Ελαστική κρούση σώµατος µε ράβδο που µπορεί να στρέφεται γύρω από το άκρο της. Πότε µεγιστοποιείται η µεταφορά ενέργειας;

Transcript

1 . Μητρόπολος Μηχανική Στερεού σώµατος Ελαστική κρούση σώµατος µε ράβδο πο µπορεί να στρέφεται γύρ από το άκρο της. Πότε µεγιστοποιείται η µεταφορά ενέργειας; ο,, ΠΡΙΝ ΜΕΤ Η ράβδος το σχήµατος έχει µάζα, µήκος, µπορεί να στρέφεται χρίς τριβές γύρ από άξονα πο διέρχεται από το άκρο της και ισορροπεί κατακόρφα. Το κινούµενο σώµα έχει µάζα και κινείται οριζόντια µε ταχύτητα ο πο ο φορέας της απέχει απόσταση από το. Η κρούση πο ακολοθεί είναι ελαστική, η διάρκειά της είναι αµελητέα και το βάρος g το σώµατος δεν προλαβαίνει να επηρεάσει την κίνησή το όσο διαρκεί η κρούση. Ζητούνται: 1. Να προσδιορίσετε την ταχύτητα το σώµατος και την γνιακή ταχύτητα της ράβδο αµέσς µετά την κρούση, σε σχέση µε τις µάζες, (δηλαδή σε σχέση µε το λόγο λ = / τν δύο µαζών) και σε σχέση µε την απόσταση το σηµείο πρόσκροσης από το άκρο της ράβδο ( < ).. (i) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα για τις ακραίες περιπτώσεις >> και <<. (ii) Πότε µεγιστοποιείται η κινητική ενέργεια πο µεταφέρεται από το σώµα στη ράβδο κατά την κρούση; (iii) Να κάνετε γενικότερα διερεύνηση της τιµής της σε σχέση µε το λόγο λ = / τν δύο µαζών αλλά και σε σχέση µε την απόσταση το σηµείο πρόσκροσης από το άκρο της ράβδο (< ). 3. Να προσδιορίσετε πάλι την ταχύτητα το σώµατος και την γνιακή ταχύτητα της ράβδο αµέσς µετά την κρούση, στην περίπτση πο ο φορέας της αρχικής ταχύτητας ο δεν είναι κάθετος στη ράβδο. Η τριβή κατά τη διάρκεια της επαφής τν δύο σµάτν είναι αµελητέα. (Ροπή αδράνειας της ράβδο ς προς τον άξονα : Ι = 1 / 3 ) ΠΝΤΗΣΗ: (Τα σύµβολα αντιστοιχούν σε µέτρα µεγεθών). Σελίδα 1 από 5

2 . Μητρόπολος Μηχανική Στερεού σώµατος 1. Εφόσον θερούµε ασήµαντο το βάρος το σώµατος, τότε για το σύστηµα τν δύο σµάτν ισχύει Στ () = άρα θα έχοµε διατήρηση της στροφορµής ς προς : = + Ι ( ) = Ι ή αλλιώς: = Ι /( ) (I) πό τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας τώρα έχοµε: 1 / = 1 / + 1 / Ι = + Ι ( ) = Ι ( ) ( + ) = Ι (IΙ) και διαιρώντας (ΙΙ) µε (Ι) παίρνοµε: + = (IΙΙ) πό τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙΙ) µε πράξεις προκύπτον η ταχύτητα και η γνιακή ταχύτητα : + = 3 = 3 λ κ + ή αν θέσοµε από όπο προκύπτει: και µε αντικατάσταση στην (ΙΙΙ): λ= και 3λκ 1 = (IV) 3λκ = (V) 3 + κ = :. Στο προηγούµενο ερώτηµα βρήκαµε ότι: 3λκ 3λκ = και = µε λ=, λ < και κ =, < κ 1 (i) ν το σώµα έχει πολύ µικρότερη µάζα από τη ράβδο, δηλαδή << τότε ισχύει λ και = ο, δηλαδή το σώµα αναπηδά προς τα πίσ µε ίδια κατά µέτρο ταχύτητα. Σελίδα από 5

3 . Μητρόπολος Μηχανική Στερεού σώµατος Στην περίπτση ατή η γνιακή ταχύτητα της ράβδο παραµένει µηδέν: =. (ii) ν το σώµα έχει πολύ µεγαλύτερη µάζα από τη ράβδο, δηλαδή >> τότε ισχύει 1/λ και = ο, δηλαδή το σώµα σνεχίζει να κινείται µε την ίδια ταχύτητα. Στην περίπτση ατή η γνιακή ταχύτητα της ράβδο έχει µέτρο: 3 =, δηλαδή η τιµή της εξαρτάται από το σηµείο πρόσκροσης. Όσο πιο κοντά στον άξονα γίνει η πρόσκροση τόσο µεγαλύτερη γνιακή ταχύτητα αποκτά η ράβδος. Οι δύο ατές περιπτώσεις θµίζον τις ακραίες περιπτώσεις της κεντρικής ελαστικής κρούσης κινούµενο µε ακίνητο σώµα πο σναντάµε στο κεφάλαιο τν κρούσεν. (ii) Παρατηρούµε ότι όταν ικανοποιείται η σνθήκη 3 λ κ 1 = τότε η ταχύτητα το σώµατος µετά την κρούση µηδενίζεται: ν στην τελεταία σχέση αντικαταστήσοµε τος λόγος λ, κ και λύσοµε ς προς την απόσταση, προκύπτει η σχέση: = 3 ν δηλαδή θέλοµε να µηδενιστεί η ταχύτητα το σώµατος µετά την κρούση, τότε όσο µεγαλύτερη µάζα έχει η ράβδος τόσο πλησιέστερα στο ελεύθερο άκρο της πρέπει να πέσει το σώµα. Η απόσταση όµς δεν µπορεί να περβεί την τιµή και έτσι βρίσκοµε: 3 3 Προφανώς η κινητική ενέργεια πο µεταφέρεται στη ράβδο στην περίπτση ατή είναι µέγιστη (µεταφορά 1%): ν /3, τότε = όταν = 3 3 = 1 / 3 Σελίδα 3 από 5

4 . Μητρόπολος Μηχανική Στερεού σώµατος (iii) ιερεύνηση της ταχύτητας σε σχέση µε το λόγο λ = / τν δύο µαζών και το λόγο κ = /: Στο σχήµα πο ακολοθεί φαίνεται γενικότερα η εξάρτηση της ταχύτητας το κινούµενο σώµατος από τη σχέση τν δύο µαζών. 3λκ 1 H γραφική παράσταση της σνάρτησης = έγινε ενδεικτικά για τρεις 3λκ + 1 τιµές της απόστασης. + ο = =/3 =/3 /3 3/4 3 ο 3. Στην περίπτση ατή έχοµε πλάγια κρούση και αναλύοµε τις ταχύτητες και σε άξονες: y oy φ ο, θ, o ΠΡΙΝ ΜΕΤ Οι κροστικές δνάµεις µεταξύ σώµατος και ράβδο είναι κάθετες στη ράβδο αφού δεν πάρχει τριβή, εποµένς η κατακόρφη σνιστώσα της ταχύτητας το σώµατος παραµένει αµετάβλητη. Εφόσον µεταφέρεται ενέργεια από το σώµα στη ράβδο, ατό θα έχει σαν σνέπεια να µειθεί το µέτρο της ταχύτητας ο το σώµατος, άρα και της σνιστώσας ο πο είναι κάθετη στη ράβδο, αφού ή άλλη σνιστώσα δεν µεταβλήθηκε. Σελίδα 4 από 5

5 . Μητρόπολος Μηχανική Στερεού σώµατος Έτσι η γνία ανάκλασης θ το σώµατος θα είναι γενικά µεγαλύτερη από τη γνία πρόσπτσης φ. Ισχύει: y = oy = o ηµφ o = o σνφ και οι άγνστοι είναι η και η µετά την κρούση (και βέβαια η γνία θ). πό τη διατήρηση της στροφορµής ς προς έχοµε: o = + Ι ( o σνφ ) = Ι (VI) και από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας: 1 / ο = 1 / + 1 / Ι ο = ( o ηµ φ + ) + Ι ο (1 ηµ φ) = + Ι o σν φ = + Ι ( o σνφ ) ( o σνφ + ) = Ι (VIΙ) ιαιρώντας την (VΙI) µε την (VΙ) παίρνοµε: o σνφ + = (VΙIΙ) και από τις (VI) και (VΙΙΙ) βρίσκοµε τις και. Σελίδα 5 από 5