Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Transcript

1 Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών Ορθογωνικά Πλαίσια & Πλαίσια Κεκλιμένης Στέγης

2 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεώρημα Ανω Ορίου (Upper Bound Theorem or Unsafe Theorem): Φορτίο που υπολογίζεται με βάση ένα (τυχαίο) μηχανισμό που υποθέτουμε, είναι πάντοτε μεγαλύτερο ή (στην καλύτερη περίπτωση) ίσο με το πραγματικό φορτίο κατάρρευσης. : Φορτίο Δοκιμής : Φορτίο Κατάρρευσης Παράδειγμα εφαρμογής του Θεωρήματος Ανω Ορίου

3 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Το Θεώρημα Ανω Ορίου (Upper Bound Theorem or Unsafe Theorem) συνδέεται με την Κινηματική Μέθοδο / Μέθοδο Μηχανισμών Πλαστικής Ανάλυσης (Mechanism Method of Plastic Analysis). Κινηματική Μέθοδο / Μέθοδο Μηχανισμών (Mechanism Method ) Στόχος της μεθόδου είναι ο προσδιορισμός μηχανισμού (ανεξαρτήτου ή συνθέτου, βλέπε κατωτέρω) ο οποίος δεν παραβιάζει την συνθήκη. (1) Προσδιορίζονται οι δυνατές θέσεις πλαστικών αρθρώσεων (σημεία εφαρμογής συγκεντρωμένων φορτίων, κόμβοι, σημεία μηδενικής τέμνουσας σε δοκούς με συνεχές κατανεμημένο φορτίο). (2) Επιλέγονται οι δυνατοί ανεξάρτητοι και σύνθετοι μηχανισμοί. (3) Επιλύεται η εξίσωση ισορροπίας (Μέθοδος Δυνατών Εργων) που αντιστοιχεί στον μηχανισμό που δίδει το μικρότερο φορτίο κατάρρευσης. (4) Ελέγχεται να διαπιστωθεί ότι για το φορτίο κατάρρευσης δεν παραβιάζεται η συνθήκη.

4 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεώρημα Κάτω Ορίου (Lower Bound Theorem or Safe Theorem): Φορτίο που υπολογίζεται με βάση ένα διάγραμμα ισορροπίας ροπών που υποθέτουμε και στο οποίο οι ροπές δεν είναι μεγαλύτερες από, είναι πάντοτε μικρότερο ή (στην καλύτερη περίπτωση) ίσο με το πραγματικό φορτίο κατάρρευσης. : Φορτίο Δοκιμής : Φορτίο Κατάρρευσης Παράδειγμα εφαρμογής του Θεωρήματος Κάτω Ορίου

5 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Το Θεώρημα Κάτω Ορίου (Lower Bound Theorem or Safe Theorem) συνδέεται με την Στατική Μέθοδο Πλαστικής Ανάλυσης. Στατική Μέθοδος (Statical Method) Στόχος της μεθόδου είναι να εξευρεθεί ένα διάγραμμα ισορροπίας ροπών κάμψης για το οποίο ισχύει και το διάγραμμα να είναι τέτοιο ώστε να δημιουργείται μηχανισμός κατάρρευσης. (1) Επιλέγονται οι υπεράριθμοι (2) Σχεδιάζεται το διάγραμμα ροπών κάμψης του ισοστατικού φορέα (που προκύπτει) για τα δοθέντα εξωτερικά φορτία. (3) Σχεδιάζεται το διάγραμμα ροπών κάμψης του ισοστατικού φορέα (που προκύπτει) για τις υπεραρίθμους δράσεις. (4) Σχεδιάζεται το σύνθετο διάγραμμα ροπών (με υπέρθεση των δύο ανωτέρω διαγραμμάτων) με τρόπο ώστε να σχηματίζεται μηχανισμός (σχεδιάζεται ο μηχανισμός). (5) Υπολογίζεται το φορτίο κατάρρευσης κάνοντας χρήση των εξισώσεων ισορροπίας. (6) Ελέγχεται οτι δεν παραβιάζεται η συνθήκη.

