Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
|
|
- φώλος Ζάρκος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
2 Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων
3 Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε σε σειρά (διατάξεις) διακριτά (=διαφορετικά) αντικείμενα που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν το πολύ 1 φορά Τι γίνεται όταν υπάρχουν πολλά αντίγραφα των αντικειμένων που διαλέγουμε (συνδυάζουμε) ή διαλέγουμε και βάζουμε στη σειρά (διατάσσουμε); Τι γίνεται όταν καλούμαστε να απαριθμήσουμε συνδυασμούς ή διατάξεις στοιχείων που ΔΕΝ είναι διακριτά; Π.χ., με πόσους τρόπους μπορούν να αναδιαταχθούν τα γράμματα της λέξης SUCCESS;
4 Μεταθέσεις r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Πόσες λέξεις μήκους n μπορούμε να φτιάξουμε με σύμβολα του αγγλικού αλφαβήτου; Για κάθε μία από τις n θέσεις υπάρχουν 26 επιλογές (αφού δεν υπάρχουν περιορισμοί) 26*26* *26=26 n λέξεις Γενικεύοντας: αν έχω διαθέσιμα n αντικείμενα οι διαφορετικές λέξεις μήκους r που μπορώ να φτιάξω (όταν δεν υπάρχουν περιορισμοί όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις) είναι: n*n* *n=n r
5 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Δίνεται πιατέλα που περιέχει τουλάχιστον 4 μήλα, τουλάχιστον 4 πορτοκάλια και τουλάχιστον 4 αχλάδια Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω (δε με νοιάζει η σειρά) 4 φρούτα από την πιατέλα αυτή; Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ φρούτων του ίδιου είδους????
6 15 τρόποι????
7 15 τρόποι Τα στοιχεία είναι λίγα και δεν είναι χρονοβόρο να τα «μετρήσω» ψάχνοντας Όταν το πρόβλημα είναι πιο περίπλοκο ;;;????
8 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Δίνεται συρτάρι ταμείου που περιέχει χαρτονομίσματα 1$, 2$, 5$, 10$, 20$, 50$, 100$ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω (δε με νοιάζει η σειρά) 5 χαρτονομίσματα από το συρτάρι αυτό, όταν: Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ χαρτονομισμάτων του ίδιου είδους Στο συρτάρι υπάρχουν τουλάχιστον 5 χαρτονομίσματα από κάθε είδος 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$
9 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω
10 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω
11 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω Χωρίσματα που ορίζουν διαφορετικές θέσεις στο συρτάρι Ένδειξη για το ότι διάλεξα χαρτονόμισμα από αυτή τη θέση του συρταριού
12 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα για να ορίσουμε τις διαφορετικές θέσεις του συρταριού Στην αρχή ή στο τέλος ή ανάμεσά τους πρέπει να εμφανίσουμε 5 * * * * * Η ερώτηση γίνεται: με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω 11 αντικείμενα (6 χωρίσματα και 5 ενδείξεις *); Ή ισοδύναμα: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 5 από τις 11 διαθέσιμες θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; Με C(11,5) τρόπους!!!
13 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Συμπέρασμα: το πλήθος των τρόπων να διαλέξω r από n στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις είναι C(n+r-1,r)
14 Παραδείγματα (I) Βρισκόμαστε σε ζαχαροπλαστείο με 4 διαφορετικά είδη γλυκισμάτων Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 6 γλυκίσματα; Δε μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ γλυκισμάτων του ίδιου είδους Ουσιαστικά, θέλω να μετρήσω τους συνδυασμούς με επανάληψη 6 από 4 αντικειμένων Χρειάζομαι 3 «χωρίσματα» (= 4-1) για να ορίσω θέσεις για τα 4 αντικείμενα και διαθέτω 6 ενδείξεις * για τα γλυκίσματα που θα διαλέξω Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 6 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(9,6) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 3 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(9,3) C(9,3)=C(9,6)=9!/(6!*3!)=9*8*7/3*2*1=3*4*7=84
15 Παραδείγματα (II) Μπορώ να βρίσκω το πλήθος λύσεων κάποιων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την ιδέα απαρίθμησης συνδυασμών r από n αντικειμένων με επανάληψη ΠΩΣ; Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση x1+x2+x3=11, όπου x1,x2,x3 είναι μη αρνητικοί ακέραιοι; Λύση της εξίσωσης = επιλογή 11 από 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Σαν να θέλω να «μοιράσω» τις 11 μονάδες σε 3 θέσεις Θέλω 2 χωρίσματα για να ορίσω τις 3 θέσεις και διαθέτω 11 ενδείξεις * Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 11 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(13,11) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 2 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(13,2) C(13,11)=C(13,2)=13!/(11!*2!)=13*12/2=13*6=78 τρόπους
16 Παραδείγματα (III) Μπορώ να βρίσκω το πλήθος λύσεων κάποιων γραμμικών εξισώσεων ακόμα και όταν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές τους χρησιμοποιώντας την ιδέα απαρίθμησης συνδυασμών r από n αντικειμένων με επανάληψη ΠΩΣ; Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση x1+x2+x3=11, όπου x1,x2,x3 είναι μη αρνητικοί ακέραιοι με x1 1, x2 2, x3 3; Σαν να θέλω να «μοιράσω» τις 11 μονάδες σε 3 θέσεις μόνο που τώρα υπάρχουν και οι εξής περιορισμοί: Πρέπει να τοποθετήσω οπωσδήποτε: 1 από τα 11 αντικείμενα στην πρώτη θέση (αφού x1 1) 2 από τα 11 αντικείμενα στη τη δεύτερη θέση (αφού x2 2) 3 από τα 11 αντικείμενα στην τρίτη θέση (αφού x3 3) Οπότε μένουν =5 αντικείμενα για να τα «μοιράσω» ΧΩΡΙΣ περιορισμούς στις 3 θέσεις Θέλω 2 χωρίσματα για να ορίσω τις 3 θέσεις και διαθέτω 5 ενδείξεις * Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 5 από τις 5+2=7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(7,5) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 2 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(13,2) C(7,2)=C(7,5)=7!/(5!*2!)=7*6/2=7*3=21 τρόποι
17 Σύνοψη ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω και να βάλω σε σειρά (δηλαδή να διατάξω) r από n στοιχεία; Επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων; Όχι Ναι n*(n-1)*(n-2)* *(n-r+1) n*n* *n=n r ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n στοιχεία; Επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων; Όχι C(n,r) Ναι C(n+r-1,r)
18 «Μπάλες σε κουτιά» ( Balls to Bins )
19 «Μπάλες σε κουτιά» Θα δούμε και πώς μετράμε τους τρόπους τοποθέτησης αντικειμένων σε κουτιά Π.χ., πώς μπορούν να μοιραστούν τα φύλλα μιας τράπουλας στους παίκτες ενός παιχνιδιού Π.χ., πώς μπορούν να χρονοπρογραμματιστούν διαφορετικές εργασίες σε επεξεργαστές (scheduling);
20 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r-1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n διαφορετικά κουτιά; C(n+r-1,r)
21 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r-1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n διαφορετικά κουτιά; C(n+r-1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω n-1 από τις n-1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(n+r-1,n-1) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από τις n-1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(n+r-1,r) (= C(n+r-1,n-1) ) r ενδείξεις * n-1 χωρίσματα για να ορίσω τα n κουτιά
22 Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω 10 όμοιες μπάλες σε 8 διαφορετικά κουτιά; Θέλω 7 χωρίσματα για να ορίσω τις 8 θέσεις και διαθέτω 10 ενδείξεις * για τις μπάλες: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 10 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(17,10) με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 7 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(17,7) C(17,7) = C(17,10) = 17!/(10!*7!) = τρόποι
23 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; Η λέξη SUCCESS περιέχει 7 γράμματα 7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω» 7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί» (αναγκαστικά) το Ε που μένει οι διαφορετικές λέξεις είναι:
24 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; Η λέξη SUCCESS περιέχει 7 γράμματα 7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω» 7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί» (αναγκαστικά) το Ε που μένει οι διαφορετικές λέξεις είναι:
25 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Δεδομένο: Συλλογή n αντικειμένων όπου υπάρχουν n1 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 1 n2 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 2 nk αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος k Ζητούμενο: Με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω τα n αντικείμενα αυτής της συλλογής;
26 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Είδαμε ότι οι τρόποι να κατανείμουμε r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n κουτιά που ξεχωρίζουν είναι C(n+r-1,r) Τι γίνεται αν και οι μπάλες ξεχωρίζουν; Ποιο είναι τότε το πλήθος των τρόπων τοποθέτησής τους στα κουτιά;
27 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω από 5 φύλλα σε 4 παίκτες από μια τράπουλα με 52 φύλλα; Και οι 4 παίκτες και τα 52 φύλλα ξεχωρίζουν Φανταστείτε: Παίκτες & αχρησιμοποίητα φύλλα κουτιά και Φύλλα μπάλες Μοιράζω φύλλα σε παίκτες ρίχνω μπάλες σε κουτιά Ο πρώτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(52,5) τρόπους Ο δεύτερος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(47,5) τρόπους Ο τρίτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(42,5) τρόπους» Ο τέταρτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(37,5) τρόπους και μένουν 32 φύλλα που δε χρησιμοποιήθηκαν Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι:
28 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω από 5 φύλλα σε 4 παίκτες από μια τράπουλα με 52 φύλλα; Εναλλακτική θεώρηση Φανταστείτε ότι υπάρχει μια συλλογή 52 φύλλων όπου 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 1 ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 2 ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 3 ου παίκτη» 5 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα του 4 ου παίκτη» 32 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν ανήκουν στο είδος «Φύλλα που δε χρησιμοποιήθηκαν» Σας θυμίζει κάτι;;; Δείτε την επόμενη διαφάνεια
29 Διατάξεις με αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν Δεδομένο: Συλλογή n αντικειμένων όπου υπάρχουν n1 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 1 n2 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 2 nk αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος k Ζητούμενο: Με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω τα n αντικείμενα αυτής της συλλογής;
30 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορώ να κατανείμω n μπάλες που ξεχωρίζουν σε k κουτιά που ξεχωρίζουν έτσι ώστε το κουτί ni να λάβει τελικά i αντικείμενα (i=1,2,,k) είναι: Ανακάτεψε και βάλε σε σειρά όλα τα φύλλα με όλους τους δυνατούς τρόπους έχοντας βάλει ένδειξη σε κάθε χαρτί για το σε ποιον «παίκτη» ανήκει
31 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων;
32 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων; Συμβολίζω με S(n,j) τους τρόπους να τοποθετήσω n αντικείμενα που ξεχωρίζουν σε j κουτιά που δεν ξεχωρίζουν S(4,1): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 1 γραφείο ώστε να μη μείνει άδειο (1 τρόπος) S(4,2): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 2 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,3)+C(4,2)/2=4+3=7 τρόποι) S(4,3): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 3 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,2)=6 τρόποι) Συνολικά: S(4,1)+S(4,2)+S(4,3) =1+7+6=14 τρόποι
33 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες ξεχωρίζουν και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 4 εργαζόμενους σε 3 ίδια γραφεία αν κάθε γραφείο χωράει οποιοδήποτε πλήθος εργαζομένων; Συμβολίζω με S(n,j) τους τρόπους να τοποθετήσω n αντικείμενα που ξεχωρίζουν σε j κουτιά που δεν ξεχωρίζουν S(4,1): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 1 γραφείο ώστε να μη μείνει άδειο (1 τρόπος) S(4,2): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 2 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,3)+C(4,2)/2=4+3=7 τρόποι) S(4,3): τρόποι να τοποθετήσω 4 εργαζόμενους σε 3 γραφεία ώστε κανένα να μη μείνει άδειο (C(4,2)=6 τρόποι) Συνολικά: S(4,1)+S(4,2)+S(4,3) =1+7+6=14 τρόποι Αριθμός Stirling δεύτερης τάξης
34 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 6 αντίγραφα του ίδιου βιβλίου σε 4 ίδια πακέτα όταν κάθε πακέτο μπορεί να περιέχει το πολύ 6 βιβλία;
35 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες και τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 6 αντίγραφα του ίδιου βιβλίου σε 4 ίδια πακέτα όταν κάθε πακέτο μπορεί να περιέχει το πολύ 6 βιβλία; Με πόσους τρόπους μπορώ να «πακετάρω» τα 6 αντίγραφα όταν δε θέλω να έχω άδειο πακέτο και χρησιμοποιώ: 1 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 1 τρόπο όλα τα αντίγραφα στο 1 πακέτο 2 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 3 τρόπους {5,1}, {4,2}, {3,3} 3 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 3 τρόπους {1,1,4}, {1,2,3}, {2,2,2} 4 από τα 4 διαθέσιμα πακέτα; Με 2 τρόπους {1,1,1,3}, {1,1,2,2} Συνολικά: =9 τρόποι Υπολόγισα το πλήθος των διαμερίσεων (partitions) του συνόλου των αντιγράφων του βιβλίου στα διαθέσιμα πακέτα Δεν υπάρχει γενικός τύπος για τον υπολογισμό αυτόν
36 Σύνοψη «Μπάλες σε κουτιά» Τα κουτιά ξεχωρίζουν Οι μπάλες δεν ξεχωρίζουν Οι μπάλες ξεχωρίζουν C(n+r-1,r) Τα κουτιά δεν ξεχωρίζουν Οι μπάλες δεν ξεχωρίζουν Τύπος του Stirling Οι μπάλες ξεχωρίζουν Υπολογισμός διαμερίσεων
37 Ασκήσεις
38 Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 3 επιλογές 3 επιλογές 3 επιλογές Συνολικά: 3*3*3*3*3=3 5 τρόποι
39 Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 5 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 5 επιλογές 5 επιλογές 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5*5*5=5 5 τρόποι
40 Πόσες λέξεις των 6 γραμμάτων υπάρχουν (όταν χρησιμοποιούμε το λατινικό αλφάβητο); Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 Θέση 6 26 επιλογές 26 επιλογές 26 επιλογές Συνολικά: 26 6 τρόποι
41 Κάθε μέρα διαλέγετε για φαγητό ένα σάντουιτς. Υπάρχουν 6 είδη σάντουιτς. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να διαλέξετε φαγητό για τις 7 μέρες της εβδομάδας, αν έχει σημασία η σειρά επιλογής των σάντουιτς; Μέρα 1 Μέρα 2 Μέρα 3 Μέρα 4 Μέρα 5 Μέρα 6 Μέρα 6 6 επιλογές 6 επιλογές 6 επιλογές Συνολικά: 6 7 τρόποι
42 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση 3 εργασιών σε 5 εργαζόμενους αν σε κάθε εργαζόμενο μπορούν να δοθούν περισσότερες από 1 εργασίες; Εργασία 1 Εργασία 2 Εργασία 3 5 επιλογές 5 επιλογές 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5=5 3 τρόποι
43 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 3 από σύνολο με 5 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 5 τύπους στοιχείων δηλαδή 5 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 3 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 3 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 3 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,3)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,4)=C(7,3)=35
44 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 5 από σύνολο με 3 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 3 τύπους στοιχείων δηλαδή 3 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 5 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 5 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 5 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,5)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,2)=C(7,5)=21
45 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 12 ντόνατς από τις 21 ποικιλίες ενός καταστήματος; Έχουμε 21 τύπους στοιχείων δηλαδή 21 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 20 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 12 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότε έχουμε και 12 * Έχουμε επομένως 32 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 20 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(32,20)) είτε (ισοδύναμα) τις 12 που θα φιλοξενήσουν * (C(32,12)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(32,20)=C(32,12)
46 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 6 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 6 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+6 = 13 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(13,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(13,6)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(13,7)=C(13,6)=1.716
47 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 12 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+12 = 19 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(19,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 12 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(19,12)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(19,7)=C(19,12)=50.388
48 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 24 σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε 24 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+24 = 31 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(31,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 24 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(31,24)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(31,7)=C(31,24)=
49 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, στα οποία υπάρχει τουλάχιστον 1 από κάθε είδος; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 1 σάντουιτς από κάθε είδος (λόγω του περιορισμού) Μένουν 12-8=4 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Φανταστείτε τα σαν 8 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 7 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 4 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 7+4 = 11 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(11,7)) είτε (ισοδύναμα) τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(11, 4)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(11,7)=C(11,4)=330
50 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού) Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 1: υπάρχουν 0 αλμυρά σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 9 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+9 = 15 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(15,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 9 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(15, 9)) Άρα για την Περίπτωση 1 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(15,6)=C(15,9)=5005
51 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού) Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 2: υπάρχει μόνο 1 αλμυρό σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 8 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+8 = 14 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(14,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 8 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(14, 8)) Άρα για την Περίπτωση 2 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(14,6)=C(14,8)=3003
52 Ένα κατάστημα πουλάει σάντουιτς με κρεμμύδι, με σπόρους παπαρούνας, με αυγό, σίκαλης, με σουσάμι, με σταφίδες, αλμυρά σάντουιτς και σκέτα σάντουιτς. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 12 σάντουιτς, από τα οποία τουλάχιστον 3 είναι με αυγό ενώ δεν υπάρχουν περισσότερα από 2 αλμυρά σάντουιτς; Υπάρχουν 8 είδη σάντουιτς κάθε είδος έχει πολλά «αντίγραφα» Παίρνουμε 3 σάντουιτς με αυγό (λόγω του περιορισμού) Μένουν 12-3=9 σάντουιτς που πρέπει να επιλέξουμε από τα 8 διαθέσιμα είδη Διακρίνουμε περιπτώσεις για να ικανοποιήσουμε και τον άλλον περιορισμό: Περίπτωση 3: υπάρχουν μόνο 2 αλμυρά σάντουιτς Τότε έχουμε 7 διαθέσιμα είδη δηλ. 7 θέσεις για να οριστούν χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα Επιθυμούμε να διαλέξουμε (χωρίς περιορισμούς πλέον) 7 αντικείμενα - Φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 6+7 = 13 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(13,6)) είτε (ισοδύναμα) τις 7 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(13, 7)) Άρα για την Περίπτωση 3 οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(13,6)=C(13,7)=1716 Συνολικά οι ζητούμενοι τρόποι είναι: =9724
53 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 8 κερμάτων από κουμπαρά που περιέχει 100 ίδια κέρματα του 1 λεπτού και 80 ίδια κέρματα των 5 λεπτών; Έχουμε 2 είδη κερμάτων δηλ. 2 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 1 χώρισμα Πρέπει να επιλέξουμε 8 κέρματα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 1+8=9 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τη 1 που θα φιλοξενήσει το χώρισμα (C(9,1)) είτε (ισοδύναμα) τις 8 που θα φιλοξενήσουν * (C(9,8)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(9,1)= C(9,8)=9
54 Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κερμάτων 1, 5, 10, 25, 50 λεπτών μπορεί να έχει ένας κουμπαράς αν περιέχει 20 κέρματα; Έχουμε 5 είδη κερμάτων δηλ. 5 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Πρέπει να επιλέξουμε 20 κέρματα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 4+20=24 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(24,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 20 που θα φιλοξενήσουν * (C(24,20)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(24,4)= C(24,20)
55 Ένας εκδότης έχει αντίγραφα ενός βιβλίου. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για αποθήκευση αυτών των (ίδιων) βιβλίων σε 3 αποθήκες; Έχουμε 3 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα Έχουμε ίδια αντίγραφα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε =3002 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα 2 χωρίσματα (C(3002,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 3000 που θα φιλοξενήσουν * (C(3002,3000)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(3002,2)= C(3002,3000)=3001*1501=
56 Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4=17 υπάρχουν όπου xi, i=1,,4 είναι μη αρνητικός ακέραιος; Έχουμε 4 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 17 μονάδες Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 4 θέσεις χρειαζόμαστε 3 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 17 μονάδες σαν 17 * Άρα έχουμε 3+17=20 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 3 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(20,3)) είτε (ισοδύναμα) τις 17 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(20,17)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(20,3)=C(20,17)=1140
57 Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4+x5=21 υπάρχουν όπου xi, i=1,,5 είναι μη αρνητικός ακέραιος και x1 1; Έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 21 μονάδες Υπάρχει ο περιορισμός η θέση x1 να περιέχει τουλάχιστον 1 μονάδα της την αναθέτουμε Οπότε, πλέον, έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 20 μονάδες χωρίς περιορισμούς Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 5 θέσεις χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 20 μονάδες σαν 20 * Άρα έχουμε 4+20=24 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(24,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 20 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(24,20)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(24,4)=C(24,20)=10.626
58 Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4+x5=21 υπάρχουν όπου xi, i=1,,5 είναι μη αρνητικός ακέραιος και xi 2 για i=1,,5; Έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 21 μονάδες Υπάρχει ο περιορισμός κάθε θέση να περιέχει τουλάχιστον 2 μονάδες τις αναθέτουμε Οπότε, πλέον, έχουμε 5 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 11 μονάδες χωρίς περιορισμούς Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 5 θέσεις χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 11 μονάδες σαν 11 * Άρα έχουμε 4+11=15 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(15,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 11 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(15,11)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(15,4)=C(15,11)=1.365
59 Πόσες λέξεις των 10 τριαδικών ψηφίων (0,1 ή 2) υπάρχουν που περιέχουν 2 «0», 3 «1» και 5 «2»; Διαλέγουμε τις 2 από τις 10 θέσεις που θα φιλοξενήσουν «0»: C(10,2) τρόποι Από τις 8 θέσεις που μένουν, διαλέγουμε τις 3 που θα φιλοξενήσουν «1»: C(8,3) τρόποι Οι 5 θέσεις που απομένουν αναγκαστικά θα φιλοξενήσουν τα «2» Άρα συνολικά μπορούμε να σχηματίσουμε C(10,2) * C(8,3) =2.520 λέξεις
60 Μια μεγάλη οικογένεια έχει 14 παιδιά μεταξύ των οποίων 2 ομάδες τριδύμων, 3 ομάδες διδύμων και 2 ακόμη παιδιά. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να κάτσουν τα παιδιά σε σειρά από καθίσματα, αν τα τρίδυμα ή τα δίδυμα δεν ξεχωρίζουν μεταξύ τους; Διαλέγουμε 3 από τα 14 καθίσματα για την πρώτη ομάδα τριδύμων: C(14,3) τρόποι Από τα 11 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 3 για την άλλη ομάδα τριδύμων: C(11,3) τρόποι Από τα 8 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για την πρώτη ομάδα διδύμων: C(8,2) τρόποι Από τα 6 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για τη δεύτερη ομάδα διδύμων: C(6,2) τρόποι Από τα 4 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 2 για την τρίτη ομάδα διδύμων: C(4,2) τρόποι Από τα 2 καθίσματα που μένουν, διαλέγουμε 1 για το ένα παιδί: C(2,1) τρόποι Το κάθισμα που μένει δίνεται αναγκαστικά στο παιδί που έμεινε Άρα συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(14,3)*C(11,3)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,1)= 14!/(3!*3!*2!*2!*2!*1!*1!)= τρόποι
61 Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 6 ίδιες μπάλες σε 9 διαφορετικά κουτιά; Τα 9 κουτιά είναι 9 θέσεις που για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 8 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 6 ίδιες μπάλες σαν * Άρα έχουμε 8+6=14 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 8 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(14,8)) είτε (ισοδύναμα) τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(14,6)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(14,8)=C(14,6)=3.003
62 Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 12 διαφορετικές μπάλες σε 6 διαφορετικά κουτιά ώστε σε κάθε κουτί να είναι τοποθετημένα 2 αντικείμενα; Διαλέγουμε τις 2 μπάλες για το πρώτο κουτί με C(12,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 10 μπάλες μου μένουν 2 για το δεύτερο κουτί με C(10,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 8 μπάλες μου μένουν 2 για το τρίτο κουτί με C(8,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 6 μπάλες μου μένουν 2 για το τέταρτο κουτί με C(6,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 4 μπάλες μου μένουν 2 για το πέμπτο κουτί με C(4,2) τρόπους Οι 2 μπάλες που μένουν τοποθετούνται αναγκαστικά στο έκτο κουτί Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(12,2)*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)=
63 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από έχουν άθροισμα των ψηφίων τους ίσο με 19; (Ι) Αφού ασχολούμαστε με ακέραιους < οι ακέραιοι αυτοί έχουν το πολύ 6 ψηφία: d1, d2, d3, d4, d5, d6 Επομένως, η ερώτηση της άσκησης μετατρέπεται στην ερώτηση: πόσες είναι οι λύσεις της εξίσωσης d1+d2+d3+d4+d5+d6=19 Έχουμε 6 θέσεις χρειαζόμαστε 5 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 19 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 5+19 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 5 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(24,5)) είτε τις 19 που θα φιλοξενήσουν * (C(24,19)) C(24,5)=C(24,19)=42504 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στις παραπάνω λύσεις μπορεί το πολύ 1 μεταβλητή di να λάβει τιμή 10 Επειδή «10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19» ΔΕΝ είναι ψηφία, πρέπει να αποκλείσουμε από τη μέτρηση τις περιπτώσεις αυτές.
64 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από έχουν άθροισμα των ψηφίων τους ίσο με 19; (ΙΙ) Υπάρχουν 6 τρόποι να επιλέξουμε ποιο ψηφίο (d1,,d6) λαμβάνει τιμή 10 Για κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, η εξίσωση της οποίας ψάχνουμε το πλήθος των λύσεων είναι: d1+d2+d3+d4+d5+d6=9 Έχουμε 6 θέσεις χρειαζόμαστε 5 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 9 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 5+9 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 5 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(14,5)) είτε τις 9 που θα φιλοξενήσουν * (C(14,9)) C(14,5)= C(14,9)=2002 Συνολικά: από τις συνολικά λύσεις αφαιρούμε τις 6*2002=12012 που παραβιάζουν τον περιορισμό το ζητούμενο πλήθος ακεραίων είναι 30492
65 Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι από έχουν ένα ψηφίο 9 και άθροισμα ψηφίων ίσο με 13; Αφού ασχολούμαστε με ακέραιους < οι ακέραιοι αυτοί έχουν το πολύ 6 ψηφία: d1, d2, d3, d4, d5, d6 Επομένως, η ερώτηση της άσκησης μετατρέπεται στην ερώτηση: πόσες είναι οι λύσεις της εξίσωσης d1+d2+d3+d4+d5+d6=13 όταν ένα από τα di είναι 9 Επιλέγουμε τον όρο που θα είναι 9 με 6 τρόπους Πλέον, έχουμε να λύσουμε την εξίσωση: d1+d2+d3+d4+d5=4 Έχουμε 5 θέσεις χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Έχουμε 4 μονάδες τις οποίες φανταζόμαστε σαν * Άρα έχουμε 4+4 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(8,4)) είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν * (C(8,4)) C(8,4)=70 Άρα, συνολικά υπάρχουν 6*70=420 ακέραιοι με τις ζητούμενες ιδιότητες
66 Στο τελικό διαγώνισμα για τα μάθημα υπάρχουν 10 ερωτήσεις. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση βαθμολογίας στις ερωτήσεις αν το άθροισμα της βαθμολογίας είναι 100 μονάδες και κάθε ερώτηση λαμβάνει τουλάχιστον 5 μονάδες; Σε κάθε ερώτηση i αναθέτουμε xi μονάδες όπου i=1,2,,10 Πρέπει x1+x2+ +x10=100 με τον περιορισμό xi 5 Επομένως, για να ικανοποιήσουμε τον περιορισμό, αναθέτουμε 5 μονάδες σε κάθε μία από τις 10 ερωτήσεις και μένουν =50 μονάδες τις οποίες πρέπει να κατανείμουμε σε 10 ερωτήσεις Με πόσους τρόπους γίνεται αυτό; Φανταζόμαστε τις 10 ερωτήσεις σαν θέσεις χρειαζόμαστε 9 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Φανταζόμαστε τις 50 μονάδες που μένουν σαν * Άρα έχουμε 9+50 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 9 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(59,9)) είτε τις 50 που θα φιλοξενήσουν * (C(59,50)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(59,9)=C(59,50)
67 Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να κατασκευαστούν από τα γράμματα της λέξης ABRACADABRA με χρήση όλων των γραμμάτων; Η λέξη έχει 11 θέσεις και περιέχει 5 Α 2 Β 2 R 1 C 1 D Για να βρούμε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να ανακατέψουμε (μεταθέσουμε) τα 11 γράμματα της λέξης επιλέγουμε 5 από τις 11 θέσεις για να φιλοξενήσουν τα Α με C(11,5) τρόπους, από τις 6 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 2 για να φιλοξενήσουν τα Β με C(6,2) τρόπους, από τις 4 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 2 για να φιλοξενήσουν τα R με C(4,2) τρόπους, από τις 2 θέσεις που μένουν επιλέγουμε 1 για να φιλοξενήσει το C με C(2,1) τρόπους, το D τοποθετείται αναγκαστικά στη 1 θέση που μένει Άρα συνολικά οι ζητούμενες λέξεις είναι C(11,5) * C(6,2) * C(4,2) * C(2,1)=83.160
68 Έχετε στο ψυγείο 3 πορτοκάλια, 2 μήλα και 2 αχλάδια. Αν πρέπει να τρώτε ένα φρούτο κάθε μέρα, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να καταναλώσετε τα φρούτα αυτά; Διαθέτετε συνολικά 7 φρούτα αρκούν για 7 μέρες Επιλέγετε τις 3 από τις 7 μέρες για να καταναλώσετε πορτοκάλι με C(7,3) τρόπους Μετά, από τις 4 μέρες που μένουν επιλέγετε τις 2 για να καταναλώσετε μήλο με C(4,2) τρόπους Θα καταναλώσετε τα 2 αχλάδια αναγκαστικά στις 2 μέρες που απομένουν Άρα συνολικά C(7,3) * C(4,2) = 210 τρόποι
69 Πόσοι τρόποι υπάρχουν να μοιραστούν από 7 φύλλα σε καθέναν από 5 παίκτες από μια συνηθισμένη τράπουλα των 52 φύλλων; Δίνουμε 7 φύλλα στον πρώτο παίκτη με C(52,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 45 φύλλα δίνουμε 7 στο δεύτερο παίκτη με C(45,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 38 φύλλα δίνουμε 7 στον τρίτο παίκτη με C(38,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 31 φύλλα δίνουμε 7 στον τέταρτο παίκτη με C(31,7) τρόπους Από τα υπόλοιπα 24 φύλλα δίνουμε 7 στον πέμπτο παίκτη με C(24,7) τρόπους Άρα συνολικά, υπάρχουν C(52,7)*C(45,7)*C(38,7)*C(31,7)*C(24,7)= 52!/(5*7!*17!) τρόποι
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ Προοίμιο Ο κώδικας δεοντολογίας του ΕΣΠΕΜ σκοπό έχει να κρατήσει υψηλά το κύρος του επαγγέλματος του μουσικοθεραπευτή στην Ελλάδα, να διαφυλάξει τους θεραπευόμενους από τυχόν μη δεοντολογικές
Διαβάστε περισσότεραΑτομικό ιστορικό νηπίου
σημαντικές πληροφορίες στοιχεία επικοινωνίας Ατομικό ιστορικό νηπίου στοιχεία της προσωπικότητας του παιδιού Βοηθείστε μας να γνωρίσουμε καλύτερα το παιδί σας Όνομα Παιδιού: Συμπληρώστε με προσοχή και
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Ειδικού Θεματικού Προγράμματος: «Διοίκηση, Οργάνωση και Πληροφορική για Μικρο-μεσαίες Επιχειρήσεις»
ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΑΙΓΑΙΟΠΕΛΑΓΙΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Τίτλος Ειδικού Θεματικού Προγράμματος: «Διοίκηση, Οργάνωση και Πληροφορική για Μικρο-μεσαίες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης
ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης Σύνδεση με προηγούμενο Μάθημα Στο κεφάλαιο Θερμότητα έχουμε μάθει: Τι είναι θερμότητα & θερμοκρασία μακροσκοπικά & μικροσκοπικά Μέτρηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ: 58/ 2014 ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ: 58/ 2014 ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ : ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Δ.Ε ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Διαβάστε περισσότερα03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων
Κεφάλαιο 03-00 σελ. 1 03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων Μια από τις κύριες διαφορές μεταξύ της βιομάζας και των ορυκτών καυσίμων είναι ότι η βιομάζα παραμένει
Διαβάστε περισσότερα«Συλλογή, μεταφορά και διαχείριση επικίνδυνων στερεών αποβλήτων της Γ.Μ.Μ.Α.Ε. ΛΑΡΚΟ»
Διακήρυξη για την: «Συλλογή, μεταφορά και διαχείριση επικίνδυνων στερεών αποβλήτων της Γ.Μ.Μ.Α.Ε. ΛΑΡΚΟ» Διακήρυξη Νο: Ε140038 Η Γ.Μ.Μ.Α.Ε. ΛΑΡΚΟ («Εταιρία») προκηρύσσει μειοδοτικό διαγωνισμό με σφραγισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Αγοραστός Ψυχολόγος
Δημήτρης Αγοραστός Ψυχολόγος Τρόποι Διαπαιδαγώγησης: Ένας οδηγός για γονείς CC Δημήτρης Αγοραστός, 2014 dagorastos@gmail.com, http://dagorastos.net, http://psychologein.dagorastos.net Το έργο προσφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΦΑΛΙΣΗ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ
ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ 1. Νομοθεσία για την Ασφάλιση Αυτοκινήτου Έχουν όλοι υποχρέωση από το Νόμο να συνάψουν ασφάλιση για το αυτοκίνητό τους; Σε ποια νομοθεσία βασίζεται η ασφάλιση αυτοκινήτου; Σύμφωνα
Διαβάστε περισσότεραΚατερίνα Παναγοπούλου: Δημιουργώντας κοινωνικό κεφάλαιο την εποχή της κρίσης
Κατερίνα Παναγοπούλου Πρέσβυς της Ελλάδας στο Συμβούλιο της Ευρώπης, πρόεδρος του σωματείου γυναικών «Καλλιπάτειρα». Πρώτο βραβείο «Γυναίκα και Αθλητισμός» 2012 για την Ευρώπη. Δημιουργώντας κοινωνικό
Διαβάστε περισσότεραΟ «ΕΚΑΛΟΓΟΣ» ΤΟΥ ΚΑΛΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ
Ο «ΕΚΑΛΟΓΟΣ» ΤΟΥ ΚΑΛΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ 1. Ύπνος: Δεν βοηθάει να ξενυχτήσουμε διαβάζοντας το προηγούμενο βράδυ, προσπαθώντας να συγκεντρώσουμε το σύνολο της ύλης στο μυαλό μας. Η κούραση, δε θα μας επιτρέψει
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Παρουσίαση. Ελλάδα
Ελλάδα Συνοπτική Παρουσίαση Η θρησκευτική ελευθερία προστατεύεται από το Σύνταγμα και άλλους νόμους και πολιτικές, με κάποιους περιορισμούς. Γενικώς, η κυβέρνηση σεβάστηκε εμπράκτως τη θρησκευτική ελευθερία,
Διαβάστε περισσότεραΣοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια
Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Η αντίδραση στο άγχος είναι μία φυσιολογική, ζωτική αντίδραση στην απειλή. Το άγχος είναι ένα συναίσθημα δυσθυμίας που προέρχεται από την υποκειμενική
Διαβάστε περισσότεραΜαρία-Στεφανία-Γιάννης 1 ο Πρότυπο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Θεσσαλονίκης Ε2 Π.Τ.Δ.Ε.-Α.Π.Θ. 2014-15
Μαρία-Στεφανία-Γιάννης 1 ο Πρότυπο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Θεσσαλονίκης Ε2 Π.Τ.Δ.Ε.-Α.Π.Θ. 2014-15 Με ποιους τρόπους έτρωγαν τα ψάρια τους; Τα ψάρια τους τα έτρωγαν εκζεστά (βραστά), οφτά (ψητά) ή
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες λειτουργίας της Επιτροπής Ηθικής και Δεοντολογίας
Τε χν ολογι κό Εκπαι δε υτι κό Ίδρυμα Λαμί ας Σχ ολή Επαγγελμάτων Υγείας & Πρόνοιας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Επιτροπή Ηθικής και Δεο ντολογίας Κανόνες λειτουργίας της Επιτροπής Ηθικής και Δεοντολογίας Ονομασία
Διαβάστε περισσότεραΌταν το μάθημα της πληροφορικής γίνεται ανθρωποκεντρικό μπορεί να αφορά και την εφηβεία.
Όταν το μάθημα της πληροφορικής γίνεται ανθρωποκεντρικό μπορεί να αφορά και την εφηβεία. Στόχος μας : να χρησιμοποιήσουμε τον υπολογιστή και το διαδίκτυο για να αντλήσουμε σωστές πληροφορίες, να τις επεξεργαστούμε
Διαβάστε περισσότεραΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΠΝΟΥ ΚΑΒΑΛΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΠΝΟΥ ΚΑΒΑΛΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για μαθητές Ε & ΣΤ τάξης Δημοτικού Σχολείου Θεματική Ενότητα: Καλλιέργεια και πρώτη επεξεργασία στο χωριό 1. Στην προθήκη με το φωτογραφικό υλικό του Μουσείου διαβάστε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ (ΠΟΕΔ) ΤΑΚΤΙΚΗ ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΩΝ ΛΟΓΟΔΟΣΙΑ ΤΟΥ Δ.Σ. ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2008-2009
ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ (ΠΟΕΔ) ΤΑΚΤΙΚΗ ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΩΝ ΛΟΓΟΔΟΣΙΑ ΤΟΥ Δ.Σ. ΓΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2008-2009 Δημήτρης Μικελλίδης Πρόεδρος ΠΟΕΔ Αγαπητοί συνεργάτες, Με τη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα όσα αναλυτικά έχουν περιγραφεί στα προηγούμενα κεφάλαια της παρούσας μελέτης η κατασκευή του τμήματος «Βρύσες Ατσιπόπουλο», του Βόρειου Οδικού
Διαβάστε περισσότεραΣυνεταιριστική Οικονομία
Συνεταιριστική Οικονομία Ενότητα 10: Η Συνεταιριστική Ανάπτυξη Κοντογεώργος Αχιλλέας Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3
ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Σημειώνεται ότι για την ετοιμασία και εφαρμογή της ενότητας συνέδραμαν και οι συνάδελφοι Μαρία Ανθίμου και Χριστίνα Κκαΐλη (Δημοτικό Σχολείο Μενεού) ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ:
Διαβάστε περισσότεραΈλλειψη εσωτερικής ελευθερίας
Έλλειψη εσωτερικής ελευθερίας Ανωριμότητα Προκαταλήψεις- Στερεότυπα Απουσία ανθρωπιστικής παιδείας Ημιμάθεια Έλλειψη έμπρακτης χριστιανικής ζωής ΣΤΟΧΟΙ Να αρχίσουν να αναγνωρίζουν και να εκφράζουν τα δικά
Διαβάστε περισσότεραΜΗ ΤΥΠΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΑΓΟΡΕΣ
ΜΗ ΤΥΠΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΑΓΟΡΕΣ 31 1 ΜΗ ΤΥΠΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΑΓΟΡΕΣ Κάθε άτομο πρέπει να έχει το δικαίωμα της ευχαρίστησης των καρπών της εργασίας του. Ντέιβιντ Χιουμ Οι
Διαβάστε περισσότεραΕυάγγελος Αυδίκος Η αµηχανία µπροστά στον τοίχο: το Πρόγραµµα και οι κοινότητες των Τσιγγάνων Γεια σας. Εγώ είµαι καινούργιος στη Θεσσαλία οι εκατέρωθέν µου καθήµενοι προϋπήρξαν εµού. Να ξεκινήσω, λοιπόν,
Διαβάστε περισσότεραΦλωρεντία, 10 Δεκεμβρίου 1513 Προς τον: ΦΡΑΓΚΙΣΚΟ ΒΕΤΤΟΡΙ, Πρέσβη της Φλωρεντίας στην Αγία Παπική Έδρα, Ρώμη. Εξοχώτατε Πρέσβη,
(Ο Νικολό Μακιαβέλι, μέσα από μία επιστολή του, περιγράφει την ζωή του στο κτήμα του, στο οποίο είχε αποτραβηχτεί, μετά το 1513 που οι Μεδίκοι ανακατέλαβαν την εξουσία.) Φλωρεντία, 10 Δεκεμβρίου 1513 Προς
Διαβάστε περισσότεραΟι ιοί και οι ιογενείς λοιμώξεις του αναπνευστικού συστήματος στα παιδιά
Οι ιοί και οι ιογενείς λοιμώξεις του αναπνευστικού συστήματος στα παιδιά Θεοφάνης Τσιλιγιάννης Οι ιογενείς λοιμώξεις αποτελούν τη συχνότερη αιτία από την οποία αρρωσταίνουν τα παιδιά και ο άνθρωπος γενικά.
Διαβάστε περισσότεραΠρώτη διδακτική πρόταση Χρωματίζοντας ένα σκίτσο
Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο Α (αρχάριο) Πρώτη διδακτική πρόταση Χρωματίζοντας ένα σκίτσο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δεξιοτήτων: 1-2 διδακτικές
Διαβάστε περισσότερα«ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ»
1 ο ΕΠΑ.Λ ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: «ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2008-2009 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Αξία καινούργιου: Είναι το ποσό που απαιτείται για την ανακατασκευή του κτιρίου
Διαβάστε περισσότεραΠΕΤΕΠ 02-08-00-00 ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε. ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΕΤΕΠ 02-08-00-00 02 Χωµατουργικά Έργα 08 Αντιµετώπιση Συνάντησης µε αγωγούς ΟΚΩ κατά τις Εκσκαφές 00-00 - Έκδοση 1.0 - Μάιος 2006
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗΣ
Εκπαιδευτήρια Δούκα Δημοτικό Ιούνιος 2013 Η ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗΣ Επιμέλεια : Γ. Τσούκας ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ 1. Εννοιολογική Οριοθέτηση 8. Κριτική θεώρηση Σύνοψη Διαθεματικότητα Διεπιστημονικότητα
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή. 2. Καταπολέμηση της φοροδιαφυγής
Ενημερωτικό Σημείωμα για το Προσχέδιο Νόμου «Καταπολέμηση της φοροδιαφυγής, αναδιάρθρωση των φορολογικών υπηρεσιών και άλλες διατάξεις αρμοδιότητας υπουργείου οικονομικών» 25/1/2011 1. Εισαγωγή Το νέο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ ΤΟΝ ΚΟΜΒΟ ΚΑΛΛΟΝΗΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΡΤΙΜΟΥ. ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΝΗΣΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΔ & Μ.Ε Αριθμός Μελέτης : 3 Δήμος : ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ Εργο : ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΔΟΦΩΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α 1 ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ 1.1 Αντικείμενο του παρόντος Τιμολογίου είναι ο καθορισμός των τιμών μονάδος με τις οποίες θα εκτελεσθεί το έργο, όπως προδιαγράφεται στα λοιπά τεύχη
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΗΣΗΣ ΕΡΓΟ: ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΤΟΥ ΥΠΑΡΧΟΝΤΟΣ ΤΟΙΧΕΙΟΥ ΣΤΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΠΛΑΤΕΙΑΣ ΑΓ.ΓΕΡΑΣΙΜΟΥ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός εκφοβισµός και γονείς
Σχολικός εκφοβισµός και γονείς Ο σχολικός εκφοβισμός έρχεται στην επικαιρότητα συνήθως κατόπιν εορτής. ΌΌταν ένα από τα χιλιάδες περιστατικά καταλήγει στα ΜΜΕ γιατί έχει τραγική έκβαση. Κι όμως, η ψυχολογική
Διαβάστε περισσότεραΑπό το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει
Ένας Τιτανικός θεσμός επιβράβευσης επιτυχιών νέων ανθρώπων Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει έμπρακτα και πολύπλευρα το ενδιαφέρον του για τους νέους ανθρώπους, ιδιαίτερα δε για τα παιδιά, κάθε ηλικίας,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΖΩΗΣ, ΜΙΑ ΨΥΧΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΖΩΗΣ, ΜΙΑ ΨΥΧΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Τα τελευταία χρόνια σημειώθηκε στην χώρα μας αισθητή άνοδος του βιοτικού επιπέδου και της κοινωνικής ευμάρειας. Παράλληλα όμως αυξήθηκαν τα προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος Ενότητα: Διαχείριση Σχολικής Τάξης
Τίτλος Μαθήματος Ενότητα: Διαχείριση Σχολικής Τάξης Ζαχαρούλα Σμυρναίου Σχολή Φιλοσοφίας Τμήμα Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Σελίδα 2 1. Κατάθλιψη... 4 2. Τύποι κατάθλιψης... 5 2.1 Λανθάνουσα Κατάθλιψη...
Διαβάστε περισσότεραΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥTΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΔΑ: Ταχυδρομική
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΤΕΥΣΗΣ ΣΠΟΡΟΦΥΤΩΝ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ
Τ.Ε.Ι ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΤΕΥΣΗΣ ΣΠΟΡΟΦΥΤΩΝ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ X. ΚΩΝΣΤΑΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΠεριβάλλον και Ανάπτυξη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Γραμματικογιάννης Α. Ηλίας. Επιβλέπων: Καθηγητής Δ. Ρόκος
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ - ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) "ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ" Η ΦΤΩΧΕΙΑ Γραμματικογιάννης Α. Ηλίας Εργασία η οποία υποβάλλεται στο πλαίσιο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΣΜΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ
ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΤΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ (ΣΜΥΕ-ΔΥΠ) Λ.ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΣ 40,11473 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.2108822303/2108064543 FAX 2106124492 EMAIL:info@smye.gr ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΜια «γριά» νέα. Εύα Παπώτη
Εύα Παπώτη Μια «γριά» νέα Πρωτογνώρισα την Κατερίνα ως μαθήτρια λυκείου στο φροντιστήριο μέσης εκπαίδευσης στο οποίο εργαζόμουν ως φιλόλογος. Σήμερα είναι τριάντα ετών. Σε μια συνάντησή μας, λίγο πριν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 1 Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ (Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙ :) ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ (ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ) ΚΕΦ. 1 Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ 1.1 Εισαγωγή στη Λογιστική/Στ όχοι της επιχείρησης Να
Διαβάστε περισσότεραΚΩ ΙΚΑΣ ΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ «ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ»
ΚΩ ΙΚΑΣ ΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΩΝΥΜΙΑ «ΠΑΠΟΥΤΣΑΝΗΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΩΝ ΑΓΑΘΩΝ» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Γενικά...3 2 Θέματα Απασχόλησης...3 3 Σύγκρουση συμφερόντων...4
Διαβάστε περισσότερα11. Προϋπολογισμός 11.1. Προϋπολογισμός και αποδοτικότητα δημοσίων υπηρεσιών: υφιστάμενη κατάσταση
11. Προϋπολογισμός 11.1. Προϋπολογισμός και αποδοτικότητα δημοσίων υπηρεσιών: υφιστάμενη κατάσταση Το σύστημα σχεδιασμού και εκτέλεσης του κρατικού προϋπολογισμού, αποτελεί μία βασική παράμετρο προώθησης
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΚΟ ΔΗΜΩΝ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ, ΘΕΡΜΗΣ, ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ, ΠΥΛΑΙΑΣ-ΧΟΡΤΙΑΤΗ
ΟΔΗΓΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΚΟ ΔΗΜΩΝ ΘΕΡΜΑΪΚΟΥ, ΘΕΡΜΗΣ, ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ, ΠΥΛΑΙΑΣ-ΧΟΡΤΙΑΤΗ «Τοπική Δράση Κοινωνικής Συνοχής & Απασχόλησης Ανατολικής Θεσσαλονίκης», Δράση 3 «Τοπικές δράσεις
Διαβάστε περισσότεραΦασίστες και αφεντικά στου πηγαδιού τον πάτο, ζήτω το παγκόσμιο προλεταριάτο.
Οι νόμοι της αγοράς, νόμοι της άγριας δύσης έχουν καταστρέψει ό,τι με αγώνες είχαμε κατακτήσει. Ο Υπ. Υγείας φωνάζει πως δεν έχει απολυθεί κανείς απ τα νοσοκομεία και ότι όλα λειτουργούν καλά. Ολόκληρη
Διαβάστε περισσότεραΟΜΙΛΙΑ ΠΡΟΕΔΡΟΥ Ο.Κ.Ε. κ. Χ. ΠΟΛΥΖΩΓΟΠΟΥΛΟΥ
ΟΜΙΛΙΑ ΠΡΟΕΔΡΟΥ Ο.Κ.Ε. κ. Χ. ΠΟΛΥΖΩΓΟΠΟΥΛΟΥ «ΜΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΟΙΝΗ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ: ΠΟΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΤΡΙΤΕΣ ΧΩΡΕΣ;» ΔΙΕΘΝΗΣ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΗ ΨΥΧΗ ΚΑΙ Ο ΘΑΝΑΤΟΣ ( 1 )
Η ΨΥΧΗ ΚΑΙ Ο ΘΑΝΑΤΟΣ ( 1 ) του Κ.Γκ.Γιούνγκ Με έχουν ρωτήσει αρκετές φορές τι πιστεύω για το θάνατο, γι αυτό το τελείωμα της ανθρώπινης ύπαρξης. Ο θάνατος είναι απλά γνωστός ως το τέλος. Είναι η τελεία
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Τίτλος προγράμματος: «Ανάπτυξη της αυτοεκτίμησης» Τάξη: Α Εκπαιδευτικός: Βασιλική Αντωνογιάννη Σχολικό έτος: 2013-14 Σύνολο μαθητών
Διαβάστε περισσότεραΕργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ Το παρακάτω σχέδιο μαθήματος απευθύνεται στη κατάκτηση από
Διαβάστε περισσότεραΣυνήγορος του Καταναλωτή Νομολογία ΕφΑθ 5253/2003
ΕφΑθ 5253/2003 Τράπεζες. Στεγαστικά δάνεια. Γενικοί Όροι Συναλλαγών. Καταχρηστικοί όροι. Έξοδα χρηματοδότησης. Προμήθεια φακέλου Παράνομες επιβαρύνσεις. Υπέρμετρες εγγυήσεις. Καταγγελία σύμβασης δανείου.
Διαβάστε περισσότερααρχαιολόγος- μουσειολόγος- ξεναγός, ΜΑ
Νατάσα Μιχαηλίδου αρχαιολόγος- μουσειολόγος- ξεναγός, ΜΑ 6976 478073, 25410 91973 facebook: mikroi.arxaiologoi.thrakis «Παραμυθο- ξενάγηση στα αρχαία Άβδηρα» σελίδα 0 από 19 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγικά...
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ : ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ : ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΟΥ ΚΡΗΤΙΚΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΑΝΥΦΑΝΤΗ ΜΑΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΓνωρίζω, Αγαπώ & Φροντίζω το Σώμα μου
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γνωρίζω, Αγαπώ & Φροντίζω το Σώμα μου Σχολικό Έτος 2013-2014 ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ: ΑΡΣΕΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΚΠ/ΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: 1 ο ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΠΛΑΤΑΜΩΝΑ ΤΜΗΜΑ ΚΛΑΣΙΚΟ Δ/ΝΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΖΩΟΛΑΤΡΙΑΣ! ΛΑΜΠΡΟΥ Κ. ΣΚΟΝΤΖΟΥ Θεολόγου - καθηγητού Δε χρειάζεται να είναι κάποιος ειδικός για να διαπιστώσει
ΠΤΥΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΖΩΟΛΑΤΡΙΑΣ! ΛΑΜΠΡΟΥ Κ. ΣΚΟΝΤΖΟΥ Θεολόγου - καθηγητού Δε χρειάζεται να είναι κάποιος ειδικός για να διαπιστώσει την τραγικότητα του σημερινού ανθρώπου, η οποία οφείλεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗ
ΒΙΩΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗ «ΔΙΚΤΥΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ ΣΤΟ ΘΡΙΑΣΙΟ ΠΕΔΙΟ» ΔΡΑΣΗ 16 -
Διαβάστε περισσότεραΠροδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν
Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν μικρομεσαίες επιχειρήσεις και ελευθέρους επαγγελματίες. Τονίζεται ότι τα προγράμματα είναι σε προδημοσίευση. Με τη δημοσίευση της
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8.
Περιεχόμενα Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1 Η σταχτοπούτα της ζωής μας!... 15 Κεφάλαιο 2 Συνδέοντας τα κομμάτια: o εαυτός μας!... 23 Κεφάλαιο 3 Οι σχέσεις μας είναι ο καθρέφτης μας!... 27 Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότερα2. ΟΙ ΣΤΡΕΒΛΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ
2. ΟΙ ΣΤΡΕΒΛΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Στρεβλώσεις στη δομή της αγοράς Μονοπώλια, ολιγοπώλια Εμπόδια εισόδου στην αγορά Στρεβλώσεις λόγω κρατικών παρεμβάσεων Ελεγχοι τιμών Φόροι και επιδοτήσεις 2.1 Ερωτήματα Γενικά
Διαβάστε περισσότεραΗ Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας στην Κύπρο έχει οργανωθεί σε τομείς που υπόκεινται στις ακόλουθες ρυθμίσεις:
ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΥΠΡΟΥ ΔΗΛΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΑΤΙΜΗΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ Η ΡΑΕΚ θέτει και δημοσιεύει την παρούσα πρόταση ως προς τις αρχές και τη Μεθοδολογία που
Διαβάστε περισσότεραΥποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005
Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 25 Για τους /τις εκπαιδευτικούς που υπέβαλαν αίτηση υποψηφιότητας για τη θέση Σχολικού Συμβούλου υπάρχουν μας διατέθηκαν από τις αρμόδιες υπηρεσίες του ΥΠΕΠΘ, για τα έτη
Διαβάστε περισσότεραΗ συμβολή του Πλάτωνα στα Μαθηματικά
ΠΛΑΤΩΝ Η συμβολή του Πλάτωνα στα Μαθηματικά I. Ανδρέας Παπαϊωάννου II. Αλέξανδρος Μπαλάσκας III. Κωνσταντίνος Θούας IV.Λουκάς Σωτηρόπουλος V. Πέτρος Κορφιάτης Εισηγητής : Γεώργιος Κ. Ντόντος (ΠΕ03) Χρονικη
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΠΟΡΕΙΑ ΕΝΟΣ ΓΥΡΟΥ 1. ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2. ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ 3. ΣΥΛΛΟΓΗ 4. ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ 5. ΣΚΟΡΑΡΙΣΜΑ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΠΑΙΧΝΙΔΙ
Διαβάστε περισσότερα289 ον Σύστημα Αεροπροσκόπων Αγίας Φύλας ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΡΧΑΡΙΟΥ ΠΡΟΣΚΟΠΟΥ
289 ον Σύστημα Αεροπροσκόπων Αγίας Φύλας ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΡΧΑΡΙΟΥ ΠΡΟΣΚΟΠΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ Προσαρμογή και εξοικείωση Α Βοήθειες Θρησκεία και Πατρίδα Ζωή Υπαίθρου - Προσωπικές Δεξιότητες
Διαβάστε περισσότεραΔΕΛΤΙΟ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ
1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΟΥΣΙΑΣ ΔΕΛΤΙΟ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Όνομα προϊόντος: Άλλο όνομα: Κατηγορία επικίνδυνων προϊόντων: Κώδικας προϊόντος του κατασκευαστή: RIZOCYN Φυσικός Βιοδιεγέρτης Ρίζας Καμία RIZOCYN Χρήση:
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές οδηγίες διακοπής καπνίσματος βήμα προς βήμα
Αναλυτικές οδηγίες διακοπής καπνίσματος βήμα προς βήμα Αυτό είναι το πιο ουσιαστικό στάδιο στην όλη προσπάθειά σας. Το στάδιο που αρχίζει τη στιγμή που ο καπνιστής αποφασίζει πως δε θα ξαναβάλει τσιγάρο
Διαβάστε περισσότεραΒουλευτικές Εκλογές 2011
Πολίτης ή πελάτης; Είναι αλήθεια, ότι το πολιτικό σύστημα αποτυγχάνει σημαντικά να ανταποκριθεί στις σημερινές προκλήσεις. Το ρουσφέτι, η αναξιοκρατία, η συναλλαγή και τα παζάρια, απαξιώνουν την πολιτική.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων
Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Στο πλαίσιο του παρόντος κεφαλαίου εξετάζονται οι κοινές ενδοοικογενειακές δραστηριότητες και η γλωσσική αλληλεπίδραση
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών για το "Νέο Σχολείο"
2013 Πρόγραμμα Σπουδών για το "Νέο Σχολείο" πεδίο: Πολιτισμός - Αισθητική Παιδεία για την Υποχρεωτική Εκπαίδευση (αρχική πρόταση β') υπεύθυνος πεδίου: Μένης Θεοδωρίδης ΚΕΝΤΡΟ 0 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΒΑΣΗ ΔΠΑ/ΕΠ-6489/2012
Διεύθυνση Περιφέρειας Αττικής ΣΥΜΒΑΣΗ ΔΠΑ/ΕΠ-6489/2012 ΑΠΟΚΟΠΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΦΟΡΕΣ ΛΟΓΩ ΧΡΕΟΥΣ ΠΑΡΟΧΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΙΤΗΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΟΥ ΔΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Άρθρο 1: Αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΙΝΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΦΟΡΗΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. στο μάθημα της Γλώσσας της ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΈΝΤΡΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΙΝΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΦΟΡΗΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ στο μάθημα της Γλώσσας της ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Σεπτέμβριος 2014 1 Περιεχόμενα Εισαγωγή...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ (ΦΛΩΡΙΝΑ) ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ (ΦΛΩΡΙΝΑ) ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ «ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΙ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΜΕΡΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΦΟΡΕΙΑ ΑΘΗΝΩΝ. Αθήνα, 19 Ιανουαρίου 2015 Α ΝΑΚΟΙΝΩΣΗ 3/15. ΠΡΟΣ : Όλους τους Βαθμοφόρους της Αθήνας ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ :
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΦΟΡΕΙΑ ΑΘΗΝΩΝ Αθήνα, 19 Ιανουαρίου 2015 Α ΝΑΚΟΙΝΩΣΗ 3/15 ΠΡΟΣ : Όλους τους Βαθμοφόρους της Αθήνας ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ : ΘΕΜΑ : Συνέδριο Περιφέρειας - Πορίσματα Αγαπητοί βαθμοφόροι Σας γνωστοποιούμε
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα
Ένα συνεργατικό παιχνίδι μνήμης για 3 έως 6 παίκτες, 7 ετών και άνω. Ο Τομ σκαρφάλωσε στην κορυφή ενός δέντρου, για να δεί αν μπορούσε να ανακαλύψει κάτι. Κοιτάζοντας προς κάθε μεριά, είδε τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΣυνωμοσία Πυρήνων της Φωτιάς - Πυρήνας Αντάρτικου Πόλης
Συνωμοσία Πυρήνων της Φωτιάς - Πυρήνας Αντάρτικου Πόλης ΤΟ ΣΧΕΔΙΟ Προς τον αναρχικό χώρο i) Το κάλεσμα Κάθε κάλεσμα δράσης, όπως ο «Μαύρος Δεκέμβρης», είναι μία απόπειρα συντονισμού των δυνάμεων μας. Είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 10: Φιλοσοφική Συμβουλευτική. Παρούσης Μιχαήλ. Τμήμα Φιλοσοφίας
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 10: Φιλοσοφική Συμβουλευτική Παρούσης Μιχαήλ Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Σκοπός ενότητας Θα εξετάσουμε πώς θα μπορούσαμε να αντιμετωπίσουμε βιοτικές καταστάσεις μέσα από τον κλάδο της
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού
Τι θα πρέπει να λάβει υπόψη του ο νέος, πριν τελικά επιλέξει το επάγγελμα που θα ασκήσει Το επάγγελμα, είτε είναι λειτούργημα είτε όχι, έχει ζωτική σημασία για τον άνθρωπο. Συντελεί στην προσωπική του
Διαβάστε περισσότεραΕκδήλωση-Συζήτηση. για τις φυλακές και τους κρατούμενους αγωνιστές. όσο υπαρχουν φυλακές κανείς δεν είναι ελεύθερος. Εισήγηση
Εκδήλωση-Συζήτηση για τις φυλακές και τους κρατούμενους αγωνιστές όσο υπαρχουν φυλακές κανείς δεν είναι ελεύθερος Εισήγηση Ιούνης 2011 αντί εισαγωγής Το 12σέλιδο που κρατάτε στα χέρια σας, αποτελεί την
Διαβάστε περισσότεραΤα Robot. Από τον Τάλω στα σύγχρονα προγραμματιζόμενα Robot. Δήμητρα-Παρασκευή Γαβαλά. Μαθήτρια Γ3 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης
Τα Robot Από τον Τάλω στα σύγχρονα προγραμματιζόμενα Robot Δήμητρα-Παρασκευή Γαβαλά Μαθήτρια Γ3 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Καθηγητής Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΠρακτικό εργαλείο. για την ταυτοποίηση πρώτου επιπέδου των θυμάτων παράνομης διακίνησης και εμπορίας. τη σεξουαλική εκμετάλλευση
Πρακτικό εργαλείο για την ταυτοποίηση πρώτου επιπέδου των θυμάτων παράνομης διακίνησης και εμπορίας με σκοπό τη σεξουαλική εκμετάλλευση Ιούνιος 2013 Στα πλαίσια της επαγγελματικής σας ιδιότητας ενδέχεται
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονική διακυβέρνηση με ανθρώπινη διάσταση. Καθηγητής B. Ασημακόπουλος
Ηλεκτρονική διακυβέρνηση με ανθρώπινη διάσταση Καθηγητής B. Ασημακόπουλος Ειδικός Γραμματέας για την Κοινωνία της Πληροφορίας Η έννοια της «ηλεκτρονικής διακυβέρνησης» δεν ηχεί πια ούτε καινούργια ούτε
Διαβάστε περισσότερα11. ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ 11.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΣΕΛΙΔΕΣ : Σελίδα 1 από 14 11. ΚΩΔΙΚΑΣ 11.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΑΦΟΙ Ε. ΠΕΤΡΟΥ Ο.Ε. φροντίζει τους ανθρώπους της : εργαζομένους, πελάτες, μετόχους, καταναλωτές, προμηθευτές και επιχειρηματικούς συνεργάτες. Είναι
Διαβάστε περισσότεραΧρηματοδότηση των Συλλόγων στην εποχή της κρίσης
Χρηματοδότηση των Συλλόγων στην εποχή της κρίσης Ελίνα Ρέπα Πρόεδρος Συλλόγου Γονέων και Κηδεμόνων Παιδιών με Χρόνιες Ρευματοπάθειες Μαρία Σταυρακίδου Φυσικοθεραπεύτρια Εξωτερική Συνεργάτης ΠΑΡΚΑ A Παιδιατρική
Διαβάστε περισσότεραΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΔΗΜΟΥ ΔΙΟΝΥΣΟΥ ΝΟΜΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ
ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΔΗΜΟΥ ΔΙΟΝΥΣΟΥ ΝΟΜΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ Εφαρμογή του Κανονισμού 1.Η εφαρμογή του παρόντος Κανονισμού είναι υπευθυνότητα του Δήμου Διονύσου και τα επιμέρους τμήματα
Διαβάστε περισσότερα«Ο συγγραφέας στα σύγχρονα ΜΜΕ: ο λόγος και η απήχηση του»
ΜΜΕ & Λογοτεχνία ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ: Θ. ΒΑΛΤΙΝΟΣ «Ο συγγραφέας στα σύγχρονα ΜΜΕ: ο λόγος και η απήχηση του» ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ: Ως οιονεί οικοδεσπότης θα κάνω και χρέη συντονιστή της συζήτησης. Θα δώσω το λόγο με τη
Διαβάστε περισσότεραΟμιλία του Υφυπουργού Ανάπτυξης κου Θανάση Σκορδά στο CapitalVision 2012
Ομιλία του Υφυπουργού Ανάπτυξης κου Θανάση Σκορδά στο CapitalVision 2012 Κυρίες, κύριοι, Η έννοια της ανάπτυξης είναι τόσο πολυφορεμένη στο σύγχρονο πολιτικό λεξιλόγιο, που αν δεν δώσουμε, ο καθένας από
Διαβάστε περισσότεραΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΈΓΓΡΑΦΟ Σ.Ε.Ε.Δ.Δ.Ε. ΟΙ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟΥ
ΑΘΗΝΑ 15-01-2014 ΑΡ. ΠΡΩΤ.: 2270 ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΈΓΓΡΑΦΟ Σ.Ε.Ε.Δ.Δ.Ε. ΟΙ ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟΥ Για τα εισοδήματα του 2013, τη φορολογία και τα πρόστιμα του 2014, ισχύουν τα εξής: Καταργείται το
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος - v Πανεπιστημιακό ημερολόγιο - vi Τι χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή - vii Το Πρόγραμμα
Διαβάστε περισσότεραΟΜΙΛΙΑ ΣΤΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΔΙΚΑΤΟΥ ΜΕΤΑΛΛΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΑΤΥΧΗΜΑ ΣΤΗ ΧΑΛΥΒΟΥΡΓΙΑ. 9/12/2014, Αγ. Νικόλαος
ΟΜΙΛΙΑ ΣΤΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΔΙΚΑΤΟΥ ΜΕΤΑΛΛΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΑΤΥΧΗΜΑ ΣΤΗ ΧΑΛΥΒΟΥΡΓΙΑ. 9/12/2014, Αγ. Νικόλαος Απλήρωτη εργασία σακατεμένοι και νεκροί εργάτες, έτσι πλουτίζουν οι κεφαλαιοκράτες Αυτό το σύνθημα
Διαβάστε περισσότεραΔασικά Οικοσυστήματα και Τεχνικά Έργα
Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Δασικά Οικοσυστήματα και Τεχνικά Έργα Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ελλείψεις στο φορολογικό νομοσχέδιο. Σοβαρές ελλείψεις στη νέα μορφή του φορολογικού νομοσχεδίου
Επαγγελματικό Επιμελητήριο Θεσσαλονίκης Γραφείο Τύπου Θεσσαλονίκη, 12 Απριλίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Ελλείψεις στο φορολογικό νομοσχέδιο Σοβαρές ελλείψεις στη νέα μορφή του φορολογικού νομοσχεδίου διαπιστώνει
Διαβάστε περισσότεραΟ αρτινός συγγραφέας Γιάννης Καλπούζος, μιλάει στην «Γ», με την ευκαιρία της έκδοσης του νέου του βιβλίου
Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2014 03:54 Ζητούμενο είναι να τεθεί ο προβληματισμός και να προκύψει η αναζήτηση Γράφτηκε από τον Κώστας Γκέτσης Ο αρτινός συγγραφέας Γιάννης Καλπούζος, μιλάει στην «Γ», με την ευκαιρία
Διαβάστε περισσότεραΠερί χορτοφαγίας και κρεοφαγίας
Περί χορτοφαγίας και κρεοφαγίας Το παρακάτω κείμενο δεν έχει ως σκοπό να πείσει για τις απόψεις που εκτίθενται αλλά να γίνει το έναυσμα για εποικοδομητικό προβληματισμό και την εύρεση της προσωπικής μας
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΠΟΤΙΜΩΜΕΝΩΝ ΜΕ ΚΑΤ ΑΠΟΚΟΠΗ ΤΙΜΗΜΑΤΑ
ΚΤΙΡΙΑΚΕΣ ΥΠΟΔΟΜΕΣ A.E. ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΥΧΩΝ, ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ & ΣΥΜΒΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ:1/θέσιο ολοήμερο Νηπιαγωγείο Πετριάς, Δήμου Σκύδρας, Νομού Πέλλας, με τη μέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ «ΚΡΗΤΙΚΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2005
ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΣΤΗΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ «ΚΡΗΤΙΚΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2005 Στη βάση του περίτεχνου ανδριάντα του Στρατηλάτη Θεόδωρου Κολοκοτρώνη στην Τρίπολη, υπάρχει το εξής έμμετρο επίγραμμα: «Σε άτι γοργό καβαλάρης
Διαβάστε περισσότεραΚύριε υπουργέ και όσοι υπάλληλοι βαθμολογούνται κάτω από τη βάση θα απολύονται;
Συνέντευξη Υπουργού Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης, Κυριάκου Μητσοτάκη, στην εφημερίδα «Ελευθερία» και στο δημοσιογράφο Φιλήμων Καραμίτσο Με το ξέσπασμα της κρίσης τα τελευταία
Διαβάστε περισσότερα8 Μάρτη. Η βία κατά των γυναικών
8 Μάρτη 8 Μάρτη πριν από λίγες μέρες. Για ακόμα μια φορά αντιμετωπίστηκε ως μέρα γιορτής. Διαφημίσεις Ηondos center. Ανακοινώσεις από «ευαισθητοποιημένους» σε θέματα ισότητας. Οι επιφανειακές αναφορές
Διαβάστε περισσότερα