2 Συναγωγή και Διάχυση

Συναγωγή και Διάχυση Στη φύση, η μεταφορά μάζας στα ρευστά εμφανίζεται ως συνδυασμός διάχυσης και συναγωγής. Στο προηγούμενο κεφάλαιο συζητήθηκε η μεταφορά μάζας με το μηχανισμό της διάχυσης καθώς και η εξίσωση διάχυσης, για τον υπολογισμό της μεταφοράς μάζας με διάχυση σε ακίνητα ρευστά. Σ αυτό το κεφάλαιο θα εισάγουμε το μηχανισμό της συναγωγής μέσα στην εξίσωση διάχυσης και έτσι θα εξάγουμε μία γενικότερη εξίσωση μεταφοράς. Επίσης θα παρουσιαστεί ένας αριθμός αναλυτικών λύσεων με εφαρμογή σε συγκεκριμένες γεωμετρίες και προβλήματα..1. Συναγωγή Πριν να προχωρήσουμε στην αναλυτική εξαγωγή της εξίσωσης συναγωγής και διάχυσης, θα προσεγγίσουμε την έννοια της συναγωγής μέσα από ένα απλουστευμένο παράδειγμα. Ας θυμηθούμε το παράδειγμα με το σωλήνα του προηγούμενου κεφαλαίου. Χωρίς ροή μέσα στο σωλήνα, ο εγχεόμενος δείκτης θα διασπείρεται εξίσου και στις δύο κατευθύνσεις, ακολουθώντας μία κατανομή Gauss ως προς το χρόνο. Αν ανοίξουμε μία βάνα και επιτρέψουμε σε επιπλέον νερό να εισέλθει στο σωλήνα, θα περιμένουμε το κέντρο της διαχεόμενης μάζας του δείκτη να μετακινηθεί με τη μέση ταχύτητα της ροής στο σωλήνα. Αν μετακινήσουμε το κέντρο αναφοράς των αξόνων μας με την ίδια μέση ταχύτητα της ροής και θεωρήσουμε αμελητέες τις τριβές, τότε περιμένουμε τη λύση μας να είναι ίδια με προηγουμένως, δηλαδή να ακολουθεί επίσης μια κατανομή Gauss στο νέο κέντρο αναφοράς. Το νέο αυτό κέντρο αναφοράς των αξόνων είναι (.1) x ( x0 ut) όπου η είναι η χωρική συντεταγμένη του μετακινούμενου κέντρου αξόνων, x 0 το σημείο έγχυσης του δείκτη, u η μέση ταχύτητα της ροής, και ut η απόσταση που

6 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες διανύει το κέντρο της διαχεόμενης μάζας σε χρόνο t. Αν αντικαταστήσουμε το x με το η στη σχέση της μονοδιάστατης διάχυσης μάζας από σημειακή στιγμιαία πηγή σε ακίνητο ρευστό, Εξ.(1.35), τότε M Cxt (, ) exp A 4 Dt x( x ut) 0. (.) Για να εξακριβώσουμε αν αυτή η λύση είναι σωστή, θα εξάγουμε τη γενική εξίσωση συναγωγής και διάχυσης, και θα τη συγκρίνουμε με την ανωτέρω εξίσωση..1.1. Εξίσωση Συναγωγής και Διάχυσης Η εξαγωγή της εξίσωσης συναγωγής και διάχυσης βασίζεται στην ιδέα ότι τα δύο αυτά φαινόμενα μπορούν να συναθροισθούν εφόσον είναι γραμμικά ανεξάρτητες διεργασίες. Πως το γνωρίζουμε αυτό; Ο μόνος τρόπος για να εξαρτώνται οι δύο αυτές διεργασίες είναι η μία να ανατροφοδοτεί την άλλη. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάστηκε ότι η διάχυση είναι μια τυχαία διεργασία αφού βασίζεται στην τυχαία και συνεχή κίνηση των μορίων. Έτσι για τις δύο διεργασίες έχουμε: - Λόγω της διάχυσης, κάθε μόριο σε χρόνο δt μπορεί να κάνει ένα βήμα στα δεξιά ή ένα βήμα στα αριστερά (δηλαδή ± δx). - Λόγω της συναγωγής, κάθε μόριο θα μετακινηθεί επίσης κατά uδt στη διεύθυνση της ροής. Αυτές οι δύο διεργασίες/μετακινήσεις είναι σίγουρα ανεξάρτητες και μπορούν να προστεθούν. η παρουσία της ροής προφανώς δεν επηρεάζει την πιθανότητα ενός μορίου να μετακινηθεί προς τα δεξιά ή τα αριστερά, απλά προσθέτει μία επιπλέον μετακίνηση σ αυτό το βήμα. Η τελική μετακίνηση του μορίου είναι uδt ± δx, και επομένως η συνολική ροή μάζας, (N x / A) (kg s -1 m - ) στη x-διεύθυνση, περιλαμβάνει τη μεταφορά μάζας λόγω συναγωγής και διάχυσης (νόμος Fick) και είναι ( / ) ( / ) Nx A uc Jx A uc D x C. (.3) Όπως και στην Ενότητα 1..3, θα χρησιμοποιήσουμε την αντίστοιχη εξίσωση διατήρησης μάζας ώστε να εξάγουμε τη βασική εξίσωση μεταφοράς μάζας σε μη μόνιμη κατάσταση, που θα περιέχει και τους δύο μηχανισμούς μεταφοράς τη συναγωγή και τη διάχυση. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν έναν αντίστοιχο στοιχειώδες όγκο με αυτόν του Σχήματος 1.4, αλλά τώρα θα προστεθεί επιπλέον μια ροή με ταχύτητα u = (u, v, w), όπως φαίνεται στο Σχήμα.1.

Συναγωγή και Διάχυση 7 Σχήμα.1. Στοιχειώδης όγκος με ροή. Εξετάζοντας το στοιχειώδη όγκο του Σχήματος.1, η χρονική μεταβολή στη μάζα Μ (= C δxδyδz) της διαλυμένης ουσίας μέσα στον όγκο αυτόν, δίνεται από την εξίσωση διατήρησης μάζας ως, M t C t xyz Nin Nout Nx Ny Nz, (.4) όπου προφανώς δν i = Ν i,in Ν i,out, με {i=1,, 3} {x, y, z}. Η ροή μάζας μέσα και έξω από το στοιχειώδη όγκο θα προέρχεται τόσο από τη συναγωγή όσο και από τη διάχυση. Συνεπώς, η προκύπτουσα ροή μάζας στη x-διεύθυνση μπορεί να γραφεί ως C C Nx ( yz) ucd uc D x in x out. (.5) Συγκρίνατε την ανωτέρω εξίσωση με την Εξ.(1.15). Όπως και στην περίπτωση της διάχυσης, χρησιμοποιούμε ένα ανάπτυγμα Taylor, Εξ.(1.16), για να συνδυάσουμε τους δύο όρους, ως ( uc) ( uc) uc uc uc uc x x in out in in x in x και (.6) C C C C C C D D D D D x D x. x in x out x in x in x x in x

8 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Επομένως για την x-διεύθυνση, η Εξ.(.5) μετασχηματίζεται ως ( uc) C Nx xyzd x yz, (.7) x x και αντίστοιχα για δν y και δν z. Αντικαθιστώντας στην Εξ.(.4), προκύπτει C ( u C) D C ή t C ( uc i ) C D. (.8) t x x i i Η ανωτέρω εξίσωση περιέχει τη μεταφορά μάζας με συναγωγή και διάχυση και θα χρησιμοποιηθεί εκτενώς στο υπόλοιπο κεφάλαιο. Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι η Εξ.(.8) ως έχει, - αναφέρεται σε σταθερό συντελεστή διάχυσης D - ισοτροπική διάχυση. Μεταφορά μάζας με συναγωγή και διάχυση Ισοζύγιο Μάζας C ( u C) D C t ή C ( uc i ) C D t x x i i

Συναγωγή και Διάχυση 9.1.. Στιγμιαία Σημειακή Πηγή Αρχικά είχαμε υποθέσει ότι η Εξ.(.), M Cxt (, ) exp A 4 Dt x( x ut) 0. (.9) θα μπορούσε να περιγράψει τη διασπορά της συγκέντρωσης από σημειακή στιγμιαία πηγή. Για να επαληθεύσουμε αν η ανωτέρω σχέση μπορεί να αποτελέσει τη λύση της Εξ.(.8), θα αντικαταστήσουμε το μετασχηματισμό συντεταγμένων που είχαμε x ( x0 ut) t (.10) στην μονοδιάστατη μορφή της Εξ.(.8), δηλαδή στην C ( uc) C D. (.11) t x x Συνεπώς εφόσον C = f (η, τ), τότε η Εξ.(.11) μπορεί να γραφεί ως C C C C C C u D t t x x x x x x (.1) και αντικαθιστώντας τις παραγώγους των Εξ.(.10) C C C C C C (1) ( u) u (1) u (0) D (1) (0) (1) (0) (.13) καταλήγουμε στη σχέση C C D. (.14)

30 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Αυτή είναι η σχέση για μονοδιάστατη διάχυση, Εξ.(1.0) σε συντεταγμένες η και τ, από στιγμιαία σημειακή πηγή, με αναλυτική λύση την Εξ.(1.35), ως M C(, ) exp. (.15) A 4D 4D Μετασχηματίζουμε την ανωτέρω εξίσωση στο αρχικό σύστημα των x και t, αντικαθιστώντας τις μεταβλητές η και τ, λαμβάνουμε τελικά τη σχέση M Cxt (, ) exp A 4 Dt x( x ut) 0. (.16) Η εξίσωση αυτή αντιστοιχεί στην Εξ.(.) γεγονός που επαληθεύει την αρχική μας υπόθεση. Στο Σχήμα. δίνεται μία απεικόνιση της ανωτέρω εξίσωσης σε τρείς διαφορετικές χρονικές στιγμές. Στο άνω σχήμα (α) δείχνεται η μεταβολή της συγκέντρωσης στη x-διεύθυνση, ενώ στο κάτω, (β), δείχνεται η μεταβολή στη x- και y-διεύθυνση. Παρατηρούμε ότι στη χρονική στιγμή t, το νέφος έχει μετακινηθεί στη x-διεύθυνση λόγω της συναγωγής και έχει συγχρόνως απλώσει λόγω διάχυσης - και για αυτό ελαττώθηκε και η μέγιστη συγκέντρωσή του. Δηλαδή, με πιο απλά λόγια, σε κάθε χρονική στιγμή το νέφος απλώνει συμμετρικά λόγω διάχυσης και συγχρόνως όλο μαζί μετακινείται λόγω συναγωγής. O λόγος που εμφανίζεται διαφορετική επίδραση της διάχυσης στη x- και y-διεύθυνση οφείλεται στο διαφορετικό συντελεστή διάχυσης σε κάθε διεύθυνση λόγω ανισοτροπίας (θα συζητηθεί σε επόμενη ενότητα - δείτε επίσης Πίνακα.3, περίπτωση στιγμιαία σημειακή πηγή διαστάσεων σε άπειρο πεδίο). Στην περίπτωση ισότροπης διάχυσης (ίδιος συντελεστής στις διευθύνσεις), τότε το νέφος θα ήταν κυκλικό. Ένα άλλο σημείο που θα έπρεπε να τονιστεί σε αυτό το σχήμα είναι ότι οι μέγιστες συγκεντρώσεις εμφανίζονται πάντα στο νοητό κέντρο της μάζας που διασπείρεται. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η μέγιστη συγκέντρωση λαμβάνεται όταν ο εκθετικός όρος στην Εξ.(.16) είναι ίσος με 1, δηλαδή για x = x 0 + ut. Και φυσικά, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, στο ίδιο σχήμα παρατηρείται ότι η μέγιστη συγκέντρωση ελαττώνεται στην κατεύθυνση της ροής, λόγω διάχυσης.

Συναγωγή και Διάχυση 31 Σχήμα.. Απεικόνιση στη x- και y-διεύθυνση, της μεταβολής της συγκέντρωσης μάζας που διασπείρεται από σημειακή πηγή με συναγωγή και διάχυση σε τρεις διαφορετικές χρονικές στιγμές. Για τη μονοδιάστατη περίπτωση, η μέγιστη συγκέντρωση ελαττώνεται ως 1 Cmax () t. (.17) t

3 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Μονοδιάστατη Συναγωγή και Διάχυση μάζας Στιγμιαία, σημειακή πηγή Εξίσωση Συναγωγής και Διάχυσης Αρχική Συνθήκη /( ) C u C D C t x x C M Adx x σε t = 0 Οριακές Συνθήκες C(, t) 0 Λύση M Cxt (, ) exp A 4 Dt x( x ut) 0 Αντίστοιχα για τις δύο και τρείς διαστάσεις και για στιγμιαία σημειακή πηγή ισχύουν οι σχέσεις x( x ut) y( y vt) M 0 0 Cxyt (,, ) exp L4 Dt (.18) x( x ut) y( y vt) z( z wt) M 0 0 0 Cxyzt (,,, ) exp 3 4 Dt (.19) όπου L ένα χαρακτηριστικό μήκος στη z-διεύθυνση. Παρόμοια με το ρυθμό μείωσης της μέγιστης συγκέντρωσης για τη μία διάσταση, Εξ.(.17), η σχέση αντίστοιχα για τις δυσδιάστατες ή τρισδιάστατες περιπτώσεις, είναι C max 1 1 () t και Cmax () t. (.0) t t t

Συναγωγή και Διάχυση 33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.1 Διαρροή μεθανίου σε αεραγωγό. Μάζα Μ μεθανίου απελευθερώνεται μέσα σε έναν αεραγωγό πολύ μεγάλου ύψους (δυσδιάστατο σύστημα xy) έπειτα από το ξαφνικό άνοιγμα μιας βάνας εκτόνωσης και σχηματίζει ένα αέριο νέφος. Η απελευθέρωση λαμβάνει χώρα σε χρόνο t = 0 s, στη θέση x = 0 cm, y = 50 cm, ο αέρας στον αεραγωγό κινείται με σταθερή ομοιόμορφη ταχύτητα u = 1 cm/s και ο συντελεστής διάχυσης του μεθανίου είναι σταθερός και ίσος με D = cm /s. Το κέντρο της μάζας του νέφους μεθανίου ακολουθεί την πορεία (x = ut, y = 50 cm) καθ ύψος του αεραγωγού. H συγκέντρωση του μεθανίου ακολουθεί τη λύση που συζητήθηκε προηγουμένως, Εξ.(.18), δηλαδή M ( xut) ( y50) Cxyt (,, ) exp L4 Dt 4 Dt όπου L συμβολίζει ένα χαρακτηριστικό μήκος στη z-διεύθυνση. Σε τρία σημεία στον αεραγωγό, μετριέται η συγκέντρωση του μεθανίου: - Αισθητήρας Α, x A = 100 cm, y A = 50 cm. - Αισθητήρας B, x Β = 50 cm, y Β = y A = 50 cm. - Αισθητήρας Γ, x Γ = x Β = 50 cm, y Γ = 0 cm. α) Υπολογίστε πότε θα παρατηρηθεί η μέγιστη συγκέντρωση σε κάθε αισθητήρα. β) Υπολογίστε το φυσικό μήκος (νοητό όριο) της διαχεόμενης μάζας τη χρονική στιγμή που παρατηρείται η μέγιστη συγκέντρωση σε κάθε αισθητήρα. γ) Υπολογίστε τη διάρκεια του χρόνου που καταγράφεται η διαχεόμενη μάζα σε κάθε αισθητήρα. δ) Συγκρίνατε τη μέγιστη συγκέντρωση που παρατηρείται σε κάθε αισθητήρα, υπολογίζοντας τους λόγους C A,max /C B,max και C B,max / C Γ,max. α) Η μέγιστη συγκέντρωση θα παρατηρηθεί όταν το κέντρο της μάζας διέλθει από κάθε αισθητήρα. Εφόσον το κέντρο της διαχεόμενης μάζας κινείται με ταχύτητα u = 1 cm/s, θα περάσει από τον αισθητήρα Α σε χρόνο t A = x Α /u = 100/1 = 100 s. Και αντίστοιχα t Β = t Γ = x Β /u = 50/1 = 50 s. β) Το φυσικό μήκος (νοητό όριο) της διαχεόμενης μάζας υπολογίζεται ως L 4σ. Συνεπώς φτάνοντας στον αισθητήρα Α, θα έχει μήκος LA 4 DtA = 80 cm, και αντίστοιχα L A = L B = 16 s. γ) Θεωρώντας ότι η διαχεόμενη μάζα παραμένει ουσιαστικά σταθερή ενώ περνά από τον κάθε αισθητήρα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διάρκεια παραμονής

34 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες του νέφους σε αυτόν από το μήκος του και την ταχύτητα του κέντρου της μάζας, δηλαδή Δt Α = L A /u = 80 s. Αντίστοιχα, Δt Β = Δt Γ = L Β /u = 16 s. δ) Η μέγιστη συγκέντρωση θα υπολογιστεί με απευθείας αντικατάσταση στη σχέση της συγκέντρωσης για διαστάσεις που δίνεται στην εκφώνηση, δηλαδή Αισθητήρας Α: C A (x = 100 cm, y = 50 cm, t = t A = 100 s) = M/(L z 4πDt A ) Αισθητήρας B: C B (x = 50 cm, y = 50 cm, t = t B = 50 s) = M/(L z 4πDt B ) Αισθητήρας Γ: C Γ (x = 50 cm, y = 0 cm, t = t Γ = 50 s) = [M/(L z 4πDt Γ )]exp(-50 /( Γ )) Συνεπώς CA,max tb CB,max tγ 1.5 και 3.5 C B,max ta CΓ,max tβ exp[ 50 / (4 Dt )].1.3. Αριθμός Peclet και Άλλες Παρατηρήσεις Στο σημείο αυτό θα κάνουμε μια παρένθεση για να εκφράσουμε ορισμένες σημαντικές παρατηρήσεις αναφορικά με την Εξ.(.16) η οποία όπως αναλυτικά παρουσιάστηκε, εκφράζει τη μεταφορά μάζας με συναγωγή και διάχυση. Η λύση που φαίνεται στο Σχήμα. δείχνει ένα παράδειγμα μεταφοράς μάζας όπου οι μηχανισμοί διάχυσης και συναγωγής είναι περίπου ισοδύναμοι. Αυτό εξηγείται ως εξής: - Εάν η ταχύτητα του ρευστού ήταν μεγαλύτερη, η διασπειρόμενη μάζα θα είχε λιγότερο χρόνο να απλωθεί και έτσι η κατανομή θα ήταν στενότερη σε κάθε t i. - Αντίθετα, αν η μοριακή διάχυση ήταν πιο γρήγορη (μεγαλύτερο D) τότε η διασπειρόμενη μάζα θα άπλωνε παραπάνω - πιο πλατιά κατανομή - μεταξύ των διαφορετικών χρόνων t i και οι κατανομές θα επικαλύπτονταν. Παρατηρούμε δηλαδή, ότι το αν θα υπερισχύσει η διάχυση έναντι της συναγωγής εξαρτάται από το χρόνο t, το συντελεστή διάχυσης D, και την ταχύτητα του ρευστού u. Αυτή η σχέση εκφράζεται με τον αδιάστατο αριθμό Peclet + ; ut Pe, (.1) D + Peclet Jean Claude Eugen (1793-1857). Φοιτητής του J.L. Gay-Lussac και P.L. Dulong, και στη συνέχεια καθηγητής Φυσικής στην Ecole Centrale des Arts et Maufactures στο Παρίσι.

Συναγωγή και Διάχυση 35 ή διαφορετικά για μία συγκεκριμένη θέση L = ut, στην κατεύθυνση της ροής, ul Pe. (.) D Αν σκεφτούμε ότι η χαρακτηριστική απόσταση στη διάχυση είναι ανάλογη του Dt, ενώ στην περίπτωση της συναγωγής είναι ανάλογη του γινόμενου ut, ουσιαστικά ο αριθμός Peclet, όπως φαίνεται και από την Εξ.(.), εκφράζει το λόγο συναγωγής ως προς τη διάχυση και παρουσιάζει κρίσιμο όριο το 1. Επομένως Pe << 1 τότε η διάχυση υπερισχύει και η μάζα διαχέεται πιο γρήγορα απ ό,τι μεταφέρεται με τη ροή του ρευστού. Pe >> 1 τότε η συναγωγή υπερισχύει και η μάζα μεταφέρεται γρηγορότερα με το ρευστό απ ό,τι διαχέεται. Σύμφωνα με τα παραπάνω, όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος L, τόσο μεγαλύτερος θα είναι ο αριθμός Peclet. Με άλλα λόγια, το φαινόμενο διαρκεί πολύ και η μεταφορά μάζας με συναγωγή θα υπερισχύει της διάχυσης. Αυτό είναι επόμενο, διότι ενώ η μετατόπιση ενός σωματιδίου στη συναγωγή είναι ανάλογη του χρόνου, στη διάχυση είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του χρόνου. Οι ανωτέρω αναλογίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καθορισθούν και τα χαρακτηριστικά μεγέθη κλιμάκων πχ. μήκος και χρόνος. Μία από τις πιο συνηθισμένες ερωτήσεις στη μηχανική είναι πότε μια εξίσωση ή μια προσεγγιστική λύση ισχύει; Στη μεταφορά ρυπαντών, η ερώτηση αυτή συνήθως απαντάται συγκρίνοντας χαρακτηριστικές κλίμακες μήκους και χρόνου για τη συναγωγή και διάχυση, με τις αντίστοιχες κλίμακες του προβλήματος. Τέτοιες χαρακτηριστικές κλίμακες συνήθως είναι L για τη συναγωγή (δείκτης a) La ut, ta (.3) u για τη διάχυση (δείκτης d) L Ld Dt, td. (.4) D Οι χαρακτηριστικές κλίμακες για τη συναγωγή, Εξ.(.3), προκύπτουν σχετικά εύκολα αφού για παράδειγμα το χαρακτηριστικό μήκος εκφράζει την απόσταση που

36 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες καλύπτει μια μάζα σε χρόνο t. Από την άλλη, οι χαρακτηριστικές κλίμακες για τη διάχυση Εξ.(.4), όπως είναι, δεν έχουν μια ξεκάθαρη φυσική σημασία. Για να προσδιορίσουμε μια πιο συγκεκριμένη χαρακτηριστική κλίμακα για τη διάχυση μπορούμε να υποθέσουμε την ισχύ του νόμου του Fick. Στην περίπτωση αυτή το νοητό όριο του νέφους (συγκέντρωση ίση με 95.4% της C max, βλέπε Σχήμα 1.6) βρίσκεται σε μια ακτίνα μήκους L = σ = Dt, (βλέπε Εξ.(1.35)), από το κέντρο. Συνεπώς t d,σ = L /(8D). Χρησιμοποιώντας αυτή τη βελτιωμένη χρονική κλίμακα, θεωρούμε ότι η μεταφορά με διάχυση θα είναι πιο γρήγορη από τη μεταφορά με συναγωγή όταν t d,σ << t α, ή αντικαθιστώντας (L /(8D) << L/u) και επομένως μεταφορά με διάχυση όταν μεταφορά με συναγωγή όταν ul Pe << 8 D ul Pe >> 8 D (.5) Η ανωτέρω σχέση έχει φυσική σημασία και γι αυτό προτιμάται στην πράξη, και δείχνει ότι όταν ισχύει Pe >> 8 υπερισχύει η συναγωγή, ενώ όταν Pe << 8 υπερισχύει η διάχυση. Όπως ήδη αναφέρθηκε οι χαρακτηριστικές κλίμακες αποτελούν χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των μηχανικών και χρησιμοποιούνται συχνά για μια γρήγορη προσεγγιστική λύση σε προβλήματα περιβαλλοντικών διεργασιών και γενικότερα μεταφοράς μάζας. H σύγκριση της χαρακτηριστικής κλίμακας της διάχυσης t d,σ = L /(8D), με την αντίστοιχη της συναγωγής, t a = L/u, (απευθείας ή μέσω του αριθμού Peclet), ουσιαστικά προσδιορίζει πλήρως αν το φαινόμενο κατευθύνεται από τη διάχυση ή τη συναγωγή, και συνεπώς προσδιορίζει αντίστοιχα τις εξισώσεις που θα χρησιμοποιηθούν (θα δειχθεί καθαρά στα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν). Μία άλλη χαρακτηριστική κλίμακα που χρησιμοποιείται πολύ και καλό είναι να αναφερθεί εδώ, είναι η χαρακτηριστική κλίμακα ανάμιξης. Στο Σχήμα.3 παρουσιάζεται η κατανομή της συγκέντρωσης στην περίπτωση όπου έχουμε στιγμιαία σημειακή πηγή μέσα σε κανάλι τετραγωνικής διατομής - πλάτους L - (μεταφορά μάζας σε σύστημα με αδιαπέραστα όρια βλέπε Ενότητα..3). Όπως φαίνεται και στο σχήμα, σε αυτό το σύστημα μπορεί να αποδειχθεί ότι η ουσία είναι πλήρως αναμιγμένη στη διατομή του καναλιού (δηλαδή κάθετα στη ροή) σε χρόνο t mix = L /(4D). Θα πρέπει να τονίσουμε ότι σε αυτή την περίπτωση, το μήκος L που

Συναγωγή και Διάχυση 37 Σχήμα.3. Μάζα εγχέεται σε (x, y, z, t) = 0 μέσα σε ρευστό το οποίο δεν περιορίζεται στο x-z επίπεδο, αλλά περιορίζεται από παράλληλα αδιαπέραστα όρια στο y = +L/ και -L/. Η κατανομή της συγκέντρωσης, C(x=0, y, z=0), παρουσιάζεται για διάφορους χρόνους μετά την έγχυση. Η κατανομή γίνεται πλήρως αναμίξιμη (ομοιόμορφη) στη y-διεύθυνση, σε χρόνο t = L /(4D). υπεισέρχεται στη σχέση αναφέρεται σε μήκος στην y-διεύθυνση διότι σ αυτή αναφέρεται η ανάμιξη. Η εξέταση της χαρακτηριστικής κλίμακας ανάμιξης προσδιορίζει αν η μεταφορά μπορεί να θεωρηθεί μονοδιάστατη ή δισδιάστατη. Στις περισσότερες περιπτώσεις που εμπίπτουν στο αντικείμενο των περιβαλλοντικών διεργασιών που εξετάζουμε, ο αριθμός Peclet είναι μεγάλος, λόγω των μεγάλων αποστάσεων ή χρόνων, συνεπώς η μεταφορά μάζας με συναγωγή υπερισχύει. Για παράδειγμα στους ανοικτούς ωκεανούς, εμφανίζονται ταχύτητες της τάξης του 0.01 m/s, το μέσο μέγεθος των περιστροφικών ρευμάτων - χαρακτηριστικά μήκη - είναι της τάξης των,000-3,000 km, και ο τυρβώδης συντελεστής διάχυσης της τάξης των 1,000 m /s. Συνεπώς, προκύπτει ένας αριθμός Peclet της τάξης του 0-30. Τέλος είναι χρήσιμο να σημειώσουμε ότι οι αδιάστατοι αριθμοί συνηθίζεται να εκφράζονται ως συνάρτηση άλλων αδιάστατων αριθμών, έτσι και ο αριθμός Peclet εκφράζεται συνήθως ως συνάρτηση των αδιάστατων αριθμών Reynolds, Re, και Schmidt, Sc, ως ul ul Pe Re Sc D D. (.6) Στην ανωτέρω σχέση, ν είναι το κινηματικό ιξώδες.

38 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Συναγωγή και διάχυση μάζας σε κανάλι. 1 kg μάζας Μ ενός δείκτη, ρίπτεται σε ένα κανάλι διατομής 10 m, στη θέση x = 0. Η συγκέντρωση του δείκτη μετριέται στη θέση x = L = 100 m. Το τεστ επαναλαμβάνεται για 3 διαφορετικές ροές, u = 0.001, 0.1, 1 m/s. Προς διευκόλυνση μπορεί να θεωρηθεί ότι D = 1 m /s σε όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα.4. Συγκέντρωση ως συνάρτηση του χρόνου. α) Για κάθε περίπτωση, υπολογίστε το χαρακτηριστικό χρόνο της μεταφοράς μάζας με συναγωγή και διάχυση, καθώς και τους αντίστοιχους αριθμούς Peclet. β) Οι καμπύλες (1), () και (3) στο Σχήμα.4 (Nepf 008), αντιστοιχούν στις ανωτέρω τρεις περιπτώσεις. Ταυτοποιείστε κάθε μία από τις καμπύλες με τον αντίστοιχο αριθμό Peclet. γ) Υπολογίστε τη μέγιστη συγκέντρωση που παρατηρείται στην απόσταση L, για κάθε περίπτωση.

Συναγωγή και Διάχυση 39 α) Για τη διασπορά μιας ουσίας από στιγμιαία σημειακή πηγή, μπορεί να θεωρηθεί ότι: - όταν κυριαρχεί ο μηχανισμός της διάχυσης, για να καλύψει η διαχεόμενη μάζα μια περιοχή ακτίνας L, πρέπει L = σ = Dt, και συνεπώς ο χρόνος που χρειάζεται είναι t d = L /(8D). - αντίστοιχα όταν κυριαρχεί η συναγωγή τότε ο χρόνος που χρειάζεται είναι ίσος με t a = L/u. Τα αποτελέσματα για κάθε περίπτωση παρουσιάζονται στον Πίνακα.1 u, m/s Διάχυση t d, s Πίνακας.1. Συναγωγή t a, s Pe = ul/d Καμπύλη 0.001 150 100,000 0.1 (3) 0.1 150 1,000 10 () 1 150 100 100 (1) β) Στον Πίνακα.1 επιπλέον των χαρακτηριστικών χρόνων για τη μεταφορά μάζας με διάχυση και συναγωγή, δίνεται και ο αριθμός Peclet, Pe. Όταν Pe << 8, (δείτε Εξ.(.5)), τότε η διάχυση υπερισχύει της συναγωγής. Σ αυτή την περίπτωση η μεταφερόμενη μάζα μετακινείται αργά, και συνεπώς αναφερόμαστε στην καμπύλη (3) του Σχήματος.4. Αντίστοιχα, όταν Pe >> 8, τότε η συναγωγή υπερισχύει και η μεταφερόμενη μάζα μετακινείται γρήγορα χωρίς να προλάβει να απλωθεί, άρα αναφερόμαστε στην καμπύλη (1). γ) Για να υπολογίσουμε τις μέγιστες συγκεντρώσεις θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε αν η μεταφερόμενη μάζα μετακινείται ως μονοδιάστατη, δυσδιάστατη ή τρισδιάστατη μάζα. Δηλαδή εκτός από τη διεύθυνση που εμφανίζεται η ροή του καναλιού, πως μεταφέρεται στις άλλες δυο διαστάσεις. Αν είναι η ουσία είναι πλήρως αναμιγμένη στη διατομή του καναλιού (Α = 10 m ) τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η αυτή μεταφέρεται μονοδιάστατα και μόνο στη διεύθυνση της ροής. Ο χαρακτηριστικός χρόνος για να θεωρηθεί ότι η ουσία είναι πλήρως αναμιγμένη, με το μηχανισμό της διάχυσης, στο επίπεδο κάθετο στη ροή θα είναι ίσος με t = L /(4D). Υποθέτοντας τετράγωνη διατομή δηλαδή L 10 m, τότε t =.5 s. Ο χρόνος αυτός είναι πολύ μικρότερος από όλους τους χρόνους του Πίνακα.1 (για διάχυση ή συναγωγή), επομένως η μάζα μπορεί να θεωρηθεί πλήρως

40 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες αναμιγμένη στις άλλες δύο διευθύνσεις καθώς μεταφέρεται στη διεύθυνση της ροής - μονοδιάστατη μεταφορά. Η μέγιστη συγκέντρωση σε μία απόσταση x θα προκύψει από την Εξ.(.16) και για τη χρονική στιγμή που το κέντρο της μάζας διέρχεται από αυτή την απόσταση, δηλαδή Cxt (, ) A M 4 Dt Υποθέτοντας ότι το κέντρο μάζας διέρχεται από την απόσταση L τη χρονική στιγμή t a, μεταφορά με συναγωγή, τότε: Καμπύλη (1): C(x = L, t = L/1) =.8 g/m 3 Καμπύλη (): C(x = L, t = L/0.1) = 0.89 g/m 3 Καμπύλη (3): C(x = L, t = L/0.001) = 0.09 g/m 3 Tα πρώτα δύο αποτελέσματα συμφωνούν με τις μετρήσεις στο Σχήμα.4, το τρίτο όμως όχι. Για να εντοπίσουμε την αιτία αυτής της απόκλισης επανεξετάζουμε την παραδοχή που λάβαμε, δηλαδή ότι το μέγιστο εμφανίζεται τη χρονική στιγμή που το κέντρο της μάζας διέρχεται από την απόσταση L. Αυτή η παραδοχή επαληθεύεται για τις δύο πρώτες περιπτώσεις όμως για την τρίτη δε μπορεί να εφαρμοστεί αφού το φαινόμενο της συναγωγής υστερεί σημαντικά έναντι της διάχυσης και το μέγιστο που θα εμφανιστεί στην απόσταση L θα οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στη διάχυση. Πράγματι, αν γίνει ο υπολογισμός της μέγιστης συγκέντρωσης για την καμπύλη (3), σχεδιάζοντας την Εξ.(.16) ως προς τον χρόνο, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι αυτή είναι ίση με 0.5 g/m 3 και εμφανίζεται περίπου στα 5,000 s. Όταν λοιπόν το κέντρο της μάζας διέλθει από την απόσταση L, λόγω συναγωγής σε χρόνο 100,000 s, η μάζα της ουσίας έχει απλωθεί πάρα πολύ και η τότε τιμή της συγκέντρωσης είναι μόλις ίση με 0.09 g/m 3.

Συναγωγή και Διάχυση 41 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.3 Μελέτη επιπτώσεων σε ιχθυοτροφείο. Είστε Τεχνικός Ασφαλείας σε μία νέα μονάδα με άδεια εκκένωσης επεξεργασμένων υγρών λημμάτων ροής m 3 /s, σε ποτάμι τετραγωνικής διατομής 0 m. Τα επεξεργασμένα λήμματα παρακολουθούνται μόνιμα, και αν η συγκέντρωσή των τοξικών ουσιών τους υπερβεί την οριακή συγκέντρωση ασφαλείας των 100 mg/l, σταματάει η λειτουργία της μονάδος. Για την πλήρη παύση των λειτουργιών της μονάδος απαιτούνται 100 s. Σας ζητείται να ετοιμάσετε μία Μελέτη Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων (ΜΠΕ) για ένα ιχθυοτροφείο που βρίσκεται σε απόσταση 1 km (στη διεύθυνση ροής του ποταμού) και χρησιμοποιεί στις δεξαμενές του, νερό από το ποτάμι. Με βάση μελέτες χρονικής έκθεσης του γόνου, η χημική συγκέντρωση ασφαλείας του ιχθυοτροφείου είναι 0.5 mg/l. Θεωρούμε δύο σενάρια για την ταχύτητα του ποταμιού α) 50 cm/s με D = 10 m /s και β) cm/s με D = 1 m /s. Για τα δύο αυτά σενάρια περιγράψτε τη συγκέντρωση στο ιχθυοτροφείο, βρείτε τις μέγιστες συγκεντρώσεις και τη διάρκεια τους και δηλώστε αν θα εκδίδατε Προειδοποίηση Ποιότητας Ύδατος. Μας ενδιαφέρει να προβλέψουμε τη συγκέντρωση σε απόσταση L = 1,000 m. Επειδή το ποτάμι είναι τετραγωνικής διατομής, και η εκκένωση γίνεται στη μέση του ποταμιού, ο χρόνος για πλήρη ανάμιξη σε όλη τη διατομή του θα είναι ίσος με t mix = 0/(4*D) - δείτε συζήτηση Ενότητα..3. u m/s Πίνακας.. Χαρακτηριστικοί χρόνοι και αριθμοί Peclet D m /s Ανάμιξη t mix =A/(4D) s Διάχυση t d = L /(8D) s Συναγωγή t a = L/u s Pe = ul/d - 0.50 10 0.5 1,500,000 50 0.0 1 5 15,000 50,000 0 Στον Πίνακα., υπολογίζονται οι χαρακτηριστικοί χρόνοι για ανάμιξη στη διατομή του καναλιού, διάχυση και συναγωγή κατά μήκος του καναλιού, καθώς και ο αριθμός Peclet. α) Είναι φανερό ότι ο χρόνος για πλήρη ανάμιξη είναι πολύ μικρότερος του χρόνου διάχυσης ή συναγωγής και στα δύο σενάρια. Επομένως τα λήμματα θα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα ως προς τη y- και z-διεύθυνση όταν θα

4 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες φτάσουν στο ιχθυοτροφείο, και άρα αρκεί ένα μονοδιάστατο μοντέλο. β) Είναι επίσης φανερό ότι ο χρόνος του συμβάντος (100 s) είναι πολύ μικρός σε σχέση με το χρόνο διάχυσης ή συναγωγής. Επομένως δικαιολογείται πλήρως η χρήση μοντέλου στιγμιαίας πηγής. γ) Εφόσον ο χρόνος συναγωγής είναι μικρός (και ο αριθμός Peclet >> 8), το μοντέλο θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει τη συναγωγή. Επομένως, για να περιγράψουμε τη συγκέντρωση στο ιχθυοτροφείο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(.16), ως M Cx ( Lt, ) exp A 4 Dt L ut Η συνολική μάζα λημμάτων που ελευθερώθηκε υπολογίζεται από τη ροή του πολλαπλασιασμένη με τη συγκέντρωση, το χρόνο και την πυκνότητα του νερού, ως M = ( m 3 /s)(0.1 g/l)(100 s)(1000 l/m 3 ) = 0,000 g ή 0 kg. Στο Σχήμα.5 έχει σχεδιαστεί η μεταβολή της συγκέντρωσης σε απόσταση 1,000 m, για τις δύο ταχύτητες. Από το διάγραμμα μπορούμε να συμπεράνουμε: - u = 0.5 m/s: η συγκέντρωση παρουσιάζει ένα μέγιστο mg/l, και υπερβαίνει το όριο για περίπου 5 min. - u = 0.0 m/s: η συγκέντρωση παρουσιάζει ένα μέγιστο 1.3 mg/l, και υπερβαίνει το όριο για περίπου 1 ώρες. Η έκθεση του ιχθυοτροφείου στην ανωτέρω συγκέντρωση δε μπορεί να θεωρηθεί πολύ μεγάλης διάρκειας και έτσι είναι δύσκολο να προβλεφθούν οι επιπτώσεις. Παρόλο αυτά, καλό είναι να κλείσει η είσοδος νερού στο ιχθυοτροφείο κατά τη διάρκεια του συμβάντος. Σχήμα.5. Συγκέντρωση σε απόσταση L = 1,000 m.

Συναγωγή και Διάχυση 43.1.4. Ασυμπίεστα Ρευστά Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η Εξ.(.8) αποτελεί τη γενική διατύπωση της εξίσωσης συναγωγής και διάχυσης για τη μεταφορά μάζας. Στο μεγαλύτερο σύνολο των περιβαλλοντικών διεργασιών η παραπάνω εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνεχείας. Πιο συγκεκριμένα, λαμβάνεται η παραδοχή ότι η πυκνότητα παραμένει σχεδόν σταθερή (Batchelor 1967, Landau και Lifshitz 1987) και συνεπώς η ροή του ρευστού είναι ασυμπίεστη. Ως αποτέλεσμα αυτής της παραδοχής, η εξίσωση συνεχείας για ασυμπίεστα ρευστά έχει τη μορφή u 0 (.7) Αν επιπλέον τώρα ανοίξουμε τον όρο της συναγωγής (ος όρος στην Εξ.(.8)), και χρησιμοποιήσουμε την ανωτέρω Εξ.(.7) τότε ( uc) ( u) CuC u C. (.8) Αντικαθιστώντας την Εξ.(.8) μέσα στην Εξ.(.8) προκύπτει C t u C D C. (.9) Χρησιμοποιώντας συμβολισμό κατά Einstein, προκύπτει αντίστοιχα ή και C C C u i D t x i xi, (.30) C C C C C C C ux uy uz D t x y z x y z. (.31) Η ανωτέρω εξίσωση αποτελεί τη μορφή της εξίσωσης συναγωγής και διάχυσης για τη μεταφορά μάζας που εφαρμόζεται σχεδόν στο σύνολο των περιβαλλοντικών διεργασιών και κατ επέκταση στη συνέχεια του βιβλίου.

44 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες.. Ειδικές Περιπτώσεις της Εξίσωσης Συναγωγής και Διάχυσης Στην προηγούμενη ενότητα έγινε μια σειρά από παραδοχές αναφορικά με τις αρχικές και συνοριακές συνθήκες της εξίσωσης συναγωγής και διάχυσης και έτσι μπορέσαμε να εξάγουμε σχετικά εύκολα μια νέα εξίσωση για την περίπτωση της διασποράς ουσίας από στιγμιαία και σημειακή πηγή. Στο περιβάλλον όμως οι συνθήκες μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές από τις ιδανικές. Για το λόγο αυτό, σε αυτή την ενότητα θα δοθούν ορισμένες γενικές τεχνικές αντιμετώπισης πραγματικών περιπτώσεων. Όπως η συναγωγή και η διάχυση είναι δύο μηχανισμοί μεταφορά μάζας που δρουν προσθετικά, έτσι θα δείξουμε ότι και η τεχνική της υπέρθεσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση λύσεων σε προβλήματα πολύπλοκων γεωμετριών. Οι λύσεις που δίνονται στην ενότητα αυτή βασίζονται στη βιβλιογραφία (Fischer et al. 1979, Socolofsky & Jirka 00, Nepf 008)...1. Χωρική Πηγή Αρχικής Συγκέντρωσης Ένα καλό παράδειγμα εφαρμογής της τεχνικής της υπέρθεσης είναι η επίλυση του προβλήματος της κατανομής της συγκέντρωσης από χωρική πηγή. Καθότι η μεταφορά μάζας με συναγωγή μπορεί να προστεθεί εκ των υστέρων απλά αλλάζοντας το σύστημα αναφοράς, αρχικά θα θεωρήσουμε τη περίπτωση της μονοδιάστατης διάχυσης σε ακίνητο ρευστό. Η εξίσωση που διέπει αυτήν την περίπτωση είναι - Εξ.(1.19) -, C D t C x. (.3) Θα θεωρήσουμε ότι η κατανομή της αρχικής συγκέντρωσης στη χωρική πηγή είναι ομοιόμορφη και δίνεται από τις σχέσεις: C0 αν x 0 Cxt (, 0) 0 αν x 0 (.33) όπου t 0 = 0 s και C 0 είναι η αρχική ομοιόμορφη συγκέντρωση, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα.6. Σε κάθε σημείο x = ξ < 0, υπάρχει μία απειροελάχιστη ποσότητα μάζας dm = C 0 Adξ, όπου Α είναι η διατομή δyδz. Στην πραγματικότητα το σύνολο της χωρικής πηγής αποτελείται από τέτοιες απειροελάχιστες μάζες dm. Για χρόνους t > 0, έναρξη διάχυσης, η συγκέντρωση σε οποιοδήποτε σημείο x είναι αποτέλεσμα

Συναγωγή και Διάχυση 45 Σχήμα.6. Στιγμιαία αρχική συγκέντρωση στο σημείο -ξ. της μάζας που διαχέεται από το κάθε στοιχείο dm, με άλλα λόγια αποτέλεσμα των επιμέρους συγκεντρώσεων dc λόγω διάχυσης. Η συνεισφορά dc στη συγκέντρωση από ένα στοιχείο dm δίνεται από την επίλυση της Εξ.(.3) για διάχυση από στιγμιαία σημειακή πηγή, όπως προηγούμενα, Εξ.(1.34), όπου η απόσταση από το στοιχείο dm, δηλαδή την πηγή, είναι (x-ξ), dm ( x ) dc( x, t) exp A 4 Dt. (.34) Η Εξ.(.34) θα ισχύει για κάθε x από - έως 0, και συνεπώς αθροίζοντας τις επιμέρους συνεισφορές dc από κάθε dm, τεχνική της υπέρθεσης, λαμβάνουμε το επόμενο ολοκλήρωμα 0 C 0 ( x ) 4 Dt Cxt (, ) exp d. (.35) Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος απαιτείται η αλλαγή της μεταβλητής ξ με την εισαγωγή της νέας μεταβλητής ζ x και d d, (.36) με αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα της Εξ.(.35) και διόρθωση των ορίων ολοκλήρωσης x C0 Cxt (, ) exp d. (.37)

46 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Συνεχίζουμε την επίλυση του ολοκληρώματος και συνεπώς C0 Cxt (, ) exp x d (.38) x C0 Cxt (, ) exp exp d d. (.39) 0 0 Το πρώτο από τα δύο ολοκληρώματα της Εξ.(.39) έχει αναλυτική λύση η οποία είναι ίση με /, το δεύτερο αποτελεί τη γνωστή συνάρτηση λάθους error function η οποία ορίζεται ως erf ( ) exp d, (.40) 0 και οι τιμές δίνονται από ειδικούς πίνακες ή με τη χρήση υπολογιστικών εργαλείων. Η τελική μορφή της λύσης μας είναι επομένως, C0 x Cxt (, ) 1erf. (.41) Η επίλυση της Εξ.(.41) για αρχική συγκέντρωση C 0 = 1, παρουσιάζεται στο Σχήμα.7, για αυξανόμενο χρόνο t. Σχήμα.7. Επίλυση της Εξ.(.41) για αρχική συγκέντρωση C 0 = 1 για αυξανόμενο χρόνο t.

Συναγωγή και Διάχυση 47 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.4 Διάχυση ενδοφλέβιας ένεσης +. Γιατρός χορηγεί σε ασθενή ένα αντιαλλεργικό φάρμακο με ενδοφλέβια ένεση. Η ένεση έχει διάρκεια χρόνο Τ. Το αίμα στη φλέβα ρέει με μέση ταχύτητα u, και επομένως το αίμα που περικλείεται σε μια περιοχή μήκους L = ut, περιέχει το εγχεόμενο φάρμακο σε συγκέντρωση C 0 (δείτε Σχήμα.8). Σχήμα.8. Ποια είναι η κατανομή συγκέντρωσης του φαρμάκου στη φλέβα όταν φτάσει στην καρδιά 75 s αργότερα; Το πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα χωρικής πηγής αρχικής συγκέντρωσης, όπως αυτό που συζητήθηκε στην Ενότητα..1. Ας θεωρήσουμε το σημείο x = 0 στο κέντρο του φαρμάκου, και ας αφήσουμε το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων να μετακινηθεί μαζί με τη μέση ταχύτητα του αίματος u. Έτσι έχουμε την αρχική κατανομή συγκέντρωσης ως C0 αν - L/ x L/ Cxt (, 0) 0 όλες τις άλλες περιπτώσεις όπου t 0 = 0 σε χρόνο Τ/. Ακολουθώντας τη μέθοδο επίλυσης της Ενότητας..1 (για dm = C 0 A dξ), η λύση υπέρθεσης είναι L/ C 0 ( x ) 4 Dt L/ Cxt (, ) exp + Παρόλο ότι το εν λόγω παράδειγμα δεν έχει καμία σχέση με περιβαλλοντικές διεργασίες, η πλήρη αντιστοιχία της κατανομής συγκέντρωσης στο αίμα με αυτή σε αγωγό, κρίθηκε πολύ ενδιαφέρουσα. d

48 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες που μπορεί να επεκταθεί αντίστοιχα ως L/ L/ C 0 ( x) ( x) Cxt (, ) exp d exp d 4 Dt. Χρησιμοποιώντας όπως και στην Ενότητα..1, τη νέα μεταβλητή ζ - Εξ.(.36) -, x και d d, η ανωτέρω σχέση μετασχηματίζεται ως ( x( L/)) 4 Dt ( x( L/)) C0 Cxt (, ) exp d exp d 0 0. Τα ανωτέρω δύο ολοκληρώματα έχουν λύση τη συνάρτηση λάθους, Εξ.(.40), δηλαδή C0 x( L/) x( L/) Cxt (, ) erf erf. Συνεπώς, αντικαθιστώντας t = 75 s, και εφόσον γνωρίζουμε την αρχική συγκέντρωση του φαρμάκου, και το μήκος της έγχυσης, μπορούμε να υπολογίσουμε τη συγκέντρωση στην καρδιά.

Συναγωγή και Διάχυση 49... Πηγή Σταθερής Συγκέντρωσης Μια επίσης συνηθισμένη περίπτωση είναι αυτή της σταθερής συγκέντρωσης σε κάποιο σημείο x 1, πηγή. Μία τέτοια συγκέντρωση θα μπορούσε να είναι αυτή της συγκέντρωσης οξυγόνου σε ένα πρόβλημα διεπιφάνειας αέρα-νερού. Οι μεταβλητές που κυριαρχούν είναι η σταθερή συγκέντρωση C 0, ο συντελεστής διάχυσης D, και οι συντεταγμένες (x x 0 ) και ο χρόνος t. Και εδώ θα αγνοήσουμε τη συναγωγή, καθότι μπορούμε να τη συμπεριλάβουμε μέσω μιας απλής αλλαγής μεταβλητών, και για ευκολία θα θεωρήσουμε x 0 = 0. Ακολουθώντας μία παρόμοια μεθοδολογία διαστατικής ανάλυσης με αυτή στη στιγμιαία σημειακή πηγή, Ενότητα 1..4, καθότι οι μεταβλητές είναι παρόμοιες, λαμβάνουμε x 0 Dt Cxt (, ) C f. (.4) Ο αναγνώστης μπορεί εύκολα να τη συγκρίνει με την Εξ.(1.5). Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε με τον ίδιο τρόπο που ακολουθήσαμε στο Βήμα, στην Ενότητα 1..4. Δηλαδή κι εδώ θα προτιμηθεί να επιλυθεί μαθηματικά μετατρέποντας τη μερική διαφορική εξίσωση (PDE) σε κανονική διαφορική (ODE). Ως συνάρτηση ομοιότητας θα χρησιμοποιηθεί πάλι η σχέση x / Dt, και θα χρειαστούμε επίσης τις παραγώγους της σχέσης ως t t και x 1 Dt. (.43) Μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση ομοιότητας στα δυο μέρη της εξίσωσης διάχυσης, Εξ.(1.19) ως C f f C0f C 0 C 0 t t t t C 1 f C0 f C 0f C0 x x x Dt Dt x (.44) και συνεπώς η μερική διαφορική Εξ.(1.19) μετασχηματίζεται ως

50 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες d f df 0 d d, (.45) με οριακές συνθήκες f (0) = 1 και f ( ) = 0. Δυστυχώς η ανωτέρω ολική διαφορική εξίσωση δεν είναι γραμμική. Μια γρήγορη ματιά όμως στο Σχήμα.6, μπορεί να μας βοηθήσει να βρούμε εύκολα λύση. Στο σχήμα, το σημείο x = 0 έχει σταθερή συγκέντρωση C 0 /. Αν αντικαταστήσουμε C 0 ως τον πρώτο όρο στην Εξ.(.41), αντί C 0 /, ίσως η προκύπτουσα σχέση να είναι η λύση της Εξ.(.45). Αντικαθιστώντας στην Εξ.(.45), και χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες, όντως προκύπτει ότι αυτή είναι η σωστή λύση, δηλαδή Cxt (, ) C0 1erf x. (.46) Στο Σχήμα.9 παρουσιάζεται γραφικά η ανωτέρω εξίσωση για C 0 = 1. Σημειώστε ότι αυτή η λύση ισχύει μόνον για x > x 0. Σχήμα.9. Επίλυση της Εξ.(.46) για αρχική συγκέντρωση C 0 = 1 όταν x = 0 και αυξανόμενο χρόνο t.

Συναγωγή και Διάχυση 51 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.5 Διάλυση ζάχαρης σε ρόφημα καφέ. Μια κρύα μέρα ετοιμάζεται μια κούπα καφέ και προσθέτετε g ζάχαρης ομοιόμορφα στον πυθμένα της κούπας. Η διάμετρος της κούπας είναι 5 cm, και το ύψος της 7 cm. α) Εάν δεν αναμίξετε τον καφέ, πότε θα φτάσει στην επιφάνεια του καφέ το οριακό στρώμα της συγκέντρωσης; β) Πότε θα διαλυθεί όλη η ζάχαρη; γ) Πως θα αλλάξουν αυτές οι απαντήσεις αν αναμίξετε τον καφέ με ένα κουτάλι; Η συγκέντρωση της ζάχαρης στον πυθμένα της κούπας είναι σταθερή και ίση με τη συγκέντρωση κορεσμού, ενώ οπουδήποτε αλλού μπορεί να θεωρηθεί ίση με μηδέν. Αυτές οι συνθήκες είναι ίδιες με τις συνθήκες σταθερής συγκέντρωσης που εξετάστηκαν στην Ενότητα... Επομένως η συγκέντρωση της ζάχαρης σε ένα ύψος z πάνω από τον πυθμένα της κούπας, δίνεται από την Εξ.(.46), ως Cxt (, ) C0 1erf x. Το νοητό όριο (συγκέντρωση ίση με 95.4% της C max, βλέπε Σχήμα 1.6) βρίσκεται σε μια ακτίνα μήκους L = σ = Dt, (βλέπε Εξ.(1.35)), από το κέντρο. Συνεπώς t d,σ = L /(8D). Στην προκειμένη περίπτωση L = h (= 7 cm). Επομένως ο χρόνος για να φτάσει το οριακό στρώμα στην επιφάνεια θα είναι t h 0.07 5 610 s 170h, 8D 810 d, 9 υποθέτοντας ένα συντελεστή διάχυσης της τάξης του D 10-9 m /s. Για να υπολογίσουμε το χρόνο που θα χρειαστεί όλη η ζάχαρη να διαλυθεί (Σημείωση: να διαλυθεί, όχι να φτ άσει στην επιφάνεια της κούπας!), θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τη συνολική ροή μάζας, J z (kg/s) της ζάχαρης όταν z = 0, η από την Εξ.(1.5), έχουμε C Jz AD. z

5 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Αντικαθιστώντας την εξίσωση της συγκέντρωσης, στην ανωτέρω εξίσωση, προκύπτει C z 1 Jz(,) z t AD ADC0 erf ADC0 e z z και επομένως z, z (0, ) ADC J t 0. Dt Ολοκληρώνοντας για το συνολικό χρονικό διάστημα, t d, μέσα στο οποίο θα διαλυθεί όλη η ζάχαρη td td ζαχ z(0, ) 0 0 0 0 ADC Dt M J t dt AC d Dt. Επομένως, ο ζητούμενος χρόνος είναι t d ζαχ 0 M. 4A DC Η ανωτέρω σχέση ισχύει μόνο για χρόνους t d < t d,σ, καθότι για μεγαλύτερους χρόνους η διαλυμένη ζάχαρη θα φτάσει στην επιφάνεια και η εξίσωση συγκέντρωσης δε θα ισχύει ως έχει (θα πρέπει να συμπεριλάβει το όριο της επιφάνειας). Υποθέτοντας C 0 = 0.58 g/cm 3, ο χρόνος που χρειάζεται για να διαλυθεί όλη η ζάχαρη υπολογίζεται ίσος με,4 s, ή 40 min. Ανακατεύοντας τον καφέ, ουσιαστικά αυξάνουμε το συντελεστή διάχυσης, και επειδή ο συντελεστής διάχυσης είναι στον παρανομαστή της εξίσωσης, ελαττώνουμε το χρόνο που απαιτείται για να διαλυθεί η ζάχαρη.

Συναγωγή και Διάχυση 53..3. Αδιαπέραστα Όρια Η τελευταία περίπτωση που θα εξετάσουμε στην ενότητα αυτή, είναι πως να αντιμετωπίζουμε την περίπτωση ενός αδιαπέραστου ορίου. Ένα αδιαπέραστο όριο είναι μία οποιαδήποτε επιφάνεια στην οποία το ρευστό μας δε μπορεί να εισχωρήσει. Η συζήτηση θα υποθέσει ότι δε λαμβάνει χώρα καμία χημική αντίδραση στην επιφάνεια και η ίδια η επιφάνεια είναι αδιαπέραστη. Θα πρέπει λοιπόν να βρεθεί ένας τρόπος για να οριστεί ένα αδιαπέραστο όριο ως μια οριακή συνθήκη στην ισχύουσα διαφορική εξίσωση. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα χρησιμοποιώντας το Νόμο του Fick. Εφόσον αδιαπέραστο όριο σημαίνει δεν υφίσταται ροή, τότε J = 0, και αντίστοιχα J 0 S n (.47) b C C C,, n 0, (.48) x y z S b όπου S b δηλώνει τη συνάρτηση που περιγράφει την αδιαπέραστη επιφάνεια (π.χ. S b = f (x,y) ) και n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην αδιαπέραστη επιφάνεια. Στη μονοδιάστατη περίπτωση, η οριακή συνθήκη ενός αδιαπέραστου ορίου καταλήγει στη σχέση C 0, (.49) x x b όπου x b είναι η απόσταση του ορίου. Αυτή η περίπτωση είναι πολύ χρήσιμη και χρησιμοποιείται συχνά, π.χ. για να δηλώσουμε αν ο πυθμένας μιας λίμνης είναι αδιαπέραστος ή όχι. Για να βρούμε τη λύση σε ένα πρόβλημα αδιαπέραστου ορίου, ας εξετάσουμε την περίπτωση μιας στιγμιαίας σημειακής πηγής στο σημείο x 0, με ένα αδιαπέραστο όριο σε απόσταση L, στα δεξιά, όπως φαίνεται στο Σχήμα.9. Η κανονική λύση που είχαμε ως τώρα επιτρέπει τη μάζα να διαχέεται πέρα από το όριο (όπως φαίνεται από τη διακεκομμένη γραμμή στο Σχήμα.10). Για να αναπληρώσουμε αυτή τη μάζα που χάνεται, μία ίδια εικονική πηγή θεωρείται στα δεξιά του ορίου, έτσι ώστε να διαχέεται ίση ποσότητα μάζας πίσω στα αριστερά του ορίου, με αυτή που διαχέεται στα δεξιά από την πραγματική πηγή μας. Υπέρθεση (πρόσθεση) των δύο λύσεων, θα δώσει την επιθυμητή λύση με αδιαπέραστο όριο.

54 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Σχήμα.10. Περίπτωση αδιαπέραστου ορίου με μία πραγματική πηγή στα αριστερά και μία εικονική στα δεξιά. Οι διακεκομμένες γραμμές δηλώνουν τη ξεχωριστή συνεισφορά κάθε πηγής, ενώ η συνεχόμενη γραμμή δηλώνει τη λύση υπέρθεσης. Η λύση που προκύπτει είναι M ( xx0 ) ( xx ) Cxt (, ) exp exp i A 4 Dt, (.50) όπου x i = x 0 + L. Προφανώς η ανωτέρω λύση ισχύει μόνο στα αριστερά του ορίου. Στα δεξιά του, η συγκέντρωση είναι παντού μηδενική. Μπορείτε αν θέλετε να υπολογίσετε την κλίση συγκέντρωσης ( C/ x) στο x = 0, για να αποδείξετε στον εαυτό σας ότι η οριακή συνθήκη του αδιαπέραστου ορίου ισχύει. Η μέθοδος των εικονικών πηγών γίνεται αρκετά πιο πολύπλοκη όταν υπάρχουν πολλά όρια. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μάζα που διαχέεται από τα δεξιά, τελικά θα φτάσει στο αριστερό όριο και θα χρειαστεί τη δική της αντίστοιχη εικονική πηγή. Στην περίπτωση των δύο ορίων απαιτείται ένας πολύ μεγάλος αριθμός εικονικών πηγών, αλλά η λύση συγκλίνει γρήγορα Στην ειδική περίπτωση των δύο ορίων σε απόσταση ±L, η λύση είναι (Fischer al al. 1979) M ( x4 nl) ( x(4n) L) A 4 Dt n Cxt (, ) exp exp. (.51) Προφανώς ο αριθμός των εικονικών πηγών που απαιτούνται για σύγκλιση της λύσης εξαρτάται άμεσα από τη χρονική κλίμακα στην οποία ισχύει η λύση.

η σελίδα υπό συμπλήρωση... Συναγωγή και Διάχυση 55

56 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Πίνακας.3. Συγκεντρωτικός Πίνακας Λύσεων της Εξίσωσης Διάχυσης Στιγμιαία σημειακή πηγή, άπειρο πεδίο M Cxt (, ) exp A 4 Dt max () M C t A 4 Dt x x 0 Jx ( x, t ) M x x0 x x0 exp A At 4 Dt Dt για x 0 = 0 @ σ : (σ) = 8Dt και C(±σ,t)=0.61 C max (t) @ σ : (4σ) = 3Dt και C(±σ,t)=0.14 C max (t) Στιγμιαία χωρική πηγή αρχικής συγκέντρωσης, άπειρο πεδίο C 0 Cxt (, ) exp1erf 4 Cmax () t C0 x (, ) J x t C0 D exp A 4t x x0 Dt x x 0 Dt για x 0 = 0 @ σ : (σ) = 8Dt και C(+σ,t)=0.16 C 0 C( -σ,t)=0.84 C 0 @ σ : (4σ) = 3Dt και C(+σ,t)=0.0 C 0 C( -σ,t)=0.98 C 0

Συναγωγή και Διάχυση 57 Πίνακας.3 (συν/α). Συγκεντρωτικός Πίνακας Λύσεων της Εξίσωσης Διάχυσης. Σταθερή συγκέντρωση, ημι-άπειρο πεδίο Cx ( x0, t) C01erf Cmax () t C0 Jx( x x0, t) C0 D exp A A 4 t x x0 x x 0 Dt για x 0 = 0 @ σ : (σ) = Dt και C(+σ,t)=0.3 C 0 C( -σ,t)= undefined @ σ : (σ) = 8Dt και C(+σ,t)=0.05 C 0 C( -σ,t)= undefined Στιγμιαία σημειακή πηγή, περιορισμένο πεδίο M x x0 4nL b C( x, t) exp A 4 Dt n x x0 (4n ) Lb exp M (4 nl ) b Cmax () t exp A 4 Dt 4 Dt n ((4n ) Lb ) exp Jx(,) x t M xx0 4nL b ( x x0 4 nlb )exp A At 4 Dt n xx0 (4n) Lb ( xx0 (4n) Lb )exp όπου τα όρια βρίσκονται στο x 0 ± L b.

58 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Πίνακας.3 (συν/α). Συγκεντρωτικός Πίνακας Λύσεων της Εξίσωσης Διάχυσης. Στιγμιαία σημειακή πηγή διαστάσεων, άπειρο πεδίο xx y y M 0 0 Cxyt (,, ) exp 4 Ht DxD y x y max () M C t 4 Ht DxDy ( 0) ( 0) xx y y J( x, y, t) M 0 0 exp A 8 Ht DxD y 4Dxt 4Dyt xx i y y j Dt, D x = D y για r = (x-x 0 ) + (y-y 0 ) @ r = σ : (σ) = 8Dt και C(σ,t)=0.61 C max (t) @ r = σ : (4σ) = 3Dt και C(σ,t)=0.14 C max (t) Στιγμιαία σημειακή πηγή 3 διαστάσεων, άπειρο πεδίο x x y y M 0 0 Cxyzt (,,, ) exp 4t 4tDxDyD z 4Dxt 4Dyt z z0 z max () M C t 4t DxDyDz x x y y J( x, y, z, t) M 0 0 exp A 8t 4tD x xdyd z y z z0 z ( x x0) i ( y y0) j ( z z0) k Dt, D x = D y = D z για r = (x-x 0 ) + (y-y 0 ) + (z-z 0 ) @ r = σ : (σ) = 8Dt και C(σ,t)=0.61 C max (t) @ r = σ : (4σ) = 3Dt και C(σ,t)=0.14 C max (t)