Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ A ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΜΑΡΤΗΣ 019 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 6/03/019 Ώρα εξέτασης: 15:45-17:45 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, για το 1 και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας και για το 3,4,5,6 γράφοντας μόνο την απάντηση. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Να απαντήσετε τα θέματα 1 και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες. ΘΕΜΑ 1: α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ β) Να λύσετε την εξίσωση: α) β) τότε τότε τότε 16 τότε x 4

2 ΘΕΜΑ : Στο πιο κάτω σχήμα Δ, Ε, Ζ είναι σημεία των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ τέτοια ώστε ΒΔ ΓΕ ΑΖ ΔΓ ΕΑ ΖΒ αντίστοιχα. 1. Τα σημεία Η, Θ και Ι είναι τα μέσα των πλευρών ΔΕ, ΕΖ και ΖΔ Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με 40 cm να βρείτε: α) το λόγο του εμβαδού του τριγώνου ΔΕΖ προς το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και β) το εμβαδόν του τριγώνου ΗΘΙ. α) Από την σχέση που δίνεται προκύπτει ότι: 1 1 ΒΔ ΒΓ και ΔΓ ΒΓ, ΓΕ ΑΓ και ΕΑ ΑΓ, AZ ΑB και ZB Α B Τότε EZ EZ E E ΒΔ ΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ 1 E E E E ΔΕΓ ΕΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ 1 E E E E Ε AZ AZ Γ ΑΒΓ ΑΒΓ Τότε E 1 E E E ΖΔΕ 9 ΑΒΓ 9 ΑΒΓ 3 τότε E 1 ΖΔΕ ΑΒΓ E 3 ΑΒΓ β) Αφού τα σημεία Η, Θ και Ι είναι τα μέσα των πλευρών ΔΕ, ΕΖ και ΖΔ τότε 1 E E E E E 4 ΖΙΘ ΘΕΗ ΙΔΗ ΙΘΗ ΖΔΕ EΙΘΗ E ΖΔΕ 40 0cm 4 4 3

3 Να απαντήσετε τα θέματα 3,4,5 και 6 γράφοντας μόνο την τελική απάντηση. Το κάθε θέμα είναι 5 μονάδες. ΘΕΜΑ 3: Δίνονται τετράγωνα με πλευρές 9 cm, 7 cm, 5 cm και 3 cm, όπως φαίνονται στο πιο κάτω σχημα. Να βρείτε τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών των γραμμωτών και των γκρίζων επιφανειών. Έστω α, β, γ τα εμβαδά των τριών λευκών σχημάτων. Τότε το εμβαδόν των γραμμωτών σχημάτων ισούται με A 9 9 a β γ 106 α β γ και των γρίζων σχημάτων ισούται με B 7 7 a β γ 58 α β γ. Τοτε η διαφορά μεταξύ των εμβαδών των γραμμωτών και των γκρίζων επιφανειών είναι A B 106 α β γ 58 α β γ cm. ΘΕΜΑ 4: ( ) ( ) Απάντηση: 48cm Να βρείτε σε πόσους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι είναι μικρότεροι από το 1000, το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου ψηφίου τους είναι ίσο με 15. Μικρότεροι του 1000 είναι οι τριψήφιοι αβγ και οι διψήφιοι αγ Αφού πρέπει το α + γ 15 τότε α 9 και γ 6 ή α 8 και γ 7 Αν α 9 και γ 6 και β από 0 μέχρι 9 τότε υπάρχουν 10 0 τριψήφιοι αριθμοί και διψήφιοι. Αν α 8 και γ 7 και β από 0 μέχρι 9 τότε υπάρχουν 10 0 τριψήφιοι αριθμοί και διψήφιοι. Άρα υπάρχουν συνολικά αριθμοί. Απάντηση: 44 αριθμοί

4 ΘΕΜΑ 5: Τέσσερις αριθμοί έχουν άθροισμα 7. Ο δεύτερος αριθμός είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από το διπλάσιο του πρώτου, ο τρίτος είναι κατά δύο μονάδες μεγαλύτερος από το τριπλάσιο του δεύτερου και ο τέταρτος κατά 3 μονάδες μαγαλύτερος από το τετραπλάσιο του τρίτου αριθμου. Να βρείτε τον μεγαλύτερο από τους τέσσερις αριθμούς. Έστω α x β x + 1 γ ( x + 1) 3+ τότε γ 6x + 5 δ ( 6x + 5) τότε δ + 3 Αφού α + β + γ + δ 7 τότε x + x x x τότε 33x 693 τότε x 1 Αρα ο μεγαλύτερος είναι ο δ ΘΕΜΑ 6: Απάντηση: 57 Έξι παίκτες αγωνίζονται σε ένα τουρνουά σκακιού. Κάθε παίκτης αγωνίζεται φορές με κάθε άλλο παίκτη. Σε κάθε παιχνίδι ο νικητής κερδίζει πόντους, ο ηττημένος 0 και σε περίπτωση ισοπαλίας ο κάθε παίκτης κερδίζει 1 πόντο. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό πόντων που χρειάζεται να κερδίσει ένας παίκτης για να είναι σίγουρος ότι θα έχει κερδίσει περισσότερους πόντους από κάθε άλλο παίκτη. Ονομάζουμε τους παίκτες Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Κάθε παίκτης παίζει φορές με κάθε ένα από τους άλλους 5 παίκτες. Άρα, κάθε παίκτης παίζει 10 παιχνίδια. Κάθε παίκτης λοιπόν μπορεί να κερδίσει από 0 μέχρι 0 πόντους. Θα δείξουμε ότι ένας παίκτης χρειάζεται τουλάχιστον 19 πόντους για να είναι σίγουρος ότι θα έχει περισσότερους πόντους από κάθε άλλο παίκτη. Θα δείξουμε ότι είναι δυνατόν να έχουμε παίκτες με 18 πόντους και ότι αν κάποιος παίκτης μαζέψει 19 ή 0 πόντους τότε κάθε άλλος παίκτης θα έχει το πολύ 18 πόντους. Ας υποθέσουμε ότι οι παίκτες Α και Β κερδίζουν τα παιχνίδια τους ενάντια στους Γ, Δ, Ε και Ζ και έρχονται ισοπαλία στα μεταξύ τους παιχνίδια. Τότε οι Α και Β θα έχουν 8 νίκες, ισοπαλίες και 0 ήττες. Με αυτό τον τρόπο θα έχουν μαζέψει από πόντους ο καθένας. Οι παίκτες Γ, Δ, Ε και Ζ θα έχουν το πολύ 1 πόντους ο καθένας αφού θα έχουν τουλάχιστον από 4 ήττες.

5 Άρα, αν κάποιος παίκτης μαζέψει 18 πόντους αυτό δεν του διασφαλίζει ότι θα έχει περισσότερους πόντους από κάθε άλλο παίκτη, αφού στο σενάριο πιο πάνω οι παίκτες Α και Β είχαν και οι από 18 πόντους. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι ο Α μαζεύει 19 ή 0 πόντους. Αν μαζέψει 0 πόντους τότε αυτό σημαίνει ότι έχει κερδίσει όλα τα παιχνίδια του και άρα κάθε άλλος παίκτης έχει τουλάχιστον ήττες και το μέγιστο των βαθμών του είναι 16. Αν ο Α μαζέψει 19 πόντους, τότε θα έχει 9 νίκες, 1 ισοπαλία και 0 ήττες. Άρα έχει κερδίσει κάθε άλλο παίκτη τουλάχιστον 1 φορά (αν υπήρχε κάποιος που δεν τον είχε κερδίσει τότε θα είχε το πολύ 8 νίκες). Άρα, κάθε άλλος παίκτης έχει το πολύ 18 πόντους, αφού έχει χάσει τουλάχιστον 1 παιχνίδι. Συμπεραίνουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός πόντων που χρειάζεται να κερδίσει ένας παίκτης για να είναι σίγουρος ότι θα έχει κερδίσει περισσότερους πόντους από κάθε άλλο παίκτη είναι 19. Απάντηση: 19 βαθμοί