ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. Δείκτες Απόδοσης Υλικών

Transcript

1 ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Δείκτες Απόδοσης Υλικών 1

2 Function The selection of a material depends on the interaction between the MATERIAL and FUNCTION. Materials Casting Process Extrusion Attributes: Physical Mechanical, Economic, Thermal, Electrical, Environmental Sheet Shape 3-D A link must be established between MATERIAL, FUNCTION with the PROCESS and SHAPE playing an important role

3 An engineering component has: (boundary condition for Materials Selection) 1. Function: to carry load, transmit heat, contain a pressure, etc.. What does the component do? 2. Objectives: as cheap as possible, light, safe, strong, etc What is to be Maximized or Minimized? 3. Constraints: subject to constraints such as carry load without failure, certain dimensions are fixed, cost is within limits etc What non-negotiable conditions are to be met? (Rigid) What negotiable but desirable conditions? (Soft)

4 4. Free Variables: materials choice, cross-section area, thickness, and length are free Which design variables are free? (variables which can be changed)

5 Two concepts are used in the selection procedure: 1. Materials Performance Index (Δείκτες Απόδοσης Υλικών) Combination of materials properties that characterize the performance of a material in a given application (Ashby) 2. Materials Selection Charts (Διαγράμματα Επιλογής Υλικών) Plots of materials properties that form the maximizing factors

6 1. Δείκτες απόδοσης υλικών Κάθε συνδυασμός λειτουργίας, περιορισμών και στόχων, οδηγεί σε ένα μέτρο της απόδοσης της λειτουργίας του εξαρτήματος και περιέχει μια ομάδα ιδιοτήτων των υλικών. Αυτή η ομάδα των ιδιοτήτων ονομάζεται δείκτης απόδοσης υλικού και είναι χαρακτηριστικός του συγκεκριμένου συνδυασμού.

7 Πως υπολογίζονται οι δείκτες; Η απόδοση ενός εξαρτήματος καθορίζεται από 3 πράγματα: Τις λειτουργικές απαιτήσεις (λειτουργία) (F) (π.χ. να μεταφέρει φορτία, να διαβιβάζει ενέργεια, να αποθηκεύει ενέργεια κλπ) Τη γεωμετρία (G) και Τις ιδιότητες του υλικού (M) από το οποίο κατασκευάζεται. Η απόδοση Ρ του εξαρτήματος περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής: P = f[(λειτουργικές απαιτήσεις, F), (γεωμετρία, G), (ιδιότητες υλικού, Μ)] P = f[f, G, Μ] Η επιλογή του βέλτιστου υλικού επιτυγχάνεται με την επιλογή υλικού και γεωμετρίας που ελαχιστοποιεί (βάρος, κόστος) ή μεγιστοποιεί (αντοχή, ακαμψία) την απόδοση Ρ.

8 Πως υπολογίζονται οι δείκτες; Όταν οι 3 συναρτήσεις (λειτουργικές απαιτήσεις, γεωμετρία, ιδιότητες υλικού) είναι ανεξάρτητες και μπορούν να διαχωριστούν. P = f 1 (F) x f 2 (G) x f 3 (M) Αυτό σημαίνει ότι η βέλτιστη επιλογή υλικού γίνεται ανεξάρτητη από τις λεπτομέρειες του σχεδιασμού. Είναι ίδια για όλες τις γεωμετρίες G και για όλες τις λειτουργικές απαιτήσεις F. Τότε η βέλτιστη ομάδα υλικών μπορεί να βρεθεί χωρίς να χρειάζεται να λύσουμε όλο το σχεδιαστικό πρόβλημα. Η απόδοση για όλα τα F και G μεγιστοποιείται με τη μεγιστοποίηση του f 3 (M), το οποίο ονομάζεται Δείκτης Απόδοσης, Μ

9 Πως υπολογίζονται οι δείκτες; Καθορισμός της Λειτουργίας, του Περιορισμού και του Στόχου οδηγεί σε έναν δείκτη απόδοσης υλικού Μ.

10 Πως υπολογίζονται οι δείκτες; Functions and Constraints Tie (tensile strut) Stiffness, length specified, section area free Maximize (Stiffness) E/ ρ Beam (loaded in bending) Stiffness, length, shape specified, section area free Stiffness, length, height specified, width free Stiffness, length, width specified, height free E 1/2 / ρ E/ ρ E 1/3 / ρ Panel (flat plate, loaded in bending) Stiffness, length, width specified, thickness free E 1/3 / ρ Panel (flat plate, buckling failure) Collapse load, length and width specified, thickness free E 1/3 / ρ

11 Πως υπολογίζονται οι δείκτες; Functions and Constraints Tie (tensile strut) Strength, length specified, section area free Maximize (Strength) σ f / ρ Beam (loaded in bending) Strength, length, shape specified, section area free Strength, length, height specified, width free Strength, length, width specified, height free σ f 1/2 / ρ σ f / ρ σ f 1/3 / ρ Panel (flat plate, loaded in bending) Strength, length, width specified, thickness free σ f 1/3 / ρ Panel (flat plate, buckling failure) Strength load, length and width specified, thickness free σ f 1/3 / ρ

12 Πως υπολογίζονται οι δείκτες;

13 Πως υπολογίζονται οι δείκτες;

14 Τα βήματα για τον υπολογισμό του Δείκτη Απόδοσης 1. Αναγνωρίστε τη ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ 2. Αναπτύξτε μια εξίσωση για τους ΣΤΟΧΟΥΣ (αντικειμενική συνάρτηση): π.χ. βάρος, κόστος, κλπ (να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί). Οι αντικειμενικές συναρτήσεις περιέχουν μία ή περισσότερες ελεύθερες μεταβλητές. 3. Αναγνωρίστε τους ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ (οι οποίοι πρέπει να ικανοποιούνται), και κατατάξτε τους με βάση το πόσο σημαντικοί είναι. 4. Αναγνωρίστε τις ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 5. Αναπτύξτε εξισώσεις για τους στόχους (να μην σπάει, να μην λυγίζει, να κοστίζει κάτω από ένα όριο ) 6. Εξαλείψτε τις ελεύθερες μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση χρησιμοποιώντας τους περιορισμούς. 7. Οργανώστε τις μεταβλητές σε 3 ομάδες: F, G, M 8. Αναγνωρίστε την ομάδα με τις ιδιότητες του υλικού, (ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ), η οποία μεγιστοποιεί το στόχο.

15 Σχεδιάζοντας με βάση τη Διαρροή

16 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και ισχυρή συνδετική ράβδο Πρόβλημα: Θεωρήστε έναν σχεδιασμό ο οποίος απαιτεί μια κυλινδρική συνδετική ράβδο με δεδομένο μήκος L που πρέπει να φέρει μια εφελκυστική δύναμη F, με τον περιορισμό να μη φτάνει ποτέ σε διαρροή, αλλά να παραμένει στην ελαστική περιοχή. Ο αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της μάζας της. Το μήκος L είναι καθορισμένο αλλά όχι και το εμβαδό Α της διατομής της.

17 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και ισχυρή συνδετική ράβδο Σχεδιαστικές απαιτήσεις: Λειτουργία Περιορισμοί Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Συνδετική ράβδος Καθορισμένο μήκος, L Καθορισμένο εφελκυστικό φορτίο F χωρίς διαρροή (σ y ) Ελαχιστοποίηση της μάζας Εμβαδό διατομής, Α Επιλογή υλικού Ψάχνουμε μια εξίσωση που να περιγράφει την ποσότητα που πρέπει να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί. Στην συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να βρούμε μια εξίσωση που να ελαχιστοποιεί τη μάζα της συνδετικής ράβδου βασιζόμενοι στους περιορισμούς μας.

18 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και ισχυρή συνδετική ράβδο Στόχος: Ελαχιστοποίηση μάζας, m αντικειμενική συνάρτηση (objective function): m=alρ (1) όπου Α είναι το εμβαδό της διατομής και ρ η πυκνότητα του υλικού από το οποίο θα κατασκευαστεί η ράβδος. Το μήκος L και η δύναμη F είναι καθορισμένα (περιορισμοί), ενώ η διατομή Α είναι ελεύθερη (ελεύθερη μεταβλητή). Θα μπορούσαμε να μειώσουμε τη μάζα, μειώνοντας τη διατομή.

19 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και ισχυρή συνδετική ράβδο Αλλά υπάρχει ένας περιορισμός: η διατομή Α θα πρέπει να είναι τέτοια που να μπορεί να αντέξει το εφελκυστικό φορτίο F, χωρίς να παρουσιάσει διαρροή: (2) όπου σ y είναι η αντοχή σε διαρροή του υλικού. Αντικαθιστώντας το Α από την εξίσωση (2) στην εξίσωση (1) παίρνουμε: m ( F)( L) (3) F A y y F G M

20 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και ισχυρή συνδετική ράβδο Στην εξίσωση (3), το F και το L είναι γνωστά, ενώ ο λόγος (ρ/σ y ) περιέχει τις ιδιότητες του υλικού. Επομένως τα κατάλληλα υλικά είναι αυτά με μικρές τιμές λόγου (ρ/σ y ). Το αντίστροφο του λόγου ονομάζεται δείκτης απόδοσης υλικού: y M t Επομένως, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα υλικό με μεγάλο δείκτη απόδοσης (ελάχιστη μάζα). Οι δείκτες απόδοσης υλικών σχεδιάζονται πάνω στα διαγράμματα φυσαλίδων.

21

22 Βασικό πρόβλημα επιλογής Μία ελεύθερη μεταβλητή και ένας μοναδικός περιορισμός έχουν σαν αποτέλεσμα έναν μοναδικό δείκτη απόδοσης Η φόρτιση πάνω σε ένα στοιχείο μπορεί γενικά να θεωρηθεί ότι απαρτίζεται από έναν συνδυασμό αξονικού εφελκυσμού ή θλίψης, κάμψης και στρέψης. Σχεδόν πάντα η μία από αυτές τις φορτίσεις υπερισχύει Ο δείκτης απόδοσης εξαρτάται από το είδος της φόρτισης

23 Σχεδιάζοντας με βάση τη δυσκαμψία

24 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη ράβδο Πρόβλημα: Ένας κυλινδρικός σύνδεσμος μορφής ράβδου έχει καθορισμένο μήκος L o και πρέπει να φέρει εφελκυστική δύναμη F χωρίς να επιμηκυνθεί ελαστικά περισσότερο από δ. Η δυσκαμψία του πρέπει να είναι τουλάχιστον S * =F/δ. Είναι ένα εξάρτημα που φέρει φορτίο, οπότε πρέπει να είναι ανθεκτικό. Ο αντικειμενικός στόχος είναι να το κάνουμε όσο πιο ελαφρύ γίνεται. Το εμβαδό της διατομής Α είναι ελεύθερο.

25 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη ράβδο Σχεδιαστικές απαιτήσεις: Λειτουργία Περιορισμοί Σύνδεσμος Καθορισμένο μήκος, L ο Καθορισμένη δυσκαμψία, S * Κάποια σκληρότητα Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Ελαχιστοποίηση της μάζας Εμβαδό διατομής, Α Επιλογή υλικού Ψάχνουμε μια εξίσωση που να περιγράφει την ποσότητα που πρέπει να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί. Στην συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να βρούμε μια εξίσωση που να ελαχιστοποιεί τη μάζα του συνδέσμου: m=al ο ρ (1)

26 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη ράβδο Το εμβαδό της διατομής πρέπει να είναι αρκετό ώστε να παρέχει δυσκαμψία S * =F/δ F * Αλλά: L L L και S (2) o Οπότε με βάση την αντικειμενική συνάρτηση, (1), και τον περιορισμό, (2), και απαλείφοντας την ελεύθερη μεταβλητή Α παίρνουμε: m o * S L E E o L S o o AE * L 2 o E AE L o (3)

27 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη ράβδο Τα S* and L o είναι καθορισμένα; η πιο ελαφριά ράβδος με δυσκαμψία S* είναι αυτή που θα είναι φτιαγμένη από το υλικό με τη μικρότερη τιμή του λόγου ρ/e. ή Ο δείκτης απόδοσης υλικού που πρέπει να μεγιστοποιηθεί είναι: M t και το διάγραμμα που θα χρησιμοποιήσουμε για την επιλογή του βέλτιστου υλικού είναι το Διάγραμμα Ε-ρ E

28 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη πλάκα Πρόβλημα: Μια πλάκα είναι μια επίπεδη επιφάνεια όπως του τραπεζιού. Το μήκος L και το πλάτος b της πλάκας είναι καθορισμένα, αλλά το πάχος h είναι ελεύθερο. Φορτίζεται σε κάμψη με ένα κεντρικό φορτίο F. Ο περιορισμός της δυσκαμψίας απαιτεί να μην παρουσιάζει βέλος κάμψης μεγαλύτερο από δ υπό φορτίο F, ενώ ο αντικειμενικός στόχος είναι να κάνουμε την πλάκα όσο πιο ελαφριά γίνεται.

29 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη πλάκα Σχεδιαστικές απαιτήσεις: Λειτουργία Περιορισμοί Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Πλάκα Καθορισμένο μήκος, L Καθορισμένο πλάτος, b Καθορισμένη δυσκαμψία, S * Ελαχιστοποίηση της μάζας Εμβαδό πάχους πλάκας, h Επιλογή υλικού Η αντικειμενική συνάρτηση για τη μάζα της πλάκας είναι: m=alρ=bhlρ (1)

30 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη πλάκα Η καμπτική δυσκαμψία S δίνεται από την εξίσωση: * S Η επιφανειακή ροπή αδράνειας, I, για μια ορθογωνική διατομή είναι: I C1EI 3 L Η δυσκαμψία S *, το μήκος L, και το πλάτος b έχουν καθορισμένες τιμές. Το πάχος h είναι ελεύθερο. Μπορούμε να μειώσουμε τη μάζα μειώνοντας το πάχος, αλλά μόνο στο βαθμό που εξακολουθεί να ικανοποιείται ο περιορισμός της δυσκαμψίας. 3 bh 12 (2) (3)

31 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη πλάκα Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2) και (3) για την απαλοιφή του h από την αντικειμενική συνάρτηση για τη μάζα παίρνουμε: m 12S C1b * 1/3 2 bl 1/ 3 E Επομένως, τα καλύτερα υλικά είναι αυτά με τις μικρότερες τιμές ρ/ε 1/3 ή αυτά με τις μεγαλύτερες τιμές του δείκτη: M p 1/3 E και το διάγραμμα που θα χρησιμοποιήσουμε για την επιλογή του βέλτιστου υλικού είναι πάλι το Διάγραμμα Ε-ρ.

32 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη δοκό Πρόβλημα: Θεωρήστε μια δοκό με τετραγωνική διατομή A=bxb η οποία μπορεί να μεταβάλλεται ως προς το μέγεθος αλλά να διατηρεί το τετράγωνο σχήμα της. Φορτίζεται σε κάμψη σε άνοιγμα σταθερού μήκους L με κεντρικό φορτίο F. Ο περιορισμός της δυσκαμψίας είναι να μην παρουσιάζει βέλος κάμψης μεγαλύτερο από δ υπό φορτίο F, ενώ ο αντικειμενικός στόχος είναι η δοκός να είναι όσο πιο ελαφριά γίνεται.

33 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και αλύγιστη δοκό Σχεδιαστικές απαιτήσεις: Λειτουργία Περιορισμοί Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Δοκός Καθορισμένο μήκος, L Καθορισμένη δυσκαμψία S * Τετράγωνο σχήμα διατομής Ελαχιστοποίηση της μάζας Εμβαδό, Α Επιλογή υλικού Η αντικειμενική συνάρτηση για τη μάζα της δοκού είναι: m=alρ=b 2 Lρ (1)

34 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και αλύγιστη δοκό Η καμπτική δυσκαμψία της δοκού είναι: C1EI S 3 L (2) Η ροπή αδράνειας για μια δοκό τετραγωνικής διατομής είναι: 4 2 b A I (3) Με δεδομένο μήκος L, η δυσκαμψία S * επιτυγχάνεται με την προσαρμογή του μεγέθους της τετραγωνικής διατομής

35 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και αλύγιστη δοκό Αν απαλείψουμε το b (ή το Α) από την αντικειμενική συνάρτηση για τη μάζα έχουμε: m 1/ 2 * 3 L L 1/ 2 1 E 12S C F G M ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Τα καλύτερα υλικά είναι αυτά με τις μικρότερες τιμές (ρ/ε 1/2 ). Επομένως, ψάχνουμε υλικά που να μεγιστοποιούν το δείκτη: M b 1/ 2 E (ΣΤΟΧΟΣ: ελαχιστοποίηση μάζας)

36 Πως υπολογίζονται οι δείκτες για το Κόστος και την Ενέργεια Όταν ο αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους, τότε οι δείκτες αλλάζουν. Αν η τιμή του υλικού είναι C m /kg, το κόστος του υλικού για την κατασκευή ενός εξαρτήματος με μάζα m είναι mc m. Επομένως η αντικειμενική συνάρτηση για το κόστος C του υλικού γίνεται: C = mc m = ALC m ρ Επιλύοντας τα προηγούμενα παραδείγματα, καταλήγουμε σε δείκτες υλικών όπου η πυκνότητα ρ έχει αντικατασταθεί από το C m ρ π.χ. Μ = ρ/ε Μ = C m ρ/e

37 Πως υπολογίζονται οι δείκτες για το Κόστος και την Ενέργεια Κατά αντιστοιχία με το κόστος, όταν ο αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της ενέργειας, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και πάλι τους δείκτες για την ελαχιστοποίηση του βάρους αντικαθιστώντας την πυκνότητα ρ με το qρ, όπου q είναι το ενεργειακό περιεχόμενο ανά kg. π.χ. Μ = ρ/ε Μ = qρ/ε

38 Διαγράμματα Επιλογής Υλικών Σχεδιασμός Δεικτών Η επιλογή του καλύτερου υλικού γίνεται πιο απλή με τη χρήση των Διαγραμμάτων Επιλογής Υλικών Τα διαγράμματα επιλογής υλικών είναι διαγράμματα των ιδιοτήτων που σχηματίζονται από τους παράγοντες που μεγιστοποιούνται. Ο δείκτης απόδοσης αποτελείται από 2 ιδιότητες, π.χ. Ε & ρ. Οι άξονες (log-log) στο διάγραμμα επιλογής υλικού είναι αυτές οι δύο ιδιότητες, π.χ. το Ε και το ρ.

39

40 Οι δείκτες στα διαγράμματα Ο δείκτης απόδοσης, Μ, σχεδιάζεται σαν μια διαγώνια γραμμή πάνω στο διάγραμμα. Η κλίση του είναι πολύ σημαντική. π.χ. Για το δείκτη απόδοσης Μ=Ε/ρ. Αν λογαριθμήσουμε παίρνουμε: Log(E) = Log(ρ) + Log (Μ) Μία γραμμή με κλίση 1 στο διάγραμμα, περιγράφει το δείκτη. Η θέση της καθορίζεται από την τιμή του Μ. Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε μια σταθερά Μ.

41 Οι δείκτες στα διαγράμματα Ο δείκτης απόδοσης Μ=Ε 1/2 /ρ: Log(E) = 2Log(ρ) + 2Log (Μ) είναι μια οικογένεια παράλληλων γραμμών με κλίση 2. Ο δείκτης απόδοσης Μ=Ε 1/3 /ρ: Log(E) = 3Log(ρ) + 3Log (Μ) είναι μια οικογένεια παράλληλων γραμμών με κλίση 3. Οι γραμμές αυτές ονομάζονται Γραμμές Καθοδήγησης Σχεδιασμού Όλα τα υλικά που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία έχουν την ίδια απόδοσησυμπεριφορά.

42

43 Δείκτης απόδοσης υλικού για μια ελαφριά και δύσκαμπτη δοκό (M=E 1/2 /ρ) Οι Γραμμές Καθοδήγησης Σχεδιασμού έχουν όλες την ίδια κλίση 2 ενώ αντιστοιχούν σε ένα διαφορετικό δείκτη απόδοσης (Μ= 0.1, 0.3, 1 και 3 (GPa) 1/2 (Mg/m 3 ). Όλα τα υλικά που βρίσκονται πάνω στην ίδια γραμμής θα αποδώσουν εξίσου καλά όσον αφορά το βάρος και την δυσκαμψία. Τα υλικά που βρίσκονται πάνω από μία συγκεκριμένη γραμμή θα έχουν υψηλότερους δείκτες απόδοσης ενώ εκείνα που βρίσκονται κάτω από την ίδια γραμμή θα επιδείξουν ασθενέστερες αποδόσεις. Για παράδειγμα, ένα υλικό με Μ=1 θα έχει το 1/10 του βάρους ενός άλλου που βρίσκεται πάνω στη γραμμή Μ=0.1.

44 Οι περιορισμοί στα διαγράμματα επιλογής υλικών Η επιλογή των υλικών επηρεάζεται από τους περιορισμούς. Οι περιορισμοί εμφανίζονται στα διαγράμματα σαν οριζόντιες ή κάθετες γραμμές. Οι πρώτοι περιορισμοί απαλείφουν ομάδες υλικών, αφήνοντας μόνο μια βιώσιμη περιοχή αναζήτησης. Στο επόμενο βήμα της επιλογής των υλικών περιοριζόμαστε μόνο στα υλικά που έχουν μείνει μέσα στην περιοχή αναζήτησης.

45

46 Παράδειγμα Χρησιμοποιήστε το διάγραμμα Ε-ρ για να βρείτε τα υλικά με μέτρο ελαστικότητας Ε>90 GPa και πυκνότητα ρ<2 Mg/m 3

47 Μελέτες Περίπτωσης

48 Ελαφροί Μοχλοί για Τιρμπουσόν Πρόβλημα: Ο μοχλός του τιρμπουσόν της εικόνας φορτίζεται σε κάμψη. Η δύναμη F δημιουργεί ροπή κάμψης Μ= FL. Ο μοχλός πρέπει να είναι αρκετά δύσκαμπτος ώστε η μετατόπιση λόγω κάμψης, δ, όταν βγάζουμε το φελλό να είναι αποδεκτά μικρή. Επιπλέον, το τιρμπουσόν πρέπει να είναι ελαφρύ. Η διατομή του είναι ορθογωνική. Θεωρούμε ότι μπορούμε να αλλάξουμε το μέγεθος της διατομής αλλά όχι το σχήμα της.

49 Ελαφροί Μοχλοί για Τιρμπουσόν Απαιτήσεις σχεδιασμού: Λειτουργία Περιορισμοί Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Ελαφρύς μοχλός, δηλ. ελαφριά και δύσκαμπτη δοκός Καθορισμένο μήκος, L Καθορισμένη δυσκαμψία S * Ορθογωνικό σχήμα διατομής Ελαχιστοποίηση της μάζας Εμβαδό, Α Επιλογή υλικού Ο μοχλός φορτίζεται σε κάμψη και συμπεριφέρεται σαν μια ελαφριά και δύσκαμπτη δοκός. Επομένως, ο δείκτης υλικού που θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί είναι: Μ=Ε 1/2 /ρ

50 Ελαφροί Μοχλοί για Τιρμπουσόν Σχεδιάζεται η γραμμή επιλογής με βάση το δείκτη του υλικού Με βάση τη γραμμή επιλογής, τα πιο κατάλληλα υλικά είναι τα κεραμικά, τα σύνθετα και τα ξύλα Περαιτέρω απαιτήσεις, όπως π.χ. το κόστος, θα περιορίσουν ακόμα περισσότερο την επιλογή

51 Δομικά Υλικά για Κτήρια Πρόβλημα: Ένα από τα μεγαλύτερα κόστη στην κατασκευή ενός σπιτιού, είναι τα υλικά κατασκευής. Επομένως θέλουμε να είναι σχετικά φθηνά γιατί χρησιμοποιούνται σε μεγάλες ποσότητες. Επιπλέον, θα πρέπει να είναι δύσκαμπτα για να μην κάμπτονται από τα φορτία και να είναι υψηλής αντοχής για να μην υπάρχει κίνδυνος κατάρρευσης. Έστω ότι θέλουμε να επιλέξουμε υλικό για τις δοκούς του πατώματος με κριτήριο τη δυσκαμψία.

52 Δομικά Υλικά για Κτήρια Απαιτήσεις σχεδιασμού: Λειτουργία Περιορισμοί Στόχοι Ελεύθερες μεταβλητές Δοκός πατώματος Καθορισμένο μήκος, L Καθορισμένη δυσκαμψία S * Ορθογωνικό σχήμα διατομής Ελαχιστοποίηση κόστους υλικού Εμβαδό, Α Επιλογή υλικού Ο δείκτης για δύσκαμπτη δοκό με ελάχιστο κόστος είναι: Μ=Ε 1/2 /(ρc m )

53 Δομικά Υλικά για Κτήρια Το σκυρόδεμα, η πέτρα και τα τούβλα δεν έχουν αντοχή σε εφελκυσμό Η γραμμή σχεδιασμού απομονώνει το σκυρόδεμα, την πέτρα, τα τούβλα, τα ξύλα, το χυτοσίδηρο και τον ανθρακούχο χάλυβα Το ξύλο, ο χάλυβας και το οπλισμένο σκυρόδεμα έχουν αντοχή και σε εφελκυσμό και σε θλίψη Ο χάλυβας μπορεί επιπλέον να διαμορφωθεί πιο εύκολα, επιτρέποντας μεγαλύτερη ελευθερία στη μορφή του κτηρίου

54 Πολλαπλοί περιορισμοί Τα περισσότερα προβλήματα επιλογής υλικών είναι υπερ-προσδιορισμένα, έχοντας περισσότερους περιορισμούς από ελεύθερες μεταβλητές. π.χ. ένα εξάρτημα μπορεί να απαιτεί ελάχιστο βάρος, αλλά με περιορισμούς στη δυσκαμψία, την αντοχή και τη σκληρότητα που πρέπει επίσης να ικανοποιούνται. Αυτό απαιτεί τη χρήση πολλών δεικτών απόδοσης και πολλών διαγραμμάτων υλικών για την εύρεση του βέλτιστου υλικού.

55 Για να λύσουμε τέτοια προβλήματα ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1. Αναγνωρίζουμε τον πιο σημαντικό περιορισμό (π.χ. ελάχιστο βάρος χωρίς πλαστική παραμόρφωση) και αναγνωρίζουμε τον κατάλληλο δείκτη απόδοσης. Αγνοούμε τους υπόλοιπους περιορισμούς. 2. Αναγνωρίζουμε τις ομάδες των υλικών που μεγιστοποιούν το δείκτη απόδοσης. 3. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για τους υπόλοιπους περιορισμούς με τη βοήθεια ενός δεύτερου ή και ενός τρίτου δείκτη απόδοσης.

56 4. Τέλος αναγνωρίζουμε το σύνολο των υλικών που ικανοποιούν όλους τους δείκτες απόδοσης. Ο 2 ος δείκτης θα μπορούσε να σχεδιαστεί στο ίδιο διάγραμμα με τον 1 ο. Ο τομέας που απομένει από την τομή των 2 γραμμών περιέχει το σύνολο των υλικών που ικανοποιούν και τα 2 κριτήρια: Ε 1/2 /ρ>3 GPa 1/2 /Mg/m 3 και E>50 GPa Πολλές φορές οι επιπλέον περιορισμοί περιέχουν κάποια ιδιότητα που δεν εμφανίζεται στο 1 ο διάγραμμα. Σ αυτή την περίπτωση, τα μέλη του πρώτου υποσυνόλου των υλικών καταγράφονται σε πίνακα, κατατάσσοντάς τα χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα τιμών απόδοσης

57 Ο δεύτερος δείκτης χρησιμοποιείται, με το κατάλληλο διάγραμμα, για να αναγνωριστεί το 2 ο υποσύνολο υλικών. Τα κοινά μέλη των δύο υποσυνόλων αναγνωρίζονται και κατατάσσονται σύμφωνα με την ικανότητά τους να μεγιστοποιήσουν τους 2 δείκτες απόδοσης. Θεωρείστε ένα πρόβλημα με ένα σχεδιαστικό στόχο, μία ελεύθερη μεταβλητή και δύο περιορισμούς. Το αποτέλεσμα είναι δύο εξισώσεις για την απόδοση: P = f 1 (F) x f 2 (G) x f 3 (M) P = g 1 (F) x g 2 (G) x g 3 (M) Η απόδοση μεγιστοποιείται επιλέγοντας: 1. Το υλικό με το μεγαλύτερο f 3 (M) 2. Το υλικό με το μεγαλύτερο g 3 (M)

58 Οι δύο εξισώσεις θα πρέπει να έχουν τις ίδιες τιμές. Οπότε για τους δύο δείκτες απόδοσης έχουμε: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( G f F f G g F g M g M f

59 Example: Performance Index for a light, stiff and strong tie The tie (loaded in tension) is to support a load F, at minimum weight, without failing or extending by more than δ Objective function: reduce weight m = A L ρ (1) Specified dimensions: F and L Constraints: failure and stiffness Free variable: cross-sectional area, A.

60 Example: Performance Index for a light, stiff and strong tie We need to derive 2 performance indices M1 for the stiffness constraint has already been derived as: M 1 M2 for the failure constraint has also been derived as: M 2 Since the weight is the same: E L This is called the coupling equation y E y

61

62 Πολλαπλοί Σχεδιαστικοί Στόχοι Για παράδειγμα, ένας σχεδιαστικός στόχος είναι η μείωση του βάρους, ενώ ένας άλλος είναι η μείωση του κόστους (πως συγκρίνεται το βάρος με το κόστος ενώ έχουν διαφορετικές μονάδες?) Ο σχεδιαστής θα πρέπει να εκτιμήσει τη σχετική βαρύτητα όλων των σχεδιαστικών στόχων χρησιμοποιώντας τους συντελεστές στάθμισης ( weighting factors ) για κάθε σχεδιαστικό στόχο Αρχικά, οι σχεδιαστικοί στόχοι κατατάσσονται σε σειρά με βάση το πόσο σημαντικοί είναι: για τον πιο σημαντικό στόχο δίνεται ένας παράγοντας 10 ενώ για τον λιγότερο σημαντικό ένας παράγοντας 1

63 Καθορίζεται ο δείκτης απόδοσης για κάθε σχεδιαστικό στόχο (ξεκινώντας από τον πιο σημαντικό) Τελικά, υπολογίζεται ο συνολικός δείκτης απόδοσης από το συνδυασμό των δεικτών απόδοσης Μ που προέρχονται από κάθε σχεδιαστικό στόχο Αν a1> a2> a3, είναι οι συντελεστές στάθμισης. M=a 1 M 1 +a 2 M 2 +a 3 M 3 + Εναλλακτικά θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα διάγραμμα trade-off μεταξύ των στόχων.

64 Example: Stiff electronic casing (notebook) with minimum thickness and weight

65

66

67

68 Ανακεφαλαιώνοντας το στάδιο της μετάφρασης

69 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΥΛΙΚΩΝ

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82