Présentée et soutenue par SAMER ALLOUCH Classification des Catégories finies. Thèse dirigée par CARLOS SIMPSON soutenue le (22/03/2011)

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1 UNIVERSITÉ NICE SOPHIA-ANTIPOLIS - UFR Sciences École Doctorale de Sciences Fondamentales et Appliquées T H È S E pour obtenir le titre de Docteur en Sciences Universite de Nice-Sophia Antipolis Spécialité : Mathématiques Présentée et soutenue par SAMER ALLOUCH Classification des Catégories finies Thèse dirigée par CARLOS SIMPSON soutenue le (22/03/2011) Jury : Tom LEINSTER Fellow et Reader, University of Glasgow Rapporteur Ludmil KATZARKOV Professeur, Université de Vienne Rapporteur Carlos SIMPSON DR1 CNRS, Université de Nice Directeur André HIRSCHOWITZ Professeur, Université de Nice Examinateur Clemens BERGER HDR, Université de Nice Examinateur Abdelkrim ALIOUCHE HDR, Université de Larbi Ben M'Hidi Examinateur

2 Table des matières 1 Introduction 2 2 Rappels sur les catégories nies et les matrices positives Introduction Dénition d'une catégorie nie et sa matrice Matrices carrées positives et leurs sous-matrices Propriétés algébriques des catégories nies Techniques de construction des catégories nies Une variété ane des modules sur une catégorie nie catégorie associée à matrice carrée positive Introduction Dénition des catégories associées à M et Cat(M) Quelques propriétés sur Cat(M) Etude de Cat(M a,b ) Caractéristique d'euler de catégorie Inversion de Möbuis Caractéristique d'euler Série de caractéristique d'euler Partitions de Matrice Introduction Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie Les catégories avec une nouvelle notation Blocs des matrices réduite des catégories et des matrices Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite Théorème de matrice réduite Réduction et classication des matrices

3 TABLE DES MATIÈRES 6 Classication des matrices strictement positives Introduction Classication des Matrices carrées doubles strictement positives Classication des Matrices strictement positives d ordre 2 à un seul coecient diagonale unité Classication générale des Matrices strictement positives d ordre Classication des matrices triples strictement positives Classication des matrices triples à un seul coecient diagonale unité Classication des matrices carrées générales strictement positives Classication des matrices positives Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro Dénition d'une matrice acceptable Classication d'une matrice réduite d'ordre n Classication de Monoïde Dénition d'un Monoïde Classication d'un Monoïde (2) Classication d'un Monoïde (3) Classication des matrices 2 d'ordre n Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre Les bornes de Card(M2 n )

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5 Remerciements... Je tiens à exprimer ma gratitude, ma reconnaissance et mes profonds remerciements àmon directeur de thése Carlos SIMPSON. Je le remercie chaleureusement pour sa conance, ses conseils précieux et pour le temps qu'il m'a accordé malgré son emploi de temps surchargé avec la direction de l'équipe. Carlos, j'ai apprécié chez vous la qualité d'un grand chercheur plein d'optimisme, le sens de la rigueur et les qualités humaines ; bonne humeur agrémentée de larges sourires, sympathie couronnée d'une énorme modestie, et soutien. Je voudrais bien remercier le Jury, Messieurs les Professeurs : Tom LEINS- TER, Ludmil KATZARKOV, André HIRSCHOWITZ, Clemens BERGER, Abdelkrim ALIOUCHE pour leur acceptation de vouloir être membre de ce Jury. Accompagnée de chaque réussite, il y a une femme que, je voudrais remercier à fond mon amour et ma femme Nouha pour tout eort et tout encouragement qu'elles m'ont donné, en espérant pour ma petite famille, en ajoutant mon petit Zayd au panier, le bonheur et la croyance. Je n'oublie jamais le grand rôle de mes parents, mes frères, mes soeurs et mes amis pour faire le point de terminer ce travail qui n'a pas un point nal. Je voudrais écrire un dernier mot aux gens qui meurent en défendant la dignité du peuple arabe contre la dictature, le tort, l'ignorance, la pauvreté, la maladie, la folie...les Martyres des Révolutions Arabes... 1

6 Chapitre 1 Introduction Milliers d'études depuis l'antiquité se basent fondamentalement sur "les mathématiques" qui ont été développées avant l'apparition de l'écriture. La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui attire les mathématiciens et ceci, plutôt depuis plus d'un siècle. Particulièrement, la théorie des catégories est une branche des mathématiques qui a été introduite dans les années 1940 par les mathématiciens Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, puis développée et appliquée à la géométrie algébrique par Alexandre Grothendieck, et à la géométrie diérentielle par Charles Ehresmann, durant les années Elle permet de généraliser le concept de structures algébriques et d'applications conservant cette structure, qu'il s'agisse d'espaces vectoriels et d'applications linéaires ou de groupes et de leurs homomorphismes. Cette théorie abstraite, fruit du travail de nombreux mathématiciens, est devenue un outil indispensable dans les mathématiques théoriques modernes, notamment en algébre, en géométrie algébrique, en topologie algébrique, et méme en informatique et en physique théorique. Mais les categories qui rentrent habituellement en jeu dans les sujets tels que la géometrie algébrique, sont innies. D'autre part, pour certaines structures comme les groupes, l'étude des objets nis a donné lieu à un grand nombre des travaux. Cette derniére est observée dans la classication des groupes nis simples principalement publiée entre 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes simples nis. En tout, le travail comprend des dizaines de milliers de pages dans 500 articles par beaucoup d'auteurs comme Walter Feit, John Thompson, Michael Aschbacher, Daniel Gorenstein, Richard Lyons et Ronald Solomon. En revanche, pour les categories nies, jusqu'à présent peu de mathematiciens les ont étudiés, cependant recemment Tom Leinster a commencé l'étude de leur caractéristique d'euler, et les travaux de Leinster ont donné lieu a d'autres voir

7 L'objectif du présent travail est d'étudier les correspondances entre les catégories nies d'ordre n et les matrices carrées de taille n. Cette correspondance gure dans plusieurs papiers comme celles de Leinster et Berger 13 4, le papier de Kapranov 12 et les papiers de Fiore, Lück et Sauer 78. La question abordée ici est de savoir, pour une matrice donnée M, s'il existe une catégorie A associé à M ou non. Une catégorie nie A veut dire que les ensembles Ob(A) et Hom(A) sont nis, en plus la catégorie est dite ordonnée s'il y a une relation d'ordre ordonnée sur Ob(A) dénie par : x i < x j i < j. Une catégorie nie ordonnée A d'ordre n dont les objets sont {x 1,..., x n } est associée à la matrice carrée M = m ij d'ordre n si m ij = A(x i, x j ) i et j, cette matrice associée est notée M A. Nos études concernent la question de connaître l'état de l'ensemble Cat(M), si elle est vide ou non, où Cat(M) est l'ensemble des catégories nies qui sont associées la matrice M. Donc nous avons donné toutes les dénitions des : catégories nies, nies ordonnées, matrice M = M A associée à A, et Cat(M). La matrice M A a plusieurs propriétés, on les démontrera dans le chapitre (2). Parmi ces propriétés : 1. Si A, B sont deux catégories nies ordonnées telles que A = B, alors M A = M B. 2. Si B est une sous-catégorie pleine de A, alors M B est une sous-matrice régulière de M A 3. M A op = t M A. Ensuite, dans ce chapitre, on observe l'eet des catégories nies dans la géometrie algébrique sous les constructions suivantes : Étant donné une catégorie A, et on xe b 1,..., b n N, on considère alors la donnee d'un foncteur : φ : A vect k tel que φ(x i ) = k b f i et φ( x i x j ) est une application lineaire de k b i vers k b j qui est determinée par une matrice Φ(f) d'ordre b i b j. L'ensemble de ces donnees est donc Y = i,j f A(x i,x j ) kb ib j. On note Y une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension dim(y ) = i,j M(i, j)b ib j où M(i, j) = A(x i, x j ). 3

8 D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénit un foncteur, f x j g x k pour tout x i on exige que Φ(g) Φ(f) = Φ(gf), et pour tout x i on exige que Φ(1 xi ) = 1 bi b i. Ces équations sont des équations polynomiales sur les coordonnées de Y, donc dénissent une sous-variété fermée Z Y qui est donc une variété ane, avec Z = Hom b (A, vect k ). Donc le chapitre 2 sera démontré un exemple intéressant de la construction d'une variété ane, et il a donné plusieurs propriétés de la matrice M A. En plus, c'est plus logique aussi de trouver les propriétés liées à Cat(M), l'exipication détaillé de ces propriétés se trouve dans le chapitre 3 nous avons démontré : 1. Cat(M) si et seulement si Cat( t M). 2. Soient M M n (N) et N I une sous-matrice régulier de M avec I = {i 1,..., i m } {1,..., n}. Si on a Cat(N ) = alors Cat(M) = Ensuite on rappelle les dénitions de base données par Leinster 13 : si A est une catégorie nie, on a sa matrice M A (notée ζ(a) dans 13). S'il existe, un inverse de Möbius c'est un inverse µ A à la matrice M A. Donc µ A (i, j)m A (j, k) = δ(i, k) où δ(i, k) = 1 si i = k et 0 sinon. Par exemple si ( a b M A = c d alors j µ A = 1 ad bc ), ( d b c a Dans ce cas, M A admet l'inversion de Möbius si et seulement si ad bc 0. Si M A admet l'inversion de Möbius, alors d'après 13 le caractéristique d'euler est donné par χ(a) = µ A (i, j). i,j Notons qu'une catégorie peut admettre un caractéristique d'euler dans le sens de Leinster, sans qu'elle admette l'inversion de Möbius. Dans ce cas χ(a) est dénie par les notions de( pondération ) et co-pondération. a b Dans le cas n = 2 avec M A =, si le déterminant est 0 alors c d χ(a) = a + d b c. ad bc 4 ).

9 Lemme Supposons que A est une catégorie ordonnée réduite avec deux objets tels que ( ) 1 b M A =. c d Si b > 0 et c > 0 alors A admet l'inversion de Möbius, et on a χ(a) > 0. Soit A une catégorie nie ordonnée. Dans le chapitre 4, on construira une relation d'équivalence sur Ob(A) dénie par : Hom A (x i, x j ) x i Rx j et Hom A (x j, x i ) Cette relation est une rélation équivalence, ce qui donne une partition de Ob(A). Ensuite à travers de cette relation, on peut partager la matrice M A en plusieurs blocs par exemple : Soit M une matrice dénie par : M = On a Cat(M). Donc il existe une catégorie A associée à M tel que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ 0, λ 1, β 0, β 1 }. ( ) ( ) est un bloc associé à λ, est un bloc associé à λ vers β ( ) est un bloc associé à β, ( , ) est un bloc associé à β vers λ. Dans la chapitre 5 et après la partition d'une matrice en plusieurs blocs pour facilite l'étude de Cat(M), on va dénir une catégorie nie réduite : Dénition : Une categorie A nie d'ordre n dont les objets sont {x 1,..., x n } est dit non-réduite s'il existe deux objets distincts x i et x j (i j) qui sont isomorphes. On dira que A est réduite si deux objets distincts sont toujours non-isomorphes. On dira qu'une matrice M est non-réduite s'il existe i j tel que k, M ki = M kj 5

10 et k, M ik = M jk, cela veut dire que la ligne i égale à la ligne j et la colonne i égale à la colonne j. nous disons qu'une matrice M est réduite si elle n'est pas non-réduite. Ensuite et après cette dénition nous démontrons le théorème de réduction suivant : Théorème : Si M est une matrice non réduite, on peut réduire M en une sous-matrice N réduite telle que Cat(M) si et seulement si Cat(N ). D'après ce qui précède nous pouvons étudier l'état de Cat(M) pour une matrice M carrée positive. Les démonstrations de résultats se trouvent dans le chapitre 6 et 7. Voici une résume de ces résultats : Soit M = (m ij ) M n (N) est une matrice réduite, alors nous avons deux cas : 1. Si M est strictement positive c.à.d m ij > 0 i, j, alors il y a deux cas : (a) Si m ii > 1 i n, alors Cat(M) d'après le théorème du Leinster. (b) S'il existe au moins une i tel que m i i = 1 dans ce cas on a deux possibilités : i. si i le seul indice que m i i = 1, alors Cat(M) si et seulement si { mii > m i1 m 1i i > 1 m ij m i1 m 1j i, j > 1 ii. s'il existe d'autres indices {i 1, i 2,...ect} diérents de i tel que ; m i1 i 1 = m i2 i 2 =... = 1 alors Cat(M) =. 2. D'abord, nous allons dénir l'acceptabilité d'une matrice : Dénition : Soient M = (m ij ) 1 i,j n ) M n (N), et A une catégorie nie dont les objets sont {x 1,..., x n }. On dénit deux relations sur Ob(A) par rapport à M par : (a) x i G M x j si m ij > 0. (b) x i R M x j si x i G M x j et x j G M x i. Nous disons que M est acceptable si et seulemnt si la relation G M est à la fois réexive et transitive et la relation R M est une relation d'équivalence. 6

11 Si M est acceptable alors, les classes d'equivalence de R M seront notes λ, µ,.... et les objets dans ces classes seront notes λ i.... D'autre part, on dénit la relation d'ordre sur les classes d'equivalence par : λ µ si et seulement si λ i G M µ j pour tous λ i λ et µ j µ. On note λ > µ si λ µ et λ µ. Après cette dénition et la partition de la matrice en classes d'equivalence, nous pouvons énoncer le résultat suivant : Si M est une matrice positive alors : Cat(M) M acceptable M(λ i, λ i ) a(λ i )b(λ i ) + 1 λ U, i 1 M(λ i, λ j ) a(λ i )b(λ j ) λ U M(λ i, µ j ) M(λ i, µ 0 ) λ > µ, µ U M(λ i, µ j ) M(λ 0, µ j ) λ > µ, λ U M(λ i, µ j ) M(λ 0, µ j ) + M(λ i, µ 0 ) M(λ 0, µ 0 ) λ µ U Avec a(λ i ) := M(λ i, λ 0 ) et b(λ j ) := M(λ 0, λ j ) D'autre part, si M est une matrice non-réduite, on utilise le théorème de réduction pour obtenir la matrice réduite N de M, ce qui donne que Cat(M) et Cat(N) ont le même état. Alors, on a maintenant une matrice réduite N donc on peut l'étudier d'après le précédant. Dans la théorie des catégories il est bien connu et utilisé par certaines mathématiciens comme par exemple Tom Leinster et Nicolas Tabareau, qu'une catégorie avec un unique objet est simplement un monoïde. Nous essayons classier les catégories de M = (n), avec M la matrice monoïde d'ordre n. Mais Dans le chapitre 8, on va classier les matrices monoïedes d'ordre 2 et 3 sous les propiétés suivants : Cat((2)) = Cat 1 2 Cat 2 2, Avec ; Cat 1 2={A catégorie monoïde / Hom(A) = {id x, f} avec f 2 = id x } Cat 2 2={A catégorie monoïde / Hom(A) = {id x, f} avec f 2 = f } Cat((3)) = 11 i=1 et Cat i 3 = Cat 1 3 Cat 2 3 Cat 3 3 Cat 4 3 Cat 7 3 Cat 10 3 Cat

12 Avec ; Cat 1 3 = Cat 3 3 = Cat 4 3 = Cat 5 3 = Cat 6 3 = Cat 7 3 = Cat 8 3 = Cat 9 3 = Cat 10 3 = Cat 11 3 = Cat 2 3 = { } A monoïde/hom(a) = {1, f, g}, fg = gf = g 2 = g, f 2 = 1 { } A monoïde/hom(a) = {1, f, g}, fg = gf = f, g 2 = f 2 = g { } A monoïde/hom(a) = {1, f, g}, fg = gf = g 2 = g, f 2 = g { } A monoïde/hom(a) = {1, f, g}, gf = fg = f 2 = f, g 2 = 1 { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = fg = f 2 = g 2 = f { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, fg = g 2 = g, gf = f 2 = f { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = fg = f 2 = f, g 2 = g { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = fg = g, g 2 = f 2 = f { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = fg = g 2 = g, f 2 = f { } Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = g 2 = g, fg = f 2 = f { } A monoïde/hom(a) = {1, f, g}, fg = gf = 1, g 2 = f, f 2 = g. D'autre part, ceratins chercheurs qui ont travaillé les monoides jusqu'au l'ordre 10, comme Andreas Distler et Tom Kelsey voir 15. On travaille dans le dernier chapitre autour de la matrice 2 d'ordre n. Dénition : On veut dire une M = (mij) = M n 2 est une matrice 2 d'ordre n est une matrice n n telle que m ij = 2 pour tout i, j {1,..., n}. Par exemple la matrice M2 3 est dénie par : M 3 2 = On arrive à classier les catégories qui sont associées à M2 2 et à M2 3, ensuite pour la matrice générale M2 n nous allons borner l'ensemble Card(M2 n, r) des catégories réduites par : 2 n/33 /n! Card(M n 2, r) 18 C3 n. Dans cette introduction, nous avons expliqué les idées générales correspendant à chaque chapitre, en commenéant par l'étude de l'état de Cat(M) et en nissant par borner le Card(M n 2, r). Ce chemin du recherche peut continuer avec des nouvelles idées par exemple : 8

13 1. Essayer de trouver la borne supérieure de l'ensemble Card(M, r) avec M une matrice positive donnée. 2. Calculer σ ou du moins de prouver des bornes plus rapprochees. avec σ := lim Sup log(card(m 2 n, r)). n n 3 3. Essayer de trouver la dimension de Z, la variété ane qui est dénie au-dessus par :Z = Hom b (A, vect k ). 4. Classier les catégories de la matrice M n 2. 9

14 Chapitre 2 Rappels sur les catégories nies et les matrices positives 2.1 Introduction Étant donnée A une catégorie nie a n objets x 1,..., x n, nous allons considérer la matrice de A, qui note M A c'est une matrice carrée d'ordre n à coecients dans N qui sont dénis par m ij = A(x i, x j ) pour toutes 1 i, j n. Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur A et sur sa matrice M A, par exemple si on a une catégorie A nie et on a sous-catégorie plein B, nous démontrons que M A op = t M A et on trouve que M B est une sous-matrice régulière de M A. D'autre part, on peut construire une variété algébrique au travers de la catégorie nie A ; nous utilisons la foncteur F de A vers la catégorie des espaces vectorieles vect K. L'importance dans cette partie, c'est la notion d'ajouter d'une morphisme sur n'importe quel couple de morphismes pour avancer de sémi-catégorie à une sémi-catégorie un peu plus grande par une seule morphisme. Ensuite on peut arriver à une catégorie avec l'ajout des identités qui sont manquantes. 10

15 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice 2.2 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice Dénition : Une catégorie A, est la donnée de quatre éléments : d'une classe Ob(A) dont les éléments sont appelés objets, d'un ensemble, Hom(A,B)=A(A, B) chaque paire des objets A et, B dont les éléments sont appelés morphismes (ou èches) entre A et B, et sont parfois notés f : A B, d'un morphisme ida : A A, pour chaque objet a, appelée identité sur A, d'un morphisme g f : A C pour toute paire de morphismes f : A B et g : B C, appelé composée de f et g, tel que : la composition est associative : A f B g C h D, (h g) f = h (g f), les identités sont des éléments neutres de la composition f : A B, id B f = f = f id A. À partir de la catégorie A, on peut dénir une autre catégorie A op, dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des èches. Plus précisément :Hom A op(x,y)=hom A (y,x), et la composition de deux èches opposées est l'opposé de leur composition :f op g op = (g f) op. D'autre part, la dénition de sémi-catégorie est obtenue de la dénition de catégorie en supprimant la troisiéme et la sixième clause. S'il existe un ensemble non-vide U Ob(A) tel que id x pour x U mais id x pour x U, alors on dit que A est partiellement unitaire. Dénition : Un foncteur F : C catégorie B est la donnée : D d'une catégorie C dans une d'une fonction qui, à tout objet A de C, associe un objet F(A) de D, d'une fonction qui, à tout morphisme f : A B de C, associe un qui morphisme F(f) : F(A) F(B) de D, 11

16 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice respectent les identités : pour tout objet A de C, F(id A ) = id F(A) respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A B et g : B C de C,F(g f) = F(g) F(f) On dit que F est dèle (plein, pleinement dèle), si pour tout A,B Ob(C) l'application F : C(A, B) D(F(A), F(B)) est injective (surjective, bijective). Un foncteur contravariant d'une catégorie C dans une catégorie D est un foncteur de C op 1 dans D. Pour souligner le fait qu'il ne soit pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant. Exemple : Le foncteur identité d'une catégorie C, souvent noté I : C les objets et les morphismes de la catégorie invariants. C, qui laisse Dénition Soit C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. On dénit alors la transformation naturelle η de F vers G comme la donnée pour tout objet x de C d'un morphisme η x : F(x) G(x) de D tel que le diagramme suivant soit commutatif pour tout f Hom(x, y) : F(x) F(f) F(y) η x η y G(x) G(f) G(y) On peut de même dénir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des èches horizontales du diagramme ci-dessus. Si pour tout objet x de C, η x est un isomorphisme, on dit que η est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. Dénition : Soit A une catégorie, on dit que A est une catégorie nie d'ordre n si et seulemnt si les ensembles Ob(A) et Hom(A,B) sont nis pour tout A,B Ob(A), c.à.d : Il existe une bijection δ : Ob(A) {1,..., n} a δ(a) = i, 1. La duale de C 12

17 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice on note a par x i et l'ensemble des objets devient ObA = {x 1,..., x n }. Pour tout A,B Ob(A), il existe m N et une bijection tels que, λ : Hom(A, B) {1,..., m} p λ(p) = i, on note p par f i, et l'ensemble des morphismes de A vers B devient Hom(A, B) = {f 1,..., f m }. Autrement dit A une catégorie nie dont les objets sont {x 1,..., x n }, et pour tout x i, x j Ob(A) on a Hom A (x i, x j ) = {f 1,..., f mij }. Dénition : Une catégorie nie ordonnée A est une catégorie nie, munie d'une relation d'ordre total (c.à.d linéaire) sur l'ensemble des objets. Si A est une catégorie nie ordonnée d'ordre n, alors il existe une unique numérotation Ob(A) = {x 1,.., x n } compatible avec l'ordre c.à.d x i < x j i < j. Remarque :Une sous-catégorie de A est une catégorie dont les objets sont les objets de A et dont les èches sont des èches (mais pas nécessairement toutes les èches) de A entre deux objets de la sous-catégorie. On dit que la sous-catégorie B de A est pleine si B(x, y) = A(x, y) pour tout (x, y) B B. Exemple : 1. vect k (l'ensemble des K-especes vectoriels)est une catégorie dont les objets sont les K-especes Vectoriels, et les morphismes sont les applications linéaires, avec la composition usuelle. vect f k (l'ensemble des K-especes vectoriels des dimensions nies) est une sous-catégorie de vect k. 2. Soit vect n k la catégorie dont les objets sont 0, k, k 2,..., k n, avec morphisme de corps et la loi de composition usuell. On remarque vect n k est équivalent à la catégorie vect k de dimension n. Si k est un corps ni alors vect n k est une categorie nie. 3. Pour tout anneau commutatif A, la catégorie Mod A dont les objets sont les A modules et dont les morphismes sont les morphismes de A modules, avec la composition usuelle. On dénit la sous-catégorie plein Mod libre, n A de Mod A dont les objets sont de la form 0, A, A 2,..., A n (ce sont les A-modules libres de rang 13

18 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice n). si A est un anneau ni alors Mod libre, n A est une categorie nie, car chaque A i et A j ont deux bases nies et ce qui donne il y a des morphismes nies entre les deux objets, par exemple on prend A = ke/e 2 où k est un corps ni. 4. Soient A et B deux catégories, on dénit la catégorie des foncteurs F onct(a, B) ainsi : l'ensemble d'objets Ob(F onct(a, B)) est l'ensemble des foncteurs F : A B ; et si F, G sont deux foncteurs, Hom F onct(a,b) (F, G) est l'ensemble des transformations naturelles de F vers G. L'opération de composition de la catégorie F onct(a, B) est la composition des transformations naturelles. 5. Le groupe symétrique S n est une catégorie nie dont l'objet est le singleton {(1,2,...,n)} et les morphismes sont les applications bijectives {σ 1, σ 2,..., σ n! } avec la loi de composition usuelle. Théorème : Soient A et B sont deux catégories nies, alors la catégorie F onct(a, B) 2 est une catégorie nie. Preuve : (1) Il n'y a qu'un nombre ni de foncteurs F : A B, en eet pour spécier F il sut de spécier F(x) Ob(B) pour chaque x Ob(A), et F(u) Hom B (F(x), F(y)) pour chaque èche u Hom A (x, y). Comme il n'y a qu'un nombre ni d'objets x, qu'un nombre ni de èches u, et pour chacun un nombre ni de choix car Ob(B) et Hom B (F(x), F(y)) sont nis, alors l'ensemble des foncteurs à égalité près est ni. (2) Étant donné deux foncteurs F, G : A B, l'ensemble de transformations naturelles de F vers G est ni. En eet, pour specier une transformation naturelle η : F G il faut spécier pour chaque x Ob(A) une èche η x Hom B (F(x), G(x)). Il n'y a qu'un nombre ni d'objets x et un nombre ni de choix Hom B (F(x), G(x)) pour chaque x, donc l'ensemble des transformations naturelles est ni. (1) et (2) donnent F onct(a, B) est une catégorie nie. Dénition : Soit A une catégorie nie ordonnée d'ordre n dont les objets sont {x 1, x 2,..., x n } et soit M = (a ij ) 1 i,j n M n (N) 3, on dit que M est une matrice de A ou matrice associée à A si et seulement si a ij = A(x i, x j ) pour tout i, j {1, 2,..., n}. 2. La catégorie des foncteurs de A vers B 3. l'ensemble des matrices carrées de taille n n à coecients des entiers naturels 14

19 Matrices carrées positives et leurs sous-matrices Remarque : La matrice de la catégorie nie A est unique (c'est clair), et on la note par M A. Exemple : 1. soit A une catégorie nie d'ordre n N dont les objets sont {x 1, x 2,..., x n } et les morphismes sont dénis par : A(x i, x j ) = 1 pour tout i, j {1, 2,..., n}, alors la matrice de A est dénie par : M A = la catégorie S 3 d'ordre 1 groupe symétrique dont l'objet est {(1, 2, 3)}, la matrice de S 3 est M=(3!)=(6), La matrice de S 4 n est dénie par M = (n!) pour tout n N 2.3 Matrices carrées positives et leurs sous- Matrices Dénition : Soit M = (a ij ) 1 i,j n une matrice dans M n (N), et soient I,J deux ensembles non vides dans {1,..., n}, on veut dire que N I J (M) une sous-matrice de M c'est la matrice dont les coecients sont les intersections des lignes I avec les colonnes J. On s'appelle la matrice N I I une sous-matrice régulière de M et notée par N I. Exemple : Soient M = groupe symétrique d'indice n, I = {1, 3, 4}, J = {2, 3, 4} et k = {2, 4} alors : 15

20 Propriétés algébriques des catégories nies N I J = sous-matrices de M., N I = , N k I = ( ) sont des Dénition : La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice A M n,m (N) 5 est la matrice notée t A M m,n (N), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Si B= t A, alors b i,j = a j,i (i, j) 1, m 1, n 2.4 Propriétés algébriques des catégories nies Dénition : Soient A et B deux catégories nies de même ordre n, on dit que A et B sont isomorphes s'il existe un Foncteur F : A B tel que : L'application F : Ob(A) Ob(B) est bijictive, Le foncteur F est pleinement dèle. Si A isomorphe à B, on note A = B. Si A et B sont ordonnées, on dit isomorphisme ordonné entre A et B. Ceci est un isomorphisme qui preserve la relation d'ordre sur les ensembles Ob(A) et Ob(B) (c.à.d x, y Ob(A) on a x < y si et seulement si F(x) < F(y)). Remarque : Soient A et B deux catégories nies qui ont les mêmes objets, on dit que A = B si Hom A (x, y) = Hom B (x, y) pour tout x, y Ob(A) = Ob(B). Lemme : Soient A et B deux catégories nies ordonnées ayant le même ordre, si on a A = B d'une manière qui respecte les ordres, alors M A = M B. Preuve : On pose A B, alors il exite un foncteur F : A B tel que : 5. l'ensemble des matrices de taille n m à coecients des entiers naturelle 16

21 Propriétés algébriques des catégories nies 1. L'application F : Ob(A) Ob(B) est bijective ce qui donne pour tout x i Ob(A) on a un seul objet y i Ob(A) tel que F(x i ) = y i, 2. Fest pleinement dèle, D'autre part, soient x i, x j Ob(A) comme F est pleinement déle alors l'application F : A(x i, x j ) B(F(x i ), F(x j )) = B(y i, y j ) est bijective donc A(x i, x j ) = a ij = B(y i, y j ) = b ij pour tout i, j {1, 2,..., n}, alors M A = M B. Théorème : Soit B une catégorie nie, et soit B une sous-catégorie pleine de A alors la matrice M B est une sous-matrice régulière de M A. Preuve : Soit B une sous-catégorie pleine de A alors Ob(B) Ob(A) et Hom B (A, B) = Hom A (A, B) pour tout A,B deux objets dans Ob(B). On pose Ob(A) = {x 1,..., x n }, comme Ob(B) Ob(A) alors Ob(B) = {x i1,..., x im } indices ordonnés croissement avec m n et i j 1, n pour tout j 1, m, alors : M B = (b i,j ) 1 i,j m = (B(x is, x it )) 1 s,t m = (A(x is, x it )) 1 s,t m = N {i1,...,i m}. Donc M B = N {i1,...,i m} est une sous-matrice régulier de M A. Lemme : Soit A une catégorie nie d'ordre n, alors M A op = t M A Preuve : M A op = (b i,j ) i,j n = (A op (x i, x j )) 1 i,j n = (A(x j, x i )) 1 i,j n = (a j,i ) i,j n = t M A. Donc M A op = t M A. 17

22 Techniques de construction des catégories nies 2.5 Techniques de construction des catégories nies On prend (A i ) 1 i N une famille des catégories avec N N Dénition Soient A et B deux catégories, on dénit la somme A + B par trois éléments : - Ob(A + B) = Ob(A) Ob(B). - Soit a, b Ob(A + B) alors, Hom A+B (a, b) = Hom A (a, b) Hom B (a, b) si (a, b) ou (b, a) Ob(A) Ob(B) si a, b Ob(A) si a, b Ob(B) - Soit f, g Hom(A + B) tel que : f : x y et g : y z. a) Si x, y, z A on dénit g A+B f = g A f. b) Si x, y, z B on dénit g A+B f = g B f. Lemme : La somme A + B est une catégorie qui s'appelle catégorie somme de A et B. Si A est une catégorie nie d'ordre n avec M A = (a ij ) 1 i,j n et si B est une catégorie nie d'ordre m avec M B = (b ij ) 1 i,j m, alors A + B est nie d'ordre n + m. La matrice M A+B est la somme directe des matrices M A et M B. En eet : Soit f, g, h Hom(A + B) tel que : x h y g z f t alors l'ensemble {x, y, z, t} A ou B donc on a deux cas : - Si x, y, z, t A alors, A+B = A ce qui donne l'associativité. - Si x, y, z, t B alors, A+B = B d'où l'associativité. Donc A + B est une catégorie, en plus si les deux catégories A, B sont nies alors A + B est nie c'est facile à démontrer. Dénition : Soient A et B deux catégories non vides, on dénit la produit A B par trois éléments : { } Ob(A B) = (a, b)/a Ob(A) et b Ob(B) 18

23 Techniques de construction des catégories nies Hom A B (a, b), (c, d) = { } (f, g)/f Hom A (a, c) et g Hom B (b, d) avec (a, b), (c, d) Ob(A B), (f, g) A B (h, k) = (f A h, g B k) avec (f, h) A(b, c) A(a, b) et (g, k) B(y, z) B(x, y). Si l'une de deux égale à vide, alors il est évidament la catégorie produit A B est vide en plus elle devient nie. Lemme : La produit A B est une catégorie qui s'appelle catégorie produit de A dans B. D'autre part, si A est une catégorie nie non vide d'ordre n avec M A = (a ij ) 1 i,j n et si B est une catégorie nie non vide d'ordre m avec M B = (b ij ) 1 i,j m, alors A B est nie d'ordre n m. Si A = ou B = alors A B = c.à.d est nie. La matrice M A B est M A M B où (M A M B ) (i,k),(j,l) := a ij b kl. Preuve : On a déni les objets et les morphismes, il reste à démontrer que la loi A B est associative. Soient (f, g), (h, k) et (t, p) dans Hom(A B) alors, (f, g) A B (h, k) A B (t, p) = (f A h, g B k) A B (t, p) = (f A h) A t, (g B k) B p = f A (h A t), g B (k B p) A, B associatives = (f, g) A B (h A t, k B p) = (f, g) A B (h, k) A B (t, p). Donc A B est associative, ce qui donne que A B est une catégorie. Si A et B sont nies avec Ob(A) = {x 1,..., x n } et Ob(B) = {y 1,..., y m }, on note (x i, y j ) = z m(i 1)+j, donc M A B = {z 1,..., z nm } ce qui donne l'ensemble Ob(A B) est nie. Soient (x i, y j ) et (x i, y j ) deux { objets, alors ; } Hom (x i, y j ), (x i, y j ) = (f, g)/f Hom A (x i, x i ), g Hom B (y j, y j ), ce qui donne Hom (x i, y j ), (x i, y j ) = aii b jj donc Hom(A B) est nie. Alors A B est une catégorie nie. Théorème : Soient A i des catégories nonvides ; (A) i et A i sont deux catégories nies si et seulement si A i est une catégorie nie pour tout i. Preuve : D'après les lemmes (2.5.2) et (2.5.4). 19

24 Techniques de construction des catégories nies Dénition : Étant donnée une famille (x i ) i I des objets de la catégorie A. La somme de la famille (x i ) i I, est la donnée d'un objet x de A et pour tout i d'une èche φi : x i x vériant la propriété universelle : x f φ i f x i i y quels que soient l'objet y et les èches fi : x i f y de A il existe une unique f èche f : x y telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est à dire que f i = f φ i. Le produit de la famille (x i ) i I est la donnée d'un objetx de A et pour tout i d'une èche π i : x x i vériant la propriété universelle : x f y fi xi quels que soient l'objet y et les èches fi : y x i de A il existe une unique èche f : y x telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est à dire que f i = π i f. S'ils existent, les sommes et les produits sont uniques aux isomorphismes près. Lemme : Soit A une sémi-catégorie, et soit u A(x, y) avec x, y Ob(A), alors on peut ajouter un morphisme u sur A(x, y) tel que u u, donc on aura une nouvelle sémi-catégorie A avec Ob(A) = Ob(A ) et Hom(A) = Hom(A ) {u }. D'autre part, on peut ajouter aussi les identités manquantes dans Ob(A) pour obtenir une catégorie B. Preuve :Soit u A(x, y) alors on dénit le morphisme u de A(x, y) au travers de u par : u v = u v et w u = w u. soit (f, g) A(y, z) A(y, z) alors : (gf)u = (gf)u = g(f u) = g(fu ). 20 π i

25 Une variété ane des modules sur une catégorie nie Donc (gf)u = g(fu ), La même pour les autres équations (hu )k = h(u k) et (po)u = p(ou ), avec (h, k) A(z, x) A(y, t) et (p, o) A(z, t) A(t, x). Pour les identités évidantes si on les ajoute, on aura une catégorie A. Notation : Soit M une matrice carrée d'ordre n tel que Cat(M), et soient A Cat(M) et B sémi-catégorie de A avec {id xi1,..., id xie } Hom(B). On note A par B+ ids. D'autre part, on note M B+ids = M B + I ids tel que : 0 si i j I ids = (a ij ) 1 i,j n avec a ij = 0 si i = j {i 1,..., i e } 1 si i = j {i 1,..., i e } 2.6 Une variété ane des modules sur une catégorie nie Théorème : Au traverse d'une catégorie nie on peut construire une variété ane. En eet : Étant donnée une catégorie A, et on xe b 1,..., b n N, alors la donnée d'un foncteur : φ : A vect k tel que φ(x i ) = k b f i et φ( x i x j ) est une application linéaire de k b i vers k b j qui détermine par une matrice d'ordre b i b j. L'ensemble de ces données est donc Y = i,j f A(x i,x j ) kb ib j, on note Y est une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension dim(y ) = i,j M(i, j)b ib j où M(i, j) = A(x i, x j ). D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénisse un foncteur, pour f x j g x k tout x i on demande que Φ(g) Φ(f) = Φ(gf), et pour tout x i on demande que Φ(1 xi ) = 1 bi b i. Ces équations sont des équations polynomiales sur les coordonnées de Y, donc elles dénissent une sous-variété fermée X Y qui est donc une variété ane, avec X = Hom b (A, vect k ). 21

26 Chapitre 3 catégorie associée à matrice carrée positive 3.1 Introduction Soit M une matrice carrée d'ordre n, on dénit Cat(M) ; c'est l'ensemble des catégories dont leur matrice est la matrice M, par exemple on prend la matrice triangulaire supérieure suivante : 1! 1!C 1 2 1!C 1 n 0 2!.... M = (n 1)!C n 1 n 0 0 n! Nous dénissons la catégorie A n dont les objets sont les ensembles {1, 2,..., i} avec 1 i n, et les morphismes sont les applications injectives. On va trouver A n Cat(M). Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur Cat(M), par exemple le théorème (3.3.3) qui dit si on a une matrice M et on a une sous-matrice régulière N alors : Si Cat(N) = Cat(M) = c.à.d si Cat(M) Cat(N). Encore une grande propriétés sur Cat, si A Cat(M) alors A σ Cat(M σ ) avec σ S n, S n l'ensemble des permutations sur {1,.., i} et n l'ordre de M. 22

27 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) Nous encore étudions dans une section l'état de Cat(M a,b ) avec : ( ) a b M a,b =. 1 1 On va trouver si 1 < a b alors Cat(M a,b ) =. Dans la suite, on tourne autour de la caractéristique d'euler et le séries de caractéristique d'euler. 3.2 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) Soit M M n (N) dénie par : m 11 m 12 m 1n m 21 m m 2n M = m n1 m n2 m nn Dénition : Soit A une catégorie nie d'ordre n dont les objets sont {x 1,..., x n } ; on dit que A est une catégorie associée à M si : Hom(x i, x j ) = m ij, i,j {1,..., n}. Exemple : 1. La catégorie A dont les objets sont {1,..., n} et les morphismes sont les identités, alors A associée à I = Soit n N, et soit A{ b une catégorie dont l'ensemble des objets } est dénie par Ob(A) = x i = {1,..., i}/i N et 1 i n et les morphismes sont les applications bijectives avec la loi de composition 23

28 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) usuelle. On remarque Hom A (x i, x j ) = { i! si i=j 0 si i j, i,j {1,..., n}. En eet : si i j, on pose i < j alors x i = {1,..., i} et {1,..., i, i + 1,..., j} donc il n'y a aucune bijection entre x i et x j alors Hom A (x i, x j ) = 0. Si i=j alors Hom A (x i, x j ) = Hom A (x i, x i ) = S i 1 = i!, 1! !.... donc A est une catégorie associée à M = n! 3. On prend la catégorie précédente A b, mais les morphismes sont les applications injectives, alors on aura une nouvelle catégorie notée par A i et : i! si i=j Hom A (x i, x j ) = i!c i j si i < j, i,j {1,..., n}, 0 si i > j 1! 1!C 1 2 1!C 1 n 0 2!.... donc A est une catégorie associée à M = (n 1)!C n 1 n 0 0 n!. 4. Soit n N et soit A une catégorie dont les objets sont {N, M} tels que N = {1,..., n} et M = {2,..., n + 1}, et les morphismes dénis par le diagramme suivant : id N f(x)=x+1 g(y)=y 1 alors A est une catégorie associée à M = 1. L'ensemble des permutations sur {1,.., i} M id ( ). 24

29 Quelques propriétés sur Cat(M) { } On veut dire Cat(A)= A catégorie nie d'ordre n/a associée à M. 3.3 Quelques propriétés sur Cat(M) Soit M M n (N) alors peut-être Cat(M) =. Exemple : ( ) 1 2 Soit I 2 =, alors Cat(I ) =. Preuve : par l'absurde, on pose Cat(M) alors il existe au moins une catégorie nie d'ordre deux dont les objets sont {x 1, x 2 } et les morphismes sont dénis par : Hom A (x 1, x 1 ) = {id x1 }, Hom A (x 1, x 2 ) = {f 1, f 2 } avec f 1 f 2. et Hom A (x 2, x 2 ) = {id x2 }, Hom A (x 2, x 1 ) = {g 1, g 2 } avec g 1 g 2. On remarque f i g j = id x2 et g j f i = id x1 pour tout i,j {1, 2} alors : g 1 (f 1 g 2 ) = g 1 id x2 = g 1 = (g 1 f 1 )g 2 = id x1 g 2 = g 2 contradiction donc A n'existe pas alors Cat(M) =. Lemme : Soit M M n (N) alors Cat(M) si et seulement si Cat( t M). En eet : ) On pose Cat(M) alors il existe une catégorie nie d'ordre n A associée à M alors A op est une catégorie associée à t M voir le lemme (2.4.5), donc Cat( t M) ) La même démonstration, on utilise t ( t M) = M. Théorème : Soit M M n (N) et soit N I une sous-matrice régulière de M avec I = {i 1,..., i m } {1,..., n}, si on a Cat(N ) = alors Cat(M) =. D'autre sens, on peut dire si on a Cat(M) alors Cat(N ). 25

30 Quelques propriétés sur Cat(M) Preuve : Soit Cat(N ) =, on pose que Cat(N ) alors il existe A une catégorie nie d'ordre n associée à M dont les objets sont {x 1,..., x n }. Soit C une catégorie d'ordre m dont les objets sont {x i1,..., x im } et les morphismes dénis par Hom B (x i, x j ) = Hom A (x i, x j ) avec la même loi de composition, on trouve que B est une sous-catégorie pleine de A associée à N I, parce que n ij = Hom A (x i, x j ) = Hom B (x i, x j ) pour tout i, j {i 1,..., i m }, ce qui donne Cat(M) contradiction donc Cat(M) =. Autrement dit si Cat(M) alors Cat(N ). Exemple : 1 2 a 13 a 1n 2 1 a 23 a 2n Soit M = a 31 a 32 a 33 a 33, alors Cat(M) = car la matrice a n1 a n2 a n3 a nn ( ) 1 2 I 2 = est une sous-matrice régulière de M, et Cat(M 2 1 I2 ) = voir l'exemple (3.3.1). Dénition : Soit A une catégorie nie d'ordre n et M = (m ij ) 1 i,j n M n (N), et soit σ S n on veut dire : A σ la catégorie dont les objets sont les mêmes objets de A et les morphismes dénis par Hom A σ(x i, x j ) = Hom A (x σ(i), x σ(j) ) pour tout i,j {1,..., n}, avec la loi de composition de A. M σ = (m σ(i)σ(j) ) 1 i,j n M n (N). Lemme : Soit A une catégorie associée à M M n (N), alors A σ est une catégorie associée à M σ, et M σ la matrice de A σ. Preuve : Soient i,j {1,..., n}, on a Hom A σ(x i, x j ) = Hom A (x σ(i), x σ(j) ) = Hom A (x σ(i), x σ(j) ) = m σ(i)σ(j), donc A σ est une catégorie associée à M σ. Corollaire : Soit M = (a ij ) 1 i,j n M n (N) et soit σ S n, alors les deux ensembles Cat(M) et Cat(M σ ) sont isomorphes. En eet : On pose que Cat(M) on va démontrer que Cat(M) et Cat(M σ ) sont isomorphes entre eux. Soit F dénie par : F : Cat(M) Cat(M σ ) A F(A) = A σ 26

31 Quelques propriétés sur Cat(M) a) Soient C et D sont deux catégories dans Cat(M) tel que C = D alors F(C) = C σ = D σ = F(D), donc F est une application. b) Soient C et D sont deux catégories dans Cat(M) tel que F(C) = F(D) alors : Hom C (x i, x j ) = Hom C (x σσ 1 (i), x σσ 1 (j)) = Hom C (x σ(σ 1 (i)), x σ(σ 1 (j))) = Hom C σ(x σ 1 (i), x σ 1 (j)) = Hom D σ(x σ 1 (i), x σ 1 (j)) (car C σ = D σ ) = Hom D (x σσ 1 (i), x σσ 1 (j)) = Hom D (x i, x j ). Donc Hom C (x i, x j ) = Hom D (x i, x j ) pour tout i, j {1,..., n}, alors C = D, donc F est injective. c) Soit B Cat(M σ ), on dénit la catégorie A dont les objets sont les mêmes objets de B tel que Hom A (x i, x j ) = Hom B (x σ 1 (i), x σ 1 (j)) pour tout i,j, donc on a : Hom A (x i, x j ) = Hom B (x σ 1 (i), x σ 1 (j)) = m σ(σ 1 (i)) σ(σ 1 (j)) (car B Cat(M σ ) = m ij. Alors A Cat(M) avec F(A) = B, donc F est surjective. a)+b)+c) donnent que F est une application bijective, donc les deux ensembles Cat(M) et Cat(M σ ) sont isomorphes. Exemple Soit M = 2 1 1, et soit σ = M σ = ( , et Cat(M) = Cat(M σ ) =. ) S 3 alors ; En eet : On a la matrice I 2 est une sous-matrice de M et M σ, et Cat(I 2 ) = alors, Cat(M) = Cat(M σ ) =. 27

32 Etude de Cat(M a,b ) 3.4 Etude de Cat(M a,b ) Dénition : On dénit la matrice M a,b M 2 (N) par : ( ) a b M a,b =. 1 1 Théorème : Soit a,b N tel que 1 < a b alors, Cat(M a,b ) =. Preuve : On suppose que Cat(M a,b ), alors il existe au moins une catégorie A nie d'ordre 2 associée à M a,b, dont les objets sont {x 1, x 2 } et les morphismes dénis par : Hom A (x 2, x 2 ) = {1 x2 }, Hom A (x 2, x 1 ) = { h }, Hom A (x 1, x 1 ) = {1 x1, e 1,..., e a 1 }, Hom A (x 1, x 2 ) = {f 1, f 2, f 3,..., f b }. Pour les équations d'associative sont : e i h = h, pour tout i dans {1,..., (a 1)}, f i h = 1 x2, pour tout i dans {1,..., (b 1), b}, hf i {1 x1, e 1,..., e (a 1) }, pour tout i,j {1,..., (a 1)}, e i e j {1 x1, e 1,..., e (a 1) }, pour tout i,j {1,..., (a 1)}, f i e j {f 1,..., f (b 1), f b }, pour tout (i,j) {1,..., (a 1)} {1,..., b}. On dénit l'application T par : T : {1,..., b} {1, e 1,..., e a 1 } s T (s) = hf s On pose que 1 x1 Im(T ), alors il existe s tel que hf s = 1 x1. Donc, on aura : e 1 = e 1 (hf s ) = (e 1 h)f s = hf s = 1 x1 contradiction, ce qui donne 1 x1 Im(T ). D'autre part, Comme b a et 1 x1 Im(T ), alors il existe au moins s, t {1,..., b} tel que s t et hf s = hf t. par ailleurs : f 1 (hf s ) = f 1 (hf t ) (f 1 h)f s = (f 1 h)f t (1 x2 )f s = (1 x2 )f t f s = f t. Contradicition donc A n'existe pas, alors Cat(M a,b ) =. 28

33 Caractéristique d'euler de catégorie Lemme : ( a b Cat 1 1 ) ( ) ( a = Cat = Cat b 1 b a ) ( ) 1 b = Cat =, 1 a pour tout 2 a b. Preuve : ( ) a 1 On a = t (M a,b ), alors Cat t (M a,b ) = Cat(M a,b ) =, voir le lemme (3.3.2) b 1 ( ) 1 1 Cat = (M a,b ) σ, alors Cat(M a,b ) σ = Cat(M a,b ) =, voir le corollaire (3.3.7) b a ( ) 1 2 avec σ = S ( ) 1 b Cat = (M a,b ) σ σ, alors Cat(M a,b ) σ σ = Cat(M a,b ) σ =. 1 a Lemme : Soit M une matrice dénie par : ( ) 1 a M =. b 1 Avec a,b N, alors Cat(M) = si a>1 ou b>1. Preuve : voir l'exemple (3.3.1). 3.5 Caractéristique d'euler de catégorie Inversion de Möbuis Dénition : Soit A une catégorie nie, on note par R(A) le Q alg `ebre de fonctions A A Q, avec plus ponctuelle et la multiplication scalaire, multiplication dénie par : (θφ)(a, c) = b A θ(a, b)φ(b, c) (θ, φ R(A), a, c Ob(A)) avec δ l'unité. La fonction ζ A = ζ R(A) est dénie par ζ(a, b) = A(a, b). Si ζ est 29

34 Caractéristique d'euler de catégorie inversible dans R(A) alors on dit que A admet une inversion de Möbius, et l'inverse µ = ζ 1 R(A) est s'appelle la fonction Möbius de A, donc on peut dire : ζ(a, b)µ(b, c) = δ(a, c) = µ(a, b)ζ(b, c). b b Exemple : 1. Soit A une catégorie monoïde avec sa matrice est M = (n), alors A admet une inversion de Möbius inversible ζ, tel qua ζ(a, a) = M = n et µ(a, a) = 1/n. 2. si alors µ A = ( a b M A = c d 1 ad bc ), ( d b c a Dans ce cas, M A admet l'inversion de Möbius si et seulement si ad bc 0. Dénition : Soit n 0, soit A une catégorie, et soit a, b Ob(A), un n-chemin de a vers b est un diagramme déni par : ). a = a 0 f 1 a1 f 2... f n a n = b (3.1) Il est circuit, si a = b. Lemme : Les conditions suivantes sur une catégorie nie A sont équivalentes : 1. chaque idempotent 2 dans A est une identité 2. Tout endomorphisme de A est un automorphisme 3. chaque circuit dans un composé exclusivement sont des isomorphismes. Preuve : La démonstration est dans la papier de Leinster voir 13. Théorème :Soit A une catégorie nie dans laquelle les idempotents seulement sont des identités. Alors A admet une inversion de Möbius donnée par : µ(a, b) = ( 1) n / Aut(a 0 )... Aut(a n ) où Aut(a) est le groupe des automorphismes de a A et la somme porte sur tous les n 0 et chemins (3.1) pour lesquels a 0,..., a n sont toutes distinctes. 2. On dit que f est idempotent si f 2 = f 30

35 Caractéristique d'euler de catégorie Dénition : - En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un f morphisme x y qui est simpliable à droite de la manière suivante : g 1 f = g 2 f implique g 1 = g 2 pour tout morphisme g 1, g 2 : y z. x f y g 1, g 2 z - Un épi-système (ε, M) sur la catégorie A se compose d'une classe ε des épimorphismes de A et d'une M, une classe des morphismes dans A, satisfaisant les axiomes FK.Les axiomes impliquent que f morphisme dans A alors il existe (e, m) (ε, M) tel que f = me, et s'il existe (e, m ) (ε, M) tel que f = m e alors e = ie et mi 1 avec i est un isomorphisme dans A. Théorème :Soit A une catégorie nie avec un epi-système (ε, M). Alors A a une inversion de Möbius donnée par : µ(a, b) = ( 1) n / Aut(a 0 )... Aut(a n ) où la somme porte sur toutes les 0 r n et n-chemin (3.1) tel que a 0,..., a r sont distinctes et a r,..., a n sont distinctes,f 0,..., f r sont distinctes et f r,..., f n sont distinctes. Preuve : Les objets de A et les èches ε déterminent une sous-catégorie de A, aussi notée E, qui vérie les hypothèses du théorème (3.5.5) et donc E a une inversion de Möbius ζ E, La même chose pour M qui admet une inversion de Möbius ζ M. Tout élément α Q Ob(A) donne lieu à un élément de R(A) également noté α et déni par α(a, b) = δ(a, b)α(b). La morphisme résultant de Q Ob(A) à R(A) préserve multiplication (où la multiplication des Q Ob(A) est ponctuelle). Nous avons éléments Aut et 1/ Aut Q Ob(A) de A, où, par exemple, Aut (a) = 1 Aut(a). Par la propriété de l'épi-système, ζ A = ζ E..ζ Aut M, donc A a une 1 fonction Möbius donne par µ A = µ E..µ Aut M, et le théorème (3.5.5) donne la formule. Dénition : Soit A une catégorie nie, une pondération sur A est une fonction : k : A Q tel que pour tout a Ob(A), ζ(a, b)k b = 1. b 31

36 Caractéristique d'euler de catégorie Une copondération k sur A est une pondération sur A op. On remarque si A admet une inversion de Möbius si et seulement si elle a une pondération unique, si et seulement si elle a un copondération unique, qui sont donnés par : k a = b µ(a, b), k b = a µ(a, b). Étant donné une catégorie A ordonnée d'ordre n. Une pondération w sur A, est une couple(w 1,..., w m ) Q m qui donne : w 1 Z A. = 1. w m 1 Une copondération w sur A, est une couple(w 1,..., w m ) Q m qui donne : Exemple : (w 1...w m )Z A = (1...1) 1. Soit A une catégorie monoïde dont l'objet est x,et sa matrice M = (m) alors A a une pondération unique k x = 1/ M = 1/m. 2. Soit A une catégorie dénie par le diagramme suivant : a b 1 b 2 On a k est unique sur A déni par (k a, k b 1, k b 2 ) = ( 1, 1, 1). En eet : k b 1 = µ(b 1, a) + µ(b 1, b 1 ) + µ(b 2, b 2 ) = 0 + ( 1) 0 /1 + 0 = 1 k b 2 = µ(b 2, a) + µ(b 2, b 2 ) + µ(b 2, b 1 ) = 0 + ( 1) 0 /1 + 0 = 1. k a = µ(a, a) + µ(a, b 1 ) + µ(a, b 2 ) = ( 1) 0 /1 + ( 1)/1 + ( 1)/1 = 1. Lemme : Soit (A i ) 1 i n une famille des catégories nies avec n 0, alors : 32

37 Caractéristique d'euler de catégorie 1. Si A i admet une ki pour toute 1 i n alors i A i admet une pondération l dénie par l a = ki a avec a A i.si chaque A i a une inversion de Möbius alors encore i A i admet une inversion de Möbius qui dénit par : { µai (a, b) si i = j µ(a, b) = 0 si non 2. Si chaque A i a une pondération ki alors i A i a une pondération l dénie par l (a 1,...,a n) = k a kn an.si chaque a i admet une inversion de Möbius alors i A i a une inversion de Möbius qui est dénie par : µ((a 1,..., a n ), (b 1,..., b n )) = µ 1 (a 1, b 1 )...µ n (a n, b n ) Caractéristique d'euler Lemme : Soit A une catégorie nie, k une pondération de A, et k une copondération de A alors a ka = a k a. Preuve : k b = b b ( a ) k a ζ(a, b) k b = a ( ) k a ζ(a, b)k b = a Dénition : Une catégorie nie A a Caratéristique d'euler si elle admet à la fois pondération et copondération. Le caractéristique d'euler dé- nie par : X (A) = k a = k a. a a Pour toute pondération k et copondération k. Si A est une catégorie nie avec inversion de Möbius et admet de caractéristique d'euler, χ(a) = a,b µ(a, b). Exemple : Soit A une catégorie monoïde d'ordre n alors X (A) = 1/n. Lemme : Soit M une matrice carrée d'ordre 2 dénie par : ( ) a b M A = c d, si le déterminant est 0 alors χ(a) = a + d b c. ad bc 33 b k a.