Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (θετική φορά προς τα δεξιά) :

Transcript

1 ) Η συνολική μάζα του αρχικού σώματος είναι m =,kg. Επομένως : m = m + m, = m + 0, m = kg Οι εσωτερικές δυνάμεις που εμφανίζονται κατά την έκρηξη είναι πολύ μεγαλύτερες των εξωτερικών δυνάμεων επομένως το αρχικό σύστημα θεωρείται μονωμένο. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (θετική φορά προς τα δεξιά) : p = p + p 0 = m υ m υ 0 = 40 0, υ υ = 00m/s ) Η ενέργεια που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη είναι αποθηκευμένη στον εκρηκτικό μηχανισμό του σώματος μάζας m : E ελευθ = Κ ολμ,μετά Κ ολ,πριν = m υ + m υ = , 00 = E ελευθ = 4800J 3) Οι μόνες εξωτερικές δυνάμεις που δέχονται τα σώματα Σ και Σ 3 είναι τα βάρη τους B, B 3 και η δύναμη στήριξης N 3, οι οποίες έχουν συνισταμένη μηδέν (η τριβή δεν λαμβάνεται υπόψιν). Επομένως το σύστημα είναι μονωμένο και μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (θετική φορά προς τα αριστερά) : p + p 3 = p σ m υ = (m + m 3) υ 3 0, 00 = (0,+,8) υ 3 υ 3 = 0m/s 4) Η ενέργεια χάνεται εξαιτίας των μη συντηρητικών δυνάμεων που εμφανίζονται κατά την πλαστική κρούση και μετατρέπεται σε θερμότητα και ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης. ΔΚ 00% = Κ σ Κ,πριν 00% = ( Κ,πριν Κ,πριν = ( (0,+,8) 0 ) 00% 0, 00 ΔΚ Κ,πριν 00% = -90% Κ σ Κ,πριν ) 00% = ( 5) Δp = p,μετα - p,πριν Δp = m υ 3 - m υ = 0, 0 0, 00 Δp = -36 kg m/s (m +m 3 ) υ 3 m ) 00% = υ H μεταβολή της ορμής του Σ είναι αντίθετη της μεταβολής της ορμής του Σ 3 λόγω ΑΔΟ. Δp = - Δp 3

2 6) Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για το Σ 3: Κ 3,μετά Κ 3,πριν = W F3 + W B3 + W N3 m3 υ3-0 = W F ,8 0 = W F W F = 360 J 7) Κατά την διάρκεια της κίνησης του Σ,3 πάνω στο Σ 4 οι δυνάμεις που δέχεται είναι το βάρος B,3, η δύναμη στήριξης Ν,3 και η τριβή Τ. Το βάρος και η δύναμη στήριξης έχουν συνισταμένη μηδέν οπότε η συνισταμένη ισούται με την τριβή. Δp,3 Δp,3 = ΣF Δp,3 = -6 Κg m/s = -T = -μ Ν,3 = -μ (m+m3) g = -0,8 (,8+0,) 0 8) Ανάμεσα στο Σ -Σ 3 και στην σανίδα Σ 4 στην διεύθυνση της κίνησης ασκείται μόνο η τριβή Τ. Τ = μ Ν 3 = μ (m + m 3) g = 0,8 (,8+0,) 0 Τ = 6N Λόγω της τριβής το Σ -Σ 3 επιβραδύνεται και το Σ 4 επιταχύνεται. Για το Σ -Σ 3 έχουμε: ΣF α 3 = m +m = T 3 m +m = 6 3 α3 = -8 m/s Για το Σ 4 έχουμε: α 4 = ΣF m 4 = T m 4 α4 = 6 3 m/s Το Σ -Σ 3 μετατοπίζεται κατά : x = υ 3 - α3. = (7 4 ) = 35 -,5 x =,75 m Το Σ 4 μετατοπίζεται κατά : x 4 = α4. = 6 3 (7 4 ) x 4 = 8,6 m Άρα το μήκος της σανίδας είναι d = x x 4 =,75 8,6 d = 4,58 m 9) Κατά την διάρκεια της κίνησης των σωμάτων Σ -Σ 3-Σ 4 οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται είναι τα βάρη των σωμάτων και η δύναμη στήριξης των οποίων η συνισταμένη είναι μηδέν. Επομένως το σύστημα είναι μονωμένο και μπορεί να εφαρμοστεί η ΑΔΟ ώστε να βρούμε την κοινή ταχύτητα υ 4 που αποκτούν: p ολ,πριν = p ολμετά p,3 + p 4 = p σ (m +m 3) υ 3 = (m + m 3 + m 4) υ 4 (,8 + 0,) 0 = (,8 + 0, +3) υ 4 υ 4 = 8 m/s

3 Την στιγμή που τα σώματα αποκτούν την κοινή ταχύτητα υ 4, το συσσωμάτωμα Σ -Σ 3 έχει μετατοπιστεί κατά d και το Σ 4 κατά d 4. Tο Σ -Σ 3 μετατοπίζεται πάνω στο Σ 4 κατά s. Ισχύει: d = d 4 +s s = d d 4 Για να μην πέσει το Σ -Σ 3 από το Σ 4 πρέπει την στιγμή που αποκτούν κοινή ταχύτητα να ισχύει s d όπου d το μήκος της σανίδας. Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για το Σ -Σ 3: Κ,3,μετά Κ,3,πριν = W Τ + W B,3 + W N,3 (m+m3) υ4 - (m+m3) υ3 = -T d (m+m3) υ4 - (m+m3) υ3 = -μ (m +m 3) g d 3 00 = 8 d d = m Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για το Σ 4: Κ 4,μετά Κ 4,πριν = W Τ m4 υ4-0 = +T d 4 m4 υ4 = +μ (m +m 3) g d 4 96 = 6 d 4 d 4 = 6m Άρα το μήκος της σανίδας πρέπει να είναι: d s = d d 4 = 6 d 5m 0 ) Η θερμότητα που ελευθερώθηκε οφείλεται στην τριβή και ισούται με την διαφορά της αρχικής με την τελική ολική κινητική ενέργεια. Q = K ολ,αρχ Κ ολ,τελ = Q = (m+m3) υ3 - (m+m3+m4) υ4 = (0,+,8) 0 - (0,8+,+3) 8 Q = 40 J ) Για να έχουμε 00% απώλεια της κινητικής ενέργειας τους συστήματος κατά την κρούση, πρέπει τα σώματα Σ -Σ 3-Σ 4 και Σ 5 να παραμείνουν ακίνητα στο σημείο κρούσης,επομένως να έχουν αντίθετες ορμές: p σ + p 5 = 0 p σ = - p 5 m 34 υ 4 = m 5 υ = 4 υ 5 υ 5 = 0m/s Εφόσον το σώμα αφήνεται από μία οριζόντια διάμετρο της κυκλικής επιφάνειας το ύψος h ισούται με την ακτίνα R. Στο Σ 5 ασκούνται μόνο το βάρος του B 5 και η δύναμη Ν 5 από την κυκλική επιφάνεια η οποία δεν παράγει έργο. Επομένως η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή(θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το κατώτερο σημείο της κυκλικής επιφάνειας). Ε μηχ,α = Ε μηχ,γ Κ 5,Α + U 5,A = K 5,Γ + U 5, Γ 0 + m 5 g h = m5 υ R = 4 0 R = 5 m 3

4 ) Λίγο πριν την κρούση το σώμα Σ 5 δέχεται το βάρος του B 5 και η δύναμη Ν 5 από την κυκλική επιφάνεια οι οποίες έχουν την διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής επιφάνειας και επομένως είναι κάθετες στην ταχύτητα του σώματος. ΔΚ 5 = ΣF υ5 συνθ ΔΚ 5 = 0 Δp 5 = ΣF Δp 5 = Ν 5 + B 5 Δp 5 = Ν5 B5 = FK = m 5 υ 5 R = Δp 5 = 80kg m/s Η δύναμη από το επίπεδο είναι: F K = Ν 5 B 5 Ν 5 = F K + B 5 = Ν 5 = 0 Ν 3) Αφού το σώμα θα χάσει το 64% της κινητικής του ενέργειας θα του μείνει το 36%. Άρα: Κ 5 = Κ5 m5 υ 5 = m5 υ 5 υ 5 = υ 5 = 6 m/s Εφόσον η κρούση είναι ελαστική έχουμε(θεωρούμε θετική φορά προς τα αριστερά): υ5, = m 34 m 34 5 m 34 +m υ 4 + m 5 5 m 34 +m υ 5 6 = 5 5+m 8 + m m ( 0) m 5 = 6,5 kg 5 5 4) Το Σ εκτελεί οριζόντια βολή επομένως ισχύουν οι σχέσεις : x = υ t t = x υ t = x 40 () y = g t y = 0 ( x 40 ) y = x 30 5) Την στιγμή t =s το σώμα έχει ταχύτητα υ και ισχύει: υ x = υ = 40m/s υ y = g t = 0 = 0m/s Στο σώμα ασκείται μόνο το βάρος του B επομένως: Δp = ΣF Δp = B Δp = B = m g= 0 Δp = 0 kg m/s ΔΚ = ΣF υ συνθ ΔΚ = B υy = 0 0 ΔΚ =00 J/s ΔU = ΔW Β = -B υ συνθ ΔU = -B υ y = -0 0 ΔU = -00 J/s 6) To Σ δέχεται δύναμη μόνο στον άξονα y y επομένως μεταβάλλεται η ορμή του μόνο σε αυτή την διεύθυνση. Δp = p - p Δp = Δp y = p y - p y = p y Δp = m υ y = 0 Δp = 0kg m/s 4

5 7) Στην διεύθυνση y y η συνισταμένη των δυνάμεων δεν είναι μηδέν (ασκούνται η τάση του νήματος και τα βάρη), επομένως στην διεύθυνση αυτή δεν διατηρείται η ορμή. Αντίθετα στον άξονα x x δεν ασκούνται δυνάμεις επομένως(θεωρούμε θετική φορά προς τα δεξιά): p x,πριν = p x,μετά p x = p σ m υ χ = (m +m 6) υ 6 40 = (+4) υ 6 υ 6 = 8 m/s 8) H τάση είναι συνεχώς κάθετη στην ταχύτητα επομένως δεν παράγει έργο και η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή(θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας στην θέση κρούση): Ε μηχ,ε = Ε μηχ,ζ Κ σ,ε + U σ,ε = Κ σ,ζ + U σ,ζ (m+m6) υ6 + 0 = 0 + (m +m 6) g h Ζ (+4) 8 = (+4) 0 h Ζ h Ζ = 3,m 9) Για να μην σπάει το νήμα πρέπει Τ Τ θρ Αμέσως μετά την κρούση: F κ,e = Τ Ε B,6 (m +m 6) υ 6 = Τ Ε (m +m 6) g (+4) 8 3, = Τ Ε - (+4) 0 T E = 50 N Άρα το νήμα δεν σπάει 0) Στην ανώτερη θέση: Το συσσωμάτωμα στιγμιαία ακινητοποιείται επομένως υ 6 =0. Επειδή το μήκος του σχοινιού είναι 3,m και το σώμα όταν σταματήσει έχει ανέβει κατά h z=3,m σημαίνει ότι βρίσκεται σε μία οριζόντια διάμετρο. Στην θέση αυτή το βάρος είναι κάθετο στην ακτίνα και δεν συμμετέχει στην κεντρομόλο δύναμη. F κ,z = Τ Z (m +m 6) υ z = ΤZ Τ Z = 0 Σε γωνία θ=60 ο : Αναλύουμε το βάρος σε δυο συνιστώσες, την B 6x κάθετη στην ακτίνα και την B 6y στην διεύθυνση της ακτίνας. Β 6y = B 6 συνθ = (m +m 6) g =(+4) 0 Β6y = 5N Το ύψος h H στο οποίο βρίσκεται το σώμα υπολογίζεται ως εξής: h H = συν60 ο = 3, - 3, =,6m Για να βρούμε την ταχύτητα σε αυτήν την θέση έχουμε: Ε μηχ,ε = Ε μηχ,η Κ σ,ε + U σ,ε = Κ σ,η + U σ,η (m+m6) υ6 + 0 = (m+m6) υη + (m +m 6) g h Η υ6 + 0 = υη + g h Η 8 = υη + 0,6 υ 6Η = 3 m/s F κ,h = Τ H B 6y (m +m 6) υ H = Τ H 5 (+4) 3 3, = Τ H 5 Τ H = 75N 5

6 ) Για να εκτελέσει το Σ -Σ 6 ανακύκλωση πρέπει όταν φτάσει στο ανώτερο σημείο Ν η τάση του νήματος να είναι Τ Ν 0 F κ,ν = Τ ν + B 6ν (m +m 6) υ Ν = Τ N + (m +m 6) g Τ N = (m +m 6) υ Ν - (m +m 6) g Αφού Τ Ν 0 (m +m 6) υ Ν - (m +m 6) g 0 υ Ν g υ Ν 3, 0 υ Ν 3 m/s Παίρνουμε την οριακή περίπτωση όπου υ Ν = 3 m/s Η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή: Ε μηχ,ε = Ε μηχ,ν Κ σ,ε + U σ,ε = Κ σ,ν + U σ,ν (m+m6) υ7 + 0 = (m+m6) υν + (m +m 6) g h Ν υ7 + 0 = υν + g h Ν υ7 = , υ7 = 96 υ7 = 4 6 m/s Για την κρούση έχουμε: p x,πριν = p x,μετά p x = p σ m υ χ = (m +m 6) υ 7 υ χ = (+4) 4 6 υ χ = 0 6 m/s 6