ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) OhanianOhanian Φυσική Α. Φίλιππας (Μετ.), Εκδόσεις Συμμετρία
q 1 F Μονάδες SI: σε μέτρα q σε Coulomb F σε Newton Νόμος Coulomb Αυτή η δύναμη έχει την ίδια χωρική εξάρτηση με την βαρυτική δύναμη, ΑΛΛΑ ΔΕΝ εξαρτάται από τη μάζα!! Η ένταση της ΔΥΝΑΜΗΣ μεταξύ δύο σωμάτων καθορίζεται από το φορτίο τους. F q 2 F = 1 4πε q 1 q 2 2 1 =9 1 N m C 4πε 9 2-2 Συχνά συμβολίζουμε αυτόν τον παράγοντα k οπότε: F = k q 1 q 2 / 2 Διηλεκτρική σταθερά του κενού ε =8,9 1 N A sec V m ˆ -12-1 -1
Για περισσότερα φορτία; Όπως στην μηχανική: Νόμος Υπέρθεσης: Η ΟΛΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ σε φορτίο είναι το ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ των επιμέρους δυνάμεων. q F 1 q n F 2 F n q 1 F q 2 n F= F1+ F2 +... + F = n Fi i= 1
F elec = Σύγκριση δυνάμεων Ηλεκτρική vs Βαρυτική 1 q 1 q 2 4πε 2 F gav = G m 1 m 2 2 Για ένα πρωτόνιο, q = 1.6 X 1-19 C q 1 F F q 2 m 1 m 2 m = 1.67 X 1-27 kg 9 2-2 k=9 1 Nm Cb F elec F gav = F elec Fgav q 1 q 2 m 1 m 2-11 2-2 G=6,7 1 Nm kg 1 4πε G + = 123. 1 36
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ If q = Q = 1 C, = 1 m, τότε F e = 9 1 9 N Ισοδύναμη μάζα: m = M = F e /g = 9 1 8 kg = 9 Mkg λόγος δυνάμεων (q = Q = 1 C, m = M = 1 kg): Ιδιότητες φορτίου q = + q είναι κβαντισμένο και αναλλοίωτο, q min = e e (ηλεκτρονικό φορτίο) Θεμελιώδεις σωματιδιακές ιδιότητες ηλεκτρονικό φορτίο : q = -e = -1.6 1-19 C (R.A. Millikan 199/13, Chicago) λόγος ηλεκτρονικού φορτίου προς τη μάζα: e/m e = 1.76 1 11 C/kg (J.J. Thomson 1897, Cavendish Lab., see late) ηλεκτρονική μάζα : m e = 9.11 1-31 kg πρωτονικό φορτίο: q = e = +1.6 1-19 C λόγος μάζας πρωτονίου προς ηλεκτρονίου: m p /m e = 1836 λόγος μάζας νετρονίου προς ηλεκτρονίου : m n /m e = 1839
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΝΟΜΟΣ του Coulomb ΟΡΙΣΜΟΣ Πεδίο "σημειακού" φορτίου Q Ένα φορτίο ελέγχου q στο σημείο P (P= P() = σημείο "πεδίου", = διάνυσμα θέσης) Q στο S (= σημείο "πηγής") 1 Q 1 E = ˆ= E( ) ˆ, E( ) = 4πε 4 Q 2 2 πε Παρατήρηση: E() δεν είναι το μέτρο του διανύσματος E(), αλλά η συνιστώσα του κατά την ακτινική διεύθυνση, ως εκ τούτου μπορεί να είναι αρνητική ή θετική.
Πεδίο πολλών σημειακών φορτίων {Q i } E 1 = 4πε i Q i 2 i ˆ (διανυσματικό άθροισμα) i Παρατήρηση: 1. Μέτρο του E: E k Σ i (Q i / i2 ) Διανυσματικό άθροισμα Αλγεβρικό άθροισμα 2. Διεύθυνση (και μέτρο) του E: μπορεί συχνά να υποτεθεί από τη συμμετρία του σμήνους των φορτίων.
Παράδειγμα: Ηλεκτρικό δίπολο p=q a a, a = 2d x+d x-d Πεδίο κατά μήκος του άξονα, σε θέση x > d 2 2 k q -k q ( x+ d) ( x d) Ex ( ) = + 2 2 = k q 2 2 2 ( x d) ( x + d) ( x d ) 4dx 2qax 2 pe x = k q = k = k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x d ) ( x d ) ( x d ) Όπου εισάγαμε a = 2d, (απόσταση μεταξύ των φορτίων) και την ηλεκτρική διπολική ροπή p e = q a. Για x >>d, x-d x και συνεπώς: Δύο φορτία ίσης και αντίθετης τιμής σε απόσταση a μεταξύ τους, με χαρακτηριστικό μέγεθος την ηλεκτρική διπολική ροπή p=q a. (από - + ) 2p x 1 2p Ex ( ) =k = x d ( x ) e e 2 2 4πε 3 x
Πεδίο κατά μήκος της μεσοκαθέτου, στη θέση y Σημειώστε ότι το πεδίο κατευθύνεται προς την αρνητική κατεύθυνση x. Για λόγους συμμετρίας το μέτρο του δίνεται από: q d E = 2k cos α, όπου cos α= y + d y + d 2 2 2 2 E Συνεπώς = 2d p 1 p k q ( y d ) = k y = y e e 2 + 2 3/2 y d 3 4πε 3 όπου p e = q 2d = q a όπως προηγουμένως. Σημειώστε ότι E 1/ 3 ( = x,y).
y Ηλεκτρικό δίπολο +Q d d -Q x Ειδική περίπτωση: (κεραίες, μόρια) > > d Σημεία στον x-άξονα : Σημεία στον y- άξονα : ( ) Ex, = y ( ) E, = E y 1, = 2 4 πε ( ) Για >>d, Qd 2 2 ( + d ) 3/2 E x Για >>d, (, ) = Q 4πε 4d 2 2 ( d ) 2 Ey (,) 2 1 πε 4 Qd 3 Ex (, ) + 4 1 πε Qd 4 3 Κατά διεύθυνση γωνίας Θ : E Qd E 1 3
Δυναμικές Γραμμές Πεδίου Παρέχουν τρόπο απεικόνισης ηλεκτρικού πεδίου. Σχετίζονται με το πεδίο σε κάθε περιοχή του χώρου ως εξής: Οι δυναμικές αρχίζουν από θετικά και τερματίζονται σε αρνητικά φορτία ή στο άπειρο. Οι γραμμές σχεδιάζονται συμμετρικά κατά την είσοδο ή την έξοδο από φορτίο. Ο αριθμός των γραμμών που αφήνουν θετικό ή πλησιάζουν αρνητικό φορτίο είναι ανάλογος προς την ποσότητα του φορτίου. Ο αριθμός των γραμμών ανά μονάδα επιφανείας κάθετης προς τις γραμμές (πυκνότητα) είναι ανάλογη προς την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε αυτή την περιοχή. Σε μεγάλες αποστάσεις από σύστημα φορτίων, οι δυναμικές γραμμές ισαπέχουν μεταξύ τους και είναι ακτινικές σαν να προήλθαν από σημειακό φορτίο ίσο προς το ολικό φορτίο του συστήματος. Το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου E είναι εφαπτόμενο των δυναμικών γραμμών Οι δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται.
Δυναμικές Γραμμές Φορτίων E Κατευθύνεται από το +q E Κατευθύνεται προς το -q
Ροπή σε δίπολο Χρησιμοποιήσαμε το σύμβολο a γιατοδιάνυσμαδιαχωρισμού των δυο φορτίων που απαρτίζουν το δίπολο και συνεπώς για την έκφραση που ορίζει την ηλεκτρική διπολική ροπή (διάνυσμα), δηλ. p e = q a. Άλλοι συνήθεις συμβολισμοί: p = q d ή p e = q l, όπου σε κάθε περίπτωση a ή d ή l είναι η απόσταση των δύο φορτίων. Εδώ χρησιμοποιούμε p = q d.
Σημειώστε ότι οι δυο αντίθετες δυνάμεις στα δυο φορτία παράγουν την ίδια ροπή qe(d/2) sinφ ως προς το κέντρο του διπόλου. Συνεπώς, μολονότι η συνολική δύναμη στο δίπολο είναι μηδέν, υπάρχει μια συνολική ροπή με κατεύθυνση προς τα «μέσα» και μέτρο: τ = d Fsinφ = d q Esinφ = pesinφ όπου p = q d είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή. Επειδή όμως, τόσο το p όσο και το E είναι διανύσματα, η παραπάνω έκφραση παριστά το μέτρο του διανύσματος που είναι το εξωτερικό γινόμενο των p και E, δηλαδή, η ροπήτ που ασκείται στο δίπολο είναι: τ = p E Η διεύθυνση αυτού του διανύσματος είναι προς τα μέσα του επιπέδου του χαρτιού.
Επιπτώσεις Εάν ένα δίπολο είναι ελεύθερο να περιστρέφεται, θα ευθυγραμμιστεί με την διεύθυνση του πεδίου E. (για την ακρίβεια, αν δεν υπάρχουν τριβές, θα ταλαντώνεται γύρω από την κατεύθυνση του πεδίου). (1) Ένα δίπολο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης του πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου. Άρα, κινώντας το δίπολο κατάλληλα μπορούμε να διαγράψουμε μια δυναμική γραμμή. (2) Όταν στρέφουμε ένα δίπολο κατά μια γωνία dφ, το πεδίο παράγει έργο dw = -τ dφ = -pe sinφ dφ. Στρέφοντας το δίπολο από τον προσανατολισμό φ 1 στον φ 2, το πεδίο παράγει έργο: Αυτό οδηγεί σε μια μείωση της δυναμικής ενέργειας του συστήματος πεδίουδιπόλου, που δίνεται από το U(φ 1 ) U(φ 2 ). Άρα, η δυναμικήενέργειατου συστήματος πεδίου-διπόλου δίνεται από: U ( φ) = pe cosφ = pe όπου φ είναι η γωνία μεταξύ των p και E. Θέσεις ευσταθούς ισορροπίας;
Ηλεκτρικά πεδία από Συνεχείς κατανομές φορτίων Αρχές (Νόμος Coulomb + Νόμος επαλληλίας) ισχύουν και εφαρμόζονται. Μόνη αλλαγή: E() =? ++++++++++++++++++++++++++ Σ Παράδειγμα: γραμμική κατανομή
Πως προσεγγίζουμε αυτόν τον υπολογισμό Με λόγια: E() =? ++++++++++++++++++++++++++ προσθέτουμε τη συνεισφορά από το φορτίο κάθε απειροστού τμήματος της κατανομής, χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας Στην πράξη: Με το νόμο του Coulomb βρίσκουμε το E για κάθε τμήμα της κατανομής Μετά ολοκληρώνουμε (αθροίζουμε) για όλη τη γραμμή x: από έως + ή θ: από π/2 έως +π/2 Θ +++++++++++++++ Υπάρχουν συμμετρίες? Διευκολύνουν τους υπολογισμούς.
Πυκνότητες φορτίου Πως παριστούμε το φορτίο Q σε εκτεταμένο σώμα; ολικό φορτίο Q Άθροισμα των απειροστών τμημάτων φορτίου dq Γραμμή φορτίου: λ = φορτίο ανά dq μονάδα μήκους = γραμμική πυκνότητα φορτίου Επιφάνεια φορτίου: dq = λ dx dq = σ da σ = φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας = επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Χωρική κατανομή: ρ = φορτίο ανά μονάδα όγκου = πυκνότητα φορτίου dq = ρ dv
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΟΥ (1) Ομοιόμορφα φορτισμένος δακτύλιος de dq = k 2 Λάθος προσέγγιση: = Λάθος!!
Σωστό: de x = cosα de, cosα = x/, 1 dq x 1 xdq dex = de cos α = = 4πε x + α x + α 4 x + α 2 2 2 2 2 2 3/2 πε ( ) οπότε E x 1 xdq 1 = = 4πε 4 xq 3/2 3/2 πε ( 2 2) ( 2 2 x + α x + α ) Λόγω συμμετρίας Ε y = άρα Ε=Ε x Παρατηρήσεις: 1. x = E() = 2. x a x+ a x E = E = x 1 4πε Q x 2 (σημειακό φορτίο!) 3. x a x+ a a E = E = x 1 4πε Qx a 3
(2) Ομογενώς φορτισμένος δίσκος (ακτίνα R), σ = dq/da = σταθερά = Q/A σ = επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Παρατ.: πεδίο φορτισμένου δακτυλίου ακτίνας πάχους d Φορτίο δακτυλίου dq=2πσd de x = 1 (2 πσd) x 4 πε x ( 2 2 + ) 3/2 E x R 1 (2 πσd) x σx d = = Οπότε 2 2 3/2 2 2 3/2 4πε 2ε ( x + ) ( x + ) R [Ολοκλήρωση ] =
d 1 1 ( 2 2) 3/2 = x + 2 = d ( x ) 2 + x + 2 2 1/2 2 2 3/2 ( ) E x R σx d 1 σx 1 σx 1 1 = d 2ε = = d 2ε 2ε x ( 2 2) 1/2 ( 2 2) 1/2 ( 2 2) 1/2 x + x + x + R R σ Ex = E = E( x) = 1 2ε 1 ( 2 1 + ( R/ x) ) 1/2 Παρατηρήσεις: x ή R, E = E() = σ/2ε
(3) Πεδίο φορτισμένου σύρματος άπειρου μήκους Γραμμική πυκνότητα φορτίου λ = dq/dl = σταθ. de = cos θde, cosθ = s = secθ s 1 λdz 1 de = de = cos θ 4πε 4 λdz 2 2 s πε s Το z και το θ συνδέονται dz 2 2 z = tanθ = sec θ dz = sec θdθ dθ z θ τότε (- < z < - π/2 < θ < π/2)
1 λ sec θdθ 1 λ de = cosθ = cosθdθ 4πε 4πε 2 2 sec θ 2 Τελικά π /2 1 λ λ π /2 E = E() = de = cosθdθ [ sinθ] π /2 4πε = = π /2 4πε λ λ [ 1 ( 1) ] = 4πε 2πε
ΣΥΝΟΨΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΠΕΔΙΟΥ Σημειακό φορτίο Q: 1 Q 1 ( ) ˆ E = 2 2 4πε Γραμμική κατανομή φορτίου ( μήκους, πυκνότητα λ) Επίπεδη κατανομή φορτίου ( εκτάσεως, πυκνότητα σ) Δίπολο, κατά μήκος άξονα (P e = qa) Δίπολο, κατά μήκος της μεσοκαθέτου λ E ( ) ˆ = 2πε E σ = n 2ε 1 2 1 E ( ) = 4πε 1 1 P e 3 3 1 1 E ( ) = 4πε P e 3 3 1