ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση τοπικών ακροτάτων ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( αβ, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής > στο ( ) i Αν f (x) α,x και f (x) της f (Βλέπε Σχήματα 1- < στο ( ) < στο ( ) ii Αν f (x) α,x και f (x) ελάχιστο της f (Βλέπε Σχήματα 3-4) x,β, τότε το > στο ( ) f(x ) είναι τοπικό μέγιστο x,β, τότε το f(x ) είναι τοπικό iii Αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο ( α,x) ( x, β ), τότε το ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( αβ, ) (Βλέπε Σχήματα 5-6) f(x ) δεν είναι τοπικό Απόδειξη: > για κάθε x (,x ) αύξουσα στο ( α,x ] Οπότε:, για κάθε ( ] i Επειδή f (x) f(x) f(x ) Επειδή f (x) < για κάθε x ( x, ) φθίνουσα στο [ x,β ) Οπότε: f(x) f(x ) α και η f είναι συνεχής στο x, η f είναι γνησίως x α,x (1), για κάθε x [ x, ) β και η f είναι συνεχής στο x, η f είναι γνησίως β ( 1

2 Επομένως, λόγω των (1) και (, έχουμε: που σημαίνει ότι το αυτής f(x) f(x ), για κάθε x (, ) αβ, f(x ) είναι μέγιστο της f στο (, ) αβ και άρα τοπικό μέγιστο ii Εργαζόμαστε αναλόγως iii Έστω ότι f (x) >, για κάθε x (,x ) ( x, ) α β 2

3 Επειδή η f είναι συνεχής στο x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( α,x ] και [ ) x,β Επομένως, για x1 < x < x2 ισχύει f(x ) < f(x Άρα το f(x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( αβ, ) Έστω x,x (, ) 1 2 αβ με x1 < x2 Αν x,x α (,x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α ] 1 2 f(x Αν x,x [ x, β ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ) 1 2 f(x Τώρα, αν x1 < x < x2, τότε όπως είδαμε f(x ) < f(x,x, θα ισχύει x,β, θα ισχύει Επομένως, σε κάθε περίπτωση ισχύει f(x, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( αβ, ) Ομοίως, αν f (x) < για κάθε x α (,x ) (x, β ) αποδεικνύεται ότι το f(x ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( αβ, ) 3

4 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα κλειστό διάστημα [ αβ,, ] όπως γνωρίζουμε, η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: 1 Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f 2 Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων 3 Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση Έχουμε 3 2 f (x) x 3x 9x 4 = +, x [ 4,3] = +, x [ 4,3] 2 f (x) 3x 6x 9 Οι ρίζες της f (x) = είναι οι x = 3, x = 1 Άρα, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα x = 3, x = 1 Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [ 4,3] είναι : f ( 3) = 23, f (1) = 9, f ( 4) = 16 και f (3) = 23 Συνεπώς, η μέγιστη τιμή της f στο [ 4,3] είναι ίση με 23 και παρουσιάζεται για x = 3και x = 3, ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 9 και παρουσιάζεται για x = 1 Εποπτικά η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 4

5 Σημαντικές παρατηρήσεις α β και συνεχής στο x 1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,x) ( x, ) με f (x) > για κάθε α ( ) και f (x) < για κάθε x ( x, ) x,x είναι τοπικό μέγιστο της f Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,x) ( x, ) με f (x) < για κάθε α ( ) και f (x) > για κάθε x ( x, ) x,x είναι τοπικό ελάχιστο της f 3) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,x ) ( x, ) f(x ) β, τότε το α β και συνεχής στο x f(x ) β, τότε το α β και συνεχής στο τότε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα κρίσιμα σημεία εκατέρωθεν των οποίων η f αλλάζει πρόσημο 4) Αν για το κρίσιμο σημείο x μιας συνάρτηση f, γνωρίζουμε ότι η f διατηρεί το πρόσημο της εκατέρωθεν του x, τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο x και η f είναι γνησίως μονότονη 5) Σε συνάρτηση f διπλού τύπου για την εύρεση τοπικού ακρότατου στο σημείο x που αλλάζει τύπο η f, δεν μας ενδιαφέρει η παραγωγισιμότητα αλλά μόνο η συνέχεια της f στο x και η μονοτονία της f, πριν και μετά το x 6) Για να δείξουμε ότι: i f(x) µ, για κάθε x αρκεί να δείξουμε ότι το μ είναι η μέγιστη τιμή της f x ii f(x) ε, για κάθε x αρκεί να δείξουμε ότι το ε είναι η ελάχιστη τιμή της f 7) Αν θέλουμε να δείξουμε ότι f(x) > (ή f(x) < ), τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f ή να βρούμε ότι η f έχει ελάχιστο το α> (ή μέγιστο το α< αντίστοιχα) 8) Αν μας ζητείται να δείξουμε ότι f(x) g(x) (ή f(x) g(x) ), τότε θέτουμε h(x) = f(x) g(x) ή βρίσκουμε μια προφανή ρίζα της εξίσωσης h(x) = και την μονοτονία της h ή βρίσκουμε τα ακρότατα της h 9) Αν για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι: i Έχει ελάχιστο ε και f(x), τότε θα είναι ε ii Έχει μέγιστο µ και f(x), τότε θα είναι µ 5

6 1) Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ( αβ, ) και στο x (, ) αβ η f παρουσιάζει ακρότατο τότε έχουμε f (x ) = (Θεώρημα Fermat), έτσι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx στο σημείο ( ) M x, Ημερομηνία τροποποίησης: 2/9/211 6