مدل و آمار هشتم: فصل درسنامه

سازی مدل و آمار هشتم: فصل درسنامه مدلسازی و اندازهگیری اول: فصل میش وند. تقس یمبندی توصیفی«یا»کیفی و»کم ی«دس تهی دو به اطالعات آنهاس ت. تحلیل و تجزیه و اطالعات جمعآوری علم آمار علم به توصیفی یا کیفی اطالعات نیستند. تفس یر قابل و میش وند مطرح رقم و عدد صورت به که میگوییم اطالعات از دس ته آن به کم ی اطالعات رد قدم اولین باشند. داشته آن از مختلف برداشتهای مختلف شنوندههای است ممکن و باشند تفس یر قابل که میگوییم اطالعات از دس ته آن»اندازهگیری«عددی اطالعات به رسیدن میگوییم. مسأله آن»مدلسازی«را ریاضی زبان به مسأله یک بیان :فیرعت)مدلسازی(: اندازهگیری خطای صورت به آن محاس به و میدهند نمایش E با را خطا معموال میگوییم. اندازهگیریخطای را ش ده اندازهگیری مقدار و واقعی مقدار تفاضل باشد. کمتر اندازهگیری واحد از باید و باشد منفی یا مثبت میتواند ) (E خطا مقدار که کنید توجه» =E واقعی مقدار - تقریبی»مقدار محدودهی در خطا مقدار آن در که میدهند نشان =a + E صورت به آنرا باشد شده اندازهگیری سانتیمتر مربعی ضلع طول ماگر :لاث سانتیمتر > E قدرمطلق که میدهیم نمایش =W /83 5 + E مدل با را او وزن صورت این در شده گزارش کیلو 83/5 فردی وزن کنید مفرض :لاث گرم 500 یا کیلوگرم 0/5 از کمتر E میکنیم. صرفنظر,...(,E3 E )مانند باشند باالتر یا خطا دوم توان شامل که جمالتی از مدلسازی مسائل در است: زیر صورت به () S دایره این مساحت مدل باشد =R + E صورت به دایرهای شعاع ماگر :لاث S=π R=π ( + E) =π ( + E+ E) S π ( + E) با: است برابر تقریبی( صورت )به دایره این مساحت مدل پس کرد صرفنظر E از میتوان باال تذکر طبق است کدام جسم این واقعی جرم شود داده نشان گرم 77 ترازو این با جسمی جرم اگر گرم 3 دیجیتالی ترازوی یک خطای تستتستمیزان گرم 75/5 ) گرم 78/5 )3 گرم 7 ) گرم 80 ) نوشت: میتوان بنابراین خطا«مقدار = واقعی مقدار تقریبی»مقدار پمیدانیم :خسا درست )( گزینهي بنابراین واقعی= 3 مقدار واقعی 77 مقدار 7= نمونه و جامعه دوم: فصل آماریجامعهی کنیم مطالعه را موضوعاتی یا و موضوع میخواهیم آن اعضای دربارهی که افراد یا اشیا از مجموعهای آماری(: :فیرعت)جامعهی میگوییم. جامعهحجم یا جامعهاندازهی را آماری جامعهی اعضای تعداد میگوییم. بررسی این در کنیم. بررسی 39 سال در را کشور کل دبیرستان دوم سال دانشآموزان اول ترم ریاضی نمرهی بخواهیم کنید مفرض :لاث اول ترم ریاضی نمرهی مطالعه مورد موضوع و هستند 39 سال در دبیرستان دوم سال دانشآموزان کل آماری جامعهی آماری آنه

9 داده معموال کردهایم. ماریسرش میگوییم دهیم قرار مطالعه مورد را آماری جامعهی افراد تمام آماری ی بررس یک در اگر ماری(: :فیرعت)سرش از برخی در جامعه رفتن بین از شدن تمام گران بودن وقتگیر جامعه اعضای تمام نبودن ترس دس در مثل کالتی مش با ماری سرش در هستیم. مواجه و مطالعات میگوییم. نمونهحجم یا نمونهاندازهی را نمونه اعضای تعداد میگوییم.»نمونه«را آماری جامعهی یک زیرمجموعهی )نمونه(: هک میشود انتخاب نحوی به که است آماری جامعهی از کوچکی گروه نمونه یک آمار بخش مهمترین»نمونهگیری«عمل باشد. جامعه خصوصیات نمایانگر :زا است عبارت که میکنند جمعآوری روش چهار به را دادهها میگوییم.»داده«را نمونه اندازهگیری یا بررسی از حاصل نتایج پرسش طریق از دادهها جمعآوری - شده تهیه پیش از دادههای - مشاهده طریق از دادهها جمعآوری - آزمایش طریق از دادهها جمعآوری 3- تصادفی اعداد تأثیری هیچ ما ذهنیت که است آن معنای به تصادفی انتخاب کنیم. انتخاب تصادفی طور به اعداد از مجموعهای از را عددی بخواهیم کنید فرض ماشین توسط شده تولید تصادفی عدد است کافی اعداد از تعدادی بین در تصادفی عددی انتخاب برای باش د. نداش ته تصادفی عدد انتخاب در کنیم. اضافه آن به واحد یک و کرده حذف را آمده بهدست عدد اعشاری قسمت سپس کنیم ضرب جامعه اندازهی در را حساب هستند. از کوچکتر و منفی غیر همواره میشوند تولید حساب ماشین توسط که تصادفی اعداد کنیم انتخاب را نمونه آن از میخواهیم که جامعهای اندازهی و باشد 0/73 حساب ماشین توسط شده تولید تصادفی عدد کنید مفرض :لاث 0/ 73 50= 68/ 5 داشت: خواهیم صورت این در باشد 50 میرسیم. 69 عدد به که میکنیم اضافه آن به واحد یک و کرده حذف را عدد اعشاری قسمت اکنون 0/3 برابر حساب ماشین ط توس ده ش تولید تصادفی عدد اگر کنیم. انتخاب تصادف به را عدد یک 90 تا طبیعی اعداد بین از تستتستمیخواهیم است کدام شده انتخاب عدد باشد 5 ) 5 )3 53 ) 5 ) 90 += 50 با: است برابر 90 تا طبیعی اعداد تعداد که کنید توجه پابتدا :خسا کنیم. انتخاب را 5 عدد باید بنابراین کنیم. انتخاب از شروع با را عدد دوازدهمین باید پس 50 /0 =3 / 5 نوشت میتوان اکنون درست )3( گزینهی بنابراین تصادفی متغیرهای سوم: فصل است: زیر بهصورت تصادفی متغیرهای انواع میشود. نامیده تصادفیمتغیر میگیرد قرار بررسی مورد که جامعه اشیاء از مشخصهای و موضوع کم ی: متغیرهای - میشوند: تقسیم دسته دو به و هستند»شمارش«یا»اندازهگیری«قابل که هستند متغیرهایی پزشک یک به کننده مراجعه بیماران تعداد صندوق یک نامههای تعداد مانند هستند شمارشقابل متغیرها این گسسته: کم ی متغیرهای الف(. و روز طول در اتاق در بیمار یک که زمانی صندوق یک در موجود نامههای وزن مانند هس تند اندازهگیریقابل متغیرها این ته: پیوس کم ی متغیرهای ب( منتظر مطب انتظار کیفی: متغیرهای - میشوند: تقسیم دسته دو به و نیستند شمارش و اندازهگیری قابل متغیرها این و دبیرس تان راهنمایی دبس تان صورت به که تحصیلی مراحل مانند دارد وجود طبیعی ترتیب نوعی متغیرها این در ترتیبی: کیفی متغیر الف( کهنسالی و میانسالی جوانی نوجوانی کودکی نوزادی صورت به که زندگی مراحل یا دانشگاه اشیا. رنگ خون RH خونی گروه مانند ندارد وجود ترتیبی هیچگونه کیفی متغیر نوع این در اسمی: کیفی متغیر ب(

0 رامآ و لدم یزاس لصف- متشه است متغیر نوع کدام هواآلودگی تستتستمیزان اسمی - کیفی ( ترتیبی - کیفی 3( پیوسته - کم ی ( گسسته - کم ی ( درست )( گزینهي بنابراین پیوسته و کم ی متغیری پس میکنند اندازهگیری دستگاههایی کمک به را هوا آلودگی پمیزان :خسا فراوانی جدول و دادهها دستهبندی چهارم: فصل میگوییم. فراوانیجدول آن به که میشوند نوشته جدول یک قالب در دادهها معموال مطلق فراوانی x i دادهی مطلق فراوانی میگویند.»فراوانی«اختصار به گاهی را مطلق«x i دادهی مطلق فراوانی شده تکرار داده آن که است دفعاتی تعداد برابر دادهه کل تعداد برابر مطلق فراوانیهای تمام مجموع»فراوانی میدهیم. نشان f i نماد با را این فراوانی جدول صورت این در 9, 6, 6, 6,,,, 9, 8, 8 صورت به نفره 0 کالس یک نمرات کنید مفرض :لاث xi fi 8 9 6 9 3 است: مقابل صورت به دادهها x i 6= دادهی مطلق فراوانی باال جدول طبق نمونه عنوان به 3 برابر مه به نزدیک که دادههایی که میگیرد انجام صورت این به دستهبندی کنیم. دس تهبندی را آنها اس ت بهتر گاهی داده تعدادی بررس ی برای لبق بود. خواهد دقیقتر دستهبندی آن از حاصل نتایج باشد بیشتر دستهها تعداد چقدر هر که است واضح میگیرند. قرار دسته یک در هستند میپردازیم. تغییراتدامنهی تعریف به دستهبندی روش بیان از تغییرات دامنهی میدهند. نمایش R با معموال را تغییرات دامنهی میگوییم. تغییراتدامنهی را داده کوچکترین و بزرگترین بین اختالف R = 9 0= 9 با: است برابر تغییرات دامنهی 9, 8/ 5, 8, 7, 7, 7,, 3/ 5,,,, 0 دادههای مدر :لاث نمیکند. تغییری دادهها تغییرات دامنهی کنیم کم را k ثابت عدد دادهها همهی از یا کنیم اضافه را k ثابت عدد دادهها همهی به اگر میشود. ضرب k در تغییرات دامنهی کنیم ضرب k عدد در را دادهها همهی اگر ترتیب همین به دادههای تغییرات دامنهی ماگر :لاث بود. خواهد تغییرات دامنهی ماگر :لاث 7 برابر نیز x0+ 3,..., x+ 3, x+ 3 دادههای تغییرات دامنهی باشد 7 برابر,...,x0,x x با: است برابر,...,x0,x x دادههای تغییرات دامنهی باشد برابر,...,x0,x x = 8 است کدام 3x5+ 7,..., 3x+ 73, x+ دادههای 7 تغییرات دامنهی باشد 9 برابر x5,..., x, x دادههای تغییرات دامنهی تستتستاگر 9 ) 6 )3 57 ) 6 ) بنابراین ندارد. تغییرات دامنهی در تأثیری دادهها همهی به ثابت عددی کردن کم یا اضافه کردید مالحظه باال مطلب در که پهمانطور :خسا. 3 9= 57 با است برابر +3x5,...,7 +3x 73, +x دادههای 7 تغییرات دامنهی گرفت نتیجه میتوان درست )( گزینهی بنابراین دادهها دستهبندی روش هبساحم دستهها طول کنیم تقسیم دستهها تعداد بر را تغییرات دامنهی اگر میکنیم. محاس به را تغییرات دامنهی ابتدا دادهها دس تهبندی برای هتسد باالی کران b i به و پایین کران a i به آنها در که میگیریم نظر در [ ai, bi) صورت به را دستهها بقیهی آخر دستهی بهجز میشود. میگیریم. نظر در [ ai, bi] صورت به را آخر دستهی که کنید توجه میگوییم.

میگوییم. دستهمرکز یا دستهنشان دسته هر پایین و باال کران میانگین به دسته(: :فیرعت)مرکز بخواهیم اگر 0, 9, 8, 7, 7, 7, 7, 6, 6,,,,,, 8 صورت به نفره 5 کالس یک نمرات کنید مفرض :لاث برابر دستهها طول است R = 0 =8 برابر تغییرات دامنهی اینکه به توجه با کنیم تقسیم دسته به را دادهها این بود: خواهند زیر صورت به دستهها پس = 3 [ 8, ),[, ),[, 7),[ 7, 0 ] IÀ¾Twj IÀ¾Twj q o ± ºH»HoÎ [ 8, ) 9/ 5 [, ) / 5 3 [, 7) 5/ 5 [ 7, 0] 8/ 5 7 است: زیر صورت به شده دستهبندی دادههای این فراوانی جدول اکنون دسته طول با است برابر متوالی دستهی دو مرکز اختالف ن - :هتک دسته طول با است برابر دسته هر باالی کران و پایین کران اختالف - دسته آن طول نصف با است برابر دسته آن مرکز تا دسته هر باال( کران )یا پایین کران فاصلهی 3- دستهی مرکز و سوم دستهی پایین کران باشد داده کمترین اگر 50 تغییرات دامنهی و 5 دستهها تعداد آمارگیری یک مدر :لاث برابر دستهها طول اینکه به توجه با اکنون. 50 = 0 با است برابر دستهها طول میدانیم منظور این برای میکنیم. محاسبه را چهارم 5 هستند: زیر صورت به دستهها این است برابر اول دستهی پایین کران و 0 لوا دستهی :[, ) دوم دستهی :[, ) سوم دستهی :[, 3 ) چهارم دستهی :[ 3, ),... 3+ = 37 با: است برابر چهارم دستهی مرکز و برابر سوم دستهی پایین کران پس مجنپ دستهی باالی کران و 5/8 دوم دستهی مرکز اگر کردهایم. تهبندی دس مساوی طولهای با تههایی دس در را آماری دادهی ری س تستتستیک است کدام هشتم دستهی باالی کران باشد 0 /6 ) /6 )3 3/6 ) 6/3 ) ات دوم دستهی مرکز فاصلهی بگیریم نظر در x را دستهها طول اگر مقابل شکل به توجه پبا :خسا نوشت: میتوان پس است 35 / x برابر پنجم دستهی باالی کران 3/ 5x= 0 5/ 8 x= 6 = / 5 0+ 3x = 0+ 3/ 6= 3/ 6 با: است برابر هشتم دستهی باالی کران گرفت نتیجه میتوان اکنون درست )( گزینهی بنابراین نسبی فراوانی میگویند. دسته آن نسبیفراوانی را آمده بهدست عدد کنیم تقسیم دادهها کل تعداد به را دسته هر فراوانی اگر یک برابر دستهها همهی نسبی فراوانیهای مجموع 5/8 0 دوم دستهي سوم دستهي مچهالايرم دستهي پنجم دستهي

رامآ و لدم یزاس لصف- متشه است کدام +x +y z حاصل روبهرو فراوانی توزیع جدول در تستتست 0/7 ) /7 ) نسبی فراوانی 0/ فراوانی 30 دستهها 0-5 5-0 0-5 x y 0/ z 5/7 )3 /3 ) 0 / + 0 / + z= z= 07 / فهمید: میتوان است برابر نسبی فراوانیهای مجموع که این به توجه پبا :خسا رگا کرد. محاسبه را دادهها کل تعداد میتوان است 0/ و 30 ترتیب به اول دستهی نسبی و مطلق فراوانیهای که این به توجه با اکنون 0/ = 30 n = 50 داریم: کنیم فرض n را دادهها کل تعداد n کنیم: محاسبه را y و x مقدار میتوانیم میدانیم را دادهها کل تعداد و دوم دستهی نسبی فراوانی که آنجا از 0/ = x x= 5, y= 50 ( 30+ 5) = 05 50 0/7 برابر +x +y z حاصل پس درست )( گزینهی بنابراین نسبی درصدفراوانی میگوییم. دسته آن نسبی«فراوانی»درصد را آمده بهدست عدد کنیم ضرب 00 عدد در را دسته هر نسبی فراوانی اگر 00 برابر دستهها همهی نسبی فراوانی درصدهای مجموع برابر سوم دستهی مطلق فراوانی اگر صعودی روندی دارای پنجم تا اول دستههای در دادهها مطلق فراوانی فراوانی توزیع جدول یک تستتستدر باشد میتواند کدام کل فراوانی آنگاه باشد 0 و 5 ترتیب به چهارم و دوم دستههای نسبی فراوانی درصد و باشد 8 8 ) 30 )3 36 ) 3 ) میباشد. 8 00 برابر سوم دستهی نسبی فراوانی درصد بگیریم نظر در n را دادهها کل فراوانی اگر پ :خسا n صعودی روندی هم نسبی فراوانیهای درصد فهمید میتوان پس دارند صعودی روندی دستهها فراوانیهای مسأله صورت طبق طرفی از 5 800 0 0 n 3 n نوشت: میتوان پس دارند دارد. قرار محدوده این در 30 عدد فقط گزینهها بین در درست )3( گزینهی بنابراین فراوانیتجمعی میگوییم. ا م«i دستهی تجمعی»فراوانی را ا م i تا... دوم اول دستههای مطلق فراوانیهای مجموع دادهها. کل تعداد با است برابر آخر دستهی تجمعی فراوانی همچنین برابر آن مطلق فراوانی با اول دستهی تجمعی فراوانی فراوانیتجمعینسبی 00 در را عدد این اگر و میگوییم دس ته آن نس بی«تجمعی»فراوانی آن به کنیم تقس یم دادهها کل تعداد بر را دس ته هر تجمعی فراوانی اگر میگوییم. دسته آن نسبی«تجمعی فراوانی»درصد آن به کنیم ضرب 00 و برابر ترتیب به آخر دستهی نسبی تجمعی فراوانی درصد و نسبی تجمعی فراوانی فراوانی جدول در

3 روش مبحث در را فراوانی جدول 0 و 9 8 7 7 7 7 6 6 8 نمرات با نفره 5 کالس مبرای :لاث بنویسیم. زیر صورت به را جدول میتوانیم نوشتیم دستهبندی فراوانی درصد نسبی تجمعی فراوانی نسبی تجمعی تجمعی فراوانی فراوانی درصد نسبی نسبی فراوانی مطلق فراوانی دسته مرکز دستهها [, 8 ) 9/5 5 00 5 5 00 5 [, ) /5 3 3 5 3 00 5 5 00 5 [, 7) 5/5 5 00 5 8 8 5 8 00 5 [ 7, 0] 8/5 7 7 5 7 00 5 5 00 مجموع =5 مجموع = مجموع = 00 است کدام دوازدهم دستهي نسبی فراوانی درصد باشند برابر هم با دوازدهم و یازدهم دستههای تجمعی فراوانی فراوانی جدول یک در تستتستاگر 00 % ) صفر )3 0 % ) % ) هک این به توجه با اکنون دوازدهم«دستهي تجمعی فراوانی = یازدهم دستهی تجمعی فراوانی + دوازدهم دستهی مطلق»فراوانی پمیدانیم :خسا سپ صفر برابر دوازدهم دس تهي مطلق فراوانی فهمید میتوان هس تند برابر هم با دوازدهم و یازدهم دس تههای تجمعی فراوانی درست )3( گزینهي بنابراین صفر برابر دسته این در نیز نسبی( فراوانی درصد )و نسبی فراوانی دادهها تحلیل و نمودارها پنجم: فصل میکنیم: معرفی را نمودارها انواع ادامه در هستند. آماری جامعهی یک ویژگیهای کشیدن تصویر به برای سودمند وسیلهای نمودارها میلهای نمودار شده تشکیل اصلی قسمت سه از میلهای نمودار شود. نوشته خالصه بهطور مطالعه مورد موضوع باید نمودار هر زیر عنوان: الف( میدهد. نشان محور آن که است متغیری مشخصکنندهی که دارند برچسبی محورها از یک هر محورها: برچسب ب( باشد. مشخص باید محور هر مقیاس مقیاس: پ( باشد 0, 0, 0, 0, 0, 7, 5, 5, 5,,, 0, 0, 0, 0 صورت به کالس یک ریاضی درس نهایی امتحان نمرات ماگر :لاث است: زیر صورت به نمرات این میلهای نمودار ره فراوانی و افقی محور روی را دستهها مرکز شده دستهبندی دادههای برای میلهای نمودار رسم در بودند. نشده دستهبندی دادهها باال مثال در دستهها طول برابر متوالی میلهی دو هر فاصلهی که است واضح حالت این در میگیریم. نظر در ها( y )محور عمودی محور روی را دسته مناسب کیفی متغیرهای و گسسته کم ی متغیرهای برای بیشتر میلهای نمودار

رامآ و لدم یزاس لصف- متشه مستطیلی نمودار مستطیلها سطح آن در که است شده دستهبندی دادههای از نمایشی نمودار این مناس ب پیوسته کم ی متغیرهای برای مس تطیلی نمودار دسته طول آن اضالع از یکی باشد یکسان دستهها همهی طول اگر که دارد مستطیلی دسته هر نمودار این در دس تهها فراوانی با متناس ب دسته آن فراوانی دیگرش ضلع و, 8, 7, 5, / 5,, 3, / 75, صورت به نفره کالس یک نمرات ماگر :لاث این به توجه با کنیم تقسیم دسته به را آنها بخواهیم و باشد,0,0,/9 5,9,/8 5 /8 5 نمودار و بود خواهد برابر دستهها طول است R = 0 = 8 برابر تغییرات دامنهی که است: مقابل صورت به آن مستطیلی مساحت»مجموع بر دسته«آن به مربوط»مساحت تقسیم طریق از را دسته هر نسبی فراوانی میتوان مستطیلی نمودار به توجه با با: است برابر [, ) دستهی نسبی فراوانی قبل مثال مستطیلی نمودار در مثال عنوان به کرد. محاسبه مستطیلها«همهی 6 8 دسته«. طول دادهها کل»تعداد با است برابر باشند یکسان دستهها همهی طول وقتی مستطیلی نمودار یک زیر مساحت n =90 دادهها کل تعداد اگر 50 شدهاند دستهبندی مساوی طولهای با دستههایی در که داده n مستطیلی نمودار زیر تستتستمساحت است کدام دسته هر طول باشد 0 ) 9 )3 6 ) ) میتوان پس دادهها«. کل تعداد دسته»طول با است برابر شرایطی چنین در مستطیلی نمودار یک زیر مساحت شد گفته که پهمانطور :خسا میگیریم( نظر در x را دستهها )طول نوشت: درست )( گزینهی بنابراین 50= 90x x= 6 فراوانی چندبر 3»چندبر نمودار رسم برای میدهد. نمایش مستطیلی نمودار از بهتر را.(.. و دما قد وزن )مانند پیوسته متغیر یک تغییرات فراوانی چندبر نمودار نآ سپس دستهباشد. آن به مربوط فراوانی آنها از یک هر عرض و دستهها مرکز آنها طول که میگیریم نظر در را صفحه از نقاطی فراوانی«سطح با چندبر زیر سطح و شود ایجاد بسته شکل به فراوانیچندبر منحنی آنکه برای انتها در میکنیم. متصل یکدیگر به ترتیب به را نقاط میگیریم. نظر در نمودار انتهای و ابتدا در صفر فراوانی با دسته دو شود یکسان مستطیلی نمودار زیر میگوییم. نسبی«فراوانی»چندبر آنرا که کرد رسم نیز نسبی فراوانی داشتن با میتوان را فراوانی چندبر نمودار )نمودار مستطیلی نمودار روی از زیر شکل مدر :لاث شده مشخص نقاط کمک به و چپ( سمت رسم راست( )سمت فراوانیچندبر نمودار برای میکنید مالحظه که همانطور شده نقاط از فراوانیچندبر رسم ( 0, ),( 9, ),( 7, 6),( 5, 3),( 3, 5),( 0, ) که میکنیم یادآوری شده استفاده مساحت با»مستطیلی«نمودار زیر مساحت برابر فراوانیچندبر نمودار زیر

5 شده تشکیل فراوانی چندبر نمودار دوم و اول نقاط طولهای د باش 5 آن فراوانی و [,9 5 ) بهصورت فراوانی جدول یک اول تهي دس تستستستهرگاه هستند اعدادی چه ترتیب به, صفر ) 6, 5 )3 5, صفر ), 6 ) فراوانی با دسته یک اول دس تهي از قبل و میدهیم قرار ها x محور روی بر را دس ته هر مرکز فراوانی چندبر نمودار در که کنید پتوجه :خسا چندبر دوم نقطهي فهمید میتوان پس دستهها طول برابر متوالی نقاط بین فاصلهي که کنید توجه میکنیم. اضافه نمودار به صفر +9 5 = با برابر که است [,9 5 ) دستهي مرکز برابر فراوانی درست )( گزینهي بنابراین. 6= 6 با است برابر اول نقطهي طول و دایرهای نمودار این رسم برای اس ت. دایرهاینمودار دهد قرار دید معرض در س رعت به را دادهها در موجود اطالعات میتواند که نمودارهایی از دیگر یکی میکنیم: عمل چنین نمودار ابتدا f+ f +... + fk = n و باشد fk,..., f, f ترتیب به آنها فراوانیهای که باشد حالت k دارای ما مطالعهی مورد تصادفی متغیر اگر یزکرم زاویهی که بهطوری میکنیم تقسیم قسمت k به مرکزی زاویههای کمک به را دایره این سپس میکنیم. رسم دلخواه شعاع به دایرهای iام دستهی مرکزی زاویهی f i n 360 با: است برابر ( f i فراوانی )با ا م i دستهی 9, 9, 9, 9, 8, 7, 7, 7, 5, 5 صورت به نفره 0 کالس یک نمرات ماگر :لاث است: زیر صورت به دایرهای نمودار باشد 5 نمرهی به مربوط زاویهی = 360= 7 0 0 7 نمرهی به مربوط زاویهی = 3 360 = 08 0 0 8 نمرهی به مربوط زاویهی = 360= 36 0 0 9 نمرهی به مربوط زاویهی = 360 = 0 0 است کدام دایرهای نمودار در 7/5 مرکز با دستهای به مربوط مرکزی زاویهي مقابل مستطیلی نمودار تستستستدر 0 60 ) 0 7 ) 0 80 )3 0 75 ) نسبی فراوانی باید دایرهای نمودار در دسته این مرکزی زاویهي تعیین برای بنابراین اس ت. 7/5 برابر دس ته مرکز ] 69 (, دس تهي پدر :خسا کنیم: ضرب 360 در را دسته این 7/5 مرکز به دستهای به مربوط مرکزی زاویهي = 3600= 3600= 70 + + 6+ 8 0 درست )( گزینهي بنابراین

6 رامآ و لدم یزاس لصف- متشه برگ و ساقه نمودار 0, 0, 0, 0,,,, 3, 50, 5, 5, 56, 56, 56, 57 کنید: دقت مقابل آماری دادههای به داد: نمایش میشود نامیده برگ«و ساقه»نمودار که زیر نمودار صورت به میتوان را دادهها این om ¾ Iw 0 0 0 0 3 5 0 6 6 6 7 = :nhj¼µº kã± مینامند.»برگ«را ستون این روبهروی اعداد و»ساقه«است عدد تعدادی مشترک قسمت بیانگر که را چپ سمت ستون باال نمودار در میدهیم: نمایش برگ و ساقه نمودار با را زیر اعشاری مدادههای :لاث, /, /, /,,, / 3, / 3, / 3, / 5, 3, 3, 3, 3/ 9 ¾ Iw om 0 0 0 3 3 3 5 3 0 0 0 9 = /:nhj¼µº kã± 5 کرد. استفاده برگ و ساقه نمودار از میتوان است هم شبیه آنها صحیح قسمت که اعشاری اعداد نمایش برای میکنید مالحظه که همانطور داد. خواهیم توضیح میانه معرفی از بعد را جعبهای نمودار مرکزی شاخصهای ششم: فصل هنایم )ن ما( م د از: هستند عبارت مرکزی شاخصهای میکند. معرفی را دادهها تمرکز محل که میشود گفته شاخصهایی به مرکزی شاخصهای میپردازیم. یک هر بررسی به که میانگین و )ن ما( م د دارد. را فراوانی بیشترین که است دادهای م د دارد. را فراوانی بیشترین چون است م د 8 عدد 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 0, 0 دادههای مدر :لاث این به هستند 9 و 6 م د دو دارای 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 0 دادههای مثال عنوان به نباشد فرد به منحصر است ممکن م د نیست. معتبری شاخص جامعهها قبیل این در م د باشد. هم م دیچند است ممکن جامعه میگویند. م دی جوامع نوع است کدام م د مقابل برگ و ساقه نمودار تستستستدر ) ) ) 0 )3 برابر م د مقدار پس اس ت فراوانی بیشترین دارای دادهي نمودار به توجه پب ا :خسا درست )( گزینهي بنابراین ساقه 0 برگ 3 3 3 میانه دادعت اگر هندسه!!( در مثلث میانهی تعریف )مشابه میگویند.»میانه«را میگیرد قرار دادهها همهی وسط که دادهای دادهها کردن مرتب از پس میگیریم. نظر در میانه را وسط دادهی دو میانگین باشد زوج دادهها 7 برابر دادهها کردن مرتب از پس 7, 5,, 8, 9, 0, دادههای ممیانهی :لاث 5 + 6 = 5 / 5 با: است برابر,, 5, 6, 7, 0 دادههای ممیانهی :لاث نیست. دادهها از عضوی لزوما میانه میکنید مالحظه که همانطور (,00, 700 ) و,) 03, ) جامعهی دو هر در مثال عنوان به نمیدهند. نشان حساسیتی دادهها اندازهی به نسبت هیچکدام مد و میانه برقرار نیز م د مورد در مطلب همین متفاوت خیلی جامعه دو این در دادهها اندازهی حالیکه در است عدد میانه

7 8, 0,, 7, 8, 9 باشد 5 برابر دادهها میانهي تا کنیم جمع عددی چه با را زیر دادههای از یک تستستستهر ) /5 )3 /5 ) ) :دوب خواهد زیر بهصورت دادهها میانهي صورت این در کردهایم. اضافه واحد x دادهها همهی به که کنید پفرض :خسا درست )( گزینهی بنابراین جعبهای نمودار ( + x) + ( 7+ x) میانه = 5= 8+ x 30= 8+ x x= هیچکدام ولی مفیدند بسیار دادهها مقایسهی برای همگی س اقهوبرگ( و دایرهای چندبر مس تطیلی )میلهای ش ناختهایم تاکنون که نمودارهایی کمترین یا داده بیشترین میانگین متمرکزند داده کدام اطراف در بیشتر»دادهها و هس تند «نزدیک هم به دادهها»آیا قبیل از س ؤاالتی به میپردازیم. آن رسم روش به که دارد کاربرد جعبهای نمودار سؤاالت گونه این به پاسخ برای نمیدهند. پاسخ داده «میدهیم. نمایش Q با آنرا و میگوییم اول چارک دارند( قرار میانه از قبل که )دادههایی دادهها اول نیمهی میانهی به اول: چارک.تسا میانه همان دوم چارک پس میدهیم. نمایش Q با آنرا و میگوییم دوم چارک دادهها همهی میانهی به دوم: چارک میدهیم. نمایش Q 3 با آنرا و میگوییم سوم چارک دارند( قرار میانه از بعد که )دادههایی دادهها دوم نیمهی میانهی به سوم: چارک سوم چارک )میانه( دوم چارک اول چارک داده کوچکترین مقدار پنج اس اس بر را دادهها که س اس تصویری نموداری جعبهای :فیرعتنمودار میدهد. نمایش داده بزرگترین و میشود: تعیین زیر صورت به, 3,,, 5, 5, 9 شدهی مرتب دادههای جعبهای منمودار :لاث, 3,,, 5, 5, 9 Q = 3 Q = Q = 5 3 میشود: تعیین زیر صورت به,,5,6,7,8 0 مرتبشدهی دادههای جعبهای منمودار :لاث Q= 5 Q3= 8, 5, 6, 7, 8, 0 Q = 6+ 7 = 6 / 5 دارند قرار سوم و اول چارک بین عضوی مجموعهي یک دادههای از تعدادی تستستستچه 3 ) 6 )3 7 ) 5 ) میانهي فهمید هستند.(میتوان متمایز دادهها که کنید )توجه بگیریم نظر در,a,a, a مرتب بهصورت را نظر مورد دادههای پاگر :خسا میانگین a + a بین a, a5,, a9 دادههای پس Q3 = 9 0 a + a برابر دادهها دوم نیمهي میانهي و =Q 3 برابر دادهها اول نیمهي درست )3( گزینهي بنابراین تا 6 آنها تعداد که هستند سوم چارک و اول چارک نمایش x با را xn,..., x, x دادههای میانگین دادهها مرکزیت دادن نشان برای خوبی شاخص و است دادهها معدل معنای به میانگین میشود: تعریف زیر صورت به و میدهیم n xi x + x +... + x x = n = i= n n 6

8 رامآ و لدم یزاس لصف- متشه x = + 3+ + 5+ 5+ 5+ 6+ 36 = 36 = 7 8 8 با: است برابر, 3,, 5, 5, 5, 6, 36 دادههای ممیانگین :لاث )وزنی( وزندار میانگین زیر جدول در میتوانیم سادگی برای را دادهها این باش ند fn,..., f, f ضریبهای دارای ترتیب به xn,..., x, x دادههای کنید فرض I À ½ j H j ( p») KÄo x x... xn f f... fn کنیم: خالصه میشود: محاسبه زیر صورت به مربوط ضرایب احتساب با باال دادههای میانگین صورت این در n fi. xi f. x + f. x +... + fn. x ºp» ëºIà = n = i= f + f +... + f n n fi i= است چقدر او نمرات وزندار میانگین مقابل صورت به دانشآموزی منمرات :لاث ½oµº 9 8 5 0 KÄo 3 وزنی میانگین = 3 9+ 8+ 5+ 0 = 8 = 8 / 5 3+ ++ 8 میانگین شوند قائل وزندار میانگین و معمولی میانگین بین تمایزی بخواهند اگر و میدهند نشان x نماد با نیز را وزندار میانگین میدهند. نشان x w نماد با را وزندار میکنیم. استفاده دسته هر مرکز از ها x i جای به هستیم مواجه شده دستهبندی دادههای با که مواردی در میانگین فرمول به توجه با میآوریم: بهدست را جدول این دادههای میانگین اکنون کنید توجه مقابل جدول مبه :لاث ¾Twj [ 0, 5) [ 5, 0) [ 0, 5) [ 5, 0] ºH»HoÎ 7 6 x = / 5+ 7/ 5+ 7 / 5+ 6 7/ 5 = 05 / 8 ++ 7+ 6 6 با: است برابر دادهها این وزنی میانگین پس است 7/5 و 5755,/,/ / ترتیب به دستهها مرکز میدانیم درس ادبیات معارف زبان اختصاصی حداقل اگر س. اس ده ش داده نمایش داوطلبی رات نم درصد ل مقاب دول ج تستستستدر درصد 90 8 70 است کدام پذیرش برای وی ادبیات نمرهي حداقل باشد 75 پذیرش برای میانگین ضریب 3 8 7 ) 7 ) 7 ) 73 )3 میگیریم.( نظر در a را ادبیات درس )درصد میکنیم: محاسبه را فرد این میانگین وزندار میانگین فرمول کمک به پابتدا :خسا a + ( 90) + 3( 8) + 8( 70) x = = a + 983 + + 3+ 8 7 نوشت: میتوان اکنون a + 983 75 a+ 983 75 a 73 7 درست )3( گزینهي بنابراین بزند. درصد 73 را ادبیات درس باید حداقل پس

9 میانگین ویژگیهای ax± b نماد با را ax n ± b,..., ax± b, ax ± b دادههای میانگین صورت این در باش د xn,..., x, x دادههای میانگین x اگر - ax± =b ax± b داریم: و میدهیم نشان اگر همچنین میش ود. جمع عدد همان با نیز اولیه میانگین کنیم جمع ثابت عدد یک با را دادهها همهی اگر که اس ت آن معنای به باال تس اوی میشود. ضرب عدد همان در نیز اولیه میانگین کنیم ضرب ثابت عدد یک در را دادهها همهی xn,..., x, x دادههای میانگین x اگر - یعنی: صفر برابر میانگین از دادهها اختالف مجموع آنگاه باشد با: است برابر میانگین از دادهها اختالف مجموع برابر,,,7,8 0 دادههای ممیانگین :لاث میانه و میانگین مقایسهی n ( x x ) + ( x x ) +... + ( x n x ) = ( x i x ) = 0 i= ( ) + ( ) + ( 7 ) + ( 8 ) + ( 0 ) = 8+ 5+ 6+ 8= 0 کوچکتر میانگین به نس بت دادهها اکثریت که اس ت آن معنای به باش د کوچکتر میانگین از میانه اگر بزرگتر میانگین از دادهها اکثریت که اس ت آن معنای به باش د بزرگتر میانگین از میانه اگر هس تند. هستند. هستند. برابر هم با مد و میانه میانگین مقادیر مقابل( )شکل نرمال منحنی در میانگین محاسبهی سریع روش نظر در میانگین برای حدسی مقداری ابتدا کنیم. محاسبه را 0, 0, 0, 0, 9, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5 اعداد میانگین میخواهیم کنید فرض xi x اس ت کافی اکنون میگیریم. نظر در را 8 مقدار اینجا در ما میگیریم و کرده محاس به را دادهها از یک هر میانگین( با داده )تفاضل کنیم. اضافه شده زده حدس میانگین به را آن و کنیم محاسبه را آنها میانگین ( 0 8) + ( 9 8) + ( 8 8) + ( 7 8) + ( 6 8) + 3( 5 8) = = 3 8 = 53 با: است برابر واقعی میانگین پس 3 3 جملهی دو میانگین )یا وسط جملهی برابر دادهها میانگین باشند حسابی دنبالهی یک از متوالی جمالت از تعدادی دادهها ناگر :هتک وسط( 7 برابر 3 و 5 7 9 3 دادههای ممیانگین :لاث 8+ 9 = 3 / 5 برابر آنها میانگین باشند حسابی دنبالهی یک متوالی جمالت x و y 8 9 a b دادههای ماگر :لاث A t RHoµº : 0, 0, 0, 0, 0, 0 Bt RHoµº :,,, 6, 6, 6 پراکندگی شاخصهای هفتم: فصل باشند: مقابل صورت به B» A کالس دو نمرات کنید فرض نمراتپراکندگی آن و دارند تفاوت هم با جهتی از کالس دو این ولی 5 برابر کالس دو هر نمرات میانگین که فهمید میتوان راحتی به هستند. نزدیکتر هم به نمرات B کالس در دیگر عبارت به B کالس از بیشتر خیلی A کالس در نمرات پراکندگی کنید توجه عبارتاند شاخصها این دارند. نام پراکندگیشاخصهای میکنند مشخص آماری جامعهی یک در را دادهها پراکندگی میزان که شاخصهایی میپردازیم. آنها بررسی به که تغییرات ضریب و معیار انحراف واریانس تغییرات دامنهی از

30 رامآ و لدم یزاس لصف- متشه دامنهیتغییرات تارمن تغییرات دامنهی نمونه عنوان به میگوییم. تغییراتدامن هی را داده کوچکترین و بزرگترین بین اختالف گفتیم قبال ک ه همانط ور زا بیشتر A کالس تغییرات دامنهی میکنید مالحظه که طور همان برابر B کالس نمرات تغییرات دامنهی و 0 برابر A کالس B کالس تغییرات دامنهی واریانس آماری دادههای واریانس کوچک حروف از σ ( میش ود: محاس به زیر صورت دو از یکی به و میدهند نمایش σ نماد با را xn,...,,x x است.( آن بزرگ حرف میشود. خوانده سیگما و است یونانی ( x x) + ( x x) +... + ( xn x) ( xi x) σ = = n n x+ x+... + x n x σ = ( x) = i ( x) n n x = + + 3+ + 5 = 3 میکنیم: محاسبه را میانگین ابتدا فرمول دو هر با 53,,,, دادههای واریانس محاسبهی مبرای :لاث 5 نوشت: میتوان واریانس اول فرمول طبق اکنون ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) σ 3 3 3 3 3 5 3 = = ++++ 0 = 5 5 میکنیم: محاسبه را دادهها این واریانس دوم فرمول از حال σ = + + 3 + + 5 () 3 = 55 9= 5 5 است کدام دادهها واریانس باشد a و,,, بهصورت 09 دادهها میانگین از دادهها تفاضل تستستستاگر 35 ) 30 )3 5 ) 0 ) نوشت: میتوان پس است صفر برابر همواره دادهها میانگین از انحراف مجموع پمیدانیم :خسا a +++= 0 9 0 a= 7 کرد: محاسبه زیر بهصورت را واریانس میتوان اکنون ( xi x) ( ) + ( ) + + + σ 7 0 9 = = = 50 = 30 n 5 5 درست )3( گزینهی بنابراین نحوی به دادهها مربعات مجموع که مواقعی در فقط شود. استفاده واریانس فرمول کدام از نمیکند فرقی کردید مالحظه که همانطور کنیم. استفاده واریانس دوم فرمول از است بهتر باشد مطرح مسأله در نوشت: میتوان دادهها واریانس محاسبهی برای باشد 900 برابر آنها مربعات مجموع و 0 برابر آماری دادهی 0 مجموع ماگر :لاث x = 0 = 7 0 σ = 900 7 = 95 9 = 6 0 مقابل بهصورت را آنها واریانس باشد σ = fi( xi x) fi ) x + x +... + x 0 = 900 که کنید )توجه کرد: محاسبه دوم فرمول از را واریانس میتوان اکنون میکنیم: محاسبه x n و x x بهترتیب آنها دستههای نشان و باشند شده دستهبندی دادهها اگر

3 است چقدر واریانس مقابل شدهی دستهبندی دادههای تجمعی فراوانی جدول تستستستدر دسته حدود 0- - -6 6-8 ) /75 ) تجمعی فراوانی 3 6 /5 ) /5 )3 است: مقابل بهصورت نظر مورد دادههای مطلق فراوانی پجدول :خسا دسته حدود 0- - -6 6-8 مطلق فراوانی 9 میآید: بهدست زیر بهصورت دادهها این واریانس و میانگین بنابراین ( ) + ( ) + ( ) + ( ) x = + 3+ 9 5+ 7 = 80 =, σ 5 3 5 95 5 7 5 5 = = 5 / + + 9+ 6 6 درست )( گزینهي بنابراین واریانس دربارهی نکاتی برابرند. هم با دادهها همهی صورت این در باشد صفر واریانس اگر یعنی برعکس و است صفر آنها واریانس باشند برابر دادهها اگر - صفر برابر,393,393,393 393 دادههای مواریانس :لاث نوشت: میتوان پس برابرند. هم با دادهها همهی دریافت میتوان باشد صفر برابر, b 7 a, دادههای واریانس ماگر :لاث a = 7 a= 8, b = 7 b= 9 یکی موضوع )این مترمربع برحسب واریانس باشند متر برحس ب دادهها اگر مثال عنوان به دادههاس ت. واحد مجذور واریانس واحد - است.( واریانس از استفاده معایب از عدد در را دادهها این اگر ولی نمیکند. تغیی ری دادهها واریانس کنیم تفریق( )یا جمع b ثابت عدد ب ا را xn,..., x, x دادهه ای اگ ر 3- σ ax± b = aσ x 8 برابر نیز نوشت: میتوان زیر صورت به را مطلب این میشود. ضرب a در اولیه واریانس کنیم ضرب a حقیقی xn + 3,..., x+ 3, x+ 3 دادههای واریانس باشد 8 برابر xn,..., x, x م :لاث دادههای واریانس اگر 5= 0 با: است برابر xn,..., x, x دادههای واریانس باشد 5 برابر xn,..., x, x دادههای واریانس اگر م :لاث 9 7= 63 با: است برابر 3xn + 3,..., 3x+ 3, 3x+ 3 دادههای واریانس باشد 7 برابر xn,..., x, x دادههای واریانس اگر م :لاث دادهی 0 واریانس کنیم حذف دادهها ن بی از تند هس برابر میانگین با که را دادهها از تا 5 اگر س. اس برابر آماری دادهی 5 س تستستستواریان xxxxxx,,,,,, x,..., x0 است کدام باقیمانده 8 ) 9 )3 5 ) ) گرفت: درنظر زیر صورت به را اولیه دادههای میتوان است میانگین با برابر اولیه دادهی 5 از تا 5 که آنجا پاز :خسا ( xi x) ( xi x) σ = = ( xi x) = 00 n 5 نوشت: میتوان حال دادهی 0 واریانس پس نمیدهد. رخ ( xi x) σ = = 00 = 5 0 0 ( xi x) عبارت حاصل و میانگین در تغییری هستند برابر میانگین با که دادهای 5 حذف با با: است برابر باقیمانده درست )( گزینهی بنابراین

3 رامآ و لدم یزاس لصف- متشه معیار انحراف استفاده واریانس جذر از آماری بررسیهای در معموال مشکل این رفع برای دادهه واحد مجذور واریانس واحد کردید مالحظه که همانطور میشود: محاسبه زیر فرمول دو از یکی کمک به و میدهند نمایش σ با آنرا که میگویند معیارانحراف را واریانس جذر میکنند. ( x i x ) x σ= = i ( x) n n یکسان دادهها واحد با معیار انحراف واحد است مشخص نیز فرمول از که همانطور 3 برابر آنها معیار انحراف پس است برابر 3,,, 5, دادههای مواریانس :لاث معیار انحراف ویژگیهای برعکس. و است صفر برابر معیار انحراف باشند برابر هم با دادهها همهی اگر - کنیم ضرب a عدد در را دادهها همهی اگر ولی نمیکند. تغییری آنها معیار انح راف کنیم کم( )یا اضافه را b ثابت عدد دادهها ب ه اگ ر - σ ax± b = a σ x نوشت: میتوان خالصه بهطور میشود. ضرب a در آنها معیار انحراف دادههای معیار انحراف ماگر :لاث با: است برابر xn + 3,..., x+ 3, x+ 3 دادههای معیار انحراف باشد برابر xn,..., x, x = 6 8 0 هی مجموع ای دادهه ار معی راف انح ر تستستستاگ = 8 است کدام B = { 5, 6, 7, 8, 9, 0, } هی مجموع ای دادهه ار معی راف انح آنگاه د باش a ر براب A {,,,,,, } a ) a )3 a ) a ) دس ت به B مجموعهی دادههای کنیم اضافه واحد آنها از کدام هر به و کنیم نصف را A مجموعهی دادههای اگ ر که کنی د پتوج ه :خسا x i با را A مجموعهی دادههای اگر بنابراین میآیند. x i + صورت به B مجموعهی دادههای دهیم نمایش درست )( گزینهی.بنابراین a با است برابر B مجموعهی دادههای معیار انحراف پس هس تند زا میتوان را آنها معیار انحراف و واریانس باشند d نسبت قدر با حسابی دنبالهای x n و x x دادههای ناگر :هتک کرد: محاسبه زیر فرمول n σ = ( ) d, σ= d n ردق با حسابی دنبالهای دادهها این که کنید توجه میکنیم. محاسبه را 3 و 0 7 دادههای معیار انحراف و واریانس ممقادیر :لاث نوشت: میتوان پس n 5= آنها تعداد و هستند 3=d نسبت تغییرات ضریب σ = ( 5 ) 9 = 8, σ= 8 = 3 وزن معیار انحراف و»متر«برحس ب قد معیار انحراف مثال عنوان به اس ت.»همواحد«دادهها با معیار انحراف کردید مالحظه ک ه همانط ور که واحدبدون شاخصی از کنیم مقایسه هم با را متفاوت واحدهای با داده نوع دو پراکندگیهای بتوانیم آنکه برای»کیلوگرم«برحسب میشود: تعریف زیر صورت به و میدهند نمایش CV با را تغییرات ضریب میکنیم. استفاده میشود گفته تغییراتضریب آن به میشود. محاسبه میانگین بر معیار انحراف تقسیم از تغییرات ضریب پس CV= σ x