ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]."

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις: 3 α) f ( ) = β) g ( ) = ( ln 3) α) Η f έχει πεδίο ορισμού το A =. Για κάθε που ανήκει στο έχουμε Είναι f () = f () = = 0 3( 4 + 3) = = 0 = 1 ή = 3. Οπότε ο πίνακας προσήμου της f και μονοτονίας της f είναι: Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,1] και στο [ ) [ 1, 3 ]. β) Το πεδίο ορισμού της g είναι Α = ( 0, + ). Για κάθε που ανήκει στο A έχουμε: 1 g () = () (ln 3) + (ln 3) = ln 3 + = ln Είναι g () = 0 ln = 0 ln = = e. 3, + και γνησίως φθίνουσα στο 1

2 Οπότε ο πίνακας πρόσημου της g και μονοτονίας της g είναι: Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e ] και γνησίως αύξουσα στο [e, + ). Όταν αναζητούμε την μονοτονία μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο πεδίο ορισμού της τότε: 1. Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της f.. Βρίσκουμε την f. 3. Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της f. 4. Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου της f. 5. Συμπεραίνουμε από τα σχετικά θεωρήματα τη μονοτονία της f.

3 Παράδειγμα. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f() =, 0, 0 + < Για κάθε > 0 η f είναι συνεχής ως άρρητη. Για κάθε < 0 η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Για = 0 έχουμε: ( ) lim f () = lim = 0, lim f () = lim + = 0, f (0) = 0, οπότε η f είναι συνεχής στο 0. Άρα η f συνεχής στο. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο { 0} 1, > 0 f () = +, < 0 με Η f () = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα την = 1. Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δηλαδή η f είναι: Γνησίως φθίνουσα στο (, 1] και Γνησίως αύξουσα στo διάστημα [ 1, + ). 3

4 Όταν αναζητούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης f και σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της δεν υπάρχει η f ή η f αλλάζει τύπο εργαζόμαστε όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη άσκηση, ελέγχοντας τη συνέχεια της f στο σημείο αυτό. Σημειώσεις: 1. Όπως θα δούμε στην μεθεπόμενη ενότητα Ε.10 (&.7-Σχολικό βιβλίο), λαμβάνοντας υπόψη το σχετικό θεώρημα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, + ).. Για την εξέταση της μονοτονίας, η εξέταση της παραγωγισιμότητας στα σημεία αλλαγής του τύπου όπου η συνάρτηση είναι συνεχής, μπορεί να παραλείπεται. 4

5 Παράδειγμα 3. i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση: 3 f() = + 5 είναι γν. αύξουσα στο. ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση: ηµ π g() = στο 0, είναι γν. φθίνουσα. i. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο,άρα και συνεχής στο, ως πολυωνυμική. Για κάθε είναι f () = Παρατηρούμε ότι το τριώνυμο 3 + 1, έχει διακρίνουσα = 8< 0, που σημαίνει ότι είναι ομόσημο του 3 για κάθε. Άρα > 0 f () > 0,για κάθε,οπότε η f,είναι γν.αύξουσα στο. ii. Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι η συνάρτηση g γν. φθίνουσα, θα πρέπει να ισχύει g () < 0, για κάθε π εσωτερικό σημείο 0,. π Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0,, άρα και συνεχής στο 0, π,ως συν ηµ πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g () =. π Θεωρούμε τη συνάρτηση k() = συν ηµ, [0, ]. π Η k είναι παραγωγίσιμη στο [0, ] με k () = συν ηµ συν = ηµ π Είναι k () < 0 για κάθε (0, ).Έτσι έχουμε: π π Η k συνεχής στο [0, ] και παραγωγίσιμη στο (0, ) με k () < 0 για κάθε π π (0, ). Άρα η k είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ]. Από τον ορισμό της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης θα έχουμε: π Για κάθε 0< < είναι k() < k(0) ή συν ηµ < 0. π Επομένως g () < 0 για κάθε (0, ). Συμπερασματικά έχουμε: π π Η g συνεχής στο (0, ], παραγωγίσιμη στο (0, ). 5

6 π π με g () < 0 για κάθε (0, ). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ]. Εξετάζουμε πρώτα αν η συνάρτησή μας είναι συνεχής. Το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού θα μας δώσει τη μονοτονία της συνάρτησης. 6

7 Παράδειγμα 4. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: + f() = + > 5, 6 3,. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Είναι: A f =. Για κάθε <, η f συνεχής ως πολυωνυμική. Ομοίως και για κάθε >. Για = έχουμε: o o lim f () = lim ( + 5) = = 5 lim f () = lim ( + 6 3) = = o Και f () = 5. Οπότε η f είναι συνεχής στο. Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Για <, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f () =. Για >, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f () = + 6. Για = από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε: f () f () ( ) lim = lim = lim = lim = και f () f () ( )( 4) lim = lim = lim = lim = Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο, με:, f () =. + 6, > Η f () 0 =, έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις 1 και 3. Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 7

8 Άρα: <, για κάθε (,1) ( 3, ) (,1] και στο [3, + ). Αφού f () 0 +, έπεται ότι η f είναι γν. φθίνουσα στο Αφού f () 0 >, για κάθε ( 1, 3), έπεται ότι η f είναι γν. αύξουσα στο [ ] 1, 3. Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εξετάζουμε αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού θα μας δώσει τη μονοτονία της συνάρτησης. 8

9 Παράδειγμα 5. 3 f () Να προσδιοριστεί το λ, ώστε η συνάρτηση: ( ) φθίνουσα στο. = + λ +, να είναι γν. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (άρα και συνεχής) ως πολυωνυμική με f () = 3 + 6( λ 1) 1 για κάθε. Το τριώνυμο 3 + 6( λ 1) 1, έχει διακρίνουσα = 36( λ 3)( λ+ 1) και ο συντελεστής του είναι 3< 0. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: > 0, = 0, < 0. Αν > 0, δηλαδή λ< 1 ή λ> 3 το πρόσημο του τριωνύμου, άρα και της f () δεν παραμένει σταθερό στο, αφού μεταξύ των ριζών, είναι ετερόσημο του -3, δηλαδή θετικό και εκτός των ριζών, είναι ομόσημο του -3, δηλαδή αρνητικό. Άρα η f δε θα είναι γν. φθίνουσα στο. Αν = 0, τότε λ= 3 ή λ= 1 τότε: o Για λ= 3, η f έχει διπλή ρίζα την. Επειδή η f είναι συνεχής για = και < για κάθε, συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ισχύει f ( ) 0 στο. o Για λ= 1, η f έχει διπλή ρίζα την. Επειδή η f είναι συνεχής για = και ισχύει f ( ) < 0 για κάθε, συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Αν < 0, δηλαδή 1<λ< 3, τότε το τριώνυμο, άρα και η f (), είναι ομόσημο του - 3, για κάθε, δηλαδή f () < 0. Άρα, η συνάρτηση f είναι γν. φθίνουσα στο, για [ 1, 3] λ. Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εξετάζουμε αν είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Αφού γνωρίζουμε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης, τότε θα πρέπει να ισχύει f () < 0 ή f () > 0 για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αναζητούμε τιμές των παραμέτρων ώστε οι παραπάνω ανισώσεις να είναι αληθείς. 9

10 Παράδειγμα 6. Να λυθεί η εξίσωση: ln(e + ) = 1. Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα μετασχηματίζεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση f, με τύπο ln(e + ) + 1 = 0 (1) f() = ln(e + ) + 1, > e. Για = 0, από τον τύπο της συνάρτησης παίρνουμε: f (0) = 0, συνεπώς το = 0, είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης f() = 0, δηλαδή της (1). Η f ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη για κάθε ( e, + ), με ( e+ ) 1 f () = + ( ) + ( 1) = + 1 > 0 e+ e+ συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ( e, ) εξίσωσης f() = 0, είναι μοναδική. f, για κάθε > e, = +, άρα η ρίζα = 0 της Για να λυθεί εξίσωση της μορφής A() = B(), (1) στην περίπτωση που εντοπίζεται προφανής ρίζα κάνουμε τα εξής βήματα για την επίλυση της άσκησης: 1 ο Βήμα: Θεωρούμε συνάρτηση f, με τύπο: f() = A() B(). ο Βήμα: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f, που είναι: Df = DA DB. f 0 = 0, 0 Df, άρα η τιμή = 0 προφανή ρίζα της εξίσωσης f() = 0, δηλαδή της (1). 3 ο Βήμα: Δείχνουμε ότι: ( ) 4 ο Βήμα: Δείχνουμε ότι η f, είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, άρα η ρίζα της εξίσωσης f() = 0, είναι μοναδική. ΣΧΟΛΙΟ Ο τρόπος αυτός επίλυσης εξισώσεων, γίνεται συνήθως στις εξισώσεις που δεν είναι σε γνωστή προς εμάς μορφή εξισώσεων που έχουν συγκεκριμένο τρόπο λύσης. 10

11 ΠΡΟΣΟΧΗ Αν δεν αποδειχθεί, ότι η f είναι γνησίως μονότονη, δεν έχει ολοκληρωθεί η λύση εξίσωσης, με τον προσδιορισμό της προφανής ρίζας, διότι μπορεί να έχει και άλλες ρίζες. 11

12 Παράδειγμα 7. Να λυθεί η εξίσωση: e ηµ = 1 ηµ. Η δοθείσα εξίσωση, ισοδύναμα μετασχηματίζεται: ηµ ηµ e 1 e 1 = ηµ + ηµ = (1) Θεωρούμε τη συνάρτηση, f() = e +,. Παρατηρούμε ότι f (0) = 1, οπότε η (1) γράφεται: f( ηµ ) = 1 f( ηµ ) = f(0) (). Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f () = e + 1,, οπότε, f () > 0, για κάθε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, συνεπώς 1-1. Άρα από τη σχέση () και επειδή η f είναι 1-1, ισοδύναμα προκύπτει ότι: 0, ηµ = = κπ κ. Για να λυθεί εξίσωση της μορφής A() = B(),, (1) χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία: Η f είναι συνάρτηση 1-1 αν και μόνο αν, για κάθε 1, Df με f( 1) = f( ) 1 = ακολουθούμε τα εξής βήματα εργασίας: 1 ο Βήμα: Μετασχηματίζουμε την εξίσωση (1), με κατάλληλες μετακινήσεις όρων στα δύο μέλη της, και με επιλογή κατάλληλης συνάρτησης f στην φόρμα: f ( g() ) = f ( h() ) () όπου φυσικά οι συνθέσεις f g και f h να ορίζονται. ο Βήμα: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συνεπώς είναι και ο Βήμα: Εφ όσον η f είναι 1-1 και ισχύει η σχέση (), έχουμε ότι: g() = h() (3) 4 ο Βήμα: Επιλύουμε την εξίσωση (3), όπου η λύση της είναι και λύση της αρχικής εξίσωσης (1). 1

13 Παράδειγμα 8. Να λυθεί η ανίσωση: 3 ηµ ηµ 1. 3 Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού το δεύτερο μέλος της ανίσωσης πρέπει 0. Η ανίσωση ισοδύναμα μετασχηματίζεται ως ακολούθως: 3 ηµ ηµ > ηµ + 3 ηµ + 3 (1) 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f () = ηµ + 3,. Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε, ως άθροισμα παραγωγίσιμων στο. Έχουμε: f () = συν + 3,, συνεπώς f () > 0, για κάθε, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Από τη σχέση (1) έπεται ότι: 3 3 ( ) ( ) ( ) f γν. αύξουσα > 0 f f Άρα η δοθείσα ανίσωση ισχύει για τα (,0) ( 0,1]. Για να λύσουμε ανίσωση της μορφής: A() B() ή A() B(), εργαζόμαστε ως εξής: 1 ο Βήμα: Μετασχηματίζουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στη μορφή: f ( g() ) f(h()) ή f ( g() ) f(h()) (1). ο Βήμα: Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f,. 3 ο Βήμα: Ανάλογα με τη μονοτονία έχουμε: Αν f γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε από (1) έχουμε: g() h() ή g() h() και λύνουμε την ανίσωση. Αν f γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε από (1) έχουμε: g() h() ή g() h() και λύνουμε την ανίσωση. 13

14 Παράδειγμα 9. Για κάθε > 0, να δειχθεί ότι ln( + 1) <. Ισοδύναμα θέλουμε να δείξουμε ότι ln( + 1) < 0, για κάθε > 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f() = ln( + 1), με > 0 (1) Έχουμε: οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. f () = < 0, για κάθε > 0, + 1 Συνεπώς επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε > 0 έχουμε δηλαδή το ζητούμενο. f ( ) < f ( 0) (1) ln( + 1) < 0 ln( + 1) <, Για να αποδείξουμε ανισότητα της μορφής A() B() ή A() B(), = DA DB, κάνουμε τα εξής βήματα εργασίας: 1 ο Βήμα: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και έχουμε ανισότητα της μορφής h() 0 ή h() 0, Dh = ο Βήμα: Μελετούμε την h ως προς τη μονοτονία και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η h είναι γνησίως μονότονη. 3 ο Βήμα: Σε κάθε διάστημα όπου η h είναι γνησίως μονότονη ακολουθούμε τη μεθοδολογία του παραδείγματος 5. 14

15 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η στο. 3 f() = 6 + 3α + 1 να είναι γνησίως αύξουσα Το πεδίο ορισμού της f είναι το και για κάθε, έχουμε: f () = α. Επειδή ο συντελεστής του είναι θετικός και ( 4 ) = α = α, έχουμε: > α > 0 α < 4 α < α (, ), τότε η f δεν διατηρεί Αν ( ) πρόσημο στο, οπότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. Αν < 0 α > α< ή α>, τότε f () > 0, για κάθε, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα, όταν α< ή α>, η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Ωστόσο, λαμβάνοντας υπόψη μας και το θεώρημα της ενότητας &.7 του σχολικού βιβλίου, το οποίο παρουσιάζεται στα ΨΕΒ στην μεθεπόμενη ενότητα 10, έχουμε: Για = 0 α= ή α=, είναι f () > 0 για κάθε β 1 = = α 6 και η f είναι συνεχής στο =, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Ώστε: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο όταν: α (, ] [, + ). Όταν αναζητάμε την τιμή μιας παραμέτρου ώστε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα ( αβ, ), να είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο ( αβ, ), αρκεί να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει f () 0 ( f () 0 ) για κάθε αβ (, ) και f () = 0 για ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων του ( αβ, ). (Διάβαζε Ενότητα 10 και Σχολικό βιβλίο &.7) Σημειώσεις: 1. Σε ανάλογα συμπεράσματα οδηγούμαστε όταν η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( αβ, ), εκτός ίσως ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων του ( αβ, ), όπου είναι συνεχής. 15

16 . Όταν f () =α +β +γ, α 0, τότε: f γνησίως αύξουσα f () 0, για κάθε 0 και α> 0 f γνησίως φθίνουσα f () 0, για κάθε 0 και α< 0 16

17 Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση e + 1= 0. Παρατηρούμε ότι το = 0 είναι μια λύση της εξίσωσης, αφού Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε έχουμε f() = e + 1 με πεδίο ορισμού το. f () = e + 1> 0. 0 e + 0 1= 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο και επομένως η λύση είναι μοναδική. Για να λύσουμε μια εξίσωση ένας τρόπος εργασίας είναι ο ακόλουθος: 1. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα.. Βρίσκουμε μια προφανή λύση της f() = 0 στο. 3. Δείχνουμε ότι η f είναι μονότονη στο. 4. Συμπεραίνουμε ότι η λύση είναι μοναδική. Σημείωση: Αν το πεδίο ορισμού του προτασιακού τύπου (εξίσωσης) είναι ένωση διαστημάτων, εργαζόμενοι ανάλογα, αναζητούμε προφανείς λύσεις στο κάθε διάστημα και χρησιμοποιούμε την μονοτονία της f στο κάθε διάστημα για να δείξουμε, ότι οι προφανείς λύσεις είναι μοναδικές. 17

18 Παράδειγμα 3. Να λυθεί η ανίσωση > 6. 3 Ισοδύναμα έχουμε την ανίσωση > 0. 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = με πεδίο ορισμού το. Για κάθε που ανήκει στο έχουμε f () = > 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Παρατηρούμε ότι το = 1 είναι μια λύση της αντίστοιχης εξίσωσης f() = 0, αφού = 0. f γν. αύξ. Άρα για κάθε 1 > 1 f() > f 1 f() > 0 ανίσωσης είναι οι πραγματικοί με > 1. >, έχουμε: ( ) και επομένως οι λύσεις της Για να λύσουμε μια ανίσωση, σε ένα διάστημα Δ, ένας τρόπος εργασίας είναι ο ακόλουθος: 1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος της ανίσωσης.. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα. 3. Δείχνουμε ότι η f είναι μονότονη στο. 4. Βρίσκουμε μια ρίζα της f() = Από την μονοτονία της f συμπεραίνουμε τις λύσεις της ανίσωσης. 18

19 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0, ισχύει: 3 e > (1 ) (1). Είναι (1) έχουμε: 3 e (1 ) > 0, > 0 και θεωρώντας την συνάρτηση = = + >, για κάθε 0. f () e 3(1 ) (1 ) e 3(1 ) 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + ), οπότε για κάθε > 0 παίρνουμε: 3 f() = e (1 ), 0 f γν. αύξουσα > 0 f() > f(0) f() > 0 e (1 ) > 0 e > (1 ) 3 3 και επομένως η (1) ισχύει. Για να αποδείξουμε μια ανισωτική σχέση: 1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος της ανίσωσης.. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση f σε ένα διάστημα. 3. Δείχνουμε ότι η f είναι μονότονη στο. 4. Βρίσκουμε μια ρίζα της f() = Aπό τη μονοτονία της f συμπεραίνουμε την ισχύ της αποδεικτέας. 19

20 Παράδειγμα 5. f () Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f( 0) = 1και < (1) για κάθε e που ανήκει στο. Nα αποδείξετε ότι f() e για κάθε 0. Η αποδεικτέα f() e, 0 () γράφεται ισοδύναμα: f() e 0, 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση: g() = f() e,. Έχουμε g () = f () e < 0, (λόγω της (1)), οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο και επομένως: Για 0 f 0 = 1= e =, η () ισχύει ως ισότητα αφού: ( ) 0 Για > 0, λόγω της μονοτονίας της g έχουμε: 0 > 0 g() < g(0) f() e < f(0) e f() e < 0 f() < e. Ώστε, για κάθε 0 ισχύει ότι f() e. Όταν δίνεται μια ανισωτική σχέση f() < g() (1) και θέλουμε να αποδείξουμε μια άλλη ανισωτική σχέση h() <ϕ () (), τότε: 1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος της ().. Θεωρούμε συνάρτηση G() = h() ϕ ( ) σε ένα κατάλληλο διάστημα. 3. Δείχνουμε ότι η G είναι μονότονη στο με την βοήθεια της (1). 4. Aπό τη μονοτονία της G συμπεραίνουμε την ισχύ της αποδεικτέας. 0

21 Παράδειγμα 6. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης + 1 f () e 3 = + +. Η f έχει πεδίο ορισμού το A =. + 1 Για κάθε που ανήκει στο A έχουμε f () = e + 3 > 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 0 Παρατηρούμε ότι f( 1) = e 3+ = 0. Άρα το 1 είναι ρίζα της f() = 0 και επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, το 1 είναι μοναδική ρίζα της f() = 0. Επομένως: για 1 για 1 > έχουμε ( ) < έχουμε ( ) f() > f 1 = 0. Άρα f() > 0, > 1 f() < f 1 = 0. Άρα f() < 0, < 1 Tο πρόσημο της f, η μονοτονία της f και το πρόσημο και η ρίζα της f παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Για να βρούμε το πρόσημο μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σε ένα διάστημα, ένας τρόπος εργασίας είναι ο ακόλουθος: 1. Βρίσκουμε μια προφανή ρίζα 0 της f() = 0.. Προσδιορίζουμε την f (). 3. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. 4. Λαμβάνοντας υπόψη μας την μονοτονία της f συγκρίνουμε τις τιμές f() και f( 0). 1

22 Παράδειγμα 7. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln +. α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1 και να βρείτε την αντίστροφη της. α) Είναι: 0 ( ) 0 + > + > < ή > 0. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι Α = (, ) ( 0, + ). Για κάθε που ανήκει στο A έχουμε: 1 + () ( + ) ( + ) f () = 0 = ( ) = >. + + (+ ) + Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του A, δηλαδή στο (, ) και στο (0, + ). β) Η f είναι συνεχής στο (, ) και στο (0, + ) και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα αυτά το σύνολο τιμών της είναι f(a) A1 A A ( lim f (), lim f () + ) + =. 0 =, όπου A1 ( lim f (), lim f () ) = και Εξάλλου: lim f () = lim ln = 0 + Άρα Α ( 0, ) 1 = +. και lim f () lim ln = = + +

23 lim ln = Άρα Α (,0) =. και lim f () = lim ln = Συνεπώς f (A) = (,0) ( 0, + ). γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του A και A1 A =, θα είναι και και συνεπώς ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f :f(a) A. Για κάθε y f (A), έχουμε: f () = y ln = y = e = e + e e = e (1 e ) = e + + y y y y y y y (1) Επειδή y 1 e 0, γιατί διαφορετικά η (1) οδηγεί σε άτοπο, από την (1) παίρνουμε: y e = και επομένως: y 1 e 1 f :f (A) A, με 1 e f () =. 1 e 3

24 Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () = ln(e e). i. Να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. ii. iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Να βρείτε την αντίστροφη της. i. Πρέπει e e 0 e e > > άρα 1 >. Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A ( 1, ) = +. Η f για κάθε A είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με e f () = > 0. e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 1, + ). ii. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α, άρα το σύνολο τιμών της f θα είναι f ( ) ( lim f (), lim f ()) Α = Όμως lim f () lim ( ln(e e) ) Πράγματι αν θέσουμε = =. e e u lim e e 0 = τότε: ( ) + 1 = έτσι lim ( ln u) Ακόμα lim f () = lim ( ln(e e) ) = +, γιατί lim ( e e) Άρα το σύνολο τιμών είναι το, δηλαδή f( A ) =. iii. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και u 0 =. = + έτσι lim ( ln u) u + Άρα θα υπάρχει η 1 f A. Για κάθε y f( A) y έχουμε f () = y y = ln(e e) e = e e e y y = e + e = ln(e + e) f, η οποία θα έχει πεδίο ορισμού το ( ) = +. Δηλαδή 1 f () ln(e e), = +. 4

25 Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα, συνεχής και γνησίως μονότονη, τότε το σύνολο τιμών της f( ) είναι διάστημα. Έστω α το αριστερό άκρο του και β το δεξιό άκρο του,αν L 1 = lim f () και L = lim f () + α β Τότε έχουμε: f γνησίως αύξουσα f γνησίως φθίνουσα f(δ) f(δ) ( αβ, ) (L 1,L ) (L,L 1) ( αβ, ] (L 1,f ( )] [ αβ, ) [f ( ), L ) β β 1 α [f ( ), L ) (L,f ( α )] [ αβ, ] [f ( α),f ( β )] [f ( β),f ( α )] 5

26 Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα στο σημείο 0 = 3 και ισχύει f () > 0 για κάθε. Να βρεθεί το πρόσημο της f για 3. Εφόσον f () > 0, για κάθε έπεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Η γραφική παράσταση της f εφάπτεται του άξονα στo 0 = 3, οπότε ισχύει f (3) = 0 και f (3) = 0. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, αν > 3 τότε f() > f(3), δηλαδή f () > 0. Άρα και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [3, + ), οπότε αν > 3 τότε f() > f(3), δηλαδή f() > 0. Αν < 3 τότε f() < f(3), δηλαδή f () < 0, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,3]. Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα, για < 3 τότε f() > f(3), δηλαδή f() > 0. Επομένως η f είναι θετική για 3. Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα, συνεχής και γνησίως αύξουσα, τότε: 1. Αν υπάρχει 0 ώστε f( 0) = 0 έχουμε: Για κάθε με < 0 είναι f() < f( 0) f() < 0. Για κάθε με > 0 είναι f() > f( 0) f() > 0. Ανάλογα αν η f είναι γνησίως φθίνουσα.. Αν για κάθε, f() 0 τότε η f διατηρεί πρόσημο στο, έτσι θα έχουμε: f() > 0 για κάθε ή f() < 0 για κάθε. 6

27 Παράδειγμα 10. Δίνεται η συνάρτηση g ορισμένη στο και g ( ) > 0, για κάθε. g = g 0 +,, έχει μια αρνητική ρίζα και μια 4 3 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) θετική. Επειδή g ( ) > 0, για κάθε, σημαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και Οπότε από g ( 3 36 ) g ( 0 ) Έστω συνάρτηση f με τύπο 4 3 f ( ) = +, έχουμε = 0. 3 = + τότε f ( ) ( 5 6) Έτσι η f μηδενίζεται για 1 = 0 ή = ή 3 = 3. = + = +. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0]. Ακόμα, f( 0) 4 = και lim f ( ) lim ( 3 ) = = +. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α 1 = (,0], άρα f ( ) [, ) Επειδή το 0 f ( Α 1) = [, + ) τότε, υπάρχει ρ1 Α 1 τέτοιο ώστε ( 1) της f στο Α 1 ), δηλαδή η f έχει ρίζα στο (,0] Α = +. 1 f ρ = 0(Το 0 είναι τιμή και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό το διάστημα η ρίζα αυτή είναι μοναδική και αρνητική. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = [ 0, ]. Ακόμα f( 0) = και f ( ) = 30. 7

28 Άρα, f ( Α ) = f ( 0 ),f ( ) = [,30] και εφόσον το 0 f (A ) [,30] τέτοιο ώστε f( ) 0 ρ = (Το 0 είναι τιμή της f στο =,τότε υπάρχει ρ A A ) και αφού η f είναι γνησίως μονότονη προκύπτει ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της f στο (0,) που είναι θετική. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α 3 = [,3]. Ακόμα f ( ) = 30, και ( ) και εφόσον το 0 f( ) f Α έπεται ότι η f δεν έχει ρίζα στο Α 3. 3 =, δηλαδή f ( Α ) = f ( 3 ),f ( ) = [ 5,30] Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α 4 = [ 3, + ). Επίσης f ( 3) 5 4 =, και lim f ( ) lim ( 3 ) + = = +. + Άρα f ( Α 4 ) =[ 5, + ), και εφόσον το 0 [ 5, ) διάστημα. + δεν θα υπάρχει ρίζα της f, σε αυτό το Όταν ζητάμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = 0, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως μονότονη. Επειδή σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα η εξίσωση έχει μία το πολύ ρίζα, τότε η εξίσωση θα έχει τόσες το πολύ ρίζες, όσα είναι τα διαστήματα όπου η f είναι γνησίως μονότονη. Αν θέλουμε να βρούμε ακριβώς το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, εξετάζουμε σε κάθε διάστημα όπου είναι γνησίως μονότονη η f, αν έχει ρίζα η εξίσωση f() = 0. 8

29 Παράδειγμα 11. Να δείξετε ότι η εξίσωση k 4 = 0, είναι αδύνατη αν k > 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση f, με τύπο 4 f () = 3 + k 4, και k > 5. Η f είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο ως πολυωνυμική, οπότε, 3 3 f () = 4 3 = 4( 8) = 4( )( + + 4) Για = έχουμε f () = 0. Για > είναι f () > 0, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Για < ισχύει f () < 0, δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Α = το f ( Α ) = f ( ), lim f ( )) = [ k 5, + ) Αν 1 (,] Αν [, ) 1 Α = + το f ( Α ) = f ( ), lim f ( )) = [ k 5, + ) + Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: f ( ) f ( 1) f ( ) [ k 5, ) k > 5 k 5 > 0, έπεται ότι το 0 f( ) ώστε ( ) Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη... Α = Α Α = + και επειδή Α, δηλαδή δεν υπάρχει 0 f 0 = 0. Για να δείξουμε ότι η f( ) = 0 είναι αδύνατη εξίσωση μπορούμε να δουλέψουμε με δυο τρόπους. α) Βρίσκουμε σύνολο τιμών το οποίο δεν περιέχει το μηδέν. β) Με μονοτονία αποδεικνύουμε ότι f( ) > 0 ή ( ) f < 0. 9

30 Παράδειγμα 1. Να δειχθεί ότι: ηµ π < < 1, για 0< <. π (Ανισότητα Jordan) ηµ π Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f() =, με Df = 0,. Η f είναι π παραγωγίσιμη στο 0,, ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων και έχουμε συν ηµ π f () =, 0, (1) π π Η συνάρτηση g : 0, με τύπο g() = συν ηµ, () είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: π g () = ηµ < 0, 0,, δηλαδή η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Συνεπώς π για τα 0,, παίρνουμε: g γν. φθίνουσα () π π 0 < < g < g() < g( 0) 1< g() < 0 (3) π Η σχέση (1), βάσει της σχέσης (3), δίνει f () < 0, 0,, συνεπώς π η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα για τα 0,, για τα οποία έχουμε: ηµ ηµ lim = 1 και lim = (4) π π + 0 Άρα λόγω μονοτονίας της f και της σχέσης (4), το σύνολο τιμών της f είναι το συνεπώς,1 π, ηµ π < f() < 1 < < 1, για 0< <. π π 30

31 Εφόσον η συνάρτηση ηµ f() = είναι άρτια διότι: ( ) ηµ ηµ f( ) = = = f(), Η ανισότητα ηµ π < < 1, ισχύει για 0< <. π Για να αποδείξουμε ανισότητα της μορφής A() B() ή A() B(), κάνουμε τα εξής βήματα εργασίας: 1 ο Βήμα: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και έχουμε ανισότητα της μορφής: h() 0 h 0. ή ( ) ο Βήμα: Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης h, στο πεδίο ορισμού της. 3 ο Βήμα: Υπολογίζουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h. 4 ο Βήμα: Παίρνοντας την ανισότητα που προκύπτει από το σύνολο τιμών της συνάρτησης h, έχουμε το ζητούμενο. 31

32 Παράδειγμα 13. α Αν ισχύει ln = β α e e, όπου αβ>, 0 β τότε, να δειχθεί ότι α=β. Η δοθείσα σχέση ισοδύναμα μετασχηματίζεται ως εξής: α ln = β e α e α β ln α+ e = ln β+ e β (1) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ( 0, + ), με τύπο στο ( 0, + ) με f () = ln + e. Η f είναι παραγωγίσιμη οπότε f () > 0, για κάθε 0 1 στο ( 0, + ). Από τη σχέση (1) έχουμε: 1 = +, f () e >, συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) f( α ) = f( β ) και εφ όσον η f είναι 1-1 παίρνουμε ότι α=β. 0, +, άρα και 1- Αν έχουμε σχέση της μορφής h ( αβ, ) = g ( αβ, ), () και θέλουμε να δείξουμε ότι w( αβ, ) = 0 όπου α, β, τότε: 1 ο Βήμα: Μετασχηματίζουμε την σχέση () στην μορφή f( α ) = f( β ). ο Βήμα: Επιλέγουμε κατάλληλη συνάρτηση f. 3 ο Βήμα: Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, άρα θα είναι και 1-1 στο πεδίο ορισμού της. 4 ο Βήμα: Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f είναι 1-1, δείχνουμε το ζητούμενο. 3

33 Παράδειγμα 14. Αν ισχύει α < β e α β, όπου αβ>, 1 τότε, να δειχθεί ότι α>β. Η δοθείσα σχέση ισοδύναμα μετασχηματίζεται ως εξής : α β ln γν. αύξουσα α β α α β < e ln < ln e β ln α ln β< α β ln α α< ln β β (1) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : ( 1, + ), με τύπο f () = ln. Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1, + ) με f () =, > 1. Έχουμε >> > > > > <, συνεπώς f () < 0, για κάθε 1 σχέση (1) παίρνουμε ότι f( α ) < f( ) α > β α>β. >, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ) 1, +. Από τη β και εφ όσον η f είναι γνησίως φθίνουσα έπεται ότι Αν έχουμε σχέση της μορφής h ( αβ, ) g ( αβ, ), ή h (, ) g (, ) αβ αβ () και θέλουμε να δείξουμε ότι w( αβ, ) 0, ή w( αβ, ) 0 όπου α, β, τότε: 1 ο Βήμα: Μετασχηματίζουμε την σχέση () στην μορφή f( α) f( β ), ή f( α) f( β ). ο Βήμα: Επιλέγουμε κατάλληλη συνάρτηση f. 3 ο Βήμα: Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. 4 ο Βήμα: Χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της f, δείχνουμε το ζητούμενο. Ημερομηνία τροποποίησης: 6/10/011 33

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R. ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα