Ελαστική κρούση σώματος με άλλο ακίνητο πολύ μεγαλύτερης μάζας, λάθη- παρανοήσεις- συμπεράσματα.

Transcript

1 Ελαστικ κρούση σώματος με άλλο ακίνητο πολύ μεγαλύτερης μάζας, λάθη- παρανοσεις- σμπεράσματα. Α. Μετωπικ ελαστικ κρούση μικρς σφαίρας με μεγάλη ακίνητη σφαίρα ελεύθερη για μετακίνηση Στο σχμα μια πολύ μικρ σφαίρα Σ μάζας κτπάει μετωπικά και ελαστικά με ταχύτητα μια άλλη σφαίρα Σ πολύ μεγαλύτερης μάζας πο είναι ακίνητη πάνω σε λείο δάπεδο ελεύθερη για μετακίνηση. Στον άξονα κρούσης το σύστημα είναι μονωμένο και σνεπώς ισχύον οι αρχές διατρησης της ορμς και μηχανικς ενέργειας το σστματος κατά την διάρκεια της κρούσης. Από ατές τις εξισώσεις για αμέσως μετά την κρούση προκύπτον οι γνωστές εξισώσεις των ταχττων για τις σφαίρες Σ και Σ. - Σ : + () Σ : + () Επειδ οι ανωτέρω εξισώσεις γράφονται: ( ) ( ) + + Σχόλια -παρατηρσεις:. Οι ακριβείς εξισώσεις είναι οι () και (), ενώ οι ( ) και ( ) είναι προσεγγιστικές... ενώ το σχολικό βιβλίο στην 5.4 τις έχει ως τις έχει και κάτι πο δεν είναι ακριβές.. Για να ισχύον οι εξισώσεις () και () εκτός από το ότι η κρούση πρέπει να είναι μετωπικ και ελαστικ πρέπει το σύστημα να είναι μονωμένο και ατό επιτγχάνεται μόνον αν σφαίρα Σ είναι πάνω σε λείο δάπεδο ελεύθερη για μετακίνηση. Β. Μετωπικ ελαστικ κρούση μικρς σφαίρας με μεγάλη ακίνητη επίπεδη επιφάνεια ελεύθερη για μετακίνηση Έστω τώρα αντί για μεγάλη σφαίρα Σ έχομε μεγάλη επίπεδη κατακόρφη επιφάνεια μάζας Μ ελεύθερη για μετακίνηση... [προσοχ: όχι τοίχο πο δεν μπορεί να μετακινηθεί!] και μια πολύ μικρ σφαίρα μάζας να κτπάει κάθετα (μετωπικά) και ελαστικά με ταχύτητα την ανωτέρω επιφάνεια. Επειδ το σύστημα είναι - Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr

2 μονωμένο αμέσως μετά την κρούση θα ισχύον με ακρίβεια οι εξισώσεις () και () και προσεγγιστικά οι ( ) και ( ). Σχόλιο- ιδιαίτερη προσοχ! Για να ισχύον οι εξισώσεις () και () προσεγγιστικά οι εξισώσεις ( ) και ( ) η επιφάνεια Σ πρέπει να είναι ελεύθερη για μετακίνηση ώστε το σύστημα να είναι μονωμένο. Αν η επιφάνεια Σ είναι τοίχος πο δεν μπορεί να μετακινηθεί το σύστημα δεν είναι μονωμένο και δεν ισχύει η διατρηση της ορμς και προφανώς ούτε οι εξισώσεις () και (). Στην περίπτωση το τοίχο - όπως θα δούμε παρακάτω- για μετά τη κρούση οι ταχύτητες είναι με ακρίβεια και αλλά για άλλον λόγο και δεν προκύπτον από τις () και () όπως 5 χρόνια τώρα λανθασμένα αναφέρεται στην 5.4 σχολικού! Γ. Η προσέγγιση πο οδηγεί σε άτοπα αποτελέσματα. Έστω μια πολύ μικρ σφαίρα μάζας =,Kg πο κτπάει κάθετα και ελαστικά με ταχύτητα = / s μια κατακόρφη επιφάνεια μάζας = 9999,9Kg πο είναι πάνω σε λείο δάπεδο ελεύθερη για μετακίνηση. Αν η κρούση διαρκεί =s θα πολογίσομε για κάθε σώμα τη μεταβολ της ορμς, και τη δύναμη κρούσης Οι ταχύτητες μετά την κρούση είναι: - Μικρ σφαίρα Σ : +,- 9999,9 =,+ 9999,9 s = -9,9998 / s και προσεγγιστικά - / s αλλά όχι ακριβώς - / s. Μεγάλη επιφάνεια Σ : +, =,+ 9999,9 s =, / s και προσεγγιστικά Μεταβολ ορμς για κάθε σώμα: / s αλλά όχι ακριβώς Σ : p p, p, Δp = - - (+ ) Δp = -( + ) Δp = -,Kg (9,9998 +) / s Δp = -,99998Kg / s Σ : p p, p, Δp = - Δp = -4 Δp = 9,9999Kg / s Δp = +,99998Kg / s / s -4 = / s Παρατηρούμε ότι p p Δp σστματος = p σστματος =σταθερό κάτι πο είναι αναμενόμενο αφού το σύστημα είναι μονωμένο ( τονίζομε την ελεθερία κίνησης της ελεύθερης επιφάνειας)! Οι δνάμεις κρούσης: p p -,99998Kg / s Σ : F F F F t 3 999,98N t s p p,99998kg / s Σ : F F F F t 3 999,98N t s Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr

3 Παρατηρούμε ότι F F, αναμενόμενο αφού πρόκειται δνάμεις δράσης- αντίδρασης....και αν παίρναμε τις προσεγγιστικές τιμές των ταχττων;... Προσέξτε τώρα το άτοπο των αποτελεσμάτων αν για τα ανωτέρω παίρναμε τις προσεγγιστικές τιμές των ταχττων. Μεταβολ ορμς για κάθε σώμα: Σ : p p, p, Δp = - - (+ ) Δp = -( + ) Δp = -,Kg ( +) / s Δp = -Kg / s Σ : p p, p, Δp = - Δp = Δp = 9,9999Kg / s Δp = Παρατηρούμε ότι καταλγομε στο σμπέρασμα p p Δpσστματος pσστματος σταθερό κάτι πο προφανώς δεν είναι σωστό αφού το σύστημα είναι μονωμένο!! Οι δνάμεις κρούσης: p p -Kg / s Σ : F F F F t 3 N t s p p Kg / s Σ : F F F F t 3 N t s Παρατηρούμε ότι καταλγομε στο σμπέρασμα F F, κάτι πο προφανώς δεν είναι σωστό αφού πρόκειται δνάμεις δράσης- αντίδρασης. 3 Δ. Μετωπικ ελαστικ κρούση μικρς σφαίρας με τοίχο! Μια σφαίρα Σ μάζας κινείται οριζόντια πάνω σε λείο δάπεδο και κτπάει κάθετα και ελαστικά σε ένα κατακόρφο λείο τοίχο Σ μάζας, όπως στο σχμα. Σημειώνομε ότι εδώ πρόκειται για τοίχο πο δεν μπορεί να μετακινηθεί και το σύστημα [σφαίρα, τοίχος] δεν είναι μονωμένο και προφανώς δεν ισχύει η διατρηση ορμς το σστματος, άρα δεν ισχύον και δεν μπορούμε να - χρησιμοποισομε τις σχέσεις Σ : + Σ : όπως 5 χρόνια τώρα λανθασμένα + αναφέρεται στην 5.4 σχολικού! Επειδ η κρούση είναι ελαστικ και δεν πάρχον μόνιμες παραμορφώσεις δεν πάρχει απώλεια ενέργειας μηχανικς ενέργειας λόγω κρούσης και μπορούμε να γράψομε : Ε μηχ = σταθερ σστ, πριν = σστ, μετά τοίχο, πριν = σφαίρας, μετά τοίχο, μετά και επειδ τοίχο, πριν = τοίχο, μετά έχομε = σφαίρας, μετά = = (κατά μέτρο) Άρα η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ακριβώς ίσο μέτρο. F N g Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr

4 ...και γιατί η σφαίρα ανακλάται στην ίδια διεύθνση ;... Οι ασκούμενες στη σφαίρα δνάμεις είναι το βάρος της g η δύναμη στριξης N και η δύναμη κρούσης F πο επειδ οι επιφάνειες κρούσης είναι λείες είναι κάθετη στην επιφάνεια κρούσης και προφανώς διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Επειδ η σφαίρα κινείται σε λείο δάπεδο οι g και N αλληλοαναιρούνται και σνεπώς η σνισταμένη δύναμη πο ασκείται στη σφαίρα κατά την διάρκεια της κρούσης είναι η F στην διεύθνση, ΣF = ΣF = F. Από τον ο νόμο Newton για την σφαίρα στη κρούση παίρνομε Δp =F p p F t p F t p p είναι στην διεύθνση και από την () φαίνεται ότι και η p τελικ p αρχικ () και επειδ η F και p θα είναι στον άξονα. Σχόλιο: Εδώ η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ακριβώς ίσο μέτρο με ατν της πρόσπτωσης.... και αν η σφαίρα κτπάει κάθετα στον τοίχο αλλά δεν κινείται σε οριζόντιο δάπεδο;... Οι ασκούμενες τώρα στη σφαίρα δνάμεις είναι το βάρος της g και η δύναμη κρούσης F πο επειδ οι επιφάνειες κρούσης είναι λείες είναι κάθετη στην επιφάνεια κρούσης και προφανώς διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Από τον ο νόμο Newton για την σφαίρα κατά την F διάρκεια της κρούσης στος δύο άξονες παίρνομε: g Δp : παίρνομε = ΣF = F p, p, F t - = F F - - = -F = - () Δp : = ΣF = g p, p, g t p, g t, = g (3). Επειδ g F και t από () και (3) με πολύ καλ προσέγγιση θεωρούμε ότι (οσιαστικά ). Επομένως η ταχύτητα μετά την κρούση είναι με πάρα πολύ καλ προσέγγιση η οριζόντια στην διεύθνση κάθετη στον τοίχο... και από την διατρηση της μηχανικς ενέργειας λόγω ελαστικότητας της κρούσης ( όπως και παραπάνω ) παίρνομε =, δηλαδ και εδώ έχομε ανάκλαση σχεδόν στην ίδια διεύθνση με αντίθετη ταχύτητα. Ft 4 E. Πλάγια ελαστικ κρούση μικρς σφαίρας με τοίχο! Μια σφαίρα μάζας κινείται σε κατακόρφο επίπεδο και κτπάει κάθετα και ελαστικά σε έναν λείο τοίχο, όπως στο σχμα. Θεωρείστε: οι θέσεις της σφαίρας στο σχμα είναι αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση, Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr

5 η διάρκεια κρούσης είναι αμελητέα t, κατά την διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα η κατακόρφη μετατόπιση, οσιαστικά δεν μεταβάλλεται η δναμικ ενέργεια βαρύτητας της σφαίρας. Επειδ η κρούση είναι ελαστικ και δεν πάρχον μόνιμες παραμορφώσεις δεν πάρχει απώλεια ενέργειας μηχανικς ενέργειας λόγω κρούσης και μπορούμε να γράψομε : Ε μηχ = σταθερ σστ, πριν + U βαρ, πριν = σστ, μετά U, ά και επειδ θεωρσαμε τις θέσεις της σφαίρας αμέσως πριν και αμέσως μετά η δναμικ ενέργεια βαρύτητας δεν μεταβάλλεται, οπότε τοίχο, πριν = σφαίρας, μετά τοίχο, μετά και επειδ τοίχο, πριν = τοίχο, μετά έχομε = σφαίρας, μετά = = (κατά μέτρο) Άρα η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ακριβώς ίσο μέτρο. Από τον ο νόμο Newton για την σφαίρα στον άξονα κατά την κρούση πο t Δp έχομε = ΣF = g p, p, g t p, gt p, gt και επειδ το βάρος g είναι σχετικά μικρό κρίως όμως επειδ t η ποσότητα g t και η τελεταία σχέση με πολύ καλ προσέγγιση γίνεται, οπότε και... δηλαδ η σνιστώσα της ταχύτητας σε άξονα παράλληλο με τον τοίχο δεν μεταβάλλεται... οσιαστικά είναι σαν να μην έγινε κρούση στον άξονα. F g 5 Επίσης και επειδ θα είναι και = κατά μέτρο. Επίσης για τις γωνίες πρόσπτωσης φ και ανάκλασης θ έχομε: και και βάση τις ισότητες και έχομε εφφ=εφθ και επειδ οι γωνίες είναι οξείες παίρνομε φ=θ. Τελικά έχομε: ίσα μέτρα για τις ταχύτητες πρόσπτωσης και ανάκλασης =, οσιαστικά αμετάβλητη την σνιστώσα της ταχύτητας σε άξονα παράλληλο με τον τοίχο,, αντιστροφ της σνιστώσας της ταχύτητας με ίδιο μέτρο σε άξονα κάθετο στον τοίχο, = ίσες τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης φ=θ. Σχόλιο: Σημειώνομε ότι εδώ πρόκειται για τοίχο πο δεν μπορεί να μετακινηθεί και το σύστημα [σφαίρα, τοίχος] δεν είναι μονωμένο και προφανώς δεν ισχύει η διατρηση ορμς το σστματος. αι εδώ το σχολικό έχει λάθος εξγηση γιατί θεωρεί ότι ισχύει η σχέση Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr

6 - στον άξονα!!... για να ισχύει όμως η εξίσωση ατ πρέπει να ισχύει + η αρχ διατρησης της ορμς! 6 Βασίλης Τσούνης ail@btsounis.gr