ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονομάζουμε ακολουθία; Τι ονομάζουμε αριθμητική πρόοδο;

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονομάζουμε ακολουθία; Τι ονομάζουμε αριθμητική πρόοδο;"

Χλόη Αλεξάνδρου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΡΟΟΔΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Τι οομάζουμε ακολουθία; Ακολουθία λέγεται κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο τω θετικώ ακεραίω. Για πρακτικούς λόγους μια ακολουθία παριστάεται και με άλλους τρόπους. Έστω π.χ. η ακολουθία α με α. Τότε είαι α, α, α,, και γεικά α. Μπορούμε λοιπό α λέμε: έστω «η ακολουθία,,,,,», ή ακόμα έστω «η ακολουθία α». Α και μια ακολουθία είαι συάρτηση, ωστόσο χρησιμοποιούμε για αυτή ιδιαίτερο συμβολισμό. Έτσι, μια ακολουθία συμβολίζεται συήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο, δηλαδή τα α(), συμβολίζεται με α που διαβάζεται «α με δείκτη». Λέμε τότε ότι έχουμε τη ακολουθία (α ). Οι τιμές α, α, α κτλ. λέγοται κατά σειρά πρώτ όρ, δεύτερ όρ, τρίτ όρ κτλ. της ακολουθίας. Ο α λέγεται ιοστός ή γεικός όρ της ακολουθίας. Τι οομάζουμε αριθμητική πρόοδο; Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδ, α κάθε όρ της προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του πάτα ίδιου πάτοτε αριθμού. --- Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε με ω και το λέμε διαφορά της προόδου. Επομέως, ακολουθία (α ) είαι αριθμητική πρόοδ με διαφορά ω, α και μόο α ισχύει: α + α + ω ή α + α ω 5

Μπορούμε λοιπό α λέμε: έστω «η ακολουθία,,,,,», ή ακόμα έστω «η ακολουθία α». Α και μια ακολουθία είαι συάρτηση, ωστόσο χρησιμοποιούμε για αυτή ιδιαίτερο συμβολισμό.

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αποδείξτε ότι όρ μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είαι α α + ( )ω Α σε μια αριθμητική πρόοδο γωρίζουμε το πρώτο όρο της α και τη διαφορά της ω, τότε ο ααδρομικός της τύπ α + α + ω μας επιτρέπει α βρούμε με διαδοχικά βήματα το οποιοδήποτε όρο της. ο Μπορούμε όμως α υπολογίσουμε κατευθεία το όρο α μιας αριθμητικής προόδου ως συάρτηση τω α, ω και ως εξής: Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: α α α α + ω α α + ω α 4 α + ω α - α - + ω α α - + ω Προσθέτοτας κατά μέλη της αυτές ισότητες και εφαρμόζοτας τη ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε α α + ( )ω. Τρεις αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής α+γ προόδου α και μόο α ισχύει β. Α πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει: β α ω και γ β ω, α + γ επομέως β α γ β ή β Στη ακολουθία 5, 0, 5, 0, 5, 0, κάθε όρ προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του αριθμού 5 Δηλαδή για τη ακολουθία αυτή ισχύει: α + α 5 ή α + α 5 Η ακολουθία (α ) λέγεται αριθμητική πρόοδ με διαφορά 5. Έτσι π.χ. στη αριθμητική πρόοδο, 5, 7, 9,, η οποία έχει α και ω 5, ο όρ της είαι α + ( ). Επομέως ο 0 όρ της είαι α , ο 00 όρ της είαι α κτλ. Αλλά και ατιστρόφως, α για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει α + γ β, τότε έχουμε: β α + γ ή β α γ β που σημαίει ότι οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 6

ο Μπορούμε όμως α υπολογίσουμε κατευθεία το όρο α μιας αριθμητικής προόδου ως συάρτηση τω α, ω και ως εξής: Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: α α α α + ω α α + ω α 4 α + ω α - α - + ω α α

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΘΕΩΡΙΑ Ο β λέγεται αριθμητικός μέσ τω α και γ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω αριθμητικής προόδου (α ) με διαφορά ω είαι : S (α + α ) Έχουμε: S α + (α + ω) + (α + ω) + + [α + ( )ω] + [α + ( )ω] και S α +(α ω) + (α ω)+ + [α ( )ω] + [α ( )ω] Α προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάω ισότητες έχουμε: S (α + α ) + (α + α ) + (α + α ) + + (α + α ) + (α + α ) ή S (α + α ). Άρα S (α + α ) γράφεται: S [α + ( )ω] Στη ακολουθία 7, 9,,, κάθε όρ της προκύπτει από το προηγούμεό του με πολλαπλασιασμό επί. Δηλαδή για τη ακολουθία αυτή ισχύει: α+ α ή α + α Η ακολουθία (α ) λέγεται γεωμετρική πρόοδ με λόγο. Τι οομάζουμε γεωμετρική πρόοδο; Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδ, α κάθε όρ της προκύπτει από το προηγούμεό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό. Το αριθμό αυτό --- το συμβολίζουμε με λ και το λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α ) υποθέτουμε πάτα ότι α 0, οπότε, αφού είαι λ 0, ισχύει α 0 για κάθε. Επομέως, η ακολουθία (α ) είαι γεωμετρική πρόοδ με λόγο λ, α και μόο α ισχύει: α+ α + α λ ή λ α 7

προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάω ισότητες έχουμε: S (α + α ) + (α + α ) + (α + α ) + + (α + α ) + (α + α ) ή S (α + α ).

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ο όρ μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είαι α α λ - Α σε μια γεωμετρική πρόοδο γωρίζουμε το πρώτο όρο της α και το λόγο της λ, τότε ο ααδρομικός της τύπ α + α λ μας επιτρέπει α βρούμε με διαδοχικά βήματα το οποιοδήποτε όρο της. ο Μπορούμε όμως α υπολογίσουμε κατευθεία το όρο α μιας γεωμετρικής προόδου ως συάρτηση τω α, λ και ως εξής: Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: α α α α λ α α λ. α - α - λ α α - λ Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο, 6,, 4, η οποία έχει α και λ 6, ο όρ της είαι α ( ) -. Επομέως ο 5 όρ της είαι α 5 ( ) 4 48, ο δέκατ όρ της είαι α 0 ( ) 9 56 κτλ. Πολλαπλασιάζοτας κατά μέλη τις αυτές ισότητες και εφαρμόζοτας τη ιδιότητα της διαγραφής, βρίσκουμε α α λ - Τρεις μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α και μόο α ισχύει β αγ Α πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει: β λ α γ λ β β γ και, επομέως ή β αγ. α β Αλλά και ατιστρόφως, α για τρεις αριθμούς α, β, γ 0 ισχύει β β γ αγ, τότε έχουμε, που σημαίει ότι οι α, β, γ είαι α β διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσ τω Ις συτεταγμέες α και γ. 8

ο Μπορούμε όμως α υπολογίσουμε κατευθεία το όρο α μιας γεωμετρικής προόδου ως συάρτηση τω α, λ και ως εξής: Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχο

5 ΠΡΟΟΔΟΙ ΘΕΩΡΙΑ Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας γεωμετρικής προόδου (α ) με λόγο λ είαι λ S α λ Παρατήρηση: Στη περίπτωση που ο λόγ της προόδου είαι λ, τότε το άθροισμα τω όρω της είαι S α, αφού όλοι οι όροι της προόδου είαι ίσοι με α. Έστω S α + α λ + α λ + + α λ - + α λ - () Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με το λόγο λ και έχουμε λs α λ + α λ + α λ + + α λ - + α λ () Αφαιρούμε από τα μέλη της () τα μέλη της () και έχουμε: λs S α λ α ή (λ )S α (λ ) Επομέως, αφού λ, έχουμε: α λ S λ ( ) --- 9

Έστω S α + α λ + α λ + + α λ - + α λ - () Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με το λόγο λ και έχουμε λs α λ + α λ + α λ + + α

Σχετικά έγγραφα

Απομόνωση χλωροφύλλης

Απομόνωση χλωροφύλλης Φυτικά κύτταρα Χλωροπλάστης Α Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.1 Σελ. 39-40 Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 2 Ενότητα 2.2 Σελ. 43-44 1 Εισαγωγή Οι αυτότροφοι οργανισμοί όπως τα φυτά, παράγουν