Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν αρχείο από το CD στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή σας, για μεγαλύτερη ευκολία χρήσης. www.ziti.gr 1
Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisxenos@ahoo.gr Το παρόν αποτελεί συνοδευτικό υλικό του βιβλίου του Θανάση Ξένου «Άλγεβρα Α' Λυκείου» με ISBN 978-960-456-93-0 Copright, 01, Eκδόσεις ZHTH, Θανάσης Ξένος Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Παραγωγή Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 39.07. - Fax: 39.07.9 e-mail: info@ziti.gr www.ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, 546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ.: 310.03.70, Fax: 310.11.305 e-mail: sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5), 105 64 Aθήνα Tηλ.-Fax: 10.311.097 AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60, 114 71 Aθήνα Tηλ.-Fax: 10.3816.650 e-mail: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr
Περιεχόμενα Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των προτεινόμενων ερωτήσεων & ασκήσεων ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε. Σύνολα.. Η εξίσωση x ν α.3. Εξισώσεις ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 1.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 1.. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 1.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισώσεις 3.1. Ανισώσεις 1 ου βαθμού 3.. Ανισώσεις ου βαθμού 3.3. Ανισώσεις γινόμενο & ανισώσεις πηλίκο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις.1. Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Πιθανότητες 4.1. Η έννοια της συνάρτησης 6.1. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 4.. Γραφική παράσταση συνάρτησης 6.. Η έννοια της πιθανότητας 4.3. Η Συνάρτηση f (x) αx+β 4.4. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Πρόοδοι 4.5. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης 7.1. Αριθμητική πρόοδος 7.. Γεωμετρική πρόοδος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5.1. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5.. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) α/x 5.3. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx+βx+γ full screen Περιεχόμενα 4
Περιεχόμενα Άλγεβρα Α' Λυκείου - Σχολικό Βιβλίο Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Η εξίσωση x ν α Ε1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε. Σύνολα.3. Εξισώσεις ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 1.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 1.. Διάταξη πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισώσεις 3.1. Ανισώσεις 1 ου βαθμού 1.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 3.. Ανισώσεις ου βαθμού 1.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών 3.3. Ανισώσεις γινόμενο & ανισώσεις πηλίκο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις.1. Εξισώσεις 1 ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 4.1. Η έννοια της συνάρτησης 5
4.. Γραφική παράσταση συνάρτησης 4.3. Η Συνάρτηση f (x) αx+β 4.4. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 4.5. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνομετρία 7.1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 7.. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 7.3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5.1. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5.. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) α/x 5.3. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx +βx+γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Συστήματα 6.1. Γραμμικά συστήματα 6.. Μη γραμμικά συστήματα 6
Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου η έκδοση Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 7
E.1: Ερωτήσεις κατανόησης 1.1 : A Oμάδα Εισαγωγικό κεφάλαιο E.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 11, Θ.Ξ. 1) α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ στ) Λ ζ) Σ η) Λ θ) Λ ι) Λ ια) Λ ιβ) Σ ιγ) Σ ) Ναι, ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. 3) α) x ή 3 β) x 1 και 3 γ) α 0 και β 0 δ) α < 0 ή β > 0. 4) α) Αν ο α είναι μεγαλύτερος του, τότε και ο α + 1 είναι μεγαλύτερος του. β) Οι α, β είναι ετερόσημοι ή μηδέν. γ) Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος. δ) (α ) + (β + 1) 0 σημαίνει (α ) + (β + 1) > 0, δηλαδή α 0 ή β + 1 0. 5) α) + (3), γ) + (4), δ) + () και ε) + (1). Ε. Σύνολα: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 18, Θ.Ξ. 1) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Ε στ) Λ ζ) Σ η) Λ θ) Σ ι) Σ ια) Σ ιβ) Λ ιγ) Λ ιδ) Λ ιε) Λ ιστ) Σ ιζ) Σ ιη) Λ ιθ) Λ ) Α Ø, B Ø, Γ Ø, Δ Ø και Ε Ø 3) Α {0,, 4, 6, 8}, Β {5, 6, 7, 8, 9}, Α Β {6, 8}, Α Β {0,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Αʹ {1, 3, 5, 7, 9}, Βʹ {0, 1,, 3, 4}. 4) Α Β {1,, 3} 5) Α {xœ x 10}, B {xœ x 1 4} και G Œ. n n * & 0 6) α) Α β) Α γ) Γ δ) Β. 7) Α {xœ x > 7}, B {xœ x < 1} και είναι ξένα. 8) α) Ø, {1}, {} και {1, } β) Ø, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3} και {1,, 3} γ) Ø, {α}, {β}, {γ}, {δ}, {α, β}, {α, γ}, {α, δ}, {β, γ}, {β, δ}, {γ, δ}, {α, β, γ}, {α, β, δ}, {α, γ, δ}, {β, γ, δ} και {α, β, γ, δ} 9) και 5. 10) Αληθεύουν οι (α) και (β). Κεφάλαιο 1: Οι πραγματικοί αριθμοί 1.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους A Oμάδα σελ. 37, Θ.Ξ. 1) α) 10α 5β + 8 β) 4αβ 14α 14β + 9 γ) 10 16x ) α) x 0 β) x ±3 γ) x 1 και x δ) xœ ε) x 0 και x ± 3) 19 1 a α) x- β) x 4. 1 0 4) α) (κ + 1) + (λ + 1) κ + λ + (κ + λ + 1) κ.λπ. δ) x + (x + 1) + (x + ) + (x + 3) (x + 3) και x + 3 περιττός. 5) Απαγωγή σε άτοπο. 010 010-4009 11 6) α) α β) 1 γ) b a l. b a l. b a l a b l. b b b b 5 15 ag 7) A 6 64. b 8) α) 60 56 7 16 β) 36 γ) 64 9) 6 6 ( 10 ) A x - -3 10 (10 ) 18. 15 δ). 18 10) α 50 10 4,5 10 6 και α 6,5 10 1. 11) α) x 3 β) x 1 γ) x 3 δ) x 1. 1) α) 3 5 13) Αν a b β) 5 19 γ) -13 δ). b g l, θα βρείτε α λ g d 3 δ. 1 Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 8
1.1: Α Oμάδα 14) Αντικαθιστούμε το β με αγ. 15) 0, 60 και 100. 17) Ισχύει x + ω και θα αποδειχθεί ότι α β + γ. 19) α) (x )(x 1) β) (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ) 0) α) γ) (x 1)(3x + 1) δ) 3(4α 3)(8α 5) ε) (α 1) (α + 1) στ) (αβ 1)(α β)(α + αβ + β ) ζ) (x 1)(x + 1) (x + ) η) (α β)(α + β)(α + β ) θ) (α β)(α + β)(α + αβ + β )(α αβ + β ) ι) (x 1)(x + x + 1)(x + 1)(4x x + 1) δ) x+3 x a+ b-g a- b+ g ab 1) α) a + b a(+ a) β) - a- x -1 ε) x - x + 1 5 β) (x- )( x+ ) x-3 γ) x - x + x-1 στ). x -1 γ) ( a+ b+ g ) bg δ) 0 ) β) Από το ερώτημα (α) βρίσκουμε Α 36, οπότε Α 6 ή Α 6. 3) α) 4 β) 14 γ) 5 δ) 5 3) 194 στ) ζ) 194 η).70 4) α) 7 β) 18 γ) 47 1.1 B Oμάδα σελ. 41, Θ.Ξ. 1) Ισχύει x(ργ α) β ρδ (1). Αν ργ α, τότε b-rd x rht Ów, άτοπο. rg-a a b Άρα, ργ α και η (1) δίνει ρδ β, οπότε r kai r. g d ) Όπως το παράδειγμα 10. 3) (x 3) 0, οπότε x 3 και βρίσκουμε α) 3 β) 1 4) α) x 3 x x + (x 1) (x + ). γ) 3 β) x 3 x + 3x 3 (x 1) (x + x + 3). 1.1: B Oμάδα γ) αβ(α β) + (β γ βγ + αγ α γ) αβ(α β) + [γ (α β) γ(α β )] (α β)(β γ)(α γ). δ) (α 4 + β 4 + γ 4 + α β β γ γ α ) 4α β (α + β γ ) (αβ) (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ). ε) x 4 x 9x + 9 (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3). στ) α 4 x (x ) (α +x x)(α x +x). ζ) (x 4 + x + 1) x (x + 1) ( x) η) (x 4 +x +1) x (x +x+1)(x x+1) θ) 3[(x + 1) 3 + (x ) 3 ] 3(3x 1) (3x 6x + 7). 5) α) x 1 και 0. β) (x 1) + ( 1) 0, άρα x 1 και 1. γ) (x + 1) + ( 3) 3 0, άρα x 1 και. δ) (x 4) + 3( + 1) 0, άρα x ± και 1. 6) (x 1) + ( 1) + (z 1) 0, άρα x z 1. 7) A (x ) + ( ω) + (ω x). ( x x )( + + 1 x - x+ 1 ). 8) (x + ) (x ) x+ x- 4x, x b l -b l και 35 7 31 4. 9) α) Πράξεις στο βʹ μέλος. β) Προκύπτει αμέσως από το (α). γ) α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ 0 + α + β + γ 0 ή (α β) + (β γ) + (γ α) 0 + α + β + γ 0 ή α β γ. δ) Όπως στο παράδειγμα 5β, βρίσκουμε αβγ 0. ε) Α (x xz) 3 + (z x) 3 + (zx z) 3 και (x xz) + (z x) + (zx z) 0, οπότε Α 3xz( z)(z x)(x ). 10) (α+β) + (β+γ) + (γ+α) (α+β+γ) 0 κ.λπ. 11) (α x) + (β ) + (γ z) 0 Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 9
1.1: Β Oμάδα 3 3 3 3 3 x + 1) 3 (3 3 x- v ) v + 3 3 3 x + v - v + x 3 + 3 3xω ω 3 + x 3 + 3 + ω 3 3xω + x ω (αφού x + + ω > 0), σύμφωνα με την άσκηση 9γ. a -b -bg (a- b)(a+ b) -bg (a- b)(a+ b) bg bg 13) - a-b- a+ b a+ b a+ b a + b - g 14) α) α β + β α + β κ.λπ. bg ag ab (a-b)(a-g) - ( b-g)(a- b) + (a-g)( b-g) bg( b-g) -ag(a- g) + ab(a-b) (a-b)(a-g)( b-g) Ο αριθμητής παραγοντοποιείται (όπως άσκηση 4γ) και γράφεται (α β)(α γ)(β γ). β) Κάνουμε ομώνυμα (όπως στο (α)) και ο αριθμητής γράφεται α 3 β α 3 γ αβ 3 + β 3 γ + αγ 3 βγ 3 (α β)(α γ)(β γ)(α + β + γ). γ) και δ) Ομοίως 15) α + 1 a + α + 1 α + α α + 1 0 + (α 1) 0 + α 1 κ.λπ. 16) a - b 3 (1). a 3 a Αν α 0, τότε -, άτοπο (αφού ρητός). b b Άρα, α 0 και η (1) δίνει β 0. 1 1 1 1 1 1 1 17) A a - k + b - l+ b - l + + b 1 3 3 4 98 1 1 - l+ b - 99 99 1 99 και μετά τις διαγραφές έχουμε A 1-. 100 100 1 100 18) α + β + γ 1 αβ βγ γα 0 [ (a b) (b g) (g a) + - + - + - ] 0 + α β γ. l + z - x + z ( + z) - x ( + z+ x)( + z-x) 19) a+ 1 z z z 1.: A Oμάδα ( x+ z- )( x+ - z) + ( x+ + z)( + z-x) 4z b+ 1 ( x+ + z)( + z-x) ( x + + z )( + z - x ) 1 0) Αφού g, το αʹ μέλος γράφεται ab 1 a b ab ab+ a+ 1 + + 1 1 1 + 1 1 a b + + + b ab a ab 1 1. ab+ a+ 1 + 1+ ab+ a + a+ 1+ ab 1) z 1 κ.λπ. ) Α x 3) x (67 0) (67 + 0) 4.089. x 1. Διάταξη πραγματικών αριθμών A Oμάδα σελ. 5 11 1 15 1) α) 3 < x+ < β) - < x- < γ) < x < 4 x 61 δ) < < 3 ε) 1 < x 4 + 5 < 7 στ) 5 < x + < 5 4 ζ) 17 < x 3 4 < 3 η) 15 < 3x + 4x < 55 θ) ) α) (α β) 0 β) (α β) 0 γ) (α βx) 0 δ) (α β) (α + αβ + β ) 0 ε) (α 1) + (β 1) 0 στ) (x 1) + ( 1) + (z 1) 0. 3) α) (α β) 0 β) (α + β) 0 γ) (α β) 0 κ.λπ. 5 x + 61 < <. 7 3x- 4 a b b g g δ) d a + n+ d + n+ c + m 6, που ισχύει, διότι από το (α) έχουμε b a g b a g Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 10
1.: Α Oμάδα a b b g g a +, + kai +. b a g b a g 4) α) (x 1) 0 β) (x ) 0 γ) (x + 1) 1 3 + 1 > 0 δ) ax - k + > 0 4 ε) x +(x 1) 3 15 > 0 στ) a x + k + > 0. 4 5) a x x( ) < 0, b - a + a-b b + x bb ( + x) a a+ x άρα <. b b+ x 6) (α β) (α + β) 0 και η ισότητα αληθεύει όταν α β. 7) α β (x 1) (x + 1) και (x 1) 0 i) Αν x 1 ή x 1, τότε α β. ii) Αν x > 1 και x 1, τότε α > β. iii) Αν x < 1 τότε α < β. 8) 3 3 x- x - - x+ x + 3 3 3 3 x( - x) x- x - 3 3 < 0. Άρα, <. x + x+ 3 3 x + 9) α) x + x 1 (x 1)(1 ) < 0. β) 1 + x + + x (x + 1)( + 1) > 0. γ) (1 + x)(1 + ) (1 + x + ) x > 0. δ) x 3 (x x + 1) (x 1)(x + 1) > 0. 10) Με απαλοιφή παρονομαστών καταλήγουμε στην ανισότητα x + x + x > 0, που ισχύει. βʹ τρόπος: x+ + < +. 1+ x+ 1 + x + 1 + x + 1 + x 1 + 1. Β Oμάδα σελ. 53, Θ.Ξ. 1) α) (α βx) + (αz γx) + (βz γ) 0 και η ισότητα ισχύει όταν α βx, αz γx και βz γ. 1 β) 8 ( a- b) + (b- g) + (g-a) B 0 και η ισότητα ισχύει όταν α β γ. γ) Ομοίως με το (β). ) Όπως το παράδειγμα 6. 3) Βρίσκουμε ανά δύο όλες τις διαφορές και διαπιστώνουμε ότι: a ax + g a+ gx g i) Αν x 1, τότε < <. b bx+ d b+ dx d a a+ gx ax + g g ii) Αν 0 < x < 1, τότε < < <. b b+ dx bx + d d 4) 3(1 + x + x 4 ) (1 + x + x ) (x 1) (x + x + 1) 0 5) α 1 + α + + α ν > α 1 + α 1 + + α 1 να 1 και α 1 + α + + α ν < α ν + α ν + + α ν να ν. 6) α 3 + β 3 + γ 3 1 3αβγ a b g ( a b ) ( b g ) ( g a ^ + + h6 - + - + - ) @ 0 και η ισότητα αληθεύει όταν α β γ, αφού α + β + γ > 0. 1 7) α) a + για κάθε α > 0. a a g b g b β) c a + m+ d + n+ d + n + + 6. g a g b a b 8) α) (x 1) + + 1 1, ελάχιστο 1 όταν x 1 και 0. β) (x + ) + ( 3) 3 3 3, ελάχιστο 3 όταν x και. 9) α) αβ(α β) + βγ(β γ) αγ(α γ) (α β) (β γ) (α γ) < 0 β) αβ(α β) + βγ(β γ) + γδ(γ δ) αδ(α δ) (α γ) (β δ) (α + γ β δ) < 0. 10) Γράφεται τελικά (α + β γ) 0. 11) x 5 + 5 x 3 x 3 (x ) (x + )(x + x + ) 0. 1) (α β + γ) 0. 1.: Β Oμάδα 13) α) Με απαλοιφή παρονομαστών καταλήγουμε στην (α β) (α + β) 0. β) Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες a b 1 1 b g 1 1 g a 1 1 + +, b a a b + + και. g b b g + + a g g a Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 11
Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 49
E.1: Ερωτήσεις κατανόησης Εισαγωγικό κεφάλαιο E.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 1, Σχ.Β. Ι. 1) Ψ ) Ψ 3) Α 4) Ψ 5) Α 6) Ψ 7) Α 8) Ψ 9) Ψ. ΙΙ. 1 Ε Α 3 Γ 4 Ζ 5 Δ 6 Β Ε. Σύνολα: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 18, Σχ.Β. Ι. 1) 3,5 ŒØ και 3,5 Œ. ) το 0 ανήκει σ όλα. 13 3) 10 Œ, - στο Ø και στο, π Œ, 3, στο Ø και στο, 5 0 4 σ όλα, 100 10 σ όλα, 5 στα, Ø και. 5 ΙΙ. 1) Α {1,, 4, 8, 16} και Β {1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4) α) Α Β {1,, 3, 4, 6, 8, 1, 16, 4} β) Α Β {1,, 4, 8}. ) α) Α Β Ω β) Α Β Ø γ) Αʹ Β δ) Βʹ Α. ΙΙΙ. 1) Σωστές είναι οι (γ) και (δ). ) Σωστές είναι οι (α) και (β) [β) Β Α Β]. ΙV. 1) α) Øʹ Ω β) Ωʹ Ø γ) (Αʹ)ʹ Α ) α) Α Β Α β) Α Β Β Κεφάλαιο 1: Οι πραγματικοί αριθμοί 1.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους A Oμάδα σελ. 8, Σχ.Β. 4 1) i). 6 A (. 4 x. 1 x - - -9 3.. - 4+ 4 ): f 3 p ( x. - 6+ 1 ): d n -9-9 x x 9 9 9-9. x 0 6 3 ii) A (x) 9 1, διότι 010. 1 x 1. 010-1.1: B Oμάδα - -3-7 ) A 6 ( ):( )@ f p -3-7 (x ( 3) ( 7) ) (x 5 5 ) x 10 10 (x) 10 [0,4 (,5)] 10 ( 1) 10 1. 3) i) 1001 999 (1001 999) (1001 + 999) 000 4000. ii) 99 101 (100 1) (100 + 1) 100 1 10000 1 9999 ( 73, ) - ( 4, 3) ( 73, - 4, 3). ( 73, + 4, 3) 31146., iii) 3. 11, 46 11, 46 11, 46 4) i) (α + β) (α β) (α + αβ + β ) (α αβ + β ) 4αβ. 999 1000 ii) Για a kai b, από το (i), 1000 999 η παράσταση ισούται με 4αβ 4, γιατί αβ 1. 5) i) α (α 1)(α+1) α (α 1) α α +1 1. ii) 1, διότι προκύπτει από το (i) για α 1,365. 6) (κ + 1) κ (κ + κ + 1) κ κ + 1 (κ + 1) + κ. 7) ν + ν+1 + ν+ ν + ν + ν ν (1 + + ) 7 ν 1.1 B Oμάδα σελ. 9, Σχ.Β. 1) i) ii) a(a - a+ 1) a(a-1) a(a-1) a(a-1) a- 1. a(a- 1) + (a-1) (a- 1)(a + ) a+. (a- 1)(a+ 1) (a- 1)(a+ 1) a + 1 a -1 ) i). a ( a+ 1). c m ( a- 1) ( a+ 1) a ( a+ 1) a 3 ( a+ 1). 3 ( a-1). a ( a+ 1) (a + a+ 1)(a. - 1)(a+ 1) ii). 1. (a+ 1) (a-1)(a + a+ 1) Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 50
1.1: B Oμάδα 3) i). 1 1 - ( ) ( ). + x - + b + l x+ c m. x ( x+ ) c m x x+ 4) ( ). ( x) x+ ( x+ ). 1 1 - x - x+ ii). x+. x x+. ( - x) x- 1 1 x - x - - x - x( - x)( + x). ( x+ ) ( -x) x ( ).. x- x( - x)( x+ ) x - ( x+ )( x - x+ ) x - x+ : ( x+ )( x-) x- x - x+ x- x - x+ : x- 1 a b g 5) i) Αν l, τότε γ λα, β λγ λ b g a α και α λβ λ 3 α. Πρέπει να είναι α, β, γ 0, οπότε η ισότητα α λ 3 α δίνει λ 3 1, δηλαδή λ 1. Άρα, α β γ. ii) Είναι β α + γ και β γ α, οπότε ισχύει 4γ α α + γ + 3γ 3α + γ α. Επομένως και β α α α. 6) Αν x, είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε x + 4α και x α. Έτσι, έχουμε a + και επομένως ισχύει. ( x+ ) + 4x x + + x 4 + x + x 0 + (x ) 0 + x. Άρα, το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 7) i) Αν α + β ρητός λ, τότε β λ α ρητός, άτοπο. Άρα, α + β άρρητος. l ii) Αν α β ρητός λ, τότε b rhtów, άτοπο. Άρα, α β άρρητος. a 1. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1) i) α + 9 6α (α 3) 0 1.: Α Oμάδα A Oμάδα σελ. 35, Σχ.Β. ii) (α + β ) (α + β) α + β αβ (α β) 0. ) α + β α + 1 (α α + 1) + β (α 1) + β 0. Η ισότητα ισχύει όταν α 1 και β 0. 3) i) x 0 και + 1 0, δηλαδή x και 1 ii) (x x + 1) + ( + 4 + 4) 0 + (x 1) + ( + ) 0 + x 1 και. 4) i) Προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε 9,9 < x + < 10. ii) 4,5 < x < 4,6 iii) 4,5 < x < 4,6 5,4 < < 5,3 (+) 1 1 1 ---------------- < < ( ) 0,9 < x < 0,7 54, 53, ---------------- 45 x 46 iv) 4,5 < x < 4,6 < < 54 53 5,3 < < 5,4 (+) ---------------- 48,34 < x + < 50,3 5) Πλάτος x + 0, α με, < α < 3, Μήκος 0,1 β με,9 < β < 4,9 i) Περίμετρος: α + β Ρ ii) Εμβαδόν: αβ Ε 4,4 < α < 6,4, < α < 3, 5,8 < β < 9,8 (+),9 < β < 4,9 ( ) ---------------- ---------------- 10, < P < 16, 6,38 < E < 15,68 a b 6). a < + (1+ a)(1+ b). b <(1+ a)(1+ b) + a(1+ b)<b(1+ a) 1+ a 1 + b 1 + a 1 + b + α + αβ < β + αβ + α < β, που ισχύει. 7) Μετά την ανισότητα x(5 x) > (5 + x)(5 x) διαιρούμε με τον αρνητικό αριθμό 5 x, οπότε η φορά της ανισότητας αλλάζει, δηλαδή x < 5 + x. Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 51
1.: B Oμάδα 1.3: B Oμάδα 1. B Oμάδα σελ. 36, Σχ.Β. 1) i) a+ g a > + b(a+ g)>a(b+ g) + βγ > αγ + β > α, που ισχύει. b+ g b ii) Ομοίως. ) α + β 1 αβ (α 1) + (β αβ) (α 1) β(α 1) (α 1)(1 β) > 0, γιατί α 1 > 0 και 1 β > 0. 1 1 a b 3) (a + b) b + l 4 + 1 + + + 1 4 a b b a a b + + + a + b ab + (a- b) 0, που ισχύει. b a 1 4) i) a ab b (a ab b 1 + + + + ) [(a b) a b] + + + 0 a 1 ii) a ab b [ (a b ) a b) - + - + + 0. 1.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 1) i) π 3 > 0, άρα π 3 π 3 ii) π 4 < 0, άρα π 4 π + 4 iii) 3 π + 4 π ( 3 + π) + (4 π) 1 A Oμάδα σελ. 4, Σχ.Β. iv) - 3-3- (- + 3) -( 3- ) 0 ) x 3 > 0 και x 4 < 0, οπότε x 3 + x 4 (x 3) + ( x + 4) 1. 3) i) x 3 < 0 και 4 x > 0, οπότε x 3 4 x ( x + 3) (4 x) 1. 4) ii) x 3 > 0 και 4 x < 0, οπότε x 3 4 x (x 3) ( 4 + x) 1. a-b b-a a-b - (a - b) - 1 1. 5) Αν x, > 0, τότε A + 1+ 1. Αν x, < 0, τότε A - + - -. Αν x > 0 και < 0, τότε A + - 1-1 0. Αν x < 0 και > 0, τότε A - + 0. 6) i) Η απόσταση των αριθμών D και,37 δεν πρέπει να ξεπερνά το 0,005 δηλαδή D,37 0,005. ii) Η παραπάνω ανισότητα γράφεται,37 0,005 D,37 + 0,005 ή,365 D,375. 7) x+3 < 4, d(x, 3) < 4, ( 7, 1) x 4 >, d(x, 4) >, (, ) (6, + ) x+3 4, d(x, 3) 4, (, 7] [1, + ) x 5 < 1, d(x, 5) < 1, (4, 6) x+1 >, d(x, 1) >, (, 3) (1, + ) x 5 1, d(x, 5) 1, (, 4] [6, + ) x+1, d(x, 1), (, 3] [1, + ) x <, d(x, 0) <, (, ) x 3, d(x, ) 3, [ 5, 1] x, d(x, 0), (, ] [, + ) x > 3, d(x, ) > 3, (, 5) (1, + ) 1.3 B Oμάδα σελ. 44, Σχ.Β. 1) α β (α γ) + (γ β) α γ + γ β. ) Ισχύει α β > 0 και α β α β. a+ b + a- b a+ b+ a- b a i) a. ii) Ομοίως. 3) i) x 0 και 0, επειδή οι x, είναι μη αρνητικοί. ii) x + > 0 + x + 0 + x 0 ή 0. Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 5
Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου Μαθηματικά ΔHMOTIKOY Μαθηματικά ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ www.ziti.gr
Ευκλείδεια Γεωμετρία Α & Β Λυκείου Τυπολόγιο για όλες τις τάξεις Μαθηματικά Α & Β Λυκείου www.ziti.gr
Προβλήματα & Κριτήρια A & Β Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου www.ziti.gr
Προβλήματα & Κριτήρια Γ Λυκείου ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ www.ziti.gr
Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ www.ziti.gr
Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ KENTPIKH ΔIAΘEΣH: www.ziti.gr Aρμενοπούλου 7, 546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ.: 310-0370 Fax: 310-11305 e-mail: sales@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr