Fundamentals of Finance

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fundamentals of Finance"

Transcript

1 Portfolio optimization University of Oulu - Department of Finance Fall 2015

2 Portfolio optimization Minimum variance portfolio variance is minimized, no requirement regarding the level of expected return Required return portfolio variance is minimized, subject to a given level of the expected return Tangent portfolio the ratio of expected excess return to volatility is maximized, no other requirements Optimal solutions closed-form solutions are available for the standard problems, non-negativity constraints require the applying of numerical techniques

3 Portfolio optimization numerical example r = 40% E(R m) = 100% µ = e µ = Σ = µ p = w i µ i = µ w σ 2 p = w i w j σ ij = w Σw i=1 i=1 j=1

4 Minimum variance portfolio Optimization problem: min w Σw min st 1 w = 1 st n n w i w j σ ij i=1 j=1 n w i = 1 i=1 Optimal solution: w = Σ Σ 1 1

5 Minimum variance portfolio scalar presentation min 3 3 w i w j σ ij i=1 j=1 = w 1 w 1 σ 11 + w 1 w 2 σ 12 + w 1 w 3 σ 13 + w 2 w 1 σ 21 + w 2 w 2 σ 22 + w 2 w 3 σ 23 + w 3 w 1 σ 31 + w 3 w 2 σ 32 + w 3 w 3 σ 33 st 3 w i = w 1 + w 2 + w 3 = 1 i=1

6 Minimum variance portfolio matrix presentation min w Σw = [ ] w 1 w 2 w 3 σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 w 1 w 2 w 3 = [ ] w 1 σ 11 + w 2 σ 21 + w 3 σ 31 w 1 σ 12 + w 2 σ 22 + w 3 σ 32 w 1 σ 13 + w 2 σ 23 + w 3 σ 33 w 1 w 2 w 3 = (w 1 σ 11 + w 2 σ 21 + w 3 σ 31 )w 1 + (w 1 σ 12 + w 2 σ 22 + w 3 σ 32 )w 2 + (w 1 σ 13 + w 2 σ 23 + w 3 σ 33 )w 3 = w 1 w 1 σ 11 + w 1 w 2 σ 21 + w 1 w 3 σ 31 + w 2 w 1 σ 12 + w 2 w 2 σ 22 + w 2 w 3 σ 32 + w 1 w 3 σ 13 + w 2 w 3 σ 23 + w 3 w 3 σ 33 st 1 w = [ ] w 1 w 2 w 3 = w 1 + w 2 + w 3 = 1

7 Minimum variance portfolio numerical example min w Σw = [ w 1 w 2 w 3 ] st 1 w = [ ] w 1 w 2 w 3 = 1 w 1 w 2 w 3 w = Σ Σ 1 1

8 Minimum variance portfolio inverse of covariance matrix Σ = Σ 1 = ΣΣ 1 = = I

9 Minimum variance portfolio optimal weights w = Σ Σ 1 1 = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = =

10 Minimum variance portfolio optimal solution w Σw = [ ] = w = [ ] = 1 σ p = % µ p = µ w = [ ] = 94%

11 Minimum variance portfolio µ 15% 10% 938% Minimum variance portfolio 5% r = 4% Risk-free asset 2439% 10% 20% 30% 40% 50% σ

12 Required return portfolio Optimization problem: Optimal solution: min w Σw min st µ w = µ st 1 w = 1 n n w i w j σ ij i=1 j=1 n w i µ i = µ i=1 n w i = 1 i=1 w = Σ 1 µ(1 Σ 1 1µ µ Σ 1 1) + 1(µ Σ 1 µ µ Σ 1 1µ ) µ Σ 1 µ1 Σ 1 1 (µ Σ 1 1) 2

13 Required return portfolio scalar presentation min 3 3 w i w j σ ij i=1 j=1 = w 1 w 1 σ 11 + w 1 w 2 σ 12 + w 1 w 3 σ 13 + w 2 w 1 σ 21 + w 2 w 2 σ 22 + w 2 w 3 σ 23 + w 3 w 1 σ 31 + w 3 w 2 σ 32 + w 3 w 3 σ 33 st 3 w i µ i = w 1 µ 1 + w 2 µ 2 + w 3 µ 3 = µ i=1 3 w i = w 1 + w 2 + w 3 = 1 i=1

14 Required return portfolio matrix presentation min w Σw = [ ] w 1 w 2 w 3 σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 w 1 w 2 w 3 = w 1 w 1 σ 11 + w 1 w 2 σ 21 + w 1 w 3 σ 31 + w 2 w 1 σ 12 + w 2 w 2 σ 22 + w 2 w 3 σ 32 + w 1 w 3 σ 13 + w 2 w 3 σ 23 + w 3 w 3 σ 33 st µ w = [ µ 1 µ 2 µ 3 ] w 1 w 2 w 3 1 w = [ ] w 1 w 2 w 3 = w 1 µ 1 + w 2 µ 2 + w 3 µ 3 = µ = w 1 + w 2 + w 3 = 1

15 Required return portfolio numerical example min w Σw = [ w 1 w 2 w 3 ] st µ w = [ ] w 1 w 2 w 3 1 w = [ ] w 1 w 2 w 3 = 1 = 009 w 1 w 2 w 3 w = Σ 1 µ(1 Σ 1 1µ µ Σ 1 1) + 1(µ Σ 1 µ µ Σ 1 1µ ) µ Σ 1 µ1 Σ 1 1 (µ Σ 1 1) 2

16 Required return portfolio optimal weights w = Σ 1 µ(1 Σ 1 1µ µ Σ 1 1) + 1(µ Σ 1 µ µ Σ 1 1µ ) µ Σ 1 µ1 Σ 1 1 (µ Σ 1 1) 2 1 Σ 1 1 = [ ] = µ Σ 1 1 = [ ] = µ Σ 1 µ = [ ] =

17 Required return portfolio optimal weights 1 Σ 1 1 = µ Σ 1 1 = µ Σ 1 µ = = = w = Σ 1 µ(1 Σ 1 1µ µ Σ 1 1) + 1(µ Σ 1 µ µ Σ 1 1µ ) µ Σ 1 µ1 Σ 1 1 (µ Σ 1 1) 2 = = ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (001747) (001747)

18 Required return portfolio optimal solution w Σw = [ ] w = [ ] = = σ p = % µ p = µ w = [ ] = 90%

19 Required return portfolio µ 15% 10% 900% Required return portfolio 5% r = 4% Risk-free asset 2465% 10% 20% 30% 40% 50% σ

20 Tangent portfolio Portfolio optimization Optimization problem: max w µ r w Σw max st 1 w = 1 st [ n ]/ n n w i µ i r w i w j σ ij i=1 i=1 j=1 n w i = 1 i=1 Optimal solution: w = Σ 1e µ 1 Σ 1e µ

21 Tangent portfolio numerical example max w µ r w Σw = [ ] w 1 w 2 w 3 [ ] w1 w 2 w r w 1 w 2 w 3 st 1 w = [ ] w 1 w 2 w 3 = 1 w = Σ 1e µ 1 Σ 1e µ

22 Tangent portfolio optimal weights w = Σ 1e µ 1 Σ 1e µ = [ ] = [ ] = =

23 Tangent portfolio optimal solution w Σw = [ ] w = [ ] = = σ p = % µ p = µ w = [ ] = 107%

24 Tangent portfolio Portfolio optimization µ 15% 10% 1065% Tangent portfolio 5% r = 4% Risk-free asset 2712% 10% 20% 30% 40% 50% σ

25 The three portfolios Portfolio optimization µ 30% 20% 10% Risk-free asset r = 4% 10% 20% 30% 40% 50% σ

26 Minimum variance portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

27 Minimum variance portfolio µ 15% 10% 627% 5% r = 4% Risk-free asset 1132% 10% 20% 30% 40% 50% σ

28 Required return portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

29 Required return portfolio µ 15% 10% 900% 5% r = 4% Risk-free asset 1586% 10% 20% 30% 40% 50% σ

30 Tangent portfolio Portfolio optimization The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

31 Tangent portfolio Portfolio optimization µ 15% 10% 967% 5% r = 4% Risk-free asset 1787% 10% 20% 30% 40% 50% σ

32 Constrained minimum variance portfolio n n min w Σw min w i w j σ ij i=1 j=1 st 1 w = 1 st n w i = 1 i=1 w 0 w i 0 i w 1 w i 1 i

33 Constrained minimum variance portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

34 Constrained minimum variance portfolio µ 15% 10% 5% r = 4% Risk-free asset 713% 1250% 10% 20% 30% 40% 50% σ

35 Constrained required return portfolio n n min w Σw min w i w j σ ij i=1 j=1 st µ w = µ st n w i µ i = µ i=1 1 w = 1 n w i = 1 i=1 w 0 w i 0 i w 1 w i 1 i

36 Constrained required return portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

37 Constrained tangent portfolio max w µ r w Σw max st 1 w = 1 st [ n ]/ n n w i µ i r w i w j σ ij i=1 i=1 j=1 n w i = 1 i=1 w 0 w i 0 i w 1 w i 1 i

38 Constrained tangent portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

39 Constrained portfolios Portfolio optimization µ 30% 20% 10% Risk-free asset r = 4% 10% 20% 30% 40% 50% σ

40 Beta-neutral minimum variance portfolio min w Σw min st β w = 0 st 1 w = 1 n n w i w j σ ij i=1 j=1 n w i β i = 0 i=1 n w i = 1 i=1

41 Beta-neutral minimum variance portfolio The SAS System Obs Company ISIN W BETA ER STDR ERP STDRP 1 Norvestia FI Kesko Corporation FI Stockmann A FI Stockmann B FI Tieto Corporation FI Metsa Board A FI Metsa Board B FI Nokia Corporation FI Uponor FI Interavanti FI Citycon FI Raisio FI Rautaruukki FI Wartsila FI Viking Line FI Nokian Tyres FI Sponda FI Ramirent FI Fortum FI Rapala FI Keskisuomalainen FI Sanoma FI Teleste FI Elisa FI Aspo FI

42 Beta-neutral minimum variance portfolio µ 15% 10% 5% r = 4% Risk-free asset 1462% 10% 20% 30% 40% 50% σ

Introduction to Risk Parity and Budgeting

Introduction to Risk Parity and Budgeting Introduction to Risk Parity and Budgeting Chapter 1 Modern Portfolio Theory c Thierry Roncalli & CRC Press Evry University & Lyxor Asset Management, France Instructors may find the description of the book

Διαβάστε περισσότερα

Mean-Variance Analysis

Mean-Variance Analysis Mean-Variance Analysis Jan Schneider McCombs School of Business University of Texas at Austin Jan Schneider Mean-Variance Analysis Beta Representation of the Risk Premium risk premium E t [Rt t+τ ] R1

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Risk Parity and Budgeting

Introduction to Risk Parity and Budgeting Introduction to Risk Parity and Budgeting Chapter 3 Risk-Based Indexation c Thierry Roncalli & CRC Press Evry University & Lyxor Asset Management, France Instructors may find the description of the book

Διαβάστε περισσότερα

Financial Risk Management

Financial Risk Management Pricing of American options University of Oulu - Department of Finance Spring 2018 Volatility-based binomial price process uuuus 0 = 26.51 uuus 0 = 24.71 uus 0 = us 0 = S 0 = ds 0 = dds 0 = ddds 0 = 16.19

Διαβάστε περισσότερα

LS series ALUMINUM ELECTROLYTIC CAPACITORS CAT.8100D. Specifications. Drawing. Type numbering system ( Example : 200V 390µF)

LS series ALUMINUM ELECTROLYTIC CAPACITORS CAT.8100D. Specifications. Drawing. Type numbering system ( Example : 200V 390µF) Snap-in Terminal Type, 85 C Standard Withstanding 3000 hours application of rated ripple current at 85 C. Compliant to the RoHS directive (2011/65/EU). LS Smaller LG Specifications Item Category Temperature

Διαβάστε περισσότερα

Figure A.2: MPC and MPCP Age Profiles (estimating ρ, ρ = 2, φ = 0.03)..

Figure A.2: MPC and MPCP Age Profiles (estimating ρ, ρ = 2, φ = 0.03).. Supplemental Material (not for publication) Persistent vs. Permanent Income Shocks in the Buffer-Stock Model Jeppe Druedahl Thomas H. Jørgensen May, A Additional Figures and Tables Figure A.: Wealth and

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Probabilistic Approach to Robust Optimization

Probabilistic Approach to Robust Optimization Probabilistic Approach to Robust Optimization Akiko Takeda Department of Mathematical & Computing Sciences Graduate School of Information Science and Engineering Tokyo Institute of Technology Tokyo 52-8552,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΘΙΑΝΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη και ανάπτυξη αλγορίθμων εμπνευσμένων από τη Βιολογία (Bio inspired algorithms)» ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος Κεφαλαίου. Estimating Inputs: Discount Rates

Κόστος Κεφαλαίου. Estimating Inputs: Discount Rates Αρτίκης Γ. Παναγιώτης Κόστος Κεφαλαίου Estimating Inputs: Discount Rates Critical ingredient in discounted cashflow valuation. Errors in estimating the discount rate or mismatching cashflows and discount

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΝΑΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Α & Β ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ Κ.Χ. 18μ. Α/Γ/Ε/Ν, Πεύκη, Κυριακή 1/2/2009 ΡΗΓΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ

ΑΓΩΝΑΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Α & Β ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ Κ.Χ. 18μ. Α/Γ/Ε/Ν, Πεύκη, Κυριακή 1/2/2009 ΡΗΓΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΤΣΕΡΚΕΖΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΡΗΓΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΝΔΡΩΝ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΥ ΤΟΞΟΥ Α' ΓΥΡΟΣ Β' ΓΥΡΟΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝ (10) ΣΥΝ (9) 1 ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΧΑΙΟΙ 284 278 562 32 21 2 ΤΣΕΡΚΕΖΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΝΑΣ ΠΑΙΔΩΝ/ΚΟΡΑΣΙΔΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 18μ ΚΛΕΙΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ - ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ - 13 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΓΚΑΛΕΝΤΖΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΑΓΩΝΑΣ ΠΑΙΔΩΝ/ΚΟΡΑΣΙΔΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ 18μ ΚΛΕΙΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ - ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ - 13 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΓΚΑΛΕΝΤΖΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΓΚΑΛΕΝΤΖΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΤΣΑΓΚΑΡΙΔΗΣ ΜΑΛΑΜΑΣ ΣΑΚΕΛΑΡΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΑΙΔΩΝ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΥ ΤΟΞΟΥ Α' ΓΥΡΟΣ Β' ΓΥΡΟΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝ (10) ΣΥΝ (9) 1 ΓΚΑΛΕΝΤΖΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Σ.Ο. ΔΡΑΜΑΣ 238 239 477 8 19 2 ΤΣΑΓΚΑΡΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος Κεφαλαίου. Estimating Inputs: Discount Rates

Κόστος Κεφαλαίου. Estimating Inputs: Discount Rates Αρτίκης Γ. Παναγιώτης Κόστος Κεφαλαίου Estimating Inputs: Discount Rates Critical ingredient in discounted cashflow valuation. Errors in estimating the discount rate or mismatching cashflows and discount

Διαβάστε περισσότερα

Financial Risk Management

Financial Risk Management Pricing of American options University of Oulu - Department of Finance Spring 2017 Volatility-based binomial price process uuuus 0 = 26.51 uuus 0 = 24.71 uus 0 = us 0 = S 0 = ds 0 = dds 0 = ddds 0 = 16.19

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

Φράντς Κάφκα: «Η σιωπή των σειρήνων» (Ν.Ε.Λ. Β Λυκείου, Β12, σσ. 255-257)

Φράντς Κάφκα: «Η σιωπή των σειρήνων» (Ν.Ε.Λ. Β Λυκείου, Β12, σσ. 255-257) 1. ΚΕΙΜΕΝΟ Φράντς Κάφκα: «Η σιωπή των σειρήνων» (Ν.Ε.Λ. Β Λυκείου, Β12, σσ. 255-257) 2. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ 2.1. Στοιχεία που αφορούν στο συγγραφέα, λογοτεχνικό περιβάλλον και λοιπά γραµµατολογικά στοιχεία:

Διαβάστε περισσότερα

Applications. 100GΩ or 1000MΩ μf whichever is less. Rated Voltage Rated Voltage Rated Voltage

Applications. 100GΩ or 1000MΩ μf whichever is less. Rated Voltage Rated Voltage Rated Voltage Features Rated Voltage: 100 VAC, 4000VDC Chip Size:,,,,, 2220, 2225 Electrical Dielectric Code EIA IEC COG 1BCG Applications Modems LAN / WAN Interface Industrial Controls Power Supply Back-Lighting Inverter

Διαβάστε περισσότερα

Asset pricing at the Oslo Stock Exchange. A Source Book.

Asset pricing at the Oslo Stock Exchange. A Source Book. Asset pricing at the Oslo Stock Exchange. A Source Book. Bernt Arne Ødegaard 14 February 2006 Abstract This paper uses data from the Oslo Stock Exchange in the period 1980 to 2004 to calculate descriptive

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 2. Σκιαγράφηση του φαινομένου της φτώχειας. Κεφάλαιο 3. Η καταπολέμηση της φτώχειας ως στόχος των Συστημάτων Κοινωνικής Πρόνοιας

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 2. Σκιαγράφηση του φαινομένου της φτώχειας. Κεφάλαιο 3. Η καταπολέμηση της φτώχειας ως στόχος των Συστημάτων Κοινωνικής Πρόνοιας ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πίνακας Συντμήσεων Κατάλογος Πινάκων Κατάλογος Σχημάτων σελ.6 σελ.8 σελ.9 Περίληψη σελ.10 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή σελ. 12 Κεφάλαιο 2. Σκιαγράφηση του φαινομένου της φτώχειας 2. Η οριοθέτηση της

Διαβάστε περισσότερα

MOTORCAR INSURANCE I

MOTORCAR INSURANCE I MOTORCAR INSURANCE I I Acc. II Acc. III Acc. Sex Year Month Day 19970602 0 0 M 1966 4 11 19820101 19840801 0 M 1926 3 25 19820801 19840712 0 F 1952 2 19 19781222 19810507 0 M 1952 3 23 19821110 19870614

Διαβάστε περισσότερα

IR Futures Effective Asset Class ก Efficient Frontier

IR Futures Effective Asset Class ก Efficient Frontier Interest Futures* ก * ก ก ก. ก ก 11 ก ก ก ก ก ( ) ก ก * Interest Futures ก ก ก ก ก ก ก ก ก ก (Synthetic Portfolio) ก * ก ก ก 2 กก IR Futures ก ก (Asset Class) IR Futures Supposedly Most Efficient and Effective

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Παραδείγματα 3 5 : Προβλήματα μεταφοράς (transportation problems)... 3 Παράδειγματα 3-5: Linear Programming

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέγερση του Πολυτεχνείου

Η εξέγερση του Πολυτεχνείου Η εξέγερση του Πολυτεχνείου Του Βαλάντη Αθανασίου, ιστορικού Η εξέγερση που άρχισε στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο στις 14 Νοεμβρίου 1973 ήταν η μαζικότερη δημόσια εκδήλωση εναντίον των δικτατόρων που

Διαβάστε περισσότερα

Smaller. 6.3 to 100 After 1 minute's application of rated voltage at 20 C, leakage current is. not more than 0.03CV or 4 (µa), whichever is greater.

Smaller. 6.3 to 100 After 1 minute's application of rated voltage at 20 C, leakage current is. not more than 0.03CV or 4 (µa), whichever is greater. Low Impedance, For Switching Power Supplies Low impedance and high reliability withstanding 5000 hours load life at +05 C (3000 / 2000 hours for smaller case sizes as specified below). Capacitance ranges

Διαβάστε περισσότερα

8. Θεωρίες του εικοστού αιώνα

8. Θεωρίες του εικοστού αιώνα 8. Θεωρίες του εικοστού αιώνα [ Οι θεωρίες του υπαρξισµ ού] Α1. Ερωτήσεις γνώσης - κατανόησης 1. Ποιες µεγάλες κατευθύνσεις της φιλοσοφίας διαµορφώθηκαν ή εκδηλώθηκαν στον εικοστό αιώνα; Ποια είναι η γενικότερη

Διαβάστε περισσότερα

TAMIL NADU PUBLIC SERVICE COMMISSION REVISED SCHEMES

TAMIL NADU PUBLIC SERVICE COMMISSION REVISED SCHEMES TAMIL NADU PUBLIC SERVICE COMMISSION REVISED SCHEMES *********** COMBINED CIVIL SERVICES - I GROUP - I SERVICES PRELIMINARY EXAMINATION SinglePaper GeneralStudies(DegreeStd.)200items/300marks(Objectivetype)

Διαβάστε περισσότερα

Σε ισχύ η σήµανση CE στα εξωτερικά σκιάδια και εξώφυλλα. Τεχνικά θέµατα

Σε ισχύ η σήµανση CE στα εξωτερικά σκιάδια και εξώφυλλα. Τεχνικά θέµατα External blinds and shutters - Resistance to wild loads - Method of testing The performances given in this European Standard which illustrate suitability for use, are required for every type of shutter.

Διαβάστε περισσότερα

Μόνο αν τους αφήσουµε!

Μόνο αν τους αφήσουµε! Μόνο αν τους αφήσουµε! Η άνοδος της Χρυσής Αυγής και η επανεµφάνιση του φασιστικού κινδύνου Της Χριστίνας Ζιάκα 1. Εισαγωγή Μια µετά την άλλη οι δηµοσκοπήσεις από την αρχή του 2012 πιστοποιούσαν την ανοδική

Διαβάστε περισσότερα

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i

Διαβάστε περισσότερα

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

του Αναπληρωτή Εκπαιδευτικού Π.Ε. Ένας χρήσιµος οδηγός αφιέρωµα στον αναπληρωτή εκπαιδευτικό της Π.Ε..

του Αναπληρωτή Εκπαιδευτικού Π.Ε. Ένας χρήσιµος οδηγός αφιέρωµα στον αναπληρωτή εκπαιδευτικό της Π.Ε.. ηµητρακόπουλος Γιώργος Αιρετός Π.Υ.Σ.Π.Ε. Πειραιά (εκλεγµένος µε το ψηφοδέλτιο της Π. Α. Σ. Κ.) Τηλ. επικοινωνίας 6977 747439 e-mail: dimitrako@sch.gr http://users.sch.gr/dimitrako του Αναπληρωτή Εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Διακύμανσης

Εισαγωγή στην Ανάλυση Διακύμανσης Εισαγωγή στην Ανάλυση Διακύμανσης 1 Η Ανάλυση Διακύμανσης Από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές μέσων όρων, όπως και το κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ. ΠΟΛΥΞΕΝΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ Αγρονόμος-Τοπογράφος Μηχ. Δρ. Γεωγραφίας Καθηγήτρια Τμ. Τοπογραφίας ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ piliop@teiath.gr

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ. ΠΟΛΥΞΕΝΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ Αγρονόμος-Τοπογράφος Μηχ. Δρ. Γεωγραφίας Καθηγήτρια Τμ. Τοπογραφίας ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ piliop@teiath.gr ΧΩΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΞΕΝΗ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ Αγρονόμος-Τοπογράφος Μηχ. Δρ. Γεωγραφίας Καθηγήτρια Τμ. Τοπογραφίας ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ piliop@teiath.gr ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ Η Χωρική Ανάλυση άυση(spatiala Analysis)

Διαβάστε περισσότερα

1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model

1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model 1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model Let xi = the amount of money invested in each of the potential investments in, where (i=1,2, ) x1 = the amount of money invested in Savings Account

Διαβάστε περισσότερα

Creative TEchnology Provider

Creative TEchnology Provider 1 Oil pplication Capacitors are intended for the improvement of Power Factor in low voltage power networks. Used advanced technology consists of metallized PP film with extremely low loss factor and dielectric

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΟΣ MONEY PLUS ΙΑΧΕΙΡΙΣHΣ ΙΑΘΕΣΙΜΩΝ

ΗΛΟΣ MONEY PLUS ΙΑΧΕΙΡΙΣHΣ ΙΑΘΕΣΙΜΩΝ ΗΛΟΣ MONEY PLUS ΙΑΧΕΙΡΙΣHΣ ΙΑΘΕΣΙΜΩΝ ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΘΕΣΗ ΙΑΧ/ΣΕΩΣ ΑΜΟΙΒΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΤΗΣ 30/06/2012 ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ Ν. 3283/2004(ΑΡΘΡΟ 28 Π. 4) Α. ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ I. ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Σύνθεση Ενεργητικού

Διαβάστε περισσότερα

2. Laser Specifications 2 1 Specifications IK4301R D IK4401R D IK4601R E IK4101R F. Linear Linear Linear Linear

2. Laser Specifications 2 1 Specifications IK4301R D IK4401R D IK4601R E IK4101R F. Linear Linear Linear Linear 2. Laser Specifications 2 1 Specifications IK4301R D IK4401R D IK4601R E IK4101R F 441.6 441.6 441.6 441.6 30 50 70 100 TEM00 TEM00 TEM00 TEM00 BEAM DIAMETER ( 1/e2) 1.1 1.1 1.2 1.2 0.5 0.5 0.5 0.4 RATIO

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Θέµα Α 1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Θέµα Α Α.1. Στην άκρη ενός τραπεζιού ϐρίσκονται δύο σφαίρες Σ 1 και Σ. Κάποια χρονική στιγµή η σφαίρα Σ 1 εκτοξεύεται

Διαβάστε περισσότερα

255 (log-normal distribution) 83, 106, 239 (malus) 26 - (Belgian BMS, Markovian presentation) 32 (median premium calculation principle) 186 À / Á (goo

255 (log-normal distribution) 83, 106, 239 (malus) 26 - (Belgian BMS, Markovian presentation) 32 (median premium calculation principle) 186 À / Á (goo (absolute loss function)186 - (posterior structure function)163 - (a priori rating variables)25 (Bayes scale) 178 (bancassurance)233 - (beta distribution)203, 204 (high deductible)218 (bonus)26 ( ) (total

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΕΤΡΑ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΡΑ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΚΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments

A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments 2008 6 6 :100026788 (2008) 0620106209,, (, 102206) : NP2hard,,..,.,,.,.,. :,,,, : TB11411 : A A research on the influence of dummy activity on float in an AOA network and its amendments WANG Qiang, LI

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Οικονοµικό Έτος 2014 Κωδικός Αριθµός Ο ν ο µ α σ ί α ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 1. ΠΙΣΤΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΦΟΡΕΑ 2014 2013 ιαµόρφωση 2012 Απολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2017 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Knapsack problems ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2017 - Ι. ΜΗΛΗΣ 10 DP III 1 Knapsack problems ΕΙΣΟΔΟΣ: Σακίδιο χωρητικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Monolithic Crystal Filters (M.C.F.)

Monolithic Crystal Filters (M.C.F.) Monolithic Crystal Filters (M.C.F.) MCF (MONOLITHIC CRYSTAL FILTER) features high quality quartz resonators such as sharp cutoff characteristics, low loss, good inter-modulation and high stability over

Διαβάστε περισσότερα

Optimization Investment of Football Lottery Game Online Combinatorial Optimization

Optimization Investment of Football Lottery Game Online Combinatorial Optimization 27 :26788 (27) 2926,2, 2, 3 (, 76 ;2, 749 ; 3, 64) :, ;,,, ;,, : ; ; ; ; ; : TB4 : A Optimization Investment of Football Lottery Game Online Combinatorial Optimization HU Mao2lin,2, XU Yin2feng 2, XU Wei2jun

Διαβάστε περισσότερα

The ε-pseudospectrum of a Matrix

The ε-pseudospectrum of a Matrix The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems

Διαβάστε περισσότερα

Numerical Analysis FMN011

Numerical Analysis FMN011 Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =

Διαβάστε περισσότερα

Structural and Multidisciplinary Optimization. P. Duysinx, P. Tossings*

Structural and Multidisciplinary Optimization. P. Duysinx, P. Tossings* Structural and Multidisciplinary Optimization P. Duysinx, P. Tossings* 2017-2018 * CONTACT Patricia TOSSINGS Institut de Mathematique B37), 0/57 Telephone: 04/366.93.73. Email: Patricia.Tossings@ulg.ac.be

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

Slides 4. Matthieu Gomez Fall 2017

Slides 4. Matthieu Gomez Fall 2017 Slides 4 Matthieu Gomez Fall 2017 Portfolio Problem Optimization A typical optimization problem has the form { + } J(x t ) = maxe t e ρ(τ t) h(u τ )dτ u t t s.t. dx = µ(x, u)dt + σ(x, u)dz t Bellman s

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΠΟΙΜΑΝΤΙΚΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΙΣ ΑΥΤΟΥ. (Εισήγησις του Σεβ. Μητροπολίτου Ιλίου, Αχαρνών &

ΤΟ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΠΟΙΜΑΝΤΙΚΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΙΣ ΑΥΤΟΥ. (Εισήγησις του Σεβ. Μητροπολίτου Ιλίου, Αχαρνών & ΤΟ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΠΟΙΜΑΝΤΙΚΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΙΣ ΑΥΤΟΥ (Εισήγησις του Σεβ. Μητροπολίτου Ιλίου, Αχαρνών & Πετρουπόλεως κ. Αθηναγόρου ενώπιον της Ιεράς Συνόδου της Ιεραρχίας της Εκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) = Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n

Διαβάστε περισσότερα

Supplementary Materials for Evolutionary Multiobjective Optimization Based Multimodal Optimization: Fitness Landscape Approximation and Peak Detection

Supplementary Materials for Evolutionary Multiobjective Optimization Based Multimodal Optimization: Fitness Landscape Approximation and Peak Detection IEEE TRANSACTIONS ON EVOLUTIONARY COMPUTATION, VOL. XX, NO. X, XXXX XXXX Supplementary Materials for Evolutionary Multiobjective Optimization Based Multimodal Optimization: Fitness Landscape Approximation

Διαβάστε περισσότερα

Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model

Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model Jordi Galí CREI, UPF and Barcelona GSE June 216 Jordi Galí (CREI, UPF and Barcelona GSE) Monetary Policy Design June 216 1 / 12 The Basic New Keynesian

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ

ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ του ΜΙΧΑΗΛ ΚΟΖΑΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ του ΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΛΚΟΥΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΜΟΡΑΛΗΣ ΖΗΣΗΣ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

ιανοµείς - προµηθευτές

ιανοµείς - προµηθευτές Ορισµός, ρόλος Παράγοντες επιρροής Πολιτικές και µέθοδοι τιµολόγησης ιαχρονική, γενικές στρατηγικές 4. Τακτικό µάρκετινγκ : ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ Γενικότερο περιβάλλον Αγοραστής 1 Γενικότερο περιβάλλον Στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Metal thin film chip resistor networks

Metal thin film chip resistor networks Metal thin film chip resistor networks AEC-Q200 Compliant Features Relative resistance and relative TCR definable among multiple resistors within package. Relative resistance : ±%, relative TCR: ±1ppm/

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

LS series ALUMINUM ELECTROLYTIC CAPACITORS CAT.8100D. Specifications. Drawing. Type numbering system ( Example : 200V 390µF)

LS series ALUMINUM ELECTROLYTIC CAPACITORS CAT.8100D. Specifications. Drawing. Type numbering system ( Example : 200V 390µF) Snap-in Terminal Type, 85 C Standard Withstanding 000 hours application of rated ripple current at 85 C. Compliant to the RoHS directive (2011/65/EU). S Smaller G Specifications Item Category Temperature

Διαβάστε περισσότερα

Research on model of early2warning of enterprise crisis based on entropy

Research on model of early2warning of enterprise crisis based on entropy 24 1 Vol. 24 No. 1 ont rol an d Decision 2009 1 Jan. 2009 : 100120920 (2009) 0120113205 1, 1, 2 (1., 100083 ; 2., 100846) :. ;,,. 2.,,. : ; ; ; : F270. 5 : A Research on model of early2warning of enterprise

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΗ ΣΚΑΛΑ ΑΠΟ FIBERGLASS ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 2Χ2,4Μ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΗ ΣΚΑΛΑ ΑΠΟ FIBERGLASS ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 2Χ2,4Μ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΗ ΣΚΑΛΑ ΑΠΟ FIBERGLASS ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 2Χ2,4Μ ΚΩ ΙΚΟΙ: 802000032 1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Αντικείµενο της παρούσας προδιαγραφής είναι ο καθορισµός των τεχνικών χαρακτηριστικών, των δοκιµών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ. Τ Ο Κ ΡΗΤΙΚΟ Ζ ΗΤΗΜΑ ΑΠΟ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΚΑΤΑ ΤΟ 19ο ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ 20ου ΑΙΩΝΑ

ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ. Τ Ο Κ ΡΗΤΙΚΟ Ζ ΗΤΗΜΑ ΑΠΟ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΚΑΤΑ ΤΟ 19ο ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ 20ου ΑΙΩΝΑ ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Τ Ο Κ ΡΗΤΙΚΟ Ζ ΗΤΗΜΑ ΑΠΟ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΚΑΤΑ ΤΟ 19ο ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ 20ου ΑΙΩΝΑ Είχαµε θάρρος εις εσάς τσι βασιλείς τσι Φράγκους κι εδά µας αδικήσετε κι αφήσετέ µας σκλάβους. Όσοι καταλυθήκανε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions

Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΜΕΣΟ ΟΡΟ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΙΚΗΓΟΡΩΝ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 2011

ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΜΕΣΟ ΟΡΟ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΙΚΗΓΟΡΩΝ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 2011 ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΜΕΣΟ ΟΡΟ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΙΚΗΓΟΡΩΝ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 2011 ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΟΝΟΜΑ Εμπορικό Πολιτική Αστικό Ποινικό Ποινική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ

ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ. ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΕΦΕΤΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ και ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΩΝ ΚΑΤΆ ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΔΙΚΗΓΟΡΩΝ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 2011 ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΟΝΟΜΑ Εμπορικό Πολιτική Αστικό Ποινικό

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

FSM Toolkit Exercises Part II

FSM Toolkit Exercises Part II ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Αναπληρωτής Καθηγητής: Αλέξανδρος Ποταμιάνος Ονοματεπώνυμο: Α. Μ. : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΗΛ 413 : Συστήματα Επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 08 DP I 1 Dynamic Programming Richard Bellman (1953) Etymology (at

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

LGU. Low Profile. Smaller. LGW High Ripple Current LGN. Performance Characteristics. Measurement frequency : 120Hz Rated voltage (V)

LGU. Low Profile. Smaller. LGW High Ripple Current LGN. Performance Characteristics. Measurement frequency : 120Hz Rated voltage (V) Snap-in Terminal Type, 105 C Standard Withstanding hours application of rated ripple current at 105 C. Compliant to the RoHS directive (2011/65/EU). LGW High Ripple Smaller Low Profile Specifications LGN

Διαβάστε περισσότερα

LS series Withstanding 3000 hours application of rated ripple current at 85 C.

LS series Withstanding 3000 hours application of rated ripple current at 85 C. Snap-in Terminal Type, Standard Withstanding 000 hours application of rated current at 85 C. S Smaller N Specifications Item Category Temperature Range Voltage Range Capacitance Range Capacitance Tolerance

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες χρήσης του R, μέρος 2 ο

Οδηγίες χρήσης του R, μέρος 2 ο ΟδηγίεςχρήσηςτουR,μέρος2 ο Ελληνικά Ανπροσπαθήσουμεναγράψουμεελληνικάήναανοίξουμεκάποιοαρχείοδεδομένωνμε ελληνικούςχαρακτήρεςστοr,μπορείαντίγιαελληνικάναδούμελατινικούςχαρακτήρεςμε τόνουςήάλλακαλλικαντζαράκια.τότεδίνουμετηνπαρακάτωεντολήγιαναγυρίσειτοrστα

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINATION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A 2DOF SYSTEM. by Zoran VARGA, Ms.C.E.

DETERMINATION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A 2DOF SYSTEM. by Zoran VARGA, Ms.C.E. DETERMINATION OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A 2DOF SYSTEM by Zoran VARGA, Ms.C.E. Euro-Apex B.V. 1990-2012 All Rights Reserved. The 2 DOF System Symbols m 1 =3m [kg] m 2 =8m m=10 [kg] l=2 [m] E=210000

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS & ANSWERS FOR KERALA ENGINEERING ENTRANCE EXAMINATION-2018 PAPER II VERSION B1

SOLUTIONS & ANSWERS FOR KERALA ENGINEERING ENTRANCE EXAMINATION-2018 PAPER II VERSION B1 SOLUTIONS & ANSWERS FOR KERALA ENGINEERING ENTRANCE EXAMINATION-8 PAPER II VERSION B [MATHEMATICS]. Ans: ( i) It is (cs5 isin5 ) ( i). Ans: i z. Ans: i i i The epressin ( i) ( ). Ans: cs i sin cs i sin

Διαβάστε περισσότερα

Supporting Information

Supporting Information Supporting Information Aluminum Complexes of N 2 O 2 3 Formazanate Ligands Supported by Phosphine Oxide Donors Ryan R. Maar, Amir Rabiee Kenaree, Ruizhong Zhang, Yichen Tao, Benjamin D. Katzman, Viktor

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ SPATIAL ECONOMETRIC MODELS FOR VALUATION OF THE PROPERTY PRICES

ΧΩΡΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ SPATIAL ECONOMETRIC MODELS FOR VALUATION OF THE PROPERTY PRICES 1 ο Συνέδριο Χωρικής Ανάλυσης: Πρακτικά, Αθήνα, 013, Σ. Καλογήρου (Επ.) ISBN: 978-960-86818-6-6 ΧΩΡΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ Μαριάνθη Στάμου 1*, Άγγελος Μιμής και

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα της μη αναισθητοποίησης των κάτω τομέων μετά από στελεχιαία κάτω φατνιακού νεύρου

Το πρόβλημα της μη αναισθητοποίησης των κάτω τομέων μετά από στελεχιαία κάτω φατνιακού νεύρου σελ. 6 ΣTOMA 2011; 39: 189-194 Ενδοδοντολογία Βιβλιογραφική ανασκόπηση Το πρόβλημα της μη αναισθητοποίησης των κάτω τομέων μετά από στελεχιαία κάτω φατνιακού νεύρου ΧΡ. ΣΤΑΥΡΙΑΝΟΣ 1, Λ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ 1,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

F-TF Sum and Difference angle

F-TF Sum and Difference angle F-TF Sum and Difference angle formulas Alignments to Content Standards: F-TF.C.9 Task In this task, you will show how all of the sum and difference angle formulas can be derived from a single formula when

Διαβάστε περισσότερα

CE 530 Molecular Simulation

CE 530 Molecular Simulation C 53 olecular Siulation Lecture Histogra Reweighting ethods David. Kofke Departent of Cheical ngineering SUNY uffalo kofke@eng.buffalo.edu Histogra Reweighting ethod to cobine results taken at different

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή και χαρακτηρισµός νέων άµορφων συµπαγών κραµάτων για εφαρµογές σε µηχανικές και σε ηλεκτροµαγνητικές διατάξεις

Παρασκευή και χαρακτηρισµός νέων άµορφων συµπαγών κραµάτων για εφαρµογές σε µηχανικές και σε ηλεκτροµαγνητικές διατάξεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ιπλωµατική Εργασία Παρασκευή και χαρακτηρισµός νέων άµορφων συµπαγών κραµάτων για εφαρµογές σε µηχανικές και

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα