ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 24-05-2008"

Σωστράτη Αποστολίδης
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α.. σχ. βιβλίο σελ. 35 Α.. σχ. βιβλίο σελ. 9 Β. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ α. (i + ) z 6 ( ) + z 6 +i z 6 9 z 6 3 z 6 z z ( + i) Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ. β. w ( i) w ( 3 3i) () Έστω Μ(w) η εικόνα του µιγαδικού w και Α(, ) η εικόνα του µιγαδικού i και Β(3, 3) η εικόνα του µιγαδικού 3 3i, τότε η σχέση () γράφεται (ΜΑ) (ΜΒ) και ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w είναι η µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Εύρεση της εξίσωσης της µεσοκαθέτου Έστω w + yi, τότε : w ( i) w ( 3 3i) + yi + i + yi 3 + 3i ( ) + ( y + ) i ( 3) + ( y + 3) i

w ( i) w ( 3 3i) () Έστω Μ(w) η εικόνα του µιγαδικού w και Α(, ) η εικόνα του µιγαδικού i και Β(3, 3) η εικόνα του µιγαδικού 3 3i, τότε η σχέση () γράφεται (ΜΑ) (ΜΒ) και ο γεωµετρικός

2 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX ( ) + ( y + ) ( 3) + ( y + 3) ( ) + ( y + ) ( 3) + ( y + 3) + + y + y y + 6y y y y 6 y 4 y 4 γ. Έστω (ε) η ευθεία µε εξίσωση y 4. Ο µιγαδικός w που έχει το ελάχιστο µέτρο είναι ο µιγαδικός που ανήκει στην (ε) και απέχει το ελάχιστο από το Ο(, ), άρα έχει εικόνα την προβολή του Ο(, ) στην (ε), έστω Μ. Α Τρόπος: Η ΟΜ είναι κάθετη στην ε, άρα λ ΟΜ λ ε λ ΟΜ λ ΟΜ και διέρχεται από το Ο(, ), άρα έχει εξίσωση y. Έστω η ευθεία µε εξίσωση y. Το Μ είναι η τοµή των (ε) και (η), άρα η λύση του συστήµατος : y y y 4 4 y 4 y y Άρα Μ(, ). min w OM + ( ) 8 Β Τρόπος: ε:y 4 y 4 min w d ( O, ε ) + ( ) 4 + ( ) 4

Ο µιγαδικός w που έχει το ελάχιστο µέτρο είναι ο µιγαδικός που ανήκει στην (ε) και απέχει το ελάχιστο από το Ο(, ), άρα έχει εικόνα την προβολή του Ο(, ) στην (ε), έστω Μ.

3 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX δ. Α' τρόπος : Ισχύει z w z w Όµως z () και w min w ( ) z w z + ( w ) z w z w λόγω (), ( ) οπότε min z w Β τρόπος: Ξέρουµε ότι z w (N ( z ) M ( w ) ), όπου Ν το σηµείο του κύκλου και Μ το σηµείο της ευθείας. Αν τοποθετήσουµε τυχαία τα σηµεία Ν και Μ πάνω στους γεωµετρικούς τόπους, τότε στο σχήµα βλέπουµε ότι ζητάµε την ελαχιστοποίηση της απόστασης των Ν, Μ δηλαδή την ελαχιστοποίηση του µήκους του τµήµατος ΝΜ. y-4 z N z w M w N Μ y- Από το τρίγωνο ΝΜΟ και την τριγωνοµετρική ανισότητα έχουµε: (ΝΜ) ( ΟΜ) ( ΟΝ) Όµως ( ΟΝ) z και ( ΟΜ) w οπότε z w (ΝΜ) ( ΟΜ) ( ΟΝ) z w οπότε z w min 3

σηµείο του κύκλου και Μ το σηµείο της ευθείας.

4 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX ΘΕΜΑ 3ο α) ln, > f (), Θα βρω το f ( ) + ln + + ln f ( ) ( ln ) + ln, παρ/µες κοντά στο κοντά στο DLH ln ) ( ( ) f ( ) άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο. 4

5 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX β) Για > η f παραγωγίζεται ως γινόµενο παραγωγισίµων συναρτήσεων f ( ) ( ln ) ( ) ln + ( ln ) ln + ln +. Βρίσκω το πρόσηµο της f ( ) λύνοντας την: f ( ) ln + ln ln ln e e Πίνακας µεταβολών της f f ( ) f () e H f ( ) συνεχής στο, e άρα f ( ) f ( ) < στο, e H f ( ) συνεχής στο, + e άρα f ( ) f ( ) > στο, + e + + στο, e στο, + e f f, f ( ), + f ( ) f, f ( ) e e e (), e 5

+. Βρίσκω το πρόσηµο της f ( ) λύνοντας την: f ( ) ln + ln ln ln e e Πίνακας µεταβολών της f f ( ) f () e

6 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX f ln ( ) () e e e e e f f,+ + f ( ), f ( ) + e e (), + () e f, f ( ) e + αφού f ( ) ( ln ) + ( ) διότι +, ln + + Άρα τελικά το σύνολο τιµών της f είναι το e, e, + e, + γ) α e. Πρέπει και > ώστε να έχει νόηµα η παραπάνω εξίσωση.άρα τελικά >. α Για > : e ln α ln α, ή f ( ) α, > όπου f η παραπάνω συνάρτηση. Για την λύση της εξίσωσης αυτής έχουµε τις περιπτώσεις (σύµφωνα µε τα προηγούµενα συµπεράσµατα) 6

7 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX i) Αν α, τότε η εξίσωση f ( ) α είναι Α ΥΝΑΤΗ e ( αφού το α δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της f ) ii) Αν α τότε η εξίσωση f ( ) α έχει ΜΟΝΑ ΙΚΗ ΛΥΣΗ την > e e 7

8 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX iii)αν α, τότε η εξίσωση f ( ) α e έχει µια µόνο ρίζα ρ στο, στο οποίο η f είναι e και µια µόνο ρίζα ρ στο, στο οποίο η f είναι e (Σηµείωση:f () ln ). Άρα η f ( ) α έχει δυο διαφορετικές ρίζες θετικές. 8

9 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX > iv)αν α η εξίσωση γίνεται f() ln ln. v)αν α (, + ) τότε η εξίσωση f ( ) α έχει µόνο µια ρίζα θετική στο (, + ) στο οποίο η f είναι. 9

366 > iv)αν α η εξίσωση γίνεται f() ln ln.

10 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX ΘΕΜΑ 4ο α. Επειδή f(t)dt ℜ, θέτω f(t)dt f()d α οπότε f() α ( ) 45 () () 3 f()d α α ( + 3 ) 45 d α α 3d + 3α d 45 d α 4 α + 3α 45 α 4 4 α + 3α 9 α 4 4α + 6α 9 α 45α 9 α Τότε : f() ( ) 45 f() β. Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℜ, άρα η g είναι παραγωγίσιµη στο ℜ, άρα για κάθε ℜ ισχύει : g ( + u ) g ( ) g ( ) () u Θέτω u και αφού u, u οπότε η () γίνεται : g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( )

α 4 4 α + 3α 9 α 4 4α + 6α 9 α 45α 9 α Τότε : f() ( 3 + 3 ) 45 f() 3 + 6 45 β.

11 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX γ. Η g είναι παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής g ( + ) συνεχής ως σύνθεση συνεχών g ( ) συνεχής ως σύνθεση συνεχών, άρα g ( + ) g ( ), g ( ) g ( ) άρα g ( + ) g ( ) + g ( ) g ( ) g ( ) + g ( ) Ακόµα Οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες, άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του κανόνα de l Hospital, οπότε : g ( + ) g ( ) + g ( ) g ( + ) g ( ) + g ( ) ( ) g ( + )( + ) ( g ( ) ) + g ( )( ) g ( + ) + g ( ) ( ) g ( + ) g ( ) g ( + ) g ( ) g ( ) g ( ) + ( ) + g g ( ) ( ) ) () g ( ) διότι ( g ( + ) g ( ) u g ( u ) g ( ) u u g ( ) g ( u) (β) ανεξάρτητα από g ( ) () u u το όνοµα της µεταβλητής g ( ) g ( ) g ( ) ( ) και

) g ( ) g ( ) + g ( ) Ακόµα Οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες, άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του κανόνα de l Hospital, οπότε : g ( + ) g ( ) + g ( ) g ( + ) g ( ) +

12 ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ , , FAX i) g ( + ) g ( ) + g ( ) g ( ) f ( ) + 45 f ( ) + 45 g ( ) g ( ) Τότε g ( ) d g ( ) + c 3 ( + 6 ) d g ( ) + c c,c ℜ c g ( ) + c g ( ) c 3, c 3 ℜ όµως g ( ) c 3 Τελικά g ( ) c 4 ℜ g ( ) d g ( ) + c 4 4 ( ) d g ( ) + c 4 c5 ℜ c5 g ( ) + c g ( ) c, c ℜ όµως g ( ) c Τελικά g ( ) ii) g ( ) g παραγωγίσιµη στο ℜ ως πράξη βασικών παραγωγισίµων g ( ) ( ) > για κάθε ℜ άρα g στο ℜ οπότε και -.

5 4 + 3 + c g ( ) + c g ( ) 5 4 + 3 + c 3, c 3 ℜ όµως g ( ) c 3 Τελικά g ( ) 5 4 + 3 + c 4 ℜ g ( ) d g ( ) + c 4 4 ( 5 + 3 + ) d g ( ) + c 4

Σχετικά έγγραφα

Άρθρο 2 -Καταχώρηση και τήρηση στοιχείων σε ηλεκτρονική µορφή

Άρθρο 2 -Καταχώρηση και τήρηση στοιχείων σε ηλεκτρονική µορφή Π.Δ. 114/05 (ΦΕΚ 165 Α / 30-6-2005) : Yποχρεωτική ανασύσταση φακέλου, ο οποίος έχει απολεσθεί από υπαιτιότητα της υπηρεσίας. Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Έχοντας υπόψη: 1. Τις διατάξεις της παραγράφου