Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα και την καθημερινή τους διάθεση και συναισθηματική κατάσταση. Είναι χαρακτηριστικό ότι η Διεθνής Ομοσπονδία Ποδοσφαίρου (FIFA) έχει 09 μέλη, ενώ τα Ηνωμένα Έθνη 193 1. Πόσοι από εμάς δεν έχουμε ξυπνήσει με άσχημη διάθεση κάποιο πρωί, επειδή το προηγούμενο βράδυ ο αγαπημένος μας παίκτης αστόχησε σε ένα κρίσιμο πέναλτι σε κάποιο σημαντικό ευρωπαϊκό παιχνίδι; Διαβάζοντας αργότερα τις αθλητικές εφημερίδες, θα μάθουμε ότι ο λόγος που η μπάλα δεν κατέληξε στην επιθυμητή θέση εντός διχτύων σχετίζεται με το ότι ο συγκεκριμένος ποδοσφαιριστής διανύει περίοδο πεσμένης αγωνιστικής απόδοσης ή, ακόμα πιο «επιστημονικά», ότι η αστοχία του οφείλεται στο γεγονός ότι είναι απλά «γκαντέμης» (κατά την ποδοσφαιρική διάλεκτο) όταν εκτελεί πέναλτι κρίσιμα για την ομάδα του. Από την άλλη, ο Νεύτωνας σίγουρα κατέχει τον τίτλο του βασιλιά της κλασικής φυσικής. Είναι εκείνος που έδειξε ότι οι ίδιοι νόμοι που διέπουν την πτώση ενός μήλου, καθορίζουν και την κίνηση των πλανητών εκατομμύρια χιλιόμετρα μακριά μας. Ένα πραγματικά εντυπωσιακό άλμα στην ανθρώπινη γνώση. Πόσοι από εμάς αλήθεια, ακόμα και όσοι διαθέτουμε κάποιες επιστημονικές γνώσεις, έχουμε σκεφτεί ότι ο πραγματικός λόγος που η μπάλα, ύστερα από το πέναλτι του παίκτη μας, κατέληξε στο δοκάρι μπορεί να έχει να κάνει περισσότερο με τους νόμους του Νεύτωνα παρά με την... ατυχία ενός ποδοσφαιριστή; Ποιος από εμάς έχει σκεφτεί ότι γνωρίζοντας τη δύναμη με την οποία ο παίκτης χτύπησε την μπάλα, θα ήταν δυνατόν να προσδιορίσουμε με μαθηματική ακρίβεια το σημείο στο οποίο θα καταλήξει εκείνη στο τέλος της τροχιάς της; Οι νόμοι του Νεύτωνα Οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα, με απλά λόγια, ορίζουν τα εξής: Ένα σώμα που βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας ή που κινείται με σταθερή ταχύτητα διατηρείται στην κατάσταση αυτή εφόσον δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη σε αυτό. Για σώμα που η μάζα του δεν μεταβάλλεται, η συνολική (συνισταμένη) εξωτερική δύναμη F που ασκείται σε αυτό ισούται με τη μάζα (m) επί την επιτάχυνση (a) που εκείνο αποκτά, δηλαδή: F = ma 1 Ποδοσφαιρικές ομοσπονδίες όπως της Σκωτίας, της Ουαλίας, κ.λπ. δεν ανήκουν (τουλάχιστον για την ώρα) σε ανεξάρτητα κράτη.
Εάν ένα σώμα ασκεί μια δύναμη (δράση) σε ένα άλλο, τότε το δεύτερο σώμα θα ασκεί μια δύναμη (αντίδραση) στο πρώτο, ίσου μέτρου (έντασης) και αντίθετης φοράς. Με τη βοήθεια του ποδοσφαίρου μπορούμε να παρουσιάσουμε και τους τρεις αυτούς νόμους. Όταν μια μπάλα βρίσκεται στημένη για μια εκτέλεση, π.χ. ενός πέναλτι, εκείνη θα παραμείνει ακίνητη μέχρι να τη χτυπήσει το πόδι κάποιου παίκτη, ασκώντας σε αυτήν μια δύναμη (1 ος νόμος). Όταν το πόδι ασκήσει τη δύναμη στην μπάλα, κι εκείνη θα ασκήσει μια ίση και αντίθετη δύναμη στο πόδι (3 ος νόμος). Τέλος, ο ος νόμος παρουσιάζεται ως εξής: Όταν η μπάλα φύγει από το πόδι, κατά την πτήση της στον αέρα, ασκούνται σε αυτήν δυο δυνάμεις, το βάρος της (κατακόρυφα προς τα κάτω) και η αντίσταση του αέρα (αντίθετα στην κίνησή της). Εάν το χτύπημα έχει δοθεί με φάλτσο, τότε εμφανίζεται και μια τρίτη δύναμη (η λεγόμενη δύναμη Magnus) με φορά που ορίζεται από το φάλτσο που έχουμε δώσει (π.χ. αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο) και διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής. Για την αντίσταση του αέρα και τη δύναμη Magnus θα μιλήσουμε αναλυτικά σε άλλο κεφάλαιο. Σύμφωνα με τις επιταγές του 3 ου νόμου, η συνολική επίδραση των τριών δυνάμεων προσδίδει στην μπάλα επιτάχυνση αλλάζοντας την ταχύτητα αλλά και την πορεία της. Η δύναμη του βάρους συχνά συγχέεται με την έννοια της μάζας, οπότε αξίζει στο σημείο αυτό να κάνουμε τον κρίσιμο διαχωρισμό. Είναι διαφορετικό πράγμα η μάζα ενός σώματος (που μετριέται σε χιλιόγραμμα) και διαφορετικό πράγμα το βάρος (που μετριέται σε Newton, μονάδα μέτρησης της δύναμης). Η μάζα ενός σώματος είναι το μέτρο αντίστασής του σε οποιαδήποτε μεταβολή της κινητικής του κατάστασης και, όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι μέγεθος μονόμετρο. Είναι πιο δύσκολο να μετακινήσουμε ένα ακίνητο σώμα με μεγάλη μάζα παρά ένα με μικρή. Η μάζα είναι μέγεθος αμετάβλητο και παραμένει η ίδια σε οποιοδήποτε γεωγραφική θέση κι αν βρίσκεται το σώμα. Το βάρος από την άλλη είναι η δύναμη με την οποία έλκεται το σώμα από τη Γη κι έτσι η μονάδα μέτρησής του είναι το Newton. Είναι μέγεθος διανυσματικό με κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης. Ο τύπος που το δίνει είναι ο πολύ γνωστός: W = mg όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Η επιτάχυνση g που αναπτύσσει ένα σώμα εξαιτίας της βαρυτικής έλξης είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος, εξαρτάται όμως από τη γεωγραφική του θέση. Έτσι, για παράδειγμα στον ισημερινό η τιμή της είναι περίπου 9,78m/s, ενώ στους πόλους περίπου 9,83m/s. Αυτό σημαίνει ότι ένα σώμα στους πόλους θα ζυγίζει Τουλάχιστον για ταχύτητες που δεν πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός.
περίπου 0,5% περισσότερο από ότι στον ισημερινό. Μια τυπική μπάλα έχει μάζα 0,43kg. Στους πόλους το βάρος της θα είναι 0,43*9,83 = 4,7Ν, ενώ στον ισημερινό 0,43*9,78 = 4,05Ν. Η μάζα της παραμένει φυσικά η ίδια, αλλά το βάρος έχει μειωθεί. Εάν θέλετε να χάσετε βάρος χωρίς καμία δίαιτα, μετακομίστε κάπου με πιο τροπικό κλίμα. Δυστυχώς όμως η μάζα σας δεν θα αλλάξει. Επιστρέφοντας στην πορεία της μπάλας, εκείνο που έχει σημασία για την ανάλυσή μας είναι ότι εφόσον αυτή θα βρίσκεται κάτω από την επιρροή δυνάμεων, τότε, σύμφωνα με το ο νόμο, θα αποκτήσει μια επιτάχυνση. Εξαιτίας της επιτάχυνσης μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος καθώς και η θέση του κάθε στιγμή. Έτσι, το σχετικό μέγεθος και η κατεύθυνση των τριών δυνάμεων (W = βάρος, D = αντίσταση του αέρα, F M = δύναμη Magnus) που ασκούνται στην μπάλα καθορίζει την πορεία της (βλ. σχήμα.1). Οι δυνάμεις, ως διανυσματικά μεγέθη, μπορούν να σχεδιαστούν και αυτές ως βέλη, με τον ίδιο τρόπο που δείξαμε για την ταχύτητα στο προηγούμενο κεφάλαιο. F M V D W Σχήμα.1: Διάγραμμα δυνάμεων Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση, την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας κάθε στιγμή, θα πρέπει να λύσουμε μια σειρά από πολύπλοκες εξισώσεις, βασισμένες στους τρεις νόμους του Νεύτωνα. Εδώ ακριβώς εισέρχεται ο παράγοντας εκείνος που έχει να κάνει με την εκτελεστική ικανότητα κάθε παίκτη. Τους υπολογισμούς που απαιτούνται για την επίλυση πολύπλοκων εξισώσεων κάθε ποδοσφαιριστής τους αντικαθιστά με την ποδοσφαιρική του εμπειρία και το ταλέντο του.
Όπως φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα, η φορά π.χ. της δύναμης Magnus έχει επίπτωση στην τροχιά της μπάλας και σχετίζεται με το χτύπημα που θα δώσει ο παίκτης. Δίνοντας στον άξονα περιστροφής την κατάλληλη κλίση, η μπάλα δύναται να πάρει τροχιά προς τα δεξιά, προς τα επάνω ή και συνδυασμό των δύο. Για να «παίξει μπάλα» λοιπόν ο Νεύτωνας με τους νόμους του, απαιτείται η βέλτιστη συνεργασία με το σκόρερ της ομάδας. Σχήμα.: Επίδραση δύναμης Magnus στην τροχιά της μπάλας Ένα απλό παράδειγμα Για να έχουμε μια αίσθηση της τροχιάς που μπορεί να πάρει η μπάλα μετά από ένα χτύπημα, θα μελετήσουμε ένα απλό αριθμητικό παράδειγμα 3, κάνοντας κάποιες σημαντικές παραδοχές για να απλουστεύσουμε τους υπολογισμούς. Με τη βοήθεια του Νεύτωνα θα υπολογίσουμε την απόκλιση που προκαλεί το φάλτσο σε ένα χτύπημα φάουλ από τα 5m, με αρχική ταχύτητα 30m/s, με συχνότητα περιστροφής 7Hz, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Για τις περιστροφικές κινήσεις θα μιλήσουμε αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο, ας κρατήσουμε απλά ότι περιστροφή με 7Hz σημαίνει ότι η μπάλα εκτελεί επτά στροφές γύρω από τον εαυτό της σε κάθε δευτερόλεπτο. 3 Για αναλυτικότερη περιγραφή βλέπε το άρθρο μου, B. Σπαθόπουλος, «Η Φυσική της Μπάλας» (010), Περιοδικό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών «Ο Φυσικός Κόσμος», σελ. 40-44.
,66m x F Μ y Σχήμα.3: Παράδειγμα εκτέλεσης φάουλ Οι παραδοχές που κάνουμε είναι ότι η κίνηση περιορίζεται στις δύο διαστάσεις (ας τις ονομάσουμε x και y) αγνοώντας το ύψος που παίρνει η μπάλα και ότι η αντίσταση του αέρα είναι μηδενική. Η αντίσταση του αέρα σίγουρα δεν είναι αμελητέα, για τους σκοπούς του παραδείγματός μας όμως το σφάλμα που επιφέρει η παραδοχή αυτή δεν επηρεάζει σε πολύ μεγάλο βαθμό το αποτέλεσμα. Προτού ξεκινήσουμε, θα πρέπει να δώσουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της δύναμης Magnus. Για μια μπάλα ποδοσφαίρου αυτός κατά προσέγγιση είναι: 3 F M = π ρr Vf Όπου: ρ είναι η πυκνότητα του αέρα, R είναι η ακτίνα της μπάλας, V η ταχύτητα της μπάλας, f είναι η συχνότητα περιστροφής της μπάλας 4. Ο αριθμός π ίσως να γνωρίζετε ότι είναι από τους πιο σημαντικούς στα μαθηματικά και κατά προσέγγιση δίνεται ως 3,14. Η πυκνότητα του αέρα ρ, δηλαδή η μάζα που έχει ανά μονάδα όγκου σε χαμηλό υψόμετρο, είναι περίπου 1,kg/m 3. Έτσι έχουμε: 4 Όπου R 3 = R.R.R.
3 3 F M = π ρr Vf = 3,14 1, 0,11 30 7 = 3, 3N Σύμφωνα με το ο νόμο του Νεύτωνα, η πλάγια αυτή δύναμη θα επιφέρει και μια πλάγια επιτάχυνση με τιμή: 3,3 m a y = = 7,67 0,43 s Ο χρόνος που θα κάνει η μπάλα για να φτάσει στο τέρμα βρίσκεται διαιρώντας απλά την απόσταση x από το τέρμα με την ταχύτητα V της μπάλας 5. Αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή, σύμφωνα με τον τύπο που δώσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η συνολική πλάγια μετατόπιση θα είναι: y = 1 1 x 1 5 a yt = a y = 7,67 =, 66m V 30 Αν και θα πρέπει να θυμόμαστε ότι έχουν γίνει σημαντικές απλουστεύσεις στους υπολογισμούς μας, συμπεραίνουμε ότι η μπάλα θα αποκλίνει κατά,66m από την ευθεία και θα καταλήξει στη δεξιά γωνία του τέρματος. Με τη συνεργασία επιθετικού παίκτη και Νεύτωνα, το χτύπημα θα στεφθεί με απόλυτη επιτυχία. Μια πιο λεπτομερής ανάλυση Εάν θέλουμε να κάνουμε μια πιο λεπτομερή και ακριβή ανάλυση, θα πρέπει να πραγματοποιήσουμε πλήρη επίλυση των περίπλοκων εξισώσεων που προκύπτουν από τη μαθηματική εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα. Χρησιμοποιώντας το κατάλληλο λογισμικό, μπορούμε να προσομοιώσουμε την κίνηση της μπάλας για σημαντικές φάσεις του αγώνα, όπως το φάουλ έξω από την περιοχή και το κόρνερ. Η τεχνική που χρησιμοποιείται είναι ουσιαστικά η ίδια που εφαρμόζεται και στους προσομοιωτές αεροσκαφών και με απλά λόγια περιγράφεται ως εξής: Σε κάθε χρονικό σημείο υπολογίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται. Από τις δυνάμεις και με τη χρήση του ου νόμου του Νεύτωνα υπολογίζουμε τις επιταχύνσεις. Γνωρίζοντας την επιτάχυνση στο χρονικό σημείο t, μπορούμε να υπολογίσουμε ποια θα είναι η ταχύτητα και η θέση της μπάλας μετά από χρόνο δt, αρκεί το δt να είναι αρκετά μικρό (σίγουρα μικρότερο του ενός δευτερολέπτου). Ουσιαστικά λοιπόν, γνωρίζοντας τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε μια δεδομένη στιγμή, μπορούμε να υπολογίσουμε τη νέα του ταχύτητα και θέση σε μια χρονική στιγμή 5 Από τον τύπο της ταχύτητας x V = t