Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

2 Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ, Εργαστήριο Εμβιομηχανικής, Ισόγειο Κτηρίου Μ ( ) 2

3 Περιεχόμενα Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων Μ-Κ, μεταβλητές κατάστασης, συνάρτηση μεταφοράς Επίλυση δυναμικών εξισώσεων Μεταβατική απόκριση πρωτοβάθμιου δυναμικού συστήματος Παραδείγματα 3

4 Δυναμικές Εξισώσεις Μοντελοποίηση Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonlin + ξ Μη γραμμικές δυναμικές εξισώσεις Γραμμικοποίηση Μ q + C q + K q = ξ Γραμμικές δυναμικές εξισώσεις (Μ-Κ) x = A x + B u y = C x + D u Eξισώσεις μεταβλητών κατάστασης Y(s) = H(s) U(s) Συνάρτηση μεταφοράς 4

5 Δυναμικές Εξισώσεις Γραμμικές δυναμικές εξισώσεις Μ-Κ Μητρώο αδράνειας Μ q + C q + K q = ξ Μητρώο απόσβεσης Μητρώο ελαστικότητας Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης x = q q x = A x + Β u Μεταβλητές κατάστασης A = Εξωτερική διέγερση O M K I M C u = ξ Διεγέρσεις συστήματος Β = O M 5

6 Δυναμικές Εξισώσεις Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης με εξόδους x = A x + Β u y = C x + D u x = q q Μεταβλητές κατάστασης u = ξ Διεγέρσεις συστήματος y Διάνυσμα εξόδου (οποιαδήποτε σύνολο μεταβλητών ενδιαφέροντος) 6

7 Συνάρτηση Μεταφοράς Για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Περιγραφή του συστήματος μέσω του μητρώου μεταφοράς H(s) Y(s) = H(s) U(s) Στην περίπτωση μιας εισόδου και μιας εξόδου H s = β m s m + β m s m + + β s + β s n + α n s n + + α s + α Υπολογίζεται μέσω του μ/χ Laplace Περισσότερα σε επόμενη παράδοση 7

8 Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Επαλληλία q t = q h (t) + q p (t) Απόκριση Ειδική λύση (διέγερση, μηδενικές αρχικές συνθήκες) Χρονική ανεξαρτησία Η απόκριση δεν εξαρτάται από πότε έγινε η διέγερση Ευστάθεια Ομογενής λύση (χωρίς διέγερση, αρχικές συνθήκες) Απόκριση σε αρχικές συνθήκες καταλήγει στο q t = 8

9 Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Μοντέλο: m x + c x + k x = f(t) x + c m x + k m x = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο x + 2 ζ ω x + ω 2 x = ω = k m Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζ ω = c m 9

10 Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. x + 2ζωx + ω 2 x = x() = x x () = u x h t = c e λ t + c 2 e λ 2t λ, λ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + 2ζωλ + ω 2 = Σταθερές c, c 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες x, u Το σημείο ισορροπίας του συστήματος είναι το x = Η μοναδική λύση που προκύπτει θέτοντας x = x =

11 x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση.9.8 Τα λ, λ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί =.2, = =.2, = 2 =.2, = 4.5 λ,2 = ζω ± ω ζ 2 =.2, = =.2, = 2 =.2, = time Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη (χρειάζεται λιγότερος χρόνος για να καταλήξει το σύστημα στο σημείο ισορροπίας x=) x(t)

12 x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση =, = =.5, = = 3, = =, = =.5, = = 3, = time Καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στο σημείο ισορροπίας x=) x(t) 2

13 x(t) x(t) Βηματική Απόκριση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση ζ>: Υπερκρίσιμη απόσβεση =.2, =.5 =.2, = =.2, = =.2, = =.5, = = 3., = time Καθώς αυξάνεται ο ζ ή ελατώνεται η ω, η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στην τελική τιμή). Η τελική τιμή x ss = ω 2 υπολογίζεται θέτωντας x = x = στην ΣΔΕ που περιγράφει την απόκριση x + 2ζωx + ω 2 x = time 3

14 x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση.8.6 Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: =.4, = =.4, = 2 =.4, = 4.5 λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j =.4, = =.4, = 2 =.4, = time Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερα x ) x(t) 4

15 x(t) x (t) u(t) Ομογενής λύση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j =.9, = =.5, = =.25, =.6.4 =.9, = =.5, = =.25, = time Καθώς μειώνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερη υπερακόντηση, μεγαλύτερα x x(t) 5

16 x(t) u(t) x(t) u(t) Βηματική Απόκριση Συστημάτων Β.Ε. Περίπτωση <ζ<: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λ, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω ζ 2 j 6 5 =.4, =.5 =.4, = =.4, = 2.5 =.9, = =.5, = =.25, = x(t) time x(t) time 6

17 x(t) Συνολική Απόκριση q t = q h (t) + q p (t) 2 =, = x()=u()=, step input x()= u()=2, no input x()= u()=2, step input time 7

18 x(t) x(t) Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο =, = =.5, = = 3, = <ζ< Im(s) x time ζ> x x Re(s).5 =.9, = =.5, = =.25, = x time Ευστάθεια Αστάθεια 8

19 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Ο μοναδιαίος παλμός διάρκειας Τ ορίζεται ως u p,t t = Ιδίοτητες:, t <, t < T T, t T Μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμική επαλληλία δύο βηματικών εισόδων τις στιγμές t= και t=t Καθώς Τ τότε η u p,t t τείνει στην συνάρτηση Dirac (κρουστική είσοδο) To χρονικό ολοκλήρωμα απο - έως ισούται με /T u p,t t = T u s t T u s t T u p,t τ dτ T lim u p,t t Τ + = u p,t τ dτ t = δ t = 9

20 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Λόγω επαλληλίας, η απόκριση h p,t t ενός γραμμικού συστήματος σε μοναδιαίο παλμό εύρους Τ μπορεί να εκφραστεί μέσω της απόκρισης h s t του ίδιου συστήματος σε βηματική είσοδο h p,t t = T h s t T h s t T Καθώς Τ τότε η απόκριση h p,t t τείνει στην απόκριση h t του συστήματος σε κρουστική είσοδο Η h t υπολογίζετε ως η παράγωγος της απόκρισης h s t σε βηματική είσοδο lim Τ h p,t t = T h s t h s t T T dh s t dt T = dh s t dt = h(t) 2

21 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο Η απόκριση h t σε κρουστική είσοδο είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος Μπορεί να μετρηθεί πειραματικά Σε πραγματικά συστήματα h t = για t< Μπορεί να εκφραστεί σαν (για 2 ο -βάθμιο σύστημα) h t = c e λt + c e λ 2t όπου λ,2 : ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος Ο μετασχηματισμός Laplace της h t είναι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος L{h t } = H(s) 2

22 h p,t (t) Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο.5.4 T = 4 sec T = 2 sec T = sec T =.2 sec T =.5 sec Απόκριση του συστήματος x +.4x + x = f (ζ =.7, ω = ) σε μοναδιαίους παλμούς f = u p,t (t). Καθώς η διάρκεια Τ μικραίνει κάτω από κάποιο όριο (το οποίο εξαρτάται από το σύστημα) η απόκριση h p,t (t) δεν μεταβάλεται, και ταυτίζεται με την απόκριση σε κρουστική είσοδο h(t) time 22

23 Απόκριση σε τυχαία είσοδο H απόκριση y t ενός γραμμικού συστήματος σε μια οποιαδήποτε είσοδο u t μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης y t = h t u t = u t h t = h τ u t τ dτ = h t τ u τ dτ Απόκριση συστήματος σε κρουστική είσοδο Τυχαία είσοδος 23

24 Ολοκλήρωμα Συνέλιξης: Φυσική Σημασία Oποιαδήποτε είσοδος u(t) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα παλμών πλάτους Τ (το Τ είναι αρκετά μικρό) u t = T u p,t (t k T) u(k T) k= Αναγκαίο διότι το u p,t περιέχει το /Τ ώστε το εμβαδόν του να είναι Η απόκριση του συστήματος σε αυτή την είσοδο (λόγω επαλληλίας) είναι το άθροισμα αποκρίσεων σε παλμούς: y t = T h p,t (t k T) u(k T) k= Όταν η διάρκεια T είναι αρκετά μικρή, τότε h p,t h ενώ το άθροισμα καταλήγει σε ολοκλήρωμα y t = h t τ u τ dτ 24

25 Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης To ολοκλήρωμα της συνέλιξης μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t y t = h t u t = h τ u t τ dτ = h τ u t τ dτ Η αλλαγή στα όρια της ολοκλήρωσης προκύπτει διότι h(t)=u(t)= για t< Διαδικασία υπολογισμού της y t Ξεκινώντας από την u(τ), η u(t-τ) προκύπτει γραφικά σε δύο βήματα. Η u(-τ) είναι ο «καθρέπτης» της u(τ) ως προς τον άξονα t= 2. Η u(t-τ) προκύπτει μετακινώντας την u(-τ) δεξιά κατά t Υπολογισμός της φ τ = u(t τ) h τ Η τιμή y t υπολογίαζεται ως το ολοκλήρωνα της φ τ από τ= έως τ=t 25

26 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση του συστήματος x + x + x = u (ζ =.5, ω = ) στην είσοδο u(t) όταν x = x = u(t) =, t < sin π t, t <, t D t u(t) Λύση O υπολογισμός της απόκρισης μέσω συνέλιξης χρειάζεται την απόκριση h(t) σε κρουστική είσοδο. Η απόκριση h(t) θα υπολογιστεί μέσω της απόκρισης σε βηματική είσοδο h s (t) 26

27 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε βηματική είσοδο h s (t) h s (t) ονομάζουμε την απόκριση x(t) σε βηματική είσοδο x t = x h t + x p t Η ειδική λύση x p t, είναι η λύση της ΣΔΕ x + x + x = Δοκιμάζουμε (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ) λύσεις της μορφής x p t = c Αντικαθιστώντας την x p t στην ΣΔΕ προκύπτει c = οπότε η ειδική λύση είναι x p t = 27

28 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η ομογενής λύση x h t ισούται με (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ): x h t = c e λ t + c 2 e λ 2t Όπου τα λ,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + λ + = Επειδή <ζ<, οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ,2 = ζω ± ω n j =.5 ± 3 2 j Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί, η ομογενής λύση γράφεται ως x h t = e.5t A sin ( 3 2 t + φ) 28

29 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η συνολική λύση (ομογενής + ειδική) είναι: x t = e.5t A sin 3 2 t + φ + Οι σταθερές Α και φ υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες: x = A sin φ = x =.5 A sin φ A cos φ Συνδιάζοντας της δύο συνθήκες προκύπτει το σύστημα: A sin φ = A cos φ = 3 3 Eπειδή το πλάτος Α>, τότε τα sin φ και cos φ είναι αρνητικοί αριθμοί, οπότε η γωνία φ βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. H λύση δίνει A =.35 και φ = 2π/3 29

30 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Οπότε η ομογενής λύση είναι: x h (t) = e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) Η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης x t = x p t + x h t = + e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) Η απόκριση ενός συστήματος σε βηματική είσοδο (μηδενικές αρχικές συνθήκες) ονομάζεται (για λόγους συμβολισμού) h s (t): h s t = + e t/2.35 sin ( 3 2 t 2π/3) 3

31 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε κρουστική είσοδο h(t) Η απόκριση σε κρουστική είσοδο h(t) προκύπτει από την χρονική παράγωγο της απόκρισης h s (t) h t = dh s t dt =.5.35 e t 2 sin 3 2 t 2π e t 2 cos 3 2 t 2π 3 Οπότε προκύπτει η έκφραση για την h(t) h t = e t 2 [.568 sin 3 2 t 2π cos 3 2 t 2π 3 ] 3

32 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης Τα επόμενα σχήματα δείχνουν τις γραφικές παραστάσεις για τις απόκρισεις h s (t), h(t) του συστήματος σε βηματική και κρουστική είσοδο αντίστοιχα h s (t) h(t) time time Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση 32

33 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η απόκριση x t την στιγμή t> μπορεί να υπολογιστεί μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος διακρίνουμε 2 περιπτώσεις Κάθε περίπτωση διαφέρει στο εύρος του ολοκληρώματος, δηλαδή στο εύρος των τιμών του τ όπου το γινόμενο h τ u t τ είναι μη-μηδενικό Βλέπε επόμενα 2 slides x t = h τ u t τ dτ t 33

34 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν t <, το γινόμενο h τ u t τ είναι μη-μηδενικό για τ < t Η απόκριση x t για οποιαδήποτε t < μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t x t = h τ u t τ dτ t h τ sin ( π (t τ))dτ Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(4) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(4) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = u( ) u(- ) h( ) u(4- ) h( )*u(4- ) time 34

35 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν t, το γινόμενο h τ u t τ είναι μημηδενικό για t τ < t Η απόκριση x t για οποιαδήποτε t μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: t x t = h τ u t τ dτ t t t h τ sin ( π (t τ))dτ Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(5) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(5) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = u( ) u(- ) h( ) u(5- ) time h( )*u(5- ) 35