sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι Φ = E A = EA cos(θ, όπου θ η γωνία µεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και του διανύσµατος A που είναι κάθετο στην επιφάνεια, έχει µέτρο ίσο µε το εµβαδό της επιφάνειας, και δείχνει προς τα έξω από την επιφάνεια. Άρα Φ 1 = EA cos(θ 1 = cos(150 o = 0.39 Nm 2 /C (1 Φ 2 = EA cos(θ 1 = cos(60 o = 0.23 Nm 2 /C (2 Φ 3 = EA cos(θ 1 = cos(3 o = 0.39 Nm 2 /C (3 Φ 4 = EA cos(θ 1 = cos(120 o = 0.23 Nm 2 /C (4 Η συνολική ϱοή διαµέσου των επιφανειών είναι Φ T = Φ i = 0 Nm 2 /C. (ϐʹ Το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στην επιφάνεια 1 και παράλληλο στις επιφάνειες 2, 3, και 5. Επίσης, η γωνία µεταξύ των E και A 4 είναι 60 o. Η ηλεκτρική ϱοή σε αυτές τις 5 επιφάνειες είναι Φ 1 = E 1 A 1 cos(θ 1 = cos(180 o = 3200 Nm 2 /C (5 Φ 2 = Φ 3 = Φ 5 = 0 Nm 2 /C (6 2 Φ 4 = E 4 A 4 cos(θ 4 = 400 sin(30 o 4 cos(60o = 3200 Nm 2 /C (7 Η συνολική ηλεκτρική ϱοή είναι µηδέν ξανά. Ασκηση 2. Το πρόβληµα µπορεί να σχεδιαστεί όπως στο Σχήµα 1. Λόγω συµµετρίας της κατανοµής ϕορτίου, το E είναι Σχήµα 1: Σχήµα Άσκησης 2. κάθετο στην επιλεγµένη γκαουσιανή επιφάνεια, και το µέτρο του πεδίου έχει την ίδια τιµή σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας. Από το νόµο του Gauss, έχουµε Φ e = E da = in (8 ɛ 0

2 Φυσική Ι /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 2 Το ηλεκτρικό πεδίο δείχνει προς τα µέσα, προς το εσωτερικό της Γης, άρα η ϱοή ϑα είναι αρνητική, οπότε in = ɛ 0 EA σφαίρας = π ( = C (9 Ασκηση 3. Εστω 1 και 2 τα άγνωστα ϕορτία. Πρέπει 1 2 = C (10 και δηλ. U = k e = J ( = C 2 (12 Λύνοντας την πρώτη σχέση ως προς 2 και αντικαθιστώντας στην δεύτερη, έχουµε 1 ( = = C, 1 = C (13 οι οποίες προκύπτουν ως δυο ϱίζες του παραπάνω τριωνύµου. Άρα τα δυο ϕορτία είναι 10 nc και 40 nc. Ασκηση 4. Σχήµα 2: Σχήµα Άσκησης 4. (αʹ Το ηλεκτρικό πεδίο ανάµεσα σε παράλληλες πλάκες είναι σταθερό µε µέτρο E = V d = = V/m (14 (ϐʹ Από αρχή διατήρησης της ενέργειας στο σύστηµα πεδίο-ϕορτίο, έχουµε U K = 0 (15 U i = K f U f (16 0 = 1 2 m eu 2 f ( e V (17 0 = 1 2 m eu 2 f eed (18 u f = m/s (19

3 Φυσική Ι /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 3 (γʹ Η παραπάνω ταχύτητα αποτελεί περίπου του 31% της ταχύτητας του ϕωτός. κανείς να λάβει υπόψη του τη ϑεωρία της σχετικότητας. Σε τέτοιες τιµές, πρέπει Ασκηση 5. Z z x d-x P dx L d Σχήµα 3: Σχήµα Άσκησης 5. (αʹ Εστω P το σηµείο σε απόσταση d από τη συµβολή των αξόνων. Εστω ένα µικρό τµήµα ϱάβδου, µήκους dx, µε ϕορτίο dq, στη ϑέση x, σε απόσταση d x από το σηµείο P. Αυτό το τµήµα συνεισφέρει δυναµικό L dx dq dv = k e d x = k λdx e d x = k e d x (20 Αθροίζοντας τις συνεισφορές για κάθε τµήµα ϱάβδου, έχουµε V = dv (21 dx = k e (22 L d x L/2 1 = k e dx (23 L L/2 d x [ ] L/2 = k e ln(d x (24 L L/2 ( d L/2 = k e L ln (25 d L/2 Για ένα οποιοδήποτε σηµείο P που ϐρίσκεται σε τυχαία ϑέση x του άξονα, το δυναµικό ϑα είναι ( x L/2 V = k e L ln x L/2 (26 (ϐʹ Εστω Z το σηµείο σε απόσταση z από τη συµβολή των αξόνων. Εστω ένα µικρό τµήµα ϱάβδου, µήκους dx, µε ϕορτίο dq, στη ϑέση x, σε απόσταση x 2 z 2 από το σηµείο z. Αυτό το τµήµα συνεισφέρει δυναµικό dq dv = k e x 2 z = k λdx 2 e x 2 z = k L dx 2 e x 2 z 2 (27

4 Φυσική Ι /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 4 Αθροίζοντας τις συνεισφορές για κάθε τµήµα ϱάβδου, έχουµε V = dv (28 dx = k e L x 2 z 2 (29 L/2 1 = k e dx L L/2 x 2 (30 z2 [ ] L/2 = k e ln( x L 2 z 2 x (31 L/2 ( (L/2 = k e L ln 2 z 2 L/2 (L/2 2 z 2 (32 L/2 Ασκηση 6 Η ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή διαχέεται στο περιβάλλον µέσω του ϕλας, και εφόσον η µέση ισχύς ισούται µε το ϱυθµό µεταβολής της ενέργειας, είναι Αυτή είναι η δυναµική ενέργεια του πυκνωτή. Από τη σχέση E = P t = = 10 4 J (33 U = 1 2 C V 2 (34 έχουµε C = 2U V 2 = F (35 Ασκηση 7. Σχήµα 4: Σχήµα Άσκησης 7. Αφού οι C 1 και C 2 ϐρίσκονται σε παραλληλία, Οι C 1 2 και C 3 ϐρίσκονται σε σειρά, οπότε Το ϕορτίο που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι C 1 2 = C 1 C 2 = F = 16 µf (36 1 = 1 C C = 1 C = C = 16 µf (37 9 = C V c = C = 16 µc (38

5 Φυσική Ι /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 5 Επειδή η C είναι ένας συνδυασµός σε σειρά δυο πυκνωτών C 3 και C 1 2, ισχύει για τα ϕορτία ότι Η διαφορά δυναµικού στα άκρα του C 3 είναι Τώρα, 1 2 = 16 µc είναι το ϕορτίο του ισοδύναµου πυκνωτή µε C 1 2 είναι στα άκρα του ισοδύναµου πυκνωτή C = 3 = 16 µc (39 V 3 = 3 C 3 = 8 V (40 V 1 2 = 1 2 C 1 2 = 16 µf. ΆΡα η διαφορά δυναµικού = 1 V (41 Οι παράλληλοι πυκνωτές C 1 και C 2 έχουν την ίδια διαφορά δυναµικού µε τον ισοδύναµο πυκνωτή C 1 2, άρα V 1 = V 2 = 1 V (42 Το ϕορτίο καθενός είναι και 1 = C 1 V 1 = 4 µc (43 2 = C 2 V 2 = 12 µc (44 Ασκηση 8. E E Σχήµα 5: Σχήµα Άσκησης 8. (αʹ Ο νόµος του Gauss µας λέει ότι το ηλεκτρικό πεδίο ανάµεσα σε κυλίνδρους οφείλεται µόνο στο ϕορτίο του εσωτερικού κυλίνδρου. Άρα, το E είναι το πεδίο σε απόσταση ενός µεγάλου, ϕορτισµένου καλωδίου, και το οποίο ϐρήκαµε στις διαλέξεις ότι είναι E = k e 2λ (45 µε κατεύθυνση ακτινικά προς το εσωτερικό. (ϐʹ Θα είναι V = E d s (46

6 Φυσική Ι /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 6 Θα ολοκληρώσουµε ακτινικά, από στην επιφάνεια του εσωτερικού κυλίνδρου ως R 2 σε αυτήν την εξωτερικού. Το πεδίο E είναι αρνητικό, ενώ η µεταβλητή d s ϑα αντικαταστηθεί µε d. Άρα V = E d (47 R2 2λ = k e d (48 = 2k e λ R2 [ = 2k e λ ln( d ] R2 ( R2 = 2k e λln (49 (50 (51 (γʹ Από τη σχέση και τη σχέση εύκολα λαµβάνουµε ότι E = k e 2λ ( R2 V = 2k e λln E = V (52 (53 ln( R2 (54 (δʹ Αν στην παραπάνω σχέση, ϑέσουµε E max = V/m και =, τότε ( R2 V max = E max ln = 1600 V (55