Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα"

Θεοδοσία Αλεβίζος
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

2 Περιεχόμενα Παρουσίασης Παράδειγμα Δυαδικότητας (από το βιβλίο Διοικητική Επιστήμη -Λήψη Επιχειρησιακών Αποφάσεων στην Κοινωνία της Πληροφορίας του Γ. Πραστάκου, Εκδόσεις Σταμούλη) ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 2

3 Παράδειγμα Προβλήματος υαδικότητας Έστω ότι κάποιος αντιμετωπίζει το κλασικό πρόβλημα δίαιτας, σύμφωνα με το οποίο επιχειρείται να ελαχιστοποιηθεί το κόστος αγοράς τροφίμων ώστε να εξασφαλιστούν κάποιες ελάχιστες ποσότητες βιταμινών Έστω, λοιπόν, ότι ενδιαφερόμαστε για 2 βιταμίνες, τις A και C, οι οποίες μπορούν να εξασφαλιστούν από έξι διαφορετικές τροφές, τις Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ 4, Φ 5, Φ 6, ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 3

4 εδομένα Προβλήματος ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 4

5 Μαθηματική ιατύπωση Προβλήματος Min z = Min { 1.05x x x x x x 6 } Περιορισμοί x 1 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 +2x 6 >=9 2x 2 + 3x 3 + x 4 + 3x 5 +2x 6 }>=19 x i >=0, i =1..6 Εισάγουμε δύο βοηθητικές μεταβλητές s 1 και s 2 Αντικειμενικός σκοπός είναι ο περιορισμός του κόστους λαμβάνοντας όμως τις ελάχιστα απαιτούμενες βιταμίνες A και C ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 5

6 Τελικός Πίνακας Simplex Προβλήματος Εάν η δίαιτα θα έπρεπε να αυξηθεί κατά μία μονάδα σε Α θα έπρεπε να πληρώσω 0.12 παραπάνω από τα 5.07 (= z) Αντίστοιχα ισχύουν και για τη βιταμίνη C ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 6

7 υαδικές Τιμές Με βάση το δυαδικό πρόβλημα ισχύει: u 1 = 0.12, u 2 = 0.21 u 3 = 0.93, u 4 = 0.69, u 5 = 0.93, u 6 = 1.05, u 7 = 0, u 8 = 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 7

8 ιατύπωση υαδικού Προβλήματος Παράδειγμα Δυαδικότητας Έστω ότι ένας φαρμακοποιός μπορεί να εξασφαλίσει τις βιταμίνες Α και C σε φαρμακευτικά σκευάσματα και θέλει να παρέχει εναλλακτική λύση στους ίδιους πελάτες με αυτούς που επιδιώκουν την απόκτηση μίας ελάχιστης ποσότητας βιταμινών ίδιας με αυτής του προηγούμενου προβλήματος Για να είναι τα φαρμακευτικά σκευάσματα ανταγωνιστικά, θα πρέπει η μοναδιαία τιμή στην οποία προσφέρονται (έστω Υ Α και Υ C ) να συμφέρει σε σχέση με την αγορά των τροφίμων του αρχικού προβλήματος Άρα, η τιμή για κάθε συνδυασμό βιταμινών που αντιστοιχούν σε ένα τρόφιμο θα πρέπει να είναι μικρότερη από το κόστος του τροφίμου στην αγορά ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 8

9 Μαθηματική ιατύπωση υαδικού Προβλήματος Αντικειμενική Συνάρτηση Max { 9 Y A + 19 Y C }, δηλαδή μεγιστοποίηση των εσόδων του φαρμακοποιού για το ελάχιστο των βιταμινών που ζητά ο κάθε πελάτης Υφιστάμενοι Περιορισμοί Y A <=1.05 (Τιμή Τροφίμου Φ 1 ) Y C <=0.90 (Τιμή Τροφίμου Φ 2 ) 2Y A + 3Y C <=1.80 (Τιμή Τροφίμου Φ 3 ) Y A + Y C <=1.50 (Τιμή Τροφίμου Φ 4 ) Y A + 3Y C <=0.75 (Τιμή Τροφίμου Φ 5 ) 2Y A + 2Y C <=0.66 (Τιμή Τροφίμου Φ 6 ) ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 9

10 Επίλυση υαδικού Προβλήματος Για την επίλυση του προβλήματος, πρέπει να εισαχθούν έξι βοηθητικές μεταβλητές (ε 1..ε 6 ), οι οποίες εκφράζουν τη διαφορά της τιμής μίας μονάδας τροφής Φ i στην αγορά τροφίμων σε σχέση με το φαρμακείο Η επίλυση του προβλήματος οδηγεί στον προσδιορισμό των ακόλουθων τιμών Y A * = 0.12, Y c * = 0.21 ε 1 = 0.93, ε 2 = 0.69, ε 3 = 0.93, ε 4 = 1.05, ε 5 = 0, ε 6 = 0 Οι ε 5 και ε 6 είναι εκτός βάσης, επομένως παίρνουν τις τιμές 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 10

11 Ερμηνεία υαδικού Προβλήματος Εάν οι βιταμίνες πωληθούν προς 12 και 21 λεπτά, τότε τα τρόφιμα Φ 5 και Φ 6 δεν θα έχουν διαφορά σε σχέση με την αγορά (στοιχείο που είχε προκύψει έμμεσα και από το πρωτεύον πρόβλημα, αφού αυτά τα δύο τρόφιμα είχαν δώσει τη βέλτιστη λύση) Τα τρόφιμα Φ 1, Φ 2, Φ 3, και Φ 4 είναι ακριβότερα στην αγορά απ ότι στο φαρμακείο κατά τα νούμερα των μεταβλητών ε 1..ε 4 Επομένως, οι δυαδικές τιμές εκφράζουν την αξία των Ά Υλών του προβλήματος (όπως οι βιταμίνες είναι οι Ά Ύλες των τροφίμων) Εάν αυξηθούν οριακά οι τιμές ενός περιορισμού, η επίπτωση στην αντικειμενική συνάρτηση θα ισούται οριακά με τη δυαδική τιμή του αντίστοιχου περιορισμού ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 11

12 Ερμηνεία υαδικών Τιμών Η δυαδική (ή δυική) τιμή που αντιστοιχεί σε έναν περιορισμό (αφού εισάγεται η αντίστοιχη βοηθητική μεταβλητή για να καταστήσει την ανισοισότητα σε ισότητα) είναι η αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που θα προκύψει από μοναδιαία αύξηση της αντίστοιχης σταθεράς b j του περιορισμού Η δυαδική τιμή μιας Ά Ύλης είναι η πραγματική (εσωτερική) αξία (ή κόστος) που έχει οριακά μία μονάδα αυτής της Ά Ύλης στη δεδομένη παραγωγή ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 12

13 Επιπλέον Κόστος Το επιπλέον κόστος μίας μεταβλητής i είναι η μεταβολή την οποία πρέπει να υποστεί ο συντελεστής αυτής της μεταβλητής στην αντικειμενική συνάρτηση ώστε η μεταβλητή αυτή να πάρει θετική τιμή στη βέλτιστη λύση Το επιπλέον κόστος εκφράζεται από το οριακό καθαρό εισόδημα ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 13

14 Επιπλέον Κόστος Ένας τρόπος για να επαληθευτεί το επιπλέον κόστος ενός προϊόντος είναι ο εξής: α. Να υπολογιστεί η αξία του προϊόντος Αξία ενός προϊόντος είναι το άθροισμα των αξιών των συστατικών του, όπου η αξία μίας μονάδας Ά Ύλης είναι η δυική της τιμή Π.χ. Για την τροφή Φ 3, που περιλαμβάνει 2 βιταμίνες Α και 3 βιταμίνες C έχουμε: α 3 = 2 Υ Α + 3Υ C = 2 * * 0.21 = 0.87 β. Να αφαιρεθεί η αξία του προϊόντος από τον συντελεστή του προϊόντος στην αντικειμενική συνάρτηση Έτσι, για το παράδειγμα του Φ 3, είναι c 3 = 1.80 και ε 3 = c 3 α 3 = = 0.93 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 14

15 Θέματα για συζήτηση - Συμπεράσματα Ερωτήσεις... ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 15

Σχετικά έγγραφα

«ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΟ 22000 ΣΕ ΜΟΝΑΔΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΙΚΕΡ»

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Τ Ε I ΚΑΛΑΜΑΤΑ! ΤΜΗΜΑ ΕΚΔΟΣΕΩΝ 8 ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ! ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΟ 22000 ΣΕ ΜΟΝΑΔΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΙΚΕΡ» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: