Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει z = z, τότε οπωσδήποτε είναι και z = z β) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί τότε πάντα ισχύει: Re z z = Re z Re z γ) Αν για κάθε, A με ισχύει f ()d, τότε η f είναι - δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο A και ισχύει R, τότε η f είναι κοίλη. f () + > για κάθε ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f()f() > για κάθε (,), τότε η f οπωσδήποτε δεν έχει ρίζα στο (,) ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών Ζ για τους οποίους ισχύει: z i z 4 β) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό του παραπάνω γεωμετρικό τόπου που έχει το μικρότερο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β. Έστω ο μιγαδικός αριθμός Ζ με z A για τον οποίο ισχύει: z 3 z α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. z z 3 β) Αν ισχύει 3, τότε να αποδείξετε z z z z

2 ΘΕΜΑ Γ Α. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f() = και f() = 3. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε να είναι f = ΜΟΝΑΔΕΣ 3 β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] τέτοιο ώστε να είναι: 3 4f = f() + f + f() γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 3 (,) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο 3 3 A,f να είναι παράλληλη στην ευθεία y = + Β. Δίνονται οι αριθμοί Α d, Β e d και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο A συνάρτηση f με f f 3, για την οποία για κάθε Α f f e Β n3 A ισχύει α) Να αποδείξετε ότι Α n3 και Β e και κατόπιν να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f e έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα, ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο A για την οποία για κάθε 3 A ισχύει: f () + 4f() = 4 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Αν g() = + f(), A, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: g(4) + z - + z - f(4) - i = ΜΟΝΑΔΕΣ 7 δ) Να λύσετε την ανίσωση: f < 6 + ΜΟΝΑΔΕΣ 8

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο A, τότε για, A ισχύει η ισοδυναμία f f < f f < β) Ισχύει z Re(z) για κάθε z C γ) Αν για, A με ισχύει f ()d της f έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα, τότε η γραφική παράσταση δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο A και ισχύει A, τότε η f αντιστρέφεται - ε) Ισχύει 4 = 4 ln4 για κάθε A f () ημ - > για κάθε ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z με z = και z + = α, να αποδείξετε ότι: α) α α - β) Re(z) = γ) z - z + = α - 3 Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει z - 4 = + z. Κατόπιν αν z, z είναι σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι z - z 4. ΜΟΝΑΔΕΣ 3

4 ΘΕΜΑ Γ Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ημ z = + - α οποίο ισχύει z + z - και η συνάρτηση f με τύπο + βi, με A, α >, β A, για τον f() = κ + λ, κ, λ A της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, κ, λ. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = d f() - γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο - g() = f(t)dt + f(t)dt - + 4, A είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 B. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A και ισχύουν: f f, για κάθε A και f f, για κάθε A α) Να αποδείξετε ότι f e β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, ΘΕΜΑ Δ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : συνάρτηση g : A A για τις οποίες ισχύουν: A A με f = και η,για κάθε A () f f t dt e f t f t 37 g f t dt f t dt dt 8 3 f t f f d f d οι γραφικές παραστάσεις C f,c g των f και g αντίστοιχα εφάπτονται σε σημείο με τεταγμένη Να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της.

5 β) Η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον A με f δ) Για κάθε A ισχύει: e t u e f t tdt dt f t dt du dt ln t t ε) Ισχύει: στ) Η εξίσωση: έχει δύο ακριβώς ρίζες. e π f e f t dt f π f t dt f f t dt =

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 Α.. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Α..Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z. Α.3. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A, δύο διαδοχικές ρίζες της είναι το και 3 και ισχύει f 3 () + f() >, τότε είναι f() > για κάθε (,3) β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A και ισχύει f () + 8f () + < για κάθε A, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο A γ) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z + 5 > δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A και για κάθε, A με ισχύει f f 5 d, τότε η f αντιστρέφεται. ε) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο A με συνεχή 4 παράγωγο. Αν για κάθε A ισχύει ft dt, τότε είναι 3 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους ισχύει: z + i w = z - i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει: w = 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ β) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = α + βi, α,β A είναι σημείο του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 α + (β + 5) - 5 = έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,)

7 ΜΟΝΑΔΕΣ 3 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο A, με A ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι f e f f f f και για κάθε, A β) Να αποδείξετε ότι ισχύει f, για κάθε A γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ε) Να υπολογίσετε το όριο : ΘΕΜΑ Δ I Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: d lnf lim f t dt 3 f dt d t ημ 3 α) Να αποδείξετε ότι: 3 d ημ β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. Κατόπιν να βρείτε πότε η γραφική παράσταση C f της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση. ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 6 f f ln 3 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της f και τους άξονες.

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 5 Α. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η f είναι συνεχής στο α,β και f α f β, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β ώστε να είναι f η α,β., τέτοιος ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο - Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν lim f() = α, τότε η ευθεία y = α λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(),f() γ. Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα β β β f() g()d = f()d g()d δ. Αν lim f, τότε α α α lim f ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει z z ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z 4 z α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού αριθμού w για τον οποίο ισχύει z 8 w ΜΟΝΑΔΕΣ 7 z 4

9 z 3 4i Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει w i α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z αν γνωρίζετε ότι ο μιγαδικός αριθμός w είναι πραγματικός. β. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό z με το ελάχιστο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει t 3 3 e e f tdt e e α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, τέτοια ώστε να είναι: e f f 7 δ. Για κάθε α να αποδείξετε ότι ισχύει f α f 3α f α ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f την εφαπτομένη της C f στο και τις ευθείες και. ΘΕΜΑ Δ Α. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f, 6 α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f β. Να βρείτε το όριο lim f t dt Β. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β με συνεχή παράγωγο και f για κάθε α,β. Αν fα β για α,β τότε να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο α,β αβ β f d f d ΜΟΝΑΔΕΣ 7 α α β. Ισχύει