< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και C 1, ώστε ρ h. Εφόσον η h : a, β] a 1, β 1 ] είναι συνεχής 1 1 και επί υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Είτε είναι γνησίως αύξουσα, οπότε λέμε ότι η αναπαραμετρικοποίηση διατηρεί τον προσανατολισμό, είτε είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε λέμε ότι η αναπαραμετρικοποίηση αντιστρέφει τον προσανατολισμό. Υποθέτουμε τώρα ότι η αναπαραμετρικοποίηση αντιστρέφει τον προσανατολισμό. Τότε, εφόσον η h : a, β] a 1, β 1 ] είναι συνεχής 1 1 επί και γνησίως φθίνουσα, θα ισχύει ha β 1 και hβ a 1. Επίσης, από τον κανόνα της αλυσίδας για την παραγώγιση διανυσματικών συναρτήσεων, προκύπτει ότι ρ t h t ht το h t είναι πραγματικός αριθμός ενώ ht R. Εστω F ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο του R. ρ F ds β a β < F ρt, ρ t > dt a < F ht, ht > h tdt. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x ht στο τελευταίο ολοκλήρωμα, οπότε dx h tdt ενώ για t a προκύπτει x β 1 και για t β προκύπτει x a 1. Ετσι το τελευταίο ολοκλήρωμα γράφεται a 1 < F x, x > dx β 1 < F x, x > dx F ds. β 1 a 1 Θέμα. α Εφόσον η ποσότητα x y ισούται με x y όταν x y και με y x όταν y x χωρίζουμε το χωρίο, ], ] σε δύο χωρία 1, με το 1 να είναι το κομμάτι του που βρίσκεται πάνω από την παραβολή y x και το να είναι το κομμάτι του που βρίσκεται κάτω από την παραβολή y x να κάνετε σχήμα. Ετσι, περιγράφοντας τα 1, ως y-απλά σύνολα μπορούν να περιγραφούν και ως x-απλά σύνολα αλλά η περιγραφή είναι λίγο δυσκολότερη έχουμε 1 {x, y R : y, x y} και {x, y R : y, y x }. 1 x y dxdy y y x dxdy yx x y dy y ] xy 1 x ] y y dy y y dy x y dxdy y x ydxdy x xy ] x xy 1 dy 8 y y y dy 8 y + y 16 dy Ετσι x y dxdy x y dxdy + x y dxdy β Επειδή το ολοκλήρωμα e x dx δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς, προχωρούμε σε αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης. Θεωρώντας το {x, y R : y, y x 6} ως y απλό σύνολο όπως στην εκφώνηση το περιγράφουμε ως x απλό σύνολο {x, y R : x 6, y x }

2 κάντε σχήμα. Ετσι κάνοντας αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης έχουμε 6 e x dxdy y e x dxdy 6 x e x dydx 6 x e x dx 1 e x] x6 1 x 1 e 6. Θέμα. Κάνουμε πρώτα γεωμετρική περιγραφή του κάντε σχήμα. Η ανισότητα x +y 1 ή ισοδύναμα x + y 16 μας δίνει το κομμάτι του επιπέδου που βρίσκεται έξω από τον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και εντός του κύκλου κέντρου, και ακτίνας δηλαδή το δακτύλιο μεταξύ των δύο κύκλων. Η ανισότητα x y μας δίνει το κομμάτι του επιπέδου που βρίσκεται πάνω από την ευθεία y x. Τέλος η ανισότητα x + y ή ισοδύναμα y x μας δίνει το κομμάτι του επιπέδου που βρίσκεται κάτω από την ευθεία y x. Το, που είναι η τομή των τριών κομματιών που περιγράψαμε παραπάνω, σε πολικές συντεταγμένες x r cos θ, y r sin θ περιγράφεται ως π B {r, θ : r, θ π }. Ετσι I B r cos θ logr r rdrdθ π π r logr cos θdrdθ π π cos θdθ r log rdr Υπολογίζοντας ξεχωριστά καθένα από τα δύο ολοκληρώματα που εμφανίζονται παραπάνω, έχουμε π ] π cos θdθ sin θ sin π sin π και r log rdr r log rdr π r log r ] r r π r 1 r dr 16 log log Ετσι προκύπτει ότι I 8 log 6. rdr log log ] r r 8 log 6. r Θέμα. α Αν είναι κυρτό ή γενικότερα απλά συνεκτικό και ανοικτό υποσύνολο του R και F : R, F x, y P x, y, Qx, y είναι ένα C 1 διανυσματικό πεδίο ώστε P Q x, y x x, y για κάθε x, y τότε το διανυσματικό πεδίο F έχει συνάρτηση δυναμικού στο, δηλαδή υπάρχει φ : R ώστε F φ. Το σύνολο της εκφώνησης είναι κυρτό είναι το δεξί ημιεπίπεδο, ενώ για τις συναρτήσεις P x, y x + y cosxy και Qx, y 1 + x cosxy έχουμε P x, y cosxy xy sinxy Q x x, y. Ετσι σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα το F έχει συνάρτηση δυναμικού, έστω φ χρησιμοποιώ το σύμβολο φ αντί για f που αναγράφει η εκφώνηση. Η φ : R ικανοποιεί τις σχέσεις x, y x + y cosxy x 1 x, y 1 + x cosxy Ολοκληρώνοντας τη σχέση 1 ως προς x, προκύπτει φx, y x + y cosxydx x + sinxy + hy όπου h : R R η οποία πρέπει να προσδιοριστεί. Παραγωγίζοντας την ως προς y προκύπτει x, y x cosxy + h y Από τις, προκύπτει ότι h y 1 και άρα hy y + c, με c σταθερά. Επομένως, από την, έχουμε ότι φx, y x + sinxy y + c.

3 β Εφόσον η σ : 1, ] R είναι μια κατά τμήματα C 1 καμπύλη και F φ προκύπτει ότι F ds φds φ φ1. φ φ, π φ 1, π 1 + sin1π π + c 1 π + c φ1 φ 1, π 1 φ 1, π 1 + sin π π + c 1 + π + c F ds 1 π + c 1 + π π + c. Ετσι, Θέμα. Εχουμε t e t,, e t, και άρα t e t + + e t e t + + e t e t + e t e t + e t. Ετσι το μήκος του σύρματος, δηλαδή το μήκος της καμπύλης είναι l 1 e t + e t dt e t e t] 1 e e e 1 e. Η μάζα του σύρματος είναι ίση με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της πυκνότητας. Θέμα 6. α 1 gds 1 te t e t + e t dt gt t dt 1 te t dt e t t e t e t + e t dt tdt 1 et tdt ] 1 1 et t 1 et dt + 1 e e t ] e e e +. θ + cos φ sin θ, + cos φ cos θ, sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ Ετσι το κάθετο διάνυσμα της Φ είναι το i j k + cos φ sin θ + cos φ cos θ sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ + cos φ cos θ cos φ, + cos φ sin θ cos φ, + cos φ sin φ. Αυτό το διάνυσμα έχει μέτρο θ + cos φ cos θ cos φ + sin θ cos φ + sin φ +cos φ cos φ + sin φ +cos φ και άρα είναι γνήσια θετικό, συνεπώς θ, φ,, σε κάθε θ, φ, π], π]. Επομένως η παραμετρικοποίηση Φ είναι λεία. Για να βρούμε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο Φ π 6, π του τόρου βρίσκουμε το σημείο και το κάθετο διάνυσμα. Φ π 6, π + 1, + 1 1,,,

4 θ π 6, π + 1 1, , + 1 8, 8,. Το ζητούμενο εφαπτόμενο επίπεδο είναι x 8 + y 8 + z. β Το εμβαδό της επιφάνειας S του τόρου, θεωρώντας το, π], π], είναι ES dθdφ π π + cos φdθdφ π π + cos φdφ π ] φπ φ + sin φ π π 8π. φ Θέμα 7. α Θεωρώντας το στερεό Ω {x, y, z R : x +y +z } έχουμε ότι Ω S. Η απόκλιση του διανυσματικού πεδίο F P, Q, R, όπου P x, y, z 8 x, Qx, y, z 8 y, Rx, y, z 8 z, είναι div F P x + Q + R z 8 x + 8 y + 8 z 16 x + y + z. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα απόκλισης του Gauss και θεωρώντας σφαιρικές συντεταγμένες στο τριπλό ολοκλήρωμα που προκύπτει, έχουμε: S < F, η > ds Ω π π 16 div F dxdydz ρ 16 ρ ρ sin φdρdφdθ 16 ] ρ ρ Ω 16 x + y + z dxdydz ] φπ cos φ π φ 16 ρ dρ π π sin φdφ dθ π 8π. β Η παραμετρικοποίηση Φ της σφαίρας S που θα χρησιμοποιήσουμε, είναι η Φ : R, όπου, π], π], με Φθ, φ cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ. Υπολογίζουμε το κάθετο διάνυσμα της Φ. i j k sin θ sin φ cos θ sin φ cos θ cos φ sin θ cos φ sin φ cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ sin φ Το κάθετο διάνυσμα αυτό έχει φορά προς το εσωτερικό της σφαίρας, άρα < F, η > ds F ds < F Φθ, φ, > dθdφ S Φ < 8 8 cos θ sin φ, 8 8 sin θ sin φ, 8 8 cos φ, cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ sin φ > dθdφ. 1 cos θ sin φ + 1 sin θ sin φ + 1 cos φ sin φdθdφ

5 Εφόσον 1 π π cos θ + sin θ sin φdφdθ π cos θ + sin θdθ π π π sin φdφ + 1 π cos φ sin φdφdθ cos φ ] φπ φ cos θ + sin θ cos θ + sin θ 1 + cos θ 1 cos θ cos θ + cos θ + 1 cos θ + cos θ + cos θ π προκύπτει ότι cos θ + sin θdθ π π. 1+cos θ + + cos θ Επίσης, εφόσον sin φ sin φ1 cos φ sin φ sin φ cos φ + sin φ cos φ, προκύπτει ότι π ] φπ sin φdφ cos φ + cos φ 1 cos φ φ Αντικαθιστώντας παραπάνω, προκύπτει ότι το ζητούμενο επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι ίσο με 1 π π 16π + 8π 8π.