθέο έλλνηεο ελψ αθνινπζψληαο ηελ επαγσγηθή πξνζέγγηζε δίλεηαη έκθαζε ζηελ ινγηθή θαη ηε δνκή ησλ καζεκαηηθψλ ζέηνληαο ζε δεχηεξε κνίξα ηνπο ππνινγηζηηθνχο αιγνξίζκνπο. Η πνξεία πνπ αθνινπζεί θάπνηνο θαηά ηελ 15

επεμεξγαζία ελφο νπνηνπδήπνηε πξνβιήκαηνο (φρη κφλν καζεκαηηθψλ) πξέπεη λα αθνινπζεί ηα εμήο ζηάδηα: 1. Καηαλφεζε ηνπ πξνβιήκαηνο 2. Δπηλφεζε ελφο ζρεδίνπ 3. Δθηέιεζε ηνπ ζρεδίνπ 4. Αλαζθφπεζε Η έξεπλα επί ηεο Μεηαγλσζηηθήο έρεη εζηηάζεη ηελ πξνζνρή ηεο ζηα αθφινπζα είδε ζπκπεξηθνξάο θαηά ηνλ A. Schoenfeld. 1. Η γλψζε γηα ηηο δηαδηθαζίεο ηεο ζθέςεο ζνπ. Πφζν αθξηβήο είζαη φηαλ πεξηγξάθεηο ηε ζθέςε ζνπ; 2. Ο έιεγρνο (control ή self-regulation): Πφζν θαιά παξαθνινπζείο ηηο ελέξγεηέο ζνπ φηαλ ιχλεηο έλα πξφβιεκα θαη κε πνηνλ ηξφπν νη παξαηεξήζεηο ζνπ νδεγνχλ ηηο επφκελεο ελέξγεηέο ζνπ; 3. Σα "πηζηεχσ" θαη νη αληηιήςεηο γηα ηα Μαζεκαηηθά: Πνηεο είλαη νη ηδέεο πνπ έρεηο γηα ηα Μαζεκαηηθά θαη κε πνηνλ ηξφπν απηέο πεξηνξίδνπλ ηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν εξγάδεζαη; (επηζηεκνινγία) Δπηγξακκαηηθά, ζηε ζεσξία Gestalt ην επίθεληξν ηνπ ελδηαθέξνληνο είλαη ηα ηδηαίηεξα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ πξνβιήκαηνο θαη φρη ηα ηδηαίηεξα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ιχηε. Η αληηκεηψπηζε πξνβιεκάησλ θαηά ηξφπν εληαίν κέζσ ησλ επξεηηθψλ, θηλείηαη ζηα πιαίζηα ηεο παξαπάλσ άπνςεο. 4.2.3 Οι γνυζηικέρ θευπίερ ζηιρ Η.Π.Α. - Θευπία Δπεξεπγαζίαρ Πληποθοπιών Μέρξη ηφηε νη γλσζηηθέο ζεσξίεο αληηκεηψπηδαλ ην ππνθείκελν πνπ καζαίλεη σο έλα "καχξν θνπηί" ηνπ νπνίνπ δελ κπνξνχκε λα γλσξίδνπκε ηηο ιεηηνπγίεο (πρ. Skinner). Οη γλσζηηθέο ζεσξίεο πνπ αλαπηχρζεθαλ ζηηο Η.Π.Α. ελδηαθέξνληαλ γηα ηε ιεηηνπξγία ηνπ καχξνπ θνπηηνχ θαη πξνζπάζεζαλ λα αλαθαιχςνπλ ηε λνεηηθή πνξεία πνπ δεζπφδεη ζηελ επεμεξγαζία ησλ απαληήζεσλ ζε πξνβιήκαηα, ελίνηε πνιχ ζχλζεηα. Απηέο νη ζεσξίεο εζηηάδνληαη ζηε θπζηνινγία ηνπ εγθεθάινπ θαη νδεγνχλ 16

ζε αληηιήςεηο πνιχ θνληά ζηελ πιεξνθνξηθή θαη είλαη βαζηζκέλεο ζε εξγαζίεο ζρεηηθά κε ηελ ηερλεηή λνεκνζχλε (artificial intelligence). Η ζεσξίεο απηέο ζηεξίδνληαη ζηελ ππφζεζε φηη ππάξρεη αλαινγία αλάκεζα ζηνλ ηξφπν ιεηηνπξγίαο ηνπ εγθέθαινπ θαη ζηνλ ηξφπν ιεηηνπξγίαο ελφο ππνινγηζηή. πσο θαη ζηνλ ππνινγηζηή, έηζη θαη ζηνλ αλζξψπηλν εγθέθαιν, εηζάγνληαη πιεξνθνξίεο, γίλεηαη ε επεμεξγαζία ηνπο απφ ην θεληξηθφ λεπξηθφ ζχζηεκα, απνζεθεχνληαη θάπνπ ζηνλ εγθέθαιν, φπσο ζην ζθιεξφ δίζθν ηνπ ππνινγηζηή θαη αλαζχξνληαη φηαλ ρξεηαζηεί, νπφηε θαη παξάγνληαη απαληήζεηο. Η επεμεξγαζία, δειαδή, πεξηιακβάλεη ηε ζπιινγή θαη αλαπαξάζηαζε ηεο πιεξνθνξίαο, ηελ θσδηθνπνίεζε, ηελ απνζήθεπζε θαη ηελ αλάζπξζή ηεο. Σν φιν ζχζηεκα ππφθεηηαη ζε δηαδηθαζίεο ειέγρνπ πνπ θαζνξίδνπλ πψο θαη πφηε νη πιεξνθνξίεο ζα θηλεζνχλ κέζα ζην ζχζηεκα. ηαλ εκθαλίζηεθε αξρηθά ε ζεσξία θαη εθαξκφζηεθε ζηε ζπλέρεηα ζε ζρνιεία (ζηηο δεθαεηίεο ηνπ 1970 θαη 1980), έδσζε λέα δηάζηαζε ζηε κάζεζε θαη ζηε δηδαζθαιία. Οη αξρηθέο ζεσξίεο κάζεζεο ηεο επεμεξγαζίαο ησλ πιεξνθνξηψλ φξηδαλ ηε κάζεζε σο δηαζχλδεζε πιεξνθνξηαθψλ ζηνηρείσλ. Αξγφηεξα φκσο νη ζεσξίεο απηέο έδσζαλ έκθαζε ζην γεγνλφο φηη ε κάζεζε είλαη ε ζηηγκηαία θαη κνλαδηθή θαηαζθεπή ηνπ λνήκαηνο πνπ επεξεάδεηαη φρη κφλν απφ ηελ πξνεγνχκελε γλψζε, αιιά θαη απφ ζπλαηζζεκαηηθνχο θαη θνηλσληθνπνιηηηζκηθνχο παξάγνληεο. Σν δηδαθηηθφ κνληέιν πνπ ζηεξίδεηαη ζηελ επεμεξγαζία ησλ πιεξνθνξηψλ απνθιίλεη ζεκαληηθά απφ ην κπηρεβηνξηζηηθφ παξάδεηγκα. Πεξηιακβάλεη κηα ζεηξά δηαδηθαζηψλ πνπ, αλ θαη δηεπζεηνχληαη απφ ηνλ εθπαηδεπηηθφ σο εμσηεξηθέο θαηαζηάζεηο, δελ παίξλνπλ ηε κνξθή εμσηεξηθψλ εξεζηζκάησλ, αιιά δηδαθηηθψλ ελεξγεηψλ θαη απνβιέπνπλ ζην λα ελεξγνπνηήζνπλ θαη λα ππνζηεξίμνπλ ηηο εζσηεξηθέο θάζεηο ή ηα ζηάδηα ηεο κάζεζεο θαη λα ζπζηνηρεζνχλ κε απηά. Έξγν ηνπ εθπαηδεπηηθνχ είλαη λα ππνβνεζήζεη ηελ πξφζιεςε πιεξνθνξηψλ, πξνθεηκέλνπ λα εηζέιζνπλ απηέο ζηε βξαρππξφζεζκε κλήκε θαη λα πξνσζεζνχλ ζηε ζπλέρεηα κέζα απφ αιιεπάιιειεο επεμεξγαζίεο ζηε καθξνπξφζεζκε κλήκε, φπνπ ζα ηνπνζεηεζνχλ θαη ζα δηαηεξεζνχλ ζηελ ηξάπεδα δεδνκέλσλ.!( δηαδηθηπαθφο ηφπνο, Θάλνο Σάζηνο, Μαζεκαηηθφο Μ. ed. Παλ. Αζελψλ.) Οη έλλνηεο ηεο επαλάιεςεο θαη ηνπ απηνκαηηζκνχ έρνπλ πνιχ κεγάιε ζεκαζία γηα ηε κάζεζε ησλ Μαζεκαηηθψλ. Η πηνζέηεζε ηεο ζεσξίαο επεμεξγαζίαο πιεξνθνξηψλ ζηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ είλαη πξαγκαηηθά απνηειεζκαηηθή, αλ ηθαλνπνηεί νξηζκέλεο 17

πξνυπνζέζεηο. Οη καζεηέο ζα πξέπεη λα θαηαλννχλ ηηο δηάθνξεο καζεκαηηθέο έλλνηεο θαη λα ηηο ζπλδένπλ κε ινγηθή ζεηξά, ψζηε λα κπνξνχλ εχθνια λα ηηο απνζεθεχνπλ ζηε κλήκε ηνπο. Ο ζσζηφο, εμάιινπ, ηξφπνο ηαμηλφκεζεο ησλ πιεξνθνξηψλ ζηε κλήκε ζπκβάιιεη άκεζα ζηελ επηηπρία ησλ καζεηψλ ζηα καζεκαηηθά. Έλαο θίλδπλνο πνπ πξνθχπηεη φκσο κε απηή ηε δηαδηθαζία είλαη ε θαζαξά κεραληθή κάζεζε. Οη καζεηέο δειαδή καζαίλνπλ κηα δηαδηθαζία θαη ηελ εθηεινχλ κεραληθά ρσξίο λα θαηαιαβαίλνπλ ή λα ελδηαθέξνληαη γηα ηελ πξαγκαηηθή ηεο ζεκαζία. 4.2.4 Αναπηςξιακή θευπία ηος J. Piaget ή Γενεηική επιζηημολογία (Genetic Epistemology) Σελ ίδηα πεξίπνπ ρξνληθή πεξίνδν κε ηε ζεσξία Gestalt δηαηππψλεηαη ε "ζεσξία λνήκαηνο" (meaning theory), ε "ζεσξία ζρήκαηνο" (schema theory) θαη ε αλαπηπμηαθή ζεσξία ηνπ J. Piaget. Καη ζηηο ηξεηο απηέο ζεσξίεο θέληξν ηνπ ελδηαθέξνληνο δελ είλαη πιένλ ην πξφβιεκα αιιά ην ππνθείκελν πνπ εκπιέθεηαη ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο. Σνλ Piaget δελ ηνλ ελδηέθεξε ε θπζηνινγία, αιιά ε ιεηηνπξγηθφηεηα ηνπ αλζξψπηλνπ εγθεθάινπ. Πξνζπάζεζε κε ηε ζεσξία ηνπ λα βξεη έλα κνληέιν ηνπ πψο ζθέθηεηαη ν άλζξσπνο. Σν ελδηαθέξνλ ηνπ Piaget ήηαλ ζηξακκέλν ζηελ επηζηεκνινγία θαη φρη ζηελ ςπρνινγία. Bαζηδφκελνο ζε πεηξακαηηθά δεδνκέλα κέζσ ηεο αηνκηθήο γλψζεο λα θαηαλνήζεη ηελ γεληθή γλψζε. Δίρε αηζζαλζεί επίζεο ηελ αλάγθε λα εθαξκφζεη ηα απνηειέζκαηα ηνπ ζηελ εθπαηδεπηηθή δηαδηθαζία. Η βαζηθή ηδέα ηεο ζεσξίαο ηνπ είλαη φηη καζαίλνπκε κέζσ κηαο ζπλερνχο δηαδηθαζίαο ξήμεσλ θαη επαλατζνξξνπηψλ. Βαζηθή έλλνηα ηεο ζεσξίαο είλαη ην "ζρήκα" (schema) πνπ ρξεζηκνπνηεί ν Piaget γηα λα πεξηγξάςεη ηελ πξνζαξκνγή πνπ επηηπγράλεηαη ζε κηα νξηζκέλε θαηάζηαζε. Σα γλσζηηθά ζρήκαηα θαζηζηνχλ δπλαηή ηελ επίγλσζε θαη επηθνηλσλία ηνπ νξγαληζκνχ κε ην πεξηβάιινλ. Η "νξγάλσζε" (organisation) αλαθέξεηαη ζηελ ηθαλφηεηα ησλ αηφκσλ λα νξγαλψλνπλ ηα δεδνκέλα θαη πιεξνθνξίεο ζε ζπζηήκαηα, ηα νπνία ηνπο επηηξέπνπλ λα αληαπνθξίλνληαη θαιχηεξα ζηηο απαηηήζεηο ηνπ πεξηβάιινληνο ηνπο. Η νξγάλσζε ελνπνηεί ηηο θπζηθέο θαη ςπρνινγηθέο δνκέο ζε πην ζχλζεηα ζπζηήκαηα γλσζηηθψλ δνκψλ. Η "πξνζαξκνγή" (adaptation), επηηειείηαη κε δχν ζπκπιεξσκαηηθέο κεηαμχ ηνπο δηαδηθαζίεο: 18

- ηελ "αθνκνίσζε" (assimilation), φξνο πνπ πεξηγξάθεη ηελ δηαδηθαζία ελζσκάησζεο ησλ λέσλ δεδνκέλσλ ζηηο ήδε ππάξρνπζεο δνκέο γλψζεηο - θαη ηελ "ζπκκφξθσζε" (accommodation) πνπ αλαθέξεηαη ζηε δηαδηθαζία ηξνπνπνίεζεο ησλ γλσζηηθψλ δνκψλ ηνπ αηφκνπ φηαλ ε λέα γλψζε έξρεηαη ζε ζχγθξνπζε κε ηελ ππάξρνπζα πξνθεηκέλνπ λα ζπκπεξηιάβεη θαη ηηο λέεο εκπεηξίεο γηα ηηο νπνίεο δελ δηαζέηεη παξφκνηα ζρήκαηα. Βαζηθφ ζηνηρείν ηεο αλαπηπμηαθήο ζεσξίαο είλαη ηα ζηάδηα ηεο λνεηηθήο αλάπηπμεο ηα νπνία θαζνξίδνληαη απφ ηελ εκθάληζε ζπγθεθξηκέλσλ λνεηηθψλ ηθαλνηήησλ. Οη λνεηηθέο δηαδηθαζίεο εμειίζζνληαη κέζα ζην ρξφλν θαη ε απνπζία ή παξνπζία θάπνησλ ιεηηνπξγηψλ πξνζδηνξίδεη ηηο πεξηφδνπο ή ζηάδηα αλάπηπμεο ηνπ θαη ηα νπνία αθνινπζνχλ ηελ εμήο πνξεία (ίδηα γηα θάζε άηνκν). 1. "αηζζεηηθνθηλεηηθφ ζηάδην" (sensorimotor stage): 0-2 εηψλ ην ζηάδην απηφ, ην παηδί αληηιακβάλεηαη ην πεξηβάιινλ ηνπ κέζσ ησλ αηζζήζεσλ ηνπ (θπξίσο φξαζε, αθνή θαη αθή). Γελ κπνξεί, φκσο, λα εθθξάζεη κε ιέμεηο νηηδήπνηε βξίζθεηαη γχξσ ηνπ θαη γηα απηφ αξθείηαη κφλν ζηελ παξαηήξεζε. Σέινο, ζθέθηεηαη εγσθεληξηθά θαη δελ κπνξεί λα αληηιεθζεί ηηο δηάθνξεο θαηαζηάζεηο απφ άιιε νπηηθή γσλία, εθηφο απφ ηε δηθηά ηνπ 2. "πξνελλνηνινγηθφ ζηάδην" (preoperational) ή "πξνινγηθφ ζηάδην": 2-7 εηψλ ην ζηάδην απηφ, ην παηδί αξρίδεη λα δηακνξθψλεη ηε γιψζζα επηθνηλσλίαο θαη λα καζαίλεη θάπνηεο ζηνηρεηψδεηο έλλνηεο. Σαμηλνκεί ηα δηάθνξα αληηθείκελα κε βάζε ηηο νκνηφηεηεο ηνπο, φκσο δελ κπνξεί αθφκα λα ζπγθεληξψζεη ηελ πξνζνρή ηνπ ζε πεξηζζφηεξεο απφ κία θαηαζηάζεηο. Δπίζεο, ελψ γλσξίδεη ηε ζεκαζία ησλ ελλνηψλ καθξχ, θνληφ, βαξχ, ειαθξχ, ςειφ, ρακειφ, πιαηχ, ζηελφ, δελ έρεη ηελ αίζζεζε ηεο πνζφηεηαο. 3. "ζηάδην ησλ ζπγθεθξηκέλσλ ιεηηνπξγηψλ" (concrete operational stage) ή "ζπιινγηζηηθή πεξίνδνο" : πνπ ζπκπίπηεη κε ηελ ζηηγκή πνπ ην παηδί πεγαίλεη γηα πξψηε θνξά ζην ζρνιείν (γχξσ ζηα 6-7 ρξφληα έσο 12-13). ηελ ειηθία απηή, ην παηδί δηακνξθψλεη πην ζπζηεκαηηθή θαη πην ινγηθή ζθέςε. Έηζη, αξρίδεη λα αληηιακβάλεηαη ζρέζεηο κεηαμχ πξαγκάησλ ή πξνζψπσλ, εθηειεί αληηζηξέςηκεο πξάμεηο, απνδέρεηαη ηελ αληηζηξνθή θάπνησλ ελεξγεηψλ θαη 19

ζπλεξγάδεηαη κε άιια άηνκα. Αληηιακβάλεηαη, επίζεο, ηε δηαηήξεζε ηεο πνζφηεηαο, ζπγθξίλεη θαη ζπζρεηίδεη αληηθείκελα θαη θαηαζηάζεηο, δηαηάζζεη πξάγκαηα ζε ζεηξά κε βάζε θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπο θαη αλαπηχζζεη ηελ ηθαλφηεηα ηεο λνεηηθήο αλαπαξάζηαζεο. ην ζηάδην ησλ ζπγθεθξηκέλσλ λνεηηθψλ ελεξγεηψλ, ην παηδί αξρίδεη λα επεμεξγάδεηαη θάπνηεο απιέο καζεκαηηθέο έλλνηεο, φπσο απηέο ηνπ ζπλφινπ, ηεο δηάηαμεο, ηνπ κήθνπο, ηνπ βάξνπο, ηνπ εκβαδνχ, θ.ά. Γελ έρεη, φκσο, αθφκε ηελ ηθαλφηεηα λα θαηαλνήζεη πην πνιχπινθεο έλλνηεο, νη νπνίεο ζπλδένληαη κε ηελ αθαηξεηηθή ζθέςε. 4. "ζηάδην ησλ ηππηθψλ ιεηηνπξγηψλ" (stage of formal operations) ή "πεξίνδνο ηεο αθαηξεηηθήο ζθέςεο": γχξσ ζηα 12 έηε. Σν θπξίαξρν ραξαθηεξηζηηθφ απηήο ηεο πεξηφδνπ είλαη ε αλάπηπμε ηεο αθαηξεηηθήο ζθέςεο, ηεο ζθέςεο, δειαδή, πνπ δε ζηεξίδεηαη ζε άκεζεο επνπηείεο. Ο έθεβνο δε ρξεηάδεηαη πηα ζπγθεθξηκέλα παξαδείγκαηα, γηα λα θαηαλνήζεη κηα έλλνηα, αιιά κπνξεί λα βαζίδεηαη ζε ππνζέζεηο, ηφζν πξαγκαηηθέο, φζν θαη θαληαζηηθέο. Η ρξήζε ησλ αθεξεκέλσλ ζπιινγηζκψλ επηηξέπεη ζηνλ έθεβν λα θάλεη θξηηηθή θαη λα επηλνεί ζεσξίεο. Απηφο είλαη θη έλαο απφ ηνπο βαζηθνχο ιφγνπο πνπ νη έθεβνη νξακαηίδνληαη θαη δνπλ ζην κέιινλ θη φρη κφλν ζην παξφλ. ηελ ειηθία ησλ 15-16 ρξφλσλ, ε λνεκνζχλε αξρίδεη λα παίξλεη ηελ ηειηθή ηεο ηζνξξνπία. Έηζη, δεκηνπξγείηαη έλα λέν είδνο θξίζεο, ε νπνία δε ζηεξίδεηαη πιένλ ζε αληηθείκελα, αιιά ζε θαηαζηάζεηο θαη ππνζέζεηο. Οη ζπιινγηζκνί ηνπ εθήβνπ θαηά ηελ πεξίνδν απηή παξνπζηάδνπλ δχν βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά, ηε ζπλδπαζηηθφηεηα θαη ηε δπλαηφηεηα αληηζηξνθήο θαη ακνηβαηφηεηαο. Η ζπλδπαζηηθφηεηα θάλεη ηνπο ζπιινγηζκνχο λα απνθηήζνπλ επειημία θαη λα κπνξνχλ πηα λα απνκαθξπλζνχλ απφ ηηο πξψηεο ζπλδέζεηο ηνπο. Η αληηζηξνθή θαη ε ακνηβαηφηεηα έρνπλ ζαλ απνηέιεζκα λα κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί έλαο ζπιινγηζκφο, είηε σο αληίζηξνθνο, είηε σο ακνηβαίνο. Ο έθεβνο ζην ζηάδην ησλ αθεξεκέλσλ ζπιινγηζκψλ κπνξεί, επίζεο, λα επεμεξγαζηεί ζπζηήκαηα ηξηψλ ή πεξηζζφηεξσλ κεηαβιεηψλ, θαζψο θαη λα εξγαζηεί κε ηχπνπο, φπσο E=ab, ζηνπο νπνίνπο θάζε γξάκκα αληηπξνζσπεχεη έλα κνλαδηθφ αξηζκφ. Σέινο, κεηά ηελ ειηθία ησλ 16-17 ρξφλσλ, είλαη ζε ζέζε λα δνπιέςεη κε ηχπνπο, ρσξίο, φκσο, λα αληηζηνηρεί θάζε γξάκκα ζε έλαλ αξηζκφ, θαη κπνξεί λα εξγαζηεί ζε λέα καζεκαηηθά ζπζηήκαηα, φπσο είλαη ην ζχλνιν ησλ πηλάθσλ, νη δηαλπζκαηηθνί ρψξνη, θ.ά.. 20

Σα παξαπάλσ ηέζζεξα ζηάδηα λνεηηθήο αλάπηπμεο ραξαθηεξίδνληαη απφ ηελ ηεξαξρία ηνπο. χκθσλα κε ηνλ Piaget, ε ζεηξά δηαδνρήο παξακέλεη αλαιινίσηε. Γηα λα θζάζνπκε ζε έλα νξηζκέλν ζηάδην, πξέπεη λα έρνπκε πεξάζεη πξψηα απφ ηα πξνεγνχκελα, ψζηε λα έρνπκε ηελ πξνθαηαξθηηθή ππνδνκή, ε νπνία ζα επηηξέςεη ηελ πεξαηηέξσ πξφνδν. Δίλαη, φκσο, δπλαηφ ην πέξαζκα απφ ην έλα ζηάδην ζην άιιν λα επηηαρπλζεί, αλάινγα κε ην πεξηβάιινλ ηνπ παηδηνχ, ην θνηλσληθφ ηνπ ζηξψκα, θιπ.. Ο βαζκφο θαηάθηεζεο θάζε ιεηηνπξγίαο αιιά θαη ηα ρξνληθά φξηα πνηθίιινπλ απφ άηνκν ζε άηνκν. Δπίζεο κπνξεί θαλείο λα δηαθξίλεη θαη ελδηάκεζα ζηάδηα. Καηά άιινπο κεηαπηαδεηηαλνχο κειεηεηέο ε ζπκπεξηθνξά θαηά ηα βαζηθά ηέζζεξα ζηάδηα αλάπηπμεο δελ είλαη ζηαηηθή θαη νκνηφκνξθε (J. Biggs, K. Collis). Ο R. Skemp ζεκεηψλεη ζηα παξαπάλσ ηελ πεξίπησζε φπνπ ε καζεζηαθή δηαδηθαζία πξνθαιεί απιή δηεξεχλεζε ηεο ήδε ππάξρνπζαο γλψζεο θαη ηελ δηαθνξά κε ηελ πεξίπησζε φπνπ δεκηνπξγείηαη γλσζηηθή ζχγθξνπζε, ε νπνία απαηηεί "λνεηηθή αλαθαηαζθεπή" (mental reconstruction). Η ζεσξία ηνπ Piaget γηα ηε κάζεζε απνηειεί έλα απφ ηα πην ζεκαληηθά έξγα, πνπ κειεηάλε απηφ ην αληηθείκελν, θαη έρεη επεξεάζεη άκεζα ηε δηαδηθαζία δηδαζθαιίαο - κάζεζεο ζε πνιιέο ρψξεο. Άιισζηε ε ζεσξεία θαηαζθεπήο ηεο γλψζεο ζηεξίδεηαη ζηε ζεσξία ηνπ Piaget πνπ ζεσξεί φηη ην παηδί κεηέρεη ελεξγά ζηε δηαδηθαζία ηεο κάζεζεο. ηαλ έγηλε γλσζηή ε γλσζηηθή ζεσξία ηνπ Piaget ζηελ Αγγιία θαηά ην 1970 επαλαπξνζαξκφζηεθε ην αλαιπηηθφ πξφγξακκα, απηφ φκσο είρε ζαλ απνηέιεζκα λα πέζεη θαηαθφξπθα ε επίδνζε ησλ καζεκαηηθψλ. Έηζη γχξσ ζηα κέζα ηεο δεθαεηίαο ηνπ 70 ην αλαιπηηθφ πξφγξακκα μαλάιιαμε. Οη επηπηψζεηο ηεο ζεσξίαο ηνπ J. Piaget ήηαλ εληππσζηαθέο: 1. Δπεξέαζε πνιχ ηελ εθπαίδεπζε 2. Γέλλεζε κηα θνπβέληα θαη πξνθάιεζε ηελ άλζεζε ησλ επηζηεκψλ ηεο αγσγήο θαη ηεο δηδαθηηθήο. 3. Γέλλεζε κηα κεγάιε πνξεία θξηηηθήο ("κεηαπηαδεηηαλνί" ςπρνιφγνη,θπξίσο ζηηο Η.Π.Α. 21

4.2.4.1 Ποζοηική κπιηική ηηρ θευπίαρ ηος Piaget - φινη νη άλζξσπνη δελ έρνπλ ηνλ ίδην ξπζκφ αλάπηπμεο - ν ξπζκφο αλάπηπμεο ελφο αηφκνπ δελ είλαη ζηαζεξφο - Πνηνηηθή θξηηηθή (ε νπνία θαη έρεη κεγαιχηεξε ζεκαζία γηα ηα Μαζεκαηηθά) ηαλ κειεηάκε ην πψο ζθέθηνληαη νη καζεηέο πξέπεη εθηφο απφ ην καζεκαηηθφ κέξνο λα ζθεθηφκαζηε θαη ηε κνξθή ηεο δηαηχπσζεο (ηε γιψζζα). Κάπνηα απφ ηα πεηξάκαηα ηνπ Piaget ακεινχλ ηνλ παξάγνληα απηφ κε απνηέιεζκα λα νδεγνχλ ζε ιάζνο ζπκπεξάζκαηα φπσο απέδεημαλ άιινη εξεπλεηέο (M. Donaldson). Λάζε πνπ έθαλαλ ηα παηδηά θαηά ηελ εθηέιεζε ησλ πεηξακάησλ ηνπ Piaget νθείινληαλ ζε ζεκαληηθφ βαζκφ ζηελ έιιεηςε επηθνηλσλίαο κε ην ηη ηνπο δεηάκε λα θάλνπλ. Δπίζεο δελ είρε δνζεί ζεκαζία ζην πιαίζην (context) ψζηε λα έρεη θάπνην λφεκα γηα ηα παηδηά λα αζρνιεζνχλ κε ην έξγν πνπ ηνπο αλαζέηνπκε θαη φρη απιά λα αλαπηχζζνπλ ζπκπεξηθνξέο πνπ ππνηίζεηαη φηη αλακέλνπκε απφ εθείλα. Σα πξνβιήκαηα ζηα άξζξα ηεο M. Donaldson έρνπλ φια δηαθνξεηηθφ πιαίζην (ή πεξηθείκελν). ηαλ αιιάδεη ην πιαίζην γηα έλα νπζηαζηηθά φκνην πξφβιεκα, αιιάδνπλ φπσο παξαηεξήζεθε, δξακαηηθά θαη νη απαληήζεηο. ( δηαδηθηπαθφο ηφπνο, Θάλνο Σάζηνο, Μαζεκαηηθφο Μ. ed. Παλ. Αζελψλ.) 4.2.5 Η θευπία ηος κοινυνικό-πολιηιζμικού πλαιζίος : Γηα κεγάιν ρξνληθφ δηάζηεκα ε έξεπλα ζηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε επεξεάζηεθε βαζηά απφ ηηο ηδέεο ηνπ Piaget. Η καζεκαηηθή γλψζε ζεσξήζεθε σο πξντφλ ησλ λνεηηθψλ ιεηηνπξγηψλ ηνπ αηφκνπ, αγλνψληαο ηελ επίδξαζε ηνπ πεξηβάιινληνο ζηελ γλσζηηθή αλάπηπμε. Σα ηειεπηαία είθνζη ρξφληα ε ζεκαζία ηνπ θνηλσληθφπνιηηηζκηθνχ πιαηζίνπ ππνγξακκίδεηαη απφ πνιινχο εξεπλεηέο σο "απαξαίηεηε πιεπξά ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο. Οη αλαιχζεηο πνπ εζηηάδνληαη κφλν ζηελ αηνκηθή θαηαζθεπή ηεο καζεκαηηθήο γλψζεηο ιέλε κφλν ην κηζφ κηαο σξαίαο ηζηνξίαο" (P. Cobb). ε κηα ηέηνηα ζεψξεζε, ηδηαίηεξε ζεκαζία δίλεηαη φρη πιένλ ζην άηνκν αιιά ζηελ θνηλσληθή νκάδα, ζην δάζθαιν θαη ζηελ αιιειεπίδξαζε κεηαμχ ησλ κειψλ ηεο. Η δηαδηθαζία ηεο θαηαλφεζεο αληηκεησπίδεηαη σο θνηλσληθή δξαζηεξηφηεηα παξά σο ςπρνινγηθή. Η γλσζηηθή αλάπηπμε επεξεάδεηαη απφ ηηο 22

πξνζσπηθέο εκπεηξίεο ηνπ θάζε αηφκνπ, ηελ πνηθηιία ησλ λνεκάησλ κέζσ ηεο γιψζζαο θαη ην πψο ηα αληηιακβάλεηαη κέζα απφ ζπδεηήζεηο, ππνδείμεηο, πξνζσπηθά ζπκπεξάζκαηα θαη αλαζθεπέο. Γεληθά νη "πνιηηηζκηθέο ζεσξίεο" ππνζηεξίδνπλ φηη νη θνηλσληθέο δηαδηθαζίεο δελ είλαη θάηη έμσ απ' ηε κάζεζε πνπ απιά ηελ επεξεάδεη, αιιά απνηειεί βαζηθφ ηεο ζπζηαηηθφ. Η κάζεζε νπζηαζηηθά ζπληειείηαη κέζα απφ ζπκκεηνρή ζε δξαζηεξηφηεηεο κηαο θνηλσληθήο νκάδαο θαη απαηηεί ηε δηαπξαγκάηεπζε ηνπ λνήκαηνο ζην πιαίζην ηεο δξαζηεξηφηεηαο. Δηδηθφηεξα ε κάζεζε ησλ Μαζεκαηηθψλ είλαη κηα επηθνηλσληαθή δξαζηεξηφηεηα. Δμσηεξηθνί παξάγνληεο κάζεζεο: Πνιηηηζηηθνί: θνηλψο απνδεθηά "εξγαιεία"-κεζνδνινγίεο, επηζηεκνινγία θηινζνθηθέο αληηιήςεηο, πνιηηηζκηθφ πιαίζην, θνηλσληθνί νξγαληζκνί, πεπνηζήζεηο, θπζηθά εξγαιεία, ηερλνγλσζία... Κνηλσληθνί: πκπεξηθνξά άιισλ αλζξψπσλ ηνπ πεξηβάιινληνο, νηθνγέλεηα, δηαδηθαζίεο αιιειεπίδξαζεο θαη ηξφπνη επηθνηλσλίαο, κέζα καδηθήο ελεκέξσζεο, θνηλσληθφ πιαίζην, βηνηηθφ επίπεδν (πνηφηεηα δσήο), αμίεο ηεο θνηλσλίαο, ηξφπνο δσήο, πξφζβαζε ζηελ πιεξνθνξία (δηαδίθηπν)... 4.2.6 Η μάθηζη μέζυ ανακάλςτηρ ηος Jerome Bruner (discovery learning) O J. Bruner ππνζηήξημε ηελ αλαθαιππηηθή πξνζέγγηζε ζηε κάζεζε θαη δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθψλ. Η κάζεζε ησλ Μαζεκαηηθψλ απαηηεί ελεξγή ζπκκεηνρή ηνπ καζεηή, αλαθαηαζθεπή ηεο γλψζεο, πεηξακαηηζκφ, εμεξεχλεζε, αλαθάιπςε. Σφληζε ηελ ζεκαζία ηεο θαιιηέξγεηαο ηεο δηαηζζεηηθήο ζθέςεο ε νπνία ζπλίζηαηαη ζηελ ηθαλφηεηα λα θηάζεη θαλείο μαθληθά ζηε ιχζε ελφο πξνβιήκαηνο κε κηα αλαπάληερε έκπλεπζε ηεο ζηηγκήο θαη ηελ ηθαλφηεηα λα δηακνξθψλεη γξήγνξα εχζηνρεο εηθαζίεο ή λα επηιέγεη κεηαμχ ησλ πηζαλψλ κεζφδσλ ιχζεο ηελ πην απνδνηηθή θαη γφληκε. Η δηαηζζεηηθή ζθέςε, αληίζεηα κε ηελ αλαιπηηθή, δελ πξνρσξά κε βαζκηαία ζαθή βήκαηα θαη ε θαηαλφεζε ησλ ιεηηνπξγηψλ κε ηελ νπνία πξνρσξά είλαη αδχλαηε. Βαζίδεηαη ζηελ νηθεηφηεηα κε ην ζρεηηθφ ζέκα θαη ηελ θαηαλφεζε ηεο δνκήο ηνπ. Η δηαδηθαζία κάζεζεο θαηά ηνλ J. Bruner αθνινπζεί ηελ εμήο πνξεία: 1. Ο καζεηήο ρεηξίδεηαη θαη επεμεξγάδεηαη απ' επζείαο ηα δηάθνξα πιηθά 23

2. Ο καζεηήο αλαθαιχπηεη θάπνηεο θαλνληθφηεηεο θαη πξφηππα ηα νπνία αληηζηνηρνχλ ζηα δηαηζζεηηθά πξφηππα ηα νπνία έρεη ήδε δηακνξθψζεη. πλδπάδεη δειαδή ηηο εκπεηξίεο ηνπ απφ ηνλ εμσηεξηθφ θφζκν κε θάπνηα κνληέια ζην κπαιφ ηνπ. 3. Οη ππάξρνπζεο ηδέεο θαη αληηιήςεηο ηνπ καζεηή αλαδηνξγαλψλνληαη ψζηε λα πξνζαξκνζηνχλ θαη λα ζπκκνξθσζνχλ κε ηηο θαηαζηάζεηο ηεο θπζηθήο εκπεηξίαο (ζπκθσλψληαο κε ηελ άπνςε ηνπ Piaget). 4.2.7 Καηαζκεςαζηική θευπία ηηρ γνώζηρ (Costructivism) Ο φξνο "constructivism" πξσηνεκθαλίζηεθε ζηνλ ηίηιν ελφο άξζξνπ ηνπ Von Glaserfeld ην 1983. ην άξζξν απηφ ηνλίδεη φηη δελ είλαη νη επεκβάζεηο ησλ ελειίθσλ θαζ' εαπηέο πνπ επηδξνχλ ζηελ θαηαζθεπή ηεο γλψζεο ηνπ παηδηνχ, αιιά νη εκπεηξίεο ηνπ παηδηνχ απ' απηέο ηηο επεκβάζεηο, έηζη φπσο απηφ ηηο εξκελεχεη βαζηδφκελν ζηηο ήδε ππάξρνπζεο γλψζεηο ηνπ. Ο ελήιηθαο δελ κπνξεί λα πξνθαιέζεη ζην παηδί εκπεηξίεο δηακέζνπ ησλ δηθψλ ηνπ εκπεηξηψλ. Δπνκέλσο, ν δάζθαινο δίλεη ηηο επθαηξίεο ζην καζεηή γηα καζεκαηηθέο δξαζηεξηφηεηεο αιιά, αιιά εμαξηάηαη απφ ηνλ ίδην ην καζεηή λα νηθνδνκήζεη ηε δηθή ηνπ γλψζε κέζα απφ ηηο δξαζηεξηφηεηεο απηέο. Ο J. Confrey γξάθεη "Ο θνλζηξνπθηηβηζκφο δηαηππψλεη κηα ζεσξία γηα ηα φξηα ηεο γλψζεο θαη εθθξάδεη ηελ άπνςε φηη φιε ε γλψζε πνπ έρνπκε είλαη πξντφλ ησλ δηθψλ καο λνεηηθψλ ελεξγεηψλ. Γελ κπνξνχκε λα έρνπκε άκεζε γλψζε νπνηαδήπνηε εμσηεξηθήο ή αληηθεηκεληθήο πξαγκαηηθφηεηαο. Καηαζθεπάδνπκε ηελ γλψζε καο κέζσ ησλ εκπεηξηψλ καο θαη ν ραξαθηήξαο ησλ εκπεηξηψλ καο επεξεάδεηαη βαζηά απφ ηνπο γλσζηηθνχο καο "θαθνχο". Οη καζεκαηηθνί ελεξγνχλ ζπλήζσο (ιαλζαζκέλα) ζαλ λα είραλ νη καζεκαηηθέο ηδέεο κηα εμσηεξηθή αλεμάξηεηε χπαξμε". κσο δηαηππψλεηαη έηζη ην εξψηεκα ηνπ ηη είλαη αιήζεηα γηα ηα καζεκαηηθά. χκθσλα κε ηνλ "θνηλσληθφ θνλζηξνπθηηβηζκφ" ην έλα απφ ηα δχν βαζηθά ξεχκαηα ηεο θνλζηξνπθηηβηζηηθήο πξνζέγγηζεο, ην θπζηθφ θαη θνηλσληθφ πεξηβάιινλ επεξεάδνπλ ηε γλψζε ηνπ ππνθεηκέλνπ θαη πεξηνξίδνπλ ην εχξνο ησλ πηζαλψλ θαηαζθεπψλ ηνπ. Ο "ξηδνζπαζηηθφο θνλζηξνπθηηβηζκφο" πξνζδηνξίδεηαη γεληθά απφ ηηο αθφινπζεο δχν αξρέο ηνπ: 1. Η γλψζε θαηαζθεπάδεηαη ελεξγεηηθά απφ ην ππνθείκελν θαη δελ ζπιιακβάλεηαη παζεηηθά απφ ην πεξηβάιινλ 24