Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται τα στοιχεία ενός συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δυο αγκίστρων, από μια φορά το καθένα, χωρίζοντας τα με κόμμα. π χ. Α={,4,6,8,0 } ) Παράσταση με περιγραφή των στοιχείων Όταν σε ένα σύνολο επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα τότε η γραφή του συνόλου γίνεται ως εξής : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ ) Τομή Α= { χîω / χ έχει την ιδιότητα Π } Α Ç Β= { χ / χîα και χîβ }à Είναι τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β. ) Ένωση Α È Β= { χ / χîα ή χîβ }à Όλα τα στοιχεία των Α, Β μαζί. ) Συμπλήρωμα Α ={ χ / χïα } à Τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να εξεταστεί αν τα παρακάτω A και Β σύνολα είναι ίσα : ι ) Α = { χî Z / - < χ < } και Β = { -, -, -, 0, } ιι ) Α = { χî Â / - χ } και Β = { -, 0, } ιιι ) Α = { χî À / - χ } και Β = {, } ιν ) Α = { χ Î Â / χ χ - } και Β = { -, 0 }. Να εξεταστεί αν το Α = Æ, όταν : ι ) Α = { χî Â / χ + = 0 } ιι ) Α = { χî Z / 4χ - = 0 } ιιι ) Α = { χî Â / (χ-) = 0 }. Έστω Α = {,, } και Β = {,,4 } και Γ = {,,,4 } και Δ = Æ. Να βρείτε τα σύνολα : Α Ç Β, Α È Β, Α È Γ, Β Ç Γ, Α È Δ, Β Ç Δ, (Α È Β) Ç Δ, (Α Ç Β) È Γ, (Α È Β) Ç Γ. 4. Αν Ω = { -,0,α,,β}, Α = { 0,α,β}, Β = {0,}, να βρείτε τα σύνολα : Α, Β, Α Ç Β, Α È Β, Α Ç Β, Α È Β, (ΑÇ Β), (Α È Β), Α Ç Β 5. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα : Α = { ψî À / -4 ψ } Β = { χî À / χ = 7 } Γ = { χ Î Z / χ -5χ = 0 } Δ = { (χ,ψ) / χî À, ψî À, χ+ψ = } Ε = { (χ,ψ) / χî Z, ψî À, χ +ψ = 4 } Ζ = { χî Â / (χ-5) (-χ) = 0 } Π = { χî À / - < } 6. Για ποιες τιμές του χî Â, τα σύνολα : Α = { -χ, χ+ }, Β = {, } είναι ίσα ; 7. Να βρεθούν οι τιμές του χî Â, για τις οποίες τα σύνολα Α = { χ, 8 } και Β = { 6χ, 8 } είναι ίσα. 8. Δίνονται τα σύνολα : Α = {,λ }, Β = { 5, μ}. Αν ισχύει Α Í Β να δείξετε ότι Α = Β.. Η έννοια της συνάρτησης Κατηγορίες Ασκήσεων - Μεθοδολογία Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κατηγορία Αν μου ζητείται να υπολογίσω την τιμή μιας συνάρτησης για χ = κ, τότε αντικαθιστώ όπου χ το κ στον τύπο της συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, βάζω χ = κ στον κατάλληλο τύπο. Παράδειγμα ο : Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = χ -χ. Βρείτε το f (0), f (), f (-) Για χ = 0 στο τύπο της συνάρτησης έχω : f (0) = 0-0 = 0, Για χ = στον τύπο της συνάρτησης έχω : f () = - = 0, Για χ= - τύπο της συνάρτησης έχω : f (-) = (-) - (-) = Παράδειγμα ο :Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = ì - 5, < í 5, =, βρείτε f (0),f (),f() î -, > Επειδή χ=0 <, θα αντικαταστήσω στον τύπο : f (χ )= χ-5, f (0) = 0-5 = -5 Ομοίως χ = >, θα αντικαταστήσω στον τύπο : f (χ) = χ -, f () = - = Για χ =, f (χ ) = 5, άρα f () = 5. Κατηγορία Εύρεση πεδίου ορισμού συνάρτησης ( συμβολίζεται με Α ). Αν η συνάρτηση είναι κλασματική ο παρανομαστής δεν πρέπει να είναι μηδέν. Αν η συνάρτηση περιέχει ριζικό, η ποσότητα μέσα στην ρίζα πρέπει να είναι ³ 0. Παράδειγμα ο : Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : - f (χ ) =, g() =, h() = Για την f (χ ), πρέπει : χ-6 ¹ 0 Þ χ ¹ 6 Þ χ ¹ Þ Α = Â - {} Για την g(), πρέπει : χ +4 ¹ 0 Þ χ ¹ -4 Þ Ισχύει πάντα Þ Α = Â Για την h(),πρέπει :χ -χ ¹ 0 Þ χ (χ-) ¹ 0 Þ χ ¹ 0 και χ ¹ Þ Α= Â -{0, } Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παράδειγμα ο : Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : f (χ ) = - 4, g() = +. Για την f (χ ), πρέπει : χ-4 ³ 0 Þ χ ³4 Þ χ ³ Þ Α= [, + ) Για την g(), πρέπει : χ + ³ 0 Þ χ ³ -Þ Ισχύει πάντα Þ Α = Â ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Αν f (χ ) = χ-6, να βρεθεί ο αριθμός α για τον οποίο ισχύει : ι ) f (α) = 8, ιι ) f (8) = α 0. Αν για την συνάρτηση :f (χ ) = χ+α ισχύει : f ()=4, να βρείτε το f (4).. Αν για την συνάρτηση : f (χ ) = αχ -βχ ισχύουν : f () = - και f () =0,να υπολογιστεί το f ().. Αν f (χ ) = 5χ-4, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ι ) f (χ) + f (ψ) ιι ) f (χ+ψ) ιιι ) f (χ ) - f (ψ) ιν ) f (χ )- (f (χ)). Δίνεται : f (χ ) = χ-χ. Να λυθεί η εξίσωση : f (χ )- f (-) = χ f () Δίνεται η συνάρτηση : f (χ) = - -, να λυθεί η εξίσωση : f (χ ) = 0 5. Δίνεται f (χ ) = ì -, < 0 í î +, ³ 0, βρείτε f (-), f (0), f ( ), f (-). 6. Δίνεται f (χ ) = ì, Î Ζ í î, Ï Ζ, βρείτε f (-), f ( ), f(0), f ( ), f (π). 7. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : ι ) f (χ ) = 4 -, ιι ) τ(χ) = - ιιι ) κ(χ) = - ιν ) λ(χ) = ν ) ρ(χ) = νι ) ε(χ) = νιι ) π(χ) = νιιι ) μ(χ) = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8. Δίνεται f (χ ) = ì,0 < < í, = 0, να βρείτε f (-), f (0), f (- ), f (- )., ³ î 9. Αν f (χ ) = αχ+β, να αποδείξετε ότι : ι ) f (χ ψ) + f (χ +ψ) = f (χ ) ιι ) f (κ ) + f (λ ) ³ f ( κλ ), αν α³0 0. Αν f (χ ) = χ-, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : g(χ) = f ( f (χ ) ).. Αν f (χ ) = - -, να αποδείξετε ότι : f ( f (χ) ) = χ, για κάθε χ ¹.. Γραφική παράσταση συνάρτησης Κατηγορία Εύρεση συμμετρικών σημείων. Αν Μ(χ,ψ) είναι ένα τυχαίο σημείο, τότε : το συμμετρικό του ως προς χχ είναι : Μ (χ, -ψ), ίδια τετμημένη το συμμετρικό του ως προς ψψ είναι : Μ (-χ, ψ), ίδια τεταγμένη, το συμμετρικό του ως προς το (0,0), είναι : Μ ( -χ, -ψ) το συμμετρικό του ως προς την ψ = χ είναι : Μ ( ψ, χ) Παράδειγμα : Να βρεθεί το συμμετρικό του Α(0,-5) ως προς : ι ) χχ ιι ) ψψ ιιι ) το (0,0) ιν ) την ψ=χ ι ) ως προς χχ είναι το σημείο : Α (0,5) ιι ) ως προς ψψ είναι το σημείο : Α (0,-5), το ίδιο επειδή το Α είναι πάνω στον άξονα ψψ. ιιι ) ως προς το (0,0), είναι το σημείο :Α ( 0,5) ιν) ως προς την ψ = χ είναι το σημείο : Α ( -5,0) Κατηγορία Εύρεση της απόστασης δυο σημείων. Αν Α(χ,ψ ) και Β(χ, ψ ) δυο τυχαία σημεία τότε η απόσταση του δίνεται από τον τύπο : D = ( - -, και είναι πάντα αριθμός θετικός. ) + (ψ ψ ) Παράδειγμα : Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α(,), Β(5,5) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ D = ( - - = ( - 5) + (- 5) = (-) + (-4) = 5 = 5 ) + (ψ ψ ) Κατηγορία Εύρεση των σημείων τομής μιας συνάρτησης με τους άξονες. Για να βρούμε το σημείο που τέμνει μια συνάρτηση τον χχ, παίρνουμε f (χ ) = 0 και βρίσκουμε την τετμημένη του σημείου, έστω κ, άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (κ,0). Για να βρούμε το σημείο που τέμνει μια συνάρτηση τον ψψ, παίρνουμε χ=0 και βρίσκουμε την τεταγμένη του σημείου, έστω λ, τότε το ζητούμενο σημείο είναι το (0,λ). Παράδειγμα : Βρείτε τα σημεία τομής της g(χ) = -χ με τους άξονες. χ= 0 Þ g(0) = -0 =, άρα η g(χ) τέμνει τον ψψ στο σημείο (0,) g(χ) = 0 Þ -χ = 0 Þ =χ Þ χ= ±, η g(χ) τέμνει τον χχ στα σημεία (,0) και (-,0) ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α(,-), Β(0,-4), Γ(5,0) ως προς : ι ) τον χχ ιι ) τον ψψ ιιι ) το (0,0) ιν) την ψ=χ. Ομοίως για τα σημεία : Δ(5,-4), Ε(-,0), Ζ(0,) 4. Αν Α(-,0) και Β(0,4), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ όπου Ο η αρχή των αξόνων. 5. Για ποιες τιμές του χ η απόσταση των Α(χ-, -) και Β(5,-) είναι ίση με ; 6. Για ποιες τιμές του αî Â,το σημείο Μ(-α, α) ανήκει στη γραφική παράσταση της g(χ) = χ-χ 7. Να βρεθεί η τιμή του κ Î Â, για την οποία η f (χ ) = χ-κ+ τέμνει : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ι ) τον χχ στο σημείο με τετμημένη - ιι ) τον ψψ στο σημείο με τεταγμένη 4 8. Δίνεται g(χ) = χ -9 με πεδίο ορισμού [, + ). Να βρεθούν τα κοινά σημεία της g(χ) με τον : ι ) χχ ιι ) ψψ 9. Βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων με τους άξονες : ι ) g(χ) = χ +5 ιι ) f (χ ) = 0-4χ ιιι ) κ(χ) = (χ+)(χ-4) ιν ) λ(χ) = χ -χ ν ) π(χ) = - - νι ) ρ(χ) = Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της g(χ) = χ+5 που έχει: ι ) τετμημένη - ιι ) τεταγμένη ιιι ) αντίθετες συντεταγμένες. Δίνονται Α(6,0) και Β(,5). Να βρεθεί σημείο Γ του ψψ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΒ.. Δίνονται Α(0,0), Β(0,-). Να βρεθούν όλα τα σημεία Γ για τα οποία το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.. Θεωρούμε τα σημεία Α(,), Β(-,), Γ(,-). Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 4. Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές Α(-,), Β(,), Γ(-,) είναι ι- σοσκελές. 5. Δίνονται Α(-,), Β(,-), Γ(-,-), Δ(,). ι ) να υπολογιστούν τα μήκη (ΑΔ), (ΒΓ), (ΑΓ), (ΒΔ). ιι ) δείξτε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 6. Βρείτε τις τιμές των α, βî Â, για τις οποίες τα σημεία Μ(α, -β) και Ν(-α, α+β), είναι συμμετρικά ως προς : ι ) χχ ιι ) ψψ ιιι ) το (0,0) 7. Να βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων με τους άξονες. ι ) f (χ ) = 4χ - ιι ) g(χ) = + ιιι ) τ(χ) = χ -χ- 8. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f (χ ) = 5 και g(χ) = χ-. 9. Ομοίως για τις συναρτήσεις : ι ) f (χ ) = χ -χ και g(χ) = -χ ιι ) f (χ ) = χ + και g(χ) = χ +χ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 40. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων είναι πάνω από τον χχ ι ) f (χ ) = χ+6 ιι ) f (χ ) = ιιι ) g(χ) = Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις f (χ ) είναι κάτω από τις g(χ). ι ) f (χ ) = χ και g(χ) = χ-5 ιι ) f (χ ) = 4 και g(χ) = -.4 Η συνάρτηση ψ=αχ+β Παρατήρηση Η ψ = αχ+β παριστάνει ευθεία. Ο αριθμός αî Â, όταν η συνάρτηση έχει αυτή τη μορφή, καλείται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και ισχύουν : v α = εφω, όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον χχ v αν α > 0, η ευθεία σχηματίζει οξεία γωνία με τον χχ v αν α< 0, η ευθεία σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον χχ Κατηγορία Αν ζητείται να υπολογίσουμε παράμετρο μιας ευθείας όταν αυτή είναι παράλληλη ή κάθετη με δοσμένη ευθεία, τότε τις φέρνουμε και τις δυο στη μορφή : ψ = αχ+β. Για την παραλληλία και την καθετότητα δυο ευθειών ισχύει : Έστω ε : y = α + b και ε : y = a + b. à {οι ε, ε είναι παράλληλες } Þ {οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι ίσοι} Þ { a = a }. à {οι ε και ε είναι κάθετες } Þ {το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης είναι ίσο με -}Þ { a a = } - Παράδειγμα :Βρείτε το λ είναι παράλληλες. Είναι στη μορφή ψ =αχ + β. Εξισώνω τα α. Î Â αν οι ευθείες ε : ψ= (λ -)χ+80, ε : ψ =λ(λ-)χ λ - = λ(λ-) Þ (λ-)(λ +λ+) = λ(λ-) Þ (λ-)(λ +λ+) λ(λ-) = 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (λ-)[ (λ +λ+) -λ ] = 0 Þ λ- = 0 ή λ -λ+ = 0 Þ λ= ή (λ-) = 0. Άρα για λ = οι ευθείες είναι παράλληλες. Παράδειγμα :Να βρεθεί ο λ - λ Î Â ώστε οι ευθείες ε : ψ = χ+8, ε : ψ = λ + χ- 6, να είναι κάθετες. Πρέπει το γινόμενο των συντελεστών να είναι ίσο με -. Δηλαδή : - λ λ + (- λ)(λ + ) = -Þ = - Þ -λ = -4Þ λ = 5 Þ λ = ± 5. 4 Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να γίνει η γραφική παράσταση μιας ευθείας. Τότε βρίσκω τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες, όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Παράδειγμα :Να γίνει η γραφική παράσταση της ψ = χ+. Βρίσκω τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες. Για χ = 0 Þ ψ = Þ Βρήκα το σημείο : (0,) Για ψ = 0 Þ 0 = χ+ Þ χ = -, βρήκα το σημείο (-,0). Η γραφική παράσταση της φαίνεται παρακάτω : ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών : α ) ψ = χ β ) ψ = 0 γ ) ψ = χ δ ) χ = ψ + ε ) ψ = χ- + λχ στ ) ψ = 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον χχ ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης : α ) β ) - γ ) 0 δ ) 44. Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(-,0) και Β(0, ). Να βρείτε : α ) την εξίσωση της ε β ) τον συντελεστή διεύθυνσης της ε γ ) τη γωνία που σχηματίζει η ε με τον χχ 45. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία : ι ) Α(0,) και Β(,0) ιι ) Α(-,), Β(-,0) ιιι ) Α(-,4),Β(,4) 46. Για ποια τιμή του λ, η ευθεία ψ = (λ-)χ 5 είναι παράλληλη με τον χχ ; 47. Να βρείτε τον λ Î Â, ώστε οι ευθείες ψ= λ(-χ) και ψ = (λ +)χ-λχ, να είναι κάθετες. 48. Να βρείτε τον λ Î Â, ώστε οι ευθείες : ψ = λ + χ, λ ¹ 0 και ψ = λχ-, να είναι παράλληλες. 49. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες με εξισώσεις : ψ= λ χ + λ και ψ = 4λχ 6 είναι παράλληλες. 50. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες με εξισώσεις ψ = λ χ+ και ψ = χ + λ α ) είναι παράλληλες β ) είναι κάθετες 5. Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες είναι κάθετες οι ευθείες με εξισώσεις : ι ) ψ = χ και μ χ+4ψ = ιι ) μ χ+ψ = 7χ και χ-ψ+ = 0 5. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες με εξισώσεις : ψ = (λ- )(λ+)χ 5 και ψ = (-λ)(λ+)χ +6 είναι παράλληλες. 5. Δίνονται οι ευθείες ε : ψ = (λ +)χ+5 και ε : ψ = λχ+. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε αυτές να είναι παράλληλες και στη συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά. k - k Να βρείτε την τιμή του κ, αν οι ευθείες ε : ψ= χ+ και ε : ψ= χ είναι παράλληλες και στη συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 55. Να βρείτε την τιμή του κ αν η ευθεία ε : ψ = (4κ+)χ +κ είναι παράλληλη με την ε : 5χ+ψ = Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες η ευθεία : ψ = χ Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία Μ(-λ,-λ-) ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση : ψ = χ- 58. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων : α ) f (χ) = χ-6 β ) f (χ) = - γ ) f (χ) = 0 δ ) f (χ) = χ-6, χî[0,] ε ) f (χ) = -, χ > στ ) f (χ) = 0, χ < Ομοίως για τις συναρτήσεις : ì -, α ) f (χ) = í-, < î, > β ) f (χ) = ì +, ³ - í î, < - ì, - < γ ) f (χ) = í î -, ³ Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις : +. Η ευθεία ψ = διέρχεται από το (-,0) Σ Λ. Η ψ = -χ+ τέμνει τον ψψ στο (0,- ) Σ Λ. Οι ευθείες ψ = λχ+5, περνούν από το (0,5) για κάθε λ. 4. Οι ευθείες ψ = α και χ = β τέμνονται για κάθε α, β. - Σ Λ 5. Οι ευθείες ψ = χ+ και ψ = είναι παράλληλες. 6. Οι ευθείες ψ = χ+7 και ψ = -χ- τέμνονται στο (-,) Σ Λ 6. Δίνεται η συνάρτηση : f (χ) = λχ+4, λ < 0. Να βρείτε : α ) τα σημεία που τέμνει τους άξονες, β ) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται, γ ) την τιμή του λ ώστε το παραπάνω εμβαδόν να είναι τετραγωνικές μονάδες..5 Μελέτη συνάρτησης Ορισμοί v Μια συνάρτηση f (χ) καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ ό- ταν για κάθε χ, χ ÎΔ με χ < χ Þ f (χ ) < f (χ ) Σ Σ Λ Λ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ v Μια συνάρτηση f (χ) καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ όταν για κάθε χ, χ ÎΔ με χ < χ Þ f (χ ) > f (χ ) v Μια συνάρτηση f (χ) καλείται άρτια σε ένα διάστημα Δ όταν για κάθε χ ÎΔ Þ το χ ÎΔ και ισχύει : f (-χ) = f (χ) v Μια συνάρτηση f (χ) καλείται περιττή σε ένα διάστημα Δ όταν για κάθε χ ÎΔ Þ το χ ÎΔ και ισχύει : f (-χ) = - f (χ) v Μια συνάρτηση f (χ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο (χ 0,f (χ 0 )) του πεδίου ορισμού της Α όταν για κάθε χ Î Α ισχύει : f (χ) ³ f (χ 0 ) v Μια συνάρτηση f (χ) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο (χ 0,f (χ 0 )) του πεδίου ορισμού της Α όταν για κάθε χ Î Α ισχύει : f (χ) f (χ 0 ) Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εξεταστεί μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία σε ένα διάστημα Δ. Παίρνω χ, χ του πεδίου ορισμού της συνάρτησης και ξεκινώντας από την ανίσωση χ < χ, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισοτήτων καταλήγω σε μια από τις μορφές : f (χ ) < f (χ ) ή f (χ ) > f (χ ). Μπορώ επίσης μερικές φορές να εξετάσω το πρόσημο της διαφοράς : f (χ ) - f (χ ). Αν f (χ ) - f (χ ) < 0 Þ f (χ ) < f (χ ) Þ Γν. αύξουσα Αν f (χ ) - f (χ ) > 0 Þ f (χ ) > f (χ ) Þ Γν. φθίνουσα. Παράδειγμα :Να μελετήσετε την μονοτονία της : f (χ) = 4 - Το πεδίο ορισμού της f (χ) είναι το διάστημα : Α = (-, 4]. Έστω χ, χ ÎΑ με χ < χ Þ - χ > -χ Þ 4-χ > 4-χ Þ 4 - > 4 - Þ f (χ ) > f (χ ), άρα η συνάρτηση είναι γν. φθίνουσα στο Α. Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή μέγιστο. Με την βοήθεια των ανισοτήτων προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια σχέση της μορφής : f (χ) ³ f (χ 0 ), f (χ) f (χ 0 ). Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παράδειγμα : Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : f (χ) = χ 4 - και κ(χ) = -(χ-) + Το πεδίο ορισμού των f (χ) και κ(χ) είναι το Â. Για την f (χ) έχω: χ 4 ³ 0 Þ χ 4 ³ 0 Þ χ 4 ³ - Þ f (χ) ³ -, άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Για την κ(χ) έχω : (χ-) ³ 0 Þ -(χ-) 0 Þ -(χ-) + Þ κ(χ), άρα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το σημείο : (,). Κατηγορία Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρεθεί αν είναι άρτιες ή περιττές σε ένα διάστημα. Εξετάζω αν στο διάστημα Δ ισχύει : χîδ και -χî Δ. Αν χîδ και το -χïδ, τότε η f (χ) δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Κατόπιν βάζω στη θέση του χ στη συνάρτηση το χ. Αν καταλήξω μετά από πράξεις ότι : f (χ) = f (-χ), τότε η f (χ) είναι άρτια. Αν f (-χ) = - f (χ) η συνάρτηση είναι περιττή. Παράδειγμα : Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές : ι ) f (χ) = χ +5χ 4 ιι ) κ(χ) = χ χ 5 ιιι ) λ(χ) = + ι ) Πεδίο ορισμού : Â, f (-χ) = (-χ) + 5(-χ) 4 = χ + 5χ 4 = f (χ), άρτια ιι ) Πεδίο ορισμού : Â, f (-χ) = (-χ) (-χ) 5 = -χ + χ 5 = -(χ -χ 5 ) = - f (χ), περιττή ιιι ) Πεδίο ορισμού : Â - {-}, άρα το χ = Î στο πεδίο ορισμού όμως το - δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού, άρα ούτε άρτια ούτε περιττή. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος :. Αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Â δεν είναι άρτια τότε είναι περιττή. Σ Λ. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [-,] δεν μπορεί να Σ Λ είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.. Μια σταθερή συνάρτηση είναι πάντα άρτια. Σ Λ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. Η συνάρτηση g() = 5χ, χî[-,] είναι περιττή. Σ Λ 5. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Â, γνησίως αύξουσα για την οποία ισχύουν : f ()=0, f (5) = 8, είναι : α ) f () > 0 Σ Λ β ) f (4) < 0 Σ Λ γ ) f () ³ 0 Σ Λ δ ) f () f () < 0 Σ Λ ε ) f (0) < 8 Σ Λ 6. Έστω g() με πεδίο ορισμού το Â, περιττή, γνησίως φθίνουσα και g(-) =, τότε : α ) g() = - Σ Λ β ) g(4) > 0 Σ Λ γ ) g(-) > Σ Λ 6. Να βρείτε το g() αν γνωρίζουμε ότι : g(-) = και η συνάρτηση g() είναι : α ) άρτια β ) περιττή 64. Να υπολογίσετε τη διαφορά : f () - f (-), αν γνωρίζουμε ότι : f () - f (-) = 4 και η f (χ) είναι άρτια. 65. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές : α ) f (χ) = χ χ 5 β ) g() = - γ ) g() = - - δ ) f (χ) = ( ) -- ε ) g() = ( - 9) - 9 στ ) g() = (χ-) 4 (χ+) 4 ζ ) f (χ) = Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις : α ) g() = β ) f (χ) = χ 4, χ 0 γ ) g() = 5 + δ ) f (χ) = χ + Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ε ) g() = στ ) g() = 5χ 0χ +, χ > 67. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων : α ) g() = (χ+) 4 48 β ) g() = 5χ 8 γ ) g() = 5χ +0 δ ) g() = ( - ) +4 ε ) g() = Να βρεθεί η μέγιστη τιμή των συναρτήσεων : α ) f (χ) = -χ 4 β ) f (χ) = γ ) f (χ) = δ ) f (χ) = ε ) f (χ) = Αν η συνάρτηση είναι άρτια και περιττή με πεδίο ορισμού το Â, να α- ποδείξετε ότι για κάθε χî Â ισχύει : f (χ) = Δίνεται η συνάρτηση : f (χ) = χ -9χ+ α ) να υπολογιστούν οι τιμές : f (), f (-) β ) να εξεταστεί αν είναι άρτια. 7. Δίνεται η συνάρτηση : f (χ) = (λ-)χ+-λ. Να αποδείξετε ότι : α ) αν η f (χ) είναι άρτια τότε λ = β ) αν η f (χ) είναι περιττή τότε λ =. 7. Δίνεται η συνάρτηση : f (χ) = , α ) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της, β ) να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία, γ ) να βρεθεί η ελάχιστη τιμής της, δ ) να λυθεί η ανίσωση : f (χ) < f (0) 7. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α ) f (χ) = χ β ) g() = - γ ) g() = δ ) g() = - - ε ) f (χ) = (χ- )( +χ ) στ ) g() = ζ ) g() = Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b. (a ± b ) = a ± a b + ab ± b 4. (a+β+γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών

Σύνολα. Γνωστά µας σύνολα: Ν σύνολο φυσικών αριθµών Q σύνολο ρητών αριθµών Ζ σύνολο ακεραίων αριθµών R σύνολο πραγµατικών αριθµών Σύνολα Σελ. 40 Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.60 Fa. 60 65.66 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα