ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Συνδυαστικής και των Σχέσεων-Συναρτήσεων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί µε e-mail στον Σύµβουλο Καθηγητή σας το αργότερο µέχρι την ευτέρα 10 Νοεµβρίου 2003, ώρα 13:00. Πρωτού αποστείλετε την εργασία στο Σύµβουλο Καθηγητή σας, βεβαιωθείτε ότι έχετε συµπληρώσει το ειδικό έντυπο (ΕΝΤΥΠΟ Α) στην επόµενη σελίδα. Οδηγίες προς τους φοιτητές: Στο έντυπο αυτό πρέπει να προσθέσετε τις απαντήσεις σας στο χώρο κάτω από το εκάστοτε ερώτηµα εκεί όπου περιέχεται η φράση: την οποία µπορείτε να σβήσετε. Μπορείτε να διαµορφώσετε το χώρο όπως επιθυµείτε, και δεν υπάρχει περιορισµός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας.
ΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το έντυπο αυτό που συµπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή σύµβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή µαζί µε α) αντίγραφο της διορθωµένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο µε Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του ελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωµένη εργασία και β) το φύλλο µε τα Σχόλια. Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση µεγαλύτερη των 7 ηµερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σηµείωµα του Συντονιστή της Θ.Ε. Ονοµατεπώνυµο Φοιτητή <Όνοµα> <Επώνυµο> Προσωπικός Αριθµός Φοιτητή <ΑΜ> Ηµεροµηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή Ηµεροµηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή Βαθµολογία 0 Υπογραφή Καθηγητή Ονοµατεπώνυµο Καθηγητή Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Θεµατική Ενότητα ιακριτα Μαθηµατικα και Μαθηµατικη Λογική Κωδικός Θεµατικής Ενότητας ΠΛΗ 20 Άυξων Αριθµός Γραπτής Εργασίας 1η Ακαδηµαϊκό έτος 2003-2004
Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ Ερώτηµα Μέγιστος βαθµός Βαθµός 1 10 2 5 3 10 4 10 5 15 6 10 7 15 8 10 9 15 Συνολικός Βαθµός: 100 0 Γενικά Σχόλια: <γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύµβουλο-Καθηγητή>
Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών) που ορίζονται ως εξής: f ( x) = x 1 g( x) = 3x 0, αν ο x είναι άρτιος h( x) = 1,αν ο x είναι περιτός Να εξετάσετε αν κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι 1-1 ή/και επί και να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω συνθέσεις: a) f ο g, g ο f, g οh, h οg, f ο( g οh), ( f οg) οh b) f ο f, f ο f ο f, g οg, g οg οg, h οh, h οh οh : / 10 Ερώτηµα 2. Θεωρείστε το σύνολο Χ που αποτελείται από όλες τις δυνατές ακολουθίες τεσσάρων δυαδικών αριθµών (παράδειγµα 0010, 1010 κλπ). Ορίζουµε µια διµελή σχέση Σ επί του συνόλου X, έτσι ώστε (x,y) Σ αν µια ακολουθία 2 ψηφιών στο x ταυτίζεται µε µια ακολουθία 2 ψηφίων στο y, όχι απαραίτητα στην ίδια θέση (για παράδειγµα το ζεύγος {0111, 1001} ανήκει στο Σ αφού και <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 1
στα δύο υπάρχει η ακολουθία 01, ενώ το ζεύγος {0000, 1111} προφανώς δεν ανήκει στη Σ). 1) Να υπολογιστεί ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου Χ. 2) Να εξεταστεί αν η σχέση Σ είναι ανακλαστική, συµµετρική, αντισυµµετρική, µεταβατική, σχέση µερικής διάταξης. : / 5 Ερώτηµα 3. Το ΤΖΟΚΕΡ είναι ένα παιχνίδι όπου κληρώνονται πέντε διαφορετικοί µεταξύ τους αριθµοί από το 1 έως το 45 (δεν παίζει ρόλο η σειρά κλήρωσης των αριθµών) και ένας ακόµη αριθµός τζόκερ από το 1 έως το 20 (ο αριθµός τζόκερ µπορεί να συµπίπτει µε κάποιον από τους 5 αρχικούς αριθµούς). Οι αριθµοί που κληρώνονται αποτελούν τη νικήτρια στήλη του παιχνιδιού. Όταν λέµε ότι «ο παίκτης συµπληρώνει µία στήλη», αυτό σηµαίνει ότι επιλέγει επίσης πέντε διαφορετικούς µεταξύ τους αριθµούς από το 1 έως το 45 και έναν ακόµη αριθµό τζόκερ από το 1 έως το 20 ευελπιστώντας ότι αυτοί θα συµπίπτουν µε τους αριθµούς της νικήτριας στήλης. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: 1) Ο αριθµός των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη σε κάθε περίπτωση. 2) Τον αριθµό των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη στην περίπτωση όπου στην κλήρωση συµβούν ταυτόχρονα τα εξής: <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 2
- Από τους 5 αρχικούς αριθµούς ο ένας είναι µεταξύ του 1 και του 10, ο δεύτερος µεταξύ του 11 και του 20, ο τρίτος µεταξύ του 21 και του 30, ο τέταρτος µεταξύ του 31 και του 40 και ο πέµπτος µεταξύ του 41 και του 45 - Ο αριθµός τζόκερ είναι άρτιος. 3) Ας θεωρήσετε ότι κάποιος συµπληρώνει όλες τις στήλες που υπολογίστηκαν στο ερώτηµα 2 και η κλήρωση τον ευνοεί, δηλαδή ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις του προηγούµενου ερωτήµατος. Πόσες είναι οι στήλες που είναι απόλυτα επιτυχείς; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 5 αρχικούς αριθµούς όχι όµως και τον αριθµό τζόκερ; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 4 από τους 5 αρχικούς αριθµούς και τον αριθµό τζόκερ; : / 10 Ερώτηµα 4. Υπολογίστε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να τοποθετήσουµε n φοιτητές σε n θέσεις σε σειρά µε την προϋπόθεση ότι για δύο συγκεκριµένους από αυτούς πρέπει να κάθονται υποχρεωτικά ακριβώς k φοιτητές ανάµεσά τους. Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για n=10, k =3; <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 3
: / 10 Ερώτηµα 5. 1) Σε µια εκλογική αναµέτρηση και σε ένα εκλογικό τµήµα το ψηφοδέλτιο ενός συγκεκριµένου κόµµατος µε 20 υποψήφιους βουλευτές ψήφισαν 300 ψηφοφόροι και κάθε ένας από αυτούς είχε τη δυνατότητα είτε να µη βάλει κανένα σταυρό είτε να βάλει έναν µόνο σταυρό σε ακριβώς έναν υποψήφιο. Σε κάποιο σηµείο στη διάρκεια της καταµέτρησης υπολογίζεται ότι κάθε υποψήφιος βουλευτής έχει λάβει ακριβώς 10 σταυρούς, ενώ επίσης έχουν βρεθεί 10 ψηφοδέλτια του συγκεκριµένου κόµµατος χωρίς να περιέχουν σταυρό. Να υπολογιστεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούν να κατανεµηθούν οι υπόλοιποι σταυροί στους υποψήφιους βουλευτές. 2) Σε ένα τµήµα µιας αίθουσας που αποτελείται από n θέσεις στη σειρά πρόκειται να καθίσουν k φοιτητές για να εξεταστούν σε ένα µάθηµα. Οι επιτηρητές θέλουν να φροντίσουν ώστε να µην κάθεται κάποιος φοιτητής ακριβώς δίπλα σε κάποιον άλλο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούν να το επιτύχουν; Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για n=10, k =3; : / 15 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 4
Ερώτηµα 6. Έχουµε 5 µπλε µπάλες των 5 κιλών, 10 πράσινες των 2 κιλών και απεριόριστες κόκκινες µπάλες του 1 κιλού. Να γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα: 1) Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε n µπάλες. 2) Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες που το συνολικό τους βάρος είναι n. : / 10 Ερώτηµα 7. Μια οµάδα στη διάρκεια του πρωταθλήµατος δίνει 30 αγώνες, όπου σε κάθε αγώνα αν κερδίσει παίρνει τρεις βαθµούς, αν φέρει ισοπαλία παίρνει ένα βαθµό και αν χάσει παίρνει 0 βαθµούς. Χρησιµοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις να υπολογίσετε τα ακόλουθα: 1) Τον αριθµό των δυνατών διαφορετικών συνολικών αποτελεσµάτων αν ο συνολικός αριθµός των νικών είναι περιττός, ο συνολικός αριθµός των ηττών είναι άρτιος, ενώ οι ισοπαλίες είναι τουλάχιστον 2 (ένα αποδεκτό συνολικό αποτέλεσµα είναι για παράδειγµα 7 νίκες, 16 ήττες και 7 ισοπαλίες). 2) Τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους η συνολική βαθµολογία της οµάδας στο τέλος του πρωταθλήµατος θα είναι 45 βαθµοί, µε την προϋπόθεση οι νίκες να είναι περισσότερες από τις ήττες. <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 5
: / 15 Ερώτηµα 8. Να γραφεί εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που να υπολογίζει τον αριθµό των διαφορετικών διατάξεων µήκους n που µπορούν να δηµιουργηθούν από τα γράµµατα A, B, Γ, µε τον περιορισµό ο αριθµός εµφανίσεων του Α να είναι περιττός και επίσης ο αριθµός εµφανίσεων του Β να είναι περιττός. Να βρεθεί ο αριθµός των διατάξεων για n=8. : / 10 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 6
Ερώτηµα 9. Η θεωρία µέτρησης Polya αναπτύχθηκε µε σκοπό τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών (ισοµερών) µε τις οποίες µπορεί να υπάρξει στη φύση µια χηµική ένωση. Στο ερώτηµα αυτό καλείστε να εφαρµόσετε τη θεωρία Polya σε ένα τέτοιο πρόβληµα, που περιγράφεται στη συνέχεια: Το βενζόλιο είναι η χηµική ένωση C6H 6 που αποτελείται από 6 άτοµα άνθρακα και 6 άτοµα υδρογόνου. Τα άτοµα του υδρογόνου µπορούν να αντικατασταθούν από άλλα άτοµα, δηµιουργώντας έτσι καινούριες ενώσεις. Για παράδειγµα η ένωση C 6 H 4 Br 2 προκύπτει µε αντικατάσταση 2 ατόµων υδρογόνου µε 2 άτοµα βρωµίου. Ενώ όµως το βενζόλιο εµφανίζεται σε µία µόνο µορφή, η ένωση C 6 H 4 Br 2 εµφανίζεται σε τρεις διαφορετικές µορφές ανάλογα µε τη θέση των ατόµων βρωµίου. Αυτές είναι οι ακόλουθες: H H B H H B B H B H HB H HB H H H H H H Σηµειώστε ότι περιστροφή του µορίου κατά 60 µοίρες (µετακίνηση δηλαδή όλων των ατόµων κατά µία θέση) ή αναποδογύρισµα (καθρέφτισµα) γύρω από οποιονδήποτε άξονα συµµετρίας δεν αντιστοιχεί σε καινούρια µορφή του µορίου. Στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει να εφαρµόσετε τη θεωρία µέτρησης Polya για τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών µε τις οποίες µπορούν να εµφανιστούν στη φύση οι ακόλουθες χηµικές ενώσεις: 1) H ClBr (2 άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο C 6 4 χλωρίου και ένα άτοµο βρωµίου) 2) C6H 2Cl2Br2 (4 άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από δύο άτοµα χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου) <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 7
3) C6H 2IClBr2 (4 άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο ιωδίου, ένα άτοµο χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου) Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να δηµιουργήσετε πίνακα αντίστοιχο µε εκείνον της σελίδας 97 του βιβλίου των Κυρούση-Μπούρα-Σπυράκη, όπου να φαίνονται όλες οι δυνατές αντιµεταθέσεις που αφήνουν αναλλοίωτο το µόριο (λαµβάνοντας υπόψη τις συµµετρίες που αναφέρηκαν πιο πάνω, δηλαδή τις στροφές και τους καθρεφτισµούς) και οι αντίστοιχες κυκλικές αναπαραστάσεις και δείκτριες συναρτήσεις. Στη συνέχεια για κάθε µία από τις τρεις χηµικές ενώσεις θα πρέπει να προσδιορίσετε το δείκτη κύκλων P G και επίσης το µονώνυµο του οποίου ο συντελεστής µας δίνει τον αριθµό των διαφορετικών µορφών της ένωσης. εν είναι απαραίτητος ο υπολογισµός των συντελεστών αυτών. : / 15 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 8
ΕΝΤΥΠΟ Α ΣΥΝΟ ΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Το έντυπο αυτό το συµπληρώνετε και το στέλνετε µαζί µε τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή Σύµβουλο. Θυµηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας. < Συµπληρώστε τα στοιχεία σας µέσα στα σκιασµένα µέρη > Συµπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια) Στοιχεία Φοιτητή (-τριας) Όνοµα: <Όνοµα> Επώνυµο: <Επώνυµο> Αριθµός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ> ιεύθυνση Επικοινωνίας: Οδός / Αριθµός: Περιοχή: Πόλη: Ταχ. Κώδικας: Νοµός: Τηλέφωνο: Fax: e-mail: ΣΧΟΛΗ Πληροφορικής ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική (ΠΛΗ20) ΚΩ ΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1η Ακαδηµαϊκό έτος: 2003-2004 Ηµεροµηνία Αποστολής: <Όνοµα> <Επώνυµο>, 1η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 9