1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ"

Transcript

1 . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. ii. iii. ln iv. i. Πρέπει : &. Άρα D, ii. Πρέπει : [, ]. Άρα D [, ] iii. Πρέπει : και Έχω Άρα επειδή θέλω [, ] Από & D [,, ]. iv. Πρέπει :. Άρα D,

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συμβ. C ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία, y που ανήκουν στη C ισχύει y. Δηλ.,. Πιο συγκεκριμένα το σημείο, y ανήκει στη C, αν και μόνο αν y Η C βρίσκεται πάνω από τον Η C βρίσκεται κάτω από τον Η C βρίσκεται πάνω από τη C Η C βρίσκεται κάτω από τη C ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής,, οπότε για να τα βρούμε λύνουμε την εξίσωση y Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής, y, οπότε για να τα βρούμε, βάζουμε όπου το δηλ. υπολογίζουμε το Για να βρούμε κοινά σημεία C και C λύνουμε την εξίσωση. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της, όταν : i. και ii. και i.η C βρίσκεται πάνω από τη C Έχω ή αδύνατη Γινόμενο - + Άρα επειδή θέλω, ii.η C βρίσκεται πάνω από τη Έχω, ή, C Γινόμενο Άρα επειδή θέλω, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β. ΟΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να υπολογίσουμε ένα όριο, αρχικά θέτω όπου το Περίπτωση η Αν το αποτέλεσμα είναι αριθμός l τότε το l. Περίπτωση η Αν μετά την αντικατάσταση προκύψει απροσδιοριστία της μορφής, τότε παραγοντοποιώ αριθμητή και παρανομαστή με σκοπό να απλοποιηθεί ο παράγοντας της μορφής Περίπτωση η Αν έχουμε όριο άρρητης συνάρτησης που περιέχει ρίζες και προκύπτει η απροσδιοριστία, τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του όρου ή των όρων που περιέχει ρίζα Περίπτωση 4 η Αν προκύψει τότε κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προκύπτει όριο της μορφής, οπότε και εργάζομαι όπως παραπάνω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ : Κοινός παράγοντας : Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους ή κατά ομάδες. Ταυτότητες : Συνήθως χρησιμοποιούμε τις Ταυτότητες Τριώνυμο : Αν Δ> τότε Αν Δ= τότε Αν Δ< τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. Σχήμα Hornr : Δόκιμη κάνω πρώτα με το Περίπτωση η Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i. 6 ii. 9 4 iii. 7 8 i ii iii Περίπτωση η 4 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : 4 6 i. 8 ii. iii. ` 7 iv. i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii. iii. iv. 7 ] [ Περίπτωση η Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i. 9 9 ii. iii. iv. 4 4 i ii. iii

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iv Περίπτωση 4 η 6 Να υπολογίσετε το όριο : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γ. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΤΟ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : ΒΗΜΑ ο : Βρίσκουμε το ΒΗΜΑ ο : Υπολογίζουμε το χρησιμοποιώντας τον τύπο της για τον οποίο και το ανήκει σε μια γειτονιά του. ΒΗΜΑ ο : Τέλος για να είναι η συνεχης στο πρέπει., 7 Δίνεται η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι η είναι 7, συνεχής στο =. 7 7 Δηλαδή 7 άρα η είναι συνεχής στο. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ 8, 8 Δίνεται η συνάρτηση. Να βρείτε την τιμή της, παραμέτρου λ, ώστε η να είναι συνεχής στο. Η είναι συνεχής στο άρα Άρα 6 6, ή, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγισιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό συμβολίζεται με ' και ονομάζεται παράγωγος της στο. Δηλ. ' = Η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο εκφράζει : Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν. Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής, δηλαδή. Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t. Είναι t t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t. Είναι t t. Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης i. στο ii. στο iii. στο i. Έχω : 9 ii. Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii. Έχω : Άσκηση σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης Αν για μια συνάρτηση ισχύει, για κάθε, να αποδείξετε ότι : i. ii. η είναι παραγωγισιμημη στο και ότι. i. Για να βρω το, στη σχέση έχω :, θα βάλω όπου και ii. Για να είναι η παραγωγισιμη στο αρκεί το όριο να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός. Έχω. Άρα η παρ/μη στο με. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. 4 ii. iii. 7 iv. 9 v. ln vi. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ c, c, c,,,,, ln ln ln Επίσης ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης : c c, c

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vii. ln i ii. iii iv. 9 9 v. ln ln ln vi. vii. ln ln ln 4 Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων. i. ln ii. 7 iii. 4 iv. v. vi. i. ln 6 ln 6 ln ln ln ii iii. 4 4 ] [ 4 4 ] [ iv. v.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vi.. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i. ii. ln iii. iv. ln v. vi. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισχύει : ln ln

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ vii. viii. i.. i. ii. ln ln ln ln ln iii. iv. ln v. vi. vii. viii. i..

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΑ ΕΞΗΣ : Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγισιμη στο, τότε η στο σημείο, δέχεται εφαπτομένη στο C δέχεται εφαπτομένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια συνάρτηση,, τότε δεν είναι πάντα παραγωγίσημη στο, αφού μπορεί να δέχεται και κατακόρυφη εφαπτομένη. ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται άρα και το. Αν όμως δέχεται εφαπτομένη όχι κατακόρυφη τότε είναι παραγωγισιμη. Οι έννοιες εφαπτομένη στο, και παράγωγος στο είναι ταυτόσημες. Αν μια παραγωγίσημη συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο σημείο της η οποία σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω, τότε :, o ω οξεία. o ω αμβλεία. o ω= //. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ή 6 ή 6 4 ή 4 ή 4 6 ή ή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ, ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ C σε γνωστό σημείο, άρα το σημείο επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της βρίσκουμε το,,. Στη συνέχεια βρίσκω την και το. Θεωρούμε ότι η εφαπτομένη που ψάχνω έχει εξίσωση : y άρα είναι δηλ. : y και επειδή η ε διέρχεται από το, άρα οι συντεταγμένες του Μ θα την επαληθεύουν. Δηλ. : και έτσι υπολογίζω το β. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της,. C στο σημείο Έστω η εφαπτομένη της C στο σημείο επαφής,, τότε : y. Το σημείο,,7. Έχω : άρα. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται από το,7, άρα οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα έχω : 7 y y Άρα : : y. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ Όταν δε μας δίνεται το σημείο επαφής αλλά ένα στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης, τότε ξεκινάμε θεωρώντας το σημείο επαφής, το οποίο πρέπει και να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας το στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης. Πιο συγκεκριμένα διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της διεύθυνσης ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο έχει συντελεστή, C στο σημείο είναι παράλληλη, στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της είναι κάθετη στην ευθεία : y, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 : Η εφαπτομένη ε της στον άξονα, όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο, C στο σημείο, C στο σημείο είναι παράλληλη σχηματίζει γωνία, 9 με τον άξονα, όταν ισχύει ότι Αφού βρούμε το σημείο επαφής,, εργαζομαστε όπως στη μεθοδολογια. 4 Δίνεται η συνάρτηση,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που i. Έχει συντελεστή διεύθυνσης ii. Είναι παράλληλη στην ευθεία : y iii. Είναι κάθετη στην ευθεία : y iv. Είναι παράλληλη στον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ v. Σχηματίζει γωνία με τον άξονα 4. Έστω : y. Επίσης. η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε i. Η έχει συντελεστή διεύθυνσης άρα. Άρα,, 4 διέρχεται από το, 4. Ισχύει : : y y. Όμως η, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση 4 y της. Άρα έχω : y 4 4. Άρα : : y. ii. Η // : y. Άρα,, από το,. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα y έχω : y. Άρα : : y. iii. : y Όταν δυο ευθείες είναι iv. κάθετες οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι αντιθετοαντιστροφοι. 6. Άρα,, διέρχεται από το,. Ισχύει : : y y. Όμως η, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση y της. Άρα έχω : y 9 9. Άρα : : y 9. //. Άρα 9,,. Ισχύει : : y y y. Όμως 4 9 η διέρχεται από το,, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την 4 9 y εξίσωση της. Άρα έχω : y. Άρα : : y. 4 4 Θα μπορούσαμε να πούμε ότι επειδή // άρα θα είναι της μορφής y y και 9 9 αφού βρούμε το σημείο επαφής,, να πούμε κατευθείαν : y 4 4 v. Η σχηματίζει με τον άξονα γωνία 4 άρα 4. Άρα,,. Ισχύει : : y y. Όμως η διέρχεται,, άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα από το y έχω : y. Άρα : : y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗ C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από ένα σημείο, y που δεν ανήκει στη C, εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης που διέρχονται από το σημείο Α,. Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε : y. Επίσης 6. Η διέρχεται από το σημείο,, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. y : y Επίσης η ε διέρχεται από το σημείο,, άρα ομοίως οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. y : y Για 7 8 Η. Η λόγο της γίνεται Για το σημείο επαφής, γράφουμε τον τύπο της εφαπτομένης : y η ε διέρχεται από το σημείο, y, άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ. : y 4 η ε διέρχεται από το σημείο επαληθεύουν την εξίσωση της, Δηλ.,, άρα ομοίως οι συντεταγμένες του θα : 4 από τις σχέσεις και βρίσκουμε τις τιμές των, άρα και την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Προσοχή : σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να μπερδεύουμε το σημείο επαφής με το σημείο διέλευσης. 8, ή, 6, 7 άρα : 7 y y 7, 7 8 άρα : y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΗ C Η ευθεία y=λ+β εφάπτεται στη και. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΜΙΑ C, αν και μόνο αν υπάρχει D, ώστε να ισχύει 6 Αν η ευθεία y 6 εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο,, να βρείτε τα α,β. Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το,, τότε : y. Επίσης 4. Η ευθεία y 6 εφάπτεται στη C στο 6 8, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥΣ Οι γραφικές παραστάσεις C, C δυο συναρτήσεων, έχουν κοινή εφαπτομένη ή αλλιώς εφάπτονται μεταξύ τους στο κοινό σημείο τους, y, αν ισχύει : και 7 Δίνονται οι συναρτήσεις και. Να βρεθούν τα,, έτσι ώστε οι C, C να έχουν κοινή εφαπτομένη στο. Οι C, C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους με, άρα ισχύει : και Έχω Και 4 4, άρα από 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δ. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η παράγωγος της στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς όταν. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i. Πρώτα καταγράφουμε όλους τους αγνώστους, καθώς και τις σχέσεις που τους συνδέουν. Αν η σχέση που συνδέει τους αγνώστους δε δίνεται στην εκφώνηση, τότε την φτιάχνουμε μέσα από τα δεδομένα της εκφώνησης είτε με σχήμα, είτε με τη λογική σκέψη. ii. Έπειτα μετατρέπουμε τη σχέση που συνδέει τους αγνώστους σε συνάρτηση ως προς τον ανεξάρτητο άγνωστο. iii. Υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων όταν που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής. iv. Τέλος παραγωγίζουμε τη συνάρτηση που φτιάξαμε και με αντικατάσταση προκύπτει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής γεωμετρικών μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i. Κάνουμε ένα σχήμα όπου περιγράφουμε το πρόβλημα. ii. Εντοπίζουμε τα μεγέθη που παραμένουν σταθερά και γράφουμε με γράμματα τα μεγέθη που μεταβάλλονται. iii. Σχηματίζουμε, με τη βοήθεια του σχήματος, μια ή περισσότερες σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές του προβλήματος για κάθε χρονική στιγμή. iv. Παραγωγίζουμε τα δυο,μέλη της σχέσης ή των σχέσεων που σχηματίζουμε ως προς την κατάλληλη μεταβλητή και έτσι παρουσιάζεται ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής. v. Επιλύουμε την τελευταία εξίσωση ως προς τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής. vi. Αν ζητείται ο ρυθμός μεταβολής μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε θέτουμε στον τελικό τύπο τις τιμές που παίρνουν οι μεταβλητές τη δεδομένη στιγμή και βρίσκουμε το αριθμητικό αποτέλεσμα. vii. Αν δίνεται ότι μια ποσότητα αυξάνεται ως προς τον χρόνο, τότε θέτουμε t=α και αν μειώνεται t=-α, όπου α θετική σταθερά. Υπενθύμιση : Εμβαδόν σφαίρας : 4R, Όγκος σφαίρας : 4 V R Εμβαδόν κώνου : R R, Όγκος κώνου : V R, Όγκος πυραμίδας : V ά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α4, και Β, ως προς, όταν =. Η Απόσταση δυο σημείων, y και, y Δίνεται από τον τύπο : y. Άρα 4 6 y Άρα η συνάρτηση που δίνει την απόσταση ως προς είναι 6 με D. Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής της όταν =, δηλ. το. Βρίσκω πρώτα την Άρα Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις t t 9t και y t 6t 8, όπου t ο χρόνος σε sc. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο. y άρα t t y t t 9t6t 8 8t 4t 4t 6t 8t 8t 6t Τη χρονική στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο θα ισχύει t y t t 9t 6t 8 t t 8 t t 6 t, ή, t απορ. Η συνάρτηση του εμβαδού είναι t 8t 8t 6t. Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο δηλ. το. Βρίσκω πρώτα t 4t 6t 6. Άρα τετραγωνικές μονάδες/sc. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ A. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Εύρεση Μονοτονίας Ακρότατων Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της D. ii. Βρίσκουμε την ' χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης. iii. Λύνουμε την εξίσωση '. iv. Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το Π.Ο. της καθώς και οι ρίζες της. v. Βρίσκουμε το πρόσημο της ' είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' και ' είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της ' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της. vi. Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της ανάλογα με το πρόσημο της '. Ισχύει : Αν ' τότε η γνησίως αύξουσα Αν ' τότε η γνησίως φθίνουσα i. Αν η ' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της ', τότε η παρουσιάζει ακρότατο. ii. Αν η ' δεν αλλάζει πρόσημο, δηλαδή η δεν αλλάζει μονοτονία, τότε η δεν έχει ακρότατα.. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i. 6 ii. 9 7 iii. iv. ln i. 6, D, 6, γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ. δεξιά του ομόσημο του α δηλ. του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε,] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii. 9 7, D, 6 9, 6 9, ή, γν. γν. αύξουσα Τ.Μ. φθίνουσα Τ.Ε. γν. αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ. όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ. του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το 4 Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το iii., D,, γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Με τη βοήθεια αυτών Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το iv. ln ln, D,,, ln ln ln ln ln γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και ά. ln ln ln ln ln ln ά. ln ln ln ln ln ln Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός Παραμέτρων Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε για να βρούμε την παράμετρο Αφού στο η παρουσιάζει ακρότατο τότε ισχύει. Με την επίλυση της συγκεκριμένης ανίσωσης βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου. Επειδή η συνθήκη δεν είναι αρκετή για να παρουσιάζει η ακρότατο στο πρέπει επιπλέον η να αλλάζει πρόσημο εκατέρων του, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τιμές των παραμέτρων είναι δεκτές. Γι αυτό αντικαθιστούμε τις τιμές των παραμέτρων στον τύπο της και τη μελετάμε ως προς τα ακρότατα.. Δίνετε η συνάρτηση,,,. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο το. D, 6 Για να παρουσιάζει η ακρότατο στο, πρέπει : 6 Επίσης το ακρότατο στο είναι το άρα 4. Από και έχω :. 4 Άρα : 6 9, 9, 9 4, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ γν. αύξουσα Τ.Μ. γν. φθίνουσα Τ.Ε. Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το Άρα οι λύσεις α= και β= είναι δεκτές. γν. αύξουσα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : με Ακρότατα Απόδειξη Ανισοτήτων με Μονοτονία ή Για τη μονοτονία ισχύει : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε για οποιαδήποτε,, με ισχύει αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε για οποιαδήποτε,, με ισχύει Για τα ακρότατα ισχύει : Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του. Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο όταν για κάθε. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του. Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο όταν για κάθε. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι : i. D, 4, 4, ή, γν. αύξουσα Τ.Μ. γν.φθινουσα Τ.Ε. γν. αύξουσα Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii. Πρέπει να αποδείξω ότι ισχύει η σχέση : Τα,, στο οποίο η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα θα ισχύει : 4. Δίνεται η συνάρτηση ln. i. Να βρείτε τα ακρότατα της ii. Να αποδείξετε ότι : ln για κάθε. i. D,,,, ή, απορρίπτεται γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα, * Επειδή όμως πρέπει, άρα,,, * Επειδή όμως πρέπει, άρα, *Για την ανίσωση, έχω Άρα η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ii. Επειδή η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το, τότε ισχύει : ln ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Μονοτονία & Επίλυση Εξισώσεων - Ανισώσεων. Δίνεται η συνάρτηση ln. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να λύσετε την εξίσωση ln. i. D,, για κάθε,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D,. ii. ln ln Παρατηρώ ότι, άρα η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης και επειδή η η είναι γνησίως αύξουσα είναι μοναδική. 6. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση 6 iii. Να λύσετε την ανίσωση 6 i. D, 4 για κάθε, άρα η είναι γνησίως αύξουσα ii. iii. Για εξισώσεις ισχύει ότι : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και η εξίσωση έχει μια ρίζα, τότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Σε αυτή την περίπτωση συχνά ψάχνω να βρω την προφανή ρίζα της εξίσωσης,,, και στη συνέχεια δείχνω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, άρα η προφανής ρίζα είναι μοναδική. Για ανισώσεις ισχύει ότι : αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και,, με αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ και,, με στο D. Παρατηρώ ότι, άρα από έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ , έχω 6, ή, Επειδή θέλω 6,,

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προβλήματα Ακρότατων Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i. Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρική φύση, Κατασκευάζουμε το σχήμα. ii. βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές, βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει από την εκφώνηση του προβλήματος ή από το σχήμα και αντικαθιστούμε τη μια συνάρτηση της άλλης. iii. Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή, οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. iv. Τέλος κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακρότατων της συνάρτησης, απ όπου προκύπτει και το αποτέλεσμα. 7. Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 84cm έτσι, ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά. Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει κάθε σελίδα, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει τον μεγαλύτερο δυνατό χώρο της σελίδας. Έστω ότι οι διαστάσεις της σελίδας είναι,y. Τότε θα είναι 84 ί 84 y 84 y Οι διαστάσεις του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι ή 4και ύ y y 6. Άρα το εμβαδόν του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ έ 4 y 6. Ψάχνουμε τις τιμές των,y ώστε το να γίνεται μέγιστο έ Το πεδίο ορισμού προκύπτει ως εξής : το μικρότερο μήκος είναι min 4. Για να βρω τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το μήκος θα πρέπει να λάβω υπόψη 84 ότι y 84 y. Άρα όσο μεγαλώνει το τόσο μικραίνει το y. Άρα το μέγιστο 84 το βρίσκω θέτοντας το μικρότερο y που είναι y min 6. Άρα 6 ma 64. Άρα D 4,64 έ Θέλω να βρω τις τιμές του για τις οποίες το έ παίρνει τη μέγιστη τιμή του έ , έ , ή, 6 απορ έ + - έ έ γν. αύξουσα Ο.Μ. γν. φθίνουσα έ ,6 *, όμως D 4,64 άρα 4,6 έ έ , 6 6, *, όμως D 4,64 άρα 6,64. έ *Για την ανίσωση 6, έχω Από το πινακάκι βλέπουμε ότι το 6 6 cm cm και y 4cm. 6 παίρνει τη μέγιστη τιμή όταν 6 την έ έ Άρα οι ζητούμενες διαστάσεις είναι ma ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση = συν+ημ. A. Να αποδείξετε ότι. Μονάδες 8 Β.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α,. Μονάδες 8 Γ.Να βρείτε την τιμή λir για την οποία ισχύει η σχέση:. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο.μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της.μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της καμπύλης της συνάρτησης που είναι παράλληλες στην ευθεία y = +. Μονάδες ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. -, γ. R- {-, } δ., + Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι < για κάθε του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Γ. Να υπολογίσετε το Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, με τον άξονα.μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 Ο 4 Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο 4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.μονάδες Β. Να υπολογίσετε το Μονάδες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Ο 4B Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο. α. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι.μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α,. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 6 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,, +. α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Λ,. Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ, y της γραφικής παράστασης της φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Ο, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Μονάδες ΘΕΜΑ 7 Ο B Δίνεται η συνάρτηση = αln - β με α, β R. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες β. Να βρείτε την παράγωγο της για κάθε, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α, της γραφικής παράστασης της να είναι y=-. Μονάδες. Μονάδες 7 δ. Να βρείτε το ΘΕΜΑ 8 Ο 6 B Δίνεται η συνάρτηση = α +β+9 με α,β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της Α, είναι y = +, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α= και β= 6. Μονάδες β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες ΘΕΜΑ 9 Ο 7 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο = +, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι =+ Μονάδες β. Να βρεθεί το - -.Μονάδες ΘΕΜΑ Ο 8 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να υπολογίσετε το όριο.μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι =. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 4 Ο 8 Β Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους m μια ορθογών ια περιοχή από τις τρεις πλευρές της Σχήμα. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι. α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο =. β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των m. ΘΕΜΑ Ο 9 Δίνεται η συνάρτηση 6 a 7, a για την οποία ισχύει :,. i. Να δείξετε ότι α=9 ii. Να υπολογίσετε το όριο iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Δίνεται η συνάρτηση ln 6,,. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Β Δίνεται η συνάρτηση a 8, a. i. Αν 7 να βρείτε την τιμή του a. ii. Αν a να υπολογίσετε το όριο iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της με τετμημενη. ΘΕΜΑ 4 Ο 9 Β Δίνεται η συνάρτηση v,,, v N με v. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να δείξετε ότι, 4 v για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνεται η συνάρτηση,. i. Να υπολογίσετε το όριο ii. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της C στο σημείο της με τετμημενη iii. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα. ΘΕΜΑ 7 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση,. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Δίνεται η συνάρτηση. Να λυθεί η εξίσωση. ΘΕΜΑ 8 Ο Β Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες σε C σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 4ώρου, προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης t t 4 t a, όπου a και t,4] ο χρόνος σε ώρες. i. Να αποδείξετε ότι για t,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t 4,4] η θερμοκρασία αυξάνεται. ii. Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 4ώρου είναι - C. iii. Για α= να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι C iv. t Να υπολογίσετε το όριο : 4 t. t 6 ΘΕΜΑ 9 4 ο +ln Δίνεται η συνάρτηση =, > Δ. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες Δ. Έστω Μ,, > σημείο της γραφικής παράστασης της. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ, και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ,. Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ 4 ο Β Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς μέτρων, << και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του είναι =4, << Δίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V=αβγ. Μονάδες 4 Δ. Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο. Μονάδες Δ. Να βρείτε το Μονάδες 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις.

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 6 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ. 6 65.36 Fa. 6 65.366 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα