Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε δύο ή περισσότερα σώματα τα οποία αλληλεπιδρούν.

Transcript

1 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 7. Ορισμοί α. Σύστημα σωμάτων Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε δύο περισσότερα σώματα τα οποία αλληλεπιδρούν. β. Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Εσωτερικές δυνάμεις συστματος είναι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης (δράσεις και αντιδράσεις) ανάμεσα στα σώματα του συστματος. Εξωτερικές δυνάμεις συστματος λέγονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε σώματα του συστματος από σώματα έξω από το σύστημα, γ. Μονωμένο σύστημα Μονωμένο σύστημα σωμάτων λέγεται αυτό στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις αν ασκούνται η συνισταμένη τους είναι ίση με μηδέν.. Ορμ α. Ορμ υλικού σημείου : Ορμ υλικού σημείου ονομάζεται το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητα του. Είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας, δηλαδ p =υ. Μονάδα ορμς στο S.I. είναι το kg /s N s. β. Ορμ συστματος σωμάτων : Είναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των υλικών σημείων του συστματος. Δηλαδ p = υ + υ υ. ν ν 3. Δύναμη και μεταβολ της ορμς Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δυνάμεις έχουμε αλλαγ της ταχύτητάς του και της ορμς του. Ένα σώμα μάζας έχει ταχύτητα υ. Στο σώμα ασκείται δύναμη F η οποία προκαλεί επιτάχυν- ση α. Το σώμα σε χρόνο αποκτά ταχύτητα υ. Για την δύναμη F από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικς έχουμε υ -υ α= υ -υ υ - υ. α, αλλά Δυ α = ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

2 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ p = υ p = υ για την δύναμη έχουμε Η αρχικ ορμ του σώματος είναι και η τελικ p -p Δp Η σχέση αυτ είναι ο ος νόμος Newton και μας δείχνει ότι για να μεταβληθεί η ορμ ενός σώματος πρέπει να ασκηθεί πάνω του δύναμη. 4. Η αρχ διατρησης της ορμς Οι δύο μπάλες με μάζες και κινούνται με σταθερές ταχύτητες υ και υ. Οι μπάλες μετά την κρούση κινούνται με ταχύτητες v και v αντίστοιχα. Κατά τη διάρκεια της κρούσης η οποία διάρ- κεσε χρόνο στα σώματα ασκθηκαν οι δυνάμεις F και F αντίστοιχα. η μπάλα : Η μεταβολ της ταχύτητας είναι v - υ και εφαρμόζοντας το v - υ δεύτερο νόμο της κίνησης έχουμε ❶ η μπάλα : Η μεταβολ της ταχύτητας είναι v - υ και εφαρμόζοντας το v - υ δεύτερο νόμο της κίνησης έχουμε ❷ υ υ F F v v Για τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης από τον 3 ο νόμο της κίνησης ισχύει : -F ❸ Από τις εξισώσεις ❶, ❷ και ❸ έχουμε : -F v -υ v -υ = - v + v =υ + υ p =p τελ αρχ ( v -υ ) = -( v -υ ). v -υ = - v + υ Γενικεύοντας το συμπέρασμα αυτό για οποιοδποτε σύστημα σωμάτων έχουμε την αρχ διατρησης της ορμς : «Η ορμ ενός συστματος διατηρείται εφόσον δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα». Παρατρηση : Αν οι ταχύτητες έχουν όλες την ίδια διεύθυνση μπορούμε να χρησιμοποισουμε στην εξίσωση τις αλγεβρικές τιμές ( η ορμ θεωρείται θετικ αν η ταχύτητα έχει κατεύθυνση προς τα θετικά του άξονα και αρνητικ στην αντίθετη περίπτωση ). Άρα υ + υ = v + v 5. Κρούση Κρούση ονομάζεται το φαινόμενο της σύγκρουσης δύο περισσότερων σωμάτων. Το φαινόμενο θεωρούμε ότι διαρκεί πολύ λίγο χρόνο. Κατά τη διάρκεια του φαινομένου τα σώματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις δράσης αντίδρασης και μπορούμε να θεωρσουμε ότι αποτελούν ένα μονωμένο σύστημα. Σε όλες τις κρούσεις ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς. ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ

3 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 9 Ελαστικ κρούση Ονομάζεται η κρούση στην οποία ισχύει η αρχ διατρησης της μηχανικς ενέργειας. Ανελαστικ κρούση Ονομάζεται η κρούση στην οποία δεν ισχύει η αρχ διατρησης της μηχανικς ενέργειας. Ένα μέρος της αρχικς ενέργειας του συστματος μετατρέπεται σε θερμικ ενέργεια (και θερμότητα). Πλαστικ κρούση : Είναι μια ειδικ περίπτωση ανελαστικς κρούσης στην οποία έχουμε συσσωμάτωμα μετά την κρούση, δηλαδ τα σώματα συμπεριφέρονται σαν ένα σώμα με μάζα ολ = + + Παρατρηση : Θεωρούμε ότι η διάρκεια της κρούσης είναι πολύ μικρ και τα σώματα έχουν μόνο κινητικ ενέργεια. 6. Εφαρμογές της αρχς διατρησης της ορμς α. Εφαρμογ στην ανάκρουση του όπλου Όταν το όπλο πυροβολεί, εκτινάσσεται στην αντίθετη κατεύθυνση. Στο σύστημα όπλο βλμα οι δυνάμεις που ασκούνται είναι εσωτερικές, το σύστημα είναι μονωμένο. Αν εφαρμόσουμε την αρχ διατρησης της ορμς για το σύστημα βλμα όπλο θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα οπισθοχώρησης του όπλου (ταχύτητα ανάκρουσης). p =p τελ αρχ, αλλά p = 0 αρχ β. Σύστημα ελατριο μάζα και p = υ + Μv τελ, υ + Μ v = 0 Μ v = - υ v = - υ M Θεωρούμε το σύστημα με τα δύο σώματα και το ελατριο που φαίνονται στο σχμα. Τα δύο σώματα κινούνται χωρίς τριβές F ελ F ελ και το ελατριο αρχικά συγκρατείται συμπιεσμένο με νμα. Αν w w (+) κόψουμε το νμα τα σώματα θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα. Επειδ κινούνται υ k υ στην ίδια ευθεία τα διανύσματα της ορμς έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Το σύστημα είναι μονωμένο γιατί όλες οι δυνάμεις είναι εσωτερικές. Αν εφαρμόσουμε την αρχ διατρησης της ορμς έχουμε : p = p p + p = p + p - υ + υ = υ = υ ολ,τελ ολ,αρχ,τελ,τελ,αρχ,αρχ ❶ Για το σύστημα των δύο σωμάτων μπορούμε να εφαρμόσουμε και την Αρχ Διατρησης της Μηχανικς Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) Για τις θέσεις του σχματος ισχύει: Καρχ + Uαρχ = Κτελ + Uτελ 0+ k l = υ + υ + 0 ❷ Οι εξισώσεις ❶ και ❷ αποτελούν σύστημα εξισώσεων. v M N + υ N ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

4 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράδειγμα. Υπολογισμός ορμς Πόση είναι η ορμ ενός αυτοκιντου μάζας =.500 kg που κινείται με ταχύτητα υ = 0 /s ; Απάντηση: Είναι p = υ p = 500 kg 0 /s p = kg /s Παράδειγμα. Δύναμη και ορμ Πόση είναι η δύναμη που επιβραδύνει ένα αυτοκίνητο μάζας = 000 kg, αν αυτό έχει αρχικ ταχύτητα υ = 30 /s και ακινητοποιείται μετά από χρόνο t = 0 s ; Δp p - p υ - υ kg 30 /s Απάντηση: Από την σχέση έχουμε 0 s N. To - δείχνει ότι η δύναμη επιβραδύνει το αυτοκίνητο. Παράδειγμα 3. Δύναμη και ορμ Ένα κιβώτιο αφνεται να πέσει από ελικόπτερο. Αν η μάζα του κιβωτίου είναι = 0 kg, ποιος νομίζετε ότι είναι ο ρυθμός μεταβολς της ορμς του ; Αν g = 0 /s πόση ταχύτητα θα αποκτσει το κιβώτιο μετά από δύο δευτερόλεπτα ; Απάντηση: Η μοναδικ δύναμη που ασκείται στο κιβώτιο είναι το βάρος του, Δp = 0 kg 0 /s Δp = 00 kg /s Είναι υ = g t υ = 0 /s s υ = 0 /s Δp = 00 N. Παράδειγμα 4. Δύναμη και ορμ Δp Δp = g Μια μπάλα μάζας 0,3 kg αφνεται να πέσει από τέτοιο ύψος, ώστε να φτάσει στο δάπεδο με ταχύτητα υ = 0 /s. Η μπάλα αναπηδά κατακόρυφα με ταχύτητα υ = 5 /s αφού μείνει σ' επαφ με το δάπεδο για χρόνο = 0,05 s. Δίνεται g = 0 /s. Να βρείτε : α. Τη μεταβολ της ορμς της μπάλας κατά τη διάρκεια. β. Τη μέση δύναμη που δέχθηκε η μπάλα. Απάντηση: α. Στο σχμα φαίνεται η αρχικ και η τελικ ταχύτητα της μπάλας και η δύναμη που δέχτηκε η μπάλα από το δάπεδο. Ορίζουμε αυθαίρετα (+) φορά προς τα πάνω. Είναι Δp = p - p Δp = υ - (- υ ) Δp = ( υ + υ ) Δp = 0,3 kg ( 5 /s + 0 /s ) Δp = 4,5 kg /s. υ υ (+) F ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ

5 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ β. Η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολς της ορμς της μπάλας, Δp Σ Δp Δp F - w = + g 4,5 kg /s + 0,3 kg 0 /s 0,05 s 93 N. Παράδειγμα 5. Δύναμη και ορμ Η ορμ ενός σώματος μάζας = kg μεταβάλλεται όπως φαίνεται στην εικόνα. Η αρχικ και η τελικ ορμ έχουν την ίδια κατεύθυνση. α. Πόση είναι η ελάχιστη και πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα του σώματος; β. Να παραστσετε γραφικά τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Λύση α. Από το σχμα βλέπουμε ότι η μέγιστη ορμ είναι p = 0 kg /s από την σχέση p = υ p υ = έχουμε 0 kg /s υ = ax kg υ = 5 /s. ax Από το σχμα βλέπουμε ότι η ελάχιστη ορμ είναι p = 5 kg /s από την σχέση p(kg/s) 3 t(s) p p = υ υ = 5 kg /s έχουμε υ = in kg υ =,5 /s. in Δp β. Από t0 = 0 έως t = s η ορμ είναι σταθερ από την F = 0. Από t = s έως t = s η ορμ μεταβάλλεται από την 5 kg /s - 0 kg /s s - s F = - 5 N (σταθερ). Δp έχουμε p - p t - t Δp3 Από t = s έως t3 = 3 s η ορμ είναι σταθερ από την 3 έχουμε F 3 = 0. Με βάση τις παραπάνω τιμές κατασκευάζουμε το διάγραμμα της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σώμα. 3 0 F(Ν) 3 t(s) -5 ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράδειγμα 6. Δύναμη και ορμ Ένα κιβώτιο μάζας 0 kg, ωθείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο το κιβώτιο έχει συντελεστ τριβς ολίσθησης μ = 0,5. Το κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο και μία σταθερ οριζόντια δύναμη 50 Ν, το μετακινεί για χρόνο t = 4 s. Πόση είναι τότε η ταχύτητα του κιβωτίου; Είναι g = 0 /s. υ 0 = 0 Τ N w y F x, t x υ Απάντηση: Στο σχμα βλέπουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο κιβώτιο κατά την κίνησ του. Σ 0 N - w = 0 N = g Ν = 0 kg 0 /s N = 00 Ν. y Είναι Είναι υ = /s. T = μ Ν Τ = 0, 00 Ν Τ = 40 Ν. Δp Σ ( ) Δp = F - T υ - 0 = ( F - T) ( ) t - 0 Παράδειγμα 7. Δύναμη και ορμ ( F - T) t υ = ( 50 Ν - 0 Ν) 4 s υ = 0 kg Ένα μπαλάκι του τένις μάζας = 0, kg πέφτει με οριζόντια ταχύτητα υ = 0 /s σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται με επίσης οριζόντια ταχύτητα υ = 5 /s. Να βρείτε: α. Την ορμ που έχει το μπαλάκι πριν και μετά την επαφ του με τον τοίχο. β. Τη μεταβολ της ορμς του, λόγω της σύγκρουσης με τον τοίχο. γ. Τη μέση δύναμη που δέχθηκε το μπαλάκι από τον τοίχο, αν η επαφ διαρκεί χρόνο = 0,0 s. Απάντηση: α. Θεωρούμε θετικ φορά προς τα αριστερά, όπως φαίνεται στο σχμα. Η αρχικ ορμ έχει μέτρο p = υ p = 0, kg 0 /s p = kg /s. Η τελικ ορμ έχει μέτρο p = υ p = 0, kg 5 /s p =,5 kg /s. β. Η μεταβολ της ορμς είναι Δp = p - p Δp =,5 kg /s + kg /s Δp =,5 kg /s Δp = p - (- p ) Δp = p + p γ. Για την μέση δύναμη που δέχτηκε το μπαλάκι από τον τοίχο εφαρμόζουμε τη σχέση F υ υ (+) Δp Δp,5 kg /s 0,0 s 50 N. ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ

7 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 3 Παράδειγμα 8. Αρχ διατρησης ορμς Από ακίνητο πυροβόλο, του οποίου η μάζα είναι M = 000 kg, εκτοξεύεται βλμα μάζας = 5 kg με οριζόντια ταχύτητα υ0 = 800 /s. α. Πόση ταχύτητα αποκτά το πυροβόλο μετά την εκπυρσοκρότηση; β. Αν το πυροβόλο έχει με το δάπεδο συντελεστ τριβς ολίσθησης μ = 0,4, για πόσο χρόνο θα κινηθεί; Απάντηση: α. Θεωρούμε θετικ κατεύθυνση την κατεύθυνση κίνησης του βλματος. Στο σύστημα βλμα πυροβόλο οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p ολ,τελ = pολ,αρχ. Η αρχικ ορμ του συστματος είναι ίση με μηδέν ενώ η τελικ είναι το άθροισμα των ορμών του βλματος και του πυροβόλου. Άρα p + p = 0 βλ πυρ υ - M v = 0 υ = M v 0 0 υ0 v = Μ 5 kg 800 /s v = 000 kg v = /s. β. Στο πυροβόλο ασκούνται οι δυνάμεις: Βάρος w, κάθετη αντίδραση από το δάπεδο Ν και τριβ Τ Στον άξονα y : ΣFy = 0 Ν w = 0 Ν = M g Ν = 000 kg 0 /s Ν = 0000 Ν. Αλλά Τ = μ Ν Τ = 0, Ν Τ = 8000 Ν. Η επιτάχυνση του πυροβόλου είναι 0 = v + α t Τ α = - Μ v /s t = - t = t = 0,5 s. α 4 /s 8000 Ν α = kg α = - 4 /s. Όταν σταματάει υ = 0 Παράδειγμα 9. Αρχ διατρησης ορμς Δύο σώματα = kg και = 4 kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες υ = 30 /s και υ = 5 /s αντίστοιχα στην ίδια κατεύθυνση και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε : α. Την ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη σύγκρουση. β. Την μεταβολ της ορμς του κάθε σώματος. γ. Την μέση δύναμη που δέχθηκε κάθε σώμα αν η διάρκεια της κρούσης είναι = 0,0 s. δ. Την απώλεια της κινητικς ενέργειας του συστματος στην κρούση. Απάντηση: α. (+) υ υ πριν (+) ολ υ μετά ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

8 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ορμ του συστματος είναι : p = p + p ολ p = 50 kg /s. ολ ολ p =υ + υ p = kg 30 /s + 4 kg 5 /s ολ Από την αρχ διατρησης της ορμς έχουμε : p = p ολ,τελ 50 kg /s υ = υ = 0 /s. kg + 4 kg ολ,αρχ ( + ) υ= p ολ p ολ υ = + β. Για το είναι : Δp = p - p,τελ,αρχ Δp = υ υ Δp = kg 0 /s - kg 30 /s επομέ- νως Δp = - 0 kg /s. Για το είναι : Δp = p - p,τελ,αρχ Δp = 0 kg /s. Δp = υ υ Δp = 4 kg 0 /s - 4 kg 5 /s επομένως Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές των ορμών είναι αντίθετες, όπως επιβάλλει η Α.Δ.Ο. γ. Η δύναμη που ασκεί το σώμα στο σώμα (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί το σώμα στο σώμα ) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του σώματος Δp 0 kg / s 0,0 s F = 000 N. Η δύναμη που ασκεί το σώμα στο σώμα (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί το σώμα στο σώμα ) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του σώματος Δp - 0 kg / s 0,0 s F = N. δ. Η κινητικ ενέργεια ενός σώματος μάζας που κινείται με ταχύτητα υ είναι K = υ. Η απώ- λεια κινητικς ενέργειας στην κρούση είναι : ΔΚ = Κολ,τελ Κολ,αρχ ΔΚ = ( + ) υ - υ + υ επομένως ΔΚ = kg + 4 kg 0 /s - kg 30 /s + 4 kg 5 /s ( )( ) ( ) ( ) ΔΚ = 50 J 500 J ΔΚ = 50 J. Παράδειγμα 7. Αρχ διατρησης ορμς Βλμα μάζας = 0, kg, κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ = 500 /s και διαπερνά ένα ακίνητο κιβώτιο μάζας = 5 kg, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν το βλμα βγαίνει από το κιβώτιο με ταχύτητα υ = 00 /s σε χρόνο = 0,05 s να βρείτε: α. Την ταχύτητα που αποκτά το κιβώτιο. ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ

9 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 5 β. Τη μέση οριζόντια δύναμη που ασκεί το βλμα στο κιβώτιο. Απάντηση: (+) υ πριν (+) υ μετά υ α. Στο σύστημα βλμα κιβώτιο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν ι- σχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p = p υ + υ = υ υ = υ - υ ολ,τελ ολ,αρχ ( ) υ - υ επομένωςυ = ( ) 0, kg 500 /s - 00 /s υ = 5 kg υ = /s. β. Η δύναμη που ασκεί το βλμα στο κιβώτιο (εσωτερικ δύναμη, αντίδραση της δύναμης που ασκεί το κιβώτιο στο βλμα) είναι υπεύθυνη για την μεταβολ της ορμς του κιβωτίου Δp κιβ p - p κιβ,τελ κιβ,αρχ υ kg /s - 0 0,05 s 00 N. Παράδειγμα 8. Έκρηξη και Διατρηση Ορμς Ένα διαστημόπλοιο συνολικς μάζας M = 000 kg κινείται κατακόρυφα απομακρυνόμενο από τη Γη. Κάποια στιγμ και ενώ η ταχύτητα του είναι υ = 000 /s, το διαστημόπλοιο διαχωρίζεται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι έχει μάζα = 00 kg και η ταχύτητα του αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ =.500 /s, ίδιας κατεύθυνσης με αυτν της ταχύτητας υ. Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το άλλο κομμάτι αμέσως μετά τη διάσπαση. Απάντηση: Η μάζα του δεύτερου κομματιού είναι = M = 000 kg 00 kg = 800 kg. Στο διαστημόπλοιο η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν ισχύει η αρχ διατρησης της ορμς : p = p υ + υ = M υ υ = M υ - υ ολ,τελ ολ,αρχ Mυ - υ υ = υ = - 50 /s. 000 kg 000 /s - 00 kg 500 /s υ = 800 kg Παρατρηση : Το ( ) στην αλγεβρικ τιμ της ταχύτητας δείχνει ότι το κομμάτι κινείται προς τα αρνητικά, δηλαδ αντίθετα από την αρχικ κατεύθυνση κίνησης του διαστημόπλοιου... Βλμα μάζας = 0 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υο και σφηνώνεται σε ξύλινο κύβο μάζας Μ = 990 g που είναι δεμένος στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/. Αν το ελατριο συμπιεστεί κατά Δx = 0 c και το δάπεδο είναι λείο να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα του ξύλου μετά την κρούση. β. Η ταχύτητα υο. πριν M υ (+) μετά υ υ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

10 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Δίσκος μάζας κρέμεται στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου και προκαλεί σε αυτό επιμκυνση xo = 4 c. Ένα κομμάτι στόκου μάζας αφνεται χωρίς αρχικ ταχύτητα από ύψος h = 0,6 πάνω από το δίσκο και κολλάει σε αυτόν. Να υπολογιστεί η μέγιστη μετατόπιση του δίσκου από τη θέση ισορροπίας του..3. Βλμα μάζας = 0, kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υο = 80 /s και κτυπάει κάθετα σε υ0 κορμό δέντρου πάχους d = 0, και εξέρχεται με ταχύτητα υ = σε χρόνο t = 0,5 s. Να υπολογι- 4 στεί : α. η μεταβολ της κινητικς ενέργειας του βλματος. β. Η μεταβολ της ορμς του βλματος. γ. το κλάσμα της κινητικς ενέργειας του βλματος που έγινε θερμότητα. δ. το μέτρο της δύναμης που ασκθηκε από τον κορμό στο βλμα αν θεωρηθεί σταθερ..4. Σφαίρα μάζας = 0,5 kg αφνεται να πέσει από ύψος h = πάνω από το έδαφος. Σε ύψος h = από το έδαφος συναντά στρώμα παραφίνης πάχους s = το οποίο διαπερνά και βγαίνει από αυτό με υ = 4 /s, ενώ στη συνέχεια πέφτει στο έδαφος. Ζητείται : α. η απώλεια ενέργειας της σφαίρας μέσα στην παραφίνη. β. η ταχύτητα υ με την οποία η σφαίρα πέφτει στο έδαφος και γ. η αντίσταση της παραφίνης αν θεωρηθεί σταθερ. Δίνεται g = 0 /s..5. Δύο σώματα με μάζες = 6 kg και = 4 kg κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες υ = 0 /s και υ = 5 /s. Τα σώματα συγκρούονται και μένουν ενωμένα μετά την κρούση. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος. [Απ. υ = 8 /s].6. Δύο σώματα Α και Β αποτελούν σύστημα σωμάτων μάζας Μ = 00 kg. Το σώμα Α κινείται με ταχύτητα υ = 80 /s και το σώμα Β κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου υ = 45 /s. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα τους κινείται με ταχύτητα V = 30 /s κατά τη φορά κίνησης του σώματος Α. Να υπολογίσετε τη μάζα κάθε σώματος. [Απ. A = 0 kg, B = 80 kg].7. Δύο σώματα με μάζες = 0 kg και κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ = 0 /s και υ = /s. Τα σώματα συγκρούονται και μένουν ενωμένα μετά την κρούση. Να βρεθεί η μάζα του δεύτερου σώματος αν η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση είναι υ = /s. [Απ. = 0 kg].8. Δύο μπάλες με μάζες = 0 kg και κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες υ = /s και υ = 3 /s και συγκρούονται. Μετά την κρούση οι δύο μπάλες κινούνται με ταχύτητες που έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά από την αρχικ τους ταχύτητα και μέτρα.9. Δύο σφαίρες Α και Β με μάζες και v = 3/s και v = /s. Να υπολογιστεί η μάζα. [Απ. =,5 kg] =, αντίστοιχα, ολισθαίνουν πάνω σε λείο οριζό- 3 ντιο επίπεδο με ταχύτητες ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς, ώστε να πλησιάζουν η μία την άλλη. Αν μετά την κρούση τους η σφαίρα Α ακινητοποιείται, ενώ η σφαίρα Β κινείται με ταχύτητα μέτρου 6 /s, να υπολογίσετε την αρχικ ταχύτητα των δύο σφαιρών. [Απ. 3 /s].0. Σώμα μάζας Μ = 0 kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Βλμα μάζας = kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 00 /s. Το βλμα διαπερνά το πρώτο σώμα και εξέρχεται με ταχύτητα v = 40 /s. Να βρεθεί η ταχύτητα του πρώτου σώματος αμέσως μετά την κρούση. [Απ. υ = 6 /s] ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ

11 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 7.. Ξύλινος κύβος μάζας Μ = kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 0 /s. Ένα βλμα με μάζα = 00 g κινείται οριζόντια και ομόρροπα με τον κύβο, με ταχύτητα 400 /s. Το βλμα διαπερνά ακαριαία τον κύβο και βγαίνει από αυτόν με ταχύτητα 60 /s. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύβου. [Απ. 3 /s].. Σώμα μάζας = 0 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 0 /s. Το σώμα διασπάται σε δύο κομμάτια με μάζες = kg και = 8 kg. Τα δύο κομμάτια αμέσως μετά τη διάσπαση κινούνται οριζόντια. Η ταχύτητα του κομματιού μάζας αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ = 40 /s. Να βρεθεί η ταχύτητα του άλλου κομματιού. [ Απ. : υ = 6 /s ].3. Μια μπάλα μάζας = 0,3 kg πέφτει από ύψος h = 0 σε οριζόντιο έδαφος και αναπηδά σε ύψος h = 5 πάνω από το έδαφος. Αν η διάρκεια της επαφς της μπάλας με το έδαφος είναι = 0,0s να βρεθεί η μέση δύναμη που ασκθηκε στη μπάλα από το έδαφος. Δίνεται g = 0 /s. [ Απ. : 903 N ].4. Σώμα μάζας = 3 kg κινείται με ταχύτητα u = 0 /s πάνω στον άξονα x και συγκρούεται με ακίνητο σώμα μάζας = kg. Τα δύο σώματα μετά την κρούση κινούνται πάνω στον άξονα x. Η ταχύτητα της μάζας μετά την κρούση είναι v = /s. Να βρεθούν : α. Η ταχύτητα της μάζας μετά την κρούση. β. Η μεταβολ της ορμς κάθε μάζας. [Απ. α. v = /s, β. Δp = - 4kg /s, Δp = 4kg /s].5. Βλμα μάζας = 0, kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σε ένα κομμάτι ξύλο μάζας Μ = 9,9 kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης μεταξύ της επιφάνειας και του ξύλου είναι μ = 0,4. Το σύστημα ξύλο βλμα μετατοπίζεται κατά Δx = πάνω στην οριζόντια επιφάνεια και σταματάει. Να βρεθεί η ταχύτητα του βλματος πριν την κρούση. Δίνεται g = 0 /s. [Απ.: υ = 400 /s].6. Σώμα μάζας = 3 kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Το σώμα διασπάται σε δύο κομμάτια με μάζες = kg και = kg. Τα δύο κομμάτια αμέσως μετά τη διάσπαση κινούνται οριζόντια. Η ταχύτητα του κομματιού μάζας αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ = 0 /s. Ο συντελεστς τριβς ολίσθησης μεταξύ των κομματιών και της οριζόντιας επιφάνειας είναι μ = 0,. Δίνεται g = 0 /s. Να υπολογιστεί πόσο θα απέχουν μεταξύ τους οι μάζες και : α. Όταν θα έχουν σταματσει. β. Σε χρόνο = 6 s μετά την διάσπαση. [Απ. : α. Δx = 5, β. Δx = 09].7. Σώμα μάζας Μ = 70 kg κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υ = 300 /s και ξαφνικά εκργνυται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι μάζας = 30 kg κινείται κατά την ίδια διεύθυνση και φορά με το αρχικό κομμάτι με ταχύτητα υ = 500 /s. Να υπολογιστούν α. η ταχύτητα του άλλου κομματιού, β. η ενέργεια της έκρηξης. [ Απ α. υ = 50 /s, β. Εεκρ =, J ].8. Σώμα κινείται ευθύγραμμα και η γραφικ παράσταση της ορμς σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχμα. Η αρχικ και η τελικ ορμ έχουν την ίδια κατεύθυνση. Να γίνει το αντίστοιχο διάγραμμα της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. 0 0 p(kg /s) t(s) Διάγραμμα ορμς - χρόνου ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ

12 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.9. * Ένα πυροβόλο όπλο είναι στερεωμένο σε μια σανίδα η οποία είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Η κάνη του πυροβόλου βρίσκεται σε ύψος h = 80 c από το οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγμ από το πυροβόλο εκτοξεύεται βλμα μάζας = 0, kg με οριζόντια ταχύτητα υ0 = 00 /s. Η μάζα του συστματος σανίδα πυροβόλο βλμα είναι Μ =, kg. Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση του σημείου που το βλμα χτυπάει στο έδαφος και της άκρης κάννης του πυροβόλου, τη στιγμ που το βλμα χτυπάει στο έδαφος. Δίνεται g = 0 /s. [Απ. 4 ].0. Μια βάρκα που έχει μκος l = 6 και μάζα Μ = 0 kg, είναι ακίνητη στην ρεμη επιφάνεια μιας λίμνης. Ένας άνθρωπος που έχει μάζα = 60 kg, είναι αρχικά ακίνητος στη μία άκρη της βάρκας. Ο άνθρωπος μετακινείται με σταθερ ταχύτητα στο άλλο άκρο της βάρκας. Κατά πόσο θα μετακινηθεί η βάρκα στη διάρκεια της μετακίνησης του ανθρώπου; (Τριβές και αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες και οι κινσεις ομαλές) [Απ. ].. Δύο κιβώτια με μάζες Μ = kg και Μ = 3,9 kg είναι ακίνητα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση l = 0 μεταξύ τους. Ένα βλμα μάζας = 0, kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ0 = 400 /s διαπερνά ακαριαία υ το = πρώτο 00 /s κιβώτιο και βγαίνοντας από αυτό με ταχύτητα 0 σφηνώνεται στο δεύτερο κιβώτιο. (Θεωρούμε οριζόντια την κίνηση Μ l Μ υ 0 του βλματος) Σε πόσο χρόνο, από τη στιγμ που το βλμα συγκρούστηκε με το πρώτο κιβώτιο, τα δύο κιβώτια θα συγκρουστούν μεταξύ τους; [Απ 3,9 s].. Το κιβώτιο μάζας Μ = 5 kg βρίσκεται ακίνητο σε απόσταση l = από την πάνω άκρη λείου πλάγιου επιπέδου γωνίας φ = Ένα βλμα μάζας = 0, kg, που κινείται παράλληλα με το πλάγιο επίπεδο με ταχύτητα υ0, σφηνώνεται στο κιβώτιο. Η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και g = 0 /s. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμ της ταχύτητας υ0, ώστε το συσσωμάτωμα να φτάσει στην υ κορυφ = 6 0 του /s πλάγιου υ επιπέδου. 8, /s 0 0 [Απ. ] Μ υ 0 φ l Μ+.3. Πάνω σε ανοιχτό όχημα μάζας M = 0 kg, που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 0 /s, πέφτει κατακόρυφα σώμα μάζας = 6 kg. Αν η κρούση είναι πλαστικ, να υπολογίσετε την τελικ ταχύτητα του οχματος. [Απ. 6,5 /s].4. Ένα σώμα μάζας Σ αφνεται ελεύθερο από ύψος h = 70. Δύο δευτερόλεπτα αργότερα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω ένα δεύτερο σώμα Σ ίσης μάζας με το Σ με το οποίο συγκρούεται πλαστικά καθώς το Σ ανεβαίνει. Με πόση ταχύτητα πρέπει να εκτοξευτεί το Σ, ώστε τι συσσωμάτωμα να φτάσει στο αρχικό ύψος h; Δίνεται g = 0 /s. [Απ. 80 /s].5. Ένα φορτηγό βαγόνι μάζας = 3000 kg κινείται με ταχύτητα υ = /s και συγκρούεται με άλλο βαγόνι, μάζας = 5000 kg, που προπορεύεται με ταχύτητα υ =, /s. Αν τα βαγόνια ενωθούν, ποια η ταχύτητά τους και ποια η απώλεια στην κινητικ ενέργεια του συστματος; [Απ.,65 /s 4400 J] ΣΤΑΥΡΟΣ ΚΟΥΣΙΔΗΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