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Ζωή Ιωάννου
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1 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Problème 997 Examen Final - Solutions Pour trouver la réponse impulsionnelle de e iruit on détermine la réponse fréquentielle puis on effetue une transformée de Fourier inverse. Pour trouver la réponse en fréquene, on remplae le ondensateur ave une impédane omplexe / jw ; ensuite, on utilise les équations de Kirhoff pour aluler le ourante et la tension. Le rapport des tensions dans e iruit est donné par un simple diviseur de tension, don H ( jω On remarque à partir de la table que Vout ω + /jω + jω = = = Vin ω + + /jω 4jω+ + 4jω jω jω jω = = = 4jω+ 4jω+ jω+ /4 e jω+ β U( t Une multipliation de la transformée par jω orrespond à une dérivation de la transformée inverse jω d e U( t jω+ β dt puis on évalue la dérivée soit graphiquement soit diretement par alul: d d d e U( t e U( t e U( t dt = dt + dt = βe U( t + e t βt δ β.0 δ = βe U( t + e t = βe U( t + δ t [ ] La transformée inverse de la fontion de transfert H(jω est don jω jω TF = δ ( t. TF jω+ /4 jω+ /4 = δ + 4 t/4 = δ ( t + e U( t 8 Enfin, la réponse impulsionnelle du iruit est t/4 ( t e U( t δ ( t 997 Examen Final - Solutions Problème

2 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 t/4 ht = δ ( t + e U( t 8 Problème y(t * xbtg = Retbt / g + Ret ybtg = Ret bt / g F HG t 4 la onvolution *y(t=y(t*, on a le hoix de déplaer n importe quelle fontion par rapport à l autre. Il est plus évident de déplaer y(t par rapport à. Le produit y(t-τx(τ est nul pour t<-, don le produit de onvolution est nul sur et intervalle. y(t-τ t- t t+ - 0 τ Pour -<t<0, le hevauhement se produit dans l intervalle 0 à t+. Dans et intervalle la fontion y(t-τ= et la fontion x(τ=, le produit simple est y(t-τ.x(τ=. Le produit de onvolution est * = t+ d τ = t+ d τ = [ ] t+ = ( +.0 = ( + 0 y t x t t t t 0 0 I K J y(t-τ t- t t+ τ 997 Examen Final - Solutions Problème

3 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Pour 0<t<, le hevauhement se produit aussi dans l intervalle 0 à t+. Dans et intervalle la fontion y(t-τ=, mais la fontion x(τ est définie différemment sur deux parties de l intervalle de hevauhement: x t 0< τ < < τ < t + don le produit simple doit être évalué aussi par intervalle 0< τ < 0< τ < y( t τ x( t < τ < t+ < τ < t+ Le produit de onvolution est par onséquene somme de deux intégrales t t τ + τ [ τ] [ τ] + 0 y t * x t = d + d = + = + t+ = + t 0 y(t-τ t- t t+ τ Pour <t< le hevauhement se produit dans l intervalle t- à t+. Dans et intervalle la fontion y(t-τ=, mais la fontion x(τ est définie différemment sur deux parties de l intervalle de hevauhement: x t t < τ < < τ < t + don le produit simple doit être évalué aussi par intervalle t < τ < t < τ < y( t τ x( t < τ < t+ < τ < t+ Le produit de onvolution est par onséquene somme de deux intégrales t t * x( t = d τ + dτ [ τ] [ τ] t = + t ( y t + + = t + t+ = t + t = 6 t 997 Examen Final - Solutions Problème

4 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 y(t-τ t- t t+ τ Pour <t<4, le hevauhement se produit dans l intervalle t- à. Dans et intervalle la fontion y(t-τ= et la fontion x(τ=. Le produit de onvolution est τ [ τ] ( t y t * x t = d = = t = 4 t t y(t-τ t- t t+ τ Le produit y(t-τ.x(τ est nul pour t<-, don le produit de onvolution est nul sur et intervalle. Enfin le produit de onvolution est * x( t y t 0 t < ( t+ < t < 0 + t 0< t < 6 t < t < 4 t < t < 4 0 t > 4 La représentation graphique de la onvolution est la suivante 4 (t+ +t *y(t 6-t 4-t t 997 Examen Final - Solutions 4 Problème

5 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Problème = + os( ω z t x t t a A partir de la table, on a Ret ( t / τ τsa ( ωτ / don en utilisant la propriété de Ret / Sa / τ la dualité on trouve Ret ( ω/ τ τsa ( t τ / ; puis ( ω τ ( t τ en prenant t =, on obtient Sa ( t Ret ( ω/ Il est onnu que ( ω t δ ( ω ω + δ ( ω+ ω os Enfin Sa ( t + os( ω t Ret ( ω/ + δ ( ω ω + δ ( ω+ ω b on ommene par simplifier z (t sous forme de fontions dont les transformées sont plus évidentes omme suit = ( + os( ω = x ( t + x( t os( ω t + os ( ω t z t x t t os( ω ( os( ω x t x t t t = pour le premier terme x ( t = Sa ( t A partir de la table, on a Tri ( t / τ τ Sa ( ωτ / dualité on a Sa ( tτ / Tri ( ω/ τ Tri ( ω/ τ don en utilisant la propriété de la τ = τ ; en hoisissant t = on Sa t Tri ω/ trouve Pour le deuxième terme x t os t X * X + + { } ( ω ( ω δ ( ω ω + δ ( ω+ ω Pour le troisième terme ½ δ ( ω ( ω * δ ( ω ω δ ( ω ω ( ω ω X ( ω ω X + + ω ω ω+ ω Ret + Ret os t Enfin la transformée herhée est Pour le quatrième terme ( ω δ ( ω ω + δ ( ω+ ω TF z ω ω ω+ ω ( ( t = Tri ( ω/ + Ret + Ret + δ ( ω + δ ( ω ω + δ ( ω+ ω 997 Examen Final - Solutions 5 Problème

6 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 H(jω / / ω -ω -ω ω ω - ω + -ω - -ω + 0 ω Deuxième méthode pour b: Dans a nous avons alulé la transformée Z(ω; en utilisant elle-i on peur diretement érire TF { z ( t } = { Z ( ω * Z ( ω } X ( ω δ ( ω ω δ ( ω ω * X ( ω δ ( ω ω δ ( ω ω = X ( ω * X ( ω + δ ( ω ω δ ( ω ω * X ( ω δ ( ω ω + δ ( ω+ ω * δ ( ω ω + δ ( ω+ ω TF { z ( t } = X ( ω * X ( ω + X ( ω ω X ( ω ω δ ( ω ω δ ( ω ω δ ( ω ω ω ω+ ω = Ret ( ω/ * Ret ( ω/ Ret Ret δ ( ω ω δ ( ω ω δ ( ω ω ω ω+ ω = Tri ( ω/ + Ret Ret δ ( ω δ ω ω δ ( ω+ ω Pour que le filtre soit apable d extraire x( t ( ω t os, il doit être apable de filtrer les deux retangles entrées à ω et -ω. Cei est possible seulement si w. Nous avons aussi besoin d éliminer le DC, soit le fontion delta à DC. Problème 4 b g = x t F H G I K J Sa t Examen Final - Solutions 6 Problème 4

7 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 p t t n = Ret n=- / a À partir de la table, on a Ret ( t / τ τsa ( ωτ /. En utilisant la propriété de la dualité on trouve τsa ( tτ / Ret ( ω/ τ ; puis Sa ( tτ / Ret ( ω/ τ En prenant t = /, on obtient τ x ( t =Sa ( t / 4 X ( ω = Ret ( ω/ ( / = 4 Ret ( ω / b p(t est une fontion périodique de période T 0 =, don ω 0 =/T 0 =, don pour aluler sa transformée on ommene par aluler la transformée de sa restrition dans la période entrale. t pr ( t = Ret / À partir de la table, on a Retb t / tg t Sabwt / g don t / ω pr( t = Ret Pr( ω = Sa ω = Sa / La transformée de la fontion périodique est par onséquent P P n n ( ω = ( ω = ω δ ( ω ω r 0 0 n= T0 nω0 = Sa δ ω 0 T0 n= ω0 nω 0 = Sa δ ( ω nω0 n= n = Sa δ ω n= ( n ( nω il serait intéressant de passer à la onvolution dans le domaine fréquentiel étant donné que les transformées sont disponibles, et leurs formes sont plus simples à manipuler z t x t p t Z X P = ( ω = { ( ω * ( ω } 997 Examen Final - Solutions 7 Problème 4

8 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Z( ω = { X ( ω * P( ω } n = 4 Ret ω * Sa δ ω n= n = Sa { Ret ( ω * δ ( ω n } n= n = Sa Ret ( ( ω n n= ( n Le spetre z(t est don une fontion périodique modifiée. Elle est modifiée du fait que le retangle ontenu dans haque période admet une amplitude différente suivant la n fontion Sa, omme indiqué dans la figure i-dessous. Pour la période entrale, 0 n=0, l amplitude assignée au retangle entral est Sa =. Pour n = ±, l amplitude assignée aux retangles orrespondant à es périodes est ± Sa = Sa 4 d = Ret H jω ω = Ret ( Y ω ω b g b g e À partir de la table, on a Ret t / t t Sa wt /. En utilisant la propriété de la τ dualité, on trouve Ret ( ω/ τ τsa ( tτ / ; puis Ret ( ω/ τ Sa ( tτ / En prenant t = /, on obtient 997 Examen Final - Solutions 8 Problème 4

9 GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 par la suite Ret Sa / 4 4 ( ω ( t Ret ω Sa / 4 4 ( t 997 Examen Final - Solutions 9 Problème 4

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