Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» stvrentzou@gmail.com

Transcript

1 1 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο. Β φ x Α Γ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, που γνωρίζουμε τις πλευρές του είναι: το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη. Μόνο τους τρείς πρώτους τριγωνομετρικούς θα μάθουμε στο Γυμνάσιο! Τριγωνομετρικός αριθμός Αγγλικά Ορισμός ημίτονο ημx sinus sinx Απέναντι κάθετη Υποτείνουσα = AB BΓ συνημίτονο συνx cosines cosx προσκείμενη κάθετη Υποτείνουσα = ΑΓ ΒΓ εφαπτομένη εφx tangent tanx απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθετη = ΑΒ ΑΓ συνεφαπτομένη σφx cotangent cotx προσκείμενη κάθετη απέναντι κάθετη τέμνουσα τεμx secant secx υποτείνουσα προσκείμενη = ΒΓ ΑΓ συντέμνουσα στεμx cosecant cscx υποτείνουσα = ΒΓ απέναντι κάθετη ΑΒ = ΑΓ ΑΒ Σελίδα 1

2 2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Έστω γωνία φ, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι: Απέναντι κάθετη ημφ = Υποτείνουσα = y p προσκείμενη κάθετη συνφ = = x Υποτείνουσα p απέναντι κάθετη Εφφ = = y προσκείμενη κάθετη x Όπου ρ = x 2 + y 2 σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα Σελίδα 2

3 3 Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 90 και 180. ημ0 = y p = 0 ηµ90 = y p = 1 ηµ180 = y p = 0 συν0 = x p = 1 συν90 = x p = 0 συν180 = x p = -1 εφ0 = y x = 0 εφ90 = y = δεν ορίζεται x εφ180 = y x = 0 Τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0, 30, 45, 60 0 και 90 Γωνία φ σε μοίρες Γωνία φ σε rad ημφ συνφ εφφ π/6 1/2 3/2 3/3 45 π/4 2/2 2/ π/3 3/2 1/ π/2 4/2 = 1 0 Δεν ορίζεται Μνημονικός κανόνας: Παρατηρήστε ότι η τιμή του ημιτόνου των γωνιών εξελίσσεται κατά αύξοντα αριθμό. Η τιμή του συνημίτονου των γωνιών γράφεται από την τελευταία προς την 1 η τιμή του ημιτόνου. Η Σελίδα 3

4 4 εφαπτομένη είναι ίση με ημφ/συνφ οπότε διαιρώντας τις αντίστοιχες τιμές βρίσκετε την τιμή της εφαπτομένης κάθε γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί συμπληρωματικών γωνιών Για κάθε γωνία ω ισχύουν : α) ημ 2 ω + συν 2 ω = 1 ή ημ 2 ω = 1 συν 2 ω ή συν 2 ω = 1 ημ 2 ω β) εφω = ημω συνω με συνω 0 Γνωρίζουμε ότι συμπληρωματικές ονομάζονται δυο γωνίες όταν το άθροισμα τους είναι ίσο με 90 ο. Έστω ω και φ, συμπληρωματικές γωνίες. Τότε ισχύει ημω = συνφ (1). Επειδή φ + ω = 90 0 λύνοντας ως προς φ έχουμε, φ = 90 0 ω. Τώρα αντικαθιστώντας τις γωνίες στο (1) έχουμε: ημ(90 0 ω) = συνω και συν(90 0 ω) = ημω Παράδειγμα: Επειδή 60 ο + 30 ο = 90 ο είναι ημ60 ο = συν30 0 και ημ30 ο = συν60 0 συν(180 0 ω) = - συνω, εφ(180 0 ω) = - εφω Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών 1 ο τεταρτημόριο χ (0, π ) 2 ημχ > 0 συνχ > 0 εφχ > 0 σφχ > 0 2 ο τεταρτημόριο χ ( π, π) 2 ημχ > 0 Σελίδα 4

5 5 συνχ < 0 εφχ < 0 σφχ < 0 3 ο τεταρτημόριο χ (π, 3π ) 2 ημχ < 0 συνχ < 0 εφχ > 0 σφχ > 0 4 ο τεταρτημόριο χ ( 3π, 2π) 2 ημχ < 0 συνχ > 0 εφχ < 0 σφχ < 0 Σελίδα 5

6 6 Τα παιδιά μαθαίνουν από αυτά που βιώνουν... Αν ένα παιδί μεγαλώνει με επικρίσεις, μαθαίνει να καταδικάζει. Aν ένα παιδί μεγαλώνει με εχθρότητα, μαθαίνει να αντιδικεί. Aν ένα παιδί μεγαλώνει με ειρωνεία, μαθαίνει να είναι ντροπαλό. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με ντροπή, μαθαίνει να αισθάνεται ένοχο. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με ανοχή, μαθαίνει την υπομονή. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με ενθάρρυνση, μαθαίνει την αυτοπεποίθηση. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με επαίνους, μαθαίνει να εκτιμά. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με δίκαιη μεταχείριση, μαθαίνει το δίκαιο. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με ασφάλεια, μαθαίνει να έχει πίστη. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με επιδοκιμασία, μαθαίνει να είναι ικανοποιημένο με τον εαυτό του. Αν ένα παιδί μεγαλώνει με αποδοχή και φιλία, μαθαίνει να βρίσκει την αγάπη στον κόσμο... Σελίδα 6