# MÉTHODES ET EXERCICES

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

## Transcript

1 J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition

2 Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, rue Paul Bert, Malakoff ISBN

3

4 K n,p(k) n(k) n(k) n,(k) n,(k) n(k) n(k)n(k) F F F F F (un)n N n N, un+2 = un R F R 3 u =(1, 1, 0) v =(1, 0, 1) w =(1, 2, 1) F = (u, v, w). F a =(an)n N, b =(bn)n N F a0 =1, a1 =0, b0 =0, b1 =1, F = (a, b) F R N F F F (u, v, w) F (u, v) (u, v, w) 2u v =2(1, 1, 0) (1, 0, 1) = (1, 2, 1) = w. (u, v) F B F (F )= (B) (F + G)+ (F G) = (F )+ (G).

5 P, Q K[] (P + Q) ( (P ), (Q) ) (P ) (Q) P K[] (P )= (P ) 1 A K[] ( 3 +1)A =0 A =0 a, b K, P K[] P (a) =P (b) =0 ( a)( b) P n n N P (k) (a),a K, P Kn[] P () = ( a) k k! C[] C k=0 P R[] R[] (S, P ) C 2 S P 2 SX + P P R[] 0 un ( n 1 n n n n) n n2 +3n +2 n! n n 2 +3n +1 n n 1 ( n n ) 1 n n n. an R+, n0 un = an 1, vn = an an 1, wn =, xn = an. 2 1+an n N 1 un = n n +1+(n +1) n. n N, un = 1 1. n n +1 n1 un + an n=1 un. 1 a ]1 ; + [, a +1 = 1 a 1 2 a n x ]1 ; + [ x 2n +1. (φn)n0 φ0 =0,φ1 =1 n N, φn+2 = φn+1 + φn. n N φn n + 2 n. n=0 φn n=0 1 4 (g u) (f u) y (g) (u) y (f) (g) (u) (f) x (g u) x (f u) (g v) (g u) y (v) g(y) (g u) y (u)+ (g) (v) (u)+ (g) z (g v) x E z =(g v)(x) (t, w) E 2 v(x) =u(t)+w z (g u) p f a 0 p 2 = p. f e = f 2 =0 = (f) (f), (f)+ (g) =E, (f) (g) ={0}. x E f ( x f(x) ) (f) (g). f g (f +f ) (f)+ (f ) (f + f, f ) (f, f ). (f 2 ) (f) (f 2 ) (f) {0} (f 2 ) (f) R 3, (f 2 ) (f) y (g f) (g f) f(y) =0 y =0 x E x (g)+ (f) (f)+ (g) x (g f)+ (g f) (p + q) 2 =(p + q) (p + q) =p 2 + p q + q p + q 2. p q p q q p. p q+q p =0, p q (f g +2e) f = e. E u, v L(E) u v = e, v u = e. g (f) g (f) g (f) : (f) G, y g(y). g (f). x E {0}, λx K f(x) =λxx, λx x λx x (x, y) ( E {0} ) 2 f(x), f(y), f(x + y) (x, y)

6 F f f(a) a = 1, b=1,f: t t 2 b 1 1 [ t f 2 ] 1 (t) t = 2t t =2 t t =2 2 a u(x) 1 f(b) f(a) =1 2 ( 1) 2 =0 1. x 2 f : x (x2 ) 2 2x ( x2 )1 = 2x x4 x =1 u, v : I R C 1 I f : J R J u(i) J v(i) J v(x) G : I R, x f(t) t C 1 I x I, G (x) =f ( v(x) ) v (x) f ( u(x) ) u (x). π/2 x 2+ 3 x x = t 3 t. x t t = x x t = x B y x y =0, y = x y = x + 1 x = 1 E(x, y) Δ x x 3 3 y =0 y =0. x F (x, y) E D2, F D2 F D2 y =2x +2 (EF) D2 EF D2 (x + 1 ) 1 3,y (1, 2) y =2x +2 x = x y =0 y = 4 y =1 x 15. x =1 A(x, y) D1 D3 y = 1 2 x 1 y =0 ( 2 y =1 x x = 1 F 13 15, 4 ) D1 x + y 1= B(x, y) D1 D2 y =2x +2 y = 4 13 d(f, D1) = = = 4 2 1, y =2x +2 x = 5 3 C(x, y) D2 D3 y = 1 2 x 1 2 y = 4 B =(i, j, k) E3 3. (a, b, c) R 3 ai + bj + ck =0. i BC 2 = (( BC 2 = ) 2 ( ) 2 ) = i (ai + bj + ck ) 3 ( 16 = ) = ai i + bi j + ci k = = 4 5 2, ( ) = ai (j k)+bi (k i)+ci (i j) [i, j, k] α = ( CA, ( ) 8/3 = a CB) [2π]. CA 4/3 ( 2 u, 1) ( ) 4/3 CB b =0, c =0 8/3 ( 1 B v, 2) E3 3 B E3 u v α = u v = 4 5, i = j k [i,j,k j k =(k i) (i j). ] ( i, j ) ( u, v )= =3> 0, j k = ( (k i) j ) i ( (k i) i ) j =[k, i, j]i =[i, j, k]i, α>0. α = [i,j,k ]=i (j k )=i ([i, j, k]i) (j k) i D1 (1, 1), Δ C ( 5/3, 4/3 ) =[i, j, k] =[j, k, i] =[i, j, k], [i, j, k] D1 i = i j = j, k = k ( ( 1 x 5 )) ( ( +( 1) y 4 )) =0, B = B 3 3 D2 C F E A Δ D1 D3

7

8

9 ,, E, \

10 E A, B, C P(E) (A\C)\(B\C) =A\(B C). (A \ C) \ (B \ C) = (A C) \ (B C) = (A C) B C = (A C) (B C) = (A C B) (A C C) = A B C = A (B C) = A \ (B C). A B B A E A, B P(E) (A \ B) (A \ C) =A \ (B C). (A \ B) (A \ C) = (A B) (A C) = A (B C) = A B C = A \ (B C).

11 { y R ; x [ 1; 2], y = x 2 } =[0;4]. y R x [ 1; 2] y = x 2 x [ 1; 0] y [0 ; 1] x [0 ; 2] y [0 ; 4] y [0 ; 4] y [0 ; 4] x = yx [0 ; 2] [ 1; 2] y = x 2 P(n) n n n 0 P(n 0 ) n n n 0 P(n) P(n +1) (φ n) n N φ 0 =0, φ 1 =1 n N, φ n+2 = φ n+1 + φ n. n =0 φ 2 1 φ 2φ 0 = =1=( 1) 0, n =0 n N φ 2 n+2 φ n+3 φ n+1 = φ 2 n+2 (φ n+2 + φ n+1 )φ n+1 n N, φ 2 n+1 φ n+2φ n =( 1) n. P(n) n n n 0 = (φ 2 n+2 φ n+2 φ n+1 ) φ 2 n+1 = φ n+2 (φ n+2 φ n+1 ) φ 2 n+1 = φ n+2 φ n φ 2 n+1 = (φ 2 n+1 φ n+2φ n) = ( 1) n = ( 1) n+1, n +1 n N P(n 0 ) P(n 0 +1) n n n 0 P(n) P(n +1) P(n +2)

12 (u n) n N u 0 =0,u 1 =1 n N, u n+2 = u n+1 + u n. 2 n N, u n > 0. n =1u 1 =1> 0 n =2 u 2 = u 1 + u 0 = 1 > 0 n =1 2 2 n =2 n n +1 n N u n > 0 u n+1 > 0 u n+1 + u n > 0, 2 n +2 n N P(n) n n n 0 P(n 0 ) n n n 0 P(n 0 ),..., P(n) P(n +1) (u n) n N u 1 =1 n N, u n+1 = u 1 + u un n n n. n N, 0 <u n 1. n =1 0 <u 1 1 u 1 =1 n N k {1,..., n}, 0 <u k 1. u n+1 = u 1 + u un n n n > n n =0 u n+1 = u 1 + u un n n n n n = n n n = 1 1. nn 1 n N, 0 <u n 1.

13 E f : E E f f = E f f 1 = f. (x 1,x 2 ) E 2 f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 =(f f)(x 1 )=f ( f(x 1 ) ) = f ( f(x 2 ) ) =(f f)(x 2 )=x 2. f y E y =(f f)(y) =f ( f(y) ), x E x = f(y) y = f(x) f f f f 1 f 1 = f 1 E = f 1 (f f) =(f 1 f) f = E f = f. f : E F, A P(E), A P(F ) f(a) = { y F ; a A, y = f(x) }, f 1 (A )= { x E ; f(x) A }. y F y f(a) ( a A, y = f(a) ) x E x f 1 (A ) f(x) A. E,F f : E F A P(F ) f 1( ) F (A ( ) = E f 1 (A ) ). R E x E x f 1( ) F (A ) f(x) F (A ) f(x) / A ( f(x) A ) ( x f 1 (A ) ) ( x E f 1 (A ) ), R x E, xr x ( ) R (x, y) E 2, x R y = y R x { R (x, y, z) E 3, x R y y R z = x R z.

14 R R (x, y) R 2 ( ), x R y x = y. R R x R x R x R, x = x x R x R x, y R x R y x = y y = x y R x, R x, y, z R { { x R y x = y = x = z x R z, y R z y = z R R R x R x R { {x, x} x 0 x = {y R ; x R y} = {y R ; x = y } = {0} x =0.

15 A, B E A B = B E (A). A, B E A B = A B. x R, y R, x y. y R, x R, x y. f : E F g : F G g f g f f g f : E E f f = E f f 1 = f f : E E f f = f f = E E,F f : E F A, B E f(a B) =f(a) f(b). E,F f : E F A, B E f(a B) =f(a) f(b).

16 E A, B, C P(E) (A B) C A (B C). A C E A, B, C P(E) A B = A C A B = A C. f R R f(x) = 3x 1 x 2. a f b f g f R\{a} R\{b} g 1 g f,g : R R x R f(x) =1+x, g(x) =x 2. f g g f. f g = g f (L n ) n N L 0 =2,L 1 =1 n N, L n+2 = L n+1 + L n. n N L 2 n+1 L n L n+2 =5( 1) n+1 n L 2 k = L n L n+1 +2 k=0 L 2n = L 2 n 2( 1) n L 2n+1 = L n L n+1 ( 1) n

17 R R R (x, y) R 2, ( x R y x 2 2x = y 2 2y ). R R x R x R E,F A 1,A 2 E B 1,B 2 F (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )=(A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ). (A 1 B 1 ) (A 2 B 1 )=(A 1 A 2 ) B 1. (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )=(A 1 A 2 ) (B 1 B 2 )? E A, B, C P(E) 1) A \ B C, 2) A \ C B, 3) A B C. E,F f : E F, g : F G f g f = f f g g f g = g g f (u n ) n N u 0 =1 n N, u n Q +. n N, u n+1 = n k=0 u k k!(n k)!. E A P(E) A A : E {0, 1}, x { 0 x / A 1 x A. 1 P(E) {0, 1} 1

18 A, B P(E) A = B A = B, A =1 A, A B = A B, A B = A + B A B, A\B = A A B. A, B P(E) A (A B) =A A (A B) =A. E,F,G f : E F, g : F G g f f g f g g f f g E,F f : E F, g : F E g f g f g E,E f : E E A, B E A B = f(a) f(b) A f 1( f(a) ) f(a B) =f(a) f(b) f(a B) f(a) f(b) E,E f : E E A,B E A B = f 1 (A ) f 1 (B ) f ( f 1 (A ) ) f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ) A f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ) E A, B E A B =(A B) (A B), A B. A B E = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2}, B = {1, 3} E = R, A =] ;2], B =[1;+ [ (A, B) ( P(E) ) 2, A B =(A B) (B A). (A, B) ( P(E) ) 2 A B = A + B 2 A B. P(E), (A, B, C) ( P(E) ) 3, (A B) C = A (B C).

19 A B = A C x A B x A C B C a =2. b =3. y = f(x), x y. x R, (f g)(x) (g f)(x) x R n f : R R, x x 2 2x ( ) x x R y R, y x x R y. (a, b) (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) A 1 B 2 = = B C x E f(x) x =(g ( f(x) ) x 1,x 2 E f(x 1 )=f(x 2 ) g g = g f g x 1 = x 2 n A = B a A A B x E x A, x / A x E x A B, x / A B A (A B) A (A B). (g f) g g (f g). A B y f(a) E f a A f(a) f(b) f(a B). y f(a B) E f A B x f 1 (A ) F f y f ( f 1 (A ) ) x f 1 (A B ) x f 1 (A B ) A B = {2, 3}, A B =] ;1[ ]2 ; + [. A B X, Y X =1 X, X Y = X Y, X Y = X + Y X Y.

20 B E (A) ( x B, x / A ) ( ( x B, x A) ) ( (A B ) ) A B =. E = {1, 2}, A= {1}, B= {2}. A B = A B. y = x +1 y x E = F = G = R, f: x x,g: y y. g f : x x = x, g f g f (x 1,x 2 ) E 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) f ( f(x 1 ) ) = f ( f(x 2 ) ) x 1 = x 2 f y E y = f ( f(y) ) f f 1 f = f 1 E = R, f: R R, x 0 y f(a B) x A B y = f(x) x A f(x) A x B f(x) f(b) f(x) f(a) f(b) f(a B) f(a) f(b) y f(a) f(b) y f(a) y f(b) y f(a) x A y = f(x) x A B y = f(x) y f(a B) y f(b) y f(a B) f(a) f(b) f(a B) f(a B) =f(a) f(b) E = F = R, f: R R, x x 2,A= R,B= R + A B = {0}, f(a B) ={0}, f(a) =R +,f(b) =R +,f(a) f(b) =R +

21 (A B) C =(A C) (B C) A (B C). }{{} A (A B) C = A (B C) x A x A (B C) =(A B) C, x C. A C A C (A B) C =(A C) (B C) =A (B C). }{{} = A A C (B, C) (B, C) A B = A C = A B = A C = A B = A C = A (A B) =A (A C) = (A A) (A B) =(A A) (A C) = A B = A C. A B = A C x A B x A x B x A x A C x / A x B x / A C x A C = A C x C x A C x A B x / A x / B x A C A B A C B C A B = A C a =2. (x, y) (R \{2}) R. y = f(x) y = 3x 1 xy 2y =3x 1 x 2 xy 3x =2y 1 (y 3)x =2y 1. y 3, y = f(x) x = 2y 1 y 3 y f 2y 1 y 3. y =3, y = f(x) 0x =5, y f b =3, f g : R \{2} R \{3}, x 3x 1 x 2 f R \{2} R \{3} (x, y) (R \{2}) (R \{3}) y = g(x) y = 3x 1 x 2 x = 2y 1 y 3. y g g g g 1 : R \{3} R \{2}, y 2y 1 y 3. x R (f g)(x) =f ( g(x) ) = f(x 2 )=1+x 2 (g f)(x) =g ( f(x) ) = g(1 + x) =(1+x) 2 =1+2x + x 2. (f g)(1) = 2 (g f)(1) = 4, f g g f. n =0 L 2 n+1 L nl n+2 = L 2 1 L 0 L 2 = = 5 5( 1) n+1 = 5, n =0 n N L 2 n+2 L n+1l n+3 = L 2 n+2 L n+1(l n+2 + L n+1 ) = (L 2 n+2 L n+1l n+2 ) L 2 n+1

22 = L n+2 (L n+2 L n+1 ) L 2 n+1 = L n+2 L n L 2 n+1 = (L 2 n+1 L nl n+2 ) = ( 5( 1) n+1) = 5( 1) n+2, n +1 n n N n n =0 L 2 k = L2 0 =22 =4, k=0 L nl n+1 +2=L 0 L 1 +2=2 1+2=4, n =0 n N n+1 ( n ) L 2 k = L 2 k + L 2 n+1 k=0 k=0 = (L nl n+1 +2)+L 2 n+1 = (L nl n+1 + L 2 n+1)+2 = L n+1 (L n + L n+1 )+2 = L n+1 L n+2 +2, n +1 n n N L 2n = L 0 =2 n =0 L 2 n 2( 1)n =2 2 2=2 L 2n+1 = L 1 =1 L nl n+1 ( 1) n =2 1 1=1, n =0 n N L 2n+2 = L 2n+1 + L 2n = ( L nl n+1 ( 1) n) + ( L 2 n 2( 1)n) = (L nl n+1 + L 2 n) 3( 1) n = L n(l n+1 + L n) 3( 1) n = L nl n+2 3( 1) n = ( L 2 n+1 5( 1) n+1) 3( 1) n = L 2 n+1 +2( 1) n = L 2 n+1 2( 1) n+1 L 2n+3 = L 2n+2 + L 2n+1 = ( L 2 n+1 2( 1)n+1) + ( L nl n+1 ( 1) n) ( ) = L n+1 Ln+1 + L n ( 1) n+1 = L n+1 L n+2 ( 1) n+1, n +1 n n N f : R R, x x 2 2x x R f(x) =f(x) x R x (x, y) R 2 x R y f(x) =f(y) f(y) =f(x) y R x (x, y, z) R 3 x R y y R z f(x) =f(y) f(y) =f(z) f(x) =f(z) x R z R R x R x x R y R y x x R y x 2 2x = y 2 2y x 2 y 2 2x +2y =0 (x y)(x + y 2) = 0 ( y = x y =2 x ). {1} x =1 x = {x, 2 x} x 1. x 1 x =1 2 x 1 (a, b) E F (a, b) (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) ( ) (a, b) A 1 B 1 (a, b) A 2 B 2 ( a A 1 ) ( b B 1 a A2 ) b B 2 ( a A 1 ) ( a A 2 b B1 ) b B 2 ( a A 1 A 2 ) b B 1 B 2 (a, b) (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ), (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )=(A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ). (a, b) E F (a, b) (A 1 B 1 ) (A 2 B 1 ) ( ) (a, b) A 1 B 1 (a, b) A 2 B 1 ( (a A 1 ) a A 2 ) b B 1 ( a A 1 A 2 ) b B 1 (a, b) (A 1 A 2 ) B 1, (A 1 B 1 ) (A 2 B 1 )=(A 1 A 2 ) B 1.

23 (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ) (a, b) a A 1 b B 2 A 1 B 1 A 2 B 2 E = F = {0, 1}, A 1 = B 1 = {0}, A 2 = B 2 = {0, 1}. (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )={(0, 0)} {(1, 1)} (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 )={0, 1} {0, 1} = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }. (0, 1) = A \ B C x A x B x B C x / B x A \ B x C x B C x B C A B C = A B C x A \ B x A x / B x A A B C x B C x B C x / B x C A \ B C B C = C B (B, C) (C, B) f g f = f f x E f(x) =(f g f)(x) =f ( g f(x) ). f x =(g f)(x) =g ( f(x) ). g g f g = g g x 1,x 2 E f(x 1 )=f(x 2 ) g y 1,y 2 F x 1 = g(y 1 ) x 2 = g(y 2 ). x 1 = g(y 1 )=(g f g)(y 1 )=g (f ( g(y 1 ) )) = g ( f(x 1 ) ) = g ( f(x 2 ) ) =(g f g)(y 2 )=g(y 2 )=x 2, f u n+1 u 0,..., u n n =0u 0 =1 Q +. n N u 0,..., u n Q + n u k u n+1 = k!(n k)!, u 0,..., u n Q + k=0 0!, 1!,..., n! N u n+1 Q + n n N, u n Q +. A = B A = B A = B a A B (a) = A (a) =1, a B A B, B A A = B A = B A = B A A x E x A, x / A A (x) =1 A (x) =0 A (x) =1 A (x) x / A x A A (x) =0 A (x) =1 A (x) =1 A (x) x E, A (x) =1 A (x). A =1 A. x E x A B, x A x B A B (x) =1 A (x) =1, B (x) =1 A B (x) = A (x) B (x) ( x / A B x / A x / B A B (x) =0 A (x) =0 B (x) =0 ) A B (x) = A (x) B (x) x E, A B (x) = A (x) B (x). A B = A B A B = 1 A B = 1 A B = 1 A B = 1 (1 A )(1 B ) = 1 (1 A B + A B ) = A + B A B. A\B = A B = A B = A (1 B )= A A B. A, B P(E) A (A B) = A A B = A ( A + B A B ) = A + A B A B = A,

24 A (A B) =A A (A B) = A + A B A A B = A + A B A ( A B )= A + A B A B = A, A (A B) =A A A B A (A B) = A A B A A (A B) =A g f (x 1,x 2 ) E 2 f(x 1 )=f(x 2 ). g f(x 1 )=g ( f(x 1 ) ) = g ( f(x 2 ) ) = g f(x 2 ). g f x 1 = x 2. f g f z G g f x E z = g f(x). z = g ( f(x) ) f(x) F. z G, y F, z = g(y). g g f g f f g g f g g f g g f g (g f) g g = g (f g) g = g. g g 1 g f = g 1 (g f g) g 1, f f g A B y f(a). a A y = f(a) a A B a B y = f(a) f(b). f(a) f(b). a A. f(a) f(a) a f 1( f(a) ). A f 1( f(a) ). A A B = B A B f(a) f(a) f(b) f(b) f(a) f(b) = f(a) f(b) f(a B). y f(a B) x A B y = f(x) x A x B x A f(x) f(a) f(a) f(b) x B f(x) f(b) f(a) f(b) f(x) f(a) f(b) (A B) f(a) f(b) f(a B) =f(a) f(b) A B A f(a B) f(a) = A B B f(a B) f(b) = f(a B) f(a) f(b). A B x f 1 (A ) f(x) A f(x) B x f 1 (B ) f 1 (A ) f 1 (B ). y f ( f 1 (A ) ) x f 1 (A ) y = f(x) x f 1 (A )f(x) A y A f ( f 1 (A ) ) A. x E x f 1 (A B ) f(x) A B ( f(x) A f(x) B ) ( x f 1 (A ) x f 1 (B ) ) x f 1 (A ) f 1 (B ). f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ). x E x f 1 (A B ) f(x) A B ( f(x) A f(x) B ) ( x f 1 (A ) x f 1 (B ) ) x f 1 (A ) f 1 (B ). f 1 (A B )=f 1 (A ) f 1 (B ). E = {1, 2, 3, 4}, A= {1, 2}, B= {1, 3}, A B = {1, 2, 3}, A B = {1}, A B = {2, 3, 4}, A B = {2, 3}.

25 E = R, A =] ;2], B =[1;+ [, A B = R, A B =[1;2], A B =] ;1[ ]2 ; + [, A B =] ;1[ ]2 ; + [. (A, B) ( P(E) ) 2 A B =(A B) (A B) =(A B) (A B) =(A A) (A B) (B A) (B B) =(A B) (B A). (A, B) ( P(E) ) 2 A B = (A B) (B A) = A B + B A A B B A }{{} =0 = A (1 B )+ B (1 A )= A + B 2 A B. (A, B, C) ( P(E) ) 3. (A B) C = A B + C 2 A B C =( A + B 2 A B )+ C 2 ( A + B 2 A B ) C = A + B + C 2( A B + A C + B C )+4 A B C. A (B C) = A + B C 2 A B C = A +( B + C 2 B C ) 2 A ( B + C 2 B C ) = A + B + C 2( A B + A C + B C )+4 A B C. (A B) C = A (B C). (A B) C = A (B C), P(E).

26 n n n k, k 2, q k k=1 k=1 k=0 a n b n n N ( ) n, p ( ) n n! = p p!(n p)! ( ) ( ) ( ) n n n +1 + = p p +1 p +1

27 n N, q R \{1}, n q=0 q k = 1 qn+1 1 q n k = k=1 n(n +1), 2 n k 2 = k=1 n(n + 1)(2n +1) 6 n N, (x, y) R 2, (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k n N n ( 1) k (2k +1)=( 1) n (n +1). k=0 n n =0 n N n ( 1) k (2k +1)=( 1) n (n +1). k=1 n+1 n ( 1) k (2k +1) = ( 1) k (2k +1)+( 1) n+1 (2n +3) k=0 k=0 = ( 1) n (n +1)+( 1) n+1 (2n +3) = ( 1) n+1( (n +1)+(2n +3) ) = ( 1) n+1 (n +2), n +1 n N

### Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

### Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

### (x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

### http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

### f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)

Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f

Διαβάστε περισσότερα

### http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

### = df. f (n) (x) = dn f dx n

Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

### Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Τα σημεία ακροτάτου της συνάρτησης x + 2y + 2z υπό την συνθήκη x 2 + y 2 + z 2 = 1 είναι τα

1. Τα σημεία ακροτάτου της συνάρτησης x + 2y + 2z υπό την συνθήκη x 2 + y 2 + z 2 = 1 είναι τα ±(1/3, 2/3, 2/3). [±(0, 0, 1), ±(0, 1/ 2, 1/ 2), ±(0, 1/ 2, 1/ 2).] 1. Τα σημεία ακροτάτου της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

### 3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

### Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

### d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

### ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

### Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# \$ "# '()!* '+!*, -"*!" \$ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

### !!" #7 \$39 %" (07) ..,..,.. \$ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

1 00 3 !!" 344#7 \$39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) \$ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

### Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή

Διαβάστε περισσότερα

### Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

### (a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

### PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

Διαβάστε περισσότερα

### HONDA. Έτος κατασκευής

Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

### Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.

Διαβάστε περισσότερα

### f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

### ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Προγραμματισμός Γ Λυκείου Μέρος 2 ο ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Προγραμματισμός Γ Λυκείου Μέρος 2 ο ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 4 - - 75 - true true - false

Διαβάστε περισσότερα

### SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # \$ % ' ( )!\$*! " "! "+ +, \$,,-,,.-./,, -.0",#,, 12\$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

### Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)

Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche

Διαβάστε περισσότερα

### f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.

Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε

Διαβάστε περισσότερα

### Jean Pierre Serre. Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p

Jean Pierre Serre Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p. 1-42. 2 0 X X X X X Kähler 1 X X X Chow X n 12 1 H. Cartan [3] H. Cartan W-L. Chow

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

### Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

### TALAR ROSA -. / ',)45\$%"67789

TALAR ROSA!"#"\$"%\$&'\$%(" )*"+%(""%\$," *\$ -. / 0"\$%%"\$&'1)2\$3!"\$ ',)45\$%"67789 ," %"(%:,;,"%,\$"\$)\$*2

Διαβάστε περισσότερα

### Integrala nedefinită (primitive)

nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

### Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

### Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

### Στοχαστικές διαδικασίες. Γραµµικά συστήµατα. Αλυσίδες Markov. Θεωρία πληροφοριών. Γιάννης Α. Φίλης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Στοχαστικές διαδικασίες Γραµµικά συστήµατα Αλυσίδες Markov Θεωρία πληροφοριών Γιάννης Α Φίλης Πολυτεχνείο Κρήτης - Σεπτέµβριος 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ I ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

### ]Zp _[ I 8G4G /<4 6EE =A>/8E>4 06? E6/<; 6008:6> /8= 4; /823 ;1A :40 >176/812; 98/< ;76//40823 E182/;G g= = 4/<1

! " #\$ # %\$ & ' ( ) *+, ( -+./0123 045067/812 15 96:4; 82 /178/? = 1@4> 82/01@A74; B824= 6/87 60/8567/; C 71 04D47/10; C 82/1 /

Διαβάστε περισσότερα

### Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

### Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

### !! " &' ': " /.., c #\$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #\$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, \$%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"\$

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)

Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.

Διαβάστε περισσότερα

### Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

### Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

### ... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.

Διαβάστε περισσότερα

### !"#\$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=

! " #\$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C

Διαβάστε περισσότερα

### A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

### Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

### Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

### Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

### ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

### Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

### Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

### M p f(p, q) = (p + q) O(1)

l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

### !"! #!"!!\$ #\$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *\$' *.!! )#/'.0! )#/.*!\$,)# * % \$ %!!#!!%#'!)\$! #,# #!%# ##& )\$&# 11!!#2!

# \$ #\$ % (% # )*%%# )# )\$ % # * *\$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* \$,)# )#/ * % \$ % # %# )\$ #,# # %# ## )\$# 11 #2 #**##%% \$#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #\$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

### d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

### Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors)

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Γυμνασίου (Juniors) Δάτης Καλάλη Στον παππού και στην γιαγιά μου Πρόλογος Οι διαγωνισμοί των μαθηματικών διοργανώνονται στις περισσότερες χώρες σε εθνικό και διεθνή

Διαβάστε περισσότερα

### Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

### Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

### 2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο

1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

### a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

### (a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

### March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

### X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

### Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

### Χώροι L p. Κεφάλαιο Χώροι L p. L p (E) όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων f : E [, ] για τις οποίες

Κεφάλαιο 4 Χώροι L p 4.1 Χώροι L p Εστω µετρήσιµο υποσύνολο του και έστω 1 p

Διαβάστε περισσότερα

### Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

### Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

### Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

### Τρίτη 4 εκεµβρίου m + 4Z

ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 4 εκεµβρίου 202 Ασκηση. Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

### MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector

s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

### !"! # \$ %"" & ' ( ! " # '' # \$ # # " %( *++*

!"! # \$ %"" & ' (! " # \$% & %) '' # \$ # # '# " %( *++* #'' # \$,-"*++* )' )'' # \$ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" \$" % & &'"

Διαβάστε περισσότερα

### [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

### (1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

### Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

### Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

### ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:

Διαβάστε περισσότερα

### الهندسة ( )( ) مذكرة رقم 14 :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين وأمثلةمحلولة اھافواراتاة ارس : ( ) ( ) I. #"ر! :#"! 1 :ااءا&%\$: v

الهندسة مذكرة رقم :ملخص لدرس:الجداءالسلمي مع تمارين أمثلةمحللة اھافاراتاة ارس : EFiEG EF EG ( FEG) 6 EF EG ( FEG) 6 FEG 6 ( FEG ) 6 I. #"ر! :#"! :ااءا&%\$: u u : اى.( ) H ا ادي C ا u ا#اءا! ھا#د ا! ا(ي

Διαβάστε περισσότερα