Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:"

Transcript

1 Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η f είναι πολύκλαδη στα σημεία αλλαγής τύπου χρησιμοποιούμε τον ορισμό). Ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( )(το οποίο πρέπει να είναι αρνητικό για να ισχύει το θεώρημα).. Δίνεται η συνάρτηση: 3 f 5 4 Να δειχτεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα, και να βρεθεