Συλλογή Ασκήσεων Υδραυλικής Συνδυασμένες εφαρμογές Ισοζυγίων Μάζας & Ενέργειας

Transcript

1 Συλλοή Ασκήσεων Υδραυλικής Συνδυασμένες εφαρμοές Ισοζυίων Μάζας & Ενέρειας Άσκηση.7 Λειτουρία σωλήνα Pitot. Ένα σκέλος μανομέτρου έχει στόμιο στραμμένο προς τη ροή, έτσι ώστε η ταχύτητα στο στόμιο να είναι μηδέν. (Η πίεση σε ένα σημείο της ροής όπου η ταχύτητα μηδενίζεται καλείται δυναμική πίεση.) Το άλλο σκέλος του μανομέτρου καταλήει σε στόμιο στα τοιχώματα του σωλήνα. Θεωρώντας απώλειες ενέρειας αμελητέες, να υπολοισθεί η παροχή, Q, του αωού. διάμετρος του αωού είναι c και η υψομετρική διαφορά της στάθμης του υδραρύρου στα δύο σκέλη του μανομετρικού σωλήνα Pitot είναι h6c. R R r (r) c y h6c Λύση Θα κάνουμε την ανάλυση πάνω σε μια ραμμή ροής που καταλήει στο στόμιο του μανομετρικού σωλήνα (διακεκομμένη ραμμή RR που συμπίπτει με τον άξονα του σωλήνα). Καθώς κινούμαστε επάνω στη ραμμή ροής, από αριστερά προς τα δεξιά, η ταχύτητα της ροής θα παραμένει σταθερή, εκτός από την περιοχή πολύ κοντά στο στόμιο όπου το μέεθός της μειώνεται απότομα και βαθμιαία μηδενίζεται - λίο πριν και μέσα στο στόμιο. Το σημείο () στην είσοδο του μανομετρικού σωλήνα λέεται σημείο ανακοπής της ροής. Ως στάθμη αναφοράς υψομέτρων (y) ορίζουμε αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Γράφουμε το ενερειακό ισοζύιο ια οποιαδήποτε ραμμή ροής (εφαρμοή Bernolli μεταξύ σημείων & πάνω στη ραμμή ροής RR ) y y g g Για τη συκεκριμένη ραμμή ροής RR, έχουμε (σημείο ανακοπής), y y, και το ενερειακό ισοζύιο ίνεται g g Επόμενο βήμα είναι να εμφανίσουμε τη διαφορά πιέσεων - συναρτήσει νωστών μεεθών. () () Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

2 Μέσα στο σωλήνα Pitot έχουμε υδροστατικές συνθήκες (δε ρέει υρό), άρα ρg ρ ( y y) g( y y ) ( y y ) g ρg y ρ ρg ρ g y ρg ( y y ) Επίσης, επειδή η απόσταση μεταξύ των δύο διατομών () και () είναι σχετικά μικρή και οι απώλειες ενέρειας αμελητέες, η διαφορά πιέσεων - μπορεί να εκφρασθεί ως ( y ) ρ () g y Προσθέτοντας κατά μέλη τις () & () και παίρνοντας υπόψη ότι y y, προκύπτει ρg ρg g y g ρ ρ h () ρ ρ Επομένως από τις () & () προκύπτει η σχέση ρg ρg h g h g (6) ρ ρ Αντικαθιστώντας τις κατάλληλες αριθμητικές τιμές σην (6) υπολοίζουμε το : 9,8,6,86 / (7) Η ταχύτητα που υπολοίσαμε είναι η ταχύτητα της ροής πάνω στον άξονα του σωλήνα (r) αλλά σχετικά μακριά από το στόμιο στη θέση (), και αποτελεί τη μέιστη ταχύτητα στην κατανομή της ταχύτητας ροής (r). Για να υπολοίσουμε την παροχή όκου δια μέσου του αωού, Q, θα πρέπει να ξέρουμε τη μέση ταχύτητα,, αφού Q. Η προκύπτει αναλυτικά από το ολοκλήρωμα (r), όπου (r) η κατανομή ταχυτήτων σε μια διατομή Α. Εάν η ροή είναι τυρβώδης, τότε η κατανομή ταχυτήτων θα δίνεται προσειστικά από την 7 έκφραση (r) ( ( ) ) r R, και η μέση ταχύτητα a, όπου a9/6. Έτσι, από την τελευταία έκφραση προκύπτει ότι, /. παροχή όκου δίνεται από την έκφραση Q π, η οποία μετά από αντικατάσταση των αριθμητικών τιμών ίνεται π Q, (,) Q 98, 98,lt Σημείωση Για να ελέξουμε την ορθότητα της παραδοχής μας σχετικά με τη διατήρηση τυρβώδους ροής στον αωό, θα υπολοίσουμε τον αριθμό Reynol, χρησιμοποιώντας τo που μόλις υπολοίσαμε και την τιμή ια το ιξώδες του νερού από πίνακες (μ, - Ν/ στους o C) ρ kg,, Re µ, N Re Re 6, (9) Αφού Re>, η ροή είναι πράματι τυρβώδης, άρα σωστά είχαμε κάνει την αρχική υπόθεση. () (8) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

3 Εάν από τους υπολοισμούς προέκυπτε Re< τότε η ροή θα ήταν στρωτή, κάτι που θα ερχόταν σε ασυνέπεια με την αρχική υπόθεση περί διατήρησης τυρβώδους ροής. Σε αυτήν την περίπτωση θα έπρεπε να επαναλάβουμε τη διαδικασία υποθέτωντας στρωτή ροή, με κατανομή ταχυτήτων (r) ( ( r R) ), και μέση ταχύτητα a, a/, και να επανελέξουμε την ορθότητα της υπόθεσης. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

4 Άσκηση.8 Η αντλία στο παρακάτω σκαρίφημα πραματοποιεί αναρρόφηση από μια πολύ μεάλη δεξαμενή και παρέχει στην εκατάσταση υδραυλική ισχύ ΗΡ. Η σωλήνα αναρρόφησης και η σωλήνα κατάθλιψης έχουν την ίδια διάμετρο c. Στο τέλος του σωλήνα κατάθλιψης υπάρχει ακροφύσιο από το οποίο εκτοξεύεται φλέβα νερού διαμέτρου c. Εάν οι απώλειες τριβών σε όλη την εκατάσταση είναι L να υπολοισθεί η παροχή ;q της αντλίας. y Α c c Λύση υδραυλική ισχύς, Ρ Η, που παρέχει μια αντλία σε μια εκατάσταση δίνεται από την έκφραση P ρg q () όπου Η Α το μανομετρικό ύψος της αντλίας ια συκεκριμένη παροχή όκου, q. Στην παραπάνω εξίσωση έχουμε δύο ανώστους: το μανομετρικό ύψος, Η Α, και την παροχή, q, της αντλίας. Άρα, ια να υπολοίσουμε την q, χρειαζόμαστε μία ακόμα σχέση μεταξύ των Η Α και q. Η σχέση αυτή θα προκύψει από το ενικό ενερειακό ισοζύιο της ροής σε δύο διατομές εκατέρωθεν της αντλίας. Ως ανάντι διατομή (Α ) επιλέουμε την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή. Ως κατάντι διατομή επιλέουμε τη διατομή (Α ) αμέσως μετά την έξοδο του ακροφυσίου (στο τζετ νερού βλέπε μεέθυνση). Ως στάθμη αναφοράς υψομέτρων (y) ορίζουμε την επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή. Το ενερειακό ισοζύιο ια (ασυμπίεστη) ροή φλέβας νερού στον όκο ελέχου μεταξύ των προαναφερθέντων διατομών έχει ως εξής y C g y L C g όπου & είναι οι μέσες ταχύτητες στις δύο διατομές Α & Α Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε q () Επειδή Α >> Α και πεπερασμένο, τότε. Επίσης, at, και y. Επιπλέον, επειδή η διατομή αναφέρεται στο τζετ του νερού εκτός ακροφυσίου, η ροή στο σημείο είναι ομοιόμορφη (ιδανική) άρα C. Έτσι, το ενικό ενερειακό ισοζύιο (), ίνεται () Άσκηση 6 (Κεφ. σελ.) από το βιβλίο «Μηχανική των Ρευστών» του Π. Κορωνάκη Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

5 Όμως, L y () g π q q q () π Αντικαθιστώντας την () στην () θα πάρουμε q L y g (6) π Αυτή είναι η δεύτερη σχέση που ψάχνουμε. Την αντικαθιστούμε στην () και έχουμε μια εξίσωση ου βαθμού ως προς q όπου F ( q) P Bq q (7) (,) π π 9 7 7,76 kg (8) 8ρC 8 kg ( y ) kg 9,8 ( ) 9 kg ( ) B ρg (9) L P P 77W () Η παραπάνω εξίσωση (7) δε λύνεται αναλυτικά αλλά αριθμητικά. Για την αριθμητική επίλυση της (7) θα εφαρμόσουμε δύο ενδεικτικές μεθόδους. Τη μέθοδο της διχοτόμησης και τη μέθοδο Newton-Rahon. Μέθοδος διχοτόμησης: Δοκιμάζουμε διαφορετικές τιμές ια το q μέχρι να μηδενιστεί η συνάρτηση F(q) P Bq q. Τo αποτέλεσμα της επίλυσης συνοψίζεται στον επόμενο πίνακα. Τα σημεία με i,, αντιστοιχούν σε διαδοχικές δοκιμαστικές τιμές της q μέχρι να εντοπισθεί αλλαή προσήμου στις αντίστοιχες τιμές F(q i ). Μόλις εντοπισθεί αλλαή προσήμου, π.χ. μεταξύ των q i- και q i, η επόμενη δοκιμαστική τιμή q i τίθεται ανάμεσα στις προηούμενες δύο, δηλαδή q ( q q )/ i i i. Μέθοδος Newton-Rahon: Δοκιμάζουμε διαφορετικές τιμές ια το q μέχρι να μηδενιστεί η συνάρτηση F(q) P Bq q. Τo αποτέλεσμα της επίλυσης συνοψίζεται στον επόμενο πίνακα. Κάθε δοκιμαστική τιμή q i προκύπτει από την προηούμενη τιμή q i και από τις τιμές της συνάρτησης και της παραώου της ως προς q ια qq i, δηλαδή τις F(qi) και F F (qi ). q q q i Στους πίνακες και τα διαράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι δύο αλληλουχίες προσέισης της ρίζας ια τα σημεία -8. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

6 Μέθοδος διχοτόμησης (biection etho) i qi Bqi qi F(qi),,78E-,E -,,,78E-,E- -,98,,78E-6,E-6,,,89E-,E- -,86, 9,E-6,6E-, 6,7,8E-,7E- -,9 7,,8E-,9E-,9 8,,E-,6E-, F(q),E-,E-,E-,E,E,E-,E- 6,E- -,E- -,E- -,E- q F(q) Mέθοδος Newton-Rahon i Q P Bqi Qi F(qi) F'(qi),,7E-,78E-,E -, -,E,6666,7E-,E-,96E- -,96 -,E,,7E-,78E-6,E-6, -6,78E-,,7E-,89E-,E- -,86-7,878E-,,7E- 9,E-6,6E-, -,E- 6,7,7E-,8E-,7E- -,9 -,97E- 7,,7E-,8E-,9E-,9 -,6E- 8,,7E-,E-,6E-, -,9E-,E-,E-,E- F(q),E,E,E-,E- 6,E- -,E- F(q) -,E- -,E- q Άρα η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης (7) και στις δύο περιπτώσεις αριθμητικής μεθόδου- έδωσε q q,,lt () 8 Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 6

7 Άσκηση.9 Εάν η παροχή της αντλίας είναι, / να υπολοισθεί σε kw η ισχύς του (ηλεκτρικού) κινητήρα που κινεί την αντλία, αν οι συντελεστές απόδοσης αντλίας και κινητήρα είναι αντίστοιχα,8 και,9. Α Α c r (r) c c y R R Λύση υδραυλική ισχύς, Ρ Η, που παρέχει μια αντλία σε μια εκατάσταση δίνεται από την έκφραση P ( ) q q ρg q () ot in όπου q η παροχή όκου και ot, in, οι μανομετρικές πιέσεις στην έξοδο και είσοδο της αντλίας αντίστοιχα, ρ η πυκνότητα του υρού που αντλείται και Η Α το ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της αντλίας ια τη συκεκριμένη παροχή. Επομένως, ια να υπολοίσουμε την ισχύ, αρκεί να υπολοίσουμε τη διαφορά των εν λόω πιέσεων ή αντίστοιχα το Η Α. Γι αυτό το σκοπό επιλέουμε δύο διατομές Α και Α, στις οποίες θα υπολοίσουμε τη διαφορά πιέσεων -. Ως στάθμη αναφοράς υψομέτρων (y) ορίζουμε αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Στάδιο Ι Γράφουμε τη ενική εξίσωση ενέρειας ια ασυμπίεστη ροή μεταξύ δύο θέσεων () & () εκατέρωθεν της αντλίας. y C y C g όπου & είναι οι μέσες ταχύτητες στις δύο διατομές Α & Α του σωλήνα. Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε g q, /,666 / π (,) q () q, /,8 / π (, ) Πρόκειται ια την Άσκηση 7 (Κεφ. σελ.) από το Βιβλίο «Μηχανική των Ρευστών» του Π. Κορωνάκη () Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 7

8 Σημείωση Θα υπολοίσουμε τους αριθμούς Reynol στους δύο σωλήνες & εκατέρωθεν της αντλίας. O αριθμός Reynol ορίζεται ως: Reρ/μ, όπου μ το ιξώδες του νερού (από πίνακες, μ, - Ν/ στους o C). Προκύπτει ότι Re,6 και Re,66 στους σωλήνες και αντίστοιχα. Αφού Re, Re >, έχουμε πλήρως ανεπτυμένη τυρβώδη ροή και στους δύο σωλήνες. Άρα C C C,8 και a9/6,87. Επίσης, αφού και y y, η () ίνεται C ( q ) ( q ) g C g q C g Στην (), εάν νωρίζαμε τη διαφορά ( - ), θα υπολοίζαμε το μανομετρικό της αντλίας Η Α. Παρατηρούμε ότι θα μπορούσαμε να εκφράσουμε την πίεση συναρτήσει της πίεσης μέσω μιας ραμμής ροής και από εκεί, μέσω του μανομετρικού σωλήνα, να εκφράσουμε την μέσω της συναρτήσει της. Ας δούμε πως: Στάδιο ΙΙ Θα κάνουμε ανάλυση πάνω στη ραμμή ροής που καταλήει στο στόμιο του μανομετρικού σωλήνα (διακεκομμένη ραμμή RR που συμπίπτει με τον άξονα του σωλήνα). Καθώς κινούμαστε επάνω στη ραμμή ροής, από αριστερά προς τα δεξιά, η ταχύτητα θα παραμένει σταθερή, μέχρις ότου πλησιάσουμε την περιοχή πολύ κοντά στο στόμιο όπου το μέεθός της μειώνεται απότομα και βαθμιαία μηδενίζεται -λίο πριν και μέσα- στο στόμιο. Το σημείο () καλείται σημείο ανακοπής της ροής. Πάνω στη ραμμή ροής RR, το ενερειακό ισοζύιο (Bernolli) μεταξύ των θέσεων () & () δίνει y y g g και επειδή, ια τη συκεκριμένη ραμμή ροής RR, y y, και ια τη θέση () έχουμε (σημείο ανακοπής), το ενερειακό ισοζύιο ίνεται g g ( a) a το οποίο ίνεται τελικά Στάδιο ΙΙΙ ( q a) g g Το επόμενο βήμα είναι να εμφανίσουμε μια σχέση μεταξύ των και συναρτήσει νωστών μεεθών (αυτό θα ίνει διαμέσου του μανομετρικού σωλήνα). Έχουμε Στάδιο IV ρg ρ ( y y ) g( y y ) ( y y ) g ρg y y y ρ ρg ρ Συνθέτοντας τις (), (7) & (8) προσδιορίζουμε το Η Α : g y ρ ρ g y () () (6) (7) (8) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 8

9 ρ ρ ( q a) g g y ρ ρ g y ( q a) ρg q q ρg q Ca C y ( ) C y ρ g ρ a g g a ρg q Ca C y 8 (9) ρ π g a Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές στην (9) υπολοίζουμε το Η Α :, 8,,6,, g ( / ) (,87,8) π 9,8 ( 869, 66, ) (, ),87 (,),8, () Έτσι, σύμφωνα με την () και τις συκεκριμένες αριθμητικές τιμές υπολοίζουμε την υδραυλική ισχύ, Ρ Α, που παρέχει η αντλία στην εκατάσταση kg 9,8,, kg 98,89 P N 98,89 J 98,89 P,98 kw () Η μηχανική ισχύς, Ρ Μ, που θα πρέπει να παρέχεται στην αντλία από τον ηλεκτροκινητήρα υπολοίζεται (βλέπε Εμβόλιμη Θεωρία) ως P P e P,98 kw,8 P,68 kw () M M M Αντίστοιχα, η ηλεκτρική ισχύς που θα παρέχεται από το ηλεκτρικό δίκτυο στον ηλεκτροκινητήρα υπολοίζεται ως P P e P e e P,98 kw,8,9 P,6 kw () E M / K / K E E Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 9

10 Άσκηση. Στην έξοδο ενός κατακόρυφου σωλήνα διαμέτρου, νερό πέφτει ελεύθερα με παροχή όκου, q. Να υπολοισθούν η διάμετρος της φλέβας του νερού (h) συναρτήσει του κατακόρυφου ύψους h από το στόμιο του σωλήνα, καθώς επίσης και η ακριβής κατανομή της ταχύτητας του νερού στη φλέβα (r,h) συναρτήσει της ακτίνας της κυλινδρικής φλέβας και του κατακόρυφου ύψους h από το στόμιο του σωλήνα. h y (h) Y (h) y Y Επίλυση Έστω η διάμετρος του αωού (και της φλέβας του νερού αμέσως μετά την έξοδο από αυτό). Επειδή η ροή του νερού μετά την έξοδο από τον αωό ίνεται χωρίς τριβές (οι τριβές κατά τη σχετική κίνηση του νερού με τον αέρα στις πλευρές της φλέβας είναι πρακτικά αμελητέες), η ροή στη φλέβα είναι ομοιόμορφη και η ταχύτητα σε κάθε διατομή (δηλαδή σε κάθε ύψος h) είναι σταθερή (ανεξάρτητη του r). Άρα (r,h) (h) () Θα κάνουμε ένα ισοζύιο μάζας νερού (θα ράψουμε την εξίσωση συνέχειας) μεταξύ των θέσεων και. π π h ± i i ( h) ( h) i, ( ) Στη συνέχεια θα κάνουμε ένα ισοζύιο ολικής ενέρειας α.μ.β. νερού (εξίσωση Bernolli) μεταξύ των θέσεων και y C g ( ) ( ) h h y C () g () Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

11 Οι συνθήκες που επικρατούν τοπικά είναι,, at Για τους συντελεστές προσαρμοής κινητικής ενέρειας, η ροή του νερού στη φλέβα είναι πρακτικά ομοιόμορφη, επομένως C Έτσι η () ίνεται y g h g C ( ) ( h) y y y gh h ( ) gh h g g ( ) () την οποία αντικαθιστούμε στη () και παίρνουμε Θέτοντας η () ίνεται ( ) ( h ) h gh () gh g (6) ( ) h h h (7) και αντικαθιστώντας στη () παίρνουμε την ταχύτητα της φλέβας συναρτήσει του ύψους h ( h) ( ) ( h) h h (8) Τυπικά διαράμματα των προηουμένων εκφράσεων (7 & 8) ια δύο περιπτώσεις, δηλαδή ια, / και, / δίνονται παρακάτω. Οι αντίστοιχες τιμές των Η είναι Η, c και,7c. Παρατηρήσεις Η ποσότητα Η όπως την ορίσαμε αντιπροσωπεύει το μέιστο ύψος ενός πίδακα νερού στον οποίο το νερό εκτοξεύεται προς τα πάνω αρχική ταχύτητα. Η παραπάνω ανάλυση ισχύει ια όσο διάστημα η ροή του νερού διατηρείται σε μια φλέβα (ιδανικές συνθήκες). Όταν η ταχύτητα αυξηθεί αρκετά (σε μεάλα h) η ενιαία φλέβα θα διασπαστεί σε μικρότερα τμήματα λόω της αλληλεπίδρασης της αντίστασης του αέρα και των δυνάμεων αδρανείας της φλέβας του νερού. Επειδή η φλέβα νερού κινείται στον αέρα δεν αναπτύσονται τριβές στο σύνορο φλέβας-αέρα. Η απουσία τριβών διατηρεί ενιαία ταχύτητα σε όλα τα στρώματα του υρού. - σαν όλη η μάζα του νερού να κινείται με την ίδια ταχύτητα. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

12 , /, c, /,7 c (h)/ (h)/.. (h)/ (h)/ h/ h/ Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

13 Άσκηση. y c in y P ot του νερού στο σωλήνα, να ευρεθούν: V Στο αντλιοστάσιο ενός υδραωείου, η αντλία Α δίνει ένα ισοδύναμο μανομετρικό ύψος Η Α στο νερό που παροχετεύεται διαμέσου του σωλήνα διαμέτρου c. Το νερό παροχετεύεται, από το σημείο που είναι σε υψομετρική στάθμη z, στην ελεύθερη έξοδο που είναι σε υψομετρική στάθμη z. Εάν η απόλυτη πίεση στο σημείο (στην είσοδο της αντλίας) είναι in,86 bar και το ισοδύναμο ύψος απώλειας ενέρειας από την έξοδο της αντλίας έως την ελεύθερη έξοδο του σωλήνα δίνεται από την έκφραση Η L, 8V /g, όπου V η μέση ταχύτητα (α) Πόση είναι η παροχή, q, διαμέσου του σωλήνα? (β) Πόση είναι η ισχύς, P, της αντλίας σε kw? () Πόση είναι η απόλυτη πίεση, ot, στην έξοδο της αντλίας? Επίλυση (α) Για να υπολοίσουμε την παροχή, q, θα κάνουμε ένα ισοζύιο ολικής ενέρειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων () & (), δηλαδή στην είσοδο της αντλίας και στην έξοδο της εκατάστασης. z C z C () g g το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά στις διατομές () & (): in,86bar, at bar οπότε V και Re Re, επομένως και C C ( ) ( ) ίνεται (μεταξύ των διατομών &, στα άκρα ( ) L,( ) L,( ) της αντλίας, οι υδραυλικές απώλειες έχουν συμπεριληφθεί στο ισοδύναμο μανομετρικό ύψος της αντλίας, άρα οι απώλειες εμφανίζονται μόνο ια το τμήμα -) ( ) z ( z z ) z L,( ) L,() ( z z ) 8, V g g V () 8 ( z z ) η οποία, μετά από αντικαταστάσεις των αριθμητικών τιμών, δίνει Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

14 V 9,8 ( ) (,86) N / 9,8 N / V,96 / () Επομένως η παροχή υπολοίζεται ότι είναι π Q V Q,96 π (,) Q,9 () (β) Η υδραυλική ισχύς P, που δίνει η αντλία στην εκατάσταση, δίνεται από την έκφραση Άρα Ρ Α {παροχή όκου} {Διαφορά πίεσης στα άκρα της αντλίας}, ή P,9 ( ) Q( ρg ) Q (),ot,in kg kg N 9,8 96, 96, P 96,W P 9,6 kw (6) () Από την (6) έχουμε,ot ( ) ρg ρg (7),ot,in,ot kg N N,86bar 9,8,86,,in N,7,7 bar (8),ot Η έκφραση (7) προκύπτει εάν κάνουμε ένα ισοζύιο ενέρειας α.μ.β. νερού (Bernolli) μεταξύ των διατομών (in) και (ot) y C y C g g ή ρg C C in ot ρg ot in ρg () (9) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

15 Άσκηση. 9 Δ h Στον πυθμένα μιας πολύ μεάλης ανοικτής δεξαμενής εμάτης με νερό συνδέεται ένας σωλήνας διαμέτρου c. άλλη άκρη του σωλήνα καταλήει σε ανοικτή κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου,. Το ισοδύναμο ύψος απωλειών στο σωλήνα (συμπεριλαμβανομένων της εισόδου, των καμπυλών και του ανοικτού διακόπτη (Δ) δίνεται από την έκφραση L k, όπου k7, ο σύνθετος g συντελεστής απωλειών. Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός και η στάθμη του νερού στη δεύτερη δεξαμενή φθάσει σε ύψος h8,, υπολοίστε: (α) Τη μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα, (β) Την παροχή, Q, στο σωλήνα () Την τιμή του αριθμού Reynol στο σωλήνα Επίλυση (α) Για να υπολοίσουμε την μέση ταχύτητα,, στο σωλήνα θα κάνουμε ένα ισοζύιο ολικής ενέρειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων () & () της εκατάστασης. z C z C () g g το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά στις διατομές () & (): at bar, [επειδή η ελεύθερη στάθμη της δεξαμενής έχει πολύ μεάλη έκταση (εμβαδό) η ταχύτητα της στάθμης είναι πρακτικά ], ( ) L( ) L( ) k g ίνεται C (επειδή η ταχύτητα της στάθμης του νερού στη δεξαμενή μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη σε όλη τη διατομή της δεξαμενής, έχουμε συνθήκες ομοιόμορφης ροής), z ( ) z ( z z ) L( ) k () g g g Η παραπάνω είναι εξίσωση με ανώστους ( & ) οι οποίοι όμως σχετίζονται μεταξύ τους μέσω της εξίσωσης συνέχειας: Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

16 π π Q () Αντικαθιστώντας την () στη () έχουμε g ( z z ) k g( z z ) k g ( z z ) () k η οποία μετά από αντικατάσταση των τιμών των μεεθών δίνει ( 9 8,) 9,8 / 6, 6,, 7, (,) 7,,6 7,,,9 () (β) Σύμφωνα με την (), η παροχή του νερού στο σωλήνα είναι π Q Q,9 π (,) Q,8 (6) () Η τιμή του αριθμού Reynol στο σωλήνα είναι, Re Re,9 6 ν, / Re 6, (7) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 6

17 Άσκηση. (β) Το ύψος h f του πίδακα () Η τιμή του αριθμού Reynol στο σωλήνα V h f Στον πυθμένα μιας πολύ μεάλης δεξαμενής εμάτης με νερό συνδέεται ένας σωλήνας διαμέτρου in. Στην άλλη άκρη του σωλήνα τοποθετείται ακροφύσιο και δημιουρείται ένας πίδακας νερού διαμέτρου. Το ισοδύναμο ύψος απωλειών στο σωλήνα (συμπεριλαμβανομένων της εισόδου, των καμπυλών και του ακροφυσίου) δίνεται από την έκφραση L 9,. g Να υπολοισθούν: (α) Η μέση ταχύτητα του νερού στο σωλήνα,, και αμέσως μετά το ακροφύσιο, V Eπίλυση (α) Για να υπολοίσουμε την ταχύτηα,, αρκεί να υπολοίσουμε τη V. Θα κάνουμε ένα ισοζύιο ολικής ενέρειας (Ι.Ο.Ε.) ανα μονάδα βάρους (α.μ.β.) νερού μεταξύ των σημείων () & (), δηλαδή στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής και στην έξοδο του ακροφυσίου. y C y C () g g το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά στις διατομές () & (), at V ίνεται y L 9, C #, g V V L y ( y y ) 9, () g g g Mε τη βοήθεια της εξίσωσης της συνέχειας (δηλαδή της σταθερής παροχής όκου πριν και μετά το ακροφύσιο), συσχετίζουμε την ταχύτητα στον αωό,, με την ταχύτητα μετά το ακροφύσιο, V, π π V V () # Σε όλο τον πίδακα έχουμε ομοιόμορφη ροή νερού και όλα τα υλικά σημεία του νερού έχουν την ίδια μέση ταχύτητα V (σταθερή κατανομή ταχύτητας-εμβολικό προφίλ), άρα ο διορθωτικός συντελεστής κινητικής ενέρειας ισούται με. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 7

18 Έτσι η () ίνεται V 9, V g ( y ) ( ) ( ) y 9, y y V y y 9, g g g V g V g ( ) y y 9, V g( y y ) 9, V g ( y y ) 9, 9,8 9, ( ) (,) (9 ) 7,9 V,6 () από την οποία και με τη βοήθεια της () υπολοίζουμε την ταχύτητα στο σωλήνα,, V,6 ( ) (,),66 () Η τιμή της ταχύτητας στο σωλήνα ευρίσκεται εκτός των συνιστώμενων ορίων μιας άρτια σχεδιασμένης εκατάστασης (-, /). (β) Για να υπολοίσουμε το ύψος h f, που θα φθάσει ο πίδακας, θα κάνουμε ένα ισοζύιο ολικής ενέρειας (Ι.Ο.Ε.) α.μ.β. νερού μεταξύ των σημείων () & (), δηλαδή στον πίδακα νερού αμέσως μετά την έξοδο από το ακροφύσιο και στο ανώτερο σημείο του πίδακα. P y C g P y C (6) g το οποίο, μετά τις απλοποιήσεις από την καταραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά, P P at, y, y h f, V,, /, ΔΗ - και C ίνεται V h f g h f (,6 / ) 9,8 / h f 8,97 (7) () τιμή του αριθμού Reynol στον αωό είναι ρ Re µ ν,6, Re 6, / άρα στον αωό επικρατεί πλήρως ανεπτυμένη τυρβώδης ροή. Re >,8 (8) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 8

19 Άσκηση. Πρόσκρουση πίδακα σε καμπύλη αξονοσυμμετρική επιφάνεια Ακροφύσιο Α εκτοξεύει κυλινδρική φλέβα νερού διαμέτρου c με ρυθμό Q, l/. φλέβα του νερού προσκρούει σε έναν αξονοσυμμετρικό αναστροφέα ροής σχήματος κύπελου που βρίσκεται σε ύψος h ψηλότερα από το ακροφύσιο, όπως φαίνεται στο σκαρίφημα σε τομή. Η φλέβα, εξερχόμενη από τον αναστροφέα, αποκτά κωνικό σχήμα με ωνία κώνου φ ο ως προς τον άξονα (βλέπε σχήμα), διαμέτρου c και με πάχος τοιχώματος t. Πόση είναι η απώλεια υδραυλικής ενέρειας λόω τριβών στον αναστροφέα ροής, Η L, ; Θεωρήστε το βάρος Β του αναστροφέα αμελητέο. F t φ o h Επίλυση Κατ αρχάς η ταχύτητα εξόδου από το ακροφύσιο είναι Q Q π π / (,),7 / Η ταχύτητα πρόσκρουσης στον αναστροφέα,, δεν είναι ίση με την ταχύτητα εξόδου από το ακροφύσιο,, επειδή μεσολαβεί ένα ύψος h στο οποίο η φλέβα χάνει ταχύτητα. Η ταχύτητα πρόσκρουσης στον αναστροφέα δίνεται από την έκφραση [κάνοντας ισοζύιο υδραυλικής ενέρειας α.μ.β.υ. Bernolli μεταξύ των σημείων () & ()]: P P z C z C () g g Μετά τις απλοποιήσεις από την καταραφή των συνθηκών που επικρατούν τοπικά, στις δύο διατομές () & (), και ειδικώτερα, επειδή η ροή ίνεται εκτός σωλήνα, στον αέρα, τότε επικρατεί ατμοσφαιρική πίεση, P P at, Q () Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9 9

20 δεν υπάρχουν αντιστάσεις τριβής, άρα η ροή είναι ομοιόμορφη, επομένως C C και δεν υπάρχουν απώλειες υδραυλικής ενεέρειας λόω τριβών, ενώ από τη εωμετρία του προβλήματος z προκύπτει από την () η έκφραση ια την ταχύτητα ( ) z h, () (,7 / ), 9,8 /,97 / gh () Επιπλέον, εξ αιτίας της μείωσης της ταχύτητας της φλέβας στη θέση () θα πρέπει η αντίστοιχη διατομή, Α, να μεαλώσει έτσι ώστε να διατηρείται η παροχή. Έτσι η εξίσωση συνέχειας θα δώσει (,),7 / π (),,97 / Στη συνέχεια θα υπολοισθεί η ταχύτητα εξόδου του νερού από τον αναστροφέα,. Από την εξίσωση της συνέχειας (ισοζύιο παροχής όκου στον όκο ελέχου CV βλέπε επόμενο σκαρίφημα) έχουμε: Q, / Q πt πt π,,, / (6) CV t o t Α φ o Α Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9

21 Άσκηση. Σε ένα συντριβάνι πλατείας, νερό διοχετεύεται μέσω αντλίας Α στο διάκενο πλάτους h που δημιουρείται μεταξύ δύο ομόκεντρων (και παράλληλων) δίσκων διαμέτρου. Το υρό που εκρέει από τους δύο δίσκους σχηματίζει έναν καμπύλο «υρό τοίχο» με κωδωνοειδές σχήμα (που μοιάζει με το κάτω μισό τμήμα ομπρέλας ή καμπάνας). Ζητείται να ευρεθεί το πάχος του υρού τοίχου, t, συναρτήσει της ακτίνας r. Σημ. Το πάχος του υρού κωδωνοειδούς τοίχου μειώνεται: (α) λόω αύξησης της περιφερειακής διατομής του ρεύματος (εξ αιτίας της αύξησης του r), και, (β) εξ αιτίας της επιτάχυνσης του ρεύματος λόω βαρύτητας ελεύθερη πτώση. h τ(r) Υ Q r (r) R Επίλυση Σύμφωνα με το δεδομένα, το πρόβλημα λύνεται σε δύο στάδια. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 6//9