Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού a ωστε το διάνυσμα v = ( a,, 0) του R να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός κ (, 0, ) + λ (,, ) όπως και οι αντίστοιχες τιμές των πραγματικών κ, λ στην περίπτωση που το a έχει την τιμή αυτή. a Η διανυσματική εξίσωση v = κ (, 0, ) + λ (,, ) ισοδυναμεί με το σύστημα με επαυξημένο 0 a a πίνακα 0 και κλιμακωτή μορφή αυτού 0 / από την οποία συμπεραίνουμε οτι το σύστημα a είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν a = 0. Συνεπώς το διάνυσμα v = ( a,, 0) του R γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των (, 0, ) και (,, ) αν και μόνο άν a=0. Συνεχίζοντας με γραμμοπράξεις στην περίπτωση αυτή 0 0 / έχουμε: 0 / 0 / την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή και την μοναδική λύση του συστήματος που είναι κ = -/, λ=/. Αρα το διάνυσμα v = ( a,, 0) του R γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός (-/) (, 0, ) + (/) (,, ) αν και μόνο άν a=0. β) (Μον.6) Θεωρούμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον R. Βρείτε μία ορθοκανονική βάση (ΟΚ) B={ u, u } του R με u = (/5, /5) και γράψτε το διάνυσμα u = (,) στην βάση Β. Αν u (, y) τότε καθώς < u, u >=0 έχουμε y 0 και y. Δηλαδή y / (*) και y y. Η τελευταία ισοδυναμεί με y, δηλαδή y 5, δηλαδή y ή y. 5 5 Επιλέγουμε (π.χ.) y οπότε από την (*) έχουμε / 5 και τελικά u = (- /5, /5). Αφού η 5 5 βάση { u, u } είναι ΟΚ το διάνυσμα u γράφεται: u = < u, u > u + < u, u > u = < (,),( / 5, / 5) > u + < (,),( / 5, / 5),u > u = 7 u / 5 u / 5. γ) (Μον.8) Να βρεθεί βάση της τομής των V {(, y, z) R y z 0} και W {(, y, z) R y z 0}, υποχώρων του R, όπως και οι διαστάσεις dimv, dimw. Ισχύει οτι ο R είναι ευθύ άθροισμα των V και W ; Για την τομή ισχύει οτι V W {(, y, z) R y z 0 y z 0}. y z 0 Λύνουμε το σύστημα βρίσκοντας την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του επαυξημένου πίνακα: y z δηλαδή 0 y z, z αυθαίρετος. Δηλαδή u V W u z(0,,) για z R. Συνεπώς V W =spa{ (0,,) } με βάση { (0,,) } καθώς το (0,,) (0,0,0).

2 Για τον V: Παρατηρούμε οτι V {(, y, z) R y z 0} = (spa{(, -,)}) και επειδή dim (spa{(, -,)})= o V έχει διάσταση -= ως ορθογώνιο συμπλήρωμα. (Εναλλακτικά, μπορούμε να δείξουμε οτι V spa{(,, 0), (, 0,)} και επειδή το {(,,0), (,0,)} είναι και γραμμικά ανεξάρτητο έχουμε οτι dimv=.) Για τον W: παρόμοια W {(, y, z) R y z 0} = (spa{(,, -)}) και όπως προηγουμένως dimw=. Ο R ΔΕΝ είναι ευθύ άθροισμα των V και W καθώς V W {(0,0,0)}. (Eναλλακτικά, dimv + dimw = > = dim R ). Θέμα α) (Μον.8) Να εξετάσετε αν οι ακόλουθοι πίνακες διαγωνοποιούνται: 0 i) A (δεν είναι αναγκαίο να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα), 0 ii) B. 0 O A διαγωνοποιείται ως συμμετρικός πραγματικός. 0 Για τον B βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο dt ( ) με διπλή ρίζα την., οπότε βάση του ιδιοχώρου είναι {(,)} και συνεπώς ο Β ΔΕΝ διαγωνοποιείται. αφού η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι ενώ η αλγεβρική είναι. ( Εναλλακτικά, για την περίπτωση σε περίπτωση διπλής ιδιοτιμής λ, ο πίνακας διαγωνοποιείται μόνο αν είναι (ήδη) διαγώνιος καθώς στην περίπτωση διπλής ιδιοτιμής αν υπάρχει Λ διαγώνιος τότε Λ=λΙ οπότε Α=Ρ Λ Ρ - =Λ Ρ Ρ - =Λ).

3 β) (Μον.) Θεωρούμε τον γραμμικό μετασχηματισμό του R με f (,0,0) = (,0,), f (0,,0) = (0,,0) και f (0,0,) = (,0,). i) Αφού βρείτε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα αναπαράστασης του f ως προς την συνήθη βάση του R, να βρεθούν βάση και διάσταση για τον πυρήνα, Kr f και εικόνα, Im f του f. ii) Να καταγράψετε δύο από τις ιδιοτιμές και βάσεις των αντίστοιχων ιδιόχωρων του f. (Κάνετε χρήση των δεδομένων και του αποτελέσματος στο i). Δεν χρειάζεται αναγκαστικά η εύρεση χαρακτηριστικού πολυωνύμου). iii) Να βρείτε τον τύπο του f ( δηλαδή f (,y,z) για το τυχόν (,y,z) του R ). i) A f A f ΑΚΜ z Αρα βάση και διάσταση για τον πυρήνα:, z αυθαίρετος. y 0 Συνεπώς Krf =spa{ (, 0, ) } με βάση { (,0, ) } καθώς το (,0, ) (0,0,0). dim Krf = Αφού έχουμε οδηγά στοιχεία στην η και η στήλη της ΑΚΜ του Α, η η και η στήλη του Α αποτελούν βάση της εικόνας: Im f =spa{ (,0,),(0,,0) } και dim Im f =. ii) Ιδιοτιμή λ=0 με βασικό ιδιοδιάνυσμα το (,0, ) (βαση του πυρήνα ) Ιδιοτιμή λ= με βασικό ιδιοδιάνυσμα το (0,,0) καθώς f (0,,0) = (0,,0) iii) f (,y,z) = f (,0,0) + y f (0,,0) + z f (0,0,) = = (,0,) + y (0,,0) + z (,0,) =(+z, y, +z) Θέμα α) (Μον.6) Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: i) a, ii) b. lim a lim lim 0. Η ακολουθία είναι θετικών όρων και για την ακολουθία των λόγων των διαδοχικών όρων ισχύει b. Αρα limb 0. b

4 β) (Μον.8) Να εξετασθούν ως προς τη σύγκλιση οι παρακάτω σειρές (για όλες τις τιμές του στο R, όπου υπάρχει ): i), ii), iii).! i) είναι σειρά θετικών όρων και ο γενικός όρος είναι μικρότερος από τον συγκλίνει (p= σειρά), η αρχική σειρά συγκλίνει επίσης.. Επειδή η σειρά ii) Η σειρά συγκλίνει ως γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο / και λόγο /, απολύτως μικρότερο του και μάλιστα. iii) Η σειρά έχει γενικό όρο a! Επειδή, για διάφορο του 0, ο λόγος η σειρά συγκλίνει για κάθε στο R. a a.! ( )! ( )! συγκλίνει στο 0 (<) για κάθε, γ) (Μον.6) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:, i) 5 lim l(, ii) lim ) 0. i) Από τον κανόνα του d l Hopital έχουμε ότι 5 / ( 5) lim lim lim lim( ). l( ) (l( )) ii) 0/ 0 lim 0 ( ) lim 0 ( ) lim lim 0 0 ( ) 0/ 0 ( ) lim 0 0

5 Θέμα α) (9 μονάδες) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ), ορισμένη στο R. i) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο της f και εξετάστε την μονοτονία της f στο R. ii) Υπολογίστε την δεύτερη παράγωγο της f και εξετάστε σε ποιά διατήματα η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή, κοίλη. Υπάρχουν σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της f ; iii) Nα βρεθούν τα όρια της f καθώς,, οριζόντιες ασύμπτωτες (αν υπάρχουν) και το σύνολο τιμών αυτής. i) 0 f ( ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα παντού. ii) f ( ).. f ( ) 0 0 Το πρόσημο της f είναι το πρόσημο του παράγοντα. Καθώς 0 για καθε στο R, και ανάλογα 0 συμπεραίνουμε οτι η γραφική παράσταση της f είναι κυρτή για >0 (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω) και κοίλη για <0, παρουσιάζει δε σημείο καμπής για =0. iii) lim ( ) lim 0 f καθώς lim. Συνεπώς υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη η y=0 καθώς. ) lim ( ) lim f καθώς lim 0. Συνεπώς υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη η y= καθώς. Οριζόντια ασύμπτωτη y= καθώς Ισχύει οτι 0 και συνεπώς το σύνολο τιμών της f περιέχεται στο ανοικτό διάστημα (0,). Λόγω συνέχειας και των ανωτέρω ορίων το σύνολο τιμών είναι το ανοικτό διάστημα (0,). (Εναλλακτικά με αντίστροφη εικόνα).

6 β) (6 μονάδες) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα cos( ) d για κάθε φυσικό και στη συνέχεια το ορισμένο ολοκλήρωμα cos( ) d. 0 Το αόριστο ολοκλήρωμα: για =0, για =,,..., cos( ) d d C, si( ) si( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) d d d si( ) d C Το ορισμένο ολοκλήρωμα: για =0, cos( ) d d 0, 0 για =,,..., cos( ) si( ) ( ) cos( ) d. 0

7 γ) (5 μονάδες) Για <, υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα d ( θέστε z = ) και στη συνέχεια το γενικευμένο ολοκλήρωμα 0 d, αν συγκλίνει. Για να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση z = δηλαδή z οπότε z και d z dz. Έχουμε z 5 d z dz (6z z ) dz z 5 z +C= z Για το γενικευμένο ολοκλήρωμα I d 0 έχουμε ότι 0 B 0 B 5 B 5 d lim d lim 5 B B lim B 5 5 5/ / 9 / 0 0 ( ). 5 5 Συνεπώς, το I συγκλίνει. 5 5 B 0 5 +C.,

8 Θέμα 5 5α) (Μον.) Αν Α και Β είναι δύο γεγονότα και ισχύει P( ) 0.65, P( ) 0.0 και P( A B) 0.065, τότε: (i) τα γεγονότα Α, Β είναι ασυμβίβαστα (ξένα) ή όχι και γιατί; (ii) τα γεγονότα Α, Β είναι ανεξάρτητα ή όχι και γιατί; Για να είναι τα γεγονότα Α, Β ασυμβίβαστα (ξένα) πρέπει A B και επομένως P( A B) 0, πράγμα το οποίο δεν ισχύει γιατί δίνεται ότι P( A B) Για να είναι τα γεγονότα Α, Β ανεξάρτητα πρέπει να ισχύει P( A B) P( A) P( B). Για τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: P( ) P( ) P( A B). Άρα τα γεγονότα Α, Β είναι ανεξάρτητα. 5β) (Μον.9) Μια εταιρεία προμηθεύει την τοπική αγορά με τύπους αυτοκινήτων Α, Α και Α με ποσοστό αντίστοιχα 0%, 0% και 0%. Η πιθανότητα να προκύψει σοβαρή βλάβη μέσα στο χρονικό διάστημα της εγγύησης που παρέχει η εταιρεία για τους αυτούς τύπους αυτοκινήτων είναι %, % και % αντίστοιχα. i) Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει σοβαρή βλάβη σε ένα τυχαίο αυτοκίνητο που έχει προμηθεύσει η εταιρεία μέσα στο χρονικό διάστημα της εγγύησης; ii) Αν σε ένα αυτοκίνητο της εταιρείας προκύψει σοβαρή βλάβη μέσα στο χρονικό διάστημα της εγγύησης, ποια είναι η πιθανότητα το αυτοκίνητο να είναι τύπου Α ; Θεωρούμε τα γεγονότα { ί ίύ }, i,,, και { ί ή ά ά ύ} i Τα δεδομένα του προβλήματος είναι τα ακόλουθα: P( ), P( ), P( ) και P( / ), P( / ), P( / ) Τα γεγονότα Μ, Μ και Μ είναι ασυμβίβαστα ανά δύο και αποτελούν διαμέριση του δ. χ. Ω. Επομένως, για την εύρεση της πιθανότητας να προκύψει σοβαρή βλάβη σε αυτοκίνητο της εταιρείας μέσα στο χρονικό διάστημα της εγγύησης, μπορεί να εφαρμοστεί το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας. i από το οποίο έχουμε: P( ) P( / ) P( ) P( / ) P( ) P( / ) P( ) Εφαρμόζουμε τον κανόνα του Bays, λαμβάνοντας υπόψη από το ερώτημα (α) ότι P( B) 0.0. Οπότε έχουμε: P( / ) P( B) P( / ) P( ) P( B) P( B) B.

9 5γ) (Μον.9) Ο χρόνος μετάβασης Χ ενός φοιτητή στο Πανεπιστήμιο ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 λεπτά και τυπική απόκλιση 5 λεπτά. i) Ποιά είναι η πιθανότητα p ο χρόνος μετάβασης Χ ενός φοιτητή να είναι το πολύ 5 λεπτά; ii) Να βρεθεί η πιθανότητα από 0 φοιτητές που επιλέγονται τυχαία οι 8 τουλάχιστον να χρειάζονται το πολύ 5 λεπτά για να προσέλθουν στο Πανεπιστήμιο, συναρτήσει της πιθανότητας p P X 5 δυνάμεις του p και (-p) ). Δίνεται: 0.8. (δηλαδή παράσταση με Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης, ο χρόνος μετάβασης Χ ενός φοιτητή στο Πανεπιστήμιο ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 λεπτά και τυπική απόκλιση 5 λεπτά, άρα ( 0, 5). X Επομένως, η τυχαία μεταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή (0,). Οι ζητούμενες πιθανότητες υπολογίζονται ως εξής: Η πιθανότητα ο χρόνος μετάβασης Χ ενός φοιτητή να είναι το πολύ 5 λεπτά είναι: X 5 X p P X 5 P P P P Z P P Z Η πιθανότητα ένας φοιτητής να έχει χρόνο μετάβασης το πολύ 5 λεπτά σύμφωνα με το ερώτημα i) είναι p Έστω Υ ο αριθμός των φοιτητών, σε σύνολο =0, με χρόνο μετάβασης Χ το πολύ 5 λεπτά. Τότε προφανώς η τ. μ. Υ ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους =0 και p P Είναι γνωστό ότι η διωνυμική κατανομή B(, p ) έχει συνάρτηση πιθανότητας η οποία δίνεται από τη σχέση: k k! P k p ( p), k 0,,, k και. k k!( k)! Οπότε από την παραπάνω σχέση για =0, και p= θα προκύψει η ζητούμενη πιθανότητα, που είναι: P P P P p ( p) p ( p) p p ( p) 0p ( p) p