Introduction à l analyse numérique
|
|
- Νέφθυς Μανωλάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Introduction à l analyse numérique Jacques Rappaz Marco Picasso Presses polytechniques et universitaires romandes
2 Les auteurs et l éditeur remercient l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage. LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DU PROFESSEUR ROBERT C. DALANG Recherche opérationnelle pour ingénieurs I Dominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche Recherche opérationnelle pour ingénieurs II Jean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra Calcul différentiel et intégral Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1 Fonctions réelles d une variable réelle Fonctions réelles de plusieurs variables réelles 3 Fonctions réelles d une variable réelle Exercices résolus 4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles Exercices résolus Algèbre linéaire Aide-mémoire, exercices et applications Robert C. Dalang et Amel Chaabouni Analyse avancée pour ingénieurs Bernard Dacorogna, Chiara Tanteri Initiation aux probabilités Sheldon M. Ross Cours d Analyse Srishti D. Chatterji 1 Analyse vectorielle Analyse complexe 3 Equations différentielles DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L INGÉNIEUR» Introduction à la statistique Stephan Morgenthaler Aide-mémoire d analyse Heinrich Matzinger Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d autres universités et écoles d ingénieurs francophones. Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL Centre Midi, CH-115 Lausanne, par à ppur@epfl.ch, par téléphone au () , ou par fax au () ISBN X 199,, 4, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH 115 Lausanne Imprimé en Italie Tous droits réservés. Reproduction, même partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l accord écrit de l éditeur.
3 ! # $ ' ( ) +,. ) # $ ' 1 $ 4 5 # $ 9 ' 4, 4 5 # $ + = 4 + +? 4 5 # $ 4 $ $ $! # # 9 ' ) + +? 4 #, +! # ) # $ + ) (? 4 $! # $$ 1 $., # $9 +, # I # $! J ( ) $ I! ( 4 N O ( # $ 4 # # $ ( $ ) ), ( 4 5 #! # 9 # $$ 1 $., # $! J( ) $ V J 4! #! J ) +! 4 ) # ) ( 9 # $ $ 4 #! # $ 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # $ + [ + )! 4 # $ # ), ' (, 4 5 # $ ] ' 9 ) #! # 9 # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # b # ( # + 4 ( # 1 # d 4 ) $ 4 # $ ( ) $! # 1 # # #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # $ ( ) $! # 1 # = #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! #! 4 h $ 4 + ) ( O + N 4 O # # # $ ( ) $! # 1 # ' 1 # = #! ( 9 4 O # ) # $ ' ( ) +,. ) # $! # ) $ + V O 4 # $ $ # l ) 4 # m + 9 ' 5 # 1 #! J( ) 4 # I 4 $ #! # ) +, = # $ # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ V! 4 $ + $ ) 9 $ $ ( # $ 9 (? + 4 # $ d 4 ) $ 4 + ) #! #, ( ' +! # $! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ( (, # ) $ l ) 4 $! # O +, # $ l ) 4 $! #, ( ' +! # $ $ # 9 # $ # 9 J 4 4 $ 4 + )! # 9 # $, ( ' +! # $ ), ( 4 5 # $ ) ( 9 # $ $ 4 # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 #! J + 4 $! # = $ # # $ 5 # J4 ) # ) + 1 ) t, 4 #! ( 4 O 4 + )# J 4 ) (? 4 + ) ), ( N 4 5 #! J ) # [ + ) ) ( $ )! #? )! $ $ 1 $., # $ 4 ) ( 4 # $ # ) + ) 4 ) ( 4 # $ J 4 ) (? 4 + )! J ( ) $! 4 h ( # ) 4 # # $ +! 4 ) 4 # $ w # I 4 $ #! # ) +, = # I + O? # $ 9 + ) $ 9 ( $ V J(! #, ' (, 4 5 # # V ( $ )), ( 4 5 #! # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ ] # 4 O # ) J $ ( # ) 4 + )! J b # )# I + $ ( # I ' $ 4 [ $ # $ z # m 9 + ) # 4 + =! # [ + ) 4 # 9 # # $ ) ) $! # = $ # l )! # + O + 4 = +! #! # # $ + =., # $ # 9 + ) # )! # 9 # 4 O # # $ ) # O # $ 4 + ) ( + h ( #! 9 + $ ( 5 # # # N, 4 # # # ) $ # 4? ) #! # 4 $ $ 4 # $ ) ) ( # $ I (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! #, 4 # #! # J{ 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # # 4 O # # $! 4 O 4 $ ( # ) } 9 ' 4 # $ 9 ' 5 # 9 ' 4 # ( ) 4 N, b, #! 4 O 4 $ ( # ) $ # ) $ # $ #, 4. # $ $ # 9 N 4 + ) $! # 9 ' 5 # 9 ' 4 #9 + ) 4 # ) ) # )? ( ) ( #, # )! # $?, # ) $ $ 4, # $ # $! # ) 4. # $ $ # ) $! ( O # + # )! # $ ) ) $ $ 9 +, # I # $ J O ) N! # ) 4. # $ # 9 N 4 + )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ # I # # $ 9 + 4? ( $! #$ + # 5 # # # 9 # 4 $ $ # z? # $ + ) ) 4 O #! # 9 +, ( ' # ) $ 4 + ) { ) l )! # ) 4. # $ # )! # 9 ' 5 # 9 ' 4 # 9 + ) 4 # )! # $ ) + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # 9 +,, # ) 4 # $! # $ 4 ) ( $ I 4 )? ( N ) 4 # $ $ # ) $ 4, 4 + ) ), ( 4 5 #! ) $ # $ O I! # # 9 ' # 9 ' # # $ } #, 4 # $ 9 ' 4 # $ # I + $ # ) # $ + 4 $! # = $ #! # J ) 1 $ # ), ( 4 5 # ] # $ + 4 $ $ + ) 9 + ) # ) $! ) $! # $ +? # $! # 9 9 $ 9 4 # ) 4 l 5 #! 4 $ N + ) 4 = # $! ) $ # 9 +,, # 9 # # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ $ + ) 9 + ) $ 9 ( $ V J ) 1 $ # ), ( 4 5 #! # $ ( ) $ I! ( 4 O ( # $ 4 # # $ # $ + )! # # 9 # $! 4 ƒ 9 4 # 5 # # $ ( 9 (! # ) $ + # [ + 4 $ J + O? # ( ( 9 + )! # $ + # 5 # # $ #, 4. # $ O
4 O 4 $ # ) $! # $! # ) 4 # $ 9 ' 4 # $ # $ # ) = +! = # $! # $ (. O # $ 4 )? ( ) 4 # $! # #, 4 # # ) 4 O # $ 4 4 # # $, ' (, 4 5 # $ 9 + ) # ) # $! ) $ 9 # 4 O # $ + ) # )? )! # 4 # # ) $ # 4? ) ( # $ # $! # I # $ I (! 4 ) $! #, 4 # #! # $ $ # ) $! #? ( ) 4 # 9 4 N O 4? ( ) 4 #, ( 9 ) 4 5 #, ( 4 I, # 9 ' ) 4 5 # ' 1 $ 4 5 # 4 ) [ +, 4 5 # $ 1 $., # $! # 9 +,, ) ) $! # J { 9 + # m + 1 # 9 ' ) 4 5 # (! ( #! # $ ) ) # 9 +, ( ' # ) $ 4 + )! # 9 # $, ' (, 4 5 # $ # 5 4 # ) # = + ) ) # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # ( N = #! 9 9! 4 h ( # ) 4 # # 4 ) (? #! # J?. = # 4 ) ( 4 #, 4. # $? ( ) ( # N, # ) # ) $ # 4? ) ( # $ + $! # #, 4. # ) ) ( #! J (! # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ ) $ ) $ + 9 4! # 9 + ) 9 4 $ 4 + ) 5 # 5 # $ ( $ $ $ + ) ( ) + ) 9 ( $ $ ) $! (, + ) $ N 4 + ) ] # # )! ) # $ # $ $ # $ + ) # h + 9 ( $! #, 4 ) # ) 4 ) # 9 # 4 ) # 4? #, ' (, 4 5 #! ) $ [ +, 4 + )! # 9 # $ ( $ $ # $ # $ 4 # ) ) # ) V #, # 9 4 # + ) $ 4 # # m + [ # $ $ # ] ' # z 4 4 N # 9 #! # 9 + # ), ' (, 4 5 # $! # $ m # $ $ # $ m + 1 # 9 ' ) 4 5 # $ ) 4 O # $ 4 4 # $ +, )! # $ + $ # $ # ) 9 +? #, # ) $ # $ + ) 4 ) ( b V = )! # 9 # + N O? # # O 4! #! 9 1 +? ' 4 # ( ( # h # 9 ( O # 9? )! $ + 4 )!, # + $ # 4 J # # + O # # 9 + ) ) 4 $ $ ) 9 # # # $ #, # 9 4 #, # ) $! # $! # I # $
5 _ /! # % ' +, ' # % } } m + $ )! + =., # } } / $ #! #? )? # } 1 w ) # )! #? )? # 1 } w ) # )! J ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # ) + 1 ) t, # } w ) # )! J 3 #, 4 # 4 } 5 w ) # ) 4 ) # O # $ 6 } 4 { I # # $ } / } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } : ; = #?, ' # % % D = # F D G / } ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! # + ) 9 # } 4 / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # #! J + )! 4 $ } 6 / 1 ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # } # # # $ / / / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $! J+! # $ ( 4 # / 1 / ( 4 O ( # $ ), ( 4 5 # $ # 4 ) # ) / / 5 { I )! # 4 9 '! $ + ) / / 4 { I # # $ / 4 / 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 } N O % ' = R, ' # % % D = # F D W X D F D,, ' D N N 1 } ] ( ) ( 4 ( $ / m + 4! $! J ) # [ +, #! # 5! # , #! # 9 )? # 1 +, #! # 4, $ + ) } 1 +, # $! # ] $ $ N #? # )! # / 1 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ ` = D ' # % d ' # %=, # Wf # # %, ' # % h, D W j d ', k % # ' # %% = W j d ' D = ' # %= m } m + $ )! + =., # } / { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ $ ) # I #, # / 1 d? + 4 ', #! J ( 4, 4 ) 4 + ) 1 9 +, = #! J+ ( 4 + ) $ + J( 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ 4 { 4, 4 ) 4 + )! # ] $ $ O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O + O 4 4
6 G O $., # $, 9 + )! ) ) ( $ $., # $ $! ( #, 4 ) ( $ ( ' +! #! # $, + 4 )! # $ 9 ( $ 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 5 4 m ; = k + # ' # % W ; = k + # ' # % d LU } ( 9 +, + $ ) 5 6 LU / 4 4 (! #! ( 9 +, + $ ) 4 / LU 1 ( 9 +, + $ ) LU O # 9 9 ' )? #, # )! # 4 O # $ $ 1, ( 4 5 # $! ( l ) 4 # $ + $ 4 4 O # $ ( 9 +, + $ )! # ] ' + # $ # $! # = )! # 4 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ 1 ` = D ' # % d ' # % =, # +, = ' # ' =, ' #? # m 5 } ] ( ) ( 4 ( $ ( ' +! # $! # 9 + = 4 # ] $ $ N # 4! # 5 / ) # I #, # ( ' +! # $! # # I 4 + ), ( ' +! # $ 6 5 ( ' +! # $!?! 4 # ) #!?! 4 # ) 9 + ) z? ( 6 / 5 { I # # $ # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } / & = ' % D = # F D + D k, k D?, D + +! D%, ' # k d = ' # F D ( m 4 } ] ( ) ( 4 ( $ } 4 / ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # } ( ' +! #! # 4 $ $ ) 9 # 4 ) O # $ # } 6 4 ( ' +! #! # 9 + = 4 } } } 4 { I # # $ } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } } 4 # f F D, ' # % ' d '! = F D, ' # % %% # %=, # } { ) $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ *? ( ) ( 4 ( $ } } 6 / ( ' +! # $! # + 4 ) l I # *? ( ) ( 4 ( $ } / } 1 ( ' +! #! # 9 # - + ) #, ( ' +! #! # 9 +! # } / 1 $., # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ } / 4 { I # # $ } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 1 f F D, ' # % # / = % ' # N G 6 } { ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! #, 4 # +! # *? ( ) ( 4 ( $ } / m + =., # $ ), ( 4 5 #, # ), + $ ( $ } ' (, $! J { # } } 6 ( ' +! # $! # )? # N! J +! # / } 6 ( ' +! #! # )? # N 9 $ $ 4 5 # } $., # $! 4 h ( # ) 4 # $! #, 4 # +! # } 4
7 4 I 6 4 { ) $! 4 h ( # ) 4 # # $! J+! # $ ( 4 # } 6 { I # # $ } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } ( ; # / = %k %# ' = = % ' % # + D +, D # # ' D %# # % # %% m m } } ) + =., # I 4, 4 # $ ) 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # } } / ( ' +! #! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 5 } 1 ( ' +! #! # ] # 4 ) } 4 } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( } } 5 } } ( ' +! #! J ( (, # ) $ l ) 4 $! #! #? ( / } 5 } 5 d + I 4, 4 + )! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! J ) + =., # I 4, 4 # $ ) + ) 4 ) ( 4 # } 5 4 } 4 { I # # $ } 5 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ }41 % = '! = = % ' % # + D!, ++ #, ' # % + # +' # F D G m } } } m + =., # $ # # $ # [ +, 4 + ) O ) ) # # }4 } } / { (, # ) $ l ) 4 $ 4 )? 4 # $! #! #? ( } }46 } } 1 ) # I #, # # } } } } { $ 4, 4 + ) $! J # # $ #, ( ' +! # $! #! #? ( $ ( 4 # } } } { I # # $ } 5 } } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ } 6 1 : + + #, ' # % + +,, # F D W, k, D m } / } { )! # 9 ' # } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ } 6 } / / { )! # 9 ' # } # ( (, # ) $ l ) 4 $ } 6 } / 1 m + =., # $ = # $ / # # $ + I 4, 4 + ) $ / / } / ) # I #, # # / } / { I # # $ / } / # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / N + + #, ' # % + d + # F D W f F D, ' # % ', % + ' ' = F D, ' # % % : ( } 1 } { )! # ) $ + } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / 6 } 1 / { )! # $ + )! # $ } #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / } 1 } 1 1 { ) $! # $ + )! # $ / # ( (, # ) $ l ) 4 $ / } } 1 { )! # ) $ + } ) + ) 4 ) ( 4 # / / } 1 { I # # $ / / / } # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ / / 5 _ + + #, ' # % + k %? k ' # % # / D # % :: } } ) + =., #! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ / / 6 } / ) + =., #! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) $ 4 + ) ) 4 # # ( (, # ) $ l ) 4 $ / 1
8 I } 1 m + =., # $ = 4! 4, # ) $ 4 + ) ) # $! # 9 + ) O # ) N! 4 h $ 4 + ) / 1 4 } { I # # $ / 1 6 } 9 + # $ = 4 = 4 +? ' 4 5 # $ # #, 5 # $ /
9 " $ & ( *+,. + $ + ) $ 5 # J+ ) O # 4 # 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, # p! #! #? ( n 5 4 +! # $ O # $ t t 1 t... t n! 4 $ 4 ) 9 # $! + ) ) ( # $ # ) ) # # $ O # $ p p 1 p... p n # $ # 9 4 O #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # p(t j ) = p j + j n. } } 1 ) #, ) 4. # #,, # ) $ 4, #! # ( $ +! # 9 # + =., # # $! J ( 9 4 # p(t) = a + a 1 t + a t + + a n t n } / a a 1 a... a n $ + )! # $9 + # ƒ 9 4 # ) $ 5 4! # O + ) b #! ( #, 4 ) ( $ 9 4 #, # ) $ 4 # $ 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a j $ + ) 9 + ) ) $ + $ # + 1 ) t, # # $ 9 + ) ) 1 # $ j n p 1 # 4 + ) $ n + 1 } } 1 $ J ( 9 4 O # ) + $ * a + a 1 t j + a t j + a 3t 3 j + + a nt n j = p j, j n. } 1 1 m 4 $ 5 # # $ O # $ t j # p j $ + ) 9 + ) ) # $ # $ # 4 + ) $ j n } 1 1 [ +, # ) ) $ 1 $., #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ (n + 1) (n + 1) a a 1 a... a n ) #, ) 4. #! 4 h ( # ) #! J ( 9 4 # } 1 1 # $ $ 4 O ) # + 4, 4 9 #! ( l ) 4 # * T (n + 1) (n + 1) ; = %# ' # % W : < A B : E > H< J ` : A E L > t a t 1a t a...a t nb 1 t t t 3... t n 1 t 1 t 1 t t n 1 T = 1 t t t 3... t n 1 t 3 t 3 t t n t n t n t 3 n... t n n T J > L N P R P L B A U J X P JB R : J P > > : UA \ J P < _ }
10 / 4 a # p $ + ) # $ (n + 1) N O # 9 # $ ) ) # $ $ 4 O ) $ * a = a a 1 a a n, p = ) + $ + O + ) $ ( 9 4 # } 1 1 $ + $ [ +, #, # #* T a = p. } 1 d 4 ) $ 4 # + =., # 9 + ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # # + 1 ) t, # $ 4 $ [ 4 $ ) p } } 1 # $ # (! # 4 # $ V + ) ( $ )! ) # $ # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # } 1 9 J# $ N V N! 4 # V! ( #, 4 ) # 4 $ 5 # a T p ( $ +! # ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ ) J # $ (n + 1) (n + 1) $ ) # 9 ' # 4 O 4 # 9 ' # 5 1, ( ' +! # 5 # ) + $ O # ) + ) $! #! ( 9 4 # + + O # # + 1 ) t, # ) J# $ $ ) # = + ) ) #, ( ' +! # ) $ $ 4 #) + $ p ( $ # ) + ) $ ) #, ( ' +! # $ $ 9 4 # $ # ) $ 4 # # + 1 ) t, # p.. &. w # $ [ 9 4 #! # ( $ +! # # + =., # } } 1 + $ 5 # + # $ # $ O # $ p j $ + ) (? # $ V ( + $ [ ) # 5 4# $ l I ( # V } + 4 $ + $ + ) $ 5 # J+ ) 4 # + )# ) 4 #! + ) ) ( # ) # # # k n p k = 1 p j = j k + 4 ϕ k [ + ) )! # t! ( l ) 4 # (t t )(t t 1 ) (t t k 1 )(t t k+1 ) (t t n ) ϕ k (t) = (t k t )(t k t 1 ) (t k t k 1 )(t k t k+1 ) (t k t n ). } 1 ] 4 #, # ) # ), ( #! # ϕ k # $ ) +! 4! # #, # $ n (t t j ) O # 9 # j k # $! + ) 9 ) + 1 ) t, #! #! #? ( # ) #! ( ) +, 4 ) #! # n t ϕ k # $ ) # 9 + ) $ ) # # 4 # $ + $ [ 9 4 #! # O ( 4 l # 5 # (i) ϕ k # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( n, (ii) ϕ k (t j $ 4 ) = j k, j n, (iii) ϕ k (t k ) = 1. d 9 ' 5 # + 4 ) t k ) + $ O + ) $! + ) 9 $ $ ( ) + 1 ) t, # ϕ k! #! #? ( n O ) ) # ) t k # ( + I # $ + 4 ) $ t j j k # $ + 1 ) t, # $ ϕ ϕ 1 ϕ... ϕ n $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ { ) # h # $ 4 α α 1 + α $ +... α n $ + ) ) +, = # $ ( # $ # $ 5 # (n + 1) n j= α jϕ j (t) = t R t = t k ) + $ + = # ) + ) $ * = n j= α j ϕ j (t k ) }{{} $ 4 j k 1 $ 4 j=k p p 1 p p n, = α k,
11 1 # 9 + ) $ ( 5 # ) + $ # $ α k $ + ) 4! # ) 4 5 #, # ) ) $ k =, 1,..., n ) $, 4 ) # ) ) P n J # $ 9 # O # # [ +, ( + $ # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) [ ( 4 # + (? V w # $ = 4 # ) 9 + ) ) 5 # n P n # $ ) # $ 9 # O # #! #! 4, # ) $ 4 + ) # 5 # $ = $ # 9 ) + ) 4 5 # # $! + ) ) ( # (n + 1) 1, t, t, t 3,..., t # [ 4 5 # n ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n $ + 4 # )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 4 ) ( 4 #, # ) n 4 )! ( # )! ) $, + ) # 5 # 9 # $! # ) 4 # $ [ +, # ) $ $ 4 ) # = $ #! # P n d 4 ) $ 4 ) + $! + # + ) $! ( l ) ) $ 4 O ) # * ; = %# ' # % W : : < A B : E > H < J J > L N P P > J P B P E J@ J P n P > >: UA \ J P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n f + W m # ) + ) $ n = t = 1 t 1 = t = 1 = $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ 1 # 1 # $ [ +, ( # # $ + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ϕ! ( l ) 4 $ ϕ (t) (t t 1)(t t ) (t t 1 )(t t ) = 1 t(t 1) = 1 t 1 t; } 5 1 ϕ 1 (t) (t t )(t t ) (t 1 t )(t 1 t ) = (t + 1)(t 1) = 1 t ; } 4 1 ϕ (t) (t t )(t t 1 ) (t t )(t t 1 ) = 1 (t + 1)t = 1 t + 1 t. } 1 # $? ' # $! # ϕ ϕ 1 ϕ $ J 4 ) # O # [ 1, +1] ) 4 5 #, # ) $ + ) # ( $ # ) ( $! ) $ l? # } } ϕ 1 ϕ ϕ X # R W W $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ 1 # 1. & $ *. &. # O # ) + ) $ + =., # } } ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t, #! #! #? ( p n 5 4 # ) ) #! # $ O # $! + ) ) ( # $ p p 1 p... p n # )! # $ + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ t t 1 t... t n
12 + 4 ϕ, ϕ 1, ϕ,..., ϕ n = $ #! #? )? #! # P n $ $ ( # I + 4 ) $ t t 1 t... t n d + $ # + 1 ) t, # p 9 ' # 9 ' ( # $! ( l ) 4 * p(t) = p ϕ (t) + p 1 ϕ 1 (t) + + p n ϕ n (t) = j= { ) # h # 4 $ 5 # # $ ) # 9 +, = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 #! # + 1 ) t, # $ p (n + 1) ϕ ϕ 1 n p j ϕ j (t). } 6 1 ϕ... ϕ n! #! #? ( n + $ p # $ 4 N, b, # ) + 1 ) t, #! #! #? ( n 9 J# $ N V N! 4 # p P n J # $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ + 4 ( ( $! # $ + 1 ) t, # $ ϕ j ) + $ O + ) $ + k =, 1,,..., n * p(t k ) = n j= p j ϕ j (t k ) }{{} = p k } } 1 $ $ 4 4 j k 1 j=k 5 4 # $ = 4 # ) # 4 + ) } } 1 w # $ 4, + )! # #, 5 # 5 #) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 # I #, # ) ) # $ )! + =., # } } 1 # 9 # ) J4, + # 5 # # $ O # $! + ) ) ( # $ ] # 9 4, + ) # 5 # # $ 1 $., # p, p 1,..., p n } 1 + z + $ ) # $ ) + ) J 4, N a + # 5 # # 4 ) $ 4, 4 9 #! # )! #, + )! # # $ (? 4. # $ ) p T } 6 1! + =., # } } 1 # $! + ) 9 ) 4 5 # f + W : + O # ) + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 4 # ) t = 1 O # ) p = t 1 = O # # ) p 1 = 3 t = 1 O p = 6 J. $ 9 #5 4 ( 9.! # ) + $ O + ) $ + 4 p(t) = ϕ (t) + 3ϕ 1 (t) + 6ϕ (t) ϕ ϕ 1 # ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 N } $ + = # ) + ) $! + ) 9 * p(t) = ( 1 t 1 ) t = 4t t (1 t ) + 6 ( 1 t + 1 ) t. & $ * ". ". $ & " $ *,. + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # # $ + 4 f : R R t t 1 t... t n (n + 1) + 4 ) $! 4 $ 4 ) 9 $! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $, 4 ) # ) ) V 4 ) # + # ) + 1 ) t, #! #! #? ( f p n I + 4 ) $ t j 9 J# $ N V N! 4 # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( j n p n # 5 # p(t j ) = f(t j ), j n. } } } 1 4 # $! + ) ) ( # + $ # ) + $ ) # # ) $ 4 f(t) p j = f(t j ) j n O ) 9 # 5 4 # $ [ 4 [! +, ) $ # ) $ # 9 = 4 + $ ) #! } # 1 ) +? $ ) +? = #! # ) # + ) $ p(t) = + 4 # $ n j= p jϕ j (t) ϕ j j n P n $ $ ( # I + 4 ) $ t, t 1, t,..., t $ )! + =., # n } } } 1 # $! + ) 9! ( l ) 4 # * p(t) = n j= f(t j )ϕ j (t) t R. } } / 1
13 b ; = %# ' # % W N E@ A B P H< J N J ` : N E R J J B \ n P < _ ` : A E L > t, t 1, t,..., t nb \ E A ` P B J > L NA E L J B ` : N P E J f + W N + 4 f [ + ) )! ( l ) 4 # f(t) = e t + O # J4 ) # + )! # f! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # 1 4 ) + $ # # ) + ) $ [ +, # } } / 1 ) + $ O + ) $ p(t) = e 1 ϕ (t) + e ϕ 1 (t) + eϕ (t) + 4 ϕ, ϕ 1, ϕ $ + )! + ) ) ( $ } 5 1 } 4 1 # } 1 d 4 ) $ 4! + ) 9 ) + $ + = # N ) + ) $ p(t) = 1 ( 1 e t 1 ) t ( 1 = e 1 + e ( 1 + (1 t ) + e ) t + ( e 1 e t + 1 ) t ) t + 1. l? # } /, + ) # #? ' #! # [ + ) ) f # $ + ) 4 ) # + )! #! #? ( I + 4 ) $ 1 # f p X # R W W : w ) # )! # [ + ) )! ( l ) 4 # ) + 1 ) t, # f f(t) = e t p! #! #? ( I + 4 ) $ # , 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # #! + ) ) ( # $ ) f : [a, b] R 4 ) # O # [ #, ( + 4 ) # ) 4 # + $ 4 4 [ # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 # $ + 4 ) $ [a, b] n t j j =, 1,,... $ + ) ( 5 4! 4 $ 4 = ( $! ) $ 9 J # $ N V N! 4 #, n [a, b] t j = a + jh j =, 1,,..., n O # 9 h = (b a)/n + 4 J4 ) # + )! #! #! #? ( I p f n + 4 ) $ t, t 1,..., t n 5 # ) + $ ) + # + ) $ p n + = 4 # ), + ) # 5 J 4! ( # )!! # J # ) 4 # 9 ' + 4 $ 4! ( J. $ n } } / 1 p n # $! ( l ) 4 * + 4 p n (t) = n j= f(t j )ϕ j (t), } } 1 1 ϕ, ϕ 1,..., ϕ n # $ = $ #! #? )? #! # P n $ $ ( # V t, t 1,..., t, + ) # # ( $ $ 4 O ) * n $ ) #
14 b 5 = W < ` ` : >: E > H < J N A E L JB P N N J : [a, b]b >: A L : A > U : E L A E R J E \ B A P N J > < B f (n + 1) N : B > > A J > \ E A p n ` P B E : < > P : E > max f(t) p 1 n(t) t [a,b] (n + 1) f (n+1) (t) = d n+1 f(t)/dt n+1 b ( b a n ) (n+1) max t [a,b] f (n+1) (t) } } 1 J 4 ) (? 4 ( } } 1# $ ) # # $ 4, 4 + )! J# # # ) # [ + ) ) + ) # $ + ) 4 ) # N f p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t, t 1, t,..., t n ( 5 4 ( 4 $! ) $ d [a, b] ) + $ ) $ # ) $ # 5 #9 # # # # 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ lim n 1 (n + 1) ( ) (n+1) b a =. { ) ( 4 ( 9 # # ƒ, 4 + ) # $ $ + O # ) [ $ $ # 9 9 # + #. $ 4! #, # ) max t [a,b] f (n+1) (t) O # 9 ] # ' ( ) +,. ) # # $ 4 $ (! ) $ J# I #, # $ 4 n O ) f + W _ ` D% R # J + ) 9 + ) $ 4!. # $ J 4 ) # N f(t) = 1/(1 + 5t ) O # [ + ) ) # $ 4 ) l ) 4, # )! ( 4 [ 1, +1] f(t) O = # $ J4 ) # O # [ 1, +1] #! # f (n) (1) O 4 # ). $ 4! #, # )? )! + $ 5 # # )! n O # $ J4 ) l ) 4 l? # } 1, + ) # $ + ) 4 ) # + ) p n! #! #? ( I + 4 ) $ n t j = 1 + j/n j = 1... n + n = 5 # n = 1 n f p 5 p X # R W W N w ) # + )! #! #! #? ( # } f(t) = 1/(1 + 5t ) O # 9! # $ + 4 ) $ ( 5 4 ( 4 $ 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # O + 4 $ 4 )? #! # $ # I (, 4 ( $! # J 4 ) # O # [ 1, +1] J4 ) # + ) ( $ # ) #! #? )! # $ + $ ) $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ $ 9 + ) 9 + ) $! + ) 9 5 J4 ) J# $ $4 )! 4 5 (! J 4 ) # + # ) # [ + ) ) ) + 1 ) t, #! #! #? ( ( # n O ( # )! # $ + 4 ) $ t, t 1,..., t n ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ m 9 + ) # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ # $ + 4 ) $! 4 $! # 9 ' # = 1 9 ' # h t j = a + (b a) ( 1 + cos ) (j + 1)π, j =, 1,,..., n, (n + 1)
15 ) $ 4 # J4 ) # + ) p n! # f + $ J# # max t [a,b] f(t) p n (t) # )! O # $ ( + + $ 5 # n # )! O # $ J4 ) l ) 4 9 +,, # #, + ) # l? # } 1.5 f p X # R W W _ w ) # + )! # f(t) = 1/(1 + 5t )! #! #? ( } O # 9! # $ + 4 ) $! # 9 ' # = 1 9 ' # h. & $ *. &,. # $ + =., # $! J4 ) # ) 5 # ) + $ O # ) + ) $! # 9 + ) $ 4! ( # $ + )! # $ " & " ' " ' * 4 $ [ + ) 4 ) # O # ) 4 # $ O # $! # + N 1 ) t, # $ #! # [ + ) ) $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $, 4 $ ) # 4 # ) ) # ) $ 9 +, #! # $! ( 4 O # ( # $! # w # I! 4 ( $ # 4! J # $ + =., # $! J 4 ) # ) + # $ 5 # $ # $ O # $! # p(t) O ( #! J4 ) # )! J 3 # $ + )! + ) ) ( # $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $ $ ) #! ) $ 9 # 9 $ p, (t) 4 # m + 4 $ # ) + # + + $ ) + $ ( $ # ) + ) $ ) $ # # I #, # 5 4 # $ J 4 ) # )! J 3 #, 4 #! # $ 9 = 4 5 # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( t < t 1! # I + 4 ) $! + ) ) ( $ # $ + 4 p, p 1 5 # ) +, = # $ ( # $, p! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 #, 5p # 1 p p(t ) = p, p(t 1 ) = p 1, } } 1 p (t ) = p, p (t 1 ) = p 1, } } # $! ( 4 p (t) O ( #! # + 4 ) p t # $ 9 + )! ) $ } } 1 4, + $ # ) O #! # # ) p t # * t 1 # $ 9 + )! ) $ } } 5 1 4, + $ # ) O #! #! ( 4 O ( #! # # ) p p t # t 1 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 $ J ( 9 4 $ + $ [ +, # p(t) = a + a 1 t + a t + a 3 t 3 ; ) + $ O + ) $! + ) 9l I (! ) $ } } 1 } } # 9 + )! ) $ +! ( #, 4 ) # 5 # 9 + # ƒ 9 4 # ) $ a a 1 a # a $ ) $, # ) # # + =., # V ( $ )! J ) $ 1 $., # 4 ) ( 4 #! # ( ) $ V 4 ) 9 + ) ) # $ 4 4 a a 1 a # a 3 4 ) + $, + ) + ) $ 5 # 9 # $ 1 $., # 4 ) ( 4 # + z + $ ) # $ ) + ) J 4, + # 5 # # $ O # $ p, p 1 + $ 9 # # $ ) # $ ) 4 5 #, p m ) $ 4 # ), + p $ 9 +,, # ) + ) $ 9 + ) $ 4 # ) # = $ # 1 p ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t # t 1
16 4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ϕ # 5 # ϕ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # ϕ (t ) = 1, ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ϕ (t 1) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ϕ (t) = (t t 1) (t + t 1 3t ) (t t 1 ) 3. } } #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ϕ 1 # 5 # ϕ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # $ ) + = 4 # ) * ϕ 1 (t 1 ) = 1, ϕ 1 (t 1) = ϕ 1 (t ) = ϕ 1 (t ) =. ϕ 1 (t) = (t t ) (t + t 3t 1 ) (t 1 t ) 3. } } $ ) 9 + ) $ 4 ψ # 5 # ψ $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? (1 # ψ (t ) = 1, ψ (t ) = ψ (t 1 ) = ψ (t 1 ) =. $ ) O ( 4 l # 5 # J + ) * ψ (t) = (t t 1) (t t ) (t t 1 ). } } O 1 #, b, # + ) 9 + ) $ 4 ψ 1 # 5 # ψ 1 $ + 4 ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 # $ ) + = 4 # ) * ψ 1(t 1 ) = 1, ψ 1 (t 1 ) = ψ 1 (t ) = ψ 1(t ) =. ψ 1 (t) = (t t ) (t t 1 ) (t 1 t ). } / $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # 9 # $ 5 # + 1 ) t, # $ ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 $ + ) 4 ) ( 4 #, # ) 4 )! ( # )! ) $ ; = %# ' # % W _ J > H < P L B J ` : N E R J > : B R JE L < E J P J ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1 E : < > P ` ` JN N J B : E > P JB R A L J L ` J U< A H < J P > >: UA \ J t JL t 1b P 3 H < J ) $ ) 4 5 l #,? # ) # } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( ϕ ϕ 1 ψ # ψ 1 $ J 4 ) # O # [t, t 1 ] d 1 ) 9 + ) $ 4 = $ #! J 3 #, 4 # ϕ, ϕ 1, ψ, ψ 1! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t, t 1 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # $ 4 # $ # + 1 ) t, #! # p! #? (! ( l ) 4 3 p(t) = pϕ(t) + p1ϕ1(t) + p ψ (t) + p 1 ψ 1(t), } / } 1 + $ $ 4 $ [ 4 # $ # 4 + ) $ p } } 1 } } ) + $ # ) + ) $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) ) # [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ J4 ) # O # # $ 4 ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 [t, t 1 ] p p(t) = f(t )ϕ (t) + f(t 1 )ϕ 1 (t) + f (t )ψ (t) + f (t 1 )ψ 1 (t), + $ ) + $! 4 + ) $ 5 # p # $ J 4 ) # + )! J 3 #, 4 #! # f! # $ 9 = 4 5 # $ $ [t, t 1 ] 9 + $ O + ) $ ) # #, # ) p(t ) = f(t ), p(t 1 ) = f(t 1 ), p (t ) = f (t ), p (t 1 ) = f (t 1 ).
17 a ϕ ϕ 1 ψ ψ 1 t t 1 X # R W W m $ #! J 3 #, 4 #! # 1 # 9 = 4 5 #. & $ * $ &. & **. J4 ) # )! J ) # [ + ) )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( # )! # $ + 4 ) $ ( 5 4! 4 $ 4 = ( $ # # )? # )! #! # $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ), ( 4 5 # $ 9 +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # ) } # $ J 4 ) # )! J ) # [ + ) )! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( ( # O ( ) J # $ $ z $ 4 l ( # + $ 5 # [ + ) ) V 4 ) # + # ) J # $ $ (? 4. # ] J # $ 4 $ + ) + 5 # # J4 ) # ) 4 ) # O # $ # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # $ ) 4 ) # f O # # $ + 4 [a, b] 1 N ) $! ) $ J 4 ) # x = a < x 1 < x < x 3 <... < x N = b O # m + [a, b] 9 ' 5 # 4 ) # O # ( 5 4 ( 4 $ ) + ( $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 ' + 4 $ 4 [x i, x i+1 ] ) $ 4 ) ( 4 # $ n 1 x i,1 < x i, < x i,3 <... < x i,n 1. { ) + $ ) t = x i t j = x i,j O # 9 1 j n 1 t n = x i+1 ) + $ + O + ) $ 4 ) # + # I + 4 ) $ f t j ) + 1 ) t, #! #! #? ( 9 +,, # ) + $ j n n J O + ) $ [ 4! ) $ $ # ) } ) $ $ 4 # ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ h = max x i+1 x i, i N 1 # ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ ) # [ + ) ) # # 5 # f h : x [a, b] f h (x) R f # $ # 4 ) # V 9 # 4 ) # O # $ + 4 z $ #, # ) 9 # + 1 ) t, #! J4 ) # ) h [x i, x i+1 ]! #! #? ( n ; = %# ' # % W m A B P H< J N P : E UL A : E f b 9 + $! (, + ) + ) $ # ( $ $ 4 O ) * = W : : A L f h J > L N A E L JB ` : N P E J B \ n ` P B A E L J B P N N J J < E J E L A JB n ` : > A L : E E \ >: A L < E J : E U L A : E f : [a, b] : E E \ JL J H< > : JE : A L < > > < ` ` : >: E > : A > U : E L A E R J E \B A P N J > < B N A E L JB P N N J (n + 1) >: E A E L J B [a, b] f h ` : N P E L@ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > N : B >A N J _ A > L J< E J U : E > L P E L J b C A \ ` P E L < Ü : A J > x ia 1 i N 1 L JN N J H < J max f(x) f h(x) Ch n+1. } / / 1 x [a,b]
18 } ; = % ', ' # % { ) 4 4 $ ) # ' ( +., #} } $ J4 ) # O # [x i, x i+1 ] # ) 4 # # 9 #! # J 4 ) # N O # [a, b] ) + $ + = # ) + ) $ * max f(t) f 1 h(t) t [x i,x i+1] (n + 1) d 4 ) $ 4 ) + $ O + ) $ ( xi+1 x i ( max f(t) f h(t) C max x j+1 x j t [x i,x i+1] j N ) $ ) # C # $! + ) ) ( # # + 4 C = 1 max (n + 1)n f (n+1) (t) (n+1) t [a,b] n ) (n+1) max t [x i,x i+1] f (n+1) (t). ) n+1 } / 1 1 i =, 1,,..., N 1 d 4 ) $ 4 } / / 1 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # 4,, (! 4 #! # } / 1 1 ) # 4 ) # ( 4 + )! ' ( +., # } / # $ $ 4 O ) # 4 + ) $ #! + ) ) # ) # ) 4 # + $ 4 4 [ n # $ 4 + ) # )! N + 4 ) $ x 1, x,..., x N O # 9 N! # $ # ) $? )!! # [ + ) V 9 # 5 # h $ + 4! # $# ) $ # 4 + $ max x [a,b] f(x) f h (x) 9 + ) O #? # O # $ ( + + $ 5 # h # )! O # $ ( + m # I #, # $ 4 + ) + $ # h = (b a)/n # $ 4 x i = a + ih O # 9 i =, 1,,..., N + ) max f(x) f h(x) Ch n+1. x [a,b] { ) 4 5 # + ) # )!? )! # # 4 N n + / n = 1 f + W m ] + ) $ 4! ( + ) $ # 9 $ + 4 f(x) = x e 3x sin(13x) a = b =. N = 4 + # $ = # $ + 4 ) $! # l? # 1 x = x 1 =. x =.4 x 3 =.6 x 4 =. 4 4 ) J 1 $! # + 4 ) 4 ) ( 4 # I4 ) # n = 1 O # $ J4 ) # ) $ 9 ' 5 # 4 ) # # [x i, x i+1 ] O # $ # [ 4! # $ + 1 ) t, # $! #! #? (} l? # } 5, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ) 4 ) ( 4 # V # + 4 ), 4 4 # n = [x i, x i+1 ] x i,1 # J4 ) # ) $ 9 ' 5 # 4 ) # = O # $ # [ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? xi+xi+1 ( / l? # } 4, + ) # #? ' #! # J4 ) # + ) 4 ) # O # $ J 4 ) # )! #? )? # 4 ) # O # $, # # ) ( O 4! # ) 9 #! # $ $ $! #! ( 4 O ( # #, 4. # # ) 9 ' 5 # + 4 ) x i l? } 5 # } 4 1 ) #, ) 4. #! # 9 + ) $ 4 # ) 4 ) # + ) 4 ) # O # $ $ 4 $ $ # # $! J 4 4 $ # J 4 ) # )! J 3 #, 4 # O # 9! # $ 9 = 4 5 # $ $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [x i, x i+1 ] $ # 9 } 1 ] 4 #, # ) $ 4 # $ f ) # [ + ) ) $ J4 ) # C O # # $ 4 $ 9 ' 5 # 4 ) # 1 [a, b] O # 4 ) # + + ) $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 9 +,, # ) + $ J ) + $ [x i, x i+1 ] f O + ) $! ( z V [ 4! ) $ $ # ) } $ J 4 ) # O # + $ # ) 9 ' 5 # + 4 ) [t, t 1 ] x i [ + ) ) ) # + # # )! f O # # $! ( 4 f(x i ) O ( # #, 4. # # )! O # J4 ) # + ) 4 ) $ ) $ 4 # $ ) # [ + ) ) $ f (x i ) C 1 [a, b] l? } 1
19 } } x e 3x sin(13x) interpolant a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( } x e 3x sin(13x) interpolant a = x x,1 x 1 x 1,1 x x,1 x 3 x 3,1 b = x 4 X # R W W G w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( / x e 3x sin(13x) interpolant a = x x 1 x x 3 b = x 4 X # R W W # w ) # ) 4 ) # O # $! # f! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 # 9 N = 4 5 # $
20 } /. &. f k # k W $ ) $ + $ # 5 # J + ) 9 + ) ) 4 $ $ # # $ O # $ f(t)! J ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # I O # $! # t # ) 4. # $ $ # #, # ) 9 J # $ N V N! 4 # + )$ + $ # 9 + ) ) # $ # $ O # $ f(k), k =, ±1, ±,... 4 ) + ) # ) 4 # + )! ( l ) 4 ) # + I 4, 4 + )! # # ) 4 ) # + ) t R t p(t) f(t) [ + ) ) + 9 ' # $! # ) + 1 ) t, #! #! #? ( 1 I 5 # + 4 ) $ # ) 4 # $ # $ $ f t { 9 4 # )? + 4 ', # 5 4 +! + ) ) ( [ + ) 4 t p(t) j D ' # % + 4 ) + ) # ) 4 # # $ # # ) 4. #! # m 4 $ 5 # t R t k = E[t] t t ]k, k+1[ 4 $ J? 4! #! ( l ) 4 # + 1 ) t, #! + ) #? ' # $ $ # # $ + 4 ) $ p ( k 1, f(k 1) ), ( k, f(k) ), ( k + 1, f(k + 1) ), ( k +, f(k + ) ).,, D W d? + 4 ', # [ + ) 4 $ $ ) p = p(t) V 4! # t R# ' % ', # ψ (x) := 1 x(x 1)(x ) 6 ψ 1 (x) := 1 (x + 1)(x 1)(x ) ψ (x) := 1 (x + 1)x(x ) ψ 3 (x) := 1 (x + 1)x(x 1) 6 4 # t k := E[t] 4 t = k p := f k ; 4 ) + ) ( l ) )! # $ [ + ) ) $ ψ ψ 1 ψ ψ 3 ] 9! # k 4 # $ # ) 4 # t 4 ) + ) + ) 9 9 # p(t) p := f k 1 ψ (t k) +f k ψ 1 (t k) +f k+1 ψ (t k) +f k+ ψ 3 (t k)
21 } 1 ] + ) [ +, (, # ) I ( $ $! # $ # ) } p # $ # + 1 ) t, #! ( l ) 4 p(t) =f(k 1)ϕ (t) + f(k)ϕ 1 (t) } / 1 + f(k + 1)ϕ (t) + f(k + )ϕ 3 (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 # $ = $ #! #? )? #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ { ) 4 4 $ ) J (? 4 ( k 1 k k + 1 k + } 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # * ϕ (t) = 1 (t k)(t k 1)(t k ), 6 ϕ 1 (t) = 1 (t k + 1)(t k 1)(t k ), ϕ (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k ), ϕ 3 (t) = 1 (t k + 1)(t k)(t k 1). 6 { h # 9 # + ) ) + $ $ #! 9 ' ( l ) ) 4? $ # $, + ) # $ ) #! $ # [ + O ) = ) $ # m 4 $ 5 # + $ x = t k t ]k, k + 1[ x ], 1[ ψ ψ 1 ψ ψ 3 $ + 4 # ) 9 + # ψ (x) = ϕ (x + k), ψ (x) = ϕ (x + k), ψ 1 (x) = ϕ 1 (x + k), ψ 3 (x) = ϕ 3 (x + k), ψ (x) = 1 x(x 1)(x ), 6 ψ 1 (x) = 1 (x + 1)(x 1)(x ), ψ (x) = 1 (x + 1)x(x ), ψ 3 (x) = 1 (x + 1)x(x 1). 6 J(? 4 ( } / 1 $ J( 9 4, 4 ) # ) ) * p(t) =f(k 1)ψ (t k) + f(k)ψ 1 (t k) + f(k + 1)ψ (t k) + f(k + )ψ 3 (t k). J? + 4 ', # 9 + # $ + )! ) # $ ( $ # ) (! ) $ # = # } } # $,. # $! J# ) ( # $ + ) t R # # $ O # $ f k = f(t k ) #,. #! # $ + 4 # p # $ O # p(t) f k # k W : + 4 t < t 1! # I ) +, = # $ ( # $! 4 $ 4 ) 9 $ # $ + 4 # 5 # ε < ε < t 1 t } { I # ) + 1 ) t, # p ε! #! #? (1 # 5 # p ε (t ) = p ε (t + ε) = 1, p ε (t 1 ) = p ε (t 1 + ε) =.
22 } / 4 ϕ(t) # 4 ), + ) # 5 # = $ 4 lim p ε (t) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = ε # $ ) # [ + ) )! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! #! #? ( 1 + ϕ J 4 ) # )! J 3 #, 4 # $ # 9 } 1 j D ' # % } + 4 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 3 = $ #! #? )? #! # P 3 $ $ ( # I + 4 ) $ t t + ε t 1 { ) 4 4 $ ) # ( $ t 1 + ε } 6 1 ) + $ O + ) $ * p ε (t) = ϕ (t) + ϕ 1 (t). J # J (? 4 ( } 1! + ) ) #* ϕ (t) = (t t ε)(t t 1 )(t t 1 ε), ( ε)(t t 1 )(t t 1 ε) ϕ 1 (t) = (t t )(t t 1 )(t t 1 ε). ε(t t 1 + ε)(t t 1 ) { ) (! 4 $ ) # $! # I [ ) $ 9 4 N! # $ $ $ V )! ( ) +, 4 ) # 9 +,, ) ) + $ + = # ) + ) $ * (t t 1 )(t t 1 ε) p ε (t) = ε(t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) ( ) (t t 1 ε)(t t ) (t t 1 + ε)(t t ε) = (t t 1)(t t 1 ε)(3t t 1 t + ε). (t t 1 )(t t 1 ε)(t t 1 + ε) / m! ( l ) )! # ϕ ) + $ O + ) $ * ϕ(t) = lim p ε (t) = (t t 1) (3t t 1 t) ε (t t 1 ) 3, #! + ) 9 # )! ( 4 O ) ) + $ + = # ) + ) $ * ϕ (t) = (t t 1)(3t t 1 t) (t t 1 ) (t t 1 ) 3 = 6 (t t 1)(t t) (t t 1 ) $ O + ) $! + ) 9 = 4 # ) ϕ(t ) = 1 ϕ(t 1 ) = ϕ (t ) = ϕ (t 1 ) = 9 # O # 5 # ϕ # $ ) #! # $ 5 # [ + ) ) $! # = $ #! # $ + 1 ) t, # $! J 3 #, 4 #! #! #? ( 1 $ $ ( # I + 4 ) $ t # t 1 $ # 9 } 1 f k # k W N + 4 ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( #$ J 4 ) # f O # $ + 4 # + 1 ) t, #! #! #? ( / ) # + # # ) # $ + 4 ) $ # [ 1, { I +1] 4, # p f 1,, +1 # ) [ + ) )! # # +1 ( 4 l # 5 # [ +, # 4 ) $ = # p(t)dt ) # 9 f( 1), f() f(+1) + ) 9 4! # O # 9 [ +, #! # 4, $ + )! # $ # ) 1
23 } j D ' # % { ) 4 4 $ ) # ( $ } 6 1 # + 1 ) t, # p # $! ( l ) 4 p(t) = f( 1)ϕ (t) + f()ϕ 1 (t) + f(+1)ϕ (t), + 4 ϕ ϕ 1 ϕ # $ = $ #! #? )? #! # P $ $ ( # I + 4 ) $ # # $ 1,, +1 # I ( #! ) $ J # I #, #} } 9 + $ O + ) $! + ) 9 +1 p(t)dt = f( 1) 1 ) 9 9 $ 4, #! + ) ) # +1 1 ϕ (t)dt + f() +1 1 ϕ 1 (t)dt + f(+1) +1 1 ϕ (t)dt # 9 + ) $ ( 5 # ) ϕ (t)dt = , ϕ 1 (t)dt = , ϕ (t)dt = 1 3, p(t)dt = ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). w $ #, = #! + ) 9 ) #! J + 9 ' # +1 1 f(t)dt 5 ) 4 ( J(f)! ( l ) 4 # J(f) = 1 3 ( ) f( 1) + 4f() + f(+1). ) $ #9 ' 4 # 1 ) + $ # # + ) $ 5 ) 4 ( " " J(f) m 9 + ) $ ) [ +, #! # 5! # 4 ).? # # I 9 #, # ) # $ J(f) + 1 ) t, # $! #! #? (! # I $ # ) $ q(t)dt = J(q) ) t, #! #! #? (! # I ] # # [ +, #! # 5! # $ J # # q [ +, #! # 4, $ + ) $ # ( (* & $ ".. &., & ". 9 + $ O + ) $ ( $ # ) (! # I # I #, # $! J4 ) # ) + 1 ) t, 4 # V $ O + 4 J 4 ) # )! #? )? # # J4 ) # )! J 3 #, 4 # w # I 4 $ # ) # #, # )! J # $ 1 # $! J 4 ) # ) * 4 ) # ) 4? + ) +, ( 4 5 # $ 4 ) # $ # 9 d 4 #! J # I #, # 9 + ) $ 4! ( + ) $ J 4 ) # )! J ) # [ + ) ) ) # [ + ) ) 5 # ) + $ # # + ) $ $ 4 ) #9 = 4 5 # # 5 # ) + f $ ): + [a, # b] + ) $ R S 4 $ + ) + 4 ) $! + ) ) ( $! ) $ J4 ) # t = a < t 1 <... < t n = b (n + 1) O # + $ 4 # $ + $ $ 4 = #! # + [a, b] O # ) #[! + # )! 9 ( ) 9 + ) 4 ) # # # 5 # S : [a, b] R S(t ) = f(t )... S(t n ) = f(t n ) O ( # $ #, 4. # # $ # 9 + )! # 9 + ) 4 ) # $ + 1 ) t, 4 #! #! #? ( 1 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [t j 1, t j ] 1 j n O + 4 # I #, # / / + $! #! ( 4 $ 1
24 } 5 J # I #, #! # $ # ) }, # ) # ) ( O 4! # ) 9 #! 4 O #? # ) 9 #! # J 4 ) # N ) # $ J# I #, #! # )? # ) 4 #, # ), ' (, 4 5 # 9 +, #! # 9 # # I #, # $ # + O #! ) $ } 5 J 4 ) # ) 4 ) # O # $ # $ )! # $ 4 )? (! 4 # ) $! #, ( ' +! #! # $ ( ( N, # ) $ l ) 4 $ 9 ' } V } 1 { ) # # ' ( +., # } / # $ #? # ) #! # ( $ $ ' ( # $ 5 4 #, #! #, + ) # 9 + ) O #? # ) 9 #! #, ( ' +! #! # $ ( (, # ) $ l ) 4 $ 9 + $ # O 4 # )! + ) $ $ 9 # 4 ) $ $ # 9 $! # J 4 ) # ) + 1 ) t, 4 #! ) $ # $ 9 ' 4 # $ / # 1 # ) +, = # I +? # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $? )! = 4 9 # I #, # # T M ' #, 4 9 T M = T M1 = +! # ) # $ + =., # $! J 4 ) # ) 4 ) # N, # )! # $ +? # $! # ] + ) 9 # 4 + ) d $ $ 4 $ ( # $! 4 ) # $ ] d $ $ # )! # $, ( ' +! # $ 4 $ $ # $! # ' ( + 4 #! # J 4 ) # ) / 5
25 b a &. ", & ". & &... & &. "&. & "&. + 4 f ) # [ + ) )! # R! ) $ R $ + $ ( # 9 + ) 4 ) # #! # #, 4. #! ( 4 O ( # f 9 + ) 4 ) # 4 x R # $ ) ( #! + ) ) ( ) + $ + O + ) $ ( 9 4 #* f f(x + h) f(x ) (x ) = lim h h f(x ) f(x h) = lim h h f(x + h/) f(x h/) = lim. h h ) # 4! ( # # ), ( 4 5 #, # ) #, 4. #! ( 4 O ( #! # + 4 ) f f x 9 + ) $ 4 $ #! + ) 9 V $ #! + ) ) # ) # O # + $ 4 4 h O # $ $ # # 4 # # V 9 9 # h f(x ) + h f(x ) + δ h f(x ) / / 1 h h h. $ O + 4! ( l ) 4 # $ 5 ) 4 ( $ h f(x ) = f(x + h) f(x ), def / 1 1 / } 1 h f(x ) = def f(x ) f(x h), / 1 δ h f(x ) = f(x + h/) f(x h/). def / 1 + $ 5 # # $! + ) ) ( J + = z #, ' (, 4 5 # h > h # $ ) + ( # * V + # [ + ) ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # 4 [ # $ + )! # ) # # [ + ) ) f : R R 9 + ) 4 ) #! ( l ) 4 # h f h # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ $ #, N f(x) = f(x + h) f(x) = = # $ $ + ) O = # $ + # $ + ( # $ h # δ h ; = %# ' # % : W : B >H< J J > : E E \ N J > : h > a ` \ B P L J < B > P ` ` J N \ > : ` \B P L J< B@ A \B JE U J ` B JR AB JB J > ` J U L A J R J E L ` B : B J > > A J JL U JE L B \ J } 4 ha h J L >: E L δ B \L B h : B J
26 b a a } 9 + $ O ( 4 l + ) $, 4 ) # ) ) # ( $ $ 4 O ) * = : W J > : ` \ B P L J< B A \ B JE U J ` B J R A B J E \ P A B J > ha h JL δ h > : E L N A ; = % ', ' # % + ) + ) $ # ( $ + J + ( # h m + 9 # [ 4 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $! # I ) +, = # $ ( # $ 5 # 9 + ) 5 # $ # #! # I [ + ) ) $ 9 + ) 4 ) # $ 5 # 9 + ) 5 # $ α β f, g : R R 9 + $ O ( 4 l + ) $ $ ) $! 4 ƒ 9 ( 5 # h (αf + βg)(x) = αf(x + h) + βg(x + h) αf(x) βg(x) = α h f(x) + β h g(x) x R. #, b, # 4 $ + ) ) #, # ) $ J 4 5 # I + ( # $ h # δ h 4 # $ ) # [ + ) )! # I [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f ) O = # $ + )! ( O # + #, # ) 4, 4 (! # I 4., # +! # O + 4 $ 4 )? #! + 4 ) x $ J( 9 4 * f(x + h) = f(x ) + f (x )h + 1 f (ξ)h, / # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # [x, x # $ # 4 + ) $ + h] / 5 1 # / 1 1 ) + $ + = # ) + ) $ * f (x ) hf(x ) h = 1 f (ξ) h. / $ + O + ) $! + ) 9 ( ) + ) 9 # # ( $ $ 4 O ) * = : W : A : A >U : E L A E R JE \B A P N J > A J > J < _ f : R R J > L _ \ JL > A J > L < E E : R h > B J ` : > A L : E E \ H< J ; = % ', ' # % m + $ + ) $ f (x ) hf(x ) h C = 1 A N J _ A > L J < E J U : E > L P E L J x R C L JN N J Ch, h h. / 1 max f (x). x [x,x +h ] # # 4 + ) / 4 1 ) + $+ = # ) + ) $ = 4 # ) J 4 ) (? 4 ( / 1 9 $ 4 h h + $ #! + ) 9 1 ξ [x, x + h ] f (ξ) C 9 + $ + = # ) + ) $! #, b, # [ + ) ) ( $ $ #, = = # $ 4 9 ( # $ #, N h f(x ) h f(x ) m 9 + ) # $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) O # δ h f(x ) ) + $ + = # ) + ) $ ) #, # 4 # # + I 4, 4 + ) { ) # h # $ + $ + ) $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 h f O = # # 9 + ) $ 4! ( + ) $ # $! ( O # + #, # ) $ 4, 4 ( $ *, # )! ( 4 N ) f (x + h/) = f(x ) + f (x ) h + f (x )! f (x h/) = f(x ) f (x ) h + f (x )! ( ) h + f ( (ξ) h 3! ( ) h f ( (η) h 3! ) 3, / 6 1 ) 3, / } 1
27 b b a a + 4 } 6 # $ ) + 4 )! # J 4 ) # ξ O # # # $ ) + 4 )! # [x, x + h/] η [x h/, x ] { ) $ + $ 1 ) / } 1 V / 6 1 # # ) 4 4 $ ) # 4 + ) / 1 ) + $ O + ) $ * f (x ) δ hf(x ) h = f (ξ) + f (η) 6 f (ξ) + f (η) 4 h # $ ) ) +, = # + $ 4 4 [ l I ( # $ 4 ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ C = 1 max 4 f (x), x [x h /,x +h /] ) + $! (! 4 $ + ) $ V 4! # / } } 1 # ( $ $ 4 O ) * = : W N A h / } } 1 h 4. J > L L B : A > : A > U : E L A E R J E \B A P N J > A f : R R J > L _ \J L > A J > L < E E : R B J h > ` : > A L : E E \ A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J C H< J f (x ) δ hf(x ) h x R Ch, h h. / } / 1 # $ ' ( +., # $ / / # / 1 ) + $ $ $ # ) 5 # $ 4 # $ $ $ # f 4 ( $ (? 4. # # $ 5 ) N h f(x ) # δ h f(x ) 9 + ) O #? # ) O # $ + $ 5 # # )! h h f (x ) h O # $ ( + ) $ # #, 4 # 9 $ 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # + $ 5 #! ) $ #! # I 4., # 9 $ h 9 + ) O #? # ) 9 # # $! J +! # h ; = %# ' # % : W : A L H < J : B R < N J A JL >: E J > h f(x )/h h f(x )/h \B JE U J > E A J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B J > ` : < B N P ` ` B : _ A R P L A : A \B J E U J > f (x ) hf(x ) h JL f (x ) hf(x ) h f (x )b >: E L P ` ` JN \ J > " N N J > >: E : B J JL : A L H < J N J > h : B R < N J A \ B J E U J > E A J > >: E L U : E > A > L P E L J > N : B J JE 1 J R R J N P : B R < N J@ A \B J E U J > E A J > U J E L B \ J > hb δ h f(x )/h ` : < B N P ` ` B :_ A R P L A : J J > L U : E > A > L P E L J f (x ) N : B J J E U P B N JB B J< B@ JL B : E U P L < B J h f (x ) δ hf(x ) h J > : B J h N N J J > L P A E > A b ` N < > ` B \ UA > J H < J N J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B J > &. ", & ". &&... & &. "& & & J > : B R < N J A \B JE U J > E A J > + 4 c ) ) +, = # ( #! + ) ) ( 1 ) ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # 4 ) l ) 4 # ) 9 9 # # ) O 4? # + ) # ) # + # # ) 4 5 J )) +, = # l ) 4! # 9 ' 4 h # $
28 b b > b / +! + ) ) # ) # # ( $ # ) 4 + )! ( 9 4, # l ) 4 #! # 5 # ) + $ ) + # + ) $ d 4 ) $ 4 c c # I #, #! # c = 1/3 O 4 # )! 5 4 # $ = 4 # ) $ ) # + I 4, 4 + ) c = ), ( 4 5 #! # c ; = %# ' # % : W N : < A B : E > H < < E E : R B J J > : E E \ c P J U Ü A B J > > A E A N U P L A > J E B J ` B \ >JE L P L A : E@ \ UA R P N J > A N J > : E E \ P J U Ü N A B J > U : R ` L \ > ` P B L A B@ < ` B J R A JBU A B J E : E E < N f + : W # $ ) +, = # $ * = = = = $ + )! + ) ) ( $ O # ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ; = %# ' # % : W _ : A L < E E : R B JB \ J N JL >: A L >P c c P N J < B P ` ` B : Ü \ J ` P B < E U P N U< N P L J< B JE A B < N J : L L P E L J L B P P A N N P E L P J U Ü N A B J \ U A R P < _ > A E A U P L A P H < P E L A L \ J > L P c c ` ` JN \ J J B B J < B@ P B B : A > > < B cb P H < P E L A L \ J > L P ` ` J N \ J ` B \ UA > A : E B JN P L A < U P N U < N P L J < B η = 1 N ) $ 4, # 9 9 ) + $, + ) # 5 # 9 + # 9 #, # ) # ) +, = # m # I #, # $ 4 #9 9 # + )! 4 c + $ c 5 # 5 c η # 5 # J+ )! 4 $ + $ #! # 5 c c = 1/3 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + $ + 4 $ ) 5 # # J # #! J + )! 4 $ $ $ # c = c c c = c η η = 1 {! 4 + ) $, 4 ) # ) ) ) # I #, # 4 6 $ ) J 4, + ) 9 #! # $ # # $! J + ) N! 4 $ + $ 5 J + ) ( O # ' # ), ( 4 5 #, # ) h f(x )/h f (x ) f + : W : ] 9 + ) $ + $ 5 # h f(x + )/h f(x) = x x = 7 h =.6 h =.1 4) + $ O + ) $ )9 9 # 5 4 ) #! 4 $ + $ # 5 #! # 19 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ ) + $ + = # ) + ) $ + # # $ h =.6 h =.1 O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.) , m 4 $ 5 # ) + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # J # # + = # ) # [ +, # I f (x ) = 14! 4 h ( # ) 9 # $ # $ $? )! # + 5 # + ] # h f(x )/h h =.1 h =.6 ' ( ) +,. ) # # $ 4 ( I # # $! J + )! 4 $ w $ ƒ! # # )! # ) #, 9 ' 4 ) #! 4 $ N + $ )! # 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + + = # ) ) 9 $ 4 + ) 4 ) O # $ # { ) # h # ) + $ + = # ) + ) $! ) $ 9 # 9 $ # $ O # $ $ 4 O ) # $ * h =.6 : hf(x ) h h =.1 : hf(x ) h = (7.6) (7.).6 = (7.1) (7.) = = 14.6, = =
29 / } ) $ $ 4 # ) + $ ) # [ # + ) $ $ ) # ' ( + 4 # $ # $ # # $! J + )! 4 $ 4 $ + ) $ $ 4, #, # ) 5 # + $ 5 # # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 η O #! 9 9 # 4 4 $ ( + $ J# # = $ + # + = # ) # $ J ( c c O 4 + )! J ) ) +, = # # $! # c c J +! #! #? )! # ) + $ ) + # + ) $ 1! # c η # ) [ 4 + ) O $ ' 5 # 1 d 4 ) $ 4 $ 4 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V 9 9 # c c 5 c η h f(x ) h = def f(x + h) f(x ) h O # 9 ) # O # $ + $ ( #! + ) ) ( # $ ) $ # #! J + )! 4 $ h # I #, # * 1 ) + $ + = # ) + ) $ * 1... # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x + h) η f(x + h) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x ) ( ) η f(x + h) + f(x ) η f(x ) ; # # = $ + # 9 +,, 4 $ # $ J( O 4 + )! # h f(x )/h η f(x ). h h = 1 7 { ) 9 + ) 9 $ 4 + ) J # #! J + )! 4 $ 9 +,, 4 $ # $ J ( O 4 + )! # # $! # h f(x )/h J +! #! # η f(x ) /h, 4 [ $ # $ + )! + ) 9! # $ 4 )! # 4, ) + $ )! $ J + +! # # [! + # 4 $? 5 ) #! # # $ = $ = $ + ). $ + I 4 N # 4 ) + $ 9 9 N + ) $ J # # # 4 O # e r! # I # # $! J + )! 4 $ $ J( O 4 + )! # h f(x )/h ) + $ + = # ) + ) $ * e r ηf(x )/h h f(x )/h = η f(x ) f(x + h) f(x ) η f(x ) f (x ) h ; 9 # # # # # 4 O #?, # ) # + $ 5 # h! 4, 4 ) # f + : W N ] + ) $ 4! ( + ) $ V ) + O # # $! + ) ) ( # $! # J # I #, # / / 9 + $ O + ) $ f(x ) = 49 f (x ) = 14 # er 7η h. 4 ) + $! ( $ 4 + ) $ O # 9 + = # ) 4 ) # # # # 4 h =.1 O # 4 ( # I # # $! J + )! 4 $! # $ e r $ J ( = 1 O 4 + )! # ) + $ 3 h f(x )/h! # O + ) $ O + 4 #! + ) 9 w [! + ) 9 9 ' + 4 $ 4 ) # η 1 5 /7 1 6 N = 6, 9 ' 4 ) # # O # 9, + 4 ) $ 5 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $! # 9 # # $ # ) # $ # ) 4 ) 9 ' )? ( # $ $ 4 + ) + 9.! # V J( O N 4 + )! # + h f(x )/h δ h f(x )/h
30 / / &. ", & ". & &... & &. " & + $ + ) $! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ), # )! ( 4 f : R R O = # # $ + 4 ) ) +, = # + $ 4 4 [ $ $ # # # 4 m # ) # + I 4, 4 + )! # x R ) + h $ f (x ) 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 O # $ 4 # f (x ) h f(x )/h 9 + $ O + ) $ O 5 # J# #! # + ) 9 # 9 +,, 4 $ # # $ + I 4, 4 O #, # ) (? # V Et h = 1 f (x ) h [ +, # / m 9 + ) # J # #! J + )! 4 $ # $ + I 4 N, 4 O #, # )! + ) ) ( # + 4 # $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 Ea h = η f(x ) /h η O #! 9 9 # d 4 ) $ 4 $ 4 4 #! # 9 9 # ) + $ ) $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 #! # ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O # ) + $ + η O + ) $ ) + $ # )! # V ) # # # + # $ +,, #! # $ # # $! J + )! 4 $ #! # + ) 9 # J # # E h = Ea h + E + #! + ) 9 J# I t h # $ $ 4 + ) $ 4 E O ) # * h E h = 1 f (x ) h + η f(x ). / } 1 1 h w # $ + $ $ 4 = #! # 9 9 # ' ( #, # ) 1 # # + $ $ 4 = # { ) # h # $ + 4 [ + ) 9 4 +! # [ + ) V + = # ) 4 $ # 4 # h )! ( l ) 4 # E h g g(x) = ax + b x x R, + 4 a = 1 f (x ) b = η f(x ] 4 #, # ) ) O # + 4, #! # $ #! + ) ) ( # h # ( # 5 4 ( 4 $ # #, 4 ) 4,,! # + m +! ( #, 4 ) # 4 x g(x) x > x $ ƒ! # 9 9 # g (x) = a b x #! # O ( 4 l # 5 # + g ( x) = x = # 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # b/a g ( x) > x # $ J ) 4 5 #, 4 ) 4,,! # + # g(x) x > O #! # 9 + # $ + )! ) V h $ # 4 # O #! # # $! + ) 9 E h η f(x ) h = f (x ). / } 1 w # $ # # $ 9 9 $9 4 N! # $ $ $ ) J + ) 5 J ) # O # ' ( # # #! # O # 4 5 # w $ 4 )! 4 5 # ) 5 # $ 4 + ) # [ 4 # ) # # $ 4, 4 + )? + $ $ 4. #! # O # p! ( l ) 4 # p = f(x ) f (x ) 9 # 5 4 ) J# $ $ + z + $ # 9 $ 1 # $ 4+ ) O # 9 9 # ) # + I 4, 4 + ) ) N, ( 4 5 #! # # ) 4 4 $ ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ f (x ) h f(x )/h O # 9 ) 9 9 # ) #! 4 $ + $ ) 5 #! # 9 ' 4 h # $ $ 4? ) 4 l 9 4 [ $ + ) 4 ) ( b V # )! # N h! # J +! #! #? )! #! # p 1 # $, b, # $ 9 + ) $ 4! ( 4 + ) $ N/ # $ # ) O = # $ $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $ f (x ) [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ ( +?! # $ 4 # m 9 + ) # $ 4 f (x ) h f(x )/h ) + $ + 9 ' J# + ) # $ [ +, # I! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 4 # f (x + ) # + # I # $ $ 4 + ) f (x ) δ h f(x )/h O + 4 / } } 1 + J # #! # + ) 9 # 1 * E h 1 4 f (x ) h + η f(x ) h
31 a / # )! $ + ), 4 ) 4,, + h = ( ) 1/3 3η f(x ) f. (x ) &. ", & ". & &. "$ &. "& # $ + ( # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ 4 ) +! 4 $! ) $ $ # ) / } # O # ) b #? ( ) ( 4 $ ( $! # [ + ) $ 4 O ) # + 4 m ) # ) 4 # $? )! 5 # 1 + )! ( l ) 4 ( 9 $ 4 O #, # ) * d 4 ) $ 4 # I #, # m h f = h ( m 1 h f), / } 1 m h f = h ( m 1 h f), / } 5 1 δh m f = δ h (δ m 1 h f). / }4 1 ) δhf(x) =δ h (δ h f(x) = δ h (f(x + h/) f(x h/)) =δ h f(x + h/) δ h f(x h/) =f(x + h/ + h/) f(x + h/ h/) [f(x h/ + h/) f(x h/ h/)] =f(x + h) f(x) + f(x h). / } 1 # [ + )$ 4, 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4! ) $ # 9 $ + 4 ) + $ m = 1 O ( 4 l + ) $ 5 # # $ + ( # $ # $ + ) 4 ) ( 4 # $ m h m h δ w # $ + $ $ 4 = #! #! (, + ) h m # 5 # $ 4 # $ ) # [ + ) ) $ $ # f (? 4. # f! # 9 $ $ # $ 4+ ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ +? # $ $ 4 C O # $ + ( +?! # $ + 9 $ $ #! # m+1 $ 4 + ) # )!! # $! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 1 # $ 4 # $! + ) ) ( f + $ C m+ x R # $ 5 ) 4 ( $ m h f(x ) h m, m h f(x ) h m, δ m h f(x ) h m $ + )! # $ + I 4, 4 + ) $! # m N 4., #! ( 4 O ( # f (m) (x )! # f + 4 ) x! J+! # h h # h # $ # 9 4 O #, # ) + $ 5 # h # )! O # $ ( $ + O + ) $ 4 ) $ 4 ( ) + ) 9 # # $ ( $ $ $ 4 O ) $ 5 4? ( ) ( 4 $ # ) # $ ' ( +., # $ / / # / 1 * = : W _ A J > L < E J E L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + 1) U : E L A E R J E \B A P N J > A JL >: E J > E : R B J : E E \ > P N : B > A N x R h > J _ A > L J< E J U : E > L P E L J L JN N J H< J a C f (m) (x ) m h f(x ) h m f (m) (x ) m h f(x ) h m Ch h h, / } 6 1 Ch h h. / / 1
32 a / = : W m A J > L < E JE L A JB m ` : > A L A > A a J > L : A > f : R R (m + ) U : E L A E R JE \ B A P N J > A J L >: E J > E : R x R h > B J : E E \ > P N : B > A N J _ A > L J < E JU : E > L P E L J L J N N J H< J a C f (m) (x ) δm h f(x ) Ch h h. / / } 1 h # $ + =., # $! #! 4 h $ 4 + ) $! J# m $. 9 # $! #! ( [ +, 4 + ) $ ( $ 4 5 # $! # + N? 4 + ) $! J+ )! # $! J( 9 + #, # ) $! # 4! # $ # 9 [ + ) 4 ) # O # ) 4! # $! ( 4 O ( # $! # I 4., # , # d 4 ) $ 4 # $ [ +, # $ I! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 # ) ( # $ + J + I 4, 4 + )! # f (x ) 4 # 1 # m = f IV (x ) 4 # 1 $ + ). $ $ + m = 4 O # ) 4 4 $ ( # $ # $ 4 )? ( ) 4 # $ # $ J ( 9 4 O # ) * f (x ) f(x + h) f(x ) + f(x h) h, / / / 1 f IV (x ) f(x + h) 4f(x + h) + 6f(x ) 4f(x h) + f(x h) h 4. / / 1 1 ] # $ [ +, # $ 9 + )! 4 $ # ) V ) # # #! # + ) 9 #! J +! # $ 4 (? 4. # # $ $ $ # h f ] +,, # ) + $ J O + ) $ O! ) $ $ # ) ( 9 (! # ) # # $ # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # h 9 + ) 4 #, # ) I # # $! # + ) 9 # 5 4! 4, 4 ) # ) + $ 5 #! 4, 4 ) # 1 m 9 + ) # 4 # $ 4, + )! # #, 5 # 5 # # $ h # # $! J + )! 4 $?, # ) # ) + $ 5 #?, # ) # m &. ", & "... & $ * + ) ) + ) $ N ) + $, 4 ) # ) ) ) # [ + ) ) 9 + ) 4 ) # ) + 4 ) f : R R x R # ) ) +, = # + $ 4 4 [ # 4 ] + ) $ 4! ( + ) $ # $ + 4 ) $ h x j = x + jh O # 9 j =, 1,, 3,... 4 # $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 4 # $ + $ $ 4 = #! # 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t, # m $ 4 O ) # ( 1 * p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h (x x )(x x 1 ) + 3 h f(x ) 3!h 3 (x x )(x x 1 )(x x ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ). / / $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 #, # ) 5 # p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( # $ 4 ) + $ 9 9 N m + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O #, # ) ) + $ + = # ) + ) $ * p m (x ), p m (x 1 ),... p m (x ) = f(x ), p m (x 1 ) = f(x ) + hf(x ) h p m (x ) = f(x ) + hf(x ) h = f(x ) + h f(x ) + hf(x ) (x 1 x ) = f(x ) + f(x 1) f(x ) h = f(x 1 ), h (x x ) + h f(x ) h (x x )(x x 1 ) = f(x ) + (f(x 1 ) f(x )) + (f(x ) f(x 1 ) + f(x )) = f(x ).
33 / { ) [ 4 ) + $ + O + ) $, + ) # 5 # # 4 $ 5 # p m (x j ) = f(x j ) j =, 1,,..., m p m # $ ) + 1 ) t, #! #! #? ( + $ m p m # $ J ) 4 5 # + 1 ) t, #! #! #? ( 5 4 m 4 ) # + #! ) $ # $ + 4 ) $ f (m + 1) x, x 1, x,..., x m 9 ' } 1 w # $ [ 9 4 #! # O # $ 4 ) + $! ( 4 O + ) $ [ + 4 $ # 4 + ) m / / 1 ) + $ + = # ) + ) $ d m dx m p m(x) = m h f(x ) h m. 9 + $ O + ) $ 4 ) $ 4 4 # #, # ), + ) ( # ( $ $ 4 O ) * = : W A J > L N J p m ` : N E R J B \ H < A A E L JB m ` : N J x j = x + jh P J U P N : B > : E P j =, 1,,, ma P E > N J > ` : A E L > (i) p m (x) = f(x ) + hf(x ) (x x ) + h f(x ) h!h m (x x )(x x 1 ) + + m h f(x ) m!h m (x x )(x x 1 ) (x x m 1 ); / / 1 d m (ii) dx m p m(x ) = m h f(x ) h m. / / $ #, 4 ) + ) $ 9 # # $ # )! # I #, 5 # $ `, F D : W 4 [ + ) ) # $ [ + 4 $ 9 + ) 4, # )! ( 4 f (m + 1) ) O = # ) + $ + # O + ) $ 4 4 $ # # ' ( +., # } } + ( = 4 J# $ 4, 4 + )! J# # $ 4 O ) # # ) # * f p m max f(x) p 1 m(x) x [x,x +mh] (m + 1) hm+1 max f (m+1) (x). x [x,x +mh] #, 5 # J ) +? 4 # # ) # # + 1 ) t, #! # 9 # - + ) p m / / 1 # # + 1 ) t, # + = # )! ( O # + #, # )! # 1 +! # +! # f x = x `, F D : W : w # $ + $ $ 4 = #! J( = 4! # $ ( $ $ $ #, = = # $ V 9 # I ( ) + ) 9 ( $! ) $ # ' ( +., # / 5, 4 $ O # 9 # $ + ( # $ # m # I #, # 4 # $ m h δ [ 9 4 #! #, + ) # 5 # $ 4 h m # ) # $ + 4 ) $ q # $ # + 1 ) t, #! #! #? ( / 5 44 ) # + # [ + ) ) f x h x # + $ x + h d dx q (x ) = δ h f(x ) h = f(x + h) f(x ) + f(x h) h. ) $ l? # / } ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( + ) # [ + ) ) f! + ) ) ( # $ + )? ' # # 9 # 4! # q 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ 9 + = # $! # $? ' # $! # f #! # q + 4 ) (x, f(x )) $ + ) + 9 ' # $ + $ 5 # h # $ # 4 & $ *. & w # $ + $ $ 4 = #! # + O #! # $ [ +, # $! #! ( 4 O 4 + ) ), ( 4 5 # $ ( 9 4 $ # $ 5 #9 # # $ 5 # ) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4! ( ( # $ z $ 5 J V ( $ # ) + $ + ) $ # I #, #
COURBES EN POLAIRE. I - Définition
Y I - Définition COURBES EN POLAIRE On dit qu une courbe Γ admet l équation polaire ρ=f (θ), si et seulement si Γ est l ensemble des points M du plan tels que : OM= ρ u = f(θ) u(θ) Γ peut être considérée
Διαβάστε περισσότεραLa Déduction naturelle
La Déduction naturelle Pierre Lescanne 14 février 2007 13 : 54 Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction naturelle, on raisonne avec des hypothèses. Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραTD 1 Transformation de Laplace
TD Transformation de Lalace Exercice. On considère les fonctions suivantes définies sur R +. Pour chacune de ces fonctions, on vous demande de déterminer la transformée de Lalace et de réciser le domaine
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραX x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
Διαβάστε περισσότεραΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες. KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές του δράματος και Διδακτική των ζωντανών γλωσσών. Η συμβολή τους στη διαμόρφωση διαπολιτισμικής συνείδησης
Αντώνης Χασάπης 839 Αντώνης Χασάπης Εκπαιδευτικός, Μεταπτυχιακός ΠΔΜ, Ελλάδα Résumé Dans le domaine de la didactique des langues vivantes l intérêt de la recherche scientifique se tourne vers le développement
Διαβάστε περισσότεραVers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Διαβάστε περισσότεραConsommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Διαβάστε περισσότεραΥ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραÉmergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle
Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle Anahita Basirat To cite this version: Anahita Basirat.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2009-2014 Επιτροπή Αναφορών 20.9.2013 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ Θέμα: Αναφορά 1504/2012, της Chantal Maynard, γαλλικής ιθαγένειας, σχετικά με διπλή φορολόγηση της γερμανικής σύνταξής
Διαβάστε περισσότεραΘέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών
Μάθημα: Συνταγματικό Δίκαιο Εξάμηνο: Α Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Δημητρόπουλος Ανδρέας Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών Ονοματεπώνυμο: Τζανετάκου Βασιλική Αριθμός μητρώου: 1340200400439 Εξάμηνο: Α
Διαβάστε περισσότεραCorrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT
Corrigé exercices série # sur la théorie des ortefeuilles, le CA et l AT Exercice N et Q ayant la même espérance de rentabilité, formons un portefeuille de même espérance de rentabilité, de poids investi
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραPlasticité/viscoplasticité 3D
Ecoulement viscoplastique ε. p Elasticité f 0 Contraintes Plasticité/viscoplasticité 3D Georges Cailletaud MINES ParisTech Centre des Matériaux, CNRS UMR 7633 Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique
Διαβάστε περισσότεραMontage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX. Mini & Box
Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX 3 Fiche technique EURO-RELAIS MINI & BOX DESCRIPTIF La borne Euro-Relais MINI est en polyester armé haute résistance totalement neutre à la corrosion
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ
8 Raimon Novell ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ Η ΜΑΡΙΑΝΉ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΤΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ 1.- ΑΠΟΣΤΟΛΗ, ΧΑΡΙΣΜΑ, ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ
Διαβάστε περισσότεραCouplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
Διαβάστε περισσότεραLogique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012
Logique Propositionnelle Automates et Logiques Cédric Lhoussaine University of Lille, France Janvier 2012 1 Syntaxe 2 Sémantique 3 Propriétés de la logique propositionnelle 4 Déduction naturelle Le système
Διαβάστε περισσότεραMicroscopie photothermique et endommagement laser
Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université
Διαβάστε περισσότεραCoupling strategies for compressible - low Mach number flows
Coupling strategies for compressible - low Mach number flows Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després To cite this version: Yohan Penel, Stéphane Dellacherie, Bruno Després. Coupling strategies
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότεραFRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ. Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη
FRÉDÉRIC GROS ΠΕΡΠΑΤΏΝΤΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΊΑ Μετάφραση: Ρούλα Τσιτούρη ΑΘΗΝΑ 2015 Το βιβλίο εντάχθηκε στο πρόγραμμα εκδοτικής αρωγής και διεθνούς ανάπτυξης του Γαλλικού Ινστιτούτου & Υπουργείου Εξωτερικών / Cet
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΤΗΣ ΠΕΤΡΑΣ. Ήπειρος (Ελλάδα)
Ονοματεπώνυμο ΚΑΛΑΜΠΟΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 1969 Μιχαλίτσι (Ήπειρος) Έτη δραστηριότητας ως τεχνίτης Δουλεύει από 15 ετών Ήπειρος (Ελλάδα) Οργανώνει το συνεργείο κατά περίπτωση Έμαθε την τέχνη από τον πατέρα και
Διαβάστε περισσότεραModèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
Διαβάστε περισσότεραΒασιλική Σαμπάνη 2013. Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας
Βασιλική Σαμπάνη 2013 Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας 200 Διαγλωσσικές Θεωρήσεις μεταφρασεολογικός η-τόμος Interlingual Perspectives translation e-volume ΜΑΝΤΑΜ ΜΠΟΒΑΡΥ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα[ ] ( ) ( ) ( ) Problème 1
GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Problème 997 Examen Final - Solutions Pour trouver la réponse impulsionnelle de e iruit on détermine la réponse fréquentielle puis on effetue une transformée de
Διαβάστε περισσότεραThèe : Calul d' erreur Lien vers les énonés des eeries : Marel Délèze Edition 07 https://www.deleze.nae/arel/se/applaths/sud/alul_erreur/_a_-alul_erreur.pdf Corrigé de l'eerie - Calulons d'abord la valeur
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραPrésidence du gouvernement
Royaume du Maroc 2016 Présidence du gouvernement Ministère de l'enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres L'Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion
Διαβάστε περισσότεραTransformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.
Διαβάστε περισσότεραDOCUMENT DE RECHERCHE EPEE
DOCUMENT DE RECHERCHE EPEE CENTRE D ETUDES DES POLITIQUES ECONOMIQUES DE L UNIVERSITE D EVRY Changements organisationnels dans les entreprises, outils de gestion et risques psychosociaux : une analyse
Διαβάστε περισσότεραForêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
Διαβάστε περισσότεραPhilologie et dialectologie grecques Philologie et dialectologie grecques Conférences de l année
Annuaire de l'école pratique des hautes études (EPHE), Section des sciences historiques et philologiques Résumés des conférences et travaux 145 2014 2012-2013 Philologie et dialectologie grecques Philologie
Διαβάστε περισσότεραPlanches pour la correction PI
Planches pour la correction PI φ M =30 M=7,36 db ω 0 = 1,34 rd/s ω r = 1,45 rd/s planches correcteur.doc correcteur PI page 1 Phases de T(p) et de correcteurs PI τ i =10s τ i =1s τ i =5s τ i =3s ω 0 ω
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΓΑΛΛΙΚΑ
ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (Τµήµα Α1 και Α2) Méthode : Action.fr-gr1, σελ. 8-105 (Ενότητες 0, 1, 2, 3 µε το λεξιλόγιο και τη γραµµατική που περιλαµβάνουν) Οι διάλογοι και οι ερωτήσεις κατανόησης (pages 26-27, 46-47,
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραRadio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP
Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP 2 1 ΠΛΑΙΣΙΟ ΓΙΑΤΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ErP? Αντιμετωπίζοντας την κλιματική αλλαγή, διασφαλίζοντας την ασφάλεια της παροχής ενέργειας2 και την αύξηση της ανταγωνιστικότητα
Διαβάστε περισσότεραHONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Διαβάστε περισσότεραAlgorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure
Algorithmique et télécommunications : Coloration et multiflot approchés et applications aux réseaux d infrastructure Hervé Rivano To cite this version: Hervé Rivano. Algorithmique et télécommunications
Διαβάστε περισσότεραMécanique Analytique et CFAO. Travaux pratiques de mécanique analytique. Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double
Méanique Analtique Travaux pratiques de méanique analtique Simulation en temps réel du mouvement d un pendule double 1 Méanique Analtique Mise en situation... Positions: X l A m Point A: (l sin, -l os
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραTransfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
Διαβάστε περισσότεραDramaturgie française contemporaine
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Dramaturgie française contemporaine Unité 9 Bibliographie Kalliopi Exarchou Langue et Littérature françaises Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)
ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,
Διαβάστε περισσότερα12J15$ΜΑΪΟΥ$ $MAI$2016$ HELEXPO$ Είσοδος$ελεύθερη$ $Entrée$libre$
13ηΔιεθνήςΈκθεσηΒιβλίουΘεσσαλονίκης 13 ème SaloninternationaldulivredeThessalonique 12J15ΜΑΪΟΥ MAI2016 HELEXPO Είσοδοςελεύθερη Entréelibre ΧΟΡΗΓΟΙ SPONSORS ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ PARTENAIRES ΓΑΛΛΙΚΟΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραModule #8b Transformation des contraintes et des déformations 2D-3D : Cercle de Mohr
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Module #8b Transformation des contraintes et des déformations D-3D : Cercle de Mohr (CIV1150 - Résistance des matériaux) Enseignant:
Διαβάστε περισσότεραLycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore "Malignani Cervignano Italie
IES Rio Trubia Trubia Espagne Lycée Palissy Agen France Istituto Statale di Istruzione Superiore "Malignani Cervignano Italie Lycée Pédagogique Al. Vlahuta Bârlad Roumanie 3 Geniko Lyceum Galatsi Athènes
Διαβάστε περισσότεραPhotoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus
Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus , 542, id.a69 X 3 Σg Nouvelles surfaces d'énergie potentielle
Διαβάστε περισσότεραNetwork Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat
Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat Pierre Coucheney, Patrick Maillé, runo Tuffin To cite this version: Pierre Coucheney, Patrick
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραTrès formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom
- Ouverture Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Très formel, le destinataire a un titre particulier qui doit être utilisé à la place de son nom Αγαπητέ κύριε, Formel, destinataire masculin,
Διαβάστε περισσότεραΦλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης
Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης. H «ανάγνωση» και η «παραγωγή» πολυτροπικότητας σε μαθησιακό περιβάλλον: πρώτες διαπιστώσεις απο μια διδακτική εφαρμογή. Μελέτες για την ελληνική
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 4: Méthode Audio-Orale (MAO) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας. YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique. Ενότητα 0 Introduction au cours
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΠΟ-06 Τεχνικές Γραφής Επιστημονικής Εργασίας YPO-06 Techniques de rédaction du discours scientifique Ενότητα 0 Introduction au cours
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 5: Structuro-Globale Audio-Visuelle (SGAV) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραSpectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon
Spectres de diffusion Raman induits par les intéractions pour les bandes v2 et v3 de la molécule CO2 en gaz pur et en mélange avec de l argon Natalia Egorova To cite this version: Natalia Egorova. Spectres
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραBusiness Order. Order - Placing. Order - Confirming. Formal, tentative
- Placing Nous considérons l'achat de... Formal, tentative Nous sommes ravis de passer une commande auprès de votre entreprise pour... Nous voudrions passer une commande. Veuillez trouver ci-joint notre
Διαβάστε περισσότεραFourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
Διαβάστε περισσότεραMulti-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:
Διαβάστε περισσότεραModélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate
Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate Delphine Picot To cite this version: Delphine Picot. Modélisation de la réaction d alkylation du motif zinc-thiolate. Chimie. Ecole Polytechnique
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΜΙΑ ΕΥΡΕΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΟΧΥΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΦΟΡΕΙΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ
Περιεχόμενα 191 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ...9 PREFACE (ΠΡΟΛΟΓΟΣ)...13 ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ... 17 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ...21 Ι. Ξενόγλωσσες...21 ΙΙ. Ελληνικές... 22 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ...25 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 29 Ι.
Διαβάστε περισσότεραΕπιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη
Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη GK9380 Ελληνικα Πρώτη Έκδοση Μάιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος
Διαβάστε περισσότεραVotre système de traite vous parle, écoutez-le!
Le jeudi 28 octobre 2010 Best Western Hôtel Universel, Drummondville Votre système de traite vous parle, écoutez-le! Bruno GARON Conférence préparée avec la collaboration de : Martine LABONTÉ Note : Cette
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραPathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective
Pathological synchronization in neuronal populations : a control theoretic perspective Alessio Franci To cite this version: Alessio Franci. Pathological synchronization in neuronal populations : a control
Διαβάστε περισσότεραRéseau de diffraction
Réseau de diffraction Réseau de diffraction Structure de base: fentes multiples Rappel:diffraction par fentes multiples θ Onde plane incidente d a θ 0. θ I( norm. sin ( Nγa / sin ( γd / sin ( γa / ( γd
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραΑπό την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1
Από την παρουσία-ση (présence-présentation) στην αναπαράσταση (re-présentation): οι δύο χρόνοι του επίκαιρου στην εισήγηση του Scarfone 1 Γιώργος ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Η ενδιαφέρουσα και πλούσια σε ιδέες εργασία
Διαβάστε περισσότεραGeometric Tomography With Topological Guarantees
Geometric Tomography With Topological Guarantees Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari To cite this version: Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari. Geometric Tomography With Topological
Διαβάστε περισσότεραZakelijke correspondentie Bestelling
- plaatsen Εξετάζουμε την αγορά... Formeel, voorzichtig Είμαστε στην ευχάριστη θέση να δώσουμε την παραγγελία μας στην εταιρεία σας για... Θα θέλαμε να κάνουμε μια παραγγελία. Επισυνάπτεται η παραγγελία
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010
Μεταπτυχιακές σπουδές στη Γαλλία Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1η Δεκεμβρίου 2010 Σπουδέςανοικτέςσεόλους -2 200 000 φοιτητές στη Γαλλία -270.000 ξένοι φοιτητές (12% ) -4η χώρα υποδοχής ξένων φοιτητών Οι ξένοι
Διαβάστε περισσότερα10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
Διαβάστε περισσότεραVol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εκπαιδευτική εφαρμογή Διδασκαλία τραγουδιού της σύγχρονης γαλλικής μουσικής Dernière danse - INDILA 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Εισηγήτρια : Αλεξάνδρα Κουρουτάκη, ΠΕ 05 Γαλλικής φιλολογίας, ΠΕ
Διαβάστε περισσότεραPoints de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ
Διαβάστε περισσότεραMohamed-Salem Louly. To cite this version: HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel
Deux modèles matématiques de l évolution d un bassin sédimentaire. Pénomènes d érosion-sédimentation-transport en géologie. Application en prospection pétrolière Moamed-Salem Louly To cite tis version:
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΣΙΦΝΑΪΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΣΙΦΝΑΪΚΟΥ ΣΥΜΠΟΣΙΟΥ ΣΙΦΝΟΣ 27-30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΙΣ ΜΝΗΜΗΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΒΕΡΝΙΚΟΥ - ΕΥΓΕΝΙΔΗ ΤΟΜΟΣ Β ΒΥΖΑΝΤΙΟ ΦΡΑΓΚΟΚΡΑΤΙΑ ΤΟΥΡΚΟΚΡΑΤΙΑ ΝΕΟΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ ΑΘΗΝΑ 2005
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραQUALITES DE VOL DES AVIONS
QUALITES DE OL DES AIONS IPSA Philippe GUIETEAU ONERA/DPRS/PRE Tel : 69 93 63 54 : 69 93 63 Eil : philippe.uicheteu@oner.r Qulités de vol des vions (/4) 4 Petits ouveents lonitudinu 4. Principe de linéristion
Διαβάστε περισσότεραLES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο
REVIISIION = ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ I) TERMES DE COIFFURE LES LIEUX = ΟΙ ΧΩΡΟΙ 1) Une école de coiffure = μια σχολή κομμωτικής 2) Un salon de coiffure = ένα κομμωτήριο LES PERSONNES = ΤΑ ΑΤΟΜΑ 1) Un coiffeur = ένας
Διαβάστε περισσότεραMission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010
Mission d entreprises Françaises sur le salon ENERGY PHOTOVOLTAIC 2010 Une mission d entreprises françaises en Grèce a été organisée par la ME Ubifrance, à l occasion du salon International ENERGY PHOTOVOLTAIC
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραΜετανάστευση Στέγαση. Στέγαση - Ενοικίαση. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι.
- Ενοικίαση γαλλικά Je voudrais louer. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι une chambre un appartement un studio une maison individuelle une maison jumelée une maison mitoyenne Combien coûte
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Διαβάστε περισσότεραΕπιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη
Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη M12AD M52AD GK9559 Πρώτη Έκδοση Ιούλιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε
Διαβάστε περισσότεραMesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότερα!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότερα