Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Transcript

1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου

2

3 Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους. 8. Δίνονται οι παραστάσεις : : 7 6 α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β. β) Να λύσετε την εξίσωση x: και 6 80, :.. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 9 : : : 6 6 : β) Να υπολογίσετε το...,,. γ) Να βρείτε το, και το. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: : 6 : α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γ β) Να υπολογίσετε το γινόμενο. γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο και υπόλοιπο. δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο.. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: 7 : : α) Να δείξετε ότι και β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός Α Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος Β 6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = και το υπόλοιπο είναι υ =. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο και με δ τον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής. α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ. β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π). 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι. α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του.

4 β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο αριθμό. 8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 00 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80 ευρώ και τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το των χρημάτων, ο μεσαίος το των χρημάτων και ο μικρότερος το α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός; β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους; των χρημάτων. 9. Αν τα των μαθητών ενός σχολείου είναι 00 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο. 0. Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση % και πληρώσαμε 70. α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις; β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά % η νέα τιμή πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις;. Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής: Η κάθε κόρη πήρε το 8 και ο κάθε γιος το της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου 7 στους 6 άλλους συγγενείς. α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς. β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε.70, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη.. Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο, για να προκύψει ο αντίστροφος του ;. Για ένα τραπέζι και καρέκλες πληρώσαμε 80. Το τραπέζι κοστίζει όσο καρέκλες. Πόσο θα πληρώσουμε αν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες;. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 0%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το εμβαδόν του;. Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 0%; 6. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 6cm. α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας διάστασης του πρώτου ορθογωνίου. β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί. 7. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 διχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 0. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες. ˆ, ˆ γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ. και η ΓΔ είναι 8. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες, είναι παράλληλες και η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Έστω ότι ˆ ˆ 0 και ˆ 60. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες. ˆ, ˆ β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ.

5 9. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ και οι ευθείες, είναι παράλληλες. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ και ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να δείξετε ότι ˆ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες, είναι παράλληλες, οι ευθείες, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 0. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ και να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ, ˆ. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;. Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.. Μια γωνία είναι 0 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.. Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 0. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

6 Επαναληπτικές ασκήσεις Α Γυμνασίου. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους. α) 7 : β) Ο αριθμός 8 είναι σύνθετος γιατί εκτός από το και το 8, τον διαιρούν και οι αριθμοί,, 6, 9. γ) δ) Ο αριθμός Β για να είναι πρώτος με τον Α δεν πρέπει να διαιρείται με κανέναν από τους διαιρέτες του Α και τα πολλαπλάσιά τους. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το ( υπάρχουν πολλές επιλογές π.χ. 7,,, 7...), άρα Β=. 8. Δίνονται οι παραστάσεις : : 7 6 και α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β. β) Να λύσετε την εξίσωση x: 6 8 0, :. 8 α) : : , : 0, β) x: x x x 8 0,. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 9 : : : 6 6 : β) Να υπολογίσετε το.,..,,. γ) Να βρείτε το και το 6

7 α) : : : 6 6 : : : 8 : : : 7 7 : 7 07 β) γ)..,..,6 6 Οι διαιρέτες του είναι:,,, 6 Οι διαιρέτες του είναι:,, και οι διαιρέτες του Δ είναι:,,,, 6,, άρα..,,..,,6 6. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: : 6 : α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γ β) Να υπολογίσετε το γινόμενο. γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο και υπόλοιπο. δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο. α) 8 : 6 : : :

8 β) γ) Από τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι 7 9 δ) Τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης Ε:7 είναι 0 ή ή ή ή ή ή 6. Αν υ=0, τότε και π=0 που είναι αδύνατο. Αν υ=, τότε και π=, οπότε 7 8 Αν υ=, τότε π=, οπότε 7 6 Αν υ=, τότε π = και 7 Αν υ = τότε π = και 7 Αν υ = τότε π = και 7 0 Αν υ = 6 τότε π = 6 και Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: 7 : : α) Να δείξετε ότι και β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα α) 7 : : 7 8 : 7 : : 8 : : Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος Α Β 6 : 6 β) Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος Α - Β - 6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = και το υπόλοιπο είναι υ =. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο και με δ τον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής. α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ. β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π). 8

9 α) Γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, οπότε επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το η μικρότερη τιμή του διαιρέτη είναι το. β) γ) Είναι 6..,.. 6, 6 =0..,.., Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι. α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του. β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο αριθμό. Έστω αβ ο διψήφιος αριθμός. Τότε το β είναι το ψηφίο των μονάδων και το α των δεκάδων. Επειδή το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με, έχουμε ότι: α) Αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του προκύπτει ο αριθμός βα. Είναι 0 0 και 0 0 Είναι 0 0 είναι Επειδή, άρα β) Αν ο α είναι κατά μεγαλύτερο του β, δηλαδή, τότε: ή άρα και, οπότε ο αριθμός είναι ο. Αν ο β είναι κατά μεγαλύτερο του α, δηλαδή, τότε: ή άρα και, οπότε ο αριθμός είναι ο. 8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 00 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80 ευρώ και τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το των χρημάτων, ο μεσαίος το των χρημάτων και ο μικρότερος το των χρημάτων. α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός; β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους; α) Τα χρήματα που θα μοιράσουν τα αδέλφια είναι = Ο μεγάλος αδελφός πήρε 0 60, ο μεσαίος πήρε ο μικρός αδελφός πήρε και 9

10 β) Ο μεγάλος αδελφός πήρε 60 από τα 00, δηλαδή το % των χρημάτων Ο μεσαίος αδελφός πήρε 0 από τα 00, δηλαδή το 0% των χρημάτων και Ο μικρός αδελφός πήρε 0 από τα 00, δηλαδή το 0 % των χρημάτων Αν τα των μαθητών ενός σχολείου είναι 00 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο. α τρόπος (αναγωγή στη μονάδα) Επειδή τα των μαθητών είναι 00, το των μαθητών θα είναι 00 : 0, οπότε τα, δηλαδή όλοι οι μαθητές θα είναι 0 0 β τρόπος (εξίσωση) Έστω x οι μαθητές του σχολείου, τότε: x 00 x 00 x 00 x x 0 0. Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση % και πληρώσαμε 70. α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις; β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά % η νέα τιμή πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις; α) Έστω x η αρχική τιμή του τηλεφώνου. Η έκπτωση είναι x 0, x 00 x 0,x 0, x 0,8x και η τιμή στις εκπτώσεις είναι Άρα 0,8x 70 ή 8 x 70 ή 8x άρα x Δηλαδή η αρχική τιμή του τηλεφώνου είναι 00. β) Αν τώρα αυξηθεί η τιμή που είχε στις εκπτώσεις κατά %, η αύξηση θα είναι 70, 00 και η νέα τιμή του τηλεφώνου θα είναι 70, 9,, δηλαδή η νέα τιμή πώλησης του τηλεφώνου δεν θα θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις.. Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής: Η κάθε κόρη πήρε το 8 και ο κάθε γιος το 7 της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου στους 6 άλλους συγγενείς. α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς. β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε.70, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη. 0

11 α) Οι κόρες πήραν τα της κληρονομιάς και οι γιοί τα της κληρονομιάς Άρα οι γιοί και οι κόρες μαζί πήραν τα της κληρονομιάς, οπότε για τους 6 συγγενείς έμειναν τα της κληρονομιάς Ο καθένας από τους 6 συγγενείς πήρε τα 9 :6 9 : της κληρονομιάς. 6 β) Αν x η κληρονομιά τότε: x 70 6 x 70 6 x x Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο, για να προκύψει ο αντίστροφος του ; Έστω x ο ζητούμενος αριθμός, τότε: x άρα x. Για ένα τραπέζι και καρέκλες πληρώσαμε 80. Το τραπέζι κοστίζει όσο καρέκλες. Πόσο θα πληρώσουμε αν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες; Έστω x το κόστος μιας καρέκλας, τότε το τραπέζι κοστίζει x. Για τραπέζι και καρέκλες πληρώσαμε 80, δηλαδή x + x = 80 ή 7x = 80 ή x = 80 : 7=0 Άρα η μία καρέκλα στοιχίζει 0. Αν αγοράσουμε ακόμη καρέκλες θα πληρώσουμε =080.. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 0%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το εμβαδόν του; 0 Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε με αύξηση κατά 0% γίνεται 0,, 00 Η περίμετρος του τετραγώνου είναι,, Η αύξηση είναι:, (, ), και το ποσοστό της αύξησης είναι, 0 0, 0% 00,,,69 και αυξάνεται κατά Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι είναι. 0,69 ή κατά 69% του αρχικού που

12 . Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 0%; Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίμετρος του είναι α. Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 0% τότε θα γίνει 0 0, 0,, 00 Τότε η περίμετρος του θα είναι,,6. 0,6 0 Η αύξηση είναι,6,6 0,6 και το ποσοστό αύξησης είναι 0, 0% Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 6cm. α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας διάστασης του πρώτου ορθογωνίου. β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί. Έστω α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε 6 α) Αν το μήκος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι α και το εμβαδόν του θα είναι 6 cm. Αν το πλάτος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι β και το εμβαδόν του θα είναι 6 cm. β) Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ακέραιοι αριθμοί, αναζητούμε δύο ακέραιους που το γινόμενό τους είναι 6. Αν α = cm, τότε 6 άρα 6cm Αν α = cm, τότε 6 άρα cm Αν α = cm, τότε 6 άρα cm 6 Αν α = cm, τότε 6 άρα cm απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός. 6 Αν α = cm, τότε 6 άρα cm απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός. Αν α = 6cm, τότε 6 6 άρα cm. Αν ο α είναι μεγαλύτερος του 6 είναι φανερό ότι ο β θα είναι μικρότερος του που δεν γίνεται αφού είναι ακέραιος αριθμός. Είναι φανερό επίσης ότι αν επιλέγαμε τιμές για το β και υπολογίζαμε το α θα προέκυπταν τα ίδια ζευγάρια αριθμών. 7. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 διχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 0. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες. ˆ, ˆ γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ. και η ΓΔ είναι

13 α) Επειδή η ευθεία ΓΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ και ˆ 0 ˆ 0 0 Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ ˆ 0 80 ˆ 0 80 ˆ , είναι β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή 0 90 ˆ 80 ή ˆ 0 80, άρα ˆ Είναι ˆ ˆ 80 άρα ˆ γ) Οι γωνίες είναι ˆ, ˆ εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΑΒ, οπότε ˆ ˆ 70 Οι γωνίες ˆ, ˆ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΓΒ, οπότε ˆ ˆ 0. Τέλος οι γωνίες ˆ, είναι ˆ κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες, είναι παράλληλες και η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Έστω ότι ˆ ˆ 0 και ˆ 60. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες. ˆ, ˆ β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ. α) Είναι ˆ 0 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Επειδή η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ, είναι ˆ ˆ 0 β) Είναι ˆ ˆ 60 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Είναι ˆ ˆ ˆ ˆ 80 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή ˆ άρα ˆ Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ και οι ευθείες, είναι παράλληλες. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ και ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να δείξετε ότι ˆ 60.

14 α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, οι γωνίες ˆ και ˆ βρίσκονται στη βάση του οπότε είναι ίσες. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή 0 ˆ ˆ 80 ή ˆ άρα ˆ 60 : 80, οπότε και ˆ 80. β) Είναι ˆ ˆ 0 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την ΔΒ. ˆ Επειδή ˆ 0 η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή 0 80 ˆ 80 ή 0 ˆ 80 άρα ˆ Οι γωνίες ˆ και ˆ είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες, είναι παράλληλες, οι ευθείες, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 0. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ και να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ, ˆ, ˆ, ˆ. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ; α) Είναι ˆ 90 ˆ 80 ή ˆ 0 80 άρα ˆ Είναι ˆ 0 80 άρα ˆ Επειδή ˆ ˆ το τρίγωνο ΑΕΔ έχει δύο γωνίες του ίσες και είναι ισοσκελές. β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή ˆ 90 ˆ ˆ 80 ή ˆ ή ˆ 0 80 άρα ˆ Είναι ˆ ˆ 0 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Είναι ˆ ˆ 0 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Στο τρίγωνο ΕΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 80 ή 0 0 ˆ 80 ή 60 ˆ 80 άρα ˆ γ) Επειδή ˆ ˆ το τρίγωνο ΕΒΓ έχει δύο γωνίες ίσες και είναι ισοσκελές.. Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης. Έστω ˆ η μία γωνία, τότε η άλλη θα είναι η ˆ. Επειδή είναι παραπληρωματικές ισχύει ότι ˆ ˆ 80 ή ˆ 80 άρα ˆ 80 : 60 και ˆ 60 0.

15 . Μια γωνία είναι 0 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία. Έστω ˆ η γωνία και ˆ η συμπληρωματική. Είναι ˆ ˆ 90. Επειδή η γωνία είναι 0 μικρότερη από την συμπληρωματικής της έχουμε ότι ˆ ˆ 0. Άρα ˆ 0 ˆ 90 ή ˆ άρα ˆ 0 : και 0. Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες. Έστω ˆ η μία γωνία τότε η άλλη θα είναι. ˆ Όμως ˆ ˆ 80 ή ˆ 80 άρα ˆ 80 :, άρα οι οξείες γωνίες που σχηματίζονται είναι αφού είναι κατακορυφήν και αντίστοιχα οι αμβλείες γωνίες είναι 80.. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Επειδή η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β, έχουμε ότι ˆ ˆ. Επειδή η γωνία Γ είναι μισή της Β, έχουμε ότι Είναι ˆ ˆ ˆ 80 ˆ ˆ ˆ 80 ˆ ˆ 80 8ˆ ˆ 80 9ˆ 80 9ˆ 80 9 ˆ 60 ˆ ˆ. ˆ 60 :9 0, οπότε ˆ 0 0 και ˆ 0 0. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 0. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του. Επειδή οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και η άλλη γωνία της βάσης θα είναι 0. Αν ˆ είναι η τρίτη γωνία του τριγώνου, τότε: ˆ ˆ ˆ