Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Transcript

1 Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένα ευθύγραμμο τμήμα με συγκεκριμένο προσανατολισμό στο χώρο, με τα άκρα του διατεταγμένα. Ορίζουμε το ένα άκρο του ως αρχή και το άλλο ως πέρας και στο οποίο τοποθετούμε ένα βέλος. Ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το Β συμβολίζεται με ΑΒ και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β. Ένας άλλος συμβολισμός του διανύσματος, είναι με πεζό γράμμα επιγραμμισμένο με βέλος π.χ. α, β, Έτσι μπορούμε, για παράδειγμα, να περιγράψουμε τη θέση ενός σημειακού αντικειμένου ως προς ένα σύστημα αναφοράς, με ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο του συστήματος αναφοράς και πέρας τη θέση του (σημειακού) αντικειμένου. Άλλα διανυσματικά μεγέθη είναι η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η μετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή, κ.ά. που για να τα προσδιορίσουμε εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά του, κάτι που μπορούμε να το επιτύχουμε με την έννοια του διανύσματος. Ας δούμε τώρα τι εννοούμε με τα στοιχεία ενός διανύσματος, όπως λέγονται, το μέτρο, η διεύθυνση και η φορά του διανύσματος. Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος ΑΒ, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο του διανύσματος ΑΒ και συμβολίζεται με ΑΒ (το μέτρο ενός διανύσματος με συμβολισμό π.χ. α συμβολίζεται με το σκέτο γράμμα α). Η διεύθυνση ενός διανύσματος είναι το σύνολο των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Η φορά του διανύσματος είναι ο προσανατολισμός του, πάνω στην ευθεία που βρίσκεται. Η διεύθυνση και η φορά ενός διανύσματος ορίζουν την κατεύθυνση του. Ένα άλλο στοιχείο του διανύσματος είναι ο φορέας του, που ορίζεται ως τη συγκεκριμένη ευθεία στην οποία πάνω της βρίσκεται το διάνυσμα. Page1

2 Ορισμός Δυο (μη μηδενικά) διανύσματα που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται συγγραμμικά διανύσματα. Έτσι, όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε, διανύσματα με την ίδια διεύθυνση είναι συγγραμμικά και αντίστροφα τα συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση. Ορισμός Δυο (μη μηδενικά) διανύσματα λέγονται ομόρροπα, όταν είναι συγγραμμικά (έχουν την ίδια διεύθυνση) και την ίδια φορά. Δυο ομόρροπα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Ορισμός Δύο (μη μηδενικά) διανύσματα λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και αντίθετη φορά. Δυο αντίρροπα διανύσματα έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. Ορισμός Δυο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν είναι αντίρροπα (έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετες φορές) ενώ ταυτόχρονα έχουν ίσο μέτρο. Για δυο αντίθετα διανύσματα που το ένα π.χ. γράφεται ως α, το άλλο συμβολίζεται με α και λέγεται αντίθετο του α. Ορισμός Δύο (μη μηδενικά) διανύσματα λέγονται ίσα, όταν είναι ομόρροπα (έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά) και έχουν ίσο μέτρο. Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα α και β είναι ίσα γράφουμε α = β. Στη φυσική, αν μετακινήσουμε το διάνυσμα που παριστάνει ένα διανυσματικό μέγεθος, παράλληλα στον εαυτόν του διατηρώντας το μήκος του, διατηρεί τις ίδιες πληροφορίες για το φυσικό μέγεθος. Με άλλα λόγια, δυο διανύσματα που περιγράφουν ένα διανυσματικό μέγεθος και είναι ίσα, περικλείουν τις ίδιες πληροφορίες για το φυσικό μέγεθος. Page2

3 2.2 Γωνία δυο διανυσμάτων Δυο οποιαδήποτε (μη μηδενικά) διανύσματα α και β στο χώρο, σχηματίζουν γωνία που ορίζεται ως εξής: Από ένα σημείο Ο φέρνουμε τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ να είναι ίσα με τα διανύσματα α και β αντίστοιχα, δηλαδή ΟΑ = α και ΟΒ = β. Την κυρτή γωνία που σχηματίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (α, β ) ή (β, α) ή ακόμα με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα θ. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των α και β είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Είναι φανερό ότι 0 θ π. Αν θ=π/2, τότε λέμε ότι ντα διανύσματα α και β είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε αꓕβ. 2.3 Πρόσθεση διανυσμάτων Από δυο οποιαδήποτε διανύσματα του χώρου α και β κατασκευάζουμε ένα άλλο διάνυσμα, που λέγεται άθροισμα των α και β που συμβολίζεται με α + β που ορίζεται ως εξής: Από οποιοδήποτε σημείο Ο του χώρου φέρνουμε το διάνυσμα ΟΑ τέτοιο ώστε ΟΑ = α. Με αρχή το Α φέρνουμε το διάνυσμα ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΒ = β. Το διάνυσμα ΟΒ, με αρχή το Α και πέρας το Β, λέγεται άθροισμα των α και β δηλαδή ΟΒ = α + β Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα α + β είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: α + β = β + α Page3

4 Το άθροισμα α + β με πρώτο το διάνυσμα α και δεύτερο το β είναι ίσο με το άθροισμα β + α με πρώτο το διάνυσμα β και δεύτερο το α. Η απόδειξη φαίνεται «οπτικά» με το παρακάτω σχήμα: Για την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύει η προσεταιριαστική ιδιότητα: α + (β + γ) = (α + β) + γ Η απόδειξη φαίνεται «οπτικά» με το παρακάτω σχήμα: Αν κάνουμε πρώτα την πρόσθεση β + γ και το αποτέλεσμα προσθέσουμε στο διάνυσμα α, είναι το ίδιο με το να κάνουμε πρώτα τη πρόσθεση α + β και σ αυτό προσθέσουμε το διάνυσμα γ 2.4 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Από ένα μη μηδενικό πραγματικό αριθμό λ και από ένα μη μηδενικό διάνυσμα του χώρου α κατασκευάζουμε ένα άλλο διάνυσμα, που λέγεται γινόμενο του λ με το α και το συμβολίζουμε με λα που ορίζεται με το διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του α αν λ > 0 και αντίρροπο του α, αν λ < 0 και έχει μέτρο λ α. Αν λ=0 ή α = 0 τότε ορίζουμε ως λα το μηδενικό διάνυσμα 0 Για παράδειγμα, αν το διάνυσμα α του παραπάνω σχήματος έχει μέτρο 2, τότε το διάνυσμα 3α είναι ομόρροπο με το α και έχει μέτρο 3α = 3 α = 3Χ2 = 6, ενώ το διάνυσμα 3α είναι αντίρροπο με το α, αλλά έχει και αυτό μέτρο ίσο με 3α = 3 α = 3Χ2 = 6 Page4

5 Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: λ(α + β) = λα + λβ Δηλαδή: λ φορές το άθροισμα α + β είναι ίσο με το άθροισμα δυο διανυσμάτων του γινομένου λα και του γινομένου λβ (λ + μ)α = λα + μα Δηλαδή: λ+μ φορές το διάνυσμα α είναι ίσο με το άθροισμα δυο διανυσμάτων του γινομένου λα και του γινομένου λμ με το διάνυσμα α λ(μα) = (λμ)α Δηλαδή: λ φορές το διάνυσμα μα είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού λμ με το διάνυσμα α 2.5 Άξονας Πάνω σε μια ευθεία x x επιλέγουμε δυο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε τότε ότι έχουμε ένα άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το ΟΙ = ι και τον συμβολίζουμε με x x. Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας Ox ενώ η Ox λέγεται αρνητικός ημιάξονας Ox. Για ένα οποιαδήποτε διάνυσμα α παράλληλο στον άξονα x x φέρνουμε το διάνυσμα από την αρχή Ο τέτοιο να είναι ΟΑ = α. Το σημείο Α βρίσκεται πάνω στον άξονα. Υπάρχει μοναδικός αριθμός α Χ τέτοιος ώστε να ισχύει: ΟΑ = α χ ι. Άρα μπορούμε να γράψουμε α = α χ ι. Ο αριθμός α χ ονομάζεται αλγεβρική τιμή του διανύσματος α Θεώρημα Οι πράξεις διανυσμάτων παράλληλων σε άξονα ανάγονται στις αντίστοιχες πράξεις των αλγεβρικών τους τιμών. Παράδειγμα: αν α, β δυο παράλληλα διανύσματα στον άξονα x x και λ, μ δυο πραγματικοί αριθμοί, ισχύει: λα + μβ = (λα χ + μβ χ )ι Πράγματι ισχύουν λα + μβ = λ(α χ ι) + μ(β χ ι) = (λα χ )ι + (μβ χ )ι = (λα χ + μβ χ )ι. Έτσι όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις με συγγραμμικά διανύσματα, εκτελούμε τις αντίστοιχες πράξεις των αλγεβρικών τους τιμών. 2.6 Τετμημένη σημείου πάνω σε άξονα Ορίζεται τετμημένη ενός σημείου Μ ενός άξονα x x με αρχή το Ο και μοναδιαίο το ΟΙ = ι ως την προσημασμένη απόσταση του σημείου Μ από την αρχή Ο, με θετικό πρόσημο αν το Μ βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα Οx και με αρνητικό πρόσημο αν βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα Ox. Page5

6 Θεώρημα: Η τετμημένη x ενός σημείου Μ επί του άξονα x x είναι ίση με την αλγεβρική τιμή α χ του διανύσματος θέσης α του σημείου Μ ως προς την αρχή Ο, τέτοια α = ΟΜ = α χ ι. Δηλαδή ισχύει x = a x 2.7 Καρτεσιανό επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δυο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και j. Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Το σύστημα Oxy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό. Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες x x και y y είναι κάθετοι και κανονικό γιατί τα διανύσματα i και j είναι ισομήκη. 2.8 Συντεταγμένες διανύσματος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα «παράλληλο» στο επίπεδο. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα ΟΑ = α. Αν Α 1 και Α 2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x x και y y αντίστοιχα, έχουμε: ΟΑ = ΟΑ 1 + ΟΑ 2 Αν α χ η αλγεβρική τιμή του διανύσματος ΟΑ 1 στον άξονα x x και α y η αλγεβρική τιμή του διανύσματος OA 2 στον άξονα y y, θα ισχύει: ΟΑ 1 = α χ ι και ΟΑ 2 = α y j Επομένως το διάνυσμα α που είναι ίσο με το διάνυσμα ΟΑ γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των ι και j ως εξής: α = ΟΑ = α χ ι + α y j Τα διανύσματα α χ ι και α y j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α Στην παραπάνω κατασκευή αποδεικνύεται ότι οι αριθμοί α χ και α y είναι μοναδικοί. Page6

7 2.9 Συντεταγμένες σημείου στο επίπεδο Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Μ ένα σημείο του επιπέδου αυτού. Αν Μ 1 και Μ 2 είναι οι προβολές του σημείου Μ στους άξονες x x και y y, η προσημασμένη απόσταση του σημείου M 1 πάνω στον άξονα x x από την αρχή Ο (με θετικό πρόσημο, αν βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα και αρνητικό αν βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα) λέγεται τετμημένη x ενώ η προσημασμένη απόσταση του σημείου M 2 πάνω στον άξονα y y από την αρχή Ο λέγεται τεταγμένη y. Το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, y) λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ. Αν για τις αλγεβρικές τιμές στους αντίστοιχους άξονες: ΟΜ 1 = α χ ι και ΟΜ 2 = α y j Για τις οποίες οι συντεταγμένες (x, y) του σημείου Μ θα επαληθεύουν α χ = x και α y = y Αποδείξαμε ότι οι συντεταγμένες (x, y) ενός σημείου του επιπέδου είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος θέσης του σημείου Μ α = ΟΜ = α χ ι + α y j = xi + yj 2.10 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη F όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της ευθύγραμμα από το Ο στο Α είναι ίσο με το γινόμενο F. (OA). συνφ Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με F. OA και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμης F με το διάνυσμα OA Page7

8 Ορισμός εσωτερικού γινομένου δυο διανυσμάτων Από δυο διανύσματα α και β του χώρου σχηματίζουμε ένα αριθμό, που λέγεται εσωτερικό γινόμενο των α και β, που συμβολίζεται με α. β και ορίζεται ως εξής: 1) Αν τα α και β είναι μη μηδενικά διανύσματα α. β = α. β συνφ όπου φ η γωνία των διανυσμάτων α και β 2) Αν α = 0 ή β = 0 τότε ορίζεται α. β = 0 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου Αντιμεταθετική ιδιότητα: α. β = β. α Αν αλλάξουμε τη σειρά των διανυσμάτων στο εσωτερικό τους γινόμενο αυτό παραμένει το ίδιο. Για δυο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Τα διανύσματα α και β είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν (α. β = 0) Απόδειξη: αν αꓕβ τότε η μεταξύ τους γωνία είναι φ=π/2. Τότε συνφ=0 άρα α. β = 0. Αν α. β = 0 τότε, αφού είναι μη μηδενικά διανύσματα, συνφ=0 συνεπάγεται φ=π/2 άρα θα είναι α. β = 0 Για δυο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Τα α και β είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν α. β = α β Απόδειξη: αν τα α και β είναι συγγραμμικά τότε φ=ο ή φ=π άρα συνφ=±1. Επομένως α. β = α β συνφ = ± α β α. β = α β Αντιστρόφως. Υποθέτουμε ότι ισχύει α. β = α β Έχουμε: α. β = α β συνφ α. β = α β συνφ Με χρήση της υπόθεσης παίρνουμε συνφ =1 συνεπάγεται φ=0 ή π επομένως αποδείξαμε ότι τα α και β είναι συγγραμμικά. Το εσωτερικό γινόμενο α. α συμβολίζεται α 2 και λέγεται τετράγωνο του α. Έχουμε α 2 = α α συν0 = α 2 Επομένως α 2 = α 2 Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα ι και j του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν ι. j = j. i = 0 και ι 2 = j 2 = Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου Έστω ένα σύστημα αναφοράς Οxy στο επίπεδο. Αν α = α χ ι + α y j και β = β χ ι + β y j δυο διανύσματα του επιπέδου, το εσωτερικό τους γινόμενο α. β μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των συντεταγμένων τους ως εξής: α. β = α x β x + a y β y Page8

9 Δηλαδή: Το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Η απόδειξη υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: λα. β = α. (λβ) = λ(α. β) λ πραγματικός α. (β + γ) = α. β + α. γ Επιμεριστική ιδιότητα Πράγματι αν α = α χ ι + α y j, β = β χ ι + β y j και γ = γ x i + γ y j τότε έχουμε: (λα). β = (λα χ ι + λα y j). ( β χ ι + β y j) = (λα x )β x + (λα y )β y = λ(α x β x + a y β y ) = λ(α. β) α. (λβ) = (α x i + a y j). (λβ x ι + λβ y j) = a x (λβ x ) + α y (λβ y ) = λ((α x β x + a y β y ) = λ(α. β) Άρα λα. β = α. (λβ) = λ(α. β) Για την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε α. (β + γ) = (α χ i + a y j). ((β χ + γ χ )i + (β y + γ y )j) = a x (β x + γ x ) + a y (β y + γ y ) = (a x β x + a x γ x ) + (a y β y + a y γ y ) = (α x β x + α y β y ) + (α x γ x + a y γ y ) = a. β + α. γ Page9

10 2.12 Συνημίτονο γωνίας δυο διανυσμάτων Αν α = α χ ι + α y j και β = β χ ι + β y j δυο διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε α. β = α. β συνθ και επομένως α. β συνθ = α β Είναι όμως α. β = α x β x + a y β y, α = α 2 x + a2 y και β = β 2 x + β2 y Επομένως: συνθ = α x β x + a y β y α 2 x + a 2 y β 2 x + β2 y 2.13 Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες Θεωρούμε το διάνυσμα α στο επίπεδο πάνω στο οποίο έχουμε ορίσει ένα σύστημα αναφοράς Οxy. Το διάνυσμα α, ας υποθέσουμε, ότι γράφεται: α = α x i + a y j Κάνουμε τις πράξεις: α. ι = (α x i + a y j). ι = α x i. ι + a y j. ι = α χ 1 + α y 0 = a x Επομένως α. j = (α x i + a y j). j = α x i. j + a y j. j = α χ 0 + α y 1 = a y α = (α. ι)ι + (α. j)j Αν θ και φ οι γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα α με τα μοναδιαία διανύσματα ι και j αντίστοιχα θα είναι: a x = α. ι = α ι συνθ = ασυνθ a y = α. j = α j συνφ = ασυνφ Page10

11 Οπότε μπορούμε να γράψουμε α = ασυνθι + ασυνφj Παράδειγμα: Υποθέτουμε το διάνυσμα α του σχήματος. Το διάνυσμα α σχηματίζει γωνία =150 0 με το μοναδιαίο ι και γωνία =60 0 με το μοναδιαίο j. Σύμφωνα με τον τελευταίο τύπο το διάνυσμα α γράφεται: α = 2συν150 0 i + 2συν60 0 j = 2 ( 3 2 ) i j = 3i + j 2 Παράδειγμα: Υποθέτουμε το διάνυσμα β του σχήματος. Το διάνυσμα β σχηματίζει γωνία =120 0 με το μοναδιαίο ι και γωνία =150 0 με το μοναδιαίο j. Με τον ίδιο τρόπο όπως πριν, το διάνυσμα β γράφεται ως: β = 3συν120 0 ι + 3συν150 0 j = 3 ( 1 3 ) i + 3 ( 2 2 ) j = i 2 2 j Page11

12 2.14 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Ένας μηχανικός προσπαθεί να σφίξει ένα μπουλόνι μηχανής με ένα γερμανικό κλειδί όπως στο σχήμα. Θα τα καταφέρει όσο πιο μακρύ είναι το κλειδί, όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη που ασκεί και όσο πιο κάθετα ασκεί τη δύναμή στο κλειδί και στον άξονά του μπουλονιού. Στη γλώσσα της φυσικής, για τη μελέτη αυτού του προβλήματος, ορίζεται η ροπή δύναμης και ορίζεται σαν το διάνυσμα που είναι κάθετο στο κλειδί και στη διεύθυνση της δύναμης και μέτρο rfημθ, όπου τα r, F και θ όπως στο σχήμα. Εδώ η ροπή δύναμης ορίζεται σαν το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων του κλειδί και της δύναμης. Στα μαθηματικά ορίζουμε εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α και β το διάνυσμα που συμβολίζεται με α β με μέτρο α β = α β ημθ όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα α και β και είναι κάθετο στα διανύσματα α και β και με φορά που δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή εκείνη τη φορά που δείχνει ο δεξιός αντίχειρας όπου τα υπόλοιπα δάκτυλα κάμπτονται κατά γωνία θ η οποία σαρώνεται με φορά από το α στο β Αν κάποιο από τα διανύσματα είναι το μηδενικό διάνυσμα το εξωτερικό τους γινόμενο είναι το μηδέν. Page12

13 Εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι δυο μη μηδενικά διανύσματα α και β είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν το εξωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν. α β = 0 Απόδειξη Αν α β = 0 α β ημθ = 0 sinθ = 0 θ = 0 ή θ = π Αντίστροφα αν α και β συγγραμμικά θα είναι θ=0 ή θ=π άρα ημθ=0 δηλαδή α β = 0 Το εξωτερικό γινόμενο έχει τις ακόλουθες ιδιότητες (λα) (μβ) = λμ(α β) α (β + γ) = α β + α γ (α + β) γ = α γ + β γ α β = (β α) Ορίζουμε το μοναδιαίο διάνυσμα k κάθετο στο επίπεδο στο οποιο έχουμε ορίσει ένα σύστημα αναφορά και με τέτοιο τρόπο ώστε ι j = k Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι j k = i και k i = j Για δύο διανύσματα του επιπέδου α = α χ ι + α y j και β = β χ ι + β y j το εξωτερικό τους γινόμενο γράφεται: α β = (α χ ι + α y j) (β χ ι + β y j) = α χ β χ (ι ι) + α χ β y (i j) + a y β χ (j i) + a y β y (j j) = = (a x β y a y β χ )k = a x a y β χ β k y Page13