Να απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας Το κάθε θέμα είναι 0 μονάδες ΘΕΜΑ : α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: β) Να βρείτε n τέτοιο ώστε Το n n n! Στο 5 6 n! n! 5 7 το πρώτο που παρατηρούμε είναι τους πρώτους αριθμούς και αφού στο γινόμενο του υπάρχει το και όχι το 7 τότε n 7 Επίσης παρατηρούμε ότι υπάρχει ο όρος 5 άρα στο γινόμενο υπάρχει το 5 άρα το n 5 ή n 6 Αν ελέγξουμε το πλήθος των παραγόντων του στους, 4, 6, 8, 0,, 4, 6 θα διαπιστώσουμε ότι είναι 5 άρα ο αριθμός n 6

2 ΘΕΜΑ : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ cm και ΒΓ 0cm Πάνω στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημεία EZ, έτσι ώστε ΑE EZ ZΓ Από τα Α και Z φέρνουμε κάθετες πάνω στην ΒΓ που την τέμνουν στα Δ και Ι αντίστοιχα Να βρείτε: α) Το μήκος της AΔ β) Το εμβαδόν του τριγώνου BEZ γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΔZI α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και αφού η A είναι ύψος τότε είναι και διάμεσος τότε 5cm Από Πυθαγόρειο θεώρημα τότε 5 44 τότε cm β) Αφού η EZ είναι το EZ A τότε το εμβαδόν του τριγώνου BEZ είναι το ένα τρίτο του τριγώνου ΑΒΓ B A 0 Το E AB 60cm E BEZ EAB 60 0cm τότε E BEZ 0cm γ) Αν φέρουμε τη Z παράλληλη προς την τότε από Z θεώρημα Θαλή, τότε A 4cm A A Επίσης Z A A 8 τότε Τότε 0 Z 5 cm 0 0 E Z EA 4 cm τότε E Z 0 cm

3 Να απαντήσετε τα θέματα,4,5 και 6 γράφοντας μόνο την τελική απάντηση Το κάθε θέμα είναι 5 μονάδες ΘΕΜΑ : Να βρεθεί πόσοι αριθμοί από το εως το 08 δεν είναι τέλειες δυνάμεις Σημείωση: Ένας αριθμός n είναι τέλεια δύναμη αν μπορεί να γραφεί στη μορφή όπου mk, θετικοί ακέραιοι με k k n m Θα μετρήσουμε τίς τέλειες δυνάμεις από το μέχρι το 08 Τέλεια τετράγωνα :,,,,44 (44 96, 45 05) Κύβοι : 5 ες Δυνάμεις : 7 ες Δυνάμεις :,,,, 5 5 5,,,4 7, 7 ες Δυνάμεις : ( 08) 5 Δε μετράμε τις 4 ες, 6 ες, 8 ες, 9 ες, 0 ες δυνάμεις γιατί τις έχουμε μετρήσει στα τέλεια τετράγωνα Επίσης τις 6 ες, 0 ες τις έχουμε μετρήσει δύο φορές τις 6 ες ως τετράγωνα και ως κύβους και τις 0 ες ως τετράγωνα και ως 5 ες δυνάμεις άρα πρέπει να τις αφαιρέσουμε 6 ες Δυνάμεις :,, 0 ες Δυνάμεις : 0, 0 Επειδή ο άσσος είναι σε όλες τις τέλειες δυνάμεις θα τον μετρήσουμε ξεχωριστά Συνολικά λοιπόν οι τέλειες δυνάμεις είναι 4 56 Άρα οι αριθμοί που δεν είναι τέλειες δυνάμεις είναι ΘΕΜΑ 4: Απάντηση: 96 Ένας ορθογώνιος πίνακας 8 στηλών έχει αριθμημένα τετράγωνα που αρχίζουν από την επάνω αριστερή γωνία και μετακινούνται από τα αριστερά προς τα δεξιά, έτσι ώστε η αριθμηση να ξεκινά στη πρώτη σειρά από έως 8, στη δεύτερη σειρά από 9 έως 6 κοκ Ένας μαθητής μαυρίζει το τετράγωνο, μετά παραλείπει ένα τετράγωνο και μαυρίζει το τετράγωνο, παραλείπει δύο τετράγωνα και μαυρίζει το τετράγωνο 6, παραλείπει τετράγωνα και μαυρίζει το τετράγωνο 0 και συνεχίζει κατ 'αυτόν τον τρόπο μέχρι να μαυρίσει τουλάχιστον ένα τετράγωνο σε κάθε στήλη Να βρείτε τον αριθμό του μαυρισμένου τετραγώνου στο οποίο για πρώτη φορά θα υπάρχει τουλάχιστον ένα μαυρισμένο τετράγωνο σε κάθε στήλη

4 Παρατηρούμε ότι μαυρίζουμε τα κουτιά με αριθμό,,6,0,5,,8,6,45,55,66,78,9,05,0,6, Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η στήλη στην οποία βρίσκεται το κάθε μαυρισμένο κουτί Αυτό μας το δηλώνει όμως το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 8 (8 στήλες) Αν τα υπόλοιπα είναι των διαιρέσεων είναι,,6,,7,5,4,,,7,,6,,,0,0, παρατηρούμε ότι εμφανίζονται όλα τουλάχιστον από μια φορά όταν εμφανιστεί το πρώτο μηδέν και αυτό συμβαίνει στο 0, άρα η απάντηση είναι το κουτί με αριθμό 0 Απάντηση: 0 ΘΕΜΑ 5: Στο πιο κάτω σχήμα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ είναι παράλληλα και τα σημεία Β, Δ, Ζ είναι συνευθειακά Δίνεται ότι ΑΒ 6cm και ΕΖ cm Να βρείτε σε cm το μήκος του ΓΔ Έστω Z ' το μέσο της A και ' το μέσο της ' ' Τότε τα Τότε // ' ' και cm τρίγωνα και ' ' είναι ίσα αφού έχουν τις πλευρές ' cm και τις γωνίες E Z'E' και EZ E'Z ', ίσες από την παραλληλία των πλευρών ZE // // ' ' Άρα Z ' Z' A οπότε ZA Από θεώρημα Θαλή, αφού // τότε AB τότε cm Απάντηση: cm

5 ΘΕΜΑ 6: Σε ένα μαγικό τρίγωνο, κάθε ένας από τους έξι ακέραιους αριθμούς 0 5 τοποθετείται σε έναν από τους κύκλους έτσι ώστε το άθροισμα, των τριών αριθμών σε κάθε πλευρά του τριγώνου να είναι το ίδιο α) Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του β) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς ώστε να επιτύχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του ; Έστω a,,,,, οι αριθμοί από 0 έως 5 Τότε a S S S Αν προσθέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη τότε a S όμως a ( ) S τότε a 75 S Επειδή το δεύτερο μέρος διαιρείται με το θα πρέπει να διαιρείται και το πρώτο μέρος και αφού το 75 είναι πολλαπλάσιο του τρία τότε και το a πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του Η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του a θα είναι Άρα 4 75 S 9 α) Οι αριθμοί, 4, 5 θα μπουν στις κορυφές και ενδιάμεσα θα γραφτούν οι με μοναδικό τρόπο οι άλλοι αριθμοί Άρα στην πρώτη κορυφή μπορούμε να γράψουμε με τρόπους τον αριθμό, στη δεύτερη με και στην τρίτη με, έτσι συνολικά υπάρχουν 6 τρόπους Απάντηση: 9, 6