6 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Κατανεμημένο φορτίο Προσδιορισμός θέσης πλαστικής αρθρώσεως Εξίσωση Δυνατών Εργων: Επιλέγουμε το που ελαχιστοποιεί το (Θεώρημα Ανω Ορίου Unsafe Theorem):..

7 Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Η επίδραση (επι του διαγράμματος ροπων κάμψης) της αντικατάστασης συνεχούς φορτίου απο στατικώς ισοδύναμα συγκεντρωμένα φορτία.

8 Θεωρία Μηχανισμών Τρόπος προσδιορισμού των ανεξαρτήτων μηχανισμών: Ισχύει η ακόλουθη σχέση: αριθμός ανεξαρτήτων μηχανισμών αριθμός δυνατών πλαστικών αρθρώσεων αριθμός υπεραρίθμων

9 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης. Υποθέτουμε οτι ο φορέας (ή τα στοιχεία του) δεν έχουν πρόβλημα ευστάθειας. Η μόνη διαφορά απο την διαδικασία ανάλυσης δοκών συνίσταται στην μεταβολή της πλαστικής ροπής των διατομών των στύλων που βρίσκονται υπο αξονική δύναμη. Ο φορέας / πλαίσιο υπο εξέταση εχει μια υπεράριθμη δράση (βλέπε δύναμη ). Υποθέτουμε ότι ο φορέας έχει σταθερή διατομή καθ όλη την έκταση του.

10 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Απο το διάγραμμα ροπων κάμψης γίνεται φανερό οτι υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις που πρέπει να εξετασθούν, ανάλογα με τις σχετικές (προς αλλήλους) τιμές των ροπών στα σημεία &. Υποθέτουμε ότι οι αξονικές δυνάμεις δεν επηρεάζουν αισθητά την πλαστική ροπή της σταθερής διατομής του φορέα (αυτό ισχύει συνήθως για τα μονόροφα πλαίσια). Από το παράπλευρο σχήμα είναι προφανές ότι οι εξισώσεις κατάρρευσης είναι:

11 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Οι μηχανισμοί κατάρρευσης που αντιστοιχούν στα διαγράμματα ροπών κάμψης που σχεδιάσαμε προηγουμένως απεικονίζονται παραπλεύρως. Οι εξισώσεις κατάρρευσης που διατυπώσαμε προηγουμένως θα μπορούσαν να είχαν παραχθεί και απο τους μηχανισμούς κατάρρευσης με την βοήθεια της Αρχής των Δυνατών Εργων: Μηχανισμός (Σύνθετος Μηχανισμός): Μηχανισμός (Μηχανισμός Πλευρικής Μετακίνησης):

12 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Εστω οτι ο πραγματικός μηχανισμός κατάρρευσης είναι ο. Μερικές απο τις δράσεις στα άκρα του κάθε στοιχείου του φορέα εικονίζονται παραπλεύρως. Απο την ισορροπία ολόκληρου του φορέα κατα την οριζοντία διεύθυνση: Επίσης, απο την ισορροπία του : Επομένως:

13 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Για το μηχανισμό που υποθέσαμε ως τον πραγματικό μηχανισμό, ικανοποιήσαμε την συνθήκη ισορροπίας. Για να είναι ο πραγματικός μηχανισμός, θα πρέπει να ικανοποιείται και η συνθήκη Επομένως: Κάνοντας χρήση της εξίσωσης κατάρρευσης του μηχανισμού, λαμβάνουμε: Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής

14 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Εαν τότε ο μηχανισμός κατάρρευσης είναι ο, δηλαδή της πλευρικής μετακίνησης που εικονίζεται κατωτέρω. Αυτό καθίσταται φανερό από την εξέταση των διαγραμμάτων ροπών κάμψης που εικονίζονται παραπλεύρως.

15 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Οι δύο εξισώσεις κατάρρευσης είναι δυνατόν να σχεδιαστούν σε ένα διάγραμμα με άξονες τις δυο (κανονικοποιημένες) δυναμεις &. Η καμπύλη/σύνορο που προκύπτει επέχει θέση επιφανείας διαρροής και είναι κυρτή.

16 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Πλαίσιο μη σταθερής διατομής Στο παράπλευρο διάγραμμα ροπών κάμψης υποθέσαμε ότι το πλάγιο φορτίο είναι σχετικά μικρό, και οτι ισχύει. Απο την γεωμετρία του διαγράμματος ροπών κάμψης είναι προφανές ότι: Η ελαχίστη δυνατή τιμή της είναι: Μια σειρά συνθέσεων είναι δυνατόν να προκύψει που να είναι συμβατές με τις ανωτέρω εξισώσεις.

17 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Αριθμητικό Παράδειγμα Σύνθεσης Εξίσωση κατάρρευσης Ελαχιστη τιμή της : Εξίσωση κατάρρευσης : Εξίσωση κατάρρευσης :

18 Ανάλυση του ορθωγωνικού πλαισίου με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης (συνέχεια) Αριθμητικό Παράδειγμα Σύνθεσης (συνέχεια) Το επίπεδο & ονομάζεται επίπεδο συνθέσεως (design plane). Με την βοήθεια του παραπλεύρου διαγράμματος ο μελετητής μπορεί να επιλέξει την οικονομικώτερη κατασκευή.

19 ΑΣΚΗΣΗ: Να αναλυθεί το εικονιζόμενο πλαίσιο (με πακτώσεις στα σημεία στήριξης) για τα εκονιζόμενα φορτία. Η ανάλυση να ακολουθήσει τα βήματα/στάδια της ανάλυσης που έγινε για το αντίστοιχο ορθογωνικό πλαίσιο με αρθρώσεις στα σημεία στήριξης.

20 Ανάλυση πλαισίου κεκλιμένης στέγης Η ανάλυση του πλαισίου κεκλιμένης στέγης ακολουθεί τα ίδια στάδια με αυτήν του ορθογωνικού πλαισίου. Μόνον η γεωμετρία του φορέα είναι πιο περίπλοκη. Υποθέτουμε οτι η διατομή του φορέα είναι η ίδια για όλα τα στοιχεία του, και η πλαστική ροπή ίση με. Οι τρείς βασικοί μηχανισμοί κατάρρευσης (αντίστοιχοι αυτών του ορθογωνικού πλαισίου) απεικονίζονται παραπλεύρως. Ο μηχανισμός παρουσιάζει το μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον διότι αποτελεί τον πλέον συνήθη μηχανισμό κατάρρευσης για πραγματικά φορτία. Μηχανισμός : Απο τον μηχανισμό (μηχανισμός πλευρικής μετακίνησης) έχουμε:

21 Ανάλυση πλαισίου κεκλιμένης στέγης (συνέχεια) Μηχανισμός : Εξίσωση Δυνατών Εργων: Για να είναι ο μηχανισμός ο πραγματικός μηχανισμός κατάρρευσης, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη πλαστικής ροπής, : Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής Επομένως πρέπει να ισχύει η συνθήκη:

22 Ανάλυση πλαισίου κεκλιμένης στέγης (συνέχεια) Μηχανισμός : Παρατηρούμε ότι η θέση του στιγμιαίου κέντρου περιστροφής έχει αλλάξει. Με την βοήθεια της εξίσωσης δυνατών έργων μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση κατάρρευσης: ΑΣΚΗΣΗ: Να περιγραφούν οι δυνατές μετακινήσεις που συνδέονται με τον ανωτέρω μηχανισμό και να αποδειχθεί η ανωτέρω εξίσωση κατάρρευσης.

23 Ανάλυση πλαισίου κεκλιμένης στέγης (συνέχεια) Το διάγραμμα ροπών κάμψης είναι δυνατόν να σχεδιαστεί με την βοήθεια των αντιστοίχων διαγραμμάτων του ισοστατικού φορέα και των υπεραρίθμων. Επανάληψη της ανάλυσης του μηχανισμού κάνοντας χρήση της Στατικής Μεθόδου: : : : : Απαλείφοντας τις υπεραρίθμους,,, λαμβάνουμε την εξίσωση κατάρρευσης: