4.2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑ ΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΜΒΑ ΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ"

Μέλαινα Δουρέντης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 4.2 ΣΤΟΙΧΕΙ Ι ΕΜ ΟΝ ΠΡΙΣΜΤΟΣ ΥΛΙΝ ΡΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ονοµτολογί Έν στερεό σώµ που η µορφή του είνι σν τ πρκάτω σώµτ, λέγετι πρίσµ. Τ µέρη των επιπέδων τ οποί δηµιουργούν τη µορφή του πρίσµτος ονοµάζοντι έδρες. Ειδικότερ : Οι δύο πράλληλες µετξύ τους Έδρες, που είνι ίσ πολύγων, ονοµάζοντι βάσεις, ενώ όλες οι υπόλοιπες που είνι ορθογώνι πρλληλόγρµµ ονοµάζοντι πράπλευρες έδρες κι η επιφάνει που ορίζουν ονοµάζετι πράπλευρη επιφάνει. Οι πλευρές των εδρών του πρίσµτος ονοµάζοντι κµές. Ύψος ενός πρίσµτος ονοµάζετι η πόστση των βάσεών του κι είνι ίσο µε το ύψος µις πράπλευρης έδρς. Στο πρπάνω γκρίζο σχήµ η µί βάση του φίνετι κι είνι το τρίγωνο ΛΡ ενώ η άλλη είνι η πένντί της που δεν φίνετι. Μί πράπλευρη έδρ που φίνετι είνι το ορθογώνιο πρλληλόγρµµο Λ ενώ οι άλλες δεν φίνοντι. κµές του πρίσµτος που φίνοντι είνι τ τµήµτ,, Λ, Λ, Ρ κι ΡΛ, οι υπόλοιπες δεν φίνοντι. Το ύψος του πρίσµτος είνι ίσο µε µί πό τις κµές ή Λ. νάλογη ονοµτολογί ισχύει κι στ άλλ πρίσµτ. Στη εωµετρί, τ πρπάνω πρίσµτ τ θεωρούµε εξϋλωµέν κι τ σχεδιάζουµε όπως πρκάτω. Ρ Ρ Λ Μ Λ Ρ Λ Μ Λ Ρ Έν πρίσµ το ονοµάζουµε µε βάση την µορφή των πολυγώνων των βάσεων του πό τ πρπάνω το πρώτο είνι τριγωνικό, το δεύτερο τετρπλευρικό, το τρίτο εξγωνικό.

Ειδικότερ : Οι δύο πράλληλες µετξύ τους Έδρες, που είνι ίσ πολύγων, ονοµάζοντι βάσεις, ενώ όλες οι υπόλοιπες που είνι ορθογώνι πρλληλόγρµµ ονοµάζοντι πράπλευρες έδρες κι η επιφάνει που ορίζουν

2 2 2. ύο γνωστά πρίσµτ Τ ποιο γνωστά πρίσµτ είνι: Το ορθογώνιο πρλληλεπίπεδο µε όλες τις έδρες του ορθογώνι κι ο κύβος µε όλες τις έδρες του τετράγων. Πρκάτω το ριστερά σχήµ είνι έν ορθογώνιο πρλληλεπίπεδο κι το δεξιά ένς κύβος. γ β Στο πρλληλεπίπεδο τ τµήµτ,, ονοµάζοντι µήκος,πλάτος κι ύψος ντίστοιχ κι ποτελούν τις διστάσεις του ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου. 3. Εµβδόν πράπλευρης επιφάνεις πρίσµτος Ε πράπλευρο = (περίµετρος βάσης) (ύψος) 4. Εµβδόν ολικής επιφάνεις πρίσµτος Ε ολικό = Ε πράπλευρο + 2 Ε βάσης 5. ύλινδρος ν φντστούµε ότι το διπλνό ορθογώνιο πρλληλόγρµµο περιστρέφετι κάνοντς µί πλήρη περιστροφή γύρω πό την πλευρά του, τότε θ δηµιουργηθεί το το στερεό σώµ που είνι δίπλ του. υτό ο στερεό σώµ το λέµε κύλινδρο. Οι δύο κυκλικοί δίσκοι πό τους οποίους ποτελείτι η επιφάνει του κυλίνδρου λέγοντι βάσεις, ενώ το υπόλοιπο µέρος της επιφάνειάς του το ονοµάζουµε πράπλευρη επιφάνει. Ύψος του κυλίνδρου ονοµάζετι η πόστση των δύο βάσεων. 6. Εµβδόν πράπλευρης επιφάνεις κυλίνδρου Ε πράπλευρο = (περίµετρος βάσης) (ύψος) = 2πρυ, όπου ρ η κτίν των βάσεων

γ β Στο πρλληλεπίπεδο τ τµήµτ,, ονοµάζοντι µήκος,πλάτος κι ύψος ντίστοιχ κι ποτελούν τις διστάσεις του ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου. 3.

3 3 7. Εµβδόν ολικής επιφάνεις κυλίνδρου Ε ολικό = Ε πράπλευρο + 2 Ε βάσης ΣΧΟΛΙ 1. Υπενθύµιση γι τις µονάδες µέτρησης εµβδού σική µονάδ το 1 τετργωνικό µέτρο κι σύµβολο υτού 1m 2. Είνι η επιφάνει που έχει έν τετράγωνο πλευράς 1 m. Υποδιιρέσεις του τ. µέτρου : 1 τετργωνικό δεκτόµετρο (1dm 2 ) Είνι 1dm 2 1 = 100 m2 = 0,01 m 2 1 τετργωνικό εκτοστόµετρο (1 cm 2 ) Είνι 1cm 2 1 = m2 = 0,0001 m 2 1 τετργωνικό χιλιοστόµετρο (1 mm 2 ) Είνι 1mm 2 1 = m2 = 0, m 2 Πολλπλάσιο του τ. µέτρου : 1 τετργωνικό χιλιόµετρο (1km 2 ) Είνι 1km 2 = m 2 = 10 6 m 2 Στην Ελλάδ επίσης χρησιµοποιείτι το στρέµµ. 1 στρέµµ = 1000 m 2 2. Υπενθύµιση : Το µήκος κύκλου κτίνς ρ δίνετι πό τον τύπο L = 2πρ κι το εµβδόν του πό τον τύπο Ε = πρ 2, π = 3,14 3. Πρτήρηση : Το εµβδόν της ολικής επιφάνεις ενός ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου µε διστάσεις, β κι γ δίνετι πό τον τύπο Ε ολικό = 2(β + γ + βγ) κι το εµβδόν της επιφάνεις ενός κύβου κµής πό τον τύπο Ε = 6 2.

µέτρου : 1 τετργωνικό δεκτόµετρο (1dm 2 ) Είνι 1dm 2 1 = 100 m2 = 0,01 m 2 1 τετργωνικό εκτοστόµετρο (1 cm 2 ) Είνι 1cm 2 1 = 10000 m2 = 0,0001 m 2 1 τετργωνικό χιλιοστόµετρο (1 mm 2 ) Είνι 1mm 2 1 =

4 4 ΣΗΣΕΙΣ 1. Στις πρκάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή πάντηση Έν πρίσµ µε βάση τρίγωνο έχει : 5έδρες : 8 έδρες : 9 έδρες : 8 κορυφές : 6 κορυφές : 9 κορυφές γ) : 12 κµές : 9 κµές : 6 κµές Τρείς οι πράπλευρες κι 2 οι βάσεις, σύνολο 5. Σωστό το Θεωρί 1 Τρείς κορυφές στην κάτω βάση κι τρείς στην πάνω, σύνολο 6. Σωστό το γ) Τρείς οι πράπλευρες κι πό τρείς στην πάνω κι κάτω βάση, σύνολο 9. Σωστό το. 2. Έν πρίσµ µε βάση ορθογώνιο πρλληλόγρµµο διστάσεων 8cm κι 5cm, έχει ύψος 4cm. Το εµβδόν της πράπλευρης επιφάνεις είνι : 117cm 2 B: 162cm 2 : 104cm 2 Το εµβδόν της ολικής επιφάνεις είνι : 314cm 2 B: 184cm 2 : 157cm 2 Ε πράπλευρης = ( περίµετρος βάσης ) (ύψος) = = ( ) 4 = = 104cm 2 Σωστό το Ε βάσης = 5 8 = 40 cm 2 οπότε Ε ολικό = Ε πράπλευρης + 2Ε βάσης = = = = 184cm 2 Σωστό το

οι βάσεις, σύνολο 5. Σωστό το Θεωρί 1 Τρείς κορυφές στην κάτω βάση κι τρείς στην πάνω, σύνολο 6. Σωστό το γ) Τρείς οι πράπλευρες κι πό τρείς στην πάνω κι κάτω βάση, σύνολο 9. Σωστό το. 2.

5 5 3. Ένς κύλινδρος έχει κτίν βάσης 10cm κι ύψος 10cm. Το εµβδόν της πράπλευρης επιφάνεις είνι : 314cm 2 B: 942cm 2 : 628 cm 2 Το εµβδόν της ολικής επιφάνεις είνι : 1256 cm 2 B: 628 cm 2 : 1884 cm 2 Ε πράπλευρης = 2π ρ υ = 2 3, = 628cm 2. Σωστό το Ε βάσης = πρ 2 = 3, = 314 cm 2 άρ Ε ολικό = Ε πράπλευρης + 2Ε βάσης = = 1256cm 2. Σωστό το 4. Η πράπλευρη επιφάνει ενός πρίσµτος µε βάσεις ισόπλευρ τρίγων είνι Ε πράπλευρης = 192cm 2 κι το ύψος του πρίσµτος είνι 8 cm. Ν βρείτε το εµβδόν της ολικής επιφάνεις. Έστω x η πλευρά της βάσης του πρίσµτος. Ε πράπλευρης = (περίµετρος βάσης) (ύψος ), άρ 192 = 3x 8 συνεπώς x = 8 cm Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο βάσης του πρίσµτος κι το ύψος του τριγώνου. Ως γνωστόν το ύψος είνι κι διάµεσος. πό το Πυθγόρειο στο έχουµε 2 = 2 2 = = = = = 48 άρ = 48 = 4 3 cm Το εµβδόν της βάσης είνι Ε βάσης = = = 16 3 cm Μετά πό υτά Ε ολικό = Ε πράπλευρης + 2 Ε βάσης = = = cm Ένς κύλινδρος βψίµτος έχει µήκος 30cm κι κτίν βάσης 5cm. Ν βρείτε Πόση επιφάνει βάφει σε µί πλήρη περιστροφή. Πόσες περιστροφές θ κάνει γι ν βάψει ένν τοίχο σχήµτος ορθογωνίου µε µήκος 5m κι πλάτος 3m. Η επιφάνει που βάφετι σε µί περιστροφή είνι ίση µε την πράπλευρη επιφάνει του κυλίνδρου, δηλδή ίση µε είνι 2π 5 30 = 300 3,14 = 942cm 2 Η επιφάνει του τοίχου έχει εµβδόν Ε = 5 3 = 15m 2 = cm 2 = cm 2 ι ν βφτεί ο τοίχος θ χρειστούν : ,2 περιστροφές

Σωστό το Ε βάσης = πρ 2 = 3,14 10 2 = 314 cm 2 άρ Ε ολικό = Ε πράπλευρης + 2Ε βάσης = 628 + 2 314 = 1256cm 2. Σωστό το 4.

6 6 6. Μί πισίν έχει σχήµ ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου µε µήκος 25 m, πλάτος 15m κι ύψος 2,5m Ν βρείτε την επιφάνει της πισίνς. Ν βρείτε πόσο θ στοιχίσει η επίστρωση της πισίνς µε τετργωνικά πλκάκι πλευράς 25cm, ν το κάθε πλκάκι κοστίζει 0,30 Η επιφάνει της πισίνς είνι ίση µε την πράπλευρη επιφάνει του πρλληλεπιπέδου σχήµτός της συν το εµβδό του πυθµέν της. Ε πράπλευρης = ( ) 2,5 = 200 m 2 κι Ε βάσης = 25 15= 375 εποµένως Ε πισίνς = = 575 m 2 = cm 2 Το κάθε πλκάκι έχει εµβδόν Ε = = 625cm 2 ι την επίστρωση της πισίνς θ χρειστούν : 625 = 9200 πλκάκι ξίς ,30 = Το µήκος της βάσης ενός κυλίνδρου είνι 50,24 cm κι το ύψος του 20cm. Ν βρείτε το εµβδόν της ολικής επιφάνεις του κυλίνδρου. Μήκος βάσης = 50,24 εποµένως, ν ρ είνι η κτίν της βάσης, τότε 2 3,14 ρ = 50,24 συνεπώς ρ = 8 Ε ολικό = Ε πράπλευρης + 2Ε βάσης = 50, , = 1406,72cm 2 8. Θέλουµε ν βάψουµε 50 σωλήνες µε µήκος 1,5m κι εξωτερική διάµετρο 0,20m. Πόσο θ µς στοιχίσει, ν το βάψιµο κοστίζει 3 το m 2. Θεωρί 6 Ο ένς σωλήνς έχει πράπλευρη επιφάνει ίση µε 2 3,14 0,10 1,5 = 0,942m 2 Η συνολική επιφάνει που θ βάψουµε είνι ίση µε 50 0,942 = 47,1 m 2 Το κόστος του βψίµτος θ είνι 47,1 3 = 141,3

7 7 9. Πρίσµ έχει βάσεις τετράγων κι εµβδόν πράπλευρης επιφάνεις 320 cm 2. ν το εµβδόν της ολικής επιφάνεις είνι 448cm 2, ν βρείτε την πλευρά της βάσης του πρίσµτος το ύψος του πρίσµτος Το εµβδόν των δύο βάσεων είνι ίσο µε = 128cm 2 Εποµένως η κάθε βάση έχει εµβδόν 128 : 2 = 64 cm 2 ν x είνι η πλευρά της βάσης τότε x 2 = 64 άρ x = 8 cm Ε πράπλευρης = (περίµετρος βάσης ) (ύψος) άρ 320 = 4 8 υ συνεπώς υ = 10cm 10. Οι διστάσεις ενός ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου είνι τρείς διδοχικοί κέριοι ριθµοί µε άθροισµ 18. Ν υπολογίσετε το εµβδόν της ολικής επιφάνεις του πρλληλεπιπέδου. Σχόλιο 3 ν x είνι ο ποιο µικρός κέριος τότε οι άλλοι είνι οι x + 1 κι x + 2 πό υπόθεση έχουµε ότι x + x x + 2 = 18 π όπου x = 5 Άρ οι διστάσεις του πρλληλεπιπέδου είνι 5, 6 κι 7. Εποµένως Ε ολικό = 2( ) = 107 τετργωνικές µονάδες 11. Η διγώνιος ενός κύβου είνι δ = 8 3 cm. Ν βρείτε το εµβδόν της επιφάνεις του κύβου. Σχόλιο 3 ν είνι η κµή του κύβου, πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε 2 = = 2 2 δ ι πό το ορθογώνιο τρ. έχουµε 2 = = = = = 3 2 Εποµένως = 2 3 = 3 δηλδή δ = 3 άρ 3 = 8 3 άρ = 8 Το εµβδόν της επιφάνεις του κύβου είνι Ε = = 512 cm 2

128 : 2 = 64 cm 2 ν x είνι η πλευρά της βάσης τότε x 2 = 64 άρ x = 8 cm Ε πράπλευρης = (περίµετρος βάσης ) (ύψος) άρ 320 = 4 8 υ συνεπώς υ = 10cm 10.

8 8 12. Στο διπλνό σχήµ φίνετι έν ξύλινο σκυλόσπιτο. Ν βρείτε πόσο θ µς στοιχίσει η κτσκευή του, ν το κόστος του ξύλου είνι 15 το m 2. Το δάπεδο του σπιτιού έχει επιφάνει ίση µε Ε δπέδου = 0,80 1,20 = 0,96m 2 Η µπροστινή όψη ποτελείτι πό το ορθογώνιο εµβδού ( ) = 0,80 0,60 = 0,48m 2 κι το ισοσκελές τρίγωνο Ε. Έστω Ε το ύψος του τριγώνου. πό το Πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο Ε βρίσκουµε ότι Ε 2 = Ε 2 2 = = = = 425 άρ Ε = ,6 cm = 0,206m Ε 0,80 0,206 Το εµβδόν του τριγώνου είνι (Ε ) = = = 0,0824m Οπότε η µπροστινή όψη έχει εµβδόν 0,48 + 0,0824 = 0,5624 Το ίδιο εµβδόν βέβι έχει κι η πίσω όψη. Η δεξιά πλευρά ΘΗ έχει εµβδόν ( ΘΗ) = 1,20 0,60 = 0,72 m 2. Το ίδιο εµβδόν έχει κι η ριστερή πλευρά που δεν φίνετι. Η σκεπή ποτελείτι πό δύο ορθογώνι εµβδού 0,45 1,20 = 0,54 m 2 τ ο κθέν. Η συνολική επιφάνει του σπιτιού είνι Ε = 0, , , ,54 = 4, 6328 m 2 Το κόστος του σπιτιού είνι 15 4,6328 = 69,492

Σχετικά έγγραφα

Ἀντιφωνητὴς. ΔΕΚΑΠΕΝΘΗΜΕΡΟ ΠΑΝΘΡΑΚΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΜΗΣ 25 ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΕΤΟΣ 10ο / ΑΡ. Φ. 249 / ΤΙΜΗ 1

Ἀντιφωνητὴς. ΔΕΚΑΠΕΝΘΗΜΕΡΟ ΠΑΝΘΡΑΚΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΜΗΣ 25 ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΕΤΟΣ 10ο / ΑΡ. Φ. 249 / ΤΙΜΗ 1 Ἀντιφωνητὴς Πάσα δουλεία παρά φύσιν ἐστίν ΑΝΤΙΦΑΝΗΣ ΔΕΚΑΠΕΝΘΗΜΕΡΟ ΠΑΝΘΡΑΚΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΜΗΣ 25 ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΕΤΟΣ 10ο / ΑΡ. Φ. 249 / ΤΙΜΗ 1 Πρίν ἕξι µῆνες γράφαµε (φ. 236, ὑπό τόν τίτλο «Μέ τό ζόρι (εὐρω)παντρειά»)