S dt T V. Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής

Transcript

1 Μελέτη της κίνησης μηχανικού ταλαντωτή που προκαλεί διάδοση ελαστικού κύματος σε μονοδιάστατο ελαστικό μέσο Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής Κεντρική ιδέα Στην εργασία αυτή, γίνεται μελέτη της κίνησης συστήματος μηχανικού ταλαντωτή (ελατηρίου - σώματος) συνδεδεμένου με το άκρο ελαστικής χορδής απείρου μήκους. Κατά την κίνηση του ταλαντωτή δημιουργείται διαταραχή στο άκρο της χορδής, η οποία διαδίδεται με τη μορφή ελαστικού κύματος κατά μήκος της χορδής. Αυτό σημαίνει ότι ενέργεια μεταφέρεται από τον ταλαντωτή στο ελαστικό μέσο, ο ταλαντωτής χάνει ενέργεια και κάνει φθίνουσα ταλάντωση. Το μοντέλο (7) του μηχανικού ταλαντωτή - κύματος χρησιμοποιείται για να δειχθεί η βασική αδυναμία του ατομικού προτύπου του Rutherford (4) : Το περιφερόμενο γύρω από τον πυρήνα ηλεκτρόνιο εκπέμπει ακτινοβολία με αποτέλεσμα να χάνει ενέργεια και τελικά θα έπρεπε να πέσει στον πυρήνα. Δεδομένου ότι η κυκλική κίνηση του ηλεκτρονίου μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, αρκεί να εστιάσουμε στη συμπεριφορά του ταλαντωτή και του κύματος που εκπέμπει. Η προσομοίωση της κίνησης του μηχανικού μοντέλου γίνεται στο πλαίσιο της εφαρμογής java: radiator_kpm.jar Για τη μαθηματική επεξεργασία του μοντέλου απαιτείται ο υπολογισμός της συνάρτησης Lagrange και του αντίστοιχου ολοκληρώματος της δράσης του συστήματος ταλαντωτή-χορδής (,3,5). Οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης προκύπτουν από την απαίτηση το ολοκλήρωμα της δράσης μεταξύ δύο τυχαίων καταστάσεων του συστήματος να είναι ακρότατο. Λέξεις κλειδιά Ταλαντωτής, ελαστική χορδή, εγκάρσια ελαστικά κύματα, συνάρτηση Lagrange ταλαντωτή - κύματος, αρχή της ελάχιστης δράσης του μηχανικού συστήματος, ακτινοβολία του ταλαντωτή Η αρχή της ελάχιστης δράσης (,3,5,7) Σε πολλές περιπτώσεις μελέτης σύνθετων συστημάτων, η διαμόρφωση των εξισώσεων κίνησης γίνεται ευκολότερη μέσω της «αρχής της ελάχιστης δράσης». Η ιδέα που κρύβεται πίσω από την αρχή αυτή, πηγάζει από την αρχή του D Alembert, σύμφωνα με την οποία η μελέτη κάθε δυναμικού συστήματος μπορεί να αναχθεί στη μελέτη ενός συστήματος που βρίσκεται σε ισορροπία, αρκεί στις δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του συστήματος να προστεθούν και οι αδρανειακές δυνάμεις ma, j=, j j που οφείλονται στις επιταχύνσεις των σωματιδίων. Όταν ένα μηχανικό σύστημα ισορροπεί, η δυναμική του ενέργεια έχει ακρότατη τιμή. Αν λάβουμε υπόψη και τις αδρανειακές δυνάμεις, η συνθήκη αυτή τροποποιείται: Οι τροχιές ενός δυναμικού συστήματος είναι τέτοιες ώστε η «δράση» του συστήματος να έχει ακρότατη τιμή. Στο πλαίσιο της κλασικής - Νευτώνειας- Μηχανικής, μπορεί να δείξει κανείς ότι για κάθε συντηρητικό, μηχανικό σύστημα η δράση (S) μεταξύ δύο οποιωνδήποτε χρονικών στιγμών t και t έχει τη μορφή: t S dt T t όπου Τ είναι η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος και η συνολική δυναμική ενέργειά του. Η ποσότητα L T είναι μια συνάρτηση των θέσεων και των ταχυτήτων των σωματιδίων του μηχανικού συστήματος. Ονομάζεται συνάρτηση Lagrange. Η συνάρτηση Lagrange περιέχει όλες τις αναγκαίες πληροφορίες για τη μηχανική συμπεριφορά του συστήματος. Περιγραφή της ελαστικής χορδής (,3) Η ελαστική χορδή θεωρείται ως συνεχές ελαστικό μέσο μιας διάστασης που προκύπτει ως οριακή κατάσταση ενός μεγάλου πλήθους όμοιων ταλαντωτών συνδεδεμένων σε σειρά. Ονομάζουμε κ τη σταθερά επαναφοράς κάθε στοιχειώδους ταλαντωτή και μ τη μάζα κάθε σωματιδίου της χορδής. Τα σωματίδια αριθμούνται με τους φυσικούς αριθμούς n=,, N.

2 Στην κατάσταση ισορροπίας της, η χορδή τείνεται από σταθερή δύναμη F (σχήμα Β). Θεωρούμε ότι στην κατάσταση ισορροπίας δύο γειτονικά σωματίδια της χορδής απέχουν μεταξύ τους απόσταση α. Κάθε σωματίδιο με n=, δέχεται από της άμεσους γείτονές του (και μόνο) δυνάμεις μέτρου f κα. Το n σωματίδιο που αντιστοιχεί στο n= ισορροπεί κάτω από τη δράση της ελαστικής δύναμης f κα και της τείνουσας δύναμης F (σχήμα ). Επομένως ισχύει: F κ α () Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t τα σωματίδια της χορδής έχουν μετατοπιστεί πάνω στο ίδιο επίπεδο, εγκάρσια ως προς τη θέση ισορροπίας της χορδής. Η απομάκρυνση του σωματιδίου με δείκτη n από τη θέση ισορροπίας του προσδιορίζεται από τη συνάρτηση: h ( n t) hnα (, t), n, (σχήμα ). Στην οριακή περίπτωση, όπου η χορδή θεωρείται ως συνεχές μέσον, η ποσότητα α είναι απειροστή: α. Τότε, αφού η τείνουσα δύναμη είναι πεπερασμένη, θα πρέπει η σταθερά επαναφοράς κ να τείνει στο άπειρο με τέτοιο τρόπο, ώστε το γινόμενό της με το α να διατηρείται σταθερό και ίσο με την τείνουσα δύναμη F (σχέση ). Στη συνεχή χορδή, το nα προσδιορίζει τη x-συνιστώσα της θέσης κάθε σωματιδίου της χορδής. Δύο γειτονικά σωματίδια της συνεχούς χορδής απέχουν απόσταση dx α (σχήμα ): nα x, α dx Η κατάσταση της χορδής σε κάθε χρονική στιγμή t προσδιορίζεται από μια συνάρτηση δύο μεταβλητών h( x, t ) όπου x +. Θεωρούμε ότι η h( x, t ) έχει παραγώγους τουλάχιστον μέχρι και ης τάξης ως προς κάθε μεταβλητή. Η h( x, t ) υπολογίζει την απομάκρυνση του n-σωματιδίου της χορδής (με τετμημένη x nα ) από τη θέση της ισορροπίας του (σχήμα ). Η ταχύτητα του n-σωματιδίου της χορδής ισούται με την παράγωγο της απομάκρυνσής του h n ως της το χρόνο: hnαt, vn t () t Στο όριο α η γράφεται: h x, t v x, t (3) t Σχήμα : Στην εικόνα Β η χορδή βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, κάτω από τη δράση εξωτερικής τείνουσας δύναμης F. Σχήμα : Η κατάσταση της χορδής τη χρονική στιγμή t: Τα σημεία της έχουν μετατοπιστεί εγκάρσια ως προς τη θέση ισορροπίας της χορδής. Η απομάκρυνση κάθε σημείου δίδεται από τη συνάρτηση h n =h(nα,t), n=, Υπολογίζουμε την έκφραση της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας της χορδής τη χρονική στιγμή t. Κινητική ενέργεια της χορδής Η κινητική ενέργεια της χορδής ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωματιδίων της:, h nαt n (4) T μ v μ n n t

3 Στο όριο του συνεχούς ( nα x, α dx ), η χορδή θεωρείται ομοιογενές μέσο σταθερής γραμμικής πυκνότητας ρ. Η γραμμική πυκνότητα ισούται με το πηλίκο της μάζας που έχει τμήμα της χορδής μήκους L, προς το L. Έτσι, αν θεωρήσουμε τη χορδή στην κατάσταση ισορροπίας της, σε τμήμα της χορδής μήκους L=Nα περιλαμβάνονται Ν σωματίδια με μάζα μ το καθένα. Η γραμμική πυκνότητα της χορδής γράφεται: N μ μ ρ N α α ή: μ ρ α (5) Στο όριο του συνεχούς μέσου, η μάζα μ αντιστοιχίζεται με τη μάζα dm που περιλαμβάνεται σε μήκος dx=α της χορδής στην κατάσταση ισορροπίας της. Η σχέση 5 γράφεται dm=ρdx και η 4 μετατρέπεται στο ολοκλήρωμα:, h x t T dx ρ t (6) Δυναμική ενέργεια της χορδής Στην κατάσταση ισορροπίας της χορδής κάθε ταλαντωτής (κ,μ) έχει δυναμική ενέργεια ίση με κα. Έστω ότι η χορδή έχει διεγερθεί και η απομάκρυνση του n-σωματιδίου της από τη θέση της ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t, δίδεται από τη συνάρτηση h ( n t ) h( nα, t ) n=,. Με τη βοήθεια του σχήματος, βρίσκουμε την πρόσθετη δυναμική ενέργεια n του n-σωματιδίου τη στιγμή t: hn hn n κ An An α κ hn hn κα α και σύμφωνα με την : hn hn n Fα α Ώστε η συνολική πρόσθετη δυναμική ενέργειά της χορδής δίνεται από τη σχέση: hn hn Fα n α (8) hn hn Στο όριο του συνεχούς, το α γίνεται dx και το κλάσμα γράφεται: h h x dx, t h x, t h x, t n h n α dx x Η 8 λαμβάνει τη μορφή:, (7) h x t dx F x (9) Η συνάρτηση Lagrange και οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος ταλαντωτή-χορδής Βρίσκουμε την αναλυτική έκφραση της συνάρτησης Lagrange του συστήματος ταλαντωτήχορδής που εικονίζεται στο σχήμα 3: L T ολ. ολ. όπου Τ ολ. είναι η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος (ταλαντωτή και χορδής) τη χρονική στιγμή t και ολ. η συνολική δυναμική ενέργεια. Η κατάσταση ταλάντωσης της χορδής και του σώματος μάζας Μ που είναι προσδεμένο στο άκρο της (x=) περιγράφεται από τη συνάρτηση Η( t, x ). Θεωρούμε ότι τη στιγμή t= η χορδή βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας: Ηx, για κάθε x Η διαταραχή των σημείων της χορδής από τη θέση ισορροπίας τους δεν διαδίδεται ακαριαία: τη χρονική στιγμή t μόνο τα σημεία της χορδής που απέχουν από το άκρο της Ο απόσταση 3

4 μικρότερη από μια μέγιστη τιμή x =Ct (όπου C μια σταθερά που μένει να προσδιοριστεί) θα έχουν μετακινηθεί από τη θέση ισορροπίας τους. Δηλαδή θεωρούμε ότι η απομάκρυνση Η( t, x ) των σημείων της χορδής με x Ct είναι ίση με το μηδέν. Γράφουμε: h x, t x Ct Η x, t () x Ct Η κινητική και η δυναμική ενέργεια της χορδής, δίδονται από της σχέσεις 6 και 9. Οι αντίστοιχες εκφράσεις για τον Σχήμα 3: Ο ταλαντωτής προκαλεί διαταραχή που διαδίδεται στη χορδή με τη μορφή τρέχοντος ταλαντωτή (k,m) είναι (σχήμα 3): κύματος dh, t Tταλ. M dt () ταλ. k h, t () όπου Μ η μάζα του ταλαντευόμενου σώματος που είναι προσδεμένο στο άκρο (x=) της χορδής και k η σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου. Σύμφωνα με τις σχέσεις 6, 9, και και δεδομένου ότι τα σημεία της χορδής με x Ct βρίσκονται σε ισορροπία (σχέση ) το σύστημα ταλαντωτή-χορδής περιγράφεται από τη συνάρτηση Lagrange: x Ct dh, t h x, t h x, t L M k h, t dx ρ F dt (3) t x Η ζητούμενη συνάρτηση hx, t με t T, είναι εκείνη που καθιστά το ολοκλήρωμα της δράσης Sh όπου h x, t def μεταξύ των χρονικών στιγμών t= και t=τ ακρότατο: h x, t t T S h dt L h x, t, h x, t, h x, t min (4) και h x, t def h x, t x Αν hx, t είναι η συνάρτηση που ικανοποιεί τη 4, τότε κάθε άλλη συνάρτηση: hx, t hx, t δh x, t που οι τιμές της διαφέρουν απειροστά από της αντίστοιχες τιμές της hx, t και ικανοποιεί τiς ίδιες συνθήκες με την hx, t τις χρονικές και Τ, ισχύει η σχέση: για κάθε απειροστή συνάρτηση δh x, t. δs h (5) Οι απειροστές συναρτήσεις δh x, t γράφονται: δh x, t ε φ x, t, ε όπου φ x, t αυθαίρετη συνάρτηση που ικανοποιεί της συνοριακές συνθήκες: hx, hx, φx, hx, Τ hx, Τ φ x, Τ (6α) (6β) 4

5 Υπολογίζουμε τη μεταβολή της δράσης και αντικαθιστούμε στην εξίσωση 5. Μετά από της πράξεις, απορρίπτοντας όρους πέρα της πρώτης τάξης ως προς ε και ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες βρίσκουμε: T (, ) x dφ t CT h φ( x, t) h φ( x, t) δs ε dt Mh(, t) kh(, t) φ(, t) dx ρ F dt t t x x h x, t dt Mh, t kh, t φ(, t) dt dx ρh x, t F φ( x, t) x T T x CT x CT T h x, t dt F φ( x, t) x x T T h x t, h x, t dt Mh, t kh, t F φ(, t) dt ρh x, t F φ( x, t) x x x Δεδομένου ότι οι συναρτήσεις φ( x, t ) είναι αυθαίρετες, από την τελευταία σχέση προκύπτουν οι εξισώσεις (6) : ή: h x, t Mh, t kh, t F x, F h x, t h x t t ρ x x (7) (8α) F h x, t h x, t (8β) ρ Επίλυση των εξισώσεων κίνησης του συστήματος ταλαντωτή-χορδής Η εξίσωση 8α είναι μια τυπική εξίσωση κύματος (6). Περιγράφει τη διάδοση της διαταραχής που προκαλεί ο ταλαντωτής στη χορδή. Κάθε συνάρτηση της μορφής x h x, t y t (9) x όπου F / ρ, είναι λύση της 8α. Πράγματι, αν θέσουμε t u και παραγωγίσουμε δύο def φορές τη 9 ως προς x και δύο ως προς t, λαμβάνουμε: d y u h x, t () du Από της και προκύπτει ότι: d y u h x, t () du,, h x t h x t () Η τιμή της σταθεράς, που σύμφωνα με τη 9 ερμηνεύεται ως η ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής στη χορδή, έπεται από το συνδυασμό των και 8α: F / ρ (3) Ο ταλαντωτής (k,m) είναι συνδεδεμένος στο άκρο (x=) της χορδής. Επομένως η κίνησή του, h, t περιγράφεται από τη συνάρτηση h t. Η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης 7. Υπολογίζουμε τον όρο: h x, t h x, t x def x x Παραγωγίζουμε την ισότητα 9 διαδοχικά, ως προς t και ως προς x: 5

6 dy u h x, t du dy u h x, t du Από της δύο αυτές σχέσεις προκύπτει ότι: h x, t hx, t (4) Στην 4 θέτουμε x= και λαμβάνουμε τη σχέση: h x, t h, t (5) x Σύμφωνα με την 5, η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή (7) γράφεται: F Mh, t h, t kh, t ή: h, t b h, t ω h, t (6) όπου: F ρ b def M και / k ω η συχνότητα ταλάντωσης του ελεύθερου ταλαντωτή (k,m) def M Η εξίσωση 6 είναι γραμμική δεύτερης τάξης ως προς την άγνωστη συνάρτηση h, t. Θεωρώντας ότι ο ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t= έχει απομάκρυνση Α από τη θέση ισορροπίας του, η λύση της 6 δίδεται από τη συνάρτηση: h, t Ae λt cos ωt (7) Για να υπολογίσουμε τις τιμές των σταθερών λ και ω, παραγωγίζουμε δύο φορές την 7 ως προς t και αντικαθιστούμε στην 6. Μετά από λίγες πράξεις βρίσκουμε ότι τα λ και ω πρέπει να έχουν τιμές τέτοιες ώστε η ακόλουθη σχέση να ικανοποιείται για κάθε t: λ ω bλ ω ωt ω λ b ωt cos sin Από την τελευταία εξίσωση συνεπάγεται ότι: και b λ (8α) b ω ω (8β) 4 Η συνάρτηση 7 μαζί με τις σχέσεις 8 περιγράφουν την κίνηση του ταλαντωτή που παράγει ελαστικό κύμα κατά μήκος της χορδής Ox. Η κίνηση του κύματος στη χορδή προκύπτει από τη Η x, t για x t : σχέση 9 και την απαίτηση h x, t x y t, (9α) h t y t (9β) x x h, t y t h x, t (9γ) Η απομάκρυνση των σημείων της χορδής από τη θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου Η x, t (σχέση ), όπου η σταθερά C ταυτίζεται με την περιγράφεται από τη συνάρτηση ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής στη χορδή. Με τη βοήθεια της συνάρτησης βήματος (step Η x, t γράφεται: function), η 6

7 x x Η x, t h, t θ t (3) Τη χρονική στιγμή t η διαταραχή έχει φτάσει μέχρι το σημείο της χορδής με τετμημένη t. Κάθε σημείο με τετμημένη x μεγαλύτερη από t βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Για x t, η Η x, t ισούται με την απομάκρυνση του ταλαντωτή από τη θέση ισορροπίας του απομάκρυνση x τη χρονική στιγμή t. Ώστε η κίνηση του κύματος κατά μήκος της χορδής περιγράφεται από τη συνάρτηση: όπου: b F k 4 def def F / ρ, ω ω, b, ω M b x x t x Η x, t Aθ t e cos ω t M (3) Προσομοίωση της κίνησης του συστήματος ταλαντωτή-χορδής στο περιβάλλον αρχείου excel: (F=N, ρ=,kg/m, M=Kg, k=4n/m) k_pm 7

8 Βιβλιογραφία. Buck R.G. Advanced Calculus. McGraw-Hill, nd Edition 965. Fetter A., Walecka J. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover, 3 3. Goldstein H. Classical Mechanics. Narosa Publishing House, nd ed. 994υ6, 4. Holton G., Brush S. Εισαγωγή στις έννοιες και τις θεωρίες της φυσικής επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. η Έκδοση Lanczos C. The variational principles of mechanics. Dover books, 4 th ed Logan D.J. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 8