Υλικό Φυσικής-Χημείας. Φ.Ε: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕΤΩΠΙΚΕΣ και ΜΗ

Transcript

1 Φ.Ε: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕΤΩΠΙΚΕΣ και ΜΗ Ας ξεκινήσομε με την περίπτωση όπο μια μικρή σφαίρα σγκρούεται ελαστικά με τοίχο. Στην περίπτωση ατή θεωρούμε ότι δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ της σφαίρας και το τοίχο, οπότε η δύναμη πο δέ- χεται η σφαίρα από τον τοίχο, είναι κάθετη σε ατόν, μεταβάλλοντας την σνιστώσα της ταχύτη- τας, αφήνοντας ανεπηρέαστη την σνιστώσα y, την παράλληλη στην επιφάνεια επαφής. F y y Ας σνεχίσομε με την κρούση μεταξύ δύο μικρών σφαιρών, οι οποίες εκτελούν μεταφορική κίνηση. Όταν εξετάζομε ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών, δεχόμαστε ότι δεν αναπτύσσονται δνάμεις τριβής μεταξύ των σφαιρών στη διάρκεια της κρούσης. Κατά την ελαστική κρούση, αναπτύσσονται δνάμεις επαφής, οι οποίες διέρχονται από τα κέντρα μάζας των σφαιρών. Στην περίπτωση λοιπόν της ελαστικής κρούσης, οι δνάμεις επαφής μεταξύ των σφαιρών βρίσκονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών κατά τη διάρκεια της κρούσης. A B F O K F Αναλύοντας λοιπόν τις ταχύτητες των σφαιρών σε σνιστώσες, στη διεύθνση της διακέντρο και y σε διεύθνση κάθετη στη διεύθνση της διακέντρο, μεταβολή ορμής για κάθε σφαίρα σμβαίνει μόνο κατά τη διεύθνση της διακέντρο, δηλαδή μεταβάλλονται μόνο οι σνιστώσες των ταχτήτων, ενώ οι y σνιστώσες παραμένον αμετάβλητες.

2 + F y = y y οριακά πριν την κρούση αμέσως μετά την κρούση y F = y y οριακά πριν την κρούση αμέσως μετά την κρούση Ι) ελαστικές μετωπικές Σε μια κρούση μετωπική-ελαστική μεταξύ δύο σφαιρών, αφενός οι ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση βρίσκονται πάνω στην ίδια εθεία, πο δεν είναι άλλη από τη διάκεντρο των σφαιρών, αφετέρο η κινητική ενέργεια το σστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται σταθερή πριν και μετά την κρούση. Ε- φόσον οι δνάμεις επαφής μεταξύ των σφαιρών κατά τη διάρκεια της κρούσης, βρίσκονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, μεταβολή ορμής για κάθε σφαίρα έχομε μόνο πάνω στη διεύθνση της διακέντρο, με αποτέλεσμα και οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση, να βρίσκονται επίσης πάνω στη διεύθνση της διακέντρο. F F Κάτοψη κάτοψη κάτοψη

3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δύο λείες, ομογενείς σφαίρες με μάζες και, κινούνται χωρίς να περιστρέφονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι ταχύτητες των σφαιρών και βρίσκονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, οπότε οι σφαίρες σγκρούονται μετωπικά. Α) Να δείξετε ότι, αν ισχύει η σχέση: + = +, στην οποία τα σύμβολα, και, παριστάνον τις αλγεβρικές τιμές των ταχτήτων πριν και μετά την κρούση αντίστοιχα, τότε η κρούση θα είναι ελαστική. Απόδειξη Εφόσον οι ταχύτητες των σφαιρών πριν και μετά την κρούση είναι σγγραμμικές, από τη διατήρηση της ορμής το σστήματος των δύο σφαιρών, έχομε: + = + ( ) = ( ) () + = + () Επιπλέον ισχύει ότι: Πολλαπλασιάζοντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη έχομε: ( )( + ) = ( )( + ) ( ) = ( ) + = + K = K tot( πριν ) tot( µετα ) + = + Σμπέρασμα: Σε κάθε κρούση μετωπική και ελαστική, ισχύει η σχέση Β) Ποιες από τις επόμενες μετωπικές κρούσεις δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν, ποιες είναι μετωπικές ανελαστικές και ποιες μετωπικές ελαστικές; Δικαιολογείστε πλήρως την απάντησή σας I) 3

4 = Kg = Kg = Kg = Kg Πριν = = 3 Μετά = = 5 ΙΙ) = Kg = Kg = Kg = Kg = 5 Πριν = Μετά = 6 = ΙΙΙ) = 0,Kg =,Kg = 0,Kg =,Kg = 8 Πριν = = 3 = 3 Μετά IV) = Kg = Kg 5 = = 0 = Kg Πριν Μετά = 8 ϑ = φ Kg = Απάντηση Στην (Ι) δεν θα πάρξει κρούση, αφού η σφαίρα δεν θα φθάσει ποτέ την αφού <.

5 Η (ΙΙ) δεν μπορεί να γίνει, αφού η σφαίρα αποκτά κατά την κρούση ταχύτητα >, ενώ η δύναμη πο δέχεται κατά την κρούση την επιβραδύνει F F Η (ΙΙΙ) μπορεί να γίνει και είναι μετωπική ελαστική, αφού διατηρείται η ορμή μια και ισχύει: + = + ενώ επιπλέον ισχύει ότι: + = + Τέλος η (IV) δεν μπορεί να γίνει αφού οι σφαίρες έχον μετά την κρούση, ταχύτητες σε διαφορετική διεύθνση από τη διάκεντρο, ενώ γνωρίζομε ότι οι δνάμεις επαφής μεταξύ των σφαιρών κατά τη διάρκεια της κρούσης, βρίσκονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, οπότε μεταβολή ορμής για κάθε σφαίρα έχομε μόνο πάνω στη διεύθνση της διακέντρο, με αποτέλεσμα και οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση, να βρίσκονται επίσης πάνω στη διεύθνση της διακέντρο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ - ΚΡΟΥΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΠΛΑΓΙΑ (μη ΜΕΤΩΠΙΚΗ) Δύο λείες και ελαστικές σφαίρες, μάζας = Kg και = Kg κινούνται με ταχύτητες ίσων μέτρων = = 3. Οι σφαίρες σγκρούονται ελαστικά και οι διεθύνσεις των ταχτήτων τη στιγμή της κρού- σης είναι κάθετες μεταξύ τος. = 3 = 3 Να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εφόσον η κρούση είναι ελαστική, αναπτύσσονται δνάμεις επαφής, οι οποίες διέρχονται από τα κέντρα μάζας των σφαιρών, οπότε οι δνάμεις επαφής μεταξύ των σφαιρών βρίσκονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών κατά τη διάρκεια της κρούσης, η οποία σμπίπτει με τον άξονα y y: 5

6 F F Μεταβολή ορμής για κάθε σφαίρα θα έχομε μόνο στον άξονα y y, ενώ οι σνιστώσες των ταχτήτων διατηρούνται αμετάβλητες: 3 = = και = = 0 Η πρόβλεψη: Στον άξονα y y η κρούση είναι μετωπική ελαστική με τη σφαίρα μάζας ακίνητη πριν την κρούση. Οι σνιστώσες yτων ταχτήτων μπορεί να πολογιστούν από τις γνωστές σχέσεις: = y + και = + y Η επιβεβαίωση: 0 + = + ( ) = Λόγω της ΑΔΟ έχομε: y y y y Εφόσον η κρούση είναι ελαστική ισχύει: K K ( ) = 0 = + = + tot( πριν ) tot( µετα ) = + = + + y y = + ( )( + ) = y y y y y 6

7 + = Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις έχομε: y y Αντικαθιστώντας τη σχέση ατή στην εξίσωση της ΑΔΟ έχομε: = ( + ) + = + y y y y ( ) = ( + ) = = 3 = y y y y + + Επίσης: = + = + = = y y y y + + Δηλαδή, η σφαίρα μάζας σνεχίζει να κινείται στον άξονα y y κατά την ίδια φορά με ταχύτητα μέτρο = =, ενώ η σφαίρα μάζας κινείται με ταχύτητα y η οποία αναλύεται σε δύο κάθετες σνιστώσες με μέτρα: 3 = = και y = y ϑ Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας μάζας είναι ίσο με: = + y = 3 + = 5 ενώ το διάνσμα της ταχύτητας σχηματίζει με τον άξονα γωνία θ με: εϕθ y = εϕθ = 3 7

8 Η μεταβολή ορμής για τη σφαίρα μάζας είναι: p= 0 p = p + p p = p y y Kg p = y 0= y p = = Ενώ η μεταβολή ορμής για τη σφαίρα μάζας είναι: p = 0 p = p + p p = p y y Kg p = ( y ) p = ( 3) = p = p Δηλαδή ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 - ΚΡΟΥΣΗ ΕΚΚΕΝΤΡΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ Να δείξετε ότι κατά την ελαστική έκκεντρη κρούση μεταξύ δύο σφαιρών ίσης μάζας, όπο η μία είναι ακίνητη πριν την κρούση, οι σφαίρες θα κινηθούν μετά την κρούση σε κάθετες διεθύνσεις B A F y F 8

9 Η σφαίρα μάζας δέχεται δύναμη F πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, η οποία σμπίπτει με τον άξονα. Σνεπώς μεταβολή ορμής άρα και ταχύτητας θα σμβεί μόνο στον άξονα, δηλαδή στη διεύθνση = της διακέντρο. Η σνιστώσα ταχύτητας στον άξονα y y, τον κάθετο στη διεύθνση της διακέντρο, θα παραμείνει αμετάβλητη: y y Στον άξονα έχομε κρούση μετωπική ελαστική, μεταξύ σφαιρών ίσης μάζας, όπο η δεύτερη είναι αρχικά ακίνητη. Λόγω ανταλλαγής ταχτήτων, σφαίρα μάζας μετά την κρούση θα έχει μηδενική ταχύτητα στον άξονα : = = 0 Ισοδύναμα: = 0 = + Άρα μετά την κρούση η σφαίρα μάζας έχει ταχύτητα = y + = y Η σφαίρα μάζας δέχεται δύναμη F πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, η οποία σμπίπτει με τον άξονα. Σνεπώς μεταβολή ορμής άρα και ταχύτητας θα σμβεί μόνο στον άξονα, δηλαδή στη διεύθνση της διακέντρο. Η σνιστώσα ταχύτητας στον άξονα y y, τον κάθετο στη διεύθνση της διακέντρο, θα παραμείνει αμετάβλητη: y = y = 0 Στον άξονα έχομε κρούση μετωπική ελαστική, μεταξύ σφαιρών ίσης μάζας, όπο η δεύτερη είναι αρχικά ακίνητη: = = + Άρα μετά την κρούση η σφαίρα μάζας έχει ταχύτητα = 9

10 = Σνεπώς μετά την ελαστική έκκεντρη κρούση μεταξύ δύο σφαιρών ίσης μάζας, όπο η μία είναι ακίνητη πριν την κρούση, οι σφαίρες θα κινηθούν μετά την κρούση σε κάθετες διεθύνσεις. Υλικό Φσικής-Χημείας Γιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλος Επιμέλεια: Θοδωρής Παπασγορίδης 0