Η ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΑΙ Η ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Χαράλαμπος Λεμονίδης, Λυγούρας Γιώργος

Transcript

1 Λεμονίδης, Χ., Λυγούρας, Γ., (2008). Η επίδοση και η ευελιξία των μαθητών της τρίτης Δημοτικού στους νοερούς υπολογισμούς. Ευκλείδης Γ, τεύχος 68, σελ , Περίληψη Η ΕΠΙΔΟΣΗ ΚΑΙ Η ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤΟΥΣ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ Χαράλαμπος Λεμονίδης, Λυγούρας Γιώργος Στην εργασία αυτή εξετάζονται οι ικανότητες μαθητών της Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου στην εκτέλεση πράξεων με νοερό τρόπο. Οι μαθητές λύνουν νοερά 29 πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Καταγράφονται και αναλύονται οι σωστές απαντήσεις (επίδοση) των μαθητών στις νοερές πράξεις και οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν για να τις εκτελέσουν. Αναλύεται και καταγράφεται η ικανότητα των μαθητών να εναλλάσσουν επιτυχημένα τις στρατηγικές τους, ανάλογα με τα αριθμητικά δεδομένα κάθε προβλήματος που καλούνται να λύσουν νοερά (ευελιξία). Στην ανάλυση των αποτελεσμάτων ελέγχεται κατά πόσο η επίδοση και η ευελιξία συσχετίζονται μεταξύ τους. Φαίνεται ότι οι μαθητές που έχουν υψηλή επίδοση στους νοερούς υπολογισμούς είναι και ευέλικτοι, ενώ οι μαθητές που δυσκολεύονται να υπολογίσουν δεν παρουσιάζουν μεγάλη ευελιξία. Από τα αποτελέσματα φαίνεται επίσης ότι οι μαθητές παρουσιάζουν καλύτερες επιδόσεις πρώτα στις προσθέσεις, μετά στους πολλαπλασιασμούς, στις διαιρέσεις και τέλος στις αφαιρέσεις. Η αποτελεσματικότητα των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς εξαρτάται από το είδος των αριθμών των όρων της πράξης. Παρατηρήθηκε γενικά ότι όσο μεγαλώνουν τα αριθμητικά δεδομένα μιας πράξης τόσο μειώνεται και η επίδοση των μαθητών. 1. Εισαγωγή Οι νοεροί υπολογισμοί είναι ένα από τα τρία εργαλεία, τα οποία χρησιμοποιούν συνήθως οι άνθρωποι, όταν θέλουν να επιλύσουν καθημερινά προβλήματα. (Τα άλλα δύο εργαλεία είναι οι αριθμομηχανές-κομπιουτεράκια-και το χαρτί και μολύβι). Χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες που τους προσφέρουν τα εργαλεία αυτά οι άνθρωποι, οι οποίοι είναι καλοί στα μαθηματικά, επιλέγουν τη συντομότερη μέθοδο πριν κάνουν τους υπολογισμούς τους (Lola, 2000). Η νοερή αριθμητική εστιάζει τη λειτουργία της στην παραγωγή γρήγορων και σωστών λύσεων. O Anghileri (1999: ) περιγράφει τους νοερούς υπολογισμούς ως «υπολογισμοί που γίνονται συνειδητά από τους ανθρώπους με νοερές στρατηγικές». Νοερός υπολογισμός, είναι η διαδικασία του υπολογισμού με ακρίβεια ενός αριθμητικού αποτελέσματος χωρίς τη βοήθεια κάποιου εξωτερικού μέσου υπολογισμού ή γραφής. (Wandt and Brown, 1957). Ο νοερός υπολογισμός ως μαθηματική διαδικασία έχει ιδωθεί με διαφορετικούς τρόπους από τους παιδαγωγούς (Reys & Barger, 1994). Η συμπεριφοριστική (behavioral) οπτική ισχυρίζεται ότι ο νοερός υπολογισμός είναι μια βασική ικανότητα, ίσως βοηθάει ως ένα προαπαιτούμενο για την υπολογιστική ικανότητα με χαρτί και μολύβι ή για τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Στην περίπτωση αυτή η πρόοδος στη γνώση κερδίζεται με άμεση διδασκαλία και πρακτική (Shibata, 1994). Η κατασκευαστική (constructivist) οπτική θεωρεί το 1

2 νοερό υπολογισμό ως μια υψηλού επιπέδου διαδικασία σκέψης και προτάσσει την άποψη, ότι η δημιουργία μιας στρατηγικής είναι τόσο σημαντική όσο η εκτέλεση της στρατηγικής (Resnick, Sowder, 1992). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή η ανάπτυξη των αριθμητικών ικανοτήτων των μαθητών επιτυγχάνεται στην τάξη με την ανάδυση και στη συνέχεια αξιοποίηση των στρατηγικών που κατασκευάζουν και χρησιμοποιούν οι μαθητές στα νοερά προβλήματα, μετά από προτροπή του δασκάλου/ας. Έρευνες έχουν δείξει ότι τα παιδιά, πριν ακόμα ενταχθούν στο σχολικό περιβάλλον είναι φορείς μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων (Gelman & Gallistel, Fuson, Fischer, 1992). Διαθέτουν γνώσεις, ικανότητες και δεξιότητες σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες, οι οποίες έχουν, κυρίως, χαρακτήρα κοινωνικό και εμπειρικό. Δηλαδή, είναι γνώσεις που συλλέγει το παιδί είτε από την οικογένεια είτε γενικότερα από το φυσικό και κοινωνικό του περιβάλλον (συνομήλικοι, Μ.Μ.Ε. κ.λπ.) ( Λεμονίδης, 2003α, σελ ). Οι άτυπες 1 γνώσεις των παιδιών σε διάφορους μαθηματικούς τομείς είναι σημαντικές, όπως σημαντικές είναι και οι άτυπες στρατηγικές λύσης. Οι άτυπες στρατηγικές λύσης είναι οι μέθοδοι που αναπτύσσει το ίδιο το παιδί μόνο του και μπορεί να βρεθούν σε αντίθεση με αυτές που διδάσκει το σχολείο, ειδικά εάν δε γίνεται καμία σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο. Πολλές έρευνες (Ginsburg Carpenter & Moser Steffe & Gobb, Λεμονίδης, 1998) έδειξαν, ότι τα παιδιά, πριν από οποιαδήποτε οργανωμένη διδασκαλία, έχουν ήδη αναπτύξει διάφορες δικές τους άτυπες στρατηγικές, με βάση τις οποίες μπορούν να λύνουν απλά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Οι άτυπες αυτές στρατηγικές αρχικά βασίζονται στην υλική αναπαράσταση των προβλημάτων και στη χρήση υλικών αντικειμένων ή δακτύλων για τον υπολογισμό των προσθέσεων και των αφαιρέσεων. Η γνώση και ο τρόπος σκέψης, που ισχύουν έξω από το σχολείο, πρέπει να βρίσκονται σε αρμονία και αλληλοτροφοδότηση με όσα διδάσκονται μέσα στο σχολείο. Οι διδακτικές καταστάσεις που παρουσιάζονται, θα πρέπει να είναι από τη φυσική και κοινωνική ζωή του παιδιού και να έχουν νόημα γι αυτό. Δεν πρέπει να υπάρχει χάσμα του πολιτισμού, του τρόπου σκέψης και της γλώσσας έξω από το σχολείο και μέσα σ αυτό (Λεμονίδης, 2003α:58). Η ευελιξία χαρακτηρίζεται ως συνέπεια της λογικής επιλογής στρατηγικών στους νοερούς υπολογισμούς ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του προβλήματος που τίθεται για επίλυση. Η επιλογή στρατηγικών δεν σημαίνει πάντα ότι οδηγεί σε σωστό αποτέλεσμα. Επίσης, η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών δεν κάνει πάντα τους μαθητές ευέλικτους. Ο υπολογισμός πρέπει να εκλαμβάνεται ως αλληλεπίδραση της προφορικής ανακοίνωσης και της γνώσης, την οποία πρέπει να προωθεί η διδασκαλία για να προάγει την ευελιξία των μαθητών (Threlfall, 2002:29-47). Οι νοεροί υπολογισμοί εμπεριέχουν ένα ευρύ φάσμα από στρατηγικές, σε αντίθεση με τον παραδοσιακό τρόπο επίλυσης προβλημάτων. Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία πολλές έρευνες έχουν αναδείξει την ποικιλία των στρατηγικών των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς (Beishuizen, Blöte, Klein, & Beishuizen, Cooper, Heirdsfield, & Irons, Reys, Reys, Nohda, & Emori, Thompson & Smith, Λεμονίδης, 2003α). Από τις έρευνες αυτές αναδείχτηκαν και κωδικοποιήθηκαν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στους νοερούς υπολογισμούς και παρατηρήθηκε η ικανότητα των μαθητών να εναλλάσσουν τις στρατηγικές τους ανάλογα με τα αριθμητικά δεδομένα της κάθε νοερής άσκησης (Πίνακες 1, 2). Η επιδεξιότητα στους νοερούς υπολογισμούς έχει τεθεί στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος πολλών ερευνητών (Beishuizen, Heirdsfield, Hope & Sherrill, McIntosh & Dole, Reys, Reys, Nohda, & Emori, 1995). Στην Ολλανδία, όπου οι νοεροί υπολογισμοί 1 Σύμφωνα με τον Λεμονίδη, ο όρος «άτυπη μαθηματική γνώση» συμπεριλαμβάνει τις ικανότητες και τη γνώση που αποκτά το παιδί έξω από το σχολείο, αλλά και τις σκέψεις που αναπτύσσει αυτό στο σχολείο χωρίς να τις διδάσκεται. 2

3 διδάσκονται πριν από τις τυπικές γραπτές πράξεις, τα προγράμματα για τη διδασκαλία των μαθηματικών δίνουν έμφαση στη χρήση της στρατηγικής με βάση τον πρώτο όρο ή Ν10 ως τον πιο αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού (π.χ. την πράξη την υπολογίζουν ως εξής: 34+20=54, 54+5=59). Ωστόσο, οι πιο αδύνατοι μαθητές τείνουν να χρησιμοποιούν τις λιγότερο αποτελεσματικές στρατηγικές του διαχωρισμού δεκάδων μονάδων (Beishuizen, 1993). Οι Hope και Sherrill (1987) υποστηρίζουν, ότι οι λιγότεροι επιδέξιοι μαθητές χρησιμοποιούν τη στρατηγική της νοερής αναπαράστασης του γραπτού αλγόριθμου, ενώ αντίθετα οι επιδέξιοι μαθητές διαθέτουν μια ποικιλία στρατηγικών για να επιλέξουν την κατάλληλη στρατηγική και αυτό αντανακλά την κατανόηση που έχουν για τους αριθμούς και τις λειτουργίες τους. Οι Reys, Reys, Nohda, και Emori (1995) διαπιστώνουν επίσης, ότι η αποτελεσματικότητα στους νοερούς υπολογισμούς συνδέεται με τη χρήση στρατηγικών διαφορετικών από αυτή της νοερής απεικόνισης της χρήσης μολυβιού και χαρτιού. Αντίθετα με αυτές τις διαπιστώσεις, οι McIntosh και Dole (2000) δηλώνουν, ότι οι μαθητές επιτυγχάνουν μεγάλη αποτελεσματικότητα, όταν χρησιμοποιούν τη νοερή απεικόνιση του γραπτού αλγόριθμου, παρά όταν επιλέγουν εναλλακτικές στρατηγικές, παρότι αυτές φανερώνουν μεγαλύτερο βαθμό κατανόησης των αριθμών. Η Heirdsfield (1996) επίσης, διαπιστώνει ότι η αποτελεσματικότητα στους νοερούς υπολογισμούς δε συνδέεται απόλυτα με τη χρήση εναλλακτικών στρατηγικών. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Οι στρατηγικές των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις ΠΡΟΣΘΕΣΕΙΣ- ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Άμεση ανάκληση (γνωστή πράξη) 2 Διαχωρισμός Δεκάδων-Μονάδων ή Δεκάδες-Μονάδες 34+25: 30+20=50, 4+5=9, 50+9= : 40-20=20, 8-6=2, 20+2= Μονάδες-Δεκάδες 34+25: 4+5=9, 30+20=50, 50+9= : 8-6=2, 40-20=20, 20+2= Δεκάδες-Διαδοχικά Μονάδες 34+25: 30+20=50, 50+4=54, 54+5= : 40-20=20, 20-6=14, 14+8=22 3 Υπολογισμός με βάση τον πρώτο όρο ή Ν ος όρος-μονάδες, δεκάδες 2ου όρου 34+25: 34+5=39, 39+20= : 48-6=42, 42-20= ος όρος-δεκάδες, μονάδες 2ου όρου 34+25: 34+20=54, 54+5= : 48-20=28, 28-6=22 4 Στρογγυλοποιήσεις ή Ν10C 4.1 Αντιστάθμιση 34+25: 35+25=60, 60-1= : 50-26=24, 24-2= Ισοσκέλιση 34+25: 40+19= : 50-28=22 5 Αρίθμηση 5.1 Με μονάδες 34+25: = : = Με δεκάδες 34+25: 34+10=44, 44+10=54, 54+5= : 48-10=38, 38-10=28, 28-6=22 3

4 ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Οι στρατηγικές των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ-ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Άμεση ανάκληση (γνωστή πράξη) 2 Παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού 2.1 Ανάκληση του αντίστροφου 6X3: 3X6=18 πολλαπλασιασμού 18:6: 3X6= Ανάκληση άλλων γινομένων ή 6X3: 5X3=15, 15+3=18 γινομένων και προσθαφαιρέσεων 18:6: 4X6=24, 24-6=18 6X3: 1X3=3, 2X3=6, 3X3=9, 2.3 Ανάκληση προπαίδειας 4X3=12, 5X3=15, 6X3=18 18:6= 1X6=6, 2X6=12, 3X6= Ανάκληση προσθαφαιρέσεων 6X3: 3+3=6, 6+6=12, 12+6=18 18:6: 6+6=12, 12+6=18 3 Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση 6Χ3: 3+3=6, 6+3=9, 9+3=12, 12+3=15, 15+3=18 18:6: 18-6=12, 12-6=6, 6-6=0 4 Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση με δάχτυλα ή αντικείμενα 2. Μεθοδολογία 2.1 Το δείγμα της έρευνας Η έρευνα πραγματοποιήθηκε στο 1ο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο της Φλώρινας, το Μάιο και τον Ιούνιο του Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 41 μαθητές και μαθήτριες (Ν=41) δύο τμημάτων, που παρακολούθησαν κατά το σχολικό έτος την Γ τάξη στο 1 ο Πειραματικό Δημοτικό Σχολείο Φλώρινας. Από αυτά 21 ήταν αγόρια (51,2%) και 20 κορίτσια (48,8%). Από τους 50 μαθητές των δύο τμημάτων της Γ τάξης (25 στο Γ1-25 στο Γ2) στην έρευνα πήραν μέρος 24 μαθητές του δεύτερου τμήματος (Γ2) και 17 μαθητές από το πρώτο τμήμα (Γ1), οι οποίοι επιλέχθηκαν τυχαία. Οι μαθητές του 2ου τμήματος για δύο χρόνια είχαν ως δάσκαλό τους τον ερευνητή, ο οποίος πριν ξεκινήσει η έρευνα είχε αποκτήσει μία ολοκληρωμένη εικόνα για τη γενικότερη επίδοση των μαθητών της τάξης του (Γ2) στο σχολείο. 2.2 Το εργαλείο της έρευνας Για να γίνει η απρόσκοπτη καταγραφή και μελέτη των στρατηγικών υπολογισμού των παιδιών συντάχτηκε ένα πρωτόκολλο ερωτήσεων και καταγραφής απαντήσεων με σκοπό να 4

5 απευθυνθεί προφορικά στα παιδιά σε ιδιαίτερο χώρο του σχολείου έξω από την αίθουσα διδασκαλίας με σκοπό τα παιδιά ελεύθερα χωρίς άγχος και με άνεση χρόνου να διατυπώσουν τις σκέψεις τους. Ζητήθηκε από τους μαθητές να απαντήσουν προφορικά σε μια σειρά μαθηματικών πράξεων (29 το σύνολο). Πιο συγκεκριμένα: 8 προσθέσεις, 6 αφαιρέσεις, 8 πολλαπλασιασμούς, 7 διαιρέσεις (Πίνακας 3). Οι πράξεις επιλέχτηκαν σύμφωνα με αυτά που διδάχθηκαν οι μαθητές (Μαθηματικά της φύσης και της ζωής, Λεμονίδης Χ., κ. ά., 2006) στην Γ τάξη. Όσον αφορά τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις επιλέχθηκαν έτσι ώστε να καλύπτουν όλες τις περιπτώσεις για τους διψήφιους αριθμούς. 2.3 Διαδικασία Οι αριθμητικές γνώσεις και οι στρατηγικές των μαθητών εξετάστηκαν με βάση τις ερωτήσεις των τεσσάρων πράξεων που παρουσιάζονται στον πίνακα 3. Ο ερευνητής στις νοερές πράξεις πρότεινε στο μαθητή την πράξη προφορικά, κατέγραφε την απάντησή του, σωστή ή λανθασμένη, και τη διαδικασία που χρησιμοποιούσε για να εκτελέσει την πράξη. Για να καταγράψει τη διαδικασία παρατηρούσε κάποια εμφανή εξωτερικά χαρακτηριστικά, όπως η χρήση δακτύλων, ο χρόνος απάντησης κ. ά. Ο ερευνητής ζητούσε, επίσης, από το μαθητή να του εξηγήσει τον τρόπο με τον οποίο εκτελούσε τις πράξεις. Ο ερευνητής διευκρίνισε στους μαθητές ότι δεν υπάρχει χρονικό όριο για να απαντήσουν, έτσι ώστε να μειωθεί το άγχος τους και να έχουν τη δυνατότητα να σκεφτούν ελεύθερα. Ωστόσο, ο χρόνος των απαντήσεων καταγράφηκε από τον ερευνητή. Έτσι διαπιστώθηκε ότι οι 41 μαθητές του δείγματος χρειάστηκαν κατά μέσο όρο μισή ώρα ο καθένας, για να απαντήσουν στις 29 ερωτήσεις. ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Οι πράξεις που κλίθηκαν να απαντήσουν νοερά οι μαθητές Α. Προσθέσεις 1.1 Πρόσθεση μεταξύ δεκάδων (40+20) 1.2 Πρόσθεση μεταξύ δεκάδων συμπληρωμάτων της εκατοντάδας (70+30) 2.1 Πρόσθεση διψήφιων χωρίς κρατούμενο (34+25) 2.2 Πρόσθεση διψήφιων χωρίς κρατούμενο με έναν προσθετέο δεκάδα (30+49) 3.1 Πρόσθεση διψήφιων με κρατούμενο (58+16), (56+15) 3.2 Πρόσθεση διψήφιων με κρατούμενο προς συμπλήρωση δεκάδας (35+45) 3.3 Πρόσθεση διψήφιων με κρατούμενο προς συμπλήρωση εκατοντάδας (42+58) Β. Αφαιρέσεις 1. Αφαίρεση μεταξύ δεκάδων (80-50) 2. Αφαίρεση δεκάδας από διψήφιο (63-40) 3. Αφαίρεση διψήφιων με ίδιες μονάδες για την εξαγωγή δεκάδας (76-56) 4. Αφαίρεση με κρατούμενο διψήφιου από δεκάδα (60-25) 5. Αφαίρεση διψήφιων χωρίς κρατούμενο (48-26) 6. Αφαίρεση διψήφιων με κρατούμενο (43-17) Γ. Πολλαπλασιασμοί 1. Από την προπαίδεια του 10 (3Χ10) 2. Προπαίδεια με μικρούς αριθμούς (6Χ3), (5Χ4) 3. Προπαίδεια με μεγάλους αριθμούς (7Χ8), (8Χ9) 4. Πολλαπλασιασμός με διψήφιο πολλαπλασιαστέο (5Χ12), (7Χ16) 5

6 5. Πολλαπλασιασμός με διψήφιο πολλαπλασιαστή και πολλαπλασιαστέο (12Χ14) Δ. Διαιρέσεις 1. Διαιρέσεις με μονοψήφιο διαιρέτη και μονοψήφιο πηλίκο (12:3), (28:4), (42:6) 2.1 Διαίρεση δεκάδας με τη δεκάδα (70:10) 2.2 Διαίρεση δεκάδας με το 5 -μισή δεκάδα- (50:5) 3 Διαίρεση διψήφιου με μονοψήφιο με διψήφιο πηλίκο (36:3) 4 Διαίρεση διψήφιων με ίδιους όρους (88:11) 2.4 Ανάλυση των απαντήσεων Η ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών ακολούθησε δύο στάδια. Πρώτα εξετάστηκε η επίδοση με βάση της σωστές απαντήσεις και στη συνέχεια οι στρατηγικές που επέλεξαν οι μαθητές. Στο πρώτο στάδιο, μετά την καταγραφή των σωστών και λανθασμένων απαντήσεων οι μαθητές με βάση την επίδοσή τους χωρίστηκαν σε τρεις κατηγορίες: α) χαμηλής επίδοσης (0-33%), β) μέσης επίδοσης (33-66%) και γ) υψηλής επίδοσης (66-100%). Στη συνέχεια, μελετήθηκε η επίδοση των μαθητών σε κάθε ομάδα πράξεων (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις) και σε κάθε είδος πράξης μέσα στην πράξη (π.χ. προσθέσεις με δεκάδα, με κρατούμενο, χωρίς κρατούμενο, κλπ.). Τέλος, με τη βοήθεια του z test 2 ελέγχθηκε ο βαθμός συσχέτισης των ποσοστών επιτυχίας των μαθητών μεταξύ ομοειδών πράξεων ανάμεσα σε προσθέσεις και αφαιρέσεις και σε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις (π.χ. πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων χωρίς κρατούμενο: και 48-26). Στο δεύτερο στάδιο ελέγχθηκε η ευελιξία των μαθητών. Αφού πρώτα κωδικοποιήθηκαν οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές σύμφωνα με τη σχετική βιβλιογραφία (πίνακες 1 και 2), στη συνέχεια ελέγχθηκε πόσες και ποιες στρατηγικές χρησιμοποίησαν οι μαθητές στους νοερούς υπολογισμούς που έκαναν. Τέλος, ελέγχθηκε η ικανότητα των μαθητών να εναλλάσσουν στρατηγική ανάλογα με το είδος της πράξης που έλυναν νοερά κάθε φορά. Σύμφωνα με την ικανότητά τους αυτή οι μαθητές χαρακτηρίστηκαν ως «ευέλικτοι» και ως «μη ευέλικτοι». Θα πρέπει εδώ να σημειωθεί, ότι για τη διερεύνηση των στρατηγικών των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς ο ερευνητής έλαβε υπόψη του όλες τις διαδικασίες που χρησιμοποίησαν οι μαθητές ανεξάρτητα εάν η χρήση τους οδήγησε σε σωστό αποτέλεσμα ή όχι, έτσι ώστε να σκιαγραφηθεί πλήρως η ικανότητα των μαθητών για την ανάπτυξη των δυνατοτήτων τους στους νοερούς υπολογισμούς. Στην περίπτωση όμως της αποτύπωσης και μελέτης της ευελιξίας των μαθητών ο ερευνητής έλαβε υπόψη του μόνο εκείνες τις στρατηγικές που ήταν και αποτελεσματικές, καθώς ευέλικτος χαρακτηρίζεται εκείνος ο μαθητής που αναπτύσσει και χρησιμοποιεί με επιτυχία διάφορους τρόπους επίλυσης μιας νοερής αριθμητικής άσκησης. Μετά τη μελέτη της επίδοσης και της ευελιξίας των μαθητών, έγινε μία προσπάθεια αναζήτησης της συσχέτισης που μπορεί να υπάρχει ανάμεσα σε επίδοση και ευελιξία. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS 11.5, με τη βοήθεια του οποίου πραγματοποιήθηκε η περιγραφή του δείγματος και ο έλεγχος υποθέσεων με τον έλεγχο χ 2 και το μη παραμετρικό κριτήριο Kruskal-Wallis. 2 Το z test εφαρμόζεται είτε με ποσοστά %, είτε με συχνότητες. Με επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας p < 0,05 ο αριθμός z πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 1,64 για να έχουμε στατιστικά σημαντική διαφορά, με επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας p < 0,01 ο αριθμός z πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 2,33 και με επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας p < 0,001 ο αριθμός z πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 3,08. 6

7 3. Αποτελέσματα της έρευνας 3.1 Η επίδοση των μαθητών του δείγματος στους νοερούς υπολογισμούς ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Ποσοστά επιτυχίας των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς (το Σ συμβολίζει τον αριθμό των μαθητών που έδωσαν σωστή απάντηση) ΕΙΔΟΣ ΠΡΑΞΗΣ Α/Α Σ Πράξη Επιτυχία % % % ΠΡΟΣΘΕΣΕΙΣ % % % % % % % ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ % % % % X10 100% X4 90% X3 83% ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ X8 68% X12 66% X9 59% X16 32% X14 15% :3 78% :10 76% :5 73% ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ :11 68% :4 63% :6 59% :3 46% Σύμφωνα με τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα (Π.4) φαίνεται ότι οι πιο εύκολες πράξεις για τους μαθητές είναι αυτές στις οποίες και οι δύο όροι είναι δεκάδες (70+30, 40+20, και 70:10, αντίστοιχα ποσοστά 98%, 95%, 85% και 76%) ή όταν ένας από τους δύο όρους είναι δεκάδα στην πράξη της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης (30+49, 7

8 3Χ10, 50:5, αντίστοιχα ποσοστά 93%, 100%, 73%). Υψηλό ποσοστό επιτυχίας παρουσίασαν οι μαθητές στις πράξεις που το αποτέλεσμα είναι δεκάδα (35+45, 76-56, αντίστοιχα ποσοστά 89%, 66%) ή εκατοντάδα (42+58, ποσοστό 76%). Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι η ύπαρξη μιας ή δύο δεκάδων στους όρους μιας πράξης καθιστά την πράξη αυτή εύκολη για τους μαθητές. Εύκολες είναι επίσης οι πράξεις της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης των οποίων το αποτέλεσμα καταλήγει σε δεκάδα. Όλες αυτές οι πράξεις, με τις δεκάδες στους όρους τους ή στο αποτέλεσμα, μπορούμε να πούμε ότι αναφέρονται σε ικανότητες των μαθητών σχετικά με τη σημασία των αριθμών και του συστήματος αρίθμησης. Δείχνουν δηλαδή πόσο οι μαθητές είναι ικανοί να αναλύουν ή να συνθέτουν ένα αριθμό με βάση τις δεκάδες. Εύκολες ήταν επίσης για τα παιδιά οι πράξεις του πολλαπλασιασμού με μονοψήφιους και μικρούς όρους (5Χ4, 6Χ3, αντίστοιχα ποσοστά 90%, 83%). Όταν οι όροι του πολλαπλασιασμού μεγαλώνουν και τα ποσοστά επιτυχίας μικραίνουν. Έτσι στις πράξεις 7Χ8 και 8Χ9 έχουμε ποσοστό επιτυχίας 68% και 59% αντίστοιχα. Στο ίδιο συμπέρασμα κατάληξε και η έρευνα του Χ. Λεμονίδη (2003β, σελ ). Μεγάλο ποσοστό επιτυχίας παρουσίασαν οι μαθητές ακόμα στην πρόσθεση διψήφιου με διψήφιο χωρίς κρατούμενο (34+25, ποσοστό 71%), ενώ στις αντίστοιχες πράξεις της αφαίρεσης (63-40, 48-26) σχεδόν μόνο οι μισοί μαθητές επέτυχαν (ποσοστό επιτυχίας και για τις δύο πράξεις 54%). Η ύπαρξη του κρατούμενου λειτουργεί διαφορετικά στις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Ενώ στις προσθέσεις με κρατούμενο (58+16, 56+15) δε φαίνεται να αντιμετωπίζουν πρόβλημα να υπολογίσουν σωστά οι περισσότεροι μαθητές (αντίστοιχα ποσοστά επιτυχίας 73% και 66%) στις αφαιρέσεις αποτυγχάνουν οι μισοί περίπου στην πράξη (ποσοστό επιτυχίας 59%) και σχεδόν οι περισσότεροι στην πράξη (ποσοστό επιτυχίας 27%). Οι προσθέσεις με κρατούμενο δεν είναι πιο δύσκολες από τις προσθέσεις χωρίς κρατούμενο, ενώ οι αφαιρέσεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από τις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο. Στο ίδιο συμπέρασμα κατάληξε και η έρευνα του Χ. Λεμονίδη (2003α, σελ ). Στις τρεις πράξεις διαίρεσης που δόθηκαν στους μαθητές με μονοψήφιο διαιρέτη προς αναζήτηση μονοψήφιου πηλίκου (12:3, 28:4, 42:6) μόνο στην πρώτη πράξη σημείωσαν μεγάλο ποσοστό επιτυχίας (78%), ενώ στις άλλες το ποσοστό ήταν πιο χαμηλό (αντίστοιχα 63% και 59%). Όταν το ζητούμενο πηλίκο είναι διψήφιος αριθμός (36:3) τότε το ποσοστό επιτυχίας των μαθητών πέφτει στο 46%. Στην διαίρεση διψήφιου με διψήφιου με όμοια ψηφία των δύο όρων με πηλίκο μονοψήφιο αριθμό (88:11) οι μαθητές σημείωσαν ποσοστό (68%) ενώ στον πολλαπλασιασμό διψήφιου με το 5 (5Χ12) οι μαθητές πέτυχαν ποσοστό 66%. Εκεί που σημειώθηκε η μικρότερη επιτυχία ήταν στους πολλαπλασιασμούς μονοψήφιου με διψήφιο (7Χ16) και διψήφιου με διψήφιο (12Χ14). Οι περισσότεροι μαθητές απάντησαν λανθασμένα και έτσι τα ποσοστά επιτυχίας ήταν αντίστοιχα μόνο 32% και 15%. Συγκρίνοντας την επίδοση των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις διαπιστώνουμε ότι υπάρχει στατιστικά μεγάλη διαφορά μεταξύ της επίδοσης των μαθητών στην πρόσθεση «με έναν όρο δεκάδα» (30+49) και στην αντίστοιχη αφαίρεση (60-25), (z = 3,60, p< 0,001). Επίσης, πολύ μεγάλη διαφορά παρατηρούμε να υπάρχει και στη σύγκριση των πράξεων «με κρατούμενο» (58+16, 43-17), (z = 4,20, p < 0,001). Και στις δύο αυτές κατηγορίες πράξεων οι μαθητές επιτυγχάνουν πολύ καλύτερες επιδόσεις στις προσθέσεις από τις αφαιρέσεις, όπου το ποσοστό είναι ιδιαίτερα χαμηλό. Αντίθετα, εάν συγκρίνουμε την επίδοση των μαθητών στις προσθέσεις και αφαιρέσεις στις κατηγορίες πράξεων «με δύο όρους δεκάδες» (70+30, 80-50) και «χωρίς κρατούμενο» (34+25, 48-26), διαπιστώνουμε ότι στατιστικά η διαφορά δεν είναι σημαντική (z = 1,49 και z = 1,59 μικρότερα του 1,64 αντίστοιχα). Συγκρίνοντας τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις παρατηρούμε ότι στις πράξεις με τον ένα όρο δεκάδα υπάρχει μεγάλη στατιστική διαφορά (z = 3,56, p < 0,001) με τους μαθητές να επιτυγχάνουν καθολικά (100%) στον 8

9 πολλαπλασιασμό 3Χ10, ενώ στη διαίρεση δεκάδας με μονοψήφιο μικρό αριθμό (50:5) πετυχαίνει ποσοστό 73%. Στατιστικά σημαντική διαφορά υπάρχει μεταξύ των πράξεων με διψήφιο τον ένα όρο και διψήφιο αποτέλεσμα (z = 1,78, p<0,05). Οι μαθητές στη διαίρεση αυτή (36:3) επιτυγχάνουν σε πολύ μικρό ποσοστό (46%), ενώ στον ανάλογο πολλαπλασιασμό (5Χ12) με ποσοστό 66%. Στις πράξεις με μικρό πολλαπλασιαστέο και μικρό πηλίκο (6Χ3, 12:3) και μεγάλο πολλαπλασιαστέο και μεγάλο πηλίκο (7Χ8, 28:4) οι μαθητές δεν παρουσιάζουν μεγάλες διαφορές στην επίδοσή τους επιτυγχάνοντας παραπλήσια ποσοστά (83% και 78% για την πρώτη περίπτωση και 68% και 63% για τη δεύτερη). Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε, ότι οι μαθητές επιτυγχάνουν σε κάποιες περιπτώσεις καλύτερα ποσοστά επιτυχίας στους νοερούς πολλαπλασιασμούς από ότι στις διαιρέσεις και το ποσοστό επιτυχίας τους μειώνεται, όσο μεγαλώνει ο πολλαπλασιαστέος στους πολλαπλασιασμούς και το ζητούμενο πηλίκο στις διαιρέσεις. 3.2 Η ευελιξία των μαθητών του δείγματος στους νοερούς υπολογισμούς Ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς ονομάζουμε την ικανότητα των μαθητών να κατέχουν και να χρησιμοποιούν μια ποικιλία από στρατηγικές για την επίλυση νοερών μαθηματικών ασκήσεων. Στην έρευνά μας αυτή διερευνήσαμε την ικανότητα των μαθητών να επιλέγουν τη στρατηγική που θεωρούν πιο αποτελεσματική σε κάθε νοερή άσκηση που καλούνται να επιλύσουν. Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι καταγράφηκαν όλες τις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές ανεξάρτητα αν αυτές οδήγησαν σε σωστή ή λανθασμένη απάντηση. Οι στρατηγικές αυτές παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες Παρουσίαση και ανάλυση των στρατηγικών των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις ΠΙΝΑΚΑΣ 5 Οι στρατηγικές των μαθητών στις νοερές προσθέσεις 100% 80% 60% 40% 20% 0% Αρίθμηση 14% 14% 8% 7% 5% 5% 5% 5% Στρογγυλοποιήσεις 5% Υπολογισμός με βάση τον πρώτο όρο % 8% 8% 3% Διαχωρισμός δεκ.-μον. 30% 20% 88% 88% 82% 95% 87% 92% Άμεση ανάκληση 56% 66% 2% 5% 9

10 ΠΙΝΑΚΑΣ 6 Οι στρατηγικές των μαθητών στις νοερές αφαιρέσεις 100% 80% 60% 40% 20% 0% Αρίθμηση 8% 8% 8% 5% 5% 5% Στρογγυλοποιήσεις 5% 13% 3% 3% Υπολογισμός με βάση τον πρώτο όρο % 10% 15% 24% Διαχωρισμός δεκ.-μον. 27% 77% 79% 69% 77% 68% Άμεση ανάκληση 65% 10% 8% 3% Από τα δεδομένα των παραπάνω πινάκων (Π.5 και 6) γίνεται φανερό, ότι οι περισσότεροι μαθητές όταν καλούνται να υπολογίσουν νοερά προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών επιλέγουν να χρησιμοποιήσουν τη στρατηγική διαχωρισμού δεκάδων-μονάδων. Αυτό φανερώνει τον σαφή επηρεασμό των μαθητών από το γραπτό αλγόριθμο. Οι άλλες στρατηγικές ανάλογα με τα ποσοστά χρήσης τους από τους μαθητές είναι: η άμεση ανάκληση, η αρίθμηση και τέλος οι στρογγυλοποιήσεις. Πιο συγκεκριμένα, στις προσθέσεις οι πράξεις με δεκάδες (70+30, 40+20) ήταν εύκολες και πάνω από τους μισούς μαθητές έδωσαν απάντηση με άμεση ανάκληση. Στις υπόλοιπες πράξεις κυριαρχεί ο διαχωρισμός δεκάδων-μονάδων (πάνω από 82%). Ο «υπολογισμός με βάση τον πρώτο όρο» παρατηρήθηκε να χρησιμοποιείται με μικρά ποσοστά (8%) κυρίως στις πράξεις με κρατούμενο (58+16, 56+15). Μόνο δύο μαθητές (5%) χρησιμοποίησαν την πιο προωθημένη στρατηγική της ισοσκέλισης στην πράξη με κρατούμενο (58+16). «Αρίθμηση» παρατηρήθηκε σε όλες τις πράξεις της πρόσθεσης, αλλά σε πολύ μικρά ποσοστά (από 5 έως 14%). Συμπερασματικά, στις νοερές προσθέσεις διψήφιων αριθμών οι μαθητές προτιμούν να υπολογίζουν διαχωρίζοντας δεκάδες και μονάδες γιατί νιώθουν μεγαλύτερη ασφάλεια για το αποτέλεσμα που θα προκύψει με αυτόν τον τρόπο. Ένας άλλος λόγος επιλογής της μεθόδου αυτής είναι η νοερή απεικόνιση του γραπτού κάθετου τρόπου επίλυσης των διψήφιων αριθμών με τον οποίο είναι εξοικειωμένοι πολλοί μαθητές. Η αρίθμηση γίνεται φανερό ότι αρχίζει και εγκαταλείπεται. Στις νοερές αφαιρέσεις, όπως και στις προσθέσεις, η κυρίαρχη στρατηγική που επιλέγουν οι μαθητές είναι ο διαχωρισμός δεκάδων-μονάδων, αλλά εδώ παρατηρείται μεγαλύτερη διασπορά των στρατηγικών των μαθητών. 10

11 Στις αφαιρέσεις, στη πράξη που κυριαρχεί η άμεση ανάκληση είναι η αφαίρεση δεκάδων (80-50:65%). Στις υπόλοιπες πράξεις οι μαθητές επέλεξαν τη στρατηγική «διαχωρισμός δεκάδων-μονάδων» με μεγάλα ποσοστά (68-79%). Σε αντίθεση με τις προσθέσεις, οι μαθητές στις αφαιρέσεις επιλέγουν με μεγαλύτερα ποσοστά και σε περισσότερες πράξεις τις πιο προωθημένες στρατηγικές. Έτσι, η στρατηγική «αφαίρεση με βάση τον πρώτο όρο» χρησιμοποιείται σε ποσοστά από 5% μέχρι 24%. Η στρατηγική «στρογγυλοποιήσεις» παρατηρείται σε τέσσερις πράξεις με το ποσοστό επιλογής της να ανέρχεται στην πράξη στο 13%. Η «αρίθμηση» παρατηρείται, όπως και στις προσθέσεις σε όλες τις πράξεις με πολύ χαμηλά ποσοστά (5-8%). Ίδιο ποσοστό μαθητών στις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις παρατηρήθηκε είτε να μην απαντούν είτε να δίνουν τυχαίες απαντήσεις Παρουσίαση και ανάλυση των στρατηγικών των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ΠΙΝΑΚΑΣ 7 Οι στρατηγικές των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 3X10 6X3 5X4 7X8 8X9 5X12 7X16 12X14 Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση με δάχτυλα ή αντικείμενα Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση Παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού 3% 3% 7% 8% 5% 5% 3% 8% 17% 14% 7% 38% 18% 64% 61% 87% 83% 83% Άμεση ανάκληση 86% 54% 77% 28% 36% 5% ΠΙΝΑΚΑΣ 8 Οι στρατηγικές των μαθητών στις νοερές διαιρέσεις 11

12 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση με δάχτυλα ή αντικείμενα Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή αφαίρεση Παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού 12:3 70:10 50:5 28:4 36:3 42:6 88:11 16% 3% 3% 11% 8,5% 6% 3% 5% 3% 5% 3% 8,5% 6% 6% 57% 43% 39% 75% 80% 66% 35% Άμεση ανάκληση 22% 51% 53% 11% 3% 22% 56% Όσον αφορά τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στους πολλαπλασιασμούς που προτείναμε μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Στα γινόμενα με μικρούς μονοψήφιους αριθμούς και κυρίως αυτά με το 5 και 10 (3Χ10, 5Χ4 και 6Χ3) οι μαθητές χρησιμοποιούν σε μεγάλα ποσοστά τη διαδικασία της γνωστής πράξης, δηλαδή την ικανότητα να γνωρίζουν απέξω και να ανακαλούν αυτόματα από τη μνήμη τους γινόμενα. Στην πράξη με πολλαπλασιαστέο τη δεκάδα (3Χ10) χρησιμοποιούν την άμεση ανάκληση το 86% και στην πράξη με πολλαπλασιαστή το 5 (5Χ4) τη χρησιμοποιούν το 77%. Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο του 10 και το γινόμενο του 5 έχουν αποθηκευτεί στη μνήμη και χρησιμοποιούνται άμεσα από τους μαθητές. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι, ότι όταν οι μαθητές καλούνται να βρουν γινόμενα με μεγάλο πολλαπλασιαστέο (7Χ8 και 8Χ9) ή γινόμενα με έναν ή δύο όρους διψήφιο αριθμό (5Χ12, 7Χ16 και 12Χ14), χρησιμοποιούν σε μεγάλο βαθμό την παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού, διαδικασία που είναι πιο προχωρημένη από τις επαναλαμβανόμενες προσθέσεις και αφαιρέσεις. Οι μαθητές αυτής της ηλικίας έχουν εγκαταλείψει πλέον τις προσθαφαιρέσεις με δάχτυλα ή αντικείμενα, καθώς το μέγεθος των αριθμών δεν τους επιτρέπει να υπολογίζουν με ασφάλεια και έτσι έχουν αναπτύξει περισσότερες, πιο εύχρηστες και πιο αποτελεσματικές στρατηγικές. Επομένως οι δύο στρατηγικές που είναι κυρίαρχες στους νοερούς πολλαπλασιασμούς είναι η άμεση ανάκληση και η παραγωγή πράξης. Παρατηρώντας τα δεδομένα του πίνακα 8 διαπιστώνεται ότι στις νοερές διαιρέσεις οι μαθητές χρησιμοποιούν όλες τις στρατηγικές. Παρατηρείται δε, μια αρκετά μεγάλη διασπορά των ποσοστών των στρατηγικών. Η στρατηγική της άμεσης ανάκλησης κυριαρχεί στις διαιρέσεις δεκάδων (70:10 και 50:5) και στη διαίρεση διψήφιων με ίδιους όρους (88:11). Στις υπόλοιπες διαιρέσεις οι μαθητές ως επί το πλείστον επιλέγουν την παραγωγή πράξης πολλαπλασιασμού (36:3 80%, 28:4 75%, 42:6 66%, 12:3 57%) και πιο συγκεκριμένα την ανάκληση της πράξης του πολλαπλασιασμού. Αυτό σημαίνει ότι η επιτυχία αυτών των μαθητών στο να εκτελούν διαιρέσεις εξαρτάται από την καλή γνώση της προπαίδειας. 12

13 Σε όλες τις πράξεις παρατηρούνται μικρές μεν, αλλά σταθερές προσπάθειες υπολογισμού με τη χρήση επαναλαμβανόμενων προσθαφαιρέσεων. Παρατηρείται επίσης ένα σταθερό μικρό ποσοστό μαθητών (από 5 έως 15%) που δεν επιλέγουν καμία στρατηγική και προτιμούν να δίνουν τυχαίες απαντήσεις Ο βαθμός ευελιξίας των μαθητών Η ευελιξία των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς αναπτύσσεται περισσότερο στις δύσκολες πράξεις, όπου δεν μπορούν να δώσουν άμεση απάντηση. Οι πράξεις αυτές αποτελούν ουσιαστικά το κριτήριο της ευελιξίας αλλά και της αποτελεσματικότητας των μαθητών, καθώς μας επιτρέπουν να διαπιστώσουμε κατά πόσο οι μαθητές είναι ικανοί να χρησιμοποιούν γνωστές πράξεις με επιτυχία ή όχι για να φτάνουν στο ζητούμενο αποτέλεσμα σε κάθε περίπτωση. Έτσι, για την κατηγοριοποίηση των μαθητών ως προς την ευελιξία τους μετρήθηκαν οι στρατηγικές που χρησιμοποιήθηκαν και έδωσαν σωστή απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, εξετάστηκε κατά πόσον οι μαθητές εναλλάσσουν στρατηγικές ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας και το είδος της πράξης. Οι πράξεις που επιλέχθηκαν ως κριτήριο για τη μέτρηση της ευελιξίας είναι: α) Έξι προσθέσεις και τις αφαιρέσεις: 58+16, 56+15, 42+58, 60-25, και 43-17, β) Έξι πολλαπλασιασμοί και τις διαιρέσεις: 7Χ8, 8Χ9, 5Χ12, 28:4, 36:3 και 42:6. Στη συνέχεια καταγράφηκαν οι επιλογές των στρατηγικών των μαθητών στις παραπάνω 12 πράξεις και εξετάστηκε σε ποιο βαθμό οι μαθητές εναλλάσσουν τις στρατηγικές τους. Σύμφωνα με τον αριθμό των στρατηγικών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές χωρίστηκαν σε δύο κατηγορίες: 1. Ευέλικτοι μαθητές (Αυτοί που χρησιμοποιούν από 4 έως 6 διαφορετικές στρατηγικές) 2. Μη ευέλικτοι μαθητές (Αυτοί που χρησιμοποιούν από 1 έως 3 διαφορετικές στρατηγικές) Ο βαθμός ευελιξίας των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς Ευέλικτοι μαθητές 34% Μη ευέλικτοι μαθητές 66% ΓΡΑΦΗΜΑ 1 Όπως διαπιστώνεται το 66% των μαθητών χαρακτηρίζονται ως «μη ευέλικτοι», επειδή χρησιμοποίησαν μικρό αριθμό στρατηγικών (από 1 έως 3) για να υπολογίσουν σωστά τις πράξεις. Αυτοί οι μαθητές είναι συνήθως προσκολλημένοι στη νοερή αναπαράσταση του γραπτού αλγόριθμου και η συνηθισμένη στρατηγική που ακολουθούν είναι ο διαχωρισμός δεκάδων μονάδων από δεξιά (μονάδες) προς τα αριστερά (δεκάδες). 13

14 Το 34% των μαθητών παρουσιάζει μεγάλη ευελιξία, καθώς χρησιμοποιεί τέσσερις, πέντε ή ακόμα και έξι διαφορετικές στρατηγικές στις δώδεκα πράξεις. Οι μαθητές αυτοί άλλαζαν τις στρατηγικές τους ανάλογα με το είδος και το βαθμό δυσκολίας της πράξης. Χαρακτηριστικό τους είναι ακόμα, ότι επιλέγουν σύνθετες και προωθημένες στρατηγικές τόσο πιο συχνά, όσο πιο μεγάλος είναι και ο βαθμός δυσκολίας της πράξης. Σύμφωνα με τη κωδικοποίηση της ευελιξίας των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς, όπως περιγράφηκε παραπάνω, παρατηρήθηκε διαφορά στα ποσοστά ευελιξίας των μαθητών στις δύο ομάδες πράξεων. Στις προσθέσεις και αφαιρέσεις το 82,9% των μαθητών παρουσιάζει μικρή ευελιξία, ενώ μόλις το 17,1% αυτών είναι ευέλικτοι επιλέγοντας πολλές στρατηγικές. Στους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις τα αντίστοιχα ποσοστά είναι 64% για τους μη ευέλικτους και 34% για τους ευέλικτους. Η μεγάλη αυτή διαφορά έγκειται στο ότι οι προσθέσεις και αφαιρέσεις παρουσιάζουν μικρότερο βαθμό δυσκολίας απ ότι οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις. Ένας άλλος λόγος είναι ότι αυτού του είδους oι πράξεις ενδείκνυνται για τη νοερή αναπαράσταση του γραπτού αλγόριθμου και έτσι πολλοί μαθητές επιλέγουν αυτή τη στρατηγική, καθώς νιώθουν μεγαλύτερη σιγουριά χρησιμοποιώντας τον τρόπο που γνωρίζουν καλά. Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι μαθητές του δείγματος δεν έχουν διδαχθεί εκτεταμένα το γραπτό αλγόριθμο, σύμφωνα πάντα με το βιβλίο «Τα Μαθηματικά της φύσης και της ζωής». Αυτό σημαίνει ότι είναι επηρεασμένοι από τους γονείς, οι οποίοι, καλόπιστα, επιμένουν πολλές φορές στο σπίτι στην καθημερινή εξάσκηση των παιδιών στον γραπτό τρόπο επίλυσης, αγνοώντας τις δυνατότητες και τις γνώσεις των μικρών παιδιών. Αντίθετα στους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, όπου παρατηρείται μεγαλύτερος βαθμός ευελιξίας, οι μαθητές χρησιμοποιούν πιο προωθημένες στρατηγικές, όπως η χρήση άλλων γινομένων και προσθαφαιρέσεων. Αναλύοντας στατιστικά την ευελιξία των μαθητών στις δύο ομάδες πράξεων με τον έλεγχο του τεστ χ 2, δεν παρατηρείται να υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση ανάμεσα στην ευελιξία των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις και την ευελιξία των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις (ακριβής έλεγχος Fisher απλής ουράς p=0,205). 3.3 Συσχέτιση μεταξύ της επίδοσης και της ευελιξίας ΠΙΝΑΚΑΣ 9 Σύγκριση ευελιξίας και επίδοσης των μαθητών του δείγματος Ευέλικτοι Μη ευέλικτοι Σύνολο Υψηλή επίδοση ,7% 37% 53,70% Μέτρια επίδοση ,3% 37% 29,30% Χαμηλή επίδοση % 25,90% 17,10% Σύνολο % 100% 100% Ερμηνεύοντας τα αποτελέσματα της σύγκρισης της ευελιξίας και της επίδοσης των μαθητών (Πίνακας 9) μπορούμε να πούμε, ότι οι περισσότεροι από τους 14 μαθητές που χαρακτηρίστηκαν ως ευέλικτοι σημείωσαν υψηλή επίδοση (12 μαθητές), μόνο δύο μέτρια επίδοση (14,30%) και κανένας χαμηλή επίδοση. Αυτό σημαίνει, ότι οι μαθητές που έχουν την ικανότητα να χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές στους νοερούς υπολογισμούς κατά κανόνα λύνουν σωστά και τις πράξεις. 14

15 Οι μαθητές, που χρησιμοποιούν λίγες στρατηγικές (συνήθως μία για κάθε ζεύγος πράξεων, προσθέσεις-αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς- διαιρέσεις) και χαρακτηρίστηκαν ως μη ευέλικτοι (27, 65,8%) παρουσίασαν μεγαλύτερη διασπορά ως προς την επίδοσή τους. Το ποσοστό αυτών των μαθητών μοιράζεται σχεδόν εξίσου στις τρεις κατηγορίες επίδοσης (υψηλή: 37%, μέτρια: 37%, κακή 25,90%). Αυτό σημαίνει, ότι οι μη ευέλικτοι μαθητές, όταν δεν μπορούν να υπολογίσουν με την αγαπημένη τους στρατηγική, συχνά αποτυγχάνουν. Αδυνατούν να καταφύγουν σε διαφορετική στρατηγική, είτε μη γνωρίζοντας, είτε μη μπορώντας να την κατασκευάσουν. Ελέγχοντας στη συνέχεια στατιστικά τη σχέση μεταξύ ευελιξίας και επίδοσης των μαθητών διαπιστώνεται να υπάρχει σημαντική συσχέτιση ανάμεσά τους (χ 2 = 9,331, df = 2, p =0,009). Αυτό σημαίνει, ότι οι μαθητές που είναι αποτελεσματικοί στους νοερούς υπολογισμούς είναι συνήθως και ευέλικτοι. Αντίθετα οι μαθητές με χαμηλή επίδοση είναι και μη ευέλικτοι, όπως φαίνεται και στον πίνακα 9. Η διαπίστωση αυτή συμφωνεί και με τα πορίσματα ανάλογων ερευνών (Sowder, 1994, Heirdsfield, & Cooper, 2002, Λεμονίδης, 2003α). 4. Συμπεράσματα Ο κύριος σκοπός της έρευνας, που τέθηκε στην αρχή, ήταν η ενδελεχής διερεύνηση των νοερών στρατηγικών που αναπτύσσουν και χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν καλούνται να επιλύσουν νοερά μια αριθμητική άσκηση. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι οι μαθητές όταν υπολογίζουν νοερά, επιτυγχάνουν καλύτερες επιδόσεις πρώτα στις προσθέσεις, μετά στους πολλαπλασιασμούς, στις διαιρέσεις και τέλος στις αφαιρέσεις. Συμπερασματικά, ο παράγοντας εκείνος που επηρεάζει πολύ τους μαθητές στον επιτυχή υπολογισμό των νοερών προσθέσεων και αφαιρέσεων είναι η δεκάδα, η εμφάνιση της οποίας στην πράξη της πρόσθεσης κυρίως τουλάχιστον μια φορά, βοηθάει πολύ τους μαθητές να φτάσουν στο σωστό αποτέλεσμα. Όταν η δεκάδα απουσιάζει, οι μαθητές δυσκολεύονται να υπολογίσουν σωστά ανεξάρτητα εάν η πράξη είναι με κρατούμενο ή χωρίς κρατούμενο. Από την έρευνα φάνηκε ότι ο παράγοντας που επηρεάζει αποφασιστικά την επίδοση των μαθητών στους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις είναι πρώτον η καλή γνώση της προπαίδειας και δεύτερον η ικανότητα των μαθητών να χρησιμοποιούν αυτή τη γνώση για να παράγουν το σωστό αποτέλεσμα. Η αποτελεσματικότητά τους εξαρτάται από το είδος των αριθμητικών δεδομένων των όρων μιας πράξης, καθώς φάνηκε ότι γενικά όσο μεγαλώνουν τα αριθμητικά δεδομένα μιας πράξης τόσο μειώνεται και η επίδοση των μαθητών. Η ευελιξία, λοιπόν των μαθητών, που ήταν επίσης αντικείμενο της έρευνας φάνηκε να επηρεάζει σημαντικά την αποτελεσματικότητα. Η καταγραφή των στρατηγικών των μαθητών κατά τη διάρκεια της συλλογής δεδομένων και η ανάλυσή αυτών έδειξε ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν αρκετά προωθημένες στρατηγικές όταν οι πράξεις δεν είναι δυνατόν να απαντηθούν άμεσα. Στην έρευνα έγινε καταρχήν μια προσπάθεια για καταγραφή των στρατηγικών των μαθητών ανεξάρτητα εάν οδήγησε σε σωστό αποτέλεσμα. Στη συνέχεια διερευνήθηκε η αποτελεσματικότητα των στρατηγικών και τέλος ελέγχθηκε ο βαθμός εναλλαγής αυτών κατά τη διάρκεια των υπολογισμών (ευελιξία). Οι ευελιξία των μαθητών αναδύθηκε κυρίως στις δύσκολες πράξεις, όπου ήταν αδύνατη η άμεση ανάκληση του αποτελέσματος. Εκεί, οι μαθητές έδειξαν τις αριθμητικές τους ικανότητες επιλέγοντας κάθε φορά τη στρατηγική που θεωρούσαν κατάλληλη για γρήγορο και αποτελεσματικό υπολογισμό. Οι ευέλικτοι μαθητές είναι λιγότεροι από τους μη ευέλικτους. Πολλοί μαθητές επιμένουν να χρησιμοποιούν την ίδια διαδικασία υπολογισμού 15

16 και διστάζουν να την αλλάξουν ανάλογα με τα δεδομένα της κάθε άσκησης. Γίνεται φανερό, ότι ο γραπτός αλγόριθμος επηρεάζει αποφασιστικά τον τρόπο σκέψης πολλών μαθητών. Από την έρευνα αναδείχθηκε η μεγάλη συνάφεια επίδοσης και ευελιξίας. Οι ευέλικτοι μαθητές είναι και αποτελεσματικοί. Αυτό αναδεικνύει την ανάγκη για τη βελτίωση της ευελιξίας των μαθητών μέσα από το καθημερινό μάθημα των μαθηματικών. Η ανάδειξη και αξιοποίηση των στρατηγικών των μαθητών στο καθημερινό μάθημα των μαθηματικών, πρέπει να αποτελεί καθημερινό στόχο του σχολείου, έτσι ώστε να επιτευχθεί η ενίσχυση των αριθμητικών ικανοτήτων όλων των μαθητών και να ενισχυθεί η στάση των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά. Συμπερασματικά, από την έρευνα αυτή μπορούμε να διατυπώσουμε τις παρακάτω τέσσερις προτάσεις: Α) Γίνεται φανερή η χρησιμότητα της γνώσης πολλών στρατηγικών υπολογισμού από τους μαθητές για την επιλογή κάθε φορά της πιο κατάλληλης. Β) Προβάλλεται η ανάγκη να ενθαρρύνονται οι μαθητές να κατασκευάζουν τις δικές τους στρατηγικές ανακαλώντας και ανασυνθέτοντας τις αριθμητικές τους γνώσεις. Γ) Παρόλο που η καλή γνώση των αριθμητικών σχέσεων μειώνει το χρόνο σκέψης, δε σημαίνει πάντα ότι οδηγεί σε σωστό αποτέλεσμα, καθώς όταν η πράξη είναι πιο σύνθετη, είναι απαραίτητη η ευελιξία στους υπολογισμούς για να φτάσει κανείς στη σωστή απάντηση και Δ) Ο τρόπος διδασκαλίας και μάθησης του υπολογισμού των πράξεων με τους γραπτούς αλγόριθμους πρέπει να γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε αυτοί να μην αποτελούν εμπόδιο στην ανάπτυξη της ευελιξίας των στρατηγικών στους νοερούς υπολογισμούς. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Anghileri, J. (1999). Issues in teaching multiplication and division. In: I. Thompson (Ed.), Issues in teaching numeracy in primary school (pp ). Buckingham: Open University Press. Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and subtraction up to 100 in Dutch second grades. Journal for Research in Mathematics Education, 24(4), Beishuitzen M., C.M. Van Putten, F. Van Mulken (1997), Mental arithmetic and strategy use with indirect number problems up to hundred, Leiden University, The Netherlands, TRotterdam College of Higher Education, The Netherlands Blöte, A. W., Klein, A. S., & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and conceptual understanding. Learning and Instruction, 10, Carpenter, T.P. - Moser, J.M. (1982). The development of addition and substraction problemsolving skills. In: Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Ed.). Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale: Erlbaum. Carroll, W. (2000). Invented Computational Procedures of Students in a Standards-based Curriculum. Journal of Mathematical Behavior 18 Cobb, P., & Merkel, G. (1989). Thinking strategies: teaching arithmetic through problem solving. In: P. R. Trafton, & A. P. Schulte (Eds.), New directions for elementary school 16

17 mathematics yearbook (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Cooper, T. J., Heirdsfield, A. M., Irons, C. J. (1996). Children s mental strategies for addition and subtraction word problems. In: J. Mulligan, & M. Mitchelmore (Eds.), Children s number learning (pp ). Adelaide, SA: Australian Association of Mathematics Teachers, Inc. Fisher, J.P. (1992). Apprentissages numeriques. Nancy: Presses Universitaires de Nancy. Fuson, K. C. (1988). Children s counting and concepts of number. New York: Springerverlag. Gelman, R., & Gallistel, C.-R. (1978). The child's understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press. Ginsburg, H. P. (1977). Children s arithmetic: The learning process. New York: D. Van Nostrand. Heirdsfield, A. M. (1996). Mental computation, computational estimation, and number fact knowledge for addition and subtractionin year 4 children. Unpublished master s thesis, Queensland University of Technology, Brisbane, Australia. Heirdsfield, Α. (1999) Mental addition and subtraction strategies: Two case studies Adelaide: MERGA. Heirdsfield Α. (2000) Mental computation: Is it more than mental architecture? Centre for Mathematics and Science Education Queensland University of Technology Heirdsfield, A., & Cooper, T. J. (2002) Flexibility and inflexibility in accurate mental addition and subtraction: two case studies, Journal of Mathematical Behavior 21 Heirdsfield Α. (2003) Putting research into practice: A case in mental computation Queensland University of Technology, Australia Heirdsfield, Α., Tom J. Cooper (2004) Inaccurate mental addition and subtraction: causes and compensation Hope, J. A., & Sherill, J. M. (1987). Characteristics of unskilled and skilled mental calculators. Journal for research in Mathematics Education, 18 (2), Klein & Beishuizen, 1998, The Empty Number Line in Dutch Second Grades: Realistic versus Gradual program Design, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 29.4, Λεμονίδης, Χ. (1998) «Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών». Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, τ. 3, Έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας 17

18 Λεμονίδης, Χ. (2003α), «Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου», Αθήνα: Πατάκης Λεμονίδης, Χ. (2003β). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Περιοδικό «Μέντορας», τεύχος 7, σελ , Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Ε., Νικολαντωνάκη, Κ., Παναγάκος, Ι., Σπανακά, Α. (2006). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής, Γ τάξη, Ο.Ε.Δ.Β. Lola, M. (2000). Three tactics that will help kids learn to "Think Math. ProQuest Information and Learning Company McIntosh, A. (1998). Teaching mental algorithms constructively. In L. J. Morrow & M. J. Kenney (Eds.), The teaching and learning of algorithms in school mathematics, 1998 yearbook (pp ). Reston, VA: NCTM. McIntosh, A. (1996). Mental computation and number sense of Western Australian students. In: J. Mulligan, & M. Mitchelmore (Eds.), Children s number learning Adelaide: Australian Association of Mathematics Teachers, Inc. McIntosh, A., & Dole, S. (2000). Mental computation, number sense and general mathematics ability: are they linked? In J. Bana, & A. Chapman (Eds.), Mathematics education beyond Proceedings of the Twenty-Third Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia Incorporated (pp ). Perth: MERGA. Professional Support and Curriculum, NSW Department of Education and Training, Australia, Resnick, L. B. (1986). The development of mathematical intuition. In M. Perlmutter (Ed.), Perspectives on intellectual development: The Minnesota Symposia on Child Psychology (Vol. 19, pp ). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Reys, R. E. (1984). Mental computation and estimation: past, present and future, present and future. Elementary School Journal, 84(5), Reys, B. J. (1985). Mental computation. Arithmetic Teacher, 32(6), Reys, B. J., & Barger, R. H. (1994). Mental computation: issues from the United States perspective. In: R. E. Reys, & N. Nohda (Eds.), Computational alternatives for the twentyfirst century. Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics. Reys, R. E., Bestgen, B. J., Rybolt, J. F., & Wyatt, J. W. (1982). Processes used by good computational estimators. Journal for Research in Mathematics Education, 13(3), Reys, R. E., Reys, B. J., Nohda, N., & Emori, H. (1995). Mental computation performance and strategy use of Japanese students in grades 2, 4, 6, and 8. Journal for Research in Mathematics Education, 26(4), Reys, & N. Nohda (Eds.), Computational alternatives for the twenty-first century (pp ). Reston, VA: NCTM. 18

19 Selter, C. (1995). From teaching to learning mathematics. Keynote lecture at the Panama Conference in Noordwijkerhout, The Netherlands. Shibata, R. (1994). Computation in Japan from the Edo Era to today: Historical reflection on the teaching of mental computation. In R. E. Reys & N. Nohda (Eds.), Computational alternatives for the twenty-first century: Cross-cultural perspectives from Japan and the United States (pp.14-18). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Sowder, J. T., & Wheeler, M. M. (1989). The development of concepts and strategies used in computational estimation. Journal for Research in Mathematics Education, 20, Sowder, J. T. (1990). Mental computation and number sense. Arithmetic Teacher, 37(7), Sowder, J. T. (1992). Making sense of numbers in school mathematics. In: G. Leinhardt, R. Putman, & R. A. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching (pp. 1 51). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Sowder, J. T. (1994). Cognitive and metacognitive processes in mental computation and computational estimation. In: R. E. Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. Thompson, I., & Smith, F. (1999). Mental calculation strategies for the addition and subtraction of 2-digit numbers. Final report, University of Newcastle, Newcastle upon Tyne. Thompson I. (1999) Mental Calculation strategies for Addition and Subtraction, London: Mathematcs in School, V.28 I.5 Thompson, I.: 1999, Getting your head around mental calculation, in I. Thompson (ed.), Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools, Open University Press, Buckingham Threlfall, J. (2002). Flexible mental calculation. Educational Studies in Mathematics 50: Van de Walle, J. (2005) «Μαθηματικά για το Δημοτικό και το Γυμνάσιο-Μια εξελικτική Διδασκαλία), Αθήνα: Δάρδανος Wandt, E. And Brown, G.W., (1957). Non-occupational uses of mathematics. Arithmetic Teacher, 4: