Introduction à l analyse numérique

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Introduction à l analyse numérique"

Transcript

1 Introduction à l analyse numérique Jacques Rappaz Marco Picasso Presses polytechniques et universitaires romandes

2 Les auteurs et l éditeur remercient l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage. LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DU PROFESSEUR ROBERT C. DALANG Recherche opérationnelle pour ingénieurs I Dominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche Recherche opérationnelle pour ingénieurs II Jean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra Calcul différentiel et intégral Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1 Fonctions réelles d une variable réelle Fonctions réelles de plusieurs variables réelles 3 Fonctions réelles d une variable réelle Exercices résolus 4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles Exercices résolus Algèbre linéaire Aide-mémoire, exercices et applications Robert C. Dalang et Amel Chaabouni Analyse avancée pour ingénieurs Bernard Dacorogna, Chiara Tanteri Initiation aux probabilités Sheldon M. Ross Cours d Analyse Srishti D. Chatterji 1 Analyse vectorielle Analyse complexe 3 Equations différentielles DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L INGÉNIEUR» Introduction à la statistique Stephan Morgenthaler Aide-mémoire d analyse Heinrich Matzinger Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d autres universités et écoles d ingénieurs francophones. Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL Centre Midi, CH-115 Lausanne, par à ppur@epfl.ch, par téléphone au () , ou par fax au () ISBN X 199,, 4, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH 115 Lausanne Imprimé en Italie Tous droits réservés. Reproduction, même partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l accord écrit de l éditeur.

3 ! # $ ' ( ) +,. ) # $ ' 1 $ 4 5 # $ 9 ' 4, 4 5 # $ + = 4 + +? 4 5 # $ 4 $ $ $! # # 9 ' ) + +? 4 #, +! # ) # $ + ) (? 4 $! # $$ 1 $., # $9 +, # I # $! J ( ) $ I! ( 4 N O ( # $ 4 # # $ ( $ ) ), ( 4 5 #! # 9 # $$ 1 $., # $! J( ) $ V J 4! #! J ) +! 4 ) # ) ( 9 # $ $ 4 #! # $ 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # $ + [ + )! 4 # $ # ), ' (, 4 5 # $ ] ' 9 ) #! # 9 # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # b # ( # + 4 ( # 1 # d 4 ) $ 4 # $ ( ) $! # 1 # # #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # $ ( ) $! # 1 # = #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) ( O + N 4 O # # # $ ( ) $! # 1 # ' 1 # = #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! # ) $ + V O 4 # $ $ # l ) 4 # m + 9 ' 5 # 1 #! J( ) 4 # I 4 $ #! # ) +, = # $ # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ V! 4 $ + $ ) 9 $ $ ( # $ 9 (? + 4 # $ d 4 ) $ 4 + ) #! #, ( ' +! # $! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ( (, # ) $ l ) 4 $! # O +, # $ l ) 4 $! #, ( ' +! # $ $ # 9 # $ # 9 J 4 4 $ 4 + )! # 9 # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ ) ( 9 # $ $ 4 # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 #! J + 4 $! # = $ # # $ 5 # J4 ) # ) + 1 ) t, 4 #! ( 4 O 4 + )# J 4 ) (? 4 + ) ), ( N 4 5 #! J ) # [ + ) ) ( $ )! #? )! $ $ 1 $., # $ 4 ) ( 4 # $ # ) + ) 4 ) ( 4 # $ J 4 ) (? 4 + )! J ( ) $! 4 h ( # ) 4 # # $ +! 4 ) 4 # $ w # I 4 $ #! # ) +, = # I + O? # $ 9 + ) $ 9 ( $ V J(! #, ' (, 4 5 # # V ( $ )), ( 4 5 #! # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ ] # 4 O # ) J $ ( # ) 4 + )! J b # )# I + $ ( # I ' $ 4 [ $ # $ z # m 9 + ) # 4 + =! # [ + ) 4 # 9 # # $ ) ) $! # = $ # l )! # + O + 4 = +! #! # # $ + =., # $ # 9 + ) # )! # 9 # 4 O # # $ ) # O # $ 4 + ) ( + h ( #! 9 + $ ( 5 # # # N, 4 # # # ) $ # 4? ) #! # 4 $ $ 4 # $ ) ) ( # $ I (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! #, 4 # #! # J{ 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # # 4 O # # $! 4 O 4 $ ( # ) } 9 ' 4 # $ 9 ' 5 # 9 ' 4 # ( ) 4 N, b, #! 4 O 4 $ ( # ) $ # ) $ # $ #, 4. # $ $ # 9 N 4 + ) $! # 9 ' 5 # 9 ' 4 #9 + ) 4 # ) ) # )? ( ) ( #, # )! # $?, # ) $ $ 4, # $ # $! # ) 4. # $ $ # ) $! ( O # + # )! # $ ) ) $ $ 9 +, # I # $ J O ) N! # ) 4. # $ # 9 N 4 + )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ # I # # $ 9 + 4? ( $! #$ + # 5 # # # 9 # 4 $ $ # z? # $ + ) ) 4 O #! # 9 +, ( ' # ) $ 4 + ) { ) l )! # ) 4. # $ # )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ ) + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # 9 +,, # ) 4 # $! # $ 4 ) ( $ I 4 )? ( N ) 4 # $ $ # ) $ 4, 4 + ) ), ( 4 5 #! ) $ # $ O I! # # 9 ' # 9 ' # # $ } #, 4 # $ 9 ' 4 # $ # I + $ # ) # $ + 4 $! # = $ #! # J ) 1 $ # ), ( 4 5 # ] # $ + 4 $ $ + ) 9 + ) # ) $! ) $! # $ +? # $! # 9 9 $ 9 4 # ) 4 l 5 #! 4 $ N + ) 4 = # $! ) $ # 9 +,, # 9 # # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ $ + ) 9 + ) $ 9 ( $ V J ) 1 $ # ), ( 4 5 #! # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # $ + )! # # 9 # $! 4 ƒ 9 4 # 5 # # $ ( 9 (! # ) $ + # [ + 4 $ J + O? # ( ( 9 + )! # $ + # 5 # # $ #, 4. # $ O

4 O 4 $ # ) $! # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ # $ # ) = +! = # $! # $ (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! # #, 4 # # ) 4 O # $ 4 4 # # $, ' (, 4 5 # $ 9 + ) # ) # $! ) $ 9 # 4 O # $ + ) # )? )! # 4 # # ) $ # 4? ) ( # $ # $! # I # $ I (! 4 ) $! #, 4 # #! # $ $ # ) $! #? ( ) 4 # 9 4 N O 4? ( ) 4 #, ( 9 ) 4 5 #, ( 4 I, # 9 ' ) 4 5 # ' 1 $ 4 5 # 4 ) [ +, 4 5 # $ 1 $., # $! # 9 +,, ) ) $! # J { 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # 9 +, ( ' # ) $ 4 + )! # 9 # $, ' (, 4 5 # $ # 5 4 # ) # = + ) ) # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # ( N = #! 9 9! 4 h ( # ) 4 # # 4 ) (? #! # J?. = # 4 ) ( 4 #, 4. # $? ( ) ( # N, # ) # ) $ # 4? ) ( # $ + $! # #, 4. # ) ) ( #! J (! # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ ) $ ) $ + 9 4! # 9 + ) 9 4 $ 4 + ) 5 # 5 # $ ( $ $ $ + ) ( ) + ) 9 ( $ $ ) $! (, + ) $ N 4 + ) ] # # )! ) # $ # $ $ # $ + ) # h + 9 ( $! #, 4 ) # ) 4 ) # 9 # 4 ) # 4? #, ' (, 4 5 #! ) $ [ +, 4 + )! # 9 # $ ( $ $ # $ # $ 4 # ) ) # ) V #, # 9 4 # + ) $ 4 # # m + [ # $ $ # ] ' # z 4 4 N # 9 #! # 9 + # ), ' (, 4 5 # $! # $ m # $ $ # $ m + 1 # 9 ' ) 4 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ +, )! # $ + $ # $ # ) 9 +? #, # ) $ # $ + ) 4 ) ( b V = )! # 9 # + N O? # # O 4! #! 9 1 +? ' 4 # ( ( # h # 9 ( O # 9? )! $ + 4 )!, # + $ # 4 J # # + O # # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # # # $ #, # 9 4 #, # ) $! # $! # I # $

5 _ /! # % ' +, ' # % } } m + $ )! + =., # } } / $ #! #? )? # } 1 w ) # )! #? )? # 1 } w ) # )! J ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # ) + 1 ) t, # } w ) # )! J 3 #, 4 # 4 } 5 w ) # ) 4 ) # O # $ 6 } 4 { I # # $ } / } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } : ; = #?, ' # % % D = # F D G / } ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! # + ) 9 # } 4 / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! J + )! 4 $ } 6 / 1 ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # # $ / / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # $ ( 4 # / 1 / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $ # 4 ) # ) / / 5 { I )! # 4 9 '! $ + ) / / 4 { I # # $ / 4 / 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 } N O % ' = R, ' # % % D = # F D W X D F D,, ' D N N 1 } ] ( ) ( 4 ( $ / m + 4! $! J ) # [ +, #! # 5! # , #! # 9 )? # 1 +, #! # 4, $ + ) } 1 +, # $! # ] $ $ N #? # )! # / 1 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ ` = D ' # % d ' # %=, # Wf # # %, ' # % h, D W j d ', k % # ' # %% = W j d ' D = ' # %= m } m + $ )! + =., # } / { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ $ ) # I #, # / 1 d? + 4 ', #! J ( 4, 4 ) 4 + ) 1 9 +, = #! J+ ( 4 + ) $ + J( 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ 4 { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O + O 4 4

6 G O $., # $, 9 + )! ) ) ( $ $., # $ $! ( #, 4 ) ( $ ( ' +! #! # $, + 4 )! # $ 9 ( $ 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 5 4 m ; = k + # ' # % W ; = k + # ' # % d LU } ( 9 +, + $ ) 5 6 LU / 4 4 (! #! ( 9 +, + $ ) 4 / LU 1 ( 9 +, + $ ) LU O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O # $ $ 1, ( 4 5 # $! ( l ) 4 # $ + $ 4 4 O # $ ( 9 +, + $ )! # ] ' + # $ # $! # = )! # 4 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 ` = D ' # % d ' # % =, # +, = ' # ' =, ' #? # m 5 } ] ( ) ( 4 ( $ ( ' +! # $! # 9 + = 4 # ] $ $ N # 4! # 5 / ) # I #, # ( ' +! # $! # # I 4 + ), ( ' +! # $ 6 5 ( ' +! # $!?! 4 # ) #!?! 4 # ) 9 + ) z? ( 6 / 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } / & = ' % D = # F D + D k, k D?, D + +! D%, ' # k d = ' # F D ( m 4 } ] ( ) ( 4 ( $ } 4 / ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # } ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # 4 ) O # $ # } 6 4 ( ' +! #! # 9 + = 4 } } } 4 { I # # $ } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } } 4 # f F D, ' # % ' d '! = F D, ' # % %% # %=, # } { ) $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ *? ( ) ( 4 ( $ } } 6 / ( ' +! # $! # + 4 ) l I # *? ( ) ( 4 ( $ } / } 1 ( ' +! #! # 9 # - + ) #, ( ' +! #! # 9 +! # } / 1 $., # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ } / 4 { I # # $ } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 1 f F D, ' # % # / = % ' # N G 6 } { ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! #, 4 # +! # *? ( ) ( 4 ( $ } / m + =., # $ ), ( 4 5 #, # ), + $ ( $ } ' (, $! J { # } } 6 ( ' +! # $! # )? # N! J +! # / } 6 ( ' +! #! # )? # N 9 $ $ 4 5 # } $., # $! 4 h ( # ) 4 # $! #, 4 # +! # } 4

7 4 I 6 4 { ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! J+! # $ ( 4 # } 6 { I # # $ } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } ( ; # / = %k %# ' = = % ' % # + D +, D # # ' D %# # % # %% m m } } ) + =., # I 4, 4 # $ ) 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # } } / ( ' +! #! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 5 } 1 ( ' +! #! # ] # 4 ) } 4 } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( } } 5 } } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( / } 5 } 5 d + I 4, 4 + )! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ) + =., # I 4, 4 # $ ) + ) 4 ) ( 4 # } 5 4 } 4 { I # # $ } 5 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ }41 % = '! = = % ' % # + D!, ++ #, ' # % + # +' # F D G m } } } m + =., # $ # # $ # [ +, 4 + ) O ) ) # # }4 } } / { (, # ) $ l ) 4 $ 4 )? 4 # $! #! #? ( } }46 } } 1 ) # I #, # # } } } } { $ 4, 4 + ) $! J # # $ #, ( ' +! # $! #! #? ( $ ( 4 # } } } { I # # $ } 5 } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 6 1 : + + #, ' # % + +,, # F D W, k, D m } / } { )! # 9 ' # } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 6 } / / { )! # 9 ' # } # ( (, # ) $ l ) 4 $ } 6 } / 1 m + =., # $ = # $ / # # $ + I 4, 4 + ) $ / / } / ) # I #, # # / } / { I # # $ / } / # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / N + + #, ' # % + d + # F D W f F D, ' # % ', % + ' ' = F D, ' # % % : ( } 1 } { )! # ) $ + } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / 6 } 1 / { )! # $ + )! # $ } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / } 1 } 1 1 { ) $! # $ + )! # $ / # ( (, # ) $ l ) 4 $ / } } 1 { )! # ) $ + } ) + ) 4 ) ( 4 # / / } 1 { I # # $ / / / } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / / 5 _ + + #, ' # % + k %? k ' # % # / D # % :: } } ) + =., #! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / / 6 } / ) + =., #! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # ( (, # ) $ l ) 4 $ / 1

8 I } 1 m + =., # $ = 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # $! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) / 1 4 } { I # # $ / 1 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ /

9 " $ & ( *+,. + $ + ) $ 5 # J+ ) O # 4 # 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, # p! #! #? ( n 5 4 +! # $ O # $ t t 1 t... t n! 4 $ 4 ) 9 # $! + ) ) ( # $ # ) ) # # $ O # $ p p 1 p... p n # $ # 9 4 O #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # p(t j ) = p j + j n. } } 1 ) #, ) 4. # #,, # ) $ 4, #! # ( $ +! # 9 # + =., # # $! J ( 9 4 # p(t) = a + a 1 t + a t + + a n t n } / a a 1 a... a n $ + )! # $9 + # ƒ 9 4 # ) $ 5 4! # O + ) b #! ( #, 4 ) ( $ 9 4 #, # ) $ 4 # $ 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a j $ + ) 9 + ) ) $ + $ # + 1 ) t, # # $ 9 + ) ) 1 # $ j n p 1 # 4 + ) $ n + 1 } } 1 $ J ( 9 4 O # ) + $ * a + a 1 t j + a t j + a 3t 3 j + + a nt n j = p j, j n. } 1 1 m 4 $ 5 # # $ O # $ t j # p j $ + ) 9 + ) ) # $ # $ # 4 + ) $ j n } 1 1 [ +, # ) ) $ 1 $., #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ (n + 1) (n + 1) a a 1 a... a n ) #, ) 4. #! 4 h ( # ) #! J ( 9 4 # } 1 1 # $ $ 4 O ) # + 4, 4 9 #! ( l ) 4 # * T (n + 1) (n + 1) ; = %# ' # % W : < A B : E > H< J ` : A E L > t a t 1a t a...a t nb 1 t t t 3... t n 1 t 1 t 1 t t n 1 T = 1 t t t 3... t n 1 t 3 t 3 t t n t n t n t 3 n... t n n T J > L N P R P L B A U J X P JB R : J P > > : UA \ J P < _ }

10 / 4 a # p $ + ) # $ (n + 1) N O # 9 # $ ) ) # $ $ 4 O ) $ * a = a a 1 a a n, p = ) + $ + O + ) $ ( 9 4 # } 1 1 $ + $ [ +, #, # #* T a = p. } 1 d 4 ) $ 4 # + =., # 9 + ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # # + 1 ) t, # $ 4 $ [ 4 $ ) p } } 1 # $ # (! # 4 # $ V + ) ( $ )! ) # $ # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # } 1 9 J# $ N V N! 4 # V! ( #, 4 ) # 4 $ 5 # a T p ( $ +! # ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ ) J # $ (n + 1) (n + 1) $ ) # 9 ' # 4 O 4 # 9 ' # 5 1, ( ' +! # 5 # ) + $ O # ) + ) $! #! ( 9 4 # + + O # # + 1 ) t, # ) J# $ $ ) # = + ) ) #, ( ' +! # ) $ $ 4 #) + $ p ( $ # ) + ) $ ) #, ( ' +! # $ $ 9 4 # $ # ) $ 4 # # + 1 ) t, # p.. &. w # $ [ 9 4 #! # ( $ +! # # + =., # } } 1 + $ 5 # + # $ # $ O # $ p j $ + ) (? # $ V ( + $ [ ) # 5 4# $ l I ( # V } + 4 $ + $ + ) $ 5 # J+ ) 4 # + )# ) 4 #! + ) ) ( # ) # # # k n p k = 1 p j = j k + 4 ϕ k [ + ) )! # t! ( l ) 4 # (t t )(t t 1 ) (t t k 1 )(t t k+1 ) (t t n ) ϕ k (t) = (t k t )(t k t 1 ) (t k t k 1 )(t k t k+1 ) (t k t n ). } 1 ] 4 #, # ) # ), ( #! # ϕ k # $ ) +! 4! # #, # $ n (t t j ) O # 9 # j k # $! + ) 9 ) + 1 ) t, #! #! #? ( # ) #! ( ) +, 4 ) #! # n t ϕ k # $ ) # 9 + ) $ ) # # 4 # $ + $ [ 9 4 #! # O ( 4 l # 5 # (i) ϕ k # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( n, (ii) ϕ k (t j $ 4 ) = j k, j n, (iii) ϕ k (t k ) = 1. d 9 ' 5 # + 4 ) t k ) + $ O + ) $! + ) 9 $ $ ( ) + 1 ) t, # ϕ k! #! #? ( n O ) ) # ) t k # ( + I # $ + 4 ) $ t j j k # $ + 1 ) t, # $ ϕ ϕ 1 ϕ... ϕ n $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ { ) # h # $ 4 α α 1 + α $ +... α n $ + ) ) +, = # $ ( # $ # $ 5 # (n + 1) n j= α jϕ j (t) = t R t = t k ) + $ + = # ) + ) $ * = n j= α j ϕ j (t k ) }{{} $ 4 j k 1 $ 4 j=k p p 1 p p n, = α k,

11 1 # 9 + ) $ ( 5 # ) + $ # $ α k $ + ) 4! # ) 4 5 #, # ) ) $ k =, 1,..., n ) $, 4 ) # ) ) P n J # $ 9 # O # # [ +, ( + $ # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) [ ( 4 # + (? V w # $ = 4 # ) 9 + ) ) 5 # n P n # $ ) # $ 9 # O # #! #! 4, # ) $ 4 + ) # 5 # $ = $ # 9 ) + ) 4 5 # # $! + ) ) ( # (n + 1) 1, t, t, t 3,..., t # [ 4 5 # n ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n $ + 4 # )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) ( 4 #, # ) n 4 )! ( # )! ) $, + ) # 5 # 9 # $! # ) 4 # $ [ +, # ) $ $ 4 ) # = $ #! # P n d 4 ) $ 4 ) + $! + # + ) $! ( l ) ) $ 4 O ) # * ; = %# ' # % W : : < A B : E > H < J J > L N P P > J P B P E J@ J P n P > >: UA \ J P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n f + W m # ) + ) $ n = t = 1 t 1 = t = 1 = $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ 1 # 1 # $ [ +, ( # # $ + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ϕ! ( l ) 4 $ ϕ (t) (t t 1)(t t ) (t t 1 )(t t ) = 1 t(t 1) = 1 t 1 t; } 5 1 ϕ 1 (t) (t t )(t t ) (t 1 t )(t 1 t ) = (t + 1)(t 1) = 1 t ; } 4 1 ϕ (t) (t t )(t t 1 ) (t t )(t t 1 ) = 1 (t + 1)t = 1 t + 1 t. } 1 # $? ' # $! # ϕ ϕ 1 ϕ $ J 4 ) # O # [ 1, +1] ) 4 5 #, # ) $ + ) # ( $ # ) ( $! ) $ l? # } } ϕ 1 ϕ ϕ X # R W W $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ 1 # 1. & $ *. &. # O # ) + ) $ + =., # } } ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, #! #! #? ( p n 5 4 # ) ) #! # $ O # $! + ) ) ( # $ p p 1 p... p n # )! # $ + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ t t 1 t... t n

12 + 4 ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n = $ #! #? )? #! # P n $ $ ( # I + 4 ) $ t t 1 t... t n d + $ # + 1 ) t, # p 9 ' # 9 ' ( # $! ( l ) 4 * p(t) = p ϕ (t) + p 1 ϕ 1 (t) + + p n ϕ n (t) = j= { ) # h # 4 $ 5 # # $ ) # 9 +, = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 #! # + 1 ) t, # $ p (n + 1) ϕ ϕ 1 n p j ϕ j (t). } 6 1 ϕ... ϕ n! #! #? ( n + $ p # $ 4 N, b, # ) + 1 ) t, #! #! #? ( n 9 J# $ N V N! 4 # p P n J # $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ + 4 ( ( $! # $ + 1 ) t, # $ ϕ j ) + $ O + ) $ + k =, 1,,..., n * p(t k ) = n j= p j ϕ j (t k ) }{{} = p k } } 1 $ $ 4 4 j k 1 j=k 5 4 # $ = 4 # ) # 4 + ) } } 1 w # $ 4, + )! # #, 5 # 5 #) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 # I #, # ) ) # $ )! + =., # } } 1 # 9 # ) J4, + # 5 # # $ O # $! + ) ) ( # $ ] # 9 4, + ) # 5 # # $ 1 $., # p, p 1,..., p n } 1 + z + $ ) # $ ) + ) J 4, N a + # 5 # # 4 ) $ 4, 4 9 #! # )! #, + )! # # $ (? 4. # $ ) p T } 6 1! + =., # } } 1 # $! + ) 9 ) 4 5 # f + W : + O # ) + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 4 # ) t = 1 O # ) p = t 1 = O # # ) p 1 = 3 t = 1 O p = 6 J. $ 9 #5 4 ( 9.! # ) + $ O + ) $ + 4 p(t) = ϕ (t) + 3ϕ 1 (t) + 6ϕ (t) ϕ ϕ 1 # ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 N } $ + = # ) + ) $! + ) 9 * p(t) = ( 1 t 1 ) t = 4t t (1 t ) + 6 ( 1 t + 1 ) t. & $ * ". ". $ & " $ *,. + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # # $ + 4 f : R R t t 1 t... t n (n + 1) + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $, 4 ) # ) ) V 4 ) # + # ) + 1 ) t, #! #! #? ( f p n I + 4 ) $ t j 9 J# $ N V N! 4 # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( j n p n # 5 # p(t j ) = f(t j ), j n. } } } 1 4 # $! + ) ) ( # + $ # ) + $ ) # # ) $ 4 f(t) p j = f(t j ) j n O ) 9 # 5 4 # $ [ 4 [! +, ) $ # ) $ # 9 = 4 + $ ) #! } # 1 ) +? $ ) +? = #! # ) # + ) $ p(t) = + 4 # $ n j= p jϕ j (t) ϕ j j n P n $ $ ( # I + 4 ) $ t, t 1, t,..., t $ )! + =., # n } } } 1 # $! + ) 9! ( l ) 4 # * p(t) = n j= f(t j )ϕ j (t) t R. } } / 1

13 b ; = %# ' # % W N E@ A B P H< J N J ` : N E R J J B \ n P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb \ E A ` P B J > L NA E L J B ` : N P E J f + W N + 4 f [ + ) )! ( l ) 4 # f(t) = e t + O # J4 ) # + )! # f! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # 1 4 ) + $ # # ) + ) $ [ +, # } } / 1 ) + $ O + ) $ p(t) = e 1 ϕ (t) + e ϕ 1 (t) + eϕ (t) + 4 ϕ, ϕ 1, ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 } 4 1 # } 1 d 4 ) $ 4! + ) 9 ) + $ + = # N ) + ) $ p(t) = 1 ( 1 e t 1 ) t ( 1 = e 1 + e ( 1 + (1 t ) + e ) t + ( e 1 e t + 1 ) t ) t + 1. l? # } /, + ) # #? ' #! # [ + ) ) f # $ + ) 4 ) # + )! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # f p X # R W W : w ) # )! # [ + ) )! ( l ) 4 # ) + 1 ) t, # f f(t) = e t p! #! #? ( I + 4 ) $ # , 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # #! + ) ) ( # $ ) f : [a, b] R 4 ) # O # [ #, ( + 4 ) # ) 4 # + $ 4 4 [ # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 # $ + 4 ) $ [a, b] n t j j =, 1,,... $ + ) ( 5 4! 4 $ 4 = ( $! ) $ 9 J # $ N V N! 4 #, n [a, b] t j = a + jh j =, 1,,..., n O # 9 h = (b a)/n + 4 J4 ) # + )! #! #! #? ( I p f n + 4 ) $ t, t 1,..., t n 5 # ) + $ ) + # + ) $ p n + = 4 # ), + ) # 5 J 4! ( # )!! # J # ) 4 # 9 ' + 4 $ 4! ( J. $ n } } / 1 p n # $! ( l ) 4 * + 4 p n (t) = n j= f(t j )ϕ j (t), } } 1 1 ϕ, ϕ 1,..., ϕ n # $ = $ #! #? )? #! # P n $ $ ( # V t, t 1,..., t, + ) # # ( $ $ 4 O ) * n $ ) #

14 b 5 = W < ` ` : >: E > H < J N A E L JB P N N J : [a, b]b >: A L : A > U : E L A E R J E \ B A P N J > < B f (n + 1) N : B > > A J > \ E A p n ` P B E : < > P : E > max f(t) p 1 n(t) t [a,b] (n + 1) f (n+1) (t) = d n+1 f(t)/dt n+1 b ( b a n ) (n+1) max t [a,b] f (n+1) (t) } } 1 J 4 ) (? 4 ( } } 1# $ ) # # $ 4, 4 + )! J# # # ) # [ + ) ) + ) # $ + ) 4 ) # N f p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t, t 1, t,..., t n ( 5 4 ( 4 $! ) $ d [a, b] ) + $ ) $ # ) $ # 5 #9 # # # # 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ lim n 1 (n + 1) ( ) (n+1) b a =. { ) ( 4 ( 9 # # ƒ, 4 + ) # $ $ + O # ) [ $ $ # 9 9 # + #. $ 4! #, # ) max t [a,b] f (n+1) (t) O # 9 ] # ' ( ) +,. ) # # $ 4 $ (! ) $ J# I #, # $ 4 n O ) f + W _ ` D% R # J + ) 9 + ) $ 4!. # $ J 4 ) # N f(t) = 1/(1 + 5t ) O # [ + ) ) # $ 4 ) l ) 4, # )! ( 4 [ 1, +1] f(t) O = # $ J4 ) # O # [ 1, +1] #! # f (n) (1) O 4 # ). $ 4! #, # )? )! + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 l? # } 1, + ) # $ + ) 4 ) # + ) p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t j = 1 + j/n j = 1... n + n = 5 # n = 1 n f p 5 p X # R W W N w ) # + )! #! #! #? ( # } f(t) = 1/(1 + 5t ) O # 9! # $ + 4 ) $ ( 5 4 ( 4 $ 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # O + 4 $ 4 )? #! # $ # I (, 4 ( $! # J 4 ) # O # [ 1, +1] J4 ) # + ) ( $ # ) #! #? )! # $ + $ ) $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ $ 9 + ) 9 + ) $! + ) 9 5 J4 ) J# $ $4 )! 4 5 (! J 4 ) # + # ) # [ + ) ) ) + 1 ) t, #! #! #? ( ( # n O ( # )! # $ + 4 ) $ t, t 1,..., t n ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ m 9 + ) # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ # $ + 4 ) $! 4 $! # 9 ' # = 1 9 ' # h t j = a + (b a) ( 1 + cos ) (j + 1)π, j =, 1,,..., n, (n + 1)

15 ) $ 4 # J4 ) # + ) p n! # f + $ J# # max t [a,b] f(t) p n (t) # )! O # $ ( + + $ 5 # n # )! O # $ J4 ) l ) 4 9 +,, # #, + ) # l? # } 1.5 f p X # R W W _ w ) # + )! # f(t) = 1/(1 + 5t )! #! #? ( } O # 9! # $ + 4 ) $! # 9 ' # = 1 9 ' # h. & $ *. &,. # $ + =., # $! J4 ) # ) 5 # ) + $ O # ) + ) $! # 9 + ) $ 4! ( # $ + )! # $ " & " ' " ' * 4 $ [ + ) 4 ) # O # ) 4 # $ O # $! # + N 1 ) t, # $ #! # [ + ) ) $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $, 4 $ ) # 4 # ) ) # ) $ 9 +, #! # $! ( 4 O # ( # $! # w # I! 4 ( $ # 4! J # $ + =., # $! J 4 ) # ) + # $ 5 # $ # $ O # $! # p(t) O ( #! J4 ) # )! J 3 # $ + )! + ) ) ( # $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $ $ ) #! ) $ 9 # 9 $ p, (t) 4 # m + 4 $ # ) + # + + $ ) + $ ( $ # ) + ) $ ) $ # # I #, # 5 4 # $ J 4 ) # )! J 3 #, 4 #! # $ 9 = 4 5 # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( t < t 1! # I + 4 ) $! + ) ) ( $ # $ + 4 p, p 1 5 # ) +, = # $ ( # $, p! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 #, 5p # 1 p p(t ) = p, p(t 1 ) = p 1, } } 1 p (t ) = p, p (t 1 ) = p 1, } } # $! ( 4 p (t) O ( #! # + 4 ) p t # $ 9 + )! ) $ } } 1 4, + $ # ) O #! # # ) p t # * t 1 # $ 9 + )! ) $ } } 5 1 4, + $ # ) O #! #! ( 4 O ( #! # # ) p p t # t 1 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 $ J ( 9 4 $ + $ [ +, # p(t) = a + a 1 t + a t + a 3 t 3 ; ) + $ O + ) $! + ) 9l I (! ) $ } } 1 } } # 9 + )! ) $ +! ( #, 4 ) # 5 # 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a a 1 a # a $ ) $, # ) # # + =., # V ( $ )! J ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ 4 4 a a 1 a # a 3 4 ) + $, + ) + ) $ 5 # 9 # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # + z + $ ) # $ ) + ) J 4, + # 5 # # $ O # $ p, p 1 + $ 9 # # $ ) # $ ) 4 5 #, p m ) $ 4 # ), + p $ 9 +,, # ) + ) $ 9 + ) $ 4 # ) # = $ # 1 p ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t # t 1

16 4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ϕ # 5 # ϕ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # ϕ (t ) = 1, ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ϕ (t 1) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ϕ (t) = (t t 1) (t + t 1 3t ) (t t 1 ) 3. } } #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ϕ 1 # 5 # ϕ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # $ ) + = 4 # ) * ϕ 1 (t 1 ) = 1, ϕ 1 (t 1) = ϕ 1 (t ) = ϕ 1 (t ) =. ϕ 1 (t) = (t t ) (t + t 3t 1 ) (t 1 t ) 3. } } $ ) 9 + ) $ 4 ψ # 5 # ψ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # ψ (t ) = 1, ψ (t ) = ψ (t 1 ) = ψ (t 1 ) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ψ (t) = (t t 1) (t t ) (t t 1 ). } } O 1 #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ψ 1 # 5 # ψ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # $ ) + = 4 # ) * ψ 1(t 1 ) = 1, ψ 1 (t 1 ) = ψ 1 (t ) = ψ 1(t ) =. ψ 1 (t) = (t t ) (t t 1 ) (t 1 t ). } / $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # 9 # $ 5 # + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ ; = %# ' # % W _ J > H < P L B J ` : N E R J > : B R JE L < E J P J ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 E : < > P ` ` JN N J B : E > P JB R A L J L ` J U< A H < J P > >: UA \ J t JL t 1b P 3 H < J ) $ ) 4 5 l #,? # ) # } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( ϕ ϕ 1 ψ # ψ 1 $ J 4 ) # O # [t, t 1 ] d 1 ) 9 + ) $ 4 = $ #! J 3 #, 4 # ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t, t 1 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # $ 4 # $ # + 1 ) t, #! # p! #? (! ( l ) 4 3 p(t) = pϕ(t) + p1ϕ1(t) + p ψ (t) + p 1 ψ 1(t), } / } 1 + $ $ 4 $ [ 4 # $ # 4 + ) $ p } } 1 } } ) + $ # ) + ) $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) ) # [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ J4 ) # O # # $ 4 ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 [t, t 1 ] p p(t) = f(t )ϕ (t) + f(t 1 )ϕ 1 (t) + f (t )ψ (t) + f (t 1 )ψ 1 (t), + $ ) + $! 4 + ) $ 5 # p # $ J 4 ) # + )! J 3 #, 4 #! # f! # $ 9 = 4 5 # $ $ [t, t 1 ] 9 + $ O + ) $ ) # #, # ) p(t ) = f(t ), p(t 1 ) = f(t 1 ), p (t ) = f (t ), p (t 1 ) = f (t 1 ).

17 a ϕ ϕ 1 ψ ψ 1 t t 1 X # R W W m $ #! J 3 #, 4 #! # 1 # 9 = 4 5 #. & $ * $ &. & **. J4 ) # )! J ) # [ + ) )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( # )! # $ + 4 ) $ ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ # # )? # )! #! # $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ 9 +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # ) } # $ J 4 ) # )! J ) # [ + ) )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( ) J # $ $ z $ 4 l ( # + $ 5 # [ + ) ) V 4 ) # + # ) J # $ $ (? 4. # ] J # $ 4 $ + ) + 5 # # J4 ) # ) 4 ) # O # $ # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # $ ) 4 ) # f O # # $ + 4 [a, b] 1 N ) $! ) $ J 4 ) # x = a < x 1 < x < x 3 <... < x N = b O # m + [a, b] 9 ' 5 # 4 ) # O # ( 5 4 ( 4 $ ) + ( $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 ' + 4 $ 4 [x i, x i+1 ] ) $ 4 ) ( 4 # $ n 1 x i,1 < x i, < x i,3 <... < x i,n 1. { ) + $ ) t = x i t j = x i,j O # 9 1 j n 1 t n = x i+1 ) + $ + O + ) $ 4 ) # + # I + 4 ) $ f t j ) + 1 ) t, #! #! #? ( 9 +,, # ) + $ j n n J O + ) $ [ 4! ) $ $ # ) } ) $ $ 4 # ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ h = max x i+1 x i, i N 1 # ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ ) # [ + ) ) # # 5 # f h : x [a, b] f h (x) R f # $ # 4 ) # V 9 # 4 ) # O # $ + 4 z $ #, # ) 9 # + 1 ) t, #! J4 ) # ) h [x i, x i+1 ]! #! #? ( n ; = %# ' # % W m A B P H< J N P : E UL A : E f b 9 + $! (, + ) + ) $ # ( $ $ 4 O ) * = W : : A L f h J > L N A E L JB ` : N P E J B \ n ` P B A E L J B P N N J J < E J E L A JB n ` : > A L : E E \ >: A L < E J : E U L A : E f : [a, b] : E E \ JL J H< > : JE : A L < > > < ` ` : >: E > : A > U : E L A E R J E \B A P N J > < B N A E L JB P N N J (n + 1) >: E A E L J B [a, b] f h ` : N P E L@ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > N : B >A N J _ A > L J< E J U : E > L P E L J b C A \ ` P E L < Ü : A J > x ia 1 i N 1 L JN N J H < J max f(x) f h(x) Ch n+1. } / / 1 x [a,b]

18 } ; = % ', ' # % { ) 4 4 $ ) # ' ( +., #} } $ J4 ) # O # [x i, x i+1 ] # ) 4 # # 9 #! # J 4 ) # N O # [a, b] ) + $ + = # ) + ) $ * max f(t) f 1 h(t) t [x i,x i+1] (n + 1) d 4 ) $ 4 ) + $ O + ) $ ( xi+1 x i ( max f(t) f h(t) C max x j+1 x j t [x i,x i+1] j N ) $ ) # C # $! + ) ) ( # # + 4 C = 1 max (n + 1)n f (n+1) (t) (n+1) t [a,b] n ) (n+1) max t [x i,x i+1] f (n+1) (t). ) n+1 } / 1 1 i =, 1,,..., N 1 d 4 ) $ 4 } / / 1 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # 4,, (! 4 #! # } / 1 1 ) # 4 ) # ( 4 + )! ' ( +., # } / # $ $ 4 O ) # 4 + ) $ #! + ) ) # ) # ) 4 # + $ 4 4 [ n # $ 4 + ) # )! N + 4 ) $ x 1, x,..., x N O # 9 N! # $ # ) $? )!! # [ + ) V 9 # 5 # h $ + 4! # $# ) $ # 4 + $ max x [a,b] f(x) f h (x) 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # h # )! O # $ ( + m # I #, # $ 4 + ) + $ # h = (b a)/n # $ 4 x i = a + ih O # 9 i =, 1,,..., N + ) max f(x) f h(x) Ch n+1. x [a,b] { ) 4 5 # + ) # )!? )! # # 4 N n + / n = 1 f + W m ] + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 f(x) = x e 3x sin(13x) a = b =. N = 4 + # $ = # $ + 4 ) $! # l? # 1 x = x 1 =. x =.4 x 3 =.6 x 4 =. 4 4 ) J 1 $! # + 4 ) 4 ) ( 4 # I4 ) # n = 1 O # $ J4 ) # ) $ 9 ' 5 # 4 ) # # [x i, x i+1 ] O # $ # [ 4! # $ + 1 ) t, # $! #! #? (} l? # } 5, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ) 4 ) ( 4 # V # + 4 ), 4 4 # n = [x i, x i+1 ] x i,1 # J4 ) # ) $ 9 ' 5 # 4 ) # = O # $ # [ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? xi+xi+1 ( / l? # } 4, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ J 4 ) # )! #? )? # 4 ) # O # $, # # ) ( O 4! # ) 9 #! # $ $ $! #! ( 4 O ( # #, 4. # # ) 9 ' 5 # + 4 ) x i l? } 5 # } 4 1 ) #, ) 4. #! # 9 + ) $ 4 # ) 4 ) # + ) 4 ) # O # $ $ 4 $ $ # # $! J 4 4 $ # J 4 ) # )! J 3 #, 4 # O # 9! # $ 9 = 4 5 # $ $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [x i, x i+1 ] $ # 9 } 1 ] 4 #, # ) $ 4 # $ f ) # [ + ) ) $ J4 ) # C O # # $ 4 $ 9 ' 5 # 4 ) # 1 [a, b] O # 4 ) # + + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 9 +,, # ) + $ J ) + $ [x i, x i+1 ] f O + ) $! ( z V [ 4! ) $ $ # ) } $ J 4 ) # O # + $ # ) 9 ' 5 # + 4 ) [t, t 1 ] x i [ + ) ) ) # + # # )! f O # # $! ( 4 f(x i ) O ( # #, 4. # # )! O # J4 ) # + ) 4 ) $ ) $ 4 # $ ) # [ + ) ) $ f (x i ) C 1 [a, b] l? } 1

19 } } x e 3x sin(13x) interpolant a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( } x e 3x sin(13x) interpolant a = x x,1 x 1 x 1,1 x x,1 x 3 x 3,1 b = x 4 X # R W W G w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( / x e 3x sin(13x) interpolant a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W # w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 # 9 N = 4 5 # $

20 } /. &. f k # k W $ ) $ + $ # 5 # J + ) 9 + ) ) 4 $ $ # # $ O # $ f(t)! J ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # I O # $! # t # ) 4. # $ $ # #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # + )$ + $ # 9 + ) ) # $ # $ O # $ f(k), k =, ±1, ±,... 4 ) + ) # ) 4 # + )! ( l ) 4 ) # + I 4, 4 + )! # # ) 4 ) # + ) t R t p(t) f(t) [ + ) ) + 9 ' # $! # ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 I 5 # + 4 ) $ # ) 4 # $ # $ $ f t { 9 4 # )? + 4 ', # 5 4 +! + ) ) ( [ + ) 4 t p(t) j D ' # % + 4 ) + ) # ) 4 # # $ # # ) 4. #! # m 4 $ 5 # t R t k = E[t] t t ]k, k+1[ 4 $ J? 4! #! ( l ) 4 # + 1 ) t, #! + ) #? ' # $ $ # # $ + 4 ) $ p ( k 1, f(k 1) ), ( k, f(k) ), ( k + 1, f(k + 1) ), ( k +, f(k + ) ).,, D W d? + 4 ', # [ + ) 4 $ $ ) p = p(t) V 4! # t R# ' % ', # ψ (x) := 1 x(x 1)(x ) 6 ψ 1 (x) := 1 (x + 1)(x 1)(x ) ψ (x) := 1 (x + 1)x(x ) ψ 3 (x) := 1 (x + 1)x(x 1) 6 4 # t k := E[t] 4 t = k p := f k ; 4 ) + ) ( l ) )! # $ [ + ) ) $ ψ ψ 1 ψ ψ 3 ] 9! # k 4 # $ # ) 4 # t 4 ) + ) + ) 9 9 # p(t) p := f k 1 ψ (t k) +f k ψ 1 (t k) +f k+1 ψ (t k) +f k+ ψ 3 (t k)

21 } 1 ] + ) [ +, (, # ) I ( $ $! # $ # ) } p # $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 p(t) =f(k 1)ϕ (t) + f(k)ϕ 1 (t) } / 1 + f(k + 1)ϕ (t) + f(k + )ϕ 3 (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 # $ = $ #! #? )? #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ { ) 4 4 $ ) J (? 4 ( k 1 k k + 1 k + } 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # * ϕ (t) = 1 (t k)(t k 1)(t k ), 6 ϕ 1 (t) = 1 (t k + 1)(t k 1)(t k ), ϕ (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k ), ϕ 3 (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k 1). 6 { h # 9 # + ) ) + $ $ #! 9 ' ( l ) ) 4? $ # $, + ) # $ ) #! $ # [ + O ) = ) $ # m 4 $ 5 # + $ x = t k t ]k, k + 1[ x ], 1[ ψ ψ 1 ψ ψ 3 $ + 4 # ) 9 + # ψ (x) = ϕ (x + k), ψ (x) = ϕ (x + k), ψ 1 (x) = ϕ 1 (x + k), ψ 3 (x) = ϕ 3 (x + k), ψ (x) = 1 x(x 1)(x ), 6 ψ 1 (x) = 1 (x + 1)(x 1)(x ), ψ (x) = 1 (x + 1)x(x ), ψ 3 (x) = 1 (x + 1)x(x 1). 6 J(? 4 ( } / 1 $ J( 9 4, 4 ) # ) ) * p(t) =f(k 1)ψ (t k) + f(k)ψ 1 (t k) + f(k + 1)ψ (t k) + f(k + )ψ 3 (t k). J? + 4 ', # 9 + # $ + )! ) # $ ( $ # ) (! ) $ # = # } } # $,. # $! J# ) ( # $ + ) t R # # $ O # $ f k = f(t k ) #,. #! # $ + 4 # p # $ O # p(t) f k # k W : + 4 t < t 1! # I ) +, = # $ ( # $! 4 $ 4 ) 9 $ # $ + 4 # 5 # ε < ε < t 1 t } { I # ) + 1 ) t, # p ε! #! #? (1 # 5 # p ε (t ) = p ε (t + ε) = 1, p ε (t 1 ) = p ε (t 1 + ε) =.

22 } / 4 ϕ(t) # 4 ), + ) # 5 # = $ 4 lim p ε (t) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ε # $ ) # [ + ) )! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 + ϕ J 4 ) # )! J 3 #, 4 # $ # 9 } 1 j D ' # % } + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 = $ #! #? )? #! # P 3 $ $ ( # I + 4 ) $ t t + ε t 1 { ) 4 4 $ ) # ( $ t 1 + ε } 6 1 ) + $ O + ) $ * p ε (t) = ϕ (t) + ϕ 1 (t). J # J (? 4 ( } 1! + ) ) #* ϕ (t) = (t t ε)(t t 1 )(t t 1 ε), ( ε)(t t 1 )(t t 1 ε) ϕ 1 (t) = (t t )(t t 1 )(t t 1 ε). ε(t t 1 + ε)(t t 1 ) { ) (! 4 $ ) # $! # I [ ) $ 9 4 N! # $ $ $ V )! ( ) +, 4 ) # 9 +,, ) ) + $ + = # ) + ) $ * (t t 1 )(t t 1 ε) p ε (t) = ε(t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) ( ) (t t 1 ε)(t t ) (t t 1 + ε)(t t ε) = (t t 1)(t t 1 ε)(3t t 1 t + ε). (t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) / m! ( l ) )! # ϕ ) + $ O + ) $ * ϕ(t) = lim p ε (t) = (t t 1) (3t t 1 t) ε (t t 1 ) 3, #! + ) 9 # )! ( 4 O ) ) + $ + = # ) + ) $ * ϕ (t) = (t t 1)(3t t 1 t) (t t 1 ) (t t 1 ) 3 = 6 (t t 1)(t t) (t t 1 ) $ O + ) $! + ) 9 = 4 # ) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = 9 # O # 5 # ϕ # $ ) #! # $ 5 # [ + ) ) $! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 #! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t # t 1 $ # 9 } 1 f k # k W N + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( #$ J 4 ) # f O # $ + 4 # + 1 ) t, #! #! #? ( / ) # + # # ) # $ + 4 ) $ # [ 1, { I +1] 4, # p f 1,, +1 # ) [ + ) )! # # +1 ( 4 l # 5 # [ +, # 4 ) $ = # p(t)dt ) # 9 f( 1), f() f(+1) + ) 9 4! # O # 9 [ +, #! # 4, $ + )! # $ # ) 1

23 } j D ' # % { ) 4 4 $ ) # ( $ } 6 1 # + 1 ) t, # p # $! ( l ) 4 p(t) = f( 1)ϕ (t) + f()ϕ 1 (t) + f(+1)ϕ (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ # $ = $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ # # $ 1,, +1 # I ( #! ) $ J # I #, #} } 9 + $ O + ) $! + ) 9 +1 p(t)dt = f( 1) 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # +1 1 ϕ (t)dt + f() +1 1 ϕ 1 (t)dt + f(+1) +1 1 ϕ (t)dt # 9 + ) $ ( 5 # ) ϕ (t)dt = , ϕ 1 (t)dt = , ϕ (t)dt = 1 3, p(t)dt = ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). w $ #, = #! + ) 9 ) #! J + 9 ' # +1 1 f(t)dt 5 ) 4 ( J(f)! ( l ) 4 # J(f) = 1 3 ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). ) $ #9 ' 4 # 1 ) + $ # # + ) $ 5 ) 4 ( " " J(f) m 9 + ) $ ) [ +, #! # 5! # 4 ).? # # I 9 #, # ) # $ J(f) + 1 ) t, # $! #! #? (! # I $ # ) $ q(t)dt = J(q) ) t, #! #! #? (! # I ] # # [ +, #! # 5! # $ J # # q [ +, #! # 4, $ + ) $ # ( (* & $ ".. &., & ". 9 + $ O + ) $ ( $ # ) (! # I # I #, # $! J4 ) # ) + 1 ) t, 4 # V $ O + 4 J 4 ) # )! #? )? # # J4 ) # )! J 3 #, 4 # w # I 4 $ # ) # #, # )! J # $ 1 # $! J 4 ) # ) * 4 ) # ) 4? + ) +, ( 4 5 # $ 4 ) # $ # 9 d 4 #! J # I #, # 9 + ) $ 4! ( + ) $ J 4 ) # )! J ) # [ + ) ) ) # [ + ) ) 5 # ) + $ # # + ) $ $ 4 ) #9 = 4 5 # # 5 # ) + f $ ): + [a, # b] + ) $ R S 4 $ + ) + 4 ) $! + ) ) ( $! ) $ J4 ) # t = a < t 1 <... < t n = b (n + 1) O # + $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # + [a, b] O # ) #[! + # )! 9 ( ) 9 + ) 4 ) # # # 5 # S : [a, b] R S(t ) = f(t )... S(t n ) = f(t n ) O ( # $ #, 4. # # $ # 9 + )! # 9 + ) 4 ) # $ + 1 ) t, 4 #! #! #? ( 1 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [t j 1, t j ] 1 j n O + 4 # I #, # / / + $! #! ( 4 $ 1

24 } 5 J # I #, #! # $ # ) }, # ) # ) ( O 4! # ) 9 #! 4 O #? # ) 9 #! # J 4 ) # N ) # $ J# I #, #! # )? # ) 4 #, # ), ' (, 4 5 # 9 +, #! # 9 # # I #, # $ # + O #! ) $ } 5 J 4 ) # ) 4 ) # O # $ # $ )! # $ 4 )? (! 4 # ) $! #, ( ' +! #! # $ ( ( N, # ) $ l ) 4 $ 9 ' } V } 1 { ) # # ' ( +., # } / # $ #? # ) #! # ( $ $ ' ( # $ 5 4 #, #! #, + ) # 9 + ) O #? # ) 9 #! #, ( ' +! #! # $ ( (, # ) $ l ) 4 $ 9 + $ # O 4 # )! + ) $ $ 9 # 4 ) $ $ # 9 $! # J 4 ) # ) + 1 ) t, 4 #! ) $ # $ 9 ' 4 # $ / # 1 # ) +, = # I +? # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $? )! = 4 9 # I #, # # T M ' #, 4 9 T M = T M1 = +! # ) # $ + =., # $! J 4 ) # ) 4 ) # N, # )! # $ +? # $! # ] + ) 9 # 4 + ) d $ $ 4 $ ( # $! 4 ) # $ ] d $ $ # )! # $, ( ' +! # $ 4 $ $ # $! # ' ( + 4 #! # J 4 ) # ) / 5

25 b a &. ", & ". & &... & &. "&. & "&. + 4 f ) # [ + ) )! # R! ) $ R $ + $ ( # 9 + ) 4 ) # #! # #, 4. #! ( 4 O ( # f 9 + ) 4 ) # 4 x R # $ ) ( #! + ) ) ( ) + $ + O + ) $ ( 9 4 #* f f(x + h) f(x ) (x ) = lim h h f(x ) f(x h) = lim h h f(x + h/) f(x h/) = lim. h h ) # 4! ( # # ), ( 4 5 #, # ) #, 4. #! ( 4 O ( #! # + 4 ) f f x 9 + ) $ 4 $ #! + ) 9 V $ #! + ) ) # ) # O # + $ 4 4 h O # $ $ # # 4 # # V 9 9 # h f(x ) + h f(x ) + δ h f(x ) / / 1 h h h. $ O + 4! ( l ) 4 # $ 5 ) 4 ( $ h f(x ) = f(x + h) f(x ), def / 1 1 / } 1 h f(x ) = def f(x ) f(x h), / 1 δ h f(x ) = f(x + h/) f(x h/). def / 1 + $ 5 # # $! + ) ) ( J + = z #, ' (, 4 5 # h > h # $ ) + ( # * V + # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # 4 [ # $ + )! # ) # # [ + ) ) f : R R 9 + ) 4 ) #! ( l ) 4 # h f h # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ $ #, N f(x) = f(x + h) f(x) = = # $ $ + ) O = # $ + # $ + ( # $ h # δ h ; = %# ' # % : W : B >H< J J > : E E \ N J > : h > a ` \ B P L J < B > P ` ` J N \ > : ` \B P L J< B@ A \B JE U J ` B JR AB JB J > ` J U L A J R J E L ` B : B J > > A J JL U JE L B \ J } 4 ha h J L >: E L δ B \L B h : B J

26 b a a } 9 + $ O ( 4 l + ) $, 4 ) # ) ) # ( $ $ 4 O ) * = : W J > : ` \ B P L J< B A \ B JE U J ` B J R A B J E \ P A B J > ha h JL δ h > : E L N A ; = % ', ' # % + ) + ) $ # ( $ + J + ( # h m + 9 # [ 4 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $! # I ) +, = # $ ( # $ 5 # 9 + ) 5 # $ # #! # I [ + ) ) $ 9 + ) 4 ) # $ 5 # 9 + ) 5 # $ α β f, g : R R 9 + $ O ( 4 l + ) $ $ ) $! 4 ƒ 9 ( 5 # h (αf + βg)(x) = αf(x + h) + βg(x + h) αf(x) βg(x) = α h f(x) + β h g(x) x R. #, b, # 4 $ + ) ) #, # ) $ J 4 5 # I + ( # $ h # δ h 4 # $ ) # [ + ) )! # I [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ + )! ( O # + #, # ) 4, 4 (! # I 4., # +! # O + 4 $ 4 )? #! + 4 ) x $ J( 9 4 * f(x + h) = f(x ) + f (x )h + 1 f (ξ)h, / # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # [x, x # $ # 4 + ) $ + h] / 5 1 # / 1 1 ) + $ + = # ) + ) $ * f (x ) hf(x ) h = 1 f (ξ) h. / $ + O + ) $! + ) 9 ( ) + ) 9 # # ( $ $ 4 O ) * = : W : A : A >U : E L A E R JE \B A P N J > A J > J < _ f : R R J > L _ \ JL > A J > L < E E : R h > B J ` : > A L : E E \ H< J ; = % ', ' # % m + $ + ) $ f (x ) hf(x ) h C = 1 A N J _ A > L J < E J U : E > L P E L J x R C L JN N J Ch, h h. / 1 max f (x). x [x,x +h ] # # 4 + ) / 4 1 ) + $+ = # ) + ) $ = 4 # ) J 4 ) (? 4 ( / 1 9 $ 4 h h + $ #! + ) 9 1 ξ [x, x + h ] f (ξ) C 9 + $ + = # ) + ) $! #, b, # [ + ) ) ( $ $ #, = = # $ 4 9 ( # $ #, N h f(x ) h f(x ) m 9 + ) # $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) O # δ h f(x ) ) + $ + = # ) + ) $ ) #, # 4 # # + I 4, 4 + ) { ) # h # $ + $ + ) $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 h f O = # # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # $! ( O # + #, # ) $ 4, 4 ( $ *, # )! ( 4 N ) f (x + h/) = f(x ) + f (x ) h + f (x )! f (x h/) = f(x ) f (x ) h + f (x )! ( ) h + f ( (ξ) h 3! ( ) h f ( (η) h 3! ) 3, / 6 1 ) 3, / } 1

27 b b a a + 4 } 6 # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # # # $ ) + 4 )! # [x, x + h/] η [x h/, x ] { ) $ + $ 1 ) / } 1 V / 6 1 # # ) 4 4 $ ) # 4 + ) / 1 ) + $ O + ) $ * f (x ) δ hf(x ) h = f (ξ) + f (η) 6 f (ξ) + f (η) 4 h # $ ) ) +, = # + $ 4 4 [ l I ( # $ 4 ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ C = 1 max 4 f (x), x [x h /,x +h /] ) + $! (! 4 $ + ) $ V 4! # / } } 1 # ( $ $ 4 O ) * = : W N A h / } } 1 h 4. J > L L B : A > : A > U : E L A E R J E \B A P N J > A f : R R J > L _ \J L > A J > L < E E : R B J h > ` : > A L : E E \ A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J C H< J f (x ) δ hf(x ) h x R Ch, h h. / } / 1 # $ ' ( +., # $ / / # / 1 ) + $ $ $ # ) 5 # $ 4 # $ $ $ # f 4 ( $ (? 4. # # $ 5 ) N h f(x ) # δ h f(x ) 9 + ) O #? # ) O # $ + $ 5 # # )! h h f (x ) h O # $ ( + ) $ # #, 4 # 9 $ 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # + $ 5 #! ) $ #! # I 4., # 9 $ h 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # h ; = %# ' # % : W : A L H < J : B R < N J A JL >: E J > h f(x )/h h f(x )/h \B JE U J > E A J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B J > ` : < B N P ` ` B : _ A R P L A : A \B J E U J > f (x ) hf(x ) h JL f (x ) hf(x ) h f (x )b >: E L P ` ` JN \ J > " N N J > >: E : B J JL : A L H < J N J > h : B R < N J A \ B J E U J > E A J > >: E L U : E > A > L P E L J > N : B J JE 1 J R R J N P : B R < N J@ A \B J E U J > E A J > U J E L B \ J > hb δ h f(x )/h ` : < B N P ` ` B :_ A R P L A : J J > L U : E > A > L P E L J f (x ) N : B J J E U P B N JB B J< B@ JL B : E U P L < B J h f (x ) δ hf(x ) h J > : B J h N N J J > L P A E > A b ` N < > ` B \ UA > J H < J N J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B J > &. ", & ". &&... & &. "& & & J > : B R < N J A \B JE U J > E A J > + 4 c ) ) +, = # ( #! + ) ) ( 1 ) ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # 4 ) l ) 4 # ) 9 9 # # ) O 4? # + ) # ) # + # # ) 4 5 J )) +, = # l ) 4! # 9 ' 4 h # $

28 b b > b / +! + ) ) # ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # l ) 4 #! # 5 # ) + $ ) + # + ) $ d 4 ) $ 4 c c # I #, #! # c = 1/3 O 4 # )! 5 4 # $ = 4 # ) $ ) # + I 4, 4 + ) c = ), ( 4 5 #! # c ; = %# ' # % : W N : < A B : E > H < < E E : R B J J > : E E \ c P J U Ü A B J > > A E A N U P L A > J E B J ` B \ >JE L P L A : E@ \ UA R P N J > A N J > : E E \ P J U Ü N A B J > U : R ` L \ > ` P B L A B@ < ` B J R A JBU A B J E : E E < N f + : W # $ ) +, = # $ * = = = = $ + )! + ) ) ( $ O # ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ; = %# ' # % : W _ : A L < E E : R B JB \ J N JL >: A L >P c c P N J < B P ` ` B : Ü \ J ` P B < E U P N U< N P L J< B JE A B < N J : L L P E L J L B P P A N N P E L P J U Ü N A B J \ U A R P < _ > A E A U P L A P H < P E L A L \ J > L P c c ` ` JN \ J J B B J < B@ P B B : A > > < B cb P H < P E L A L \ J > L P ` ` J N \ J ` B \ UA > A : E B JN P L A < U P N U < N P L J < B η = 1 N ) $ 4, # 9 9 ) + $, + ) # 5 # 9 + # 9 #, # ) # ) +, = # m # I #, # $ 4 #9 9 # + )! 4 c + $ c 5 # 5 c η # 5 # J+ )! 4 $ + $ #! # 5 c c = 1/3 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + $ + 4 $ ) 5 # # J # #! J + )! 4 $ $ $ # c = c c c = c η η = 1 {! 4 + ) $, 4 ) # ) ) ) # I #, # 4 6 $ ) J 4, + ) 9 #! # $ # # $! J + ) N! 4 $ + $ 5 J + ) ( O # ' # ), ( 4 5 #, # ) h f(x )/h f (x ) f + : W : ] 9 + ) $ + $ 5 # h f(x + )/h f(x) = x x = 7 h =.6 h =.1 4) + $ O + ) $ )9 9 # 5 4 ) #! 4 $ + $ # 5 #! # 19 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ) + $ + = # ) + ) $ + # # $ h =.6 h =.1 O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.) , m 4 $ 5 # ) + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # J # # + = # ) # [ +, # I f (x ) = 14! 4 h ( # ) 9 # $ # $ $? )! # + 5 # + ] # h f(x )/h h =.1 h =.6 ' ( ) +,. ) # # $ 4 ( I # # $! J + )! 4 $ w $ ƒ! # # )! # ) #, 9 ' 4 ) #! 4 $ N + $ )! # 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + + = # ) ) 9 $ 4 + ) 4 ) O # $ # { ) # h # ) + $ + = # ) + ) $! ) $ 9 # 9 $ # $ O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.) = = 14.6, = =

29 / } ) $ $ 4 # ) + $ ) # [ # + ) $ $ ) # ' ( + 4 # $ # $ # # $! J + )! 4 $ 4 $ + ) $ $ 4, #, # ) 5 # + $ 5 # # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 η O #! 9 9 # 4 4 $ ( + $ J# # = $ + # + = # ) # $ J ( c c O 4 + )! J ) ) +, = # # $! # c c J +! #! #? )! # ) + $ ) + # + ) $ 1! # c η # ) [ 4 + ) O $ ' 5 # 1 d 4 ) $ 4 $ 4 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V 9 9 # c c 5 c η h f(x ) h = def f(x + h) f(x ) h O # 9 ) # O # $ + $ ( #! + ) ) ( # $ ) $ # #! J + )! 4 $ h # I #, # * 1 ) + $ + = # ) + ) $ * 1... # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x + h) η f(x + h) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x ) ( ) η f(x + h) + f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x )/h η f(x ). h h = 1 7 { ) 9 + ) 9 $ 4 + ) J # #! J + )! 4 $ 9 +,, 4 $ # $ J ( O 4 + )! # # $! # h f(x )/h J +! #! # η f(x ) /h, 4 [ $ # $ + )! + ) 9! # $ 4 )! # 4, ) + $ )! $ J + +! # # [! + # 4 $? 5 ) #! # # $ = $ = $ + ). $ + I 4 N # 4 ) + $ 9 9 N + ) $ J # # # 4 O # e r! # I # # $! J + )! 4 $ $ J( O 4 + )! # h f(x )/h ) + $ + = # ) + ) $ * e r ηf(x )/h h f(x )/h = η f(x ) f(x + h) f(x ) η f(x ) f (x ) h ; 9 # # # # # 4 O #?, # ) # + $ 5 # h! 4, 4 ) # f + : W N ] + ) $ 4! ( + ) $ V ) + O # # $! + ) ) ( # $! # J # I #, # / / 9 + $ O + ) $ f(x ) = 49 f (x ) = 14 # er 7η h. 4 ) + $! ( $ 4 + ) $ O # 9 + = # ) 4 ) # # # # 4 h =.1 O # 4 ( # I # # $! J + )! 4 $! # $ e r $ J ( = 1 O 4 + )! # ) + $ 3 h f(x )/h! # O + ) $ O + 4 #! + ) 9 w [! + ) 9 9 ' + 4 $ 4 ) # η 1 5 /7 1 6 N = 6, 9 ' 4 ) # # O # 9, + 4 ) $ 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $! # 9 # # $ # ) # $ # ) 4 ) 9 ' )? ( # $ $ 4 + ) + 9.! # V J( O N 4 + )! # + h f(x )/h δ h f(x )/h

30 / / &. ", & ". & &... & &. " & + $ + ) $! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ), # )! ( 4 f : R R O = # # $ + 4 ) ) +, = # + $ 4 4 [ $ $ # # # 4 m # ) # + I 4, 4 + )! # x R ) + h $ f (x ) 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 O # $ 4 # f (x ) h f(x )/h 9 + $ O + ) $ O 5 # J# #! # + ) 9 # 9 +,, 4 $ # # $ + I 4, 4 O #, # ) (? # V Et h = 1 f (x ) h [ +, # / m 9 + ) # J # #! J + )! 4 $ # $ + I 4 N, 4 O #, # )! + ) ) ( # + 4 # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 Ea h = η f(x ) /h η O #! 9 9 # d 4 ) $ 4 $ 4 4 #! # 9 9 # ) + $ ) $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 #! # ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O # ) + $ + η O + ) $ ) + $ # )! # V ) # # # + # $ +,, #! # $ # # $! J + )! 4 $ #! # + ) 9 # J # # E h = Ea h + E + #! + ) 9 J# I t h # $ $ 4 + ) $ 4 E O ) # * h E h = 1 f (x ) h + η f(x ). / } 1 1 h w # $ + $ $ 4 = #! # 9 9 # ' ( #, # ) 1 # # + $ $ 4 = # { ) # h # $ + 4 [ + ) 9 4 +! # [ + ) V + = # ) 4 $ # 4 # h )! ( l ) 4 # E h g g(x) = ax + b x x R, + 4 a = 1 f (x ) b = η f(x ] 4 #, # ) ) O # + 4, #! # $ #! + ) ) ( # h # ( # 5 4 ( 4 $ # #, 4 ) 4,,! # + m +! ( #, 4 ) # 4 x g(x) x > x $ ƒ! # 9 9 # g (x) = a b x #! # O ( 4 l # 5 # + g ( x) = x = # 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # b/a g ( x) > x # $ J ) 4 5 #, 4 ) 4,,! # + # g(x) x > O #! # 9 + # $ + )! ) V h $ # 4 # O #! # # $! + ) 9 E h η f(x ) h = f (x ). / } 1 w # $ # # $ 9 9 $9 4 N! # $ $ $ ) J + ) 5 J ) # O # ' ( # # #! # O # 4 5 # w $ 4 )! 4 5 # ) 5 # $ 4 + ) # [ 4 # ) # # $ 4, 4 + )? + $ $ 4. #! # O # p! ( l ) 4 # p = f(x ) f (x ) 9 # 5 4 ) J# $ $ + z + $ # 9 $ 1 # $ 4+ ) O # 9 9 # ) # + I 4, 4 + ) ) N, ( 4 5 #! # # ) 4 4 $ ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 # ) #! 4 $ + $ ) 5 #! # 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + ) 4 ) ( b V # )! # N h! # J +! #! #? )! #! # p 1 # $, b, # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ N/ # $ # ) O = # $ $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ ( +?! # $ 4 # m 9 + ) # $ 4 f (x ) h f(x )/h ) + $ + 9 ' J# + ) # $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 4 # f (x + ) # + # I # $ $ 4 + ) f (x ) δ h f(x )/h O + 4 / } } 1 + J # #! # + ) 9 # 1 * E h 1 4 f (x ) h + η f(x ) h

31 a / # )! $ + ), 4 ) 4,, + h = ( ) 1/3 3η f(x ) f. (x ) &. ", & ". & &. "$ &. "& # $ + ( # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ 4 ) +! 4 $! ) $ $ # ) / } # O # ) b #? ( ) ( 4 $ ( $! # [ + ) $ 4 O ) # + 4 m ) # ) 4 # $? )! 5 # 1 + )! ( l ) 4 ( 9 $ 4 O #, # ) * d 4 ) $ 4 # I #, # m h f = h ( m 1 h f), / } 1 m h f = h ( m 1 h f), / } 5 1 δh m f = δ h (δ m 1 h f). / }4 1 ) δhf(x) =δ h (δ h f(x) = δ h (f(x + h/) f(x h/)) =δ h f(x + h/) δ h f(x h/) =f(x + h/ + h/) f(x + h/ h/) [f(x h/ + h/) f(x h/ h/)] =f(x + h) f(x) + f(x h). / } 1 # [ + )$ 4, 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4! ) $ # 9 $ + 4 ) + $ m = 1 O ( 4 l + ) $ 5 # # $ + ( # $ # $ + ) 4 ) ( 4 # $ m h m h δ w # $ + $ $ 4 = #! #! (, + ) h m # 5 # $ 4 # $ ) # [ + ) ) $ $ # f (? 4. # f! # 9 $ $ # $ 4+ ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 C O # $ + ( +?! # $ + 9 $ $ #! # m+1 $ 4 + ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 1 # $ 4 # $! + ) ) ( f + $ C m+ x R # $ 5 ) 4 ( $ m h f(x ) h m, m h f(x ) h m, δ m h f(x ) h m $ + )! # $ + I 4, 4 + ) $! # m N 4., #! ( 4 O ( # f (m) (x )! # f + 4 ) x! J+! # h h # h # $ # 9 4 O #, # ) + $ 5 # h # )! O # $ ( $ + O + ) $ 4 ) $ 4 ( ) + ) 9 # # $ ( $ $ $ 4 O ) $ 5 4? ( ) ( 4 $ # ) # $ ' ( +., # $ / / # / 1 * = : W _ A J > L < E J E L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + 1) U : E L A E R J E \B A P N J > A JL >: E J > E : R B J : E E \ > P N : B > A N x R h > J _ A > L J< E J U : E > L P E L J L JN N J H< J a C f (m) (x ) m h f(x ) h m f (m) (x ) m h f(x ) h m Ch h h, / } 6 1 Ch h h. / / 1

32 a / = : W m A J > L < E JE L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + ) U : E L A E R JE \ B A P N J > A J L >: E J > E : R x R h > B J : E E \ > P N : B > A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J H< J a C f (m) (x ) δm h f(x ) Ch h h. / / } 1 h # $ + =., # $! #! 4 h $ 4 + ) $! J# m $. 9 # $! #! ( [ +, 4 + ) $ ( $ 4 5 # $! # + N? 4 + ) $! J+ )! # $! J( 9 + #, # ) $! # 4! # $ # 9 [ + ) 4 ) # O # ) 4! # $! ( 4 O ( # $! # I 4., # , # d 4 ) $ 4 # $ [ +, # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 # ) ( # $ + J + I 4, 4 + )! # f (x ) 4 # 1 # m = f IV (x ) 4 # 1 $ + ). $ $ + m = 4 O # ) 4 4 $ ( # $ # $ 4 )? ( ) 4 # $ # $ J ( 9 4 O # ) * f (x ) f(x + h) f(x ) + f(x h) h, / / / 1 f IV (x ) f(x + h) 4f(x + h) + 6f(x ) 4f(x h) + f(x h) h 4. / / 1 1 ] # $ [ +, # $ 9 + )! 4 $ # ) V ) # # #! # + ) 9 #! J +! # $ 4 (? 4. # # $ $ $ # h f ] +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # ) ( 9 (! # ) # # $ # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # h 9 + ) 4 #, # ) I # # $! # + ) 9 # 5 4! 4, 4 ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # 1 m 9 + ) # 4 # $ 4, + )! # #, 5 # 5 # # $ h # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #?, # ) # m &. ", & "... & $ * + ) ) + ) $ N ) + $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # ) + 4 ) f : R R x R # ) ) +, = # + $ 4 4 [ # 4 ] + ) $ 4! ( + ) $ # $ + 4 ) $ h x j = x + jh O # 9 j =, 1,, 3,... 4 # $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t, # m $ 4 O ) # ( 1 * p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h (x x )(x x 1 ) + 3 h f(x ) 3!h 3 (x x )(x x 1 )(x x ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ). / / $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( # $ 4 ) + $ 9 9 N m + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O #, # ) ) + $ + = # ) + ) $ * p m (x ), p m (x 1 ),... p m (x ) = f(x ), p m (x 1 ) = f(x ) + hf(x ) h p m (x ) = f(x ) + hf(x ) h = f(x ) + h f(x ) + hf(x ) (x 1 x ) = f(x ) + f(x 1) f(x ) h = f(x 1 ), h (x x ) + h f(x ) h (x x )(x x 1 ) = f(x ) + (f(x 1 ) f(x )) + (f(x ) f(x 1 ) + f(x )) = f(x ).

33 / { ) [ 4 ) + $ + O + ) $, + ) # 5 # # 4 $ 5 # p m (x j ) = f(x j ) j =, 1,,..., m p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( + $ m p m # $ J ) 4 5 # + 1 ) t, #! #! #? ( 5 4 m 4 ) # + #! ) $ # $ + 4 ) $ f (m + 1) x, x 1, x,..., x m 9 ' } 1 w # $ [ 9 4 #! # O # $ 4 ) + $! ( 4 O + ) $ [ + 4 $ # 4 + ) m / / 1 ) + $ + = # ) + ) $ d m dx m p m(x) = m h f(x ) h m. 9 + $ O + ) $ 4 ) $ 4 4 # #, # ), + ) ( # ( $ $ 4 O ) * = : W A J > L N J p m ` : N E R J B \ H < A A E L JB m ` : N J x j = x + jh P J U P N : B > : E P j =, 1,,, ma P E > N J > ` : A E L > (i) p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h m (x x )(x x 1 ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ); / / 1 d m (ii) dx m p m(x ) = m h f(x ) h m. / / $ #, 4 ) + ) $ 9 # # $ # )! # I #, 5 # $ `, F D : W 4 [ + ) ) # $ [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f (m + 1) ) O = # ) + $ + # O + ) $ 4 4 $ # # ' ( +., # } } + ( = 4 J# $ 4, 4 + )! J# # $ 4 O ) # # ) # * f p m max f(x) p 1 m(x) x [x,x +mh] (m + 1) hm+1 max f (m+1) (x). x [x,x +mh] #, 5 # J ) +? 4 # # ) # # + 1 ) t, #! # 9 # - + ) p m / / 1 # # + 1 ) t, # + = # )! ( O # + #, # )! # 1 +! # +! # f x = x `, F D : W : w # $ + $ $ 4 = #! J( = 4! # $ ( $ $ $ #, = = # $ V 9 # I ( ) + ) 9 ( $! ) $ # ' ( +., # / 5, 4 $ O # 9 # $ + ( # $ # m # I #, # 4 # $ m h δ [ 9 4 #! #, + ) # 5 # $ 4 h m # ) # $ + 4 ) $ q # $ # + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 44 ) # + # [ + ) ) f x h x # + $ x + h d dx q (x ) = δ h f(x ) h = f(x + h) f(x ) + f(x h) h. ) $ l? # / } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( + ) # [ + ) ) f! + ) ) ( # $ + )? ' # # 9 # 4! # q 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ 9 + = # $! # $? ' # $! # f #! # q + 4 ) (x, f(x )) $ + ) + 9 ' # $ + $ 5 # h # $ # 4 & $ *. & w # $ + $ $ 4 = #! # + O #! # $ [ +, # $! #! ( 4 O 4 + ) ), ( 4 5 # $ ( 9 4 $ # $ 5 #9 # # $ 5 # ) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4! ( ( # $ z $ 5 J V ( $ # ) + $ + ) $ # I #, #

COURBES EN POLAIRE. I - Définition

COURBES EN POLAIRE. I - Définition Y I - Définition COURBES EN POLAIRE On dit qu une courbe Γ admet l équation polaire ρ=f (θ), si et seulement si Γ est l ensemble des points M du plan tels que : OM= ρ u = f(θ) u(θ) Γ peut être considérée

Διαβάστε περισσότερα

La Déduction naturelle

La Déduction naturelle La Déduction naturelle Pierre Lescanne 14 février 2007 13 : 54 Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction naturelle, on raisonne avec des hypothèses. Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

TD 1 Transformation de Laplace

TD 1 Transformation de Laplace TD Transformation de Lalace Exercice. On considère les fonctions suivantes définies sur R +. Pour chacune de ces fonctions, on vous demande de déterminer la transformée de Lalace et de réciser le domaine

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες. KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère

ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες. KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές του δράματος και Διδακτική των ζωντανών γλωσσών. Η συμβολή τους στη διαμόρφωση διαπολιτισμικής συνείδησης

Τεχνικές του δράματος και Διδακτική των ζωντανών γλωσσών. Η συμβολή τους στη διαμόρφωση διαπολιτισμικής συνείδησης Αντώνης Χασάπης 839 Αντώνης Χασάπης Εκπαιδευτικός, Μεταπτυχιακός ΠΔΜ, Ελλάδα Résumé Dans le domaine de la didactique des langues vivantes l intérêt de la recherche scientifique se tourne vers le développement

Διαβάστε περισσότερα

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( ) Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes

Διαβάστε περισσότερα

Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française

Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2009-2014 Επιτροπή Αναφορών 20.9.2013 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ Θέμα: Αναφορά 1504/2012, της Chantal Maynard, γαλλικής ιθαγένειας, σχετικά με διπλή φορολόγηση της γερμανικής σύνταξής

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών

Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών Μάθημα: Συνταγματικό Δίκαιο Εξάμηνο: Α Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Δημητρόπουλος Ανδρέας Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών Ονοματεπώνυμο: Τζανετάκου Βασιλική Αριθμός μητρώου: 1340200400439 Εξάμηνο: Α

Διαβάστε περισσότερα

Corrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT

Corrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT Corrigé exercices série # sur la théorie des ortefeuilles, le CA et l AT Exercice N et Q ayant la même espérance de rentabilité, formons un portefeuille de même espérance de rentabilité, de poids investi

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Plasticité/viscoplasticité 3D

Plasticité/viscoplasticité 3D Ecoulement viscoplastique ε. p Elasticité f 0 Contraintes Plasticité/viscoplasticité 3D Georges Cailletaud MINES ParisTech Centre des Matériaux, CNRS UMR 7633 Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique

Διαβάστε περισσότερα

Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX. Mini & Box

Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX. Mini & Box Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX 3 Fiche technique EURO-RELAIS MINI & BOX DESCRIPTIF La borne Euro-Relais MINI est en polyester armé haute résistance totalement neutre à la corrosion

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ

ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ 8 Raimon Novell ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ Η ΜΑΡΙΑΝΉ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΤΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ 1.- ΑΠΟΣΤΟΛΗ, ΧΑΡΙΣΜΑ, ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

Logique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012

Logique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012 Logique Propositionnelle Automates et Logiques Cédric Lhoussaine University of Lille, France Janvier 2012 1 Syntaxe 2 Sémantique 3 Propriétés de la logique propositionnelle 4 Déduction naturelle Le système

Διαβάστε περισσότερα

Microscopie photothermique et endommagement laser

Microscopie photothermique et endommagement laser Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université

Διαβάστε περισσότερα

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows

Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

FRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ. Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη

FRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ. Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη FRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη ΑΘΗΝΑ 2015 Το βιβλίο εντάχθηκε στο πρόγραμμα εκδοτικής αρωγής και διεθνούς ανάπτυξης του Γαλλικού Ινστιτούτου & Υπουργείου Εξωτερικών / Cet

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΤΗΣ ΠΕΤΡΑΣ. Ήπειρος (Ελλάδα)

ΤΕΧΝΙΤΗΣ ΠΕΤΡΑΣ. Ήπειρος (Ελλάδα) Ονοματεπώνυμο ΚΑΛΑΜΠΟΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 1969 Μιχαλίτσι (Ήπειρος) Έτη δραστηριότητας ως τεχνίτης Δουλεύει από 15 ετών Ήπειρος (Ελλάδα) Οργανώνει το συνεργείο κατά περίπτωση Έμαθε την τέχνη από τον πατέρα και

Διαβάστε περισσότερα

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu

Διαβάστε περισσότερα

Βασιλική Σαμπάνη 2013. Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας

Βασιλική Σαμπάνη 2013. Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας Βασιλική Σαμπάνη 2013 Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας 200 Διαγλωσσικές Θεωρήσεις μεταφρασεολογικός η-τόμος Interlingual Perspectives translation e-volume ΜΑΝΤΑΜ ΜΠΟΒΑΡΥ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ( ) ( ) ( ) Problème 1

[ ] ( ) ( ) ( ) Problème 1 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Problème 997 Examen Final - Solutions Pour trouver la réponse impulsionnelle de e iruit on détermine la réponse fréquentielle puis on effetue une transformée de

Διαβάστε περισσότερα

Thèe : Calul d' erreur Lien vers les énonés des eeries : Marel Délèze Edition 07 https://www.deleze.nae/arel/se/applaths/sud/alul_erreur/_a_-alul_erreur.pdf Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord la valeur

Διαβάστε περισσότερα

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

Présidence du gouvernement

Présidence du gouvernement Royaume du Maroc 2016 Présidence du gouvernement Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres L'Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion

Διαβάστε περισσότερα

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.

Διαβάστε περισσότερα

DOCUMENT DE RECHERCHE EPEE

DOCUMENT DE RECHERCHE EPEE DOCUMENT DE RECHERCHE EPEE CENTRE D ETUDES DES POLITIQUES ECONOMIQUES DE L UNIVERSITE D EVRY Changements organisationnels dans les entreprises, outils de gestion et risques psychosociaux : une analyse

Διαβάστε περισσότερα

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.

Διαβάστε περισσότερα

Philologie et dialectologie grecques Philologie et dialectologie grecques Conférences de l année

Philologie et dialectologie grecques Philologie et dialectologie grecques Conférences de l année Annuaire de l'école pratique des hautes études (EPHE), Section des sciences historiques et philologiques Résumés des conférences et travaux 145 2014 2012-2013 Philologie et dialectologie grecques Philologie

Διαβάστε περισσότερα

Planches pour la correction PI

Planches pour la correction PI Planches pour la correction PI φ M =30 M=7,36 db ω 0 = 1,34 rd/s ω r = 1,45 rd/s planches correcteur.doc correcteur PI page 1 Phases de T(p) et de correcteurs PI τ i =10s τ i =1s τ i =5s τ i =3s ω 0 ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΓΑΛΛΙΚΑ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΓΑΛΛΙΚΑ ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (Τµήµα Α1 και Α2) Méthode : Action.fr-gr1, σελ. 8-105 (Ενότητες 0, 1, 2, 3 µε το λεξιλόγιο και τη γραµµατική που περιλαµβάνουν) Οι διάλογοι και οι ερωτήσεις κατανόησης (pages 26-27, 46-47,

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP 2 1 ΠΛΑΙΣΙΟ ΓΙΑΤΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ErP? Αντιμετωπίζοντας την κλιματική αλλαγή, διασφαλίζοντας την ασφάλεια της παροχής ενέργειας2 και την αύξηση της ανταγωνιστικότητα

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

Algorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure

Algorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure Algorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure Hervé Rivano To cite this version: Hervé Rivano. Algorithmique et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

Mécanique Analytique et CFAO. Travaux pratiques de mécanique analytique. Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double

Mécanique Analytique et CFAO. Travaux pratiques de mécanique analytique. Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double Méanique Analtique Travaux pratiques de méanique analtique Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double 1 Méanique Analtique Mise en situation... Positions: X l A m Point A: (l sin, -l os

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison

Διαβάστε περισσότερα

Dramaturgie française contemporaine

Dramaturgie française contemporaine ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Dramaturgie française contemporaine Unité 9 Bibliographie Kalliopi Exarchou Langue et Littérature françaises Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

12J15$ΜΑΪΟΥ$ $MAI$2016$ HELEXPO$ Είσοδος$ελεύθερη$ $Entrée$libre$

12J15$ΜΑΪΟΥ$ $MAI$2016$ HELEXPO$ Είσοδος$ελεύθερη$ $Entrée$libre$ 13ηΔιεθνήςΈκθεσηΒιβλίουΘεσσαλονίκης 13 ème SaloninternationaldulivredeThessalonique 12J15ΜΑΪΟΥ MAI2016 HELEXPO Είσοδοςελεύθερη Entréelibre ΧΟΡΗΓΟΙ SPONSORS ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ PARTENAIRES ΓΑΛΛΙΚΟΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Module #8b Transformation des contraintes et des déformations 2D-3D : Cercle de Mohr

Module #8b Transformation des contraintes et des déformations 2D-3D : Cercle de Mohr Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Module #8b Transformation des contraintes et des déformations D-3D : Cercle de Mohr (CIV1150 - Résistance des matériaux) Enseignant:

Διαβάστε περισσότερα

Lycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore "Malignani Cervignano Italie

Lycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore Malignani Cervignano Italie IES Rio Trubia Trubia Espagne Lycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore "Malignani Cervignano Italie Lycée Pédagogique Al. Vlahuta Bârlad Roumanie 3 Geniko Lyceum Galatsi Athènes

Διαβάστε περισσότερα

Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus

Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus , 542, id.a69 X 3 Σg Nouvelles surfaces d'énergie potentielle

Διαβάστε περισσότερα

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Pierre Coucheney, Patrick Maillé, runo Tuffin To cite this version: Pierre Coucheney, Patrick

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Très formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom

Très formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom - Ouverture Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Très formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom Αγαπητέ κύριε, Formel, destinataire masculin,

Διαβάστε περισσότερα

Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης

Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης. H «ανάγνωση» και η «παραγωγή» πολυτροπικότητας σε μαθησιακό περιβάλλον: πρώτες διαπιστώσεις απο μια διδακτική εφαρμογή. Μελέτες για την ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 4: Méthode Audio-Orale (MAO) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας. YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique. Ενότητα 0 Introduction au cours

ΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας. YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique. Ενότητα 0 Introduction au cours ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique Ενότητα 0 Introduction au cours

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 5: Structuro-Globale Audio-Visuelle (SGAV) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Spectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon

Spectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon Spectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon Natalia Egorova To cite this version: Natalia Egorova. Spectres

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Business Order. Order - Placing. Order - Confirming. Formal, tentative

Business Order. Order - Placing. Order - Confirming. Formal, tentative - Placing Nous considérons l'achat de... Formal, tentative Nous sommes ravis de passer une commande auprès de votre entreprise pour... Nous voudrions passer une commande. Veuillez trouver ci-joint notre

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Analysis of Waves

Fourier Analysis of Waves Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman

Διαβάστε περισσότερα

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves

Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:

Διαβάστε περισσότερα

Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate

Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate Delphine Picot To cite this version: Delphine Picot. Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate. Chimie. Ecole Polytechnique

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΜΙΑ ΕΥΡΕΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΟΧΥΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΦΟΡΕΙΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΜΙΑ ΕΥΡΕΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΟΧΥΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΦΟΡΕΙΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 191 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ...9 PREFACE (ΠΡΟΛΟΓΟΣ)...13 ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ... 17 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ...21 Ι. Ξενόγλωσσες...21 ΙΙ. Ελληνικές... 22 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ...25 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 29 Ι.

Διαβάστε περισσότερα

Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη

Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη GK9380 Ελληνικα Πρώτη Έκδοση Μάιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Votre système de traite vous parle, écoutez-le!

Votre système de traite vous parle, écoutez-le! Le jeudi 28 octobre 2010 Best Western Hôtel Universel, Drummondville Votre système de traite vous parle, écoutez-le! Bruno GARON Conférence préparée avec la collaboration de : Martine LABONTÉ Note : Cette

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective

Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective Alessio Franci To cite this version: Alessio Franci. Pathological synchronization in neuronal populations : a control

Διαβάστε περισσότερα

Réseau de diffraction

Réseau de diffraction Réseau de diffraction Réseau de diffraction Structure de base: fentes multiples Rappel:diffraction par fentes multiples θ Onde plane incidente d a θ 0. θ I( norm. sin ( Nγa / sin ( γd / sin ( γa / ( γd

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

Από την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1

Από την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1 Από την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1 Γιώργος ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Η ενδιαφέρουσα και πλούσια σε ιδέες εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Geometric Tomography With Topological Guarantees

Geometric Tomography With Topological Guarantees Geometric Tomography With Topological Guarantees Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari To cite this version: Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari. Geometric Tomography With Topological

Διαβάστε περισσότερα

Zakelijke correspondentie Bestelling

Zakelijke correspondentie Bestelling - plaatsen Εξετάζουμε την αγορά... Formeel, voorzichtig Είμαστε στην ευχάριστη θέση να δώσουμε την παραγγελία μας στην εταιρεία σας για... Θα θέλαμε να κάνουμε μια παραγγελία. Επισυνάπτεται η παραγγελία

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010

Μεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010 Μεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010 Σπουδέςανοικτέςσεόλους -2 200 000 φοιτητές στη Γαλλία -270.000 ξένοι φοιτητές (12% ) -4η χώρα υποδοχής ξένων φοιτητών Οι ξένοι

Διαβάστε περισσότερα

10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K

Διαβάστε περισσότερα

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).

Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ). Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Εισηγήτρια : Αλεξάνδρα Κουρουτάκη, ΠΕ 05 Γαλλικής φιλολογίας, ΠΕ

Διαβάστε περισσότερα

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ

Διαβάστε περισσότερα

Mohamed-Salem Louly. To cite this version: HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel

Mohamed-Salem Louly. To cite this version: HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel Deux modèles matématiques de l évolution d un bassin sédimentaire. Pénomènes d érosion-sédimentation-transport en géologie. Application en prospection pétrolière Moamed-Salem Louly To cite tis version:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ ΤΟΜΟΣ Β ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΦΡΑΓΚΟΚΡΑΤΙΑ ΤΟΥΡΚΟΚΡΑΤΙΑ ΝΕΟΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ ΑΘΗΝΑ 2005

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

QUALITES DE VOL DES AVIONS

QUALITES DE VOL DES AVIONS QUALITES DE OL DES AIONS IPSA Philippe GUIETEAU ONERA/DPRS/PRE Tel : 69 93 63 54 : 69 93 63 Eil : philippe.uicheteu@oner.r Qulités de vol des vions (/4) 4 Petits ouveents lonitudinu 4. Principe de linéristion

Διαβάστε περισσότερα

LES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο

LES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο REVIISIION = ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ I) TERMES DE COIFFURE LES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο LES PERSONNES = ΤΑ ΑΤΟΜΑ 1) Un coiffeur = ένας

Διαβάστε περισσότερα

Mission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010

Mission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010 Mission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010 Une mission d entreprises françaises en Grèce a été organisée par la ME Ubifrance, à l occasion du salon International ENERGY PHOTOVOLTAIC

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Μετανάστευση Στέγαση. Στέγαση - Ενοικίαση. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι.

Μετανάστευση Στέγαση. Στέγαση - Ενοικίαση. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι. - Ενοικίαση γαλλικά Je voudrais louer. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι une chambre un appartement un studio une maison individuelle une maison jumelée une maison mitoyenne Combien coûte

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη

Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη M12AD M52AD GK9559 Πρώτη Έκδοση Ιούλιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα