Potresno djelovanje na konstrukcije i osnove proračuna i projektiranja potresno otpornih konstrukcija. Izv.prof.dr.sc.
|
|
|
- Κασσάνδρα Βασιλείου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Potresno djelovanje na konstrukcije i osnove proračuna i projektiranja potresno otpornih konstrukcija Izv.prof.dr.sc. Davor Grandić
2 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Potresima se nazivaju gibanja tla pruzročena iznenadnim pomacima unutar zemljine kore. Potrese uzrokuju različite prirodne pojave, kao što su tektonski procesi, vulkanske erupcije, iznenadnim slom i padanje materijala (na primjer u kraškim jamama). Od raznih teorija nastanka tektonskih potresa, danas je opće prihvaćena tektonska teorija ploča. Tvrda zemljina litosfera koja ima ukupnu debljinu 50 do 150 km razlomljena je na ploče. Ove ploče pomiču se kao kruta tijela na relativno mekoj astenosferi.
3 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Tektonske ploče i njihov godišnji pomak u mm
4 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Mehanizam pomaka tektonskih ploča na njihovim granicama
5 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Na oceanskim grebenima tektonske se ploče razmiču i na tom mjestu magma istječe na morsko dno i hladi se. Zbog razmicanja ploča na oceanskim grebenima one se na drugim mjestima sudaraju. Zbog toga dolazi do sudaranja ploča ili do podvlačenja (subdukcije) jedne ploče ispod druge. Na tim se mjestima kora vraća u astenosferu i nastaju oceanske brazde. U slučaju sudaranja ploča izdižu se planine. Zbog relativnih pomaka ploča u blizini njihovih granica dolazi do velikih tektonskih sila.
6 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA U slučaju kad je iscrpljena čvrstoća materijala dolazi do naglih pomaka i nastanka potresa. U većini slučajeva rasjedi se formiraju u dubini litosfere i nisu vidljivi na površini.
7 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Međutim često su relativni pomaci u vertikalnom i horizontalnom smjeru vidljivi i na površini zemlje. Najpoznatiji je primjer 1300 km dugačak rasjed San Andreas u kaliforniji. Pomaci stjenskih masa na rasjedu može biti u vertikalnom ili horizontalnom smjeru (i kombinirani). Oblici pomaka na rasjedima
8 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Mjesto gdje počinje pucanje i odakle se počinju širiti seizmički valovi zove se žarište, fokus ili hipocentar potresa. Vertikalna projekcija hipocentra na površinu zemlje zove se epicentar potresa.
9 Potresi i gibanje tla u potresu UZROCI POTRESA Zemljopisni raspored potresa magnitude veće ili jednake od 4 u razdoblju od pet godina
10 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI Kinetička energija koja se generira pri raspucavanju stijenskih masa rasprostire se u okoliš u obliku prostornih valova. Po unutrašnjosti zemlje prostiru se prostorni valovi, dok se na površini zemlje javljaju površinski valovi. Prostorni valovi dijele se na P-valove, koje zovemo primarni ili uzdužni i na S-valove, koje zovemo sekundarnim, poprečnim ili posmičnim valovima. Kod P-valova čestice osciliraju u smjeru širenja valova, tj. Javlja se zgušćivanje i razrjeđivanje čestica. Kod S-valova čestice osciliraju okomito na smjerove širenja valova.
11 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI a) P - valovi - stezanje i rastezanje materijala u smjeru kretanja vala b) S - valovi - pomicanje materijala okomito na smjer kretanja vala
12 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI Površinski valovi ograničeni su na površinu zemlje. Dijelimo ih na R (Rayleigh) i L (Love) valove. Kod L-valova čestice na površini osciliraju u horizontalnoj ravnini okomitoj na smjer širenja valova. Kod R-valova javlja se eliptična oscilacija u ravnini okomitoj na površinu zemlje. Pojedini tipovi valova šire se različitim brzinama u različitim tipovima tla i medijima. Brzina širenja ovisi o gustoći i elastičnim svojstvima što je veća gustoća, brzina je veća.
13 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI
14 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI Najveći utjecaj na obične građevine imaju s-valovi, a zatim L i R-valovi, koji bočno pokreću tlo izazivajući većinu šteta na građevinama. Brzina S-valova je i najvažnije potresno svojstvo tla, što im je veća brzina širenja, tlo je s obzirom na potres, bolje. Potresni valovi generirani u hipocentru šire se kroz različite slojeve stijena i tla. Zbog toga se potresni valovi filtriraju i pojačavaju (ili slabe). Takvi filtrirani valovi koji promijenjeni dostižu površinu zemlje djeluju na vibracije zgrada i ostalih građevina.
15 Potresi i gibanje tla u potresu POTRESNI VALOVI Širenje potresnih valova od osnovne stijene do površine
16 Potresi i gibanje tla u potresu MAGNITUDA I INTENZITET Jačina potresa ovisi o količini energije koja se oslobodi u hipocentru. Mjera oslobođene energije je magnituda m, koju je definirao Richter Godine i zato se zove Richterova magnituda. Prema Richteru magnituda je jednaka logaritmu s bazom 10 najveće amplitude potresnih valova (u mikronima) zabilježene na standardnom instrumentu smještenom točno 100 km od epicentra. Za udaljenosti različite od 100 km izmjerene vrijednosti magnitude se preračunavaju.
17 Potresi i gibanje tla u potresu MAGNITUDA I INTENZITET Učinci potresa koji se mogu opažati na ljude, građevine i prirodu mjere se s pomoću različitih ljestvica intenziteta potresa. Postoji nekoliko ljestvica (skala) potresa, najpoznatije su: Mercalli-Cancani-Siebergova ljestvica (MCS) iz God. Modificirana Mercallijeva ljestvica (MM) koju je načinio Neumann God. Medvedev-Sponheuer-Karnikova (MSK) koja je do nedavno bila uporabi u Hrvatskoj Ove tri ljestvice vrlo su slične jer imaju 12 stupnjeva intenziteta potresa i zato što opisuju osjećaj ljudi, prirodu i ponašanje te oštećenja građevina za vrijeme potresa.
18 Potresi i gibanje tla u potresu MAGNITUDA I INTENZITET Intenzitet potresa i posljedice prema MSK-64 ljestvici
19 Potresi i gibanje tla u potresu MAGNITUDA I INTENZITET Neki od najvećih svjetskih potresa 20. stoljeća:
20 Potresi i gibanje tla u potresu SVOJSTVA GIBANJA TLA Iz perspektive projektiranja potresno otpornih građevina tri su najvažnija svojstva gibanja tla: Vršno ubrzanje tla Trajanje snažnog gibanja tla Frekventni sastav potresa Izmjerena vršna ubrzanja tla iznose <0,2g do 1,0g. Horizontalno ubrzanje tla od 1,0g mogu preživjeti samo rijetke građevine. Zbog dinamičkih svojstava konstrukcije koje nisu apsolutno krute mogu se ova ubrzanja u samoj građevini pojačati od dva do tri puta.
21 Potresi i gibanje tla u potresu SVOJSTVA GIBANJA TLA Ovo pojačanje ovisi o tome koliko je prevladavajuća frekvencija potresa bliska vlastitoj frekvenciji vibracija građevine. Sljedeće važno svojstvo potresa je slučajnost smjera djelovanja potresa - građevine stoga moraju biti otporne na potres u bilo kojem smjeru. Putanja krajnje točke vektora ubrzanja tla za vrijeme trajanja potresa:
22 Potresi i gibanje tla u potresu SVOJSTVA GIBANJA TLA N-S komponenta zapisa potresa Sylmar, California, 1994, - Northridge ubrzanje, brzina i pomak Napomena: ubrzanje je izmjereno akcelerografom, a brzina i pomak su izračunani iz ubrzanja
23 Potresi i gibanje tla u potresu VAŽNOST UVJETA TLA Lokalni uvjeti tla mogu bitno pojačati gibanje tla u usporedbi onome na osnovnoj stijeni. Primjer je potres u Mexico City-ju 1985., Kada je zbog debelog sloja mekog tla na kojemu je grad temeljen došlo do filtracije potresnih valova tako da je prevladavajući period potresa iznosio oko 2 sekunde. Došlo je do teškog oštećenja i rušenja visokih zgrada.
24 Potresi i gibanje tla u potresu SVOJSTVA GIBANJA TLA Porast ubrzanja i smanjenje frekvencije s povećanjem debljine naslaga mekog tla (Wellington, Novi Zeland)
25 Priroda potresnog djelovanja na građevine Potresno djelovanje ne djeluje izravno na konstrukciju u obliku sila kao neko drugo opterećenja, već neizravno, putem gibanja tla. Građevina se svojom tromošću (inercijom) suprotstavlja gibanju prouzročenom pomicanjem tla u potresu. Ovu pojavu simuliramo fiktivnim inercijskim silama koje djeluju u smjeru suprotnom od gibanja temeljnog tla koje su jednake umnošku mase i ubrzanja mase. Kod beskonačno krutih konstrukcija građevina ubrzanje mase jednako je ubrzanju tla. Kod konstrukcija koje nisu sasvim krute ovaj odnos je složeniji.
26 Priroda potresnog djelovanja na građevine Horizontalne inercijalne sile i gravitacijsko opterećenje
27 Priroda potresnog djelovanja na građevine Horizontalne inercijske sile unutar zgrade i njihovi pojednostavnjeni prikazi
28 Priroda potresnog djelovanja na građevine Usporedba između vanjskog vjetrovnog opterećenja i inercijskih sila zbog potresa
29 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja Učinci potresnog djelovanja su odzivne veličine konstrukcija potresno djelovanje kao što su unutarnje sile, pomaci, itd. Najvažniji je čimbenik težina (masa) građevine Radi smanjenja potresne oštetljivosti građevina trebalo bi primjenjivati lakše materijale kao što su drvo i čelik. Gdje god je to moguće treba primijeniti lakše elemente konstrukcije. Međutim, u mnogim dijelovima svijeta najčešće su konstrukcije zbog ekonomskih razloga masivne (betonske ili zidane). Bez obzira na to, arhitekti i inženjeri bi trebali što više smanjiti masu konstrukcija, npr. izvedbom lakih pregradnih zidova od gips kartonskih ploča.
30 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja Sljedeći je čimbenik osnovni period vibracija. Osnovni ili prvi period vibracija kod velikog broja zgrada ima dominantan učinak na veličinu potresnih inercijskih sila (u pravilu treba uzeti u obzir i utjecaj viših vlastitih oblika i perioda vibracija). Visoke fleksibilne zgrade imaju veće periode vibracija nego niske i krute zgrade (sljedeći slajd). Prigušenje su nekonzervativne sile koje se suprotstavljaju gibanju i smanjuju mehaničku energiju: Viskozno prigušenje HISTEREZNO PRIGUŠENJE (zbog neelastičnog ponašanja materijala pri izmjeničnom opterećenju) Potrošnja unesene potresne energije zbog trenja
31 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja Usporedba osnovnih perioda zgrada, ovisno o njihovoj visini. Ove su vrijednosti aproksimacije: konstrukcijski sustav, materijal i geometrija također utječu na period
32 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja Osnovni period vibracije i prigušenje konstrukcije nakon pobude impulsom sile
33 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja Oblici prva tri vlastita oblika vibracija i prvi vlastiti oblik (ima osnovni period) s pripadajućim inercijskim silama
34 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: SPEKTAR ODZIVA Spektar odziva prikladan je i zoran način za prikaz ovisnosti odziva konstrukcije na potresno djelovanje o periodu vibracija i prigušenju konstrukcije. Na sljedećem slajdu šematski je prikazano ispitivanje na potresnoj platformi s modelima zgrada koje se složene od modela s najmanjim do najvećeg osnovnog perioda. Izmjerena najveća ubrzanja za modele s određenim periodom su ordinate spektra odziva. Spektri odziva se u praksi dobivaju proračunski rješavanjem Duhamelovih integrala za sustave s jednim stupnjem slobode (tako dobiveni spektri nisu glatke krivulje). Spektri odziva u normama (npr. u Eurokodu 8) su zaglađeni.
35 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: SPEKTAR ODZIVA Generiranje spektra odziva iz zapisa potresa s pomoću potresne platforme
36 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: SPEKTAR ODZIVA a) Spektar odziva za jedan zapis potresa b) Tipični elastični spektar odziva prema normama
37 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: DUKTILNOST Duktilnost je svojstvo materijala i konstrukcija da se plastično deformiraju prije sloma. Zahvaljujući svojstvu duktilnosti konstrukcija, konstrukcije je moguće dimenzionirati na znatno manje sile od onih koje bi se dobile proračunom ekvivalentne neduktilne konstrukcije za isto potresno djelovanje. Duktilnost omogućuje trošenje unesene potresne energije na plastično deformiranje konstrukcije (histerezno ponašanje).
38 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: DUKTILNOST Armiranobetonski konzolni stup izložen djelovanju horizontalne sile
39 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: NOSIVOST (otpornost) Konstrukcija treba biti sposobna preuzeti sile prouzročene potresnim djelovanjem (momente, osne i poprečne sile). Na sljedećem slajdu prikazana je konstrukcija zgrade u kojoj se horizontalno potresno djelovanje preuzima armiranobetonskim nosivim zidovima. Ovi zidovi prenose opterećenje od potresa i vertikalno gravitacijsko opterećenje na temelje. Zidovi se dimenzioniraju na momente savijanja, osnu i poprečnu silu prema pravilima danim u normama za betonske i potresno otporne konstrukcije (npr. Eurokod 2 i Eurokod 8). Momenti savijanja i poprečne sile koje rastu od vrha do dna ovih zidova preko temelja se prenose u tlo.
40 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: NOSIVOST (otpornost)
41 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: KRUTOST Krutost je gotovo jednako važno svojstvo konstrukcije i njezinih elemenata kao i otpornost. Kruće konstrukcije manje se deformiraju, ali zbog kraćih perioda vibracija potresi uzrokuju veće unutarnje sile u takvim konstrukcijama Konstrukcije male krutosti će se usprkos dostatnoj nosivosti prekomjerno deformirati i oštećivati nekonstrukcijske elemente (pregradne zidove, elemente pročelja, instalacije i sl.) Prekomjerno deformiranje može dovesti do nestabilnosti konstrukcija. Zbog tih razloga norme za projektiranje potresno otpornih konstrukcija ograničuju dopuštene pomaka konstrukcija u potresu.
42 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: KRUTOST Veliki katni relativni pomaci mogu dovesti do rušenja pregradnih zidova i ispunskog ziđa: Kombinacija otklona i težine zgrade povećava rizik od rušenja (nestabilnost, učinci 2. reda)
43 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: KRUTOST Konstrukcijski elementi preuzimaju sile uzrokovane potresom u omjeru njihove krutosti.
44 Čimbenici koji utječu na veličinu učinaka potresnog djelovanja: TORZIJA Rezultanta seizmičkih (inercijainih) sila djeluje u središtu masa (CM), ali se rotacija zgrade odvija oko središta krutosti (CK). Zbog toga nastaju torzijski momenti oko središta krutosti.
45 Proračunski učinci potresnog djelovanja Prema Eurokodu 8 određivanje učinaka potresnog djelovanja kao i drugih djelovanja (stalna i dio promjenljivih) uključenih u potresnu proračunsku situaciju mogu se odrediti na temelju linearno elastičnog proračuna konstrukcije. Upućuje se na ove dvije temeljne metode za linearno elastični proračun: " Proračunski postupak s bočnim silama " za zgrade koje zadovoljavaju uvjete pravilnosti po visini "modalni spektralni proračun odziva" koji se primjenjuje za sve vrste zgrada U nastavku će se objasniti prva metoda koja se može koristiti za mnoge zgrade koje zadovoljavaju kriterije pravilnosti po visini i kod kojih doprinos odzivu viših vlastitih oblika od 1. nije značajan.
46 Proračunski učinci potresnog djelovanja POTRESNA POPREČNA SILA U PODNOŽJU Prema toj metodi prvo se odredi potresna poprečna sila u podnožju zgrade F b : gdje je: F ( T ) λ = S m b d 1 (HRN EN ) S d (T 1 ) ordinata proračunskog spektra za period T1 T 1 m λ osnovni period vibracija zgrade za horizontalno poprečno gibanje u promatranome smjeru ukupna masa zgrade iznad temelja ili krutog podruma (m = W/g) korekcijski faktor koji je jednak: λ = 0,85 ako je T 1 2T C i zgrada ima više od dva kata, λ = 1,0 u svim ostalim slučajevima
47 Proračunski učinci potresnog djelovanja POTRESNA POPREČNA SILA U PODNOŽJU Elastični spektar odziva tipa 1 (EN ) ima kvalitativan oblik kao na slici: a g = γ I a gr je proračunsko ubrzanje tla tipa A, a gr je vršno ubrzanje ordinata proračunskog spektra za T B T 1 T C (S je faktor tipa tla): S d ( T ) 1 = a S g 2,5 q proračunski spektar dobiva se umanjenjem elastičnog koje se postiže uvođenjem faktora ponašanja q (konstrukcije se ponašaju neelastično, duktilno)
48 Proračunski učinci potresnog djelovanja KARTA POTRESNIH PODRUČJA ZA POVRATNI PERIOD 475 GODINA
49 Proračunski učinci potresnog djelovanja KARTA POTRESNIH PODRUČJA ZA POVRATNI PERIOD 95 GODINA
50 Proračunski učinci potresnog djelovanja RASPODJELA HORIZONTALNIH POTRESNIH SILA PO VISINI da bi se mogli proračunati učinci potresnog djelovanja u konstrukciji E d (presječne sile i pomaci) potrebno je ukupnu seizmičku silu F bd, određenu u oba glavna smjera, raspodijeliti po visini konstrukcije: F i = F b si mi s j m j gdje je: F i F b s i, s j m i, m j horizontalna sila koja djeluje na katu "i" potresna poprečna sila u podnožju zgrade (ili ukupna potresna poprečna sila) pomaci masa m i, m j u osnovnome obliku vibracija katne mase
51 Proračunski učinci potresnog djelovanja RASPODJELA HORIZONTALNIH POTRESNIH SILA PO VISINI Ako se umjesto katnih masa m i, m j uvrste težine w i, w j : si wi F i = Fb... gdje su w i, w j težine katnih masa m i, m j. s j w j Kada se osnovni oblik vibracija prikazuje približno s pomoću horizontalnih pomaka koji se linearno povećavaju po visini, rabi se jednadžba: F i = F b zi mi z j m j ili F i = F b zi wi z j w j... z i, z j visina masa m i, m j ili težina wi, wj iznad razine potresnoga djelovanja (gorni rub temelja ili krutog podruma).
52 Proračunski učinci potresnog djelovanja RASPODJELA HORIZONTALNIH POTRESNIH SILA PO VISINI Raspodjela ukupne potresne poprečne sile po visini zgrade: Još bi trebalo odrediti slučajne torzijske učinke i kombinaciju učinaka potresnih djelovanja iz dva okomita smjera, ali to prelazi opseg ovog predavanja.
53 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kotor, Crna Gora, 1979.
54 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Budva, Crna Gora, 1979.
55 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, meko prizemlje
56 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, slom armiranobetonskog zida poprečnom silom
57 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, slom armiranobetonskog stupa zbog nedovoljne duktilnosti preslabe spone
58 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, meko prizemlje, detalj
59 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, zgrada se prevrnula preko ceste
60 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, posmični slom kratkog stupa
61 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, slom armiranobetonskog zida
62 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Kobe, Japan, ekscentrično smještena armiranobetonska jezgra za dizalo uzrokovala je torziju koja je srušila uglovne stupove
63 Primjeri oštećenja i urušavanja zgrada u potresu Northrige, Kalifornija, slom veznih greda povezanih ab zidova
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
ZIDANE KONSTRUKCIJE STRUČNI STUDIJ GRAĐEVINARSTVA
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE BRANIMIR PAVIĆ ZIDANE KONSTRUKCIJE STRUČNI STUDIJ GRAĐEVINARSTVA ZAVRŠNI RAD PRORAČUN NOSIVE KONSTRUKCIJE ZIDANE GRAĐEVINE SPLIT, 2017.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Q (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m)
L = L 14.1. ZADATAK Zadan je pilot kružnog poprečnog presjeka, postavljen kroz dva sloja tla. Svojstva tla i dimenzije pilota su zadane na skici. a) Odrediti graničnu nosivost pilota u vertikalnom smjeru.
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL
PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
SPREGNUTE KONSTRUKCIJE
SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Rad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO POMOĆNI DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT dopunjeno za ak.god. 016/017 Slika 1. Parcijalni koeficijenti za GEO/STR za djelovanja, parametre materijala i otpore prema EC-7 Slika.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA
Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA Dr Veliborka Bogdanović, red.prof. Dr Dragan Kostić, v.prof. Konstruktivni sklop - Noseći sistem objekta Struktura sastavljena od jednostavnih nosećih elemenata
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA
VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org
ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske