ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 9 Ιουνίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Εσπερινών Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα. Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 8. Α.4 α) Λάθος β) Σωστό ΘΕΜΑ Β B. γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό Πεδίο ορισμού = (,5) ( 5,9] Σύνολο τιμών = (,5] B. α) lim f ( ) = β) lim f ( ) δεν υπάρχει διότι lim = γ) 5 7 lim = lim =. δ) lim f ( ) δεν υπάρχει διότι lim =. ε) 9 lim = lim =

2 B. α) lim f ( ) = Αν ( α,) < οπότε lim = () Αν (,β) f( ) > οπότε lim = () (), () lim lim άρα δεν υπάρχει f( ) β) lim f ( ) = και f( ) > στο ( α,) (,β) γ) ( ) B.4 θέτω = u 8 8 u 5 u 5 lim f = lim f u = = = = ενώ lim f lim = lim άρα lim Αφού lim f ( ) lim f ( ) δεν υπάρχει το lim f ( ) επομένως η f δεν είναι συνεχής στο = 7 lim = ενώ lim = Αφού lim f ( ) lim f ( ) δεν υπάρχει lim f ( ) 7 7 επομένως η f δεν είναι συνεχής στο 7 Β.5 = 4. 7 = Το = 4είναι εσωτερικό σημείο του (,5 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( 4) =.

3 =. Το = είναι εσωτερικό σημείο του ( 5,7 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( ) =. = 8. Το = 8 είναι εσωτερικό σημείο του ( 7,9 ) στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο άρα λόγω Θεωρήματος Fermat f ( 8) =. ΘΕΜΑ Γ Γ., =, > Στο (,) και στο (, ) η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Ελέγχω στο = = ( ) = = lim lim f () lim = lim = () (),() η f είναι συνεχής και στο οπότε τελικά η f είναι συνεχής. Γ. Η f είναι συνεχής στο R (το έδειξα στο Γ) άρα είναι συνεχής και στο [,] Ελέγχω αν η f είναι παραγωγίσιμη στο. Για ( α,) : f = = f( ) f( ) lim = lim( ) = () Για (,β) :.

4 f = = f( ) f( ) lim = lim( ) = (4) Από (), (4) η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο οπότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο (,) οπότε δεν ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής. Γ. f = Η f παραγωγίζεται στο (,) με f ( ) = και στο (, ) με A,, < Θεωρώ σημείο Η εφαπτομένη της C f στο Α έχει εξίσωση y = y = y = y = () Αφού η εφαπτομένη διέρχεται από το () οπότε Τότε < 5 = = = A,, 4 5 () y = y = 4 B,, > Θεωρώ σημείο Η εφαπτομένη της C f στο Β έχει εξίσωση y = y = y= () Οι συντεταγμένες του οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την π A, 4 δεν επαληθεύουν την (), άρα δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της C f σε σημεία με τετμημένη στο (, ) που να διέρχονται από το Α. 4

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. f( ) =, R Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ) = Επιπλέον η f είναι συνεχής στο R,άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R επομένως οπότε αντιστρέφεται Βρίσκω την αντίστροφη y= = y y y y= = = < y y< y< < Άρα f ( y) Δ. y y < = y, y y, y ή συμβολικά f ( ) f ημ > f Πρέπει να δείξω ότι: < = Θεωρώ συνάρτηση g( ) = ημ, Παρατηρώ ότι g( ) ημ () g ( ) = συν παρατηρώ ότι g ( ) = συν = = () Η g είναι παραγωγίσιμη με g = ημ,, > και θα βρω το πρόσημό της στο (, ) = = οπότε πρέπει να συγκρίνω την g( ) με το g( ) παρατηρώ ότι g = ημ = () Η g είναι παραγωγίσιμη με g = συν Ισχύει g για κάθε. 5

6 Το «=» ισχύει για άπειρα της μορφής = κπ, κ που όμως δεν αποτελούν ενιαίο g, άρα η g είναι γνησίως διάστημα, η είναι συνεχής στο R άρα και στο [ ) αύξουσα στο [, ) οπότε στο παρουσιάζει ελάχιστο επομένως () g g g για κάθε και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα άρα μηδενίζεται μόνο για = άρα g ( ) > για κάθε > Επιπλέον g ( ) συνεχής στο [, ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) οπότε στο παρουσιάζει ελάχιστο επομένως () g g g για κάθε και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα, μηδενίζεται μόνο για g > για κάθε >, Επιπλέον η g είναι συνεχής στο = άρα [, ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) () επομένως ισχύει g( ) g( ) g( ) για κάθε. Το «=» ισχύει μόνο για = άρα g( ) > για κάθε > ή >. Επειδή ημ, Df > για κάθε ημ ημ > > για κάθε R=, επιπλέον έδειξα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Χρησιμοποιώ τον ορισμό της μονοτονίας οπότε Για ημ > για κάθε Δ. ( t ),y( t) Το σημείο Μ με συντεταγμένες ισχύει y t = t Για t = t : τότε f ημ > f > συμπεραίνω κινείται κατά μήκος της καμπύλης y t = t y t = t t = = y t t t t t t y t = t t > y= άρα

7 t = ( t) ( t ) = = () Επειδή y t = t = t > Για t = t : () y( t) = ( t) y( t) = = = 9 Τελικά το ζητούμενο σημείο είναι το Δ.4 f( ) f = f ( ), () Μ Όμως στο Δ. έδειξα ότι η f είναι άρα, 9 = = = () ή = = = 4 = = = = t 4 = t t = t = απορρίπτεται ή t = δεκτή Τότε = =± Τελικά οι ρίζες είναι οι:,, 7

8 8