ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. α) Ψ β) Για παράδειγμα η συνάρτηση f: R R, με: f(x) = { x, x 0 x, x > 0 Είναι στο R αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στο R. Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α = (, 0) (0, + ) ως άθροισμα παραγωγίσιμων, με: f (x) = (x 4x ) = + 8 x = x + 8 x, x 0 f (x) = 0 x + 8 = 0 x = ( ) x = f (x) > 0 x + 8 x > 0 x (x + 8) > 0 x < ή x > 0, όπως προκύπτει από τον παρακάτω πίνακα:

2 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η f είναι συνεχής, άρα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και (0, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [, 0). Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, για x = το f( ) =. Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α ως πηλίκο παραγωγίσιμων, με: f (x) = ( x + 8 x ) = 4 < 0, για κάθε x A x4 Οπότε, η f είναι κοίλη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) και δεν έχει σημεία καμπής. Β. Η f είναι συνεχής στο Α, και: lim f(x) = lim (x 4 x 0 + x 0 + x) = lim f(x) = lim (x 4 x 0 x 0 x) = Άρα, η ευθεία x = 0 είναι η μοναδική κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. Έστω y = λx + β η ασύμπτωτη στο +. Τότε: f(x) lim x + x = lim ( 4 x + x) = = λ και lim (f(x) x) = lim x + (x 4 x + x x) = lim ( 4 x + x) = 0 = β, άρα, η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +. Όμοια, η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f και στο -. Β4. Έχουμε ότι: f(x) = 0 x = 4 x x = 4 x = 4, οπότε, το Α( 4, 0) είναι το σημείο τομής της C f με τον άξονα x x. Ο πίνακας μεταβολών είναι ο εξής:

3 Επομένως, προκύπτει η ακόλουθη γραφική παράσταση: ΘΕΜΑ Γ Γ. Το τετράγωνο έχει περίμετρο x, οπότε η πλευρά του είναι x 4 και το εμβαδόν του είναι: Ε (x) = x 6 Ο κύκλος έχει μήκος 8 x. Γνωρίζουμε ότι το μήκος του κύκλου με ακτίνα R είναι: Γ = πr. Επομένως, πr = 8 x και το εμβαδόν του κύκλου είναι: R = 8 x π Ε (x) = π ( 8 x π ) π (8 x) (8 x) = 4π = 4π Τέλος, το άθροισμα των εμβαδών, δίνεται από τη συνάρτηση: Ε(x) = E (x) + E (x) = x (8 x) + = πx + 4x 64x π 6π

4 Γ. Είναι: ή Ε(x) = (π + 4)x 64x π και Ε (x) = 0 x = Ε (x) = (π + 4)x 8, x (0, 8), x (0, 8) Το πρόσημο της Ε, η μονοτονία της Ε και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δηλαδή, συνάρτηση Ε παρουσιάζει ελάχιστο στο x o =, που σημαίνει ότι το άθροισμα των εμβαδών ελαχιστοποιείται όταν: x = π + 4 x 4 = 8 π + 4 = α, που είναι η πλευρά του τετραγώνου. 8 Τέλος, όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι α =, η ακτίνα R του κύκλου είναι: R = 8 x π = 8 π + 4 π Και η διάμετρός του δ = R = ( 4 ) = 8. Άρα, η πλευρά α = Γ. Επειδή: lim E(x) = lim x 0 + 8, ισούται με τη διάμετρο δ = 8. () x 64x+56 x 0 + 6π lim E(x) = lim () x 64x+56 x 8 + x 8 + 6π Ε ( ) = = 6 Έχουμε: = = 6 π = 4 8π π (π + 4) = 4 π + 4 i. Αν το x (0, ] = Α, τότε η Ε ως Α και συνεχής, έχει σύνολο τιμών: Ε(Α ) = [Ε ( π + 4 ), lim 6 E(x)) = [ x 0 + π + 4, 6 π ) 4

5 Όμως, 6 < 5 < 6 π, άρα 5 f(a ), οπότε υπάρχει x (0, ], ώστε Ε(x ) = 5, το οποίο είναι μοναδικό, διότι Ε (0, ]. ii. Αν το x [, 8) = A, τότε η Ε ως και ο αριθμός 5 f(a ). Ε(Α ) = [ 6 π + 4, 4) Άρα, δεν υπάρχει x [, 8), ώστε f(x) = 5. A και συνεχής, έχει σύνολο τιμών: Επομένως, αποδείξαμε ότι υπάρχει μοναδικό x (0, ] ώστε Ε(x ) = 5. Δηλαδή, υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα, ώστε το άθροισμα των εμβαδών να είναι 5m. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, ως πράξεις παραγωγίσιμων, με: f (x) = e x a (x a) x = e x a x και f (x) = e x a f (x) = 0 e x a = e x a = e 0 x a = 0 x = a f (x) > 0 e x a > e x a > e 0 x a > 0 x > a Το πρόσημο της f και η κυρτότητα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Άρα, η f είναι κοίλη στο (, α] κυρτή στο [α, + ) και έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το Α(α, f(a)) ή A(a, a ) Δ. Από το ερώτημα Δ έχουμε: 5

6 Είναι: f συνεχής στο (, α] = Δ και f Δ. Άρα, f (Δ ) = [f (a), lim x f (x)) f (a) = a < 0, αφού α > lim e x a = lim x u eu, με u = x a = 0 Άρα, lim f (x) = lim (e x a x) = 0 ( ) = + x x = [ α, + ), διότι: f συνεχής στο [α, + ) = Δ και f Δ. Άρα, f (Δ ) = [f (a), lim x + f (x)) lim f (x) = lim (e x a x) = lim [x (ex a )] = + x + x + x + x αφού: e x a lim x + x lim x = + x + DLH ( + ) = (e x a ) lim + x + (x) = lim x + e x a = + και = [ α, + ), διότι: To 0 f (Δ ), άρα υπάρχει x Δ ώστε f (x ) = 0. To x είναι μοναδικό, διότι f ως Δ. To 0 f (Δ ), άρα υπάρχει x Δ ώστε f (x ) = 0. To x είναι μοναδικό, διότι f ως Δ. Επομένως, η f έχει δυο ακριβώς ρίζες x Δ και x Δ. Θα βρούμε το πρόσημο της f Αν x < x f (x) > f (x ) = 0, αφού f Δ x < x < a f (x) < f (x ) = 0 Αν α < x < x f (x) < f (x ) = 0, αφού f Δ x > x f (x) > f (x ) = 0 Έτσι, το πρόσημο της f και η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον πίνακα: Δηλαδή: f (, x ], f [x, x ] και f [x, + ) 6

7 Και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x και τοπικό ελάχιστο στο x. Δ. ος τρόπος Γνωρίζουμε ότι: x < a < x και a >. Γι αυτό συγκρίνουμε το x με το :. Αν x f (x ) f (), διότι f (, α] 0 e a e a e 0 e a 0 a a, άτοπο Άρα, x <, και έχουμε: x < < α < x. Έστω ότι υπάρχει ρ (α, x ) τέτοιο, ώστε: f(ρ) = f(). Επιπλέον, είναι f συνεχής στο [, ρ] παραγωγίσιμη στο (, ρ), ως παραγωγίσιμη στο R. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ρ), τέτοιο ώστε f (ξ) = 0, που είναι άτοπο, διότι f (x) < 0 στο (x, x ), άρα και στο (, ρ) (x, x ). Επομένως, η εξίσωση f(x) = f() είναι αδύνατη στο (α, x ). ος τρόπος Από την περίπτωση () έχουμε ότι: x < < α < x. Οπότε για κάθε x (α, x ), έχουμε: < α < x < x f() > f(a) > f(x) f() > f(x) f() f(x) στο (α, x ) ος τρόπος Θα δείξουμε ότι το f() = e a δεν ανήκει στο σύνολο τιμών f(δ), με Δ = [a, x ]. Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ, το f(δ) = [f(x ), f(a)] = [f(x ), a ] Οπότε, αρκεί να δείξουμε ότι f() > a e a > a e a + a > 0 (I) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(a) = e a + a, με α Τότε g (a) = e a + a, a Και g (α) = e a + > 0, για κάθε a Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Οπότε, για α > g (a) > g () g (a) > 0, αφού g () = 0 Η g είναι συνεχής στο, άρα g [, + ) 7

8 Τέλος από α > g(a) > g() e a + a > 0, αφού g() = 0, δηλαδή αποδείχθηκε η (Ι). Δ4. Για α = : f(x) = e x x και είναι κυρτή στο διάστημα [, + ) από ερώτημα Δ. Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f()) έχει εξίσωση: (ε): y f() = f ()(x ) y + = (x ) αφού f() = και f () = y = x + H f είναι κυρτή στο [, + ) άρα για κάθε x [, ] f(x) y f(x) x +, με την ισότητα μόνο για x = Άρα: f(x) x ( x + ) x, διότι f(x) x dx Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: > ( x + ) x dx Ι = ( x + ) x dx Θέτω: u = x x = u + και x + = u Τότε: du = (x ) dx Αν x = u = 0 Άρα: x = u = du = dx Ι = ( u ) udu 0 = [ u5 5 Έτσι, η (Ι) γίνεται: x 0 στο [, + ) () = ( u )u du = ( u u ) du 0 u ] = = = 5 0 f(x) x dx > 5 0 8