Corrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT

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θάνατος Μανωλάς
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1 Corrigé exercices série # sur la théorie des ortefeuilles, le CA et l AT Exercice N et Q ayant la même espérance de rentabilité, formons un portefeuille de même espérance de rentabilité, de poids investi dans et de poids (-) investi dans Q. inimisons la variance de ce portefeuille : + ( ) Q + ( ) Q choisissant correctement. en La dérivée de la variance par rapport à est égale à : ( ) Q + ( ) Q Cette dérivée est nulle pour la variance minimale. De plus, on sait que est l optimum puisque seul est efficient. D où : Comme car Q Q 0 Q ρ Q Q Q, on a puisque est efficient. ρ Q qui est strictement positif mais Q Exercice N Exercice N 3 Comme tous les actifs sont identiques en termes d espérance et de variance, le portefeuille optimal est équi-pondéré. Chaque poids vaut donc. La variance n du portefeuille est : n n i. i car toutes les covariances sont nulles. Ce i i n n portefeuille équi-pondéré a la même rentabilité espérée que chaque actif individuel mais a une variance divisée par n. Il est donc le portefeuille minimum-variance, il est unique, et domine ainsi tous les autres portefeuilles. On a : μ μ 0 + 0, + 0,75( 0,) 0, 75 i (le 0 vient du fait que le CA tient). (r f ) ( v r m-r f ) cas sont envisagés T xi i ε + β m i 0 0 et donc : 0, 79 a) [ 0,5] + ( 0,75) *0,0 0,05 + 0,05 0, 075 T 0*9 T 0,075 (on rajoute les termes de covariances) 0 b) + *( 0,5) *0,6 0, 85

2 et donc : T 0, 7 Exercice N a) ( x) 0,0 + x 0,75 xt 0, 79x x # 70 % μ 5,5% b) 0,0 + 0,075x x 0, 7 x x # 8,% μ,3% 0 r +,9λ 0,6λ r + 0,9λ +,λ r +,λ + 0,λ T r 8 λ λ 3 ar exemple, si on veut éviter l utilisation des règles de Kramer pour obtenir les 3 inconnues, on peut poser : 0 r,9λ 0.6λ + 0,9λ +,λ +,λ + 0,λ,9λ 0,6λ + 0,9λ +,λ,9λ 0,6λ +,λ + 0,λ λ + λ 0.7 0,7λ + 0,8λ λ 3 λ r 8 a) μ i 8 + b i + 3bi ( λ ) + 0,8λ b) En théorie on doit avoir : 8+*,+0,*33,% les 3% espérés ne sont pas suffisants vendre le titre à découvert. c) CA appliqué à F λ β ( μ ) β λ f λ m r CA appliqué à F λ 3 β λ β λ β 3 λ

3 Vérification : A β A B 8 + βb C 8 + βc β A 3 β B β C 3,9 βλ 0,6βλ 0,9βλ, βλ, βλ 0,βλ Exercice N 5 0, 0, 0, a) rob(x<0)0,3 x < 0,3 < 0, 7 x x x 0, z 0,5... x 0,38 (Voir une table de la loi normale) x idem y, 8 b) Le vecteur des poids optimaux des actifs risqués composant le portefeuille risqué s écrit (R est le coefficient d aversion relative au risque et V la matrice de variance covariance): V R V -. ( μ r) ( μ r) ν + ( μ r) ν ( μ r) ν + ( μ r) ν où les ν ij sont les éléments de la matrice inverse ρ ρ Or V V où Δ est le déterminant de V. ρ Δ ρ Avec la notation μi r i Il faut : (A) numérateur et dénominateur < 0 ou : (B) numérateur et dénominateur > 0 ρ ρ ρ ρ / (A) ˆ ˆ,8 / 0,38 ρ μ > μ ρ >, 666 impossible / / (B) ρ <, 666 (OK) et ˆ μ ˆ > ρμ ρ < 0, 68,666 ρ 0, 68 est la condition de diversification. 3

4 c) On dit avoir : (,8/ 0,38) ( 0,38/,8) ˆ ˆ ( / ) μ ρμ 0, ( / ) ˆ ˆ μ ρμ 0, μ + μ + 0r 0, 0, + 0,3 + 0,09 0 0, ou encore ,9 0 9,9579,567 6, , ,9 6,5658 3, 7, ,5658 0,8 0,9 0,9 0,9 0,358 0,775 00,07 d) rob ( < 0) Car r 0, 0, 0, r rob < < 0,35 ( + + ρ ) ( 0, ,09 + 0,06) ( 0,5) 0, 35 [ ] ( ) < 0,57 N 0,57 0,76 0,8 8,% Exercice N 6 a) d [ ce² be + a] 0,6 0,0 μ 0,9 μ 0,0 ( ) 6,5 ( ) 5 ' a μ v μ 0 0 0,9 0, ,9 0,0 [ 0,9 0,],5 0,

5 b ' v μ 3,6875 μ c ' v 3.5,8%b/c d ac b,6565 b) [ 3,5E² 7,375E + 0,7565],6565 Les coordonnées du sommet de la parabole (portefeuille minimum variance) sont b S S, S (0,03; 0,8) c c Composition du portefeuille minimum variance : ( ) μ 9 + 0( ) 9 + 0,,8 μ + 8 0, - 0,8 c) ( μ r) / 0,/ 0,6 0, ( ) / 0,05/ 0,0 7 μ r,8% et (-) 58,8% d) L espérance et la variance du portefeuille tangent optimal sont donc égales à : E T T μ + μ 3,706% + 0,07+ 0,038 0,009 /c0,03 e) On vérifie que [ ce be + a] 0, 009 d. Exercice N 7 a) Formons un portefeuille constitué du portefeuille de marché et du taux sans risque ; alors : μ r + ( + ) μ et ( ) μ r μ r +, droite dans le plan (μ, ) b) La corrélation entre tous les portefeuilles efficients est parfaite (), car CL (Capital arket Line) est droite. 5

6 ar exemple : β du fait de la CL ρ ρ. c) CA si même μ, même β! β β ½ β 0 d) S Exprimons le fait que l on peut obtenir S à partir d une combinaison linéaire de et. Dès lors : μ μ S + ( ) μ ( ) ² + 0 S + Comme S est minimum variance, on doit avoir : S 0 ( ) 0. / + 0, puisque ( ) ] [ est positif. μ < μs < μ arkowitz. est sur la partie basse (inefficace) de l hyperbole de 6

7 Exercice N 8 a) μ 9 %, μ 8%, 0. Comme 0, n augmenterait pas pour un accroissement très petit du poids de dans. En effet, d après la théorie :, et donc ici 0. b) Il serait bon d augmenter le poids (au moins marginalement) car, puisque μ > μ, on augmenterait la rentabilité espérée du portefeuille sans modifier son risque (du fait de a)). Exercice N 9 L utilité de la richesse des individus est donnée par : a) Anticipations homogènes u w our Jean, l utilité procurée par le passage devant la justice est donnée par : u ( proba 0,5); ( proba 0,5) our Jacques : u 0 ( proba 0,5) ;00000( proba 0,5) 30 Règlement amiable : essayons 50 K chacun par exemple puisque les individus sont d accord sur les probabilités : Jean (> 689) Jacques (> 30). Comme tous les deux ont une utilité supérieure, ils vont accepter ce partage amiable (il y en a en fait beaucoup d autres). b) Anticipations hétérogènes our Jean : u ; /0 9 /0 our Jacques : u 0 ; /0 9 /0 as d'accord amiable possible, chacun des ou au moins l un des y perdant par rapport à aller au procès. 7

8 Solution mathématique : prendre x et (- x) et montrer que x u (Jean) + u (Jacques) amiable < Exercice N 0 VN du projet : V t R θ cov( R ~, ~ r ) m 6% 5605, 8V t ( + r ) rf, f 5605 V [ ,09V ] V ,0 0,9,8 r f ]., [d'ailleurs k a 0,90,0 + β( μ ) 0,0 + ( 0,06) 0, 9 8

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