ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 2012

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Δευτέρα 9 Ιανουαρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Τρίτη 4 Φεβρουαρίου 0. Πριν από τη λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετούνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις από τις παραπομπές στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της ης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα (Συναρτήσεις Ακολουθίες Όρια) Ενότητα (Σειρές) και Ενότητα 4 (Όριο και ) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Γενικά Μαθηματικά Ι Τόμος Α - Λογισμός μιας Mεταβλητής» του Γ. Δάσιου. Για την κατανόηση της ύλης αυτής να συμβουλευθείτε επίσης το βοηθητικό υλικό που υπάρχει στο ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό: Λογισμός Ακολουθίες, Σειρές, Όρια και Συνέχεια. Στόχοι: Κατανόηση και εμπέδωση των παρακάτω εννοιών: Ακολουθίες (έμφαση στην έννοια της ακολουθίας, στο όριο και τα κριτήρια σύγκλισης ακολουθίας, στις φραγμένες, μονότονες και απειριζόμενες ακολουθίες). Σειρές (έμφαση στην έννοια της σειράς, στις ειδικές κατηγορίες σειρών και στα κριτήρια σύγκλισης σειρών) Όριο και, πλευρικό όριο και πλευρική συνέχεια, μονοτονία συναρτήσεων.

2 Άσκηση (0 μον.) ) (8 μον.) Να εξετασθεί αν οι παρακάτω ακολουθίες είναι μονότονες. i) cos( ), ii).! ) ( μον.) Δίνεται η αναδρομική ακολουθία:, με. Να εξετασθεί αν είναι μονότονη, φραγμένη και αν συγκλίνει. Σε περίπτωση που συγκλίνει να προσδιορισθεί το όριό της. (Υπόδειξη: Αν,, e και, η λύση της εξίσωσης είναι. Επίσης, χρησιμοποιείστε το ότι η συνάρτηση f ( ) για, είναι αύξουσα.) Λύση. ) i. Για την cos( ), παρατηρούμε ότι (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ., ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, ) cos( ) cos (cos( ) cos ) (cos 0 cos π), αν περιττός ( ( )), αν περιττός (cos cos 0), αν άρτιος (( ) ), αν άρτιος 4, αν περιττός 4, αν άρτιος Αφού το δεν διατηρεί πρόσημο, η ακολουθία δεν είναι μονότονη,. ii. Επειδή για κάθε, είναι φανερό ότι 0. Χρησιμοποιώντας το! κριτήριο του λόγου (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ., ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, ), έχουμε: ( )!!! ( )!!( )! γιατί. Συνεπώς, ισχύει ότι, γιατί, όπως είπαμε, 0 για κάθε. Άρα η ακολουθία είναι (μη γνησίως) φθίνουσα άλλα τελικά γνησίως φθίνουσα καθώς, για >. ) Όσον αφορά τη μονοτονία (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ., ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, ), θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι ισχύει k k για κάθε k. Για k : επειδή f ( ) για, είναι αύξουσα. Άρα η σχέση ισχύει για k. Υποθέτουμε ότι ισχύει για k, για κάποιο δηλαδή. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για k,δηλαδή.

3 Από την υπόθεση έχουμε ότι, συνεπώς επειδή f ( ) για, είναι αύξουσα. θα έχουμε ότι δηλαδή. Επομένως η σχέση k k ισχύει για κάθε k. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Θα εξετάσουμε στη συνέχεια αν η ακολουθία μας είναι φραγμένη (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ., ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες.). Αφού η ακολουθία είναι (γνησίως) αύξουσα ένα κάτω φράγμα είναι ο πρώτος όρος, δηλαδή ισχύει k για κάθε k με k. Εύκολα αυτό αποδεικνύεται αυστηρά με επαγωγή ως εξής: για k ισχύει αφού ( γνησίως αύξουσα) και αν υποθέσουμε ότι τότε επειδή ( γνησίως αύξουσα) από μεταβατική ιδιότητα της ανισότητας έχουμε ότι. Άρα η σχέση μας ισχύει για κάθε και συνεπώς η είναι κάτω φραγμένη. Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι η είναι και άνω φραγμένη με άνω φράγμα το. Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι ισχύει k για κάθε k. Για k έχουμε ότι. Άρα η σχέση μας ισχύει. Υποθέτουμε ότι ισχύει επίσης για k, δηλαδή. Θα αποδείξουμε ότι και για k ισχύει ότι.. Από Έχουμε ότι την υπόθεση όμως. Από τις δύο προηγούμενες σχέσεις συμπεραίνουμε ότι. Επομένως η σχέση k φραγμένη. Επειδή η, k, ισχύει για κάθε k. Άρα η είναι άνω είναι αύξουσα και (άνω) φραγμένη, θα συγκλίνει (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ. - Θεώρημα). Συνεπώς υπάρχει τέτοιο ώστε. Για να προσδιορίσουμε αυτό το όριο εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, ,.4.7):. Το όριο είναι η λύση της εξίσωσης ή της εξίσωσης αυτής θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε. Με δεδομένο ότι, λόγω των φραγμάτων της ακολουθίας, η λύση συμπεραίνουμε ότι. Για την ισοδύναμη μορφή της παραπάνω εξίσωσης χρησιμοποιήσαμε τις ακόλουθες ισοδυναμίες: m m 0

4 Άσκηση (0 μον.) Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: i) 7 / 7, ii) cos, si() si() si( )..., iv). ii) Λύση. i) Ο γενικός όρος της ακολουθίας γράφεται ως εξής (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, ,.4.7): / ( / 7) 7 7 Είναι γνωστό ότι (Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότ.,.4, σελ. 4 - Παράδειγμα ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,.9): e, για. Εφαρμόζοντας την σχέση αυτή για / 7 και / 7, έχουμε ότι: / 7 / 7 e / 7 e. / 7 ( / 7) e ii) Η ακολουθία μας γράφεται ως εξής: / / cos cos. Η ακολουθία cos είναι απολύτως φραγμένη αφού cos, συνεπώς είναι και φραγμένη. / Έστω η ακολουθία b. Το όριό της είναι: / b / / / / / 0. / / / 0 / Εναλλακτικά, / / / / 0 b 0. 0 Οπότε, η ακολουθία, ως γινόμενο μιας μηδενικής επί μία φραγμένη ακολουθία είναι μηδενική (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,.4.,.4.7). Συνεπώς, 0. iii) Για j 0,,,, έχουμε ότι 0 si( j). 4

5 Επίσης από τη σχέση Συνεπώς si( j ) j j 0 έχουμε ότι j και si() si() si( ) Όμως η Πρόταση.4.6). iv) Αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε απ ευθείας το όριο της είναι μηδενική ακολουθία άρα 0 (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,.4, θα έχουμε ότι που είναι απροσδιόριστο. Όμως, αν πολλαπλασιάσουμε και διαιρέσουμε επί την συζυγή παράσταση της (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,.4.7 Παράδειγμα ), θα έχουμε ότι: / / / /. Άσκηση (0 μον.) ) ( μον.) Να εξετασθούν ως προς τη σύγκλιση οι παρακάτω σειρές: i) 0 e, ii) ( ), iii). 0 e ) ( μον.) Να εξετασθεί αν η σειρά συγκλίνει και, αν ναι, να υπολογισθεί το 0 άθροισμά της. Λύση. ) i) Η σειρά e δεν συγκλίνει, διότι αν εφαρμόσουμε το Κριτήριο του d Alembert (βιβλίο Γ. Δάσιου, Λογισμός μιας Μεταβλητής, Ενότητα, σελ. 7, κριτήριο λόγου (d Alembert) και ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,.4) θα έχουμε:

6 e ( ) e e e ( ) ( ) e e e ( ) e e e Επομένως, η σειρά αποκλίνει. ii) Η σειρά αυτή είναι εναλλάσσουσα. Θα εφαρμόσουμε το κριτήριο του Leibitz (ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,.4). Για την ακολουθία έχουμε ότι: α) Έχει θετικούς όρους, αφού 0. β) Είναι φθίνουσα, αφού, για κάθε. Πράγματι 6 6, ( ) που ισχύει. γ) Συγκλίνει στο 0, αφού 0. Συνεπώς η σειρά μας συγκλίνει. iii) Θα εφαρμόσουμε το κριτήριο του Cuchy (ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,.). Για την 0 ακολουθία που παράγει τη σειρά, έχουμε: 0 και όπου χρησιμοποιήσαμε το ότι (ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,. Πρόταση..4). Συνεπώς, η σειρά μας συγκλίνει. ) Η σειρά αυτή γράφεται ως εξής: e e e Η e 0 είναι γεωμετρική γιατί είναι της μορφής r με 0 e συγκλίνει γιατί ισχύει r (ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,.). e r. Αυτή η σειρά Το άθροισμά της είναι ίσο με. r e e Συνεπώς και η αρχική σειρά μας 0 e 0 e e e 0 θα συγκλίνει και το άθροισμά της θα είναι: 6

7 Άσκηση 4 (0 μονάδες) Να υπολογισθούν τα όρια 6 i), ii), 0 si 4 si cos 4 si 4 iii), iv) 0 8. Λύση. i) Παρατηρούμε ότι, αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε αυτό το όριο με βάση τους συνήθεις κανόνες υπολογισμού ορίων ( Συνέχεια συνάρτησης,..6), έχουμε: si si si si που είναι απροσδιόριστο. Αν όμως πολλαπλασιάσουμε επί τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, θα πάρουμε ότι: 0 si 0 0 si si si si si 0 0 si ii) Αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω όριο με βάση τους συνήθεις κανόνες υπολογισμούς ορίων ( Συνέχεια συνάρτησης,..6) θα έχουμε το οποίο είναι απροσδιόριστο. Αν όμως παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έχουμε ότι iii) Αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω όριο με βάση τους συνήθεις κανόνες υπολογισμού ορίων ( Συνέχεια συνάρτησης,..6) θα έχουμε

8 si cos 4 si si cos 4 si si cos 4 si si cos 4 si το οποίο είναι απροσδιόριστο. Παρατηρούμε όμως ότι στον αριθμητή του ορίου μας εμφανίζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις si και cos4 και στον παρονομαστή si z cos z το. Γνωρίζοντας λοιπόν ότι και 0 (ΣΕΥ Λογισμός, Όρια z0 z z0 z και Συνέχεια συνάρτησης,..), κάνουμε τα εξής: si cos 4 si sicos 4 si cos 4 si cos 4 4 οπότε si cos4 si si cos4 si cos Θέτουμε u και v 4. Αφού, όταν 0, u 0 και v4 0, θα έχουμε ότι si cos 4 si si u cos v u0 u v0 v iv) Θα έχουμε: l im ( )( ). Άσκηση (0 μον.) b ) (0 μον.) Να βρεθούν τα, b R, ώστε. ) (0 μον.) Να εξετασθεί αν η παρακάτω συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο : 4, f ( ) 6,. 4, Λύση. b ) Το όριο του αριθμητή της συνάρτησης όταν είναι ένα πραγματικός αριθμός αφού το b είναι ένα πολυώνυμο. Το όριο του 8

9 b παρονομαστή της είναι το 0. Είναι φανερό λοιπόν ότι το όριο θα b 0. Αλλιώς, αν είναι ένας πραγματικός αριθμός μόνο αν b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός διάφορος του 0, το αρχικό όριο θα ισούται με άπειρο. Συνεπώς, θα έχουμε ότι b 0 b 0 9 b 0 b 8 Αντικαθιστώντας το προηγούμενο αποτέλεσμα στη σχέση της εκφώνησης έχουμε: ( 9) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ). Οπότε b 8 8 και συνεπώς, ) Για να είναι η f( ) συνεχής, θα πρέπει b όταν και b. f ( ) f ( ) f () (ΣΕΥ Λογισμός, Όρια και Συνέχεια συνάρτησης,..9,..). Υπολογίζουμε τα δύο πλευρικά όρια: Όταν, τότε 0. Επίσης, επειδή και το είναι στην περιοχή του (δηλαδή κοντά στο ), θα έχουμε ότι Στην ίδια περιοχή 0, οπότε. Συνεπώς: ( )( ) ( ) Όταν, τότε 0. Επίσης, επειδή, θα έχουμε ότι , ενώ 0, οπότε. Συνεπώς: ( )( ) ( ) Επομένως, f ( ) f ( ). Όμως, f () 6. Συνεπώς η f( ) δεν είναι συνεχής στο. 9

10 Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης που περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της ΘΕ. Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού που σχετίζονται άμεσα με τις ασκήσεις της Εργασίας. Άσκ. Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις Η άσκηση αναφέρεται στη μελέτη των ακολουθιών. Συγκεκριμένα εξετάζεται η μονοτονία, η ύπαρξη φραγμάτων, η σύγκλιση και ο υπολογισμός του ορίου μιας ακολουθίας. Θα πρέπει να μελετήσετε τα εξής: Βιβλίο Ενότητα,.4. ΣΕΥ Λογισμός, -Ακολουθίες,.,.4,.,.6. ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες.6. Παραδείγματα Εργασία 00 Ασκ Εργασία 009 Ασκβ Εργασία 008 Ασκ4β ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες..8 Παραδείγματα Εργασία 00 Ασκiv Εργασία 008 Ασκβ Η άσκηση αναφέρεται στον υπολογισμό του ορίου μιας ακολουθίας. Θα πρέπει να μελετήσετε τα εξής: Βιβλίο Ενότητα,.4. ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες,.4,.,.9. Η άσκηση αναφέρεται στη μελέτη των σειρών. Συγκεκριμένα εξετάζεται η σύγκλιση και ο υπολογισμός του αθροίσματος μιας σειράς. Θα πρέπει να μελετήσετε τα εξής: Βιβλίο Ενότητα. ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές. 4 Η άσκηση αναφέρεται στη μελέτη των ορίων συνάρτησης. Θα πρέπει να μελετήσετε τα εξής: Βιβλίο Ενότητα 4, 4.. Συνέχεια συνάρτησης,.,.. Η άσκηση αναφέρεται στη μελέτη των ορίων και τη συνέχεια συνάρτησης. Συγκεκριμένα εξετάζεται η ύπαρξη ορίου τα πλευρικά όρια και οι συνθήκες συνέχειας συνάρτησης. Θα πρέπει να μελετήσετε τα εξής: Βιβλίο Ενότητα 4, Συνέχεια συνάρτησης,.,.,.. ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες..8-ii Παράδειγμα.4.7-vi,.4.7-vii,.4.7-,.4.7-i,.4.7- ii Παραδείγματα.0.6 Παράδειγμα Εργασία 008, Ασκ4αi ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,.4 Παραδείγματα.4 Παραδείγματα. Παραδείγματα -6 Εργασία 00 Ασκ4i-ii Εργασία 009 Ασκαii, Ασκαiii ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,. Παραδείγματα,..7 Παράδειγμα i Εργασία 009 Ασκ6α..7 Παράδειγμα i..8 Παραδείγματα.. Παραδείγματα,.. Παραδείγματα,4 Εργασία 009 Ασκ6γ Εργασία 00 Ασκ ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες.. Παραδείγματα,,6.4.7 Παραδείγματα.0.6 Παραδείγματα Εργασία 00 Ασκiv Εργασία 008 Ασκ ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,. Παράδειγμα 7 Εργασία 00 Ασκ4iii Εργασία 009 Ασκαi ΣΕΥ Λογισμός, Σειρές,. Παράδειγμα..7 Παραδείγματα..7 Παράδειγμα Εργασία 00 Ασκ6α Εργασία 008 Ασκ6α.. Παράδειγμα.. Παραδείγματα Εργασία 008 Ασκ6β Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Λογισμός μιας μεταβλητής» του Γ. Δάσιου (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα), στο υλικό ΣΕΥ και στις εργασίες παλαιοτέρων ετών που υπάρχουν αναρτημένα στην ιστοσελίδα 0