ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΡΙΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ του μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών «Γεωγραφία & Περιβάλλον» Καθ. Βαϊόπουλος Δημήτριος Δρ. Βασιλόπουλος Ανδρέας Λέκτορας Ευελπίδου Νίκη Επ. Καθ. Σκιάνης Γεώργιος

Πρόλογος Η παρατήρηση και το πείραμα είναι τα μέσα με τα οποία επαληθεύονται θεωρητικές διατυπώσεις και επιτυγχάνονται επιστημονικές κατακτήσεις. Μερικές φορές όμως, τα αντικείμενα της παρατήρησης είναι τόσο μεγάλης έκτασης και η μελέτη τους απαιτεί μια συνολική εποπτεία που μπορεί να αποκτηθεί μόνο με την απεικόνισή τους σε σμίκρυνση. Αυτή τη διαδικασία εξυπηρετεί η Χαρτογραφία, η τεχνική που ασχολείται βασικά με την απεικόνιση σε σμίκρυνση περιοχών του περιβάλλοντος χώρου (μέρους επιφάνειας της Γης, όλης της Γης, της Σελήνης, των πλανητών), σε τέτοια μορφή που να διευκολύνει την παρατήρηση. Ένα καίριας σημασίας θέμα που απασχολεί κάθε επιστημονικό κλάδο είναι η ακριβής αποτύπωση δεδομένων, τα οποία η αντίστοιχη επιστήμη, με την κατάλληλη μεθοδολογία και τα διαθέσιμα επιστημονικά εργαλεία, αναδεικνύει σε χρήσιμες πληροφορίες. Οι περιηγητές στα ταξίδια τους, οι ναυτιλλόμενοι, οι επιστήμονες της γης και οι κάθε είδους ταξιδευτές στα διάφορα μήκη και πλάτη της γης, από πολύ ενωρίς αντιλήφθηκαν ότι η καταγραφή πληροφοριών σε ένα αποθηκευτικό μέσο όχι μόνο διευκόλυνε επόμενες περιηγήσεις, μελέτες και ταξίδια τους, αλλά προλάμβανε δυσάρεστες εκπλήξεις και απέτρεπε κινδύνους. Έτσι, γεννήθηκε η ανάγκη κατασκευής του χάρτη, που αποτελεί την υπό κλίμακα αποτύπωση χαρακτηριστικών της γήινης επιφάνειας σε ένα φύλλο χαρτιού. Όμως υπάρχει μια εγγενής αδυναμία να αποτυπωθούν σε ένα φύλλο χαρτιού δεδομένα, που ανήκουν στη γήινη επιφάνεια και να είναι πρακτικά αξιοποιήσιμα, δεδομένου ότι η γήινη επιφάνεια, ως σφαιρική επιφάνεια, είναι μη αναπτυκτή σε επίπεδο επιφάνεια. Άρα, κάθε απόπειρα αποτύπωσης στοιχείων της επιφάνειας της γης πάνω σε χαρτί είναι ανεπιτυχής, δηλαδή όχι ακριβής, τουλάχιστον σε ό,τι αφορά σε ορισμένα χαρακτηριστικά.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 3 Έτσι, επινοήθηκαν τρόποι με τους οποίους αίρονται οι αδυναμίες αυτές, τουλάχιστον μερικώς. Οι τρόποι αυτοί αποτελούν τα διάφορα προβολικά συστήματα, τα οποία χρησιμοποιεί η επιστήμη της Χαρτογραφίας, προκειμένου να αποδώσει πάνω σε χάρτη, με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη αξιοπιστία και ακρίβεια, τα ποικίλης μορφής στοιχεία της γήινης επιφάνειας. Η Χαρτογραφία περιλαμβάνει το σύνολο των εργασιών (θεωρία και μεθόδους) που απαιτούνται για την καταγραφή και παρουσίαση των γεωγραφικών πληροφοριών (συνήθως σε μορφή χάρτη). Θα μπορούσε να περιλαμβάνει όλες τις εργασίες, από τις πρώτες εργασίες πεδίου, μέχρι την τελική εκτύπωση του χάρτη. Συνήθως όμως, το αντικείμενο της Χαρτογραφίας επικεντρώνεται στις εργασίες σύνταξης και αναπαραγωγής των χαρτών, ενώ οι εργασίες πεδίου ανήκουν στους κλάδους της Γεωδαισίας και της Τοπογραφίας. Ένα μεγάλο μέρος της Χαρτογραφίας είναι η μελέτη των απεικονίσεων της σφαίρας (και του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής) στο επίπεδο, που συχνά ονομάζονται και προβολές. Η μαθηματική αναλυτική μελέτη του προβλήματος αυτού αποτελεί τη Θεωρητική ή Μαθηματική Χαρτογραφία. Η Γενική Χαρτογραφία ασχολείται με τη σύνταξη και σχεδίαση των χαρτών, συμπεριλαμβάνει όμως και τη στοιχειώδη μελέτη των απεικονίσεων. Το προϊόν της τεχνικής αυτής είναι ο χάρτης, δηλ. η υπό κλίμακα απεικόνιση περιοχών του γεωγραφικού χώρου. Ο χάρτης μπορεί να είναι το παραδοσιακό χαρτί πάνω στο οποίο παρουσιάζονται με συμβολική μορφή στοιχεία του χώρου, ή ένα ψηφιακό μέσο αποθήκευσης που να περιέχει τα ίδια στοιχεία. Ανάλογα με τα στοιχεία που περιέχει και τον τρόπο απεικόνισής τους, χρησιμεύει για μετρήσεις γραμμικών, επιφανειακών και τρισδιάστατων μεγεθών, για μελέτη και ανάλυση στοιχείων, για γενική εποπτεία και θεώρηση του περιβάλλοντος. Ο πιο διαδεδομένος προορισμός ενός χάρτη είναι η απεικόνιση της επιφάνειας της Γης, οσοδήποτε εκτεταμένης ή περιορισμένης. Όμως εφόσον η Γη είναι, τουλάχιστον σε πρώτη προσέγγιση, μια

4 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ σφαίρα, τίθεται το βασικό πρόβλημα της απεικόνισης της γήινης σφαίρας σε ένα επίπεδο χαρτί, και μάλιστα σε σμίκρυνση. Το πρόβλημα αυτό είναι πρακτικά αδύνατο να λυθεί, γιατί από τη Γεωμετρία είναι γνωστό ότι η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε επίπεδο. Η μόνη δυνατή να εκτελεστεί γεωμετρικά παράστασή της, είναι η σφαιρική, η οποία όμως δεν έχει ούτε πρακτική ούτε λειτουργική αξία. Όμως, υπάρχουν ορισμένα συστήματα προβολών που πλησιάζουν πολύ την πραγματικότητα. Ειδικά, εφόσον πρόκειται για περιοχές μικρών διαστάσεων, το σφάλμα απεικόνισης είναι μικρό. Σε περιπτώσεις όμως απεικόνισης μεγάλων περιοχών το σφάλμα είναι σημαντικό. Ώστε είναι αδύνατο να παρασταθεί ακριβώς σε επίπεδο η επιφάνεια της Γης. Αλλά μπροστά στην αδυναμία να βρεθεί λύση ακριβής, αναζητήθηκε λύση κατά προσέγγιση. Στο μοντέλο αυτό, η επιφάνεια της σφαίρας αντικαθίσταται με μια αναπτυκτή επιφάνεια: επίπεδο, κύλινδρο, κώνο και πάνω στις επιφάνειές τους προβάλλονται τα σημεία της Γης ή τμήματος της Γης που ακριβώς θέλουμε να απεικονίσουμε στο χάρτη. Αλλά έτσι, θυσιάζεται άλλοτε η ακρίβεια της παράστασης των γωνιών του σχήματος που προβάλλεται, άλλοτε της μορφής του και άλλοτε και τα δυο. Γενικά, όλοι σχεδόν οι τύποι προβολών βασίζονται σε μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τις γεωγραφικές συντεταγμένες τόπου με τις αντίστοιχες συντεταγμένες στο επίπεδο του χάρτη. Οι Σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Γεωγραφία και Περιβάλλον» του Τμήματος Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος του Παν/μίου Αθηνών, προκειμένου να τους βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση των προβολικών συστημάτων, που αποτελούν μια σημαντική ενότητα της Μαθηματικής Γεωγραφίας, η γνώση των οποίων βοηθάει καθοριστικά στην ακριβέστερη κατασκευή χαρτών, αυτών των πολύτιμων εργαλείων των γεωεπιστημόνων για τη μελέτη της γεώσφαιρας, αλλά και του ευρύτερου κοινού στις δραστηριότητές του που απαιτούν καλή γνώση του περιβάλλοντος χώρου.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 5 Επίσης, αναπτύσσονται και διάφορες μέθοδοι χωρικής παρεμβολής που βοηθούν, κατά περίπτωση, στην προσομοίωση μελετώμενων φυσικογεωγραφικών συστημάτων. Η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου χωρικής παρεμβολής εξασφαλίζει την κατά το δυνατόν ακριβέστερη προσομοίωση του φυσικού συστήματος και οδηγεί σε αξιόπιστα αποτελέσματα των αντικειμένων της γεωλογικής και γεωγραφικής έρευνας. Μάρτιος 2008 Δημήτρης Αρ. Βαϊόπουλος

6 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 2 1. ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... 8 1.1 ΣΦΑΙΡΟΕΙΔΗ ΚΑΙ ΣΦΑΙΡΕΣ... 12 2. ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... 16 2.1 ΕΙΔΗ ΠΡΟΒΟΛΩΝ... 18 2.1.1 Προβολές πραγματικής κατεύθυνσης... 19 2.1.2 Σύμμορφη/ Ισόμορφη/ Ισογώνιος προβολή Conformal projection... 19 2.1.3 Ισοδύναμη/ Ισεμβαδική προβολή Equal area projection... 20 2.1.4 Ισαπέχουσα προβολή Equidistant projection... 20 2.1.5 Κωνική προβολή... 21 2.1.6 Κυλινδρικές προβολές... 24 2.1.7 Επίπεδες προβολές... 25 2.2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΡΟΒΟΛΩΝ... 27 2.2.1 Γωνιακές παράμετροι... 27 2.2.2 Γραμμικές παράμετροι... 29 3. ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ... 31 3.1 ΑΖΙΜΟΥΘΙΑΚΗ ΙΣΑΠΕΧΟΥΣΑ - AZIMUTHAL EQUIDISTANT... 31 3.2 ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ GEOCENTRIC COORDINATE SYSTEM... 34 3.3 GEOGRAPHIC COORDINATE SYSTEM... 35 3.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΑΖΙΜΟΥΘΙΑΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ LAMBERT - LAMBERT AZIMUTHAL EQUAL AREA... 36 3.5 ΣΥΜΜΟΡΦΗ ΚΩΝΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ LAMBERT - LAMBERT CONFORMAL CONIC.. 39 3.6 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ TRANSVERSE MERCATOR... 41 3.7 ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR - UTM... 44 4. ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ (TRANSFORMATIONS)- ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ... 47 5. ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ... 51 5.1 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ HATT... 51 5.2 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 3 ΜΟΙΡΩΝ (ΕΜΠ 3 Ο Η ΤΜ3 Ο )... 52 5.3 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ UTM... 53 5.4 ΠΡΟΒΟΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΓΣΑ 87... 54 6. ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ... 55 6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 55 6.2 ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (SPATIAL INTERPOLATION)... 56 6.2.1 Σύνθεση προβλήματος... 56 6.3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (INTERPOLATION METHODS)... 58 6.3.1 Παρεμβολή τοπικής γειτνίασης (Local neighbourhood interpolation)... 59

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 7 6.3.2 Γεωστατιστικές μέθοδοι χωρικής συσχέτισης (Kriging methods)... 59 6.3.3 Μέθοδοι διακύμανσης (Variational methods)... 61 6.4 ΕΠΙΛΟΓΗ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ... 64 6.5 ΕΠΙΛΟΓΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ... 67 6.6 Η ΧΩΡΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ... 70 7. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΑΓΛΥΦΟΥ / TERRAIN ANALYSIS... 72 7.1 ΤΟΠΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ... 73 7.2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΗΣ ΕΥΡΥΤΕΡΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ... 78 7.3 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΑΠΟΡΡΟΗΣ... 79 7.4 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ... 81 7.5 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΟΓΚΟΥ... 83 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ... 84

8 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 1. Γεωγραφικά Συστήματα Συντεταγμένων Σε ένα Γεωγραφικό Σύστημα Συντεταγμένων (Geographic Coordinate System G.C.S.) χρησιμοποιείται μία σφαιρική επιφάνεια για να προσδιοριστούν τα σημεία πάνω στη γη και περιλαμβάνει μια μονάδα μέτρησης της γωνίας, έναν πρώτο μεσημβρινό και ένα datum (βασισμένο σε ένα σφαιροειδές). Ο όρος datum που συχνά χρησιμοποιείται αντί του G.C.S., αποτελεί ένα μόνο τμήμα αυτού όπως θα δούμε και παρακάτω. Ένα σημείο είναι δυνατό να γεωαναφερθεί από τις τιμές του γεωγραφικού μήκους και πλάτους του. Το γεωγραφικό μήκος και πλάτος είναι οι τιμές των γωνιών που σχηματίζονται από το κέντρο της γης μέχρι σε ένα σημείο της επιφάνειάς της, και υπολογίζονται Εικ.1.1: Η γήινη σφαίρα με ενδεικτικές τιμές γεωγραφικού μήκους και γεωγραφικού πλάτους. συνήθως σε μοίρες ή σε βαθμούς (grads).

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 9 Σε ένα σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων, οι «οριζόντιες γραμμές», ή οι γραμμές Α-Δ, είναι γραμμές ίσου γεωγραφικού πλάτους και ονομάζονται και Παράλληλοι (Εικ. 1.1). Οι «κάθετες γραμμές», ή οι γραμμές Β-Ν, είναι γραμμές ίσου γεωγραφικού μήκους, και ονομάζονται και Μεσημβρινοί (Εικ. 1.2). Τόσο οι Παράλληλοι όσο και οι Μεσημβρινοί, καλύπτουν όλη τη σφαίρα και διαμορφώνουν ένα πλέγμα που ονομάζεται γεωγραφικός κάναβος (graticule). Η γραμμή γεωγραφικού πλάτους που βρίσκεται ακριβώς στην ίδια απόσταση και από τους δύο Πόλους, ονομάζεται Ισημερινός και καθορίζει τη γραμμή μηδενικού γεωγραφικού πλάτους. Η γραμμή μηδενικού γεωγραφικού μήκους καλείται πρώτος Μεσημβρινός. Για τα περισσότερα γεωγραφικά συστήματα συντεταγμένων, ως πρώτος Μεσημβρινός λαμβάνεται αυτός που περνά από το Γκρήνουιτς, στην Αγγλία. Άλλες χώρες λαμβάνουν ως πρώτους Μεσημβρινούς εκείνους που περνούν μέσω της Βέρνης (Ελβετία), της Μπογκοτά (Κολομβία-Αμερική), και του Παρισιού (Γαλλία). Εικ.1.2: Οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί που διαμορφώνουν ένα πλέγμα. Το σημείο με συντεταγμένες (0,0) καθορίζεται ως η τομή του Ισημερινού και του πρώτου Μεσημβρινού. Η γεώσφαιρα διαιρείται σε τέσσερα γεωγραφικά τεταρτημόρια με σημείο εκκίνησης το (0,0). Ο Βορράς και ο Νότος είναι επάνω και κάτω από τον Ισημερινό αντίστοιχα, ενώ η Δύση και η Ανατολή τοποθετούνται αριστερά και δεξιά του πρώτου Μεσημβρινού αντίστοιχα. Γεωγραφικό πλάτος είναι η απόσταση, πάνω σε σφαίρα ή χάρτη, ενός τόπου από τον Ισημερινό, βόρεια ή νότια από αυτόν. Οι τιμές γεωγραφικού πλάτους και μήκους υπολογίζονται με μονάδα

10 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ μέτρησης είτε τους δεκαδικούς βαθμούς είτε τις μοίρες, τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα (Degrees Minutes Seconds DMS). Το γεωγραφικό πλάτος αποτελεί το τόξο που αντιστοιχεί σε μια γωνία με κορυφή το κέντρο της γης και μετριέται πάνω σε ένα επίπεδο Βορρά Νότου, από τον Ισημερινό προς τους Πόλους. Το τόξο μεταξύ του Ισημερινού και του ενός από τους δύο γεωγραφικούς Πόλους είναι 90 ο (1/4 της περιφέρειας της γης δηλ. ¼ * 360 ο ), γι αυτό και το μεγαλύτερο δυνατό γεωγραφικό πλάτος είναι -90 στο Νότιο Πόλο ή +90 στο Βόρειο Πόλο. Το μήκος μιας μοίρας τόξου γεωγραφικού πλάτους είναι περίπου 111km, ενώ παρουσιάζει αυξομειώσεις λόγω της μη ομοιόμορφης κυρτότητας της γης και κυμαίνεται από 110,568km στον Ισημερινό, έως 111,900km στους Πόλους. Το γεωγραφικό μήκος είναι η απόσταση ενός τόπου από τον πρώτο Μεσημβρινό, ανατολικά ή δυτικά από αυτόν. Ο πρώτος Μεσημβρινός του Γκρήνουιτς είναι η καθορισμένη νοητή γραμμή Βορρά Νότου, που περνά από τους δύο γεωγραφικούς Πόλους και το Γκρήνουιτς. Το γεωγραφικό μήκος μετριέται επίσης σε μοίρες, πρώτα και δεύτερα λεπτά, αποτελεί το μήκος του τόξου που σχηματίζεται αν χαραχθεί μια γραμμή από το κέντρο της γης προς το σημείο τομής του Ισημερινού με τον πρώτο Μεσημβρινό και κατόπιν μια άλλη γραμμή από το κέντρο της γης προς οποιαδήποτε άλλο μέρος επί του Ισημερινού. Οι τιμές γεωγραφικού μήκους κυμαίνονται από -180 προς δύση, έως σε 180 προς ανατολή. Εάν ο πρώτος Μεσημβρινός είναι στο Γκρήνουιτς, τότε η Αυστραλία, η οποία είναι νότια του ισημερινού και ανατολικά του Γκρήνουιτς, έχει θετικές τιμές γεωγραφικού μήκους και αρνητικές τιμές γεωγραφικού πλάτους. Κάθε μοίρα γεωγραφικού μήκους ισοδυναμεί στον Ισημερινό με 111,32km περίπου και στους Πόλους με 0km (Εικ. 1.3).

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 11 Εικ.1.3: Ο γεωγραφικός κάναβος. Αν και μέσω του γεωγραφικού μήκους και πλάτους είναι δυνατός ο εντοπισμός της ακριβούς θέσης στην επιφάνεια της γεώσφαιρας, οι μονάδες μέτρησης σε αυτή την περίπτωση δεν είναι ομοιόμορφες. Μόνο κατά μήκος του Iσημερινού, η απόσταση που αντιπροσωπεύει μία μοίρα γεωγραφικού μήκους είναι ίση με την απόσταση που αντιπροσωπεύει μία μοίρα γεωγραφικού πλάτους. Αυτό συμβαίνει διότι ο Ισημερινός είναι η μόνη τόσο μεγάλη παράλληλος, όσο ο Mεσημβρινός. Σε γενικές γραμμές, ο Ισημερινός καθώς και όλοι οι Μεσημβρινοί, είναι μεγάλοι κύκλοι. Επάνω και κάτω από τον Ισημερινό, οι κύκλοι που ορίζουν τις παράλληλους του γεωγραφικού πλάτους, μικραίνουν βαθμιαία μέχρι που μετατρέπονται σε ένα σημείο, στο βόρειο και νότιο Πόλο, όπου και οι Μεσημβρινοί συγκλίνουν. Καθώς οι Μεσημβρινοί συγκλίνουν προς τους Πόλους, η απόσταση που αντιπροσωπεύει μία μοίρα γεωγραφικού μήκους μηδενίζεται. Στο σφαιροειδές σύστημα Clarke 1866, μία μοίρα γεωγραφικού μήκους στον Ισημερινό, ισούται με 111.321Km, ενώ στις 60 είναι μόνο 55.802Km. Επειδή οι μοίρες γεωγραφικού πλάτους και μήκους δεν αντιπροσωπεύουν σταθερή απόσταση, δεν είναι δυνατή η μέτρηση με ακρίβεια των αποστάσεων ή η αποτύπωση των περιοχών στις δύο διαστάσεις.

12 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 1.1 Σφαιροειδή και σφαίρες Η μορφή και το μέγεθος ενός Γεωγραφικού Συστήματος Συντεταγμένων καθορίζεται από μια Σφαίρα ή ένα Σφαιροειδές (Εικ. 1.4). Παρά το γεγονός ότι η γη αντιπροσωπεύεται καλύτερα από ένα Σφαιροειδές, μερικές φορές παρουσιάζεται ως Σφαίρα για να διευκολύνονται οι μαθηματικοί υπολογισμοί. Η υπόθεση ότι η γη είναι μια σφαίρα είναι φανερή από χάρτες μικρής κλίμακας (μικρότεροι και από 1:5.000.000). Σε αυτήν την κλίμακα, η διαφορά μεταξύ μιας Σφαίρας και ενός Σφαιροειδούς, δεν είναι ανιχνεύσιμη στο χάρτη. Εντούτοις, ένα Σφαιροειδές είναι απαραίτητο για να αντιπροσωπεύσει τη μορφή της γης προκειμένου να διατηρηθεί η ακρίβεια για μεγαλύτερης κλίμακας χάρτες (κλίμακα 1:1.000.000 ή μεγαλύτερη). Για όλες τις ενδιάμεσες τιμές στις κλίμακες που προαναφέρθηκαν, η επιλογή μεταξύ της Σφαίρας ή του Σφαιροειδούς, θα εξαρτηθεί από το σκοπό που θα εξυπηρετεί ο χάρτης που θα δημιουργηθεί, καθώς επίσης και από την ακρίβεια των δεδομένων. Εικ.1.4: Σφαίρα και σφαιροειδές Η Σφαίρα παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από μία διάμετρό του, ενώ ένα Σφαιροειδές ή Ελλειψοειδές από την περιστροφή μιας έλλειψης γύρω από έναν άξονά της. Χαρακτηριστικά της έλλειψης είναι ο μεγάλος άξονας και ο μικρός άξονας που φαίνονται στην Εικόνα 1.5. Η απόσταση μεταξύ των δύο εστιών του ελλειψοειδούς ονομάζεται εστιακή απόσταση. Η μεγαλύτερη ακτίνα ονομάζεται μεγάλος ημιάξονας, και η μικρότερη ακτίνα αποκαλείται μικρός ημιάξονας.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 13 Εικ. 1.5: Οι μεγάλοι και μικροί άξονες μιας έλλειψης όπου: (a) ο μεγάλος ημιάξονας και (b) ο μικρός ημιάξονας. Περιστρέφοντας την έλλειψη γύρω από τον μικρό άξονα δημιουργείται ένα σφαιροειδές. Ένα Σφαιροειδές καθορίζεται είτε από τον μεγάλο ημιάξονα (a), και από τον μικρό ημιάξονα (b), είτε από τον a και την επιπλάτυνση f (flattening). Η επιπλάτυνση είναι η διαφορά μήκους μεταξύ των δύο αξόνων προς το μήκος του άξονα a και εκφράζεται ως κλάσμα ή ως δεκαδικός: f = (a - b) / a Επειδή η τιμή της επιπλάτυνσης είναι μικρή (κυμαίνεται μεταξύ των τιμών 0-1), συνήθως χρησιμοποιείται στη θέση της η ποσότητα 1/f. Οι παράμετροι του Σφαιροειδούς για το παγκόσμιο γεωδαιτικό σύστημα του 1984 (World Geodetic System - WGS 1984 ή WGS84) είναι: a = 6.378.137,0m

14 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 1/f = 298,257223563 Επιπλάτυνση με μηδενική τιμή, σημαίνει ότι οι δύο άξονες είναι ίσοι, με αποτέλεσμα να δημιουργούν μια Σφαίρα. Η επιπλάτυνση της γης είναι περίπου 0,003353. Γενικά, ένα Σφαιροειδές επιλέγεται για μία χώρα ή μια συγκεκριμένη περιοχή και ως εκ τούτου, έρευνες έχουν καταλήξει σε πολλά Σφαιροειδή που αντιπροσωπεύουν τη γη. Ένα Σφαιροειδές που αρμόζει σε μία περιοχή, δεν αρμόζει απαραιτήτως και σε μία διαφορετική περιοχή. Μέχρι πρότινος, για τη Β. Αμερική χρησιμοποιούνταν το Σφαιροειδές που καθορίστηκε από τον γεωδαίτη Clarke το 1866. Ο μεγάλος ημιάξονας του Σφαιροειδούς αυτού έχει μήκος 6.378.206,4m και ο μικρός ημιάξονας έχει μήκος 6.356.583,8m. Λόγω της βαρύτητας και των ποικιλόμορφων χαρακτηριστικών γνωρισμάτων της επιφάνειας της γης, η γη δεν είναι ούτε μια τέλεια Σφαίρα ούτε ένα τέλειο Σφαιροειδές. Μέσω των δορυφόρων ανακαλύφθηκαν διάφορες ελλειπτικές αποκλίσεις, όπως για παράδειγμα ότι ο Νότιος Πόλος είναι πιο κοντά στον Ισημερινό από ό,τι ο Βόρειος Πόλος. Τα Σφαιροειδή, που έχουν προσδιοριστεί με δορυφορικές τεχνολογίες, αντικαθιστούν τον παλαιότερο τύπο Σφαιροειδών, που προσδιορίστηκαν με μετρήσεις εδάφους. Για παράδειγμα, ο νέος τύπος Σφαιροειδούς για τη Βόρεια Αμερική είναι το γεωδαιτικό Σύστημα αναφοράς του 1980 (GRS 1980), του οποίου οι ακτίνες είναι 6.378.137,0m και 6.356.752,3m. Επειδή η μεταβολή του Σφαιροειδούς ενός συστήματος γεωγραφικών συντεταγμένων τροποποιεί όλες τις προηγούμενες υπολογισμένες τιμές, πολλοί οργανισμοί δεν έχουν υιοθετήσει ακόμη τα νεότερα και περισσότερο ακριβή Σφαιροειδή.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 15 Datums Ενώ ένα Σφαιροειδές προσεγγίζει τη μορφή της γης, ένα datum προσδιορίζει τη θέση του σφαιροειδούς σε σχέση με το κέντρο της γης. Ένα datum παρέχει ένα σύστημα αναφοράς για τις μετρήσεις θέσεων πάνω στην επιφάνεια της γης. Καθορίζει την αρχή και τον προσανατολισμό των γραμμών του γεωγραφικού πλάτους και μήκους (Εικ. 1.6). Εικ.1.6: Το datum προσδιορίζει τη θέση του Σφαιροειδούς σε σχέση με το κέντρο της γης. Τα τελευταία χρόνια οι δορυφορικές τεχνολογίες παρέχουν στους γεωδαίτες νέες μετρήσεις που καθορίζουν το καταλληλότερο Σφαιροειδές, το οποίο συσχετίζει τις συντεταγμένες με το κέντρο βάρους της γης. Ένα γεωκεντρικό datum χρησιμοποιεί το κέντρο βάρους της γης ως αφετηρία των αξόνων του Σφαιροειδούς (semimajor και semiminor). Το πιο πρόσφατα αναπτυγμένο και ευρέως εφαρμοσμένο datum είναι το WGS 1984, το οποίο χρησιμοποιείται για μετρήσεις θέσεων σε παγκόσμια κλίμακα. Ένα τοπικό datum προσαρμόζει το Σφαιροειδές του για να προσεγγίσει την επιφάνεια της γης σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Ένα σημείο της επιφάνειας του Σφαιροειδούς αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο στην επιφάνεια της γης. Αυτό το σημείο είναι γνωστό ως σημείο εκκίνησης του datum. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι σταθερές και οι συντεταγμένες όλων των άλλων

16 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ σημείων υπολογίζονται σε σχέση με αυτό. Η αφετηρία των αξόνων ενός συστήματος συντεταγμένων ενός τοπικού datum δεν τοποθετείται απαραίτητα στο κέντρο της γης. Δύο γνωστά datums είναι τα NAD 1927 και ED 1950, που είναι τοπικά. Το πρώτο δημιουργήθηκε για τις ανάγκες της Β. Αμερικής, ενώ το δεύτερο για την Ευρώπη. Επειδή ένα τοπικό datum προσαρμόζει το Σφαιροειδές του σε μια συγκεκριμένη περιοχή στη γήινη επιφάνεια, δεν είναι κατάλληλο για τη χρήση εκτός της περιοχής για την οποία σχεδιάστηκε. 2. Προβολικά Συστήματα Συντεταγμένων Το προβολικό σύστημα συντεταγμένων είναι ο τρόπος απεικόνισης της σφαίρας στο επίπεδο. Ορίζεται σε μια επίπεδη, δισδιάστατη επιφάνεια και βασίζεται πάντα σε ένα γεωγραφικό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο με τη σειρά του βασίζεται πάντα σε μία Σφαίρα ή σε ένα Σφαιροειδές. Σε ένα προβολικό σύστημα συντεταγμένων τα σημεία προσδιορίζονται ως προς ένα σημείο αναφοράς (x, y) του κανάβου. Η μία τιμή (x) ορίζει την οριζόντια θέση του και η άλλη (y) την κάθετη. Σε έναν κάναβο με ισαπέχουσες οριζόντιες και κάθετες γραμμές, η οριζόντια γραμμή στο κέντρο καλείται άξονας x, η κάθετη γραμμή άξονας y και οι μονάδες μέτρησης είναι ισότιμες. Οι οριζόντιες γραμμές που Εικ.2.1: Οι τιμές των x και y βρίσκονται πάνω από το σημείο συντεταγμένων σε ένα προβολικό προέλευσης και οι κάθετες σύστημα. γραμμές που βρίσκονται στα δεξιά του σημείου προέλευσης έχουν θετικές τιμές. Οι άξονες κάτω και αριστερά του σημείου, έχουν αρνητικές τιμές. Τα τέσσερα

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 17 τεταρτημόρια αντιπροσωπεύουν τους τέσσερις πιθανούς συνδυασμούς θετικών και αρνητικών x και y συντεταγμένων (Εικ. 2.1). Είτε θεωρείται η γη ως Σφαίρα είτε ως Σφαιροειδές, είναι αναγκαίο να μετασχηματιστεί η τρισδιάστατη επιφάνειά της, έτσι ώστε να απεικονιστεί σε μια επίπεδη επιφάνεια δύο διαστάσεων. Αυτός ο μετασχηματισμός εκφράζεται συνήθως ως «Προβολή». Ένας εύκολος τρόπος να κατανοήσει κάποιος το πώς η προβολή μεταβάλλει τις χωρικές ιδιότητες της γης, είναι να φανταστεί πώς αποτυπώνεται η λάμψη μιας λάμπας τοποθετημένης στο κέντρο της γης προς μια αναπτυκτή επιφάνεια γύρω από τη γη. Ας φανταστούμε την επιφάνεια της γης καλυμμένη με έναν Κάναβο. Τυλίγουμε την γη με ένα χαρτί και τη φωτίζουμε στο εσωτερικό της. Το φως από το κέντρο της γης θα προκαλέσει τις σκιές του κανάβου πάνω στο χαρτί. Ξετυλίγοντας το χαρτί, παρατηρούμε πως οι άξονες του κανάβου διαφέρουν κατά πολύ από τη μορφή που είχαν πάνω στην επιφάνεια της γης. Η προβολή έχει διαστρεβλώσει τις αποστάσεις των αξόνων του κανάβου (Εικ. 2.2). Εικ.2.2: Ο κάναβος ενός γεωγραφικού συστήματος συντεταγμένων προβάλλεται σε μια κυλινδρική επιφάνεια.

18 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Η απόδοση ενός Σφαιροειδούς σε μια επίπεδη επιφάνεια, μπορεί να παρομοιαστεί με το ίσιωμα μιας φλούδας πορτοκαλιού. Στην προσπάθεια να ισιώσει κάποιος τη φλούδα, θα τη σχίσει. Έτσι, για να αποτυπωθεί η επιφάνεια της γης σε μια δισδιάστατη επιφάνεια, προκαλούνται στρεβλώσεις στο σχήμα, στην έκταση, στην απόσταση ή ακόμη και στον προσανατολισμό των δεδομένων. Τα διαφορετικά είδη προβολών προκαλούν διαφορετικές στρεβλώσεις. Μερικά είδη προβολών είναι έτσι σχεδιασμένα, ώστε να ελαχιστοποιούν τη στρέβλωση κάποιων χαρακτηριστικών των δεδομένων. Μία προβολή θα μπορούσε για παράδειγμα να διατηρήσει την έκταση μιας περιοχής, αλλά να παραμορφώσει το σχήμα της. Τα προβολικά συστήματα σχεδιάζονται για συγκεκριμένους σκοπούς. Ένα προβολικό σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μεγάλης κλίμακας δεδομένα σε μια περιορισμένη περιοχή, ενώ ένα άλλο για μικρής κλίμακας χάρτη που απεικονίζει όλο τον κόσμο. Τα προβολικά συστήματα που σχεδιάζονται για μικρής κλίμακας δεδομένα συνήθως βασίζονται σε σφαιρικά παρά σφαιροειδή γεωγραφικά συστήματα συντεταγμένων. Στην επόμενη ενότητα γίνεται μια κατηγοριοποίηση των προβολικών συστημάτων ως προς τις ιδιότητές τους. 2.1 Είδη προβολών Μερικές απλές μορφές προβολών δημιουργούνται πάνω σε γεωμετρικές επιφάνειες που μπορούν να «ξεδιπλωθούν» χωρίς να παραμορφώνονται. Αυτές οι επιφάνειες καλούνται Αναπτυκτές. Μερικά παραδείγματα είναι οι κώνοι, οι κύλινδροι και τα επίπεδα. Σε μια προβολή, τα επιμέρους σημεία επιφάνειας ενός Σφαιροειδούς, προβάλλονται συστηματικά σε αντιπροσωπευτικές θέσεις πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια, χρησιμοποιώντας μαθηματικούς αλγορίθμους. Το πρώτο βήμα κατά τη διαδικασία της προβολής από μία επιφάνεια σε μια άλλη, είναι ο ορισμός ενός ή περισσότερων σημείων επαφής που καλούνται επίσης σημεία (ή γραμμές) αφής. Μία επίπεδη επιφάνεια προβολής εφάπτεται στην επιφάνεια της γης σε ένα σημείο. Εφαπτόμενοι κώνοι και κύλινδροι ακουμπούν την

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 19 γήινη επιφάνεια κατά μήκος μιας γραμμής. Αν η επιφάνεια της προβολής τέμνει την γήινη επιφάνεια, και δεν εφάπτεται μόνο, η προβολή που προκύπτει είναι τέμνουσα. Είτε η επαφή είναι εφαπτόμενη είτε είναι τέμνουσα, τα σημεία επαφής είναι πολύ σημαντικά, καθώς ορίζουν σημεία με μηδενική αλλοίωση. Γραμμές πραγματικής κλίμακας αναφέρονται συχνά ως αναλλοίωτες γραμμές (standard lines). Σε γενικές γραμμές, η στρέβλωση αυξάνεται ανάλογα με την απόσταση από το σημείο επαφής. Πολλές προβολές κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με το σχήμα της επιφάνειας προβολής: κωνική, κυλινδρική ή επίπεδη. 2.1.1 Προβολές πραγματικής κατεύθυνσης Η πιο σύντομη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια καμπύλη επιφάνεια, όπως αυτή της γης, βρίσκεται κατά μήκος του σφαιρικού ισοδύναμου μιας ευθείας γραμμής πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια, δηλαδή το τόξο μέγιστου κύκλου στο οποίο βρίσκονται τα δύο σημεία. Οι προβολές Πραγματικής κατεύθυνσης διατηρούν τις καμπύλες από τον μεγάλο κύκλο, αποδίδοντας την κατεύθυνση ή το αζιμούθιο όλων των σημείων πάνω στο χάρτη σε σχέση με ένα κεντρικό σημείο του χάρτη. Μερικές προβολές πραγματικών κατευθύνσεων, είναι ταυτόχρονα σύμμορφες, Ισεμβαδικές ή Ισαπέχουσες. 2.1.2 Σύμμορφη/ Ισόμορφη/ Ισογώνιος προβολή Conformal projection Η προβολή αυτή, διατηρεί το τοπικό σχήμα. Για τη διατήρηση των γωνιών που χαρακτηρίζουν τις χωρικές σχέσεις, μία σύμμορφη προβολή πρέπει να παρουσιάζει τις κάθετες γραμμές του κανάβου που διασχίζουν το χάρτη σε γωνία 90 ο. Μία προβολή το πετυχαίνει αυτό διατηρώντας όλες τις γωνίες. Το μειονέκτημα είναι ότι η περιοχή που εσωκλείεται από μια σειρά καμπυλών θα παρουσιάζει μεγάλη αλλοίωση. Κανένα είδος προβολής δε μπορεί να διατηρήσει τα σχήματα μεγάλων περιοχών.

20 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 2.1.3 Ισοδύναμη/ Ισεμβαδική προβολή Equal area projection Μία Ισεμβαδική προβολή διατηρεί το εμβαδόν των στοιχείων που απεικονίζονται. Για να επιτευχθεί αυτό, υπάρχει στρέβλωση όλων των άλλων παραμέτρων: σχήμα, γωνία, κλίμακα. Στις Ισεμβαδικές προβολές, οι Μεσημβρινοί και οι Παράλληλοι ενδέχεται να μην τέμνονται κάθετα. Σε κάποιες περιπτώσεις, ιδίως σε χάρτες μικρών περιοχών, η στρέβλωση του σχήματος δεν είναι άμεσα αντιληπτή. 2.1.4 Ισαπέχουσα προβολή Equidistant projection Οι Ισαπέχουσες προβολές διατηρούν τις αποστάσεις σε ορισμένες κατευθύνσεις. Η κλίμακα είναι μια παράμετρος που καμία προβολή δεν τη διατηρεί ακέραια σε όλη την έκταση του χάρτη. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, υπάρχει μία ή περισσότερες γραμμές στον χάρτη κατά μήκος των οποίων η κλίμακα διατηρείται σωστή. Οι περισσότερες ισαπέχουσες προβολές έχουν μία ή περισσότερες γραμμές στο χάρτη που έχουν το ίδιο μήκος (σε αντιστοιχία με την κλίμακα του χάρτη) με τις αντίστοιχες γραμμές στη γη, ανεξάρτητα από το αν είναι μεγάλος ή μικρός ο κύκλος, ευθύς ή κυρτός. Τέτοιες αποστάσεις λαμβάνονται ως «αληθινές - πραγματικές». Για παράδειγμα στις ημιτονοειδείς προβολές, ο Ισημερινός και όλοι οι Παράλληλοι διατηρούν τις πραγματικές διαστάσεις τους. Σε άλλες ισαπέχουσες προβολές, ο Ισημερινός και όλοι οι Μεσημβρινοί διατηρούν τις πραγματικές τους διαστάσεις. Κάποιες άλλες ισαπέχουσες προβολές διατηρούν ίσες αποστάσεις ανάμεσα σε ένα ή δύο σημεία και σε όλα τα υπόλοιπα. Σε καμία προβολή δεν ισαπέχουν όλα τα σημεία από όλα τα σημεία.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 21 2.1.5 Κωνική προβολή Η πιο απλή μορφή κωνικής προβολής, εφάπτεται στη γήινη επιφάνεια κατά μήκος της γραμμής του γεωγραφικού πλάτους που στην περίπτωση αυτή, ονομάζεται αναλλοίωτη παράλληλος (standard parallel). Οι Μεσημβρινοί προβάλλονται πάνω στην κωνική επιφάνεια και συναντώνται στην κορυφή του κώνου. Οι παράλληλες γραμμές του γεωγραφικού πλάτους προβάλλονται πάνω στον κώνο ως ομόκεντροι κύκλοι. Στη συνέχεια, ο κώνος «κόβεται» κατά μήκος ενός Μεσημβρινού για την παραγωγή της τελικής κωνικής προβολής, η οποία έχει ευθείες τις συγκλίνουσες γραμμές των Μεσημβρινών και ομόκεντρα κυκλικά τόξα τις Παραλλήλους. Κεντρικός Μεσημβρινός είναι ο Μεσημβρινός απέναντι από τη γραμμή τομής (Εικ. 2.3). Γενικά, όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση μιας περιοχής από την αναλλοίωτη παράλληλο, τόσο αυξάνεται η στρέβλωση των αντικειμένων που βρίσκονται στην περιοχή αυτή. Οι κωνικές προβολές εφαρμόζονται στις ζώνες μέσου γεωγραφικού πλάτους με προσανατολισμό Ανατολή - Δύση. Εικ.2.3: Τεμνόμενες προβολές που καθορίζονται από δύο σταθερές παραλλήλους.

22 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Πιο πολύπλοκες κωνικές προβολές τέμνουν τη γήινη επιφάνεια, κατά μήκος δύο γραμμών γεωγραφικού πλάτους. Αυτές οι προβολές ονομάζονται τεμνόμενες προβολές και καθορίζονται από δύο σταθερές παραλλήλους (Εικ. 2.4). Εικ.2.4: Στην κωνική προβολή εφάπτονται οι παράλληλοι στη γραμμή του γεωγραφικού πλάτους, ενώ οι μεσημβρινοί προβάλλονται στην κωνική επιφάνεια. Είναι, επίσης, δυνατό να καθοριστεί μία Τεμνόμενη προβολή από μία σταθερή παράλληλο και από τον παράγοντα της κλίμακας (scale factor). Το είδος της στρέβλωσης διαφέρει ανάμεσα στις σταθερές παραλλήλους και στις υπόλοιπες. Γενικά, μία τεμνόμενη προβολή έχει μικρότερη συνολική στρέβλωση από τις εφαπτόμενες. Σε ακόμη πιο πολύπλοκες κωνικές προβολές, ο άξονας του κώνου δεν ευθυγραμμίζεται με τον άξονα των πόλων της γης. Αυτού του είδους οι προβολές ονομάζονται πλάγιες. Η απεικόνιση των γεωγραφικών δεδομένων εξαρτάται από τις αποστάσεις των παραλλήλων. Όταν ισαπέχουν, η προβολή είναι Ισαπέχουσα από Βορρά προς Νότο, αλλά δεν είναι ούτε Σύμμορφη ούτε Ισεμβαδική. Τέτοιου είδους προβολή είναι η Ισαπέχουσα Κωνική Προβολή. Για μικρές περιοχές, η συνολική στρέβλωση είναι ελάχιστη. Στη κωνική σύμμορφη προβολή (Lambert), οι κεντρικοί παράλληλοι βρίσκονται σε μικρότερες αποστάσεις μεταξύ τους από τους παράλληλους κοντά στα όρια, και τα μικρά γεωγραφικά σχήματα διατηρούνται ακέραια τόσο σε μικρής κλίμακας όσο και σε μεγάλης κλίμακας χάρτες. Στην Ισεμβαδική Κωνική Προβολή (Albers), οι παράλληλοι κοντά στα βόρεια και στα

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 23 νότια άκρα βρίσκονται σε μικρότερες αποστάσεις μεταξύ τους από ό,τι οι κεντρικοί παράλληλοι και η προβολή αποτυπώνει ισοδύναμες περιοχές (Εικ. 2.5). Εικ.2.5: Η Ισεμβαδική Κωνική Προβολή Albers

24 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 2.1.6 Κυλινδρικές προβολές Όπως οι Κωνικές προβολές, έτσι και οι Κυλινδρικές, μπορεί να είναι είτε Εφαπτόμενες, είτε Τέμνουσες (Εικ. 2.6). Η προβολή Mercator είναι από τις πιο γνωστές Κυλινδρικές προβολές και ο Ισημερινός είναι συνήθως η γραμμή επαφής της με την γήινη επιφάνεια. Η προβολή αυτή, δημιουργεί πλέγμα με γωνίες 90 ο. Οι Μεσημβρινοί ισαπέχουν, ενώ η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών του γεωγραφικού πλάτους αυξάνεται προς τους Πόλους. Αυτή η προβολή είναι Σύμμορφη. Εικ.2.6: Η κυλινδρική προβολή μπορεί να είναι κανονική, εγκάρσια ή πλάγια. Σε πιο πολύπλοκες Κυλινδρικές προβολές, ο κύλινδρος περιστρέφεται ή μεταβάλλεται η εφαπτόμενη προβολή σε τέμνουσα κ.ο.κ. Οι εγκάρσιες κυλινδρικές προβολές, όπως η εγκάρσια μερκατορική (Transverse Mercator), χρησιμοποιούν ένα Μεσημβρινό ως γραμμή επαφής. Οι αναλλοίωτες γραμμές έχουν κατεύθυνση Βορρά Νότου κατά μήκος των οποίων η κλίμακα είναι πραγματική. Οι πλάγιοι κύλινδροι εφάπτονται της γήινης σφαίρας σε ένα μέγιστο κύκλο που τέμνει τον Ισημερινό και τους Μεσημβρινούς. Σε αυτές τις περισσότερο πολύπλοκες προβολές, οι περισσότεροι Μεσημβρινοί και οι γραμμές γεωγραφικού πλάτους δεν είναι πλέον ευθείες.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 25 Σε όλες τις Κυλινδρικές Προβολές (κανονικές, εγκάρσιες και πλάγιες), η γραμμή επαφής ή οι γραμμές τομής, δεν παρουσιάζουν καμία στρέβλωση και, έτσι, είναι ισαπέχουσες γραμμές. Οι άλλες γεωγραφικές ιδιότητες ποικίλλουν ανάλογα με το είδος της Κυλινδρικής προβολής. 2.1.7 Επίπεδες προβολές Οι επίπεδες προβολές προβάλλουν τα γεωγραφικά δεδομένα σε μια επίπεδη επιφάνεια που εφάπτεται της γήινης επιφάνειας. Η επίπεδη προβολή είναι επίσης γνωστή ως Αζιμουθιακή ή Κορυφαία προβολή. Αυτό το είδος της προβολής συνήθως εφάπτεται σε ένα σημείο της γήινης σφαίρας, αλλά υπάρχει η πιθανότητα και να την τέμνει. Το σημείο επαφής μπορεί να τοποθετείται στο Βόρειο ή στο Νότιο Πόλο, σε ένα σημείο του Ισημερινού ή σε ένα οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το σημείο επαφής, προσδιορίζει τον προσανατολισμό και αποτελεί το σημείο εστίασης της προβολής. Το σημείο εστίασης της προβολής προσδιορίζεται από ένα κεντρικό γεωγραφικό μήκος και πλάτος. Πιθανοί προσανατολισμοί είναι ο Πολικός, ο Ισημερινός και ο πλάγιος. Ο Πολικός προσανατολισμός αποτελεί την απλούστερη μορφή. Σε αυτή την περίπτωση, οι παράλληλοι του γεωγραφικού πλάτους είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον Πόλο και οι Μεσημβρινοί είναι ευθείες γραμμές που τέμνονται στον Πόλο. Επίπεδες προβολές χρησιμοποιούνται συχνότερα για την αποτύπωση περιοχών κοντά στους Πόλους. Ορισμένες επίπεδες προβολές προβάλλουν τα δεδομένα της επιφάνειας της γης από ένα συγκεκριμένο σημείο. Το σημείο αυτό καθορίζει τον τρόπο προβολής της σφαιρικής επιφάνειας της γης στην επίπεδη επιφάνεια. Η προοπτική από την οποία όλα τα σημεία προβάλλονται, ποικίλλει ανάμεσα στις διαφορετικές Αζιμουθιακές προβολές. Το σημείο προοπτικής μπορεί να είναι το κέντρο της γης, ένα σημείο της επιφάνειας της γης που τοποθετείται ακριβώς απέναντι από το σημείο εστίασης, ή ένα σημείο εξωτερικό της γήινης επιφάνειας, όπως για παράδειγμα ένα σημείο που φαίνεται από ένα δορυφόρο ή από έναν άλλο πλανήτη.

26 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Οι Αζιμουθιακές προβολές κατηγοριοποιούνται εν μέρει με βάση το σημείο εστίασης και, αν αυτό είναι εφικτό, με βάση το σημείο προοπτικής. Στην Εικόνα 2.7 φαίνονται Αζιμουθιακές προβολές με πολικό προσανατολισμό, αλλά με διαφορετικό σημείο προοπτικής. Η γνωμονική (gnomonic) προβολή προβάλλει τα δεδομένα της επιφάνειας της γης από το κέντρο της γης, ενώ η στερεογραφική προβολή από Πόλο σε Πόλο. Η ορθογραφική προβολή προβάλλει τη γη από ένα απροσδιόριστο σημείο, ακόμη και έξω από τη γη (όπως από το διάστημα) σε τρόπο ώστε οι γραμμές προβολής να είναι παράλληλες μεταξύ τους. Εικ.2.7: Διάφοροι προσανατολισμοί στην επίπεδη προβολή. Ο προσανατολισμός καθορίζεται από το σημείο επαφής της επίπεδης επιφάνειας με τη γήινη. Όπως φαίνεται και από την Εικόνα 2.8 οι διαφορές στην προοπτική, καθορίζουν το βαθμό στρέβλωσης προς τον Ισημερινό. Εικ.2.8: Διαφορές στην προοπτική Αζιμουθιακών προβολών, καθορίζουν το βαθμό στρέβλωσης προς τον Ισημερινό.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 27 2.2 Παράμετροι προβολών Μία προβολή από μόνη της δεν προσδιορίζει ένα προβολικό σύστημα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που δηλωθεί ότι ένα σύνολο δεδομένων προβάλλεται με εγκάρσια μερκατορική προβολή (Transverse Mercator), η πληροφορία δεν είναι πλήρης δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό το κεντρικό σημείο της προβολής, το αν χρησιμοποιήθηκε κάποιος συντελεστής κλίμακας ή ο βαθμός της στρέβλωσης που επέφερε η προβολή αυτή (γεγονός που εξαρτάται από το κεντρικό σημείο, π.χ. σημείο τομής του Ισημερινού με τον Μεσημβρινό του Γκρήνουιτς, βάσει του οποίου έγινε η προβολή του συνόλου των δεδομένων). Κάθε προβολή ορίζεται από ένα σύνολο παραμέτρων, ο καθορισμός των οποίων είναι απαραίτητος. Οι παράμετροι καθορίζουν το σημείο αναφοράς και προσαρμόζουν την προβολή για την περιοχή ενδιαφέροντος. Οι παράμετροι των γωνιών, χρησιμοποιούν τις μονάδες μέτρησης των γεωγραφικών συστημάτων συντεταγμένων, ενώ οι γραμμικές παράμετροι χρησιμοποιούν τις μονάδες μέτρησης των προβολικών συστημάτων συντεταγμένων. 2.2.1 Γωνιακές παράμετροι -Αζιμούθιο: Καθορίζει την κεντρική γραμμή της προβολής, δηλαδή τη γωνία που σχηματίζει η κεντρική γραμμή με τη διεύθυνση Βορρά Νότου. Το αζιμούθιο μετράται ως απόκλιση από το Βορρά. Χρησιμοποιείται στις αζιμουθιακές περιπτώσεις της Πλάγιας μερκατορικής προβολής (Hotine Oblique Mercator). -Κεντρικός Μεσημβρινός: Καθορίζει το σημείο αναφοράς των x συντεταγμένων. -Γεωγραφικό μήκος του σημείου αναφοράς: Καθορίζει το σημείο αναφοράς των x συντεταγμένων. Ο κεντρικός

28 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Μεσημβρινός και το γεωγραφικό μήκος του σημείου αναφοράς είναι συνώνυμες έννοιες. -Κεντρικός παράλληλος: Καθορίζει το σημείο αναφοράς των y συντεταγμένων. -Γεωγραφικό πλάτος σημείου αναφοράς: Καθορίζει το σημείο προέλευσης των y συντεταγμένων. Αυτή η παράμετρος μπορεί να μην τοποθετείται στο κεντρικό σημείο της προβολής. Ιδιαίτερα οι κωνικές προβολές χρησιμοποιούν την παράμετρο αυτή για να καθορίσουν το σημείο προέλευσης των y συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι αναγκαίος ο καθορισμός της παραμέτρου false northing (βλέπε παρακάτω γραμμικές παράμετροι) για τη διασφάλιση των θετικών τιμών των y συντεταγμένων. -Γεωγραφικό μήκος του κεντρικού σημείου: Χρησιμοποιείται στις Hotine Oblique Mercator προβολές για τον καθορισμό του σημείου αναφοράς των x συντεταγμένων. Συνήθως η παράμετρος αυτή είναι συνώνυμη με τις παραμέτρους του γεωγραφικού μήκους της προέλευσης και του κεντρικού Μεσημβρινού. -Γεωγραφικό πλάτος του κεντρικού σημείου: Χρησιμοποιείται τόσο σε προβολές δύο σημείων, όσο και σε αζιμουθιακές, για τον καθορισμό του σημείου αναφοράς των y συντεταγμένων. Ταυτίζεται σχεδόν πάντα με το κεντρικό σημείο της προβολής. -Αναλλοίωτη παράλληλος 1 και 2: Χρησιμοποιείται σε κωνικές προβολές για τον καθορισμό των γραμμών γεωγραφικού πλάτους όπου η κλίμακα είναι 1.0. Όταν καθορίζουμε μια Lambert σύμμορφη κωνική προβολή με μία σταθερή παράλληλο, η πρώτη σταθερή παράλληλος ορίζει το σημείο προέλευσης των y συντεταγμένων.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 29 -Σε άλλες κωνικές προβολές το σημείο προέλευσης των y συντεταγμένων καθορίζεται από το γεωγραφικό πλάτος της παραμέτρου προέλευσης. -Οι ακόλουθοι τέσσερις παράμετροι χρησιμοποιούνται με ισαπέχουσες προβολές δύο σημείων και με τις Hotine Oblique Mercator προβολές. Καθορίζουν δύο γεωγραφικά σημεία που ορίζουν τον κεντρικό άξονα της προβολής: -Γεωγραφικό μήκος του πρώτου σημείου -Γεωγραφικό πλάτος του πρώτου σημείου -Γεωγραφικό μήκος του δεύτερου σημείου -Γεωγραφικό πλάτος του δεύτερου σημείου 2.2.2 Γραμμικές παράμετροι -False easting: Παράμετρος που ορίζει το σημείο προέλευσης των x συντεταγμένων. -False northing: Παράμετρος που ορίζει το σημείο προέλευσης των y συντεταγμένων. Οι παραπάνω παράμετροι χρησιμοποιούνται συνήθως για να διασφαλίσουν ότι όλες οι τιμές των συντεταγμένων είναι θετικές. Επίσης, χρησιμοποιούνται για να μειωθεί το εύρος των x και y συντεταγμένων. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι όλες οι τιμές των y συντεταγμένων είναι μεγαλύτερες των 5 εκατομμυρίων μέτρων, θα μπορούσαμε να εισάγουμε την παράμετρο false northing που να ισούται με 5.000.000. -Παράγων Κλίμακας (scale factor) Ο παράγων κλίμακας είναι μια παράμετρος χωρίς μονάδα μέτρησης, που εκφράζει το μέτρο στρέβλωσης της απόστασης δυο σημείων στη γήινη σφαίρα (ή στο σφαιροειδές), κατά τη διαδικασία της χαρτογραφικής προβολής. Το μέτρο του εξαρτάται από το είδος και τις παραμέτρους της προβολής. Είναι συνήθως λίγο μικρότερος της μονάδας. To UTM σύστημα συντεταγμένων, που χρησιμοποιεί

30 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ την Transverse Mercator προβολή, έχει παράγοντα κλίμακας 0,9996. Αντί της μονάδας, η κλίμακα κατά μήκος του κεντρικού Μεσημβρινού της προβολής είναι 0,9996. Αυτό δημιουργεί δύο σχεδόν παράλληλες γραμμές σε απόσταση περίπου 180Km, όπου η κλίμακα ισούται με τη μονάδα. Ο συντελεστής της κλίμακας μειώνει τη συνολική παραμόρφωση που προκαλεί η προβολή στην περιοχή ενδιαφέροντος.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 31 3. Προβολικά Συστήματα 3.1 Αζιμουθιακή ισαπέχουσα - Azimuthal Equidistant Περιγραφή Το σημαντικότερο χαρακτηριστικό είναι ότι τόσο η απόσταση όσο και η κατεύθυνση με αφετηρία το κεντρικό σημείο διατηρούνται (Εικ. 3.1). Εικ. 3.1: Το κέντρο της προβολής είναι 0, 0. Μέθοδος προβολής Πρόκειται για επίπεδη προβολή. Τα δεδομένα προβάλλονται πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια από οποιοδήποτε σημείο της γεώσφαιρας. Αν και όλοι οι τρόποι είναι πιθανοί, συνήθως χρησιμοποιείται η πολική επαφή, όπου όλοι οι Μεσημβρινοί και όλοι οι παράλληλοι διαχωρίζονται σε τμήματα ίσου μήκους. Οι πλάγιες προβολές με κέντρο μια πόλη είναι επίσης συχνή προβολή (Εικ.3.2).

32 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Εικ. 3.2: Το προβολικό σύστημα της αζιμουθιακής ισαπέχουσας. Σημείο επαφής Ως σημείο επαφής ορίζεται ένα οποιοδήποτε σημείο, τοποθετημένο συνήθως στο βόρειο ή στο νότιο Πόλο, το οποίο καθορίζεται από το γεωγραφικό μήκος και πλάτος. Γραμμικές διαστάσεις Πολικές Προβολές: Ευθείς (straight) Μεσημβρινοί διαιρούνται σε ίσα τμήματα από ομόκεντρους κύκλους του γεωγραφικού πλάτους. Ισημερινός: Ο Ισημερινός και ο Κεντρικός Μεσημβρινός της προβολής είναι γραμμικοί και συναντώνται σε γωνία 90 ο. Πλάγιες Προβολές (oblique): Ο κεντρικός Μεσημβρινός είναι ευθύς αλλά δεν υπάρχουν τομές 90 ο εκτός κατά μήκος του κεντρικού Μεσημβρινού. Ιδιότητες Σχήμα

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 33 Εκτός των σχημάτων που βρίσκονται γύρω από το κεντρικό σημείο, όλα τα άλλα σχήματα διαστρεβλώνονται. Η στρέβλωση αυξάνεται με την απομάκρυνση από το κέντρο. Εμβαδόν Η στρέβλωση αυξάνεται με την απομάκρυνση από το κέντρο. Κατεύθυνση Δεν αλλοιώνεται η κατεύθυνση με αφετηρία το κεντρικό σημείο. Απόσταση Οι αποστάσεις για όλες τις διαστάσεις είναι ακριβείς με αφετηρία το κεντρικό σημείο. Αν το κεντρικό σημείο είναι γεωγραφικός πόλος, οι αποστάσεις κατά μήκος των Μεσημβρινών διατηρούνται, αλλά η στρέβλωση αυξάνεται κατά μήκος των κύκλων του γεωγραφικού πλάτους που περιβάλλουν το κεντρικό σημείο Περιορισμοί Συνήθως η προβολή περιορίζεται σε 90 μοίρες από το κέντρο, αν και μπορεί να προβληθεί ολόκληρη η γεώσφαιρα. Οι πολικές προβολές είναι καλύτερες για περιοχές μέσα σε ακτίνα 30 μοιρών, καθώς εκεί η στρέβλωση είναι ελάχιστη. Μοίρες από το κέντρο: 15 30 45 60 90 Στρέβλωση κλίμακας σε ποσοστό κατά μήκος των παραλλήλων: 1,2 4,7 11,1 20,9 57 Χρήσεις και εφαρμογές Διαδρομές σε εναέρια και θαλάσσια πλοήγηση. Αυτοί οι χάρτες επικεντρώνονται σε μια σημαντική περιοχή που τη θεωρούν ως κεντρικό σημείο και χρησιμοποιούν την ανάλογη επαφή. -Πολική επαφή: Πολικές περιοχές και πλοήγηση στους Πόλους. -Επαφή στον Ισημερινό: Για περιοχές πάνω ή κοντά στον Ισημερινό, π.χ. Σιγκαπούρη.

34 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ -Πλάγια επαφή: Για περιοχές ανάμεσα στους Πόλους και τον Ισημερινό, για π.χ. μεγάλης κλίμακας χαρτογράφηση της Μικρονησίας. Εάν αυτή η προβολή χρησιμοποιείται για την απεικόνιση ολόκληρης τη γεώσφαιρας, το άμεσο (γύρω από το κεντρικό σημείο) ημισφαίριο μπορεί να αναγνωριστεί και μοιάζει με τη Lambert Azimuthal προβολή. Το εξωτερικό (εκτός κεντρικού σημείου) ημισφαίριο στρεβλώνει πολύ τις μορφές και τις περιοχές. Σε ακραίες περιπτώσεις, μια προβολή με πολική επαφή και κεντρικό σημείο το Βόρειο Πόλο θα αντιπροσωπεύει το Νότιο Πόλο ως τον μεγαλύτερο εξωτερικό κύκλο. Η λειτουργία αυτής της ακραίας προβολής, ανεξάρτητα από το σύμμορφο και τη στρέβλωση του εμβαδού, είναι ότι διατηρεί την ακριβή παρουσίαση της απόστασης και της κατεύθυνσης από το κεντρικό σημείο. 3.2 Γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων Geocentric coordinate system Περιγραφή Το γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων δεν είναι μέθοδος προβολής χαρτών. Η γεώσφαιρα μοντελοποιείται σαν σφαίρα ή σαν σφαιροειδές σε ένα δεξιόστροφο (right-handed) ορθογώνιο x, y, z σύστημα. Χρήσεις και εφαρμογές Το γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων ενσωματώνεται σε διάφορα datums γεωγραφικές μεθόδους μετατροπής.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 35 3.3 Geographic Coordinate System Περιγραφή Το γεωγραφικό σύστημα συντεταγμένων δεν είναι μέθοδος προβολής χαρτών. Η γεώσφαιρα μοντελοποιείται σαν Σφαίρα ή σαν Σφαιροειδές (Εικ. 3.3). Η Σφαίρα χωρίζεται σε ίσα τμήματα, αποκαλούμενα μοίρες, μερικές χώρες χρησιμοποιούν τους βαθμούς (grads). Ένας κύκλος είναι 360 μοίρες ή 400 βαθμούς. Κάθε μοίρα υποδιαιρείται σε 60 λεπτά και επιμέρους κάθε λεπτό σε 60 δεύτερα. Το γεωγραφικό σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από γραμμές γεωγραφικού μήκους και πλάτους. Κάθε γραμμή γεωγραφικού μήκους έχει κατεύθυνση Β-Ν και αντιστοιχεί σε μια τιμή γεωγραφικού μήκους σε μοίρες ανατολικά ή δυτικά του κεντρικού Μεσημβρινού. Οι τιμές κυμαίνονται από -180 έως +180 μοίρες. Κάθε γραμμή γεωγραφικού πλάτους έχει κατεύθυνση Α-Δ. Οι τιμές κυμαίνονται από +90 στο Βόρειο Πόλο έως -90 μοίρες στο Νότιο Πόλο. Το σταθερό σημείο αναφοράς είναι το σημείο που ο Μεσημβρινός του Γκρήνουιτς συναντά τον Ισημερινό. Όλα τα σημεία βόρεια του Ισημερινού ή ανατολικά του πρώτου Μεσημβρινου έχουν θετικές τιμές. Εικ. 3.3: Οι γεωγραφικές συντεταγμένες x, y, z.

36 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Χρήσεις και εφαρμογές Τα προβολικά συστήματα χρησιμοποιούν τις τιμές του γεωγραφικού μήκους και πλάτους για να αναφέρονται σε παράμετρους όπως ο πρώτος Μεσημβρινός, οι αναλλοίωτες Παράλληλοι και το γεωγραφικό πλάτος του σημείου αναφοράς (Εικ. 3.4). Εικ. 3.4: Οι γεωγραφικές συντεταγμένες τοποθετημένες σε ορθογώνιο δίκτυο ισαπεχόντων διαδοχικών μεσημβρινών και παραλλήλων. 3.4 Ισοδύναμη Αζιμουθιακή Προβολή Lambert - Lambert Azimuthal Equal Area Περιγραφή Αυτή η προβολή διατηρεί το εμβαδόν των πολυγώνων και ταυτόχρονα διατηρεί ακέραια την αίσθηση της κατεύθυνσης από το κέντρο. Η στρέβλωση είναι ακτινωτή (radial). Είναι προβολή κατάλληλη για μεμονωμένες περιοχές (μάζες εδάφους) που είναι συμμετρικά αναλογικές, είτε κυκλικά είτε με τη μορφή τετραγώνου (Εικ. 3.5).

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 37 Μέθοδος προβολής Επίπεδη προβολή, προβάλλεται από οποιοδήποτε σημείο της γεώσφαιρας. Μπορεί να είναι ισημερινή, πολική και πλάγια. Σημείο επαφής Ένα οποιοδήποτε σημείο, τοποθετημένο οπουδήποτε πάνω στη σφαίρα, το οποίο καθορίζεται από το γεωγραφικό μήκος και πλάτος. Γραμμικές διαστάσεις Ο κεντρικός Μεσημβρινός και ο ισημερινός καθορίζουν το σημείο επαφής. Πολική διάσταση: Όλοι οι Μεσημβρινοί. Ιδιότητες Σχήμα Εικ. 3.5: Το προβολικό σύστημα της Ισοδύναμης Αζιμουθιακής Προβολής Lambert. Το σχήμα στρεβλώνεται στο ελάχιστο, λιγότερο από 2%, σε 15μοίρες από το σημείο εστίασης. Η γωνιακή διαστρέβλωση είναι

38 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ πιο σημαντική: μικρά σχήματα συμπιέζονται ακτινωτά από το κέντρο και επιμηκύνονται κατά την κάθετη διεύθυνση. Εμβαδόν Ίσο εμβαδόν. Κατεύθυνση Διατηρείται η κατεύθυνση ακτινωτά από το κεντρικό σημείο. Απόσταση Πραγματική στο κέντρο. Η κλίμακα μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση από το κέντρο κατά μήκος των ακτίνων. Περιορισμοί Τα δεδομένα πρέπει να βρίσκονται σε έκταση μικρότερη ενός ημισφαιρίου. Το λογισμικό δεν επεξεργάζεται περιοχές σε μεγαλύτερη γωνία από 90 μοίρες από το κεντρικό σημείο. Χρήσεις και εφαρμογές -Πυκνότητα πληθυσμού. -Πολιτικά όρια περιοχής. -Χαρτογράφηση ωκεανών για την ενέργεια, μεταλλεύματα, γεωλογία, και τεκτονική. -Αυτή η προβολή μπορεί να χειριστεί τις μεγάλες περιοχές. Κατά συνέπεια χρησιμοποιείται για ολόκληρες ηπείρους και για τις πολικές περιοχές. -Η ισημερινή προβολή αξιοποιείται για την απεικόνιση της Αφρικής, της Νοτιοανατολικής Ασίας, της Αυστραλίας, της Καραϊβικής και της Κεντρικής Αμερικής -Η πλάγια προβολή αξιοποιείται για την απεικόνιση της Βόρειας Αμερικής, της Ευρώπης και της Ασίας.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 39 3.5 Σύμμορφη Κωνική Προβολή Lambert - Lambert Conformal Conic Περιγραφή Αυτή η προβολή είναι κατάλληλη για περιοχές μέσου γεωγραφικού πλάτους. Είναι παρόμοια με την ισοδύναμη κωνική προβολή Alber (Albers Conic Equal Area), εκτός από το γενονός ότι απεικονίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια το σχήμα παρά την περιοχή (Εικ.3.6). Εικ. 3.6: Το προβολικό σύστημα της Σύμμορφης Κωνικής Προβολής Lambert.

40 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Μέθοδος προβολής Κωνική προβολή βασισμένη σε 2 αναλλοίωτες παράλληλους. Η απόσταση των διαστημάτων αυξάνεται πέρα από αυτές τις σταθερές Παραλλήλους. Αυτή είναι η μόνη κωνική προβολή που αντιπροσωπεύει τους Πόλους ως συγκεκριμένα σημεία (Εικ. 3.7). Γραμμές επαφής Οι 2 σταθερές παράλληλοι. Γραμμικές διαστάσεις Όλοι οι Μεσημβρινοί. Ιδιότητες Σχήμα Εικ. 3.7: Ο κεντρικός Μεσημβρινός είναι Ο μοίρες και το γεωγραφικό πλάτος Όλες οι κάθετες τομές αναφοράς είναι 90 S. σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών. Τα μικρά σχήματα διατηρούνται. Εμβαδόν Η ελάχιστη στρέβλωση εντοπίζεται στις αναλλοίωτες Παραλλήλους. Η κλίμακα μειώνεται ανάμεσα στις σταθερές Παράλληλους και αυξάνεται πέρα από αυτές. Κατεύθυνση Οι τοπικές γωνίες διατηρούνται λόγω συμμορφίας. Απόσταση Ακριβής κατά μήκος των σταθερών Παραλλήλων. Η κλίμακα μειώνεται ανάμεσα στις σταθερές Παράλληλους και αυξάνεται πέρα από αυτές.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 41 Περιορισμοί Μέθοδος προβολής κατάλληλη για περιοχές Α-Δ και τοποθετημένες στα μέσα βόρεια ή νότια γεωγραφικά πλάτη. Το συνολικό εύρος γεωγραφικού πλάτους δεν πρέπει να υπερβεί τις 35 μοίρες. Χρήσεις και εφαρμογές Χαρτογράφηση εκτεταμένων περιοχών κατά τη διεύθυνση Ανατολής-Δύσης Χρήση σε πολλούς νέους χάρτες της Γεωλογικής Υπηρεσίας των ΗΠΑ, κατασκευασμένους μετά το 1957. Αντικατέστησε την κωνική προβολή. 3.6 Εγκάρσια Μερκατορική Transverse Mercator Περιγραφή Επίσης γνωστή ως Gauss- Krόger. Παρόμοια με τη Μερκατορική (Mercator) εκτός από το ότι ο κύλινδρος είναι επιμήκης κατά μήκος ενός μεσημβρινού αντί του ισημερινού (Εικ. 3.8). Εικ. 3.8: Το προβολικό σύστημα της Εγκάρσιας Μερκατορικής.

42 Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ Το αποτέλεσμα είναι μια σύμμορφη προβολή που δεν διατηρεί τις αληθινές κατευθύνσεις. Ο κεντρικός Μεσημβρινός είναι τοποθετημένος στο κέντρο της περιοχής ενδιαφέροντος. Το γεγονός αυτό ελαχιστοποιεί τη στρέβλωση όλων των στοιχείων σε εκείνη την περιοχή. Αυτή η προβολή είναι κατάλληλη για περιοχές Β-Ν. Το State Plane Coordinate System χρησιμοποιεί αυτήν την προβολή για όλες τις περιοχές Β-Ν. Το UTM και το Gauss - Kroger σύστημα συντεταγμένων βασίζονται στην Transverse Mercator προβολή. Μέθοδος προβολής Κυλινδρική προβολή με κεντρικό μεσημβρινό τοποθετημένο σε συγκεκριμένη περιοχή. Γραμμές επαφής Οποιοσδήποτε Μεσημβρινός για την προβολή που εφάπτεται. Για την κάθετη προβολή χρησιμοποιούνται 2 σχεδόν παράλληλες γραμμές ισαπέχουσες από τον κεντρικό Μεσημβρινό. Για το UTM οι γραμμές τοποθετούνται περίπου 180Κm μακριά του κεντρικού Μεσημβρινού. Γραμμικές διαστάσεις Ο Ισημερινός και ο κεντρικός Μεσημβρινός. Ιδιότητες Σχήμα Εικ. 3.9: Ο κεντρικός Μεσημβρινός είναι 125 Ε. Οι σταθερές παράλληλοι είναι 32 S και 7 N, ενώ το γεωγραφικό πλάτος προέλευσης είναι 32 S.

Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ 43 Συμμορφία. Τα μικρά σχήματα διατηρούνται. Τα μεγαλύτερα σχήματα στρεβλώνονται σταδιακά όσο απομακρυνόμαστε από τον Κεντρικό Μεσημβρινό. Εμβαδόν Η στρέβλωση αυξάνεται με την απομάκρυνση από τον Κεντρικό Μεσημβρινό. Κατεύθυνση Οι τοπικές γωνίες διατηρούνται παντού. Απόσταση Η κλίμακα διατηρείται κατά μήκος του Κεντρικού Μεσημβρινού, αν ο συντελεστής της κλίμακας είναι 1.0. Αν είναι μικρότερος του 1.0, υπάρχουν 2 ευθείες γραμμές με ακριβή κλίμακα που ισαπέχουν από την κάθε πλευρά του Κεντρικού Μεσημβρινού. Περιορισμοί Τα δεδομένα όσον αφορά ένα Σφαιροειδές ή ένα ελλειψοειδές δεν μπορούν να προβληθούν πέρα από 90 ο από τον Κεντρικό Μεσημβρινό. Στην πραγματικότητα, η έκταση ενός Σφαιροειδούς πρέπει να περιορίζεται σε 15-20 ο και από τις 2 πλευρές του Κεντρικού Μεσημβρινού. Πέρα από αυτό το εύρος, τα δεδομένα που προβάλλονται σε προβολή Transverse Mercator δεν είναι ακριβή. Τα δεδομένα σε μια σφαίρα δεν έχουν τέτοιους περιορισμούς. Χρήσεις και εφαρμογές Στα UTM και Gauss-Kruger συστήματα συντεταγμένων. Ο κόσμος διαχωρίζεται σε 60 βόρειες και νότιες ζώνες πάχους 6 μοιρών. Κάθε ζώνη έχει συντελεστή κλίμακας 0,9996 και μία τιμή false easting των 500.000m. Οι ζώνες νότια του Ισημερινού έχουν τιμή false northing των 10.000.000m για να διασφαλίζουν ότι όλες οι τιμές y είναι θετικές. Η ζώνη 1 είναι στις 177μοίρες Δυτικά. Το σύστημα συντεταγμένων Gauss-Kruger είναι παρόμοιο με το UTM σύστημα συντεταγμένων. Η Ευρώπη διαχωρίζεται σε ζώνες πάχους 6 μοιρών με κεντρικό μεσημβρινό της ζώνης 1 στις 3 μοίρες Ανατολικά. Οι παράμετροι είναι όπως στο UTM εκτός από τον συντελεστή κλίμακας, ο οποίος είναι ίσος με 1,0 αντί 0,9996.