Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1.

Transcript

1 Φροντιστήριο 3o Όπως έχουμε πει, αναλόγως με τη μορφή που έχει το στήριγμα, διακρίνουμε τις κατανομές σε διακριτές και μη διακριτές. Συγκεκριμένα, μια κατανομή ονομάζεται διακριτή όταν έχει διακριτό στήριγμα, δηλαδή αποτελείται από απομονωμένους πραγματικούς αριθμούς και μόνο. π.χ. {1,, 3,...}. Στις μη διακριτές κατανομές περιλαμβάνονται οι συνεχείς και οι μεικτές κατανομές. Μια κατανομή λέγεται συνεχής όταν το στήριγμα της είναι συνεχές, έχει δηλαδή τη μορφή διαστήματος ή ένωσης τέτοιων διαστημάτων. π.χ. [, 1] ή [, 1] [, 3]. Μια μεικτή κατανομή είναι μείξη διακριτής και συνεχούς κατανομής, αποτελείται δηλαδή από ένα διακριτό και ένα συνεχές κομμάτι. Αφού η αθροιστική αποτελεί πλήρη αναπαράσταση του μέτρου πιθανότητας, μπορούμε να βρίσκουμε το στήριγμα μιας κατανομής γνωρίζοντας μόνο την αθροιστική συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, οποιοδήποτε σημείο ασυνέχειας της αθροιστικής θα βρίσκεται στο στήριγμα, αφού θα αποδίδεται σε αυτό αυστηρά θετική πιθανότητα. Επιπλέον, οποιοδήποτε διάστημα στο οποίο η αθροιστική είναι γνησίως αύξουσα θα βρίσκεται επίσης στο στήριγμα. Επομένως, το στήριγμα θα περιλαμβάνει όλα τα σημεία στα οποία η αθροιστική είναι ασυνεχής και όλα τα διαστήματα στα οποία η αθροιστική είναι γνησίως αύξουσα. Βάσει των παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής: Η αθροιστική συνάρτηση μιας διακριτής κατανομής θα είναι ασυνεχής σε κάθε σημείο του στηρίγματος και σταθερή στα υπόλοιπα σημεία. π.χ. Άσκηση 4 Η αθροιστική συνάρτηση μιας συνεχούς κατανομής είναι δυνατόν να έχει ασυνέχειες. Επομένως, είναι δυνατόν να αποδίδεται αυστηρά θετική πιθανότητα σε κάποια απομονωμένα σημεία του R. π.χ. Ασκήσεις 5,7,8 Όταν η αθροιστική είναι παντού συνεχής, τότε δεν υπάρχουν σημεία στο R στα οποία αποδίδεται αυστηρά θετική πιθανότητα, και αντίστροφα. π.χ. Άσκηση 6 Άσκηση 4. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι αθροιστική συνάρτηση. {, x < 1 F x = 1 1, x 1 x όπου x = max{m N : m x} και N = {, 1,,...} αʹ F x = αφού F x = για x < 1 x F x = 1 1 x = 1 = 1 9

2 βʹ Μη φθίνουσα Έστω a < b. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις: a < b < 1 τότε F b F a = = a < 1 και b 1 τότε F b F a = 1 1 = 1 1 > b b 1 a < b τότε F b F a = = 1 b a αφού a b. Επομένως σε κάθε περίπτωση F b F a. γʹ Δεξιά συνεχής Έστω a R. αν a < 1 τότε = = F a =. x a a 1 b αν a 1 τότε F x = 1 1 = 1 1 = F a x a αφού x = a Επομένως η F είναι συνεχής από δεξιά. Άρα η F x είναι αθροιστική συνάρτηση. Άσκηση 5. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι αθροιστική συνάρτηση. {, x < 1 F x = 1 1, x 1 x αʹ F x = αφού F x = για x < 1 x F x = 1 1 x = 1 = 1 βʹ Μη φθίνουσα Έστω a < b. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις όπως πριν: a < b < 1 τότε F b F a = = a < 1 και b 1 τότε F b F a = 1 1 b = 1 1 b > 1

3 1 a < b τότε F b F a = 1 1 b 1 1 a = 1 a 1 b > Επομένως σε κάθε περίπτωση F b F a. γʹ Δεξιά συνεχής Έστω a R αν a < 1 τότε F x = = F a αν a 1 τότε F x = 1 1 = F a a Άρα είναι από δεξιά συνεχής. Άρα η F x είναι αθροιστική συνάρτηση. Άσκηση 6. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι αθροιστική συνάρτηση. {, x < 1 F x = 1 1, x 1 x αʹ F x = αφού F x = για x < 1 x F x = 1 1 x = 1 = 1 βʹ Μη φθίνουσα Έστω a < b. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις: a < b < 1 τότε F b F a = = a < 1 και b 1 τότε F b F a = 1 1 b = 1 1 b 1 a < b τότε F b F a = 1 1 b 1 1 a = 1 a 1 b > Επομένως σε κάθε περίπτωση F b F a. γʹ Δεξιά συνεχής Έστω a R αν a < 1 τότε F x = = F a αν a 1 τότε F x = 1 1 = 1 1 = F a x a 11

4 Άρα η F x είναι από δεξιά συνεχής. Άρα η F x είναι αθροιστική συνάρτηση. Άσκηση 7. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι αθροιστική συνάρτηση., x < a F x = q + 1 q x a, a x < b 1, x b για a < b R και q, 1 αʹ F x = αφού F x = για x < a x F x = 1 αφού F x = 1 για x b βʹ Μη φθίνουσα Έστω < x. Υπάρχουν 5 περιπτώσεις: < x < a τότε F x F = = < a και a x < b τότε F x F = F x = q + 1 q x a > a < x < b τότε F x F = q + 1 q x a = 1 q x > a < b και x b τότε F x F = 1 q 1 q a = 1 q1 a > αφού a < 1 b < x τότε F x F = 1 1 = q 1 q a Επομένως σε κάθε περίπτωση F x F. γʹ Δεξιά συνεχής Έστω ζ R αν ζ < a τότε F x = = F ζ x ζ + x a αν a ζ < b τότε F x = x ζ + +[q + 1 q ] = F ζ 1 x ζ

5 αν ζ b τότε F x = 1 = F ζ x ζ + Άρα η F x είναι από δεξιά συνεχής. Άρα η F x είναι αθροιστική συνάρτηση. Παρατήρηση. Προσέξτε ότι καθώς το q τείνει στο, η αθροιστική της παραπάνω άσκησης τείνει στην αθροιστική της ομοιόμορφης κατανομής. Άσκηση 8. i. Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι αθροιστική συνάρτηση., x < F x = x 1, x Δίνεται k dk = π ii. Έστω τυχαία μεταβλητή X: π z ολοκλήρωμα Gauss. X = {, Z < Z, Z όπου Z N, 1. Βρείτε την αθροιστική συνάρτηση της X. Δίνεται η αθροιστική της τυπικής κανονικής κατανομής N, 1: Λύση. i. Ιδιότητες αθροιστικής: αʹ x F Z x = 1 π x F x = αφού F x = για x < [ x ] F x = = 1 π = π z z 1 π + 1 π = π z z k dk z = 1 π z = π π = 1 χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Gauss και το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής, όπου θέτουμε k = z. 13

6 βʹ Μη φθίνουσα Έστω < x. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις: < x < τότε F x F = = < και x τότε F x F = 1 x π < x τότε F x F = 1 x π [ = 1 π = 1 x π z z x + > z z z > 1 π Επομένως σε κάθε περίπτωση F x F. γʹ Δεξιά συνεχής Έστω a R αν a < τότε F x = = F a [ αν a τότε F x = a = F a = 1 π z Άρα η F x είναι από δεξιά συνεχής. Άρα η F x είναι αθροιστική συνάρτηση. 1 π x z ] ii. Το στήριγμα της X είναι το [, +, επομένως για x <, F x =. Για x =, F x = P {} = P Z < = F Z = 1 π z z z ] = 1. 14

7 Για x >, F x = P {} + P, x] = 1 + P < Z x = 1 + F Zx F Z = π = π = 1 π = 1 π x x x z 1 π z z + 1 π z x z z όπου F Z = 1 προκύπτει από το ολοκλήρωμα Gauss. Άρα η αθροιστική της X θα είναι:, x < F x = x 1, x π που είναι η ίδια με την αθροιστική που δίνεται στην εκφώνηση του ερωτήματος i. z 15