ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ : «Επισκόπηση δυναμικών χαρακτηριστικών και χαρακτηριστικών ελέγχου πτήσης αεροσκαφών»

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ : «Επισκόπηση δυναμικών χαρακτηριστικών και χαρακτηριστικών ελέγχου πτήσης αεροσκαφών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : Ι. ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘ. ΕΜΠ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ : Δ. ΡΟΖΗΣ ΑΘΗΝΑ 006

2 ii

3 iii Εισαγωγή Κάθε αεροσκάφος που πετά στην ατμόσφαιρα κατευθύνεται από τον πιλότο του ενώ υφίσταται, σχεδόν κάθε στιγμή, τις εξωτερικές ατμοσφαιρικές διαταραχές. Η Δυναμική Πτήσης ασχολείται με την κίνηση που θα εκτελέσει, σε μικρό σχετικά χρονικό ορίζοντα, το αεροσκάφος αυτό. Η κίνηση αυτή μπορεί να είναι είτε μικρού εύρους, γύρω από τη θέση ισορροπίας, είτε μεγαλύτερου εύρους. Οι ουσιώδης μαθηματικές γνώσεις και τεχνικές για την εξέλιξη της δυναμικής πτήσης είχαν αναπτυχθεί πολύ νωρίτερα από την πρώτη πτήση των αδελφών Wright το Δεκέμβρη του Ο Νεύτωνας αλλά και οι Bernoulli και Euler είχαν - άθελά τους βέβαια- θέσει τα θεμέλια της νέας επιστήμης κατά τον 17ο και 18ο αιώνα. Όμως τα προβλήματα ευστάθειας και ελέγχου των νέων κατασκευών που αντιμετώπισαν οι πρωτοπόροι των πτήσεων ήταν τόσο μεγάλα, ώστε έδωσαν το κίνητρο για νέες εργασίες, στοιχεία των οποίων χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα στη δυναμική πτήσης. Πρωτοπόροι λοιπόν επιστήμονες της νέας κατεύθυνσης θεωρούνται οι Lancheter και Bryan οι εργασίες των οποίων δημοσιεύτηκαν το 1908 και 1911 αντίστοιχα. Οι κύριοι τύποι προβλημάτων που η δυναμική πτήσης καλείται να επιλύσει είναι τα ακόλουθα : Υπολογισμός των επιδόσεων των αεροπορικών κατασκευών (ταχύτητα, ύψος, ακτίνα δράσης κατανάλωση καυσίμου κλπ). Υπολογισμός του ίχνους πτήσης όπως εκτόξευση, επανείσοδο στην ατμόσφαιρα και προσγείωση. Ευστάθεια της κίνησης. Απόκριση του σκάφους στα πηδάλια, και στις μεταβολές της ώσης. Απόκριση του σκάφους στις αναταράξεις καθώς και ο έλεγχος αυτών. Αεροελαστικές ταλαντώσεις (flutter). Εκτίμηση της αποτελεσματικότητας του συνδυασμού άνθρωπος/πιλότοςμηχανή. Όπως θα ανέμενε κάποιος η επίλυση αυτών των προβλημάτων απαιτεί την καταβολή μεγάλης προσπάθειας. Στην αεροδιαστημική βιομηχανία αυτή πραγματοποιείται με την ανάλυση μέσα από εργασίες, τον υπολογισμό, με τη χρησιμοποίηση ηλεκτρονικών υπολογιστών και το πείραμα σε αεροσύραγγες και σε πτητικές δοκιμές. Η παρούσα εργασία αναφέρεται στα εξής ερωτήματα : Με ποιο τρόπο διαμορφώνονται τα χαρακτηριστικά ευστάθειας και ελέγχου του αεροσκάφους και πως αυτά επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά πτήσης του. Ποια είναι τα αποδεκτά χαρακτηριστικά πτήσης, πως ορίζονται ερμηνεύονται και εφαρμόζονται οι ανάλογες απαιτήσεις μέσω των κανονισμών και με ποιο τρόπο αυτές οι απαιτήσεις περιορίζουν το φάκελο πτήσης. Με ποιο τρόπο είναι δυνατό να βελτιωθούν τα μη αποδεκτά χαρακτηριστικά πτήσης.

4 iv Αρχικά θα επιχειρηθεί μια σύνοψη του μαθηματικού πλαισίου που ορίζει τη δυναμική πτήσης. Αυτή η εργασία θα συμπεριλάβει την εξέλιξη και την επίλυση των εξισώσεων κίνησης, τη μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους στα πηδάλια ελέγχου και βέβαια τη γενικότερη ερμηνεία της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους. Κάθε δυνατή προσπάθεια έχει καταβληθεί ώστε οι μαθηματικές σχέσεις να συνδεθούν με την πρακτική εφαρμογή, καθώς το θέμα θα εξετάζεται πάντοτε σε σχέση με τον άνθρωπο-πιλότο που χειρίζεται το αεροσκάφος αλλά και με τον τρόπο που ένα πραγματικό αεροσκάφος συμπεριφέρεται στον αέρα. Στη συνέχεια θα πραγματοποιηθεί μια επισκόπηση των απαιτήσεων των χαρακτηριστικών πτήσης. Αυτό θα πραγματοποιηθεί με τον ορισμό, την ερμηνεία και τη μελέτη εφαρμογής των κανονισμών που αφορούν στα χαρακτηριστικά αυτά. Με τη σύνοψη των κυριοτέρων τύπων ελέγχου ανάδρασης που εφαρμόζονται στα αεροσκάφη θα δοθεί τόσο η απάντηση στο τελευταίο ερώτημα όσο και θα δημιουργηθεί το πλαίσιο με βάση το οποίο θα εξεταστούν μερικές εφαρμογές βελτιστοποίησης των χαρακτηριστικών πτήσης σε συγκεκριμένα αεροσκάφη. Η εργασία ολοκληρώνεται με την παράθεση ενός λεπτομερούς παραρτήματος που, εκτός των άλλων, περιλαμβάνει τα δυναμικά δεδομένα μιας ποικιλίας αεροσκαφών.

5 v Εισαγωγή Περιεχόμενα iii v Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΞΟΝΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1.1. Γήινοι άξονες Σωματόδετοι άξονες του αεροσκάφους Μεταβλητές διαταραχής (perturbation variable) Γωνιακές σχέσεις στη συμμετρική πτήση Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους Συμβολισμός του ελέγχου Οι εξισώσεις κίνησης του στερεού συμμετρικού αεροσκάφους Oι συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης Οι εξισώσεις της γενικευμένης δύναμης Οι εξισώσεις της γενικευμένης Ροπής Η στάση (attitude) του αεροσκάφους ως προς το γήινο σύστημα αξόνων Ο μετασχηματισμός των γωνιακών ταχυτήτων Γενικές παρατηρήσεις για τις εξισώσεις κίνησης Σταθερή-μόνιμη πτήση (Steady tate flight) Διαταραγμένη πτήση (Perturbed tate flight) Γραμμικοποίηση των Εξισώσεων κίνησης για τη διαταραγμένη πτήση Οι συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης Αεροδυναμικοί όροι Οι όροι του Αεροδυναμικού ελέγχου Οι όροι ισχύος Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές Οι Αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης Οι Διαμήκεις εξισώσεις κίνησης Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης (lateral-directional) εξισώσεις κίνησης Οι εξισώσεις κίνησης στη μορφή του χώρου κατάστασης 1.8 Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ.1. Ισορροπία αντιστάθμισης Εισαγωγή Συνθήκες ευστάθειας Βαθμός ευστάθειας.5.. Η εξίσωση της ροπής πρόνευσης.8.3. Διαμήκης στατική ευστάθεια Ευστάθεια με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα Ευστάθεια με τα χειριστήρια ελεύθερα Σύνοψη της διαμήκους στατικής ευστάθειας Εγκάρσια στατική ευστάθεια Στατική ευστάθεια διεύθυνσης.0

6 vi Κεφάλαιο 3 Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ 3.1. Μέθοδοι Επίλυσης Συνάρτηση Μεταφοράς του αεροσκάφους Οι Διαμήκης Συναρτήσεις μεταφοράς Η απόκριση στα πηδάλια ελέγχος Η μέθοδος του χώρου κατάστασης Το μητρώο της συνάρτησης μεταφοράς Το μητρώο της διαμήκους συνάρτησης μεταφοράς Το μητρώο της εγκάρσιας συνάρτησης μεταφοράς Επαύξηση του μοντέλου του χώρου κατάστασης 3.13 Κεφάλαιο 4 ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ 4.1. Απόκριση στον έλεγχο Η χαρακτηριστική εξίσωση Ταλάντωση πρόνευσης μικρής περιόδου (hort period pitching ocillation) Το φυγοειδές Μοντέλα χαμηλότερης τάξης Η προσέγγιση της μικρής περιόδου Η προσέγγιση του φυγοειδούς Ανάλυση συχνότητας Το διάγραμμα Bode Χαρακτηριστικά πτήσης και ευκολίας χειρισμού Διέγερση των μορφών ευστάθειας 4.30 Κεφάλαιο 5 ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ-ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ 5.1. Απόκριση στον έλεγχο Η χαρακτηριστική εξίσωση Οι μορφές της δυναμικής ευστάθειας Η μορφή υποχώρηση της περιστροφής (roll ubidence mode) Η μορφή του σπειροειδούς (piral mode) Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής (dutch roll mode) Μοντέλο μειωμένης τάξης Η προσέγγιση του roll Η προσέγγιση του σπειροειδούς Η προσέγγιση του dutch roll Απόκριση συχνότητας Χαρακτηριστικά πτήσης και ευκολίας χειρισμού Διέγερση των μορφών ευστάθειας 5.3

7 vii Κεφάλαιο 6 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΥΚΟΛΙΑΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ 6.1. Εισαγωγή Ευστάθεια Μοντέλα βραχυπρόθεσμης δυναμικής Ελεγχόμενη κίνηση Το διαμήκες μοντέλο μειωμένης τάξης Το κριτήριο «αποτυπώματος του αντίχειρα» Χρονική καθυστέρηση της γωνίας πρόσπτωσης Απαιτήσεις χαρακτηριστικών πτήσης Ο ρόλος του αεροσκάφους Ταξινόμηση κλάσης των αεροσκαφών Φάση της πτήσης Επίπεδα των χαρακτηριστικών πτήσης Φάκελοι πτήσης Βαθμολόγηση των απόψεων του πιλότου Απαιτήσεις διαμήκων χαρακτηριστικών πτήσης Διαμήκης στατική ευστάθεια Διαμήκης δυναμική ευστάθεια Διαμήκης ικανότητα ελιγμών Παράμετρος πρόβλεψης του ελέγχου Εγκάρσιες-διεύθυνσης απαιτήσεις των χαρακτηριστικών πτήσης Σταθερός εγκάρσιος κατακόρυφος έλεγχος Εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική ευστάθεια Εγκάρσια-διεύθυνσης χαρακτηριστικά ικανότητας ελιγμών και απόκριση Απαιτήσεις χαρακτηριστικών πτήσης στο επίπεδο Διαμήκεις μορφές Εγκάρσιες-διεύθυνσης μορφές 6.3 Κεφάλαιο 7 ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ 7.1. Εισαγωγή Quai-Static παράγωγοι ευστάθειας Υπολογισμός των παραγώγων ευστάθειας Διαμήκεις Αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας Παράγωγοι της δύναμης λόγω της διαταραχής της ταχύτητας Παράγωγοι της ροπής λόγω της διαταραχής της ταχύτητας Παράγωγοι της ροπής λόγω της διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Παράγωγοι λόγω της διαταραχής της επιτάχυνσης Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας Παράγωγοι λόγω της πλαγιολίσθησης Παράγωγοι λόγω του ρυθμού περιστροφής Παράγωγοι λόγω του ρυθμού εκτροπής Οι παράγωγοι ευστάθειας του αεροδυναμικού ελέγχου Παράγωγοι λόγω του πηδαλίου ανόδου-καθόδου 7.40

8 viii Κεφάλαιο 8 ΑΥΞΗΣΗ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ 8.1. Εισαγωγή Ο νόμος ελέγχου Ασφάλεια Πτήσεων Αρχιτεκτονική του συστήματος αύξησης της ευστάθειας Σχεδίαση του συστήματος επαύξησης Τύποι συστημάτων ελέγχου Yaw Damper Pitch Damper Συστήματα επαύξησης της στατικής ευστάθειας Ανατροφοδότηση της γωνίας πρόσπτωσης στα διαμήκη πηδάλια ελέγχου Ανατροφοδότηση του συντελεστή φόρτισης στα διαμήκη πηδάλια ελέγχου Ανατροφοδότηση της πλαγιολίσθησης στα πηδάλια ελέγχου διεύθυνσης Βασικά συστήματα αυτομάτων πιλότων Διαμήκεις βασικές λειτουργίες του αυτομάτου πιλότου Λειτουργία Διατήρησης της στάσης πρόνευσης Λειτουργία Διατήρησης του Ύψους Λειτουργία Διατήρησης ταχύτητας ή αριθμού Mach Εγκάρσιες βασικές λειτουργίες και λειτουργίες διεύθυνσης των αυτομάτων 8.3 πιλότων Λειτουργία Διατήρησης της πορείας Διαμήκεις Ναυτιλιακές λειτουργίες Κατηγορίες προσέγγισης και καθοδήγηση Διατήρηση του ίχνους καθόδου Αυτόματη λειτουργία οριζοντίωσης-flare Εγκάρσια Ναυτιλιακά συστήματα και ναυτιλιακά συστήματα διεύθυνσης Λειτουργία τήρησης του ίχνους του Localizer 8.33 Κεφάλαιο 9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 9.1. Γενικά Λειτουργία Διατήρησης της στάσης πρόνευσης Σύνθεση συστήματος τήρησης του ίχνους του Localizer Οι εξισώσεις κίνησης του ελικοπτέρου στη μετεώριση 9.35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Παράρτημα 1 Ορισμός των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας και ελέγχου Α.1 Παράρτημα Συναρτήσεις Μεταφοράς της Απόκρισης του Αεροσκάφους ως Α.8 προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του Παράρτημα 3 Μονάδες, Μετατροπές και Σταθερές Α.16 Παράρτημα 4 Προσεγγιστικές εκφράσεις για τις Αδιάστατες αεροδυναμικές Α.17 παραγώγους ευστάθειας και ελέγχου Παράρτημα 5 Η μετατροπή των Αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας και των Α.0 ροπών αδρανείας από το σωματόδετο σύστημα στο αεροδυναμικό σύστημα αναφοράς Παράρτημα 6 Δεδομένα αεροσκαφών Α.4 Παράρτημα 7 Κύριοι τεχνικοί όροι Α.51 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

9 1-1 Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΞΟΝΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1.1. Γήινοι άξονες Επειδή κατά κύριο λόγο θα αναφερθούμε στην πτήση εντός της ατμόσφαιρας θα ορίσουμε την κίνηση του αεροσκάφους ως προς το γήινο πλαίσιο αναφοράς. Οι γήινοι άξονες (earth axi) ορίζονται με ένα σημείο αναφοράς ο 0 στην επιφάνεια της γης, που είναι η αρχή των αξόνων ενός δεξιόστροφου ορθογώνιου συστήματος αναφοράς (o 0 x 0 y 0 z 0 ). Ο άξονας o 0 x 0 αυτού του συστήματος είναι προσανατολισμένος προς το βορά, ο άξονας o 0 y 0 είναι προσανατολισμένος προς την ανατολή και ο άξονας o 0 z 0 έχει φορά κατακόρυφα προς τα κάτω, παράλληλα με το διάνυσμα της βαρύτητας. Σχ. 1.1 Αυτοί οι γήινοι άξονες απεικονίζονται στο σχήμα 1.1.Το επίπεδο (o 0 x 0 y 0 ) ορίζει το τοπικό οριζόντιο επίπεδο το οποίο είναι εφαπτόμενο στην επιφάνεια της γης. Επομένως το ίχνος πτήσης (flight path) ενός αεροσκάφους το οποίο πετά μέσα στην ατμόσφαιρα στη γειτονιά του σημείου αναφοράς ο 0 μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τις συντεταγμένες του στο σύστημα αξόνων. Αυτή η πρόταση προϋποθέτει μια επίπεδη γη (flat earth) όπου η κατακόρυφη διεύθυνση είναι προσδεμένη στο άνυσμα της βαρύτητας. Αυτό το μοντέλο είναι επαρκές για πτήσεις τοπικού χαρακτήρα, ταιριάζει όμως καλύτερα σε εφαρμογές πλοήγησης (navigation) και εφαρμογές επιδόσεων (performance), εκεί όπου η μελέτη του ίχνους πτήσης έχει πρωταρχικό ενδιαφέρων. Για τις εφαρμογές της δυναμικής πτήσης προτιμάται ένας πιο απλοποιημένος ορισμός των γήινων αξόνων. Επειδή κυρίως ασχολούμαστε με τη βραχυπρόθεσμη κίνηση (hort term motion), μπορούμε να κάνουμε την παραδοχή ότι η πτήση πραγματοποιείται πάνω από μια επίπεδη γη. Η πιο κοινή μορφή πτήσης είναι εκείνη της ευθείας και οριζόντιας πτήσης (traight and level flight). Πρόκειται για την πτήση κατά το οριζόντιο επίπεδο σε σταθερό ύψος ενώ ανεξάρτητα από τη μετέπειτα πτήση του αεροσκάφους η στάση (attitude) του ορίζεται σε σχέση με τον ορίζοντα. Στο σχήμα 1.1 το οριζόντιο επίπεδο ορίζεται από τους (ο Ε x E y E ) και είναι παράλληλο στο επίπεδο (o 0 x 0 y 0 ) στην επιφάνεια της γης. Η μοναδική διαφορά

10 1- είναι ότι ο άξονας ο Ε x E έχει φορά προς την τυχαία διεύθυνση πτήσης του αεροσκάφους και όχι προς το βορά. Ο άξονας ο Ε z E δείχνει προς τα κάτω όπως και προηγουμένως. Το μόνο που απομένει είναι να τοποθετήσουμε την αρχή ο Ε στο πιο κατάλληλο σημείο μέσα στην ατμόσφαιρα, το οποίο πολύ συχνά ταυτίζεται με την αρχή του σωματόδετου συστήματος του αεροσκάφους (aircraft body axi). Οι γήινοι άξονες (ο Ε x E y E z E ) που ορίζονται με αυτό τον τρόπο ονομάζονται γήινοι άξονες αναφοράς (datum-path earth axi) είναι προσδεμένοι με τη γη μέσω του ανύσματος της βαρύτητας ενώ παρέχουν την αδρανειακή αναφορά για τη βραχυπρόθεσμη κίνηση του αεροσκάφους. 1.. Σωματόδετοι άξονες του αεροσκάφους Είναι κοινή πρακτική να ορίζουμε ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα αξόνων που είναι προσδεμένο (fixed) στο αεροσκάφος και κινείται μαζί με αυτό. Έτσι όταν το αεροσκάφος διαταράσσεται από τις αρχικές συνθήκες πτήσης οι άξονες κινούνται μαζί με αυτό και η κίνηση περιγράφεται ποσοτικά ως προς τις μεταβλητές της διαταραχής που αναφέρονται στο κινούμενο σύστημα. Ο τρόπος με τον οποίο οι άξονες είναι προσδεμένοι με το σκάφος είναι τυχαίος αν και είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται ένας καθορισμένος και γενικά αποδεκτός προσανατολισμός. Το πιο γενικευμένο τέτοιο σύστημα ονομάζεται σωματόδετο σύστημα αξόνων (body axi ytem) (οx b y b z b ) και είναι προσδεμένο στο αεροσκάφος όπως φαίνεται στο σχήμα 1.. Σχήμα 1. Το επίπεδο (οx b z b ) ορίζει το επίπεδο συμμετρίας του αεροσκάφους ενώ γενικά μας εξυπηρετεί ο άξονας οx b να είναι παράλληλος με τη γεωμετρική αναφορά της ατράκτου (horizontal fuelage datum). Έτσι σε κανονικές (δηλ. όχι ανάστροφη πτήση κλπ) στάσεις του αεροσκάφους κατά την πτήση ο άξονας οy b έχει φορά προς τα δεξιά και ο άξονας οz b προς τα κάτω. Η αρχή ο των αξόνων

11 1-3 βρίσκεται σ ένα σημείο της ατράκτου το οποίο μας εξυπηρετεί και συνήθως, αλλά όχι απαραίτητα ταυτίζεται με το κέντρο βάρους (CG). Είναι επίσης πολύ βολικό να ορίζουμε ένα σύστημα αξόνων με τέτοιο τρόπο ώστε ο άξονας ox να είναι παράλληλος με το διάνυσμα της ολικής ταχύτητας V 0 όπως φαίνεται στο σχήμα 1.. Αυτοί οι άξονες ονομάζονται αεροδυναμικοί, ή άξονες ανέμου (wind axi), ή άξονες ευστάθειας. Σε σταθερή-μόνιμη συμμετρική πτήση (teady ymmetric flight) οι άξονες του ανέμου (οx w y w z w ) δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας τύπος του σωματόδετου συστήματος αξόνων, το οποίο έχει περιστραφεί γύρω από τον άξονα οy b κατά τη σταθερή γωνία πρόσπτωσης του σώματος α e (body incidence) έως ότου ο άξονας οx w ευθυγραμμιστεί με το άνυσμα της ταχύτητας. Έτσι το επίπεδο (οx w z w ) παραμένει το επίπεδο συμμετρίας του αεροσκάφους ενώ οι άξονες οy w και οy b ταυτίζονται. Επιπλέον επειδή υπάρχει μια και μοναδική τιμή της γωνίας πρόσπτωσης α e που αντιστοιχεί σε κάθε συνθήκη πτήσης, ο προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου στην άτρακτο είναι διαφορετικός για κάθε συνθήκη πτήσης. Όμως για κάθε μια δεδομένη συνθήκη πτήσης, ο προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου είναι εξ αρχής καθορισμένος και σταθερός σε σχέση με το αεροσκάφος, ενώ κινείται με αυτό σε κάθε διαταραχή. Οι τυπικές τιμές για τη γωνία πρόσπτωσης του σκάφους ποικίλουν στο -10º α e 0º στο εύρος του κανονικού φακέλου πτήσης. Για να συνοψίσουμε δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό ποιο σύστημα αξόνων θα επιλέξουμε με την προϋπόθεση ότι η επιλογή μας μοντελοποιεί την κατάσταση πτήσης που εξετάζουμε. Όταν χρησιμοποιούμε δεδομένα για τις εξισώσεις κίνησης, είναι πολύ συνηθισμένο κάποια από αυτά να αναφέρονται στους άξονες του ανέμου ενώ κάποια άλλα να αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα. Επιβάλλεται επομένως να είμαστε ικανοί να εκτελέσουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς από το ένα στο άλλο σύστημα Μεταβλητές διαταραχής (perturbation variable) Η κίνηση του αεροσκάφους περιγράφεται ως προς τη δύναμη, τη ροπή τις γραμμικές και τις γωνιακές ταχύτητες καθώς και τη στάση του, μεγέθη τα οποία προηγουμένως έχουν αναλυθεί πάνω στο κατάλληλο προσδεμένο σύστημα αναφοράς του αεροσκάφους. Για διευκόλυνση στους υπολογισμούς ας θεωρήσουμε για αρχή ένα γενικευμένο σωματόδετο σύστημα αξόνων. Έτσι το αεροσκάφος υποτίθεται ότι πετά σε μόνιμη (σταθερή) ευθύγραμμη αλλά όχι απαραίτητα επίπεδη-οριζόντια (level) πτήση όπου η γωνία πρόσπτωσης α e και η μόνιμη -σταθερή (teady) ταχύτητα V 0 αναλύονται στις συνιστώσες U e, V e και W e όπως φαίνεται στο σχήμα 1.3. Κατά τη μόνιμη μη επιταχυνόμενη πτήση το αεροσκάφος βρίσκεται σε ισορροπία ενώ οι δυνάμεις και οι ροπές που επιδρούν πάνω του βρίσκονται επίσης σε ισορροπία. Αντισταθμισμένη ισορροπία Διαταραγμένες Άξονες α/φους ox oy oz οx oy oz Δύναμη X Y Z Ροπή L M N Γρ. ταχύτητα U e V e W e U V W Γων. ταχύτητα p q r Στάση 0 Θ e 0 φ θ ψ Πίνακας 1.1

12 1-4 Σχήμα 1.3 Η αρχική αυτή κατάσταση συνήθως ονομάζεται αντισταθμισμένη ισορροπία (trimmed equilibrium). Οποτεδήποτε το αεροσκάφος διαταράσσεται από την ισορροπία ουσιαστικά διαταράσσεται η ισορροπία δυνάμεων και ροπών, ενώ η μεταβατική κίνηση που θα προκύψει συνήθως ποσοτικοποιείται ως προς τις μεταβλητές της διαταραχής. Οι μεταβλητές διαταραχής φαίνονται στο σχήμα 1.3 και συνοψίζονται στον πίνακα 1.1 X Y Z L M N p q r U V W Αξονική οπισθέλκουσα πλάγια δύναμη κάθετη άντωση ροπή διατοιχισμού ροπή πρόνευσης ροπή εκτροπής ρυθμός περιστροφής ρυθμός πρόνευσης ρυθμός εκτροπής αξονική ταχύτητα εγκάρσια ταχύτητα κάθετη ταχύτητα Άθροισμα των συνιστωσών των αεροδυναμικών δυνάμεων, δυνάμεων ώσης και βάρους Άθροισμα των συνιστωσών των αεροδυναμικών, ροπών, ροπών ώσης και βάρους Συνιστώσες των γωνιακών ταχυτήτων Συνιστώσες της ολικής ταχύτητας του κέντρου βάρους Πίνακας 1. Η θετική φορά των μεταβλητών καθορίζεται από την εκλογή του δεξιόστροφου συστήματος αξόνων. Οι συνιστώσες των γραμμικών ποσοτήτων, δύναμη, ταχύτητα κλπ είναι θετικές όταν η φορά της δράσης είναι η ίδια με τη φορά του άξονα που αυτή σχετίζεται. Η θετική έννοια των περιστροφικών ποσοτήτων, ροπή, ταχύτητα στάση κλπ αντιστοιχούν σε δεξιόστροφή περιστροφή και μπορεί να καθοριστούν ως ακολούθως. Η θετική περιστροφή (roll) γύρω από τον άξονα ox είναι τέτοια ώστε ο άξονας oy πλησιάζει τον άξονα oz, το αεροσκάφος «βάζει» δεξιά κλίση, η δεξιά πτέρυγα κλίνει προς τα κάτω (right wing down). Η θετική πρόνευση (pitch) ως προς τον άξονα oy είναι τέτοια ώστε ο άξονας oz πλησιάζει τον άξονα ox, το αεροσκάφος ανεβάζει την κεφαλή του (noe up) και τέλος η θετική εκτροπή (yaw) ως προς τον άξονα oz είναι τέτοια ώστε ο άξονας ox πλησιάζει τον άξονα oy, το αεροσκάφος στρέφει την κεφαλή του προς τα δεξιά. Μια απλή περιγραφή των μεταβλητών της διαταραχής δίνονται στον πίνακα 1..

13 Γωνιακές σχέσεις στη συμμετρική πτήση Καθώς υποτίθεται ότι το αεροσκάφος βρίσκεται σε σταθερή, ευθύγραμμη, αλλά όχι απαραίτητα οριζόντια πτήση και οι άξονες που είναι προσδεμένοι στο αεροσκάφος είναι σωματόδετοι άξονες, θα ήταν χρήσιμο να συσχετίσουμε τις σταθερές-μόνιμες γωνίες και τις διαταραγμένες γωνίες όπως φαίνεται στο σχήμα 1.4. Σχήμα 1.4 Έτσι το διάνυσμα της μόνιμης (σταθερής) ταχύτητας V 0 ορίζει το ίχνος πτήσης ενώ γ e είναι η γωνία του μόνιμου (teady) ίχνους πτήσης. Όπως και προηγουμένως α e είναι η μόνιμη γωνία πρόσπτωσης του σκάφους και θ e είναι η μόνιμη στάση πρόνευσης (pitch attitude) του αεροσκάφους. Η σχετική γωνιακή μεταβολή κατά τη διαταραχή φαίνεται επίσης στο σχήμα 1.4, όπου εννοείται ότι οι άξονες έχουν μετατοπιστεί μαζί με το σκάφος, ενώ η κίνηση καταγράφεται κάποια χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια της διαταραχής. Έτσι η γωνία του μόνιμου ίχνους πτήσης δίνεται από : γ e = θ e -α e (1.1) Στην περίπτωση όπου οι άξονες αναφοράς είναι οι άξονες του ανέμου και όχι οι σωματόδετοι : α e = 0 (1.) και στην ειδική περίπτωση όπου οι άξονες είναι οι άξονες του ανέμου ενώ οι αρχικές συνθήκες αφορούν οριζόντια πτήση : α e = θ e = 0 (1.3) Είναι επίσης χρήσιμο να παρατηρήσουμε ότι η διαταραχή στη στάση πρόνευσης θ και η διαταραχή στη γωνία πρόσπτωσης του σκάφους α ταυτίζονται, έτσι μπορούμε να γράψουμε : tan(α e + θ) tan(α e + α) = W/U (W e +w)/(u e +u) (1.4)

14 Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους Η γεωμετρική περιγραφή που θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα ανάλυση αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της διαδικασίας μοντελοποίησης. Έτσι με βάση το Σχήμα 1.5 σχήμα 1.5 έχουμε τις εξής παραμέτρους αναφοράς : Πτερυγική επιφάνεια (wing area) S = b c (1.5) όπου b είναι το εκπέτασμα (wing pan) και c είναι η κανονική μέση χορδή (mean chord) Μέση αεροδυναμική χορδή (mean aerodynamic chord-mac) c c c y y dy dy (1.6) Κανονική μέση χορδή (tandard mean chord-mc) c y c (1.7) dy dy όπου = b/ είναι το ήμισυ του εκπετάσματος (emi-pan) και c y είναι η τοπική χορδή στην συντεταγμένη (κατά την έννοια του εκπετάσματος) y.

15 1-7 Λόγος Επιμήκους (Apect ratio) A = b /S = b/ c (1.8) Θέση του κέντρου βάρους (centre of gravity location) Δίνεται σε συνάρτηση του c ή του c και συμβολίζεται με το γράμμα h ενώ μετριέται από το χείλος προσβολής της χορδής αναφοράς. Tail moment arm και tail volume ratio Το πρώτο συμβολίζεται με l T και ορίζεται ως η διαμήκης απόσταση ανάμεσα στο κέντρο βάρους και το αεροδυναμικό κέντρο (που με ικανοποιητική ακρίβεια βρίσκεται στο τέταρτο της μέσης χορδής -mac της πτέρυγας ή του οριζόντιου σταθερού αντίστοιχα) του οριζόντιου σταθερού (tailplane) όπως φαίνεται στο σχήμα.9. Κάποιες φορές η διαμήκης ροπή του οριζόντιου σταθερού μετράται ως προς το αεροδυναμικό κέντρο της πτέρυγας, τότε συμβολίζεται με l t. Το tail volume ratio Vορίζεται ως : V = S T l T (1.9) Sc όπου S τ είναι η συνολική επιφάνεια του οριζόντιου σταθερού. Ανάλογα μεγέθη παίρνουμε και για το κάθετο σταθερό (fin). Αυτά συμβολίζονται με S l l F και V F F F Sc, όπου S F είναι η συνολική επιφάνεια του κάθετου σταθερού Συμβολισμός του ελέγχου Γενικά μια θετική δράση ελέγχου από τον πιλότο του αεροσκάφους προκαλεί θετική απόκριση του αεροσκάφους ενώ μια θετική απόκλιση μιας επιφάνειας ελέγχου προκαλεί αρνητική απόκριση στο αεροσκάφος. Σχήμα 1.6

16 1-8 Έτσι με βάση το σχήμα 1.6 : Ως προς το διατοιχισμό ή κλίση ή περιστροφή (roll) : Θετική δεξιά εφαρμογή δύναμης στο χειριστήριο = θετική μετατόπιση του χειριστηρίου = δεξί πηδάλιο κλίσης (aileron) πάνω, αριστερό κάτω (αρνητική φορά) = κλίση δεξιάς πτέρυγας προς τα κάτω (απόκριση δεξιάς περιστροφής θετική). Ως προς την πρόνευση ή άνοδο-κάθοδο (pitch) : Θετική δύναμη έλξης στο χειριστήριο = θετική μετατόπιση του προς τα πίσω = το χείλος εκφυγής του πηδαλίου ανόδου-καθόδου (elevator) κινείται προς τα επάνω (αρνητικά) = η κεφαλή (noe) του αεροσκάφους κινείται προς τα επάνω (απόκριση θετική). Ως προς την εκτροπή (yaw) : Θετική εφαρμογή δύναμης στο δεξιό ποδωστήριο (pedal) = θετική κίνηση προς τα μέσα του δεξιού ποδωστηρίου = το χείλος εκφυγής του πηδαλίου διεύθυνσης κινείται προς τα δεξιά (αρνητικά) = η κεφαλή του αεροσκάφους εκτρέπεται δεξιά (απόκριση θετική). Οι μετατοπίσεις του χειριστηρίου συμβολίζονται με δ ξ για την κλίση, δ η για την άνοδο κάθοδο και δ ζ για την εκτροπή. Οι αντίστοιχες μετατοπίσεις των επιφανειών ελέγχου-πηδαλίων συμβολίζονται με τα γράμματα ξ, η και ζ όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ώση του κινητήρα τ ελέγχεται από τη μετατόπιση του μοχλού ισχύος (μανέτα) (throttle lever) ε. Θετική μετατόπιση του μοχλού ισχύος θεωρείται η προς τα εμπρός κίνηση του, η οποία προκαλεί θετική αύξηση της ισχύος. Για ένα κινητήρα turbojet η σχέση μεταξύ της ώσης και της γωνίας του μοχλού ισχύος δίνεται από τη συνάρτηση μεταφοράς : ( ) k ( ) (1 T ) (1.10) όπου k τ είναι μια κατάλληλη σταθερά κέρδους και Τ τ είναι η χρονική σταθερά της καθυστέρησης που συνήθως είναι της τάξης των δύο-τριών δευτερολέπτων Οι εξισώσεις κίνησης του στερεού συμμετρικού αεροσκάφους Σε αυτό το στάδιο ο αντικειμενικός σκοπός είναι να εφαρμοστεί ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε καθέναν από τους έξι βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή : Μάζα επιτάχυνση = Δύναμη (1.11) Για τους βαθμούς ελευθερίας που υποδηλώνουν περιστροφή, η μάζα και η επιτάχυνση εκφράζονται ως ροπή αδρανείας και γωνιακή επιτάχυνση αντίστοιχα ενώ η διαταραγμένη δύναμη εκφράζεται ως ροπή διαταραχής. Το πρώτο βήμα είναι να ορίσουμε τις συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης που προκύπτουν από την εφαρμογή των διαταραγμένων δυνάμεων στο αεροσκάφος.

17 1-9 Σχήμα 1.7 Θεωρούμε την κίνηση που αναφέρεται σε ένα σώμα, όχι κατά ανάγκη, απολύτως στερεό. Σε αυτό το σώμα, όπως περιγράφηκε προηγουμένως, ορίζουμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων (oxyz) του οποίου η αρχή ταυτίζεται με το κέντρο βάρους του (CG) (βλ. σχ. 1.7). Το σώμα και επομένως το σύστημα κινείται σε σχέση με ένα γήινο-αδρανειακό σύστημα αξόνων. Οι συνιστώσες της ταχύτητας και της εξωτερικά εφαρμοζόμενης συνολικής δύναμης αναλύονται πάνω στο σύστημα (oxyz) και ορίζονται ως (U,V,W) και (X,Y,Z) στους 3 άξονες αντίστοιχα. Οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας και η ροπή ως προς τον ανάλογο άξονα συμβολίζονται ως (p,q,r) και (L,M,N) αντίστοιχα. Το σημείο p είναι ένα τυχαίο σημείο μέσα στο σώμα με συντεταγμένες (x,y,z). Οι τοπικές συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο σημείο p σε σχέση με το σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων συμβολίζονται με (u,v,w) και (α x,α y,α z ) αντίστοιχα Oι συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης Από τις γνώσεις της κινηματικής πολύ εύκολα προκύπτουν οι συνιστώσες της ταχύτητας στο σημείο p(x,y,z) σε σχέση με το σημείο (ο) : u = ẋ -ry+qz v = ẏ -pz+rx (1.1) w = ż -qx+py Επειδή αναφερόμαστε στο αεροσκάφος το οποίο είναι ένα απολύτως στερεό σώμα (ένα σώμα του οποίου όλες οι απειροστές μάζες διατηρούνε τις αποστάσεις

18 1-10 μεταξύ τους) και υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν ρότορες (πχ έλικες ή στροβιλοκινητήρες) προκύπτει :. x = ẏ = ż =.ẋ =.ẏ =.ż =0 (1.13) Η πιο πάνω υπόθεση αποκλείει ανάλογα και την ύπαρξη πτέρυγας μεταβλητής γεωμετρίας. Έτσι οι εξισώσεις (1.1) γίνονται : u = qz - ry v = rx - pz (1.14) w = py - qx Ανάλογα για τις συνιστώσες της επιτάχυνσης στο σημείο p(x,y,z) σε σχέση με το o : α x =. u -ru+qw α y =. v -rw+ru (1.15) α z = ẇ -qu+pv Οι απόλυτες ή διαφορετικά οι αδρανειακές ταχύτητες (u,v,w ) του σημείου p(x,y,z) θα προκύψουν σαν άθροισμα δύο όρων: Των ταχυτήτων του κέντρου βάρους (U,V,W) και των τοπικών ταχυτήτων (u,v,w) που προκύπτουν από τη σχέση (1.14). u = U+u = U-ry+qz v = V+v = V-pz+rx (1.16) w = W+w = W-qx+py Κατ αντιστοιχία οι συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης (α x, α y, α z ) στο σημείο p(x,y,z) προκύπτουν με την αντικατάσταση των ταχυτήτων(u,v,w ) της σχέσεως (1.16) στη θέση των (u,v,w) της σχέσης (1.15) :. α x = u' -ru +qw. α y = v' -pw +ru (1.17). α z = w' -qu +pv Παραγωγίζοντας την (1.16) ως προς το χρόνο και λαμβάνοντας υπόψη ότι επειδή αναφερόμαστε σε απολύτως στερεό σώμα ισχύει η (1.13), προκύπτει. u ' = U. - r y+ q z. v ' = V. - p z+ r x (1.18). w ' = W. - q x+ p y

19 1-11 Έτσι χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1.16) και (1.18) και αντικαθιστώντας στη σχέση (1.17) παίρνουμε τις τρεις συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης του τυχαίου σημείου p(x,y,z) του στερεού σώματος, οι οποίες μπορούν να γραφούν : α x =. U -rv+qw-x(q +r )+y(pq- r )+z(pr+ q ) α y =. V -pw+ru+ x(pq+ r ) -y(p +r )+z(qr- p ) (1.19) α z =. W -qu+pv +x(pr- q )+ y(qr+ p ) -z(p +q ) 1.9. Οι εξισώσεις της γενικευμένης δύναμης Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια μια απειροστή (incremental ma) μάζα δm στο σημείο p(x,y,z) μέσα στο στερεό σώμα. Εφαρμόζοντας το δεύτερο νόμο του Newton (εξ. 1.11) στην απειροστή μάζα, οι απειροστές συνιστώσες της δύναμης που εφαρμόζονται σε αυτή τη μάζα θα δίνονται από τις (δmα x, δmα y, δmα z ). Αθροίζοντας αυτές τις απειροστές δυνάμεις σε όλο το σώμα παίρνουμε τις συνιστώσες της συνολικής δύναμης (X, Y,Z). Στο σημείο αυτό πρέπει να υποθέσουμε ότι dm/dt = 0 δηλαδή η συνολική μάζα του αεροσκάφους παραμένει σταθερή με τη μεταβολή του χρόνου. Αυτή η υπόθεση είναι αρκετά ακριβής εφόσον η μεταβολή της μάζας είναι σχετικά μικρή (της τάξης του 5%) για μια περίοδο ec, χρόνος μέσα στον οποίο συνήθως εξετάζεται η δυναμική απόκριση του αεροσκάφους. Κάτι τέτοιο βέβαια δεν μπορεί να είναι ακριβές εφόσον εξετάζουμε την περίπτωση ενός πυραύλου του οποίου η κατανάλωση καυσίμων είναι εντυπωσιακά μεγάλη. Μια άλλη υπόθεση η οποία πρέπει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο είναι ότι η κατανομή μάζας είναι επίσης σταθερή μέσα στο σώμα. Έτσι δεν εξετάζονται τα φαινόμενα της μετατόπισης του κέντρου βάρους από τη μετατόπιση των καυσίμων, επιβατών, άφεση φορτίων κλπ. Έτσι : δmα x = X δmα y = Y (1.0) δmα z = Z Για τα δεξιά μέλη της ισότητας στη σχέση (1.0) μπορούμε να αναφέρουμε ότι οι εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις διαταραχής και ανάλογα ροπές σε ένα αεροσκάφος είναι ένα άθροισμα των αεροδυναμικών δυνάμεων (X a ), των δυνάμεων λόγω εφαρμογής της ισχύος (X p ), των δυνάμεων που προκύπτουν από την κίνηση των πηδαλίων (X c ), των δυνάμεων που προκύπτουν από τη βαρύτητα (X g ). και βέβαια των επιδράσεων των ατμοσφαιρικών διαταραχών (X d ). Η παραπάνω προσέγγιση προέρχεται από τον Bryan (1911). Αν και περιορισμένης εμβελείας αυτή η ανάλυση δίνει κατά πρώτον πολύ καλά αποτελέσματα για τα κλασσικά αεροσκάφη και κατά δεύτερον προσφέρει μια ξεκάθαρη εικόνα για τους φυσικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους.

20 1-1 Αντικαθιστώντας την έκφραση για τις συνιστώσες της αδρανειακής επιτάχυνσης (α x, α y, α z ) από την εξίσωση (1.19) στην (1.0) και παρατηρώντας ότι η αρχή των αξόνων συμπίπτει με το κέντρο βάρους έχουμε : δmx = δmy = δmz = 0 (1.1) ενώ οι συνιστώσες της συνολικής δύναμης που επιδρά στο στερεό σώμα δίνονται από : m(. U - rv + qw) = X m(. V - pw + ru) = Y (1.) m(. W - qu + pv) = Z όπου m είναι η ολική μάζα του σώματος. Η εξίσωση (1.) περιγράφει την κίνηση του κέντρου βάρους του σώματος αφού η αρχή των αξόνων συμπίπτει με το κέντρο βάρους. Σε μερικές εφαρμογές πχ στο αερόστατο είναι βολικότερο να τοποθετηθεί η αρχή των αξόνων σε κάποιο σημείο διαφορετικό από το CG. Σε αυτήν φυσικά την περίπτωση η συνθήκη που περιγράφεται από την εξίσωση (1.1) δεν ισχύει και η εξίσωση (1.) θα πρέπει να περιλαμβάνει περισσότερους όρους Οι εξισώσεις της γενικευμένης Ροπής Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τις ροπές που δημιουργούνται από την εφαρμογή των δυνάμεων που εφαρμόζονται στην απειροστή μάζα δm στο σημείο p(x,y,z). Οι απειροστές συνιστώσες της δύναμης προκαλούν απειροστές συνιστώσες ροπής σε καθένα από τους τρεις σωματόδετους άξονες. Αθροίζοντας τις τελευταίες πάνω σε όλο το σώμα προκύπτει η εξίσωση της ροπής, η οποία δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια μορφή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα που ισχύει ειδικά για την περιστροφή. Για παράδειγμα η συνολική ροπή L ως προς τον άξονα ox προκύπτει αθροίζοντας τις απειροστές ροπές πάνω σε όλο το σώμα : δm(yα z -zα y ) = L (1.3) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις εκφράσεις για τα α y και α z από την (1.19) και παρατηρώντας ότι ισχύει η (1.1), η (1.3) μπορεί να γραφτεί ως εξής : p δm(y + z ) + qrδm(y - z )+ +(r - q ) δmyz - (pq + r )δmxz + (pr - q )δmxy = L (1.4) Οι όροι που περιέχονται στο άθροισμα στην εξίσωση (1.4) έχουν τις μονάδες της ροπής αδρανείας. Κατ αυτόν τον τρόπο η πιο πάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί : I x p - (I y - I z )qr + Ι xy (pr - q ) - I xz (pq+ r ) + I yz (r - q ) = L (1.5)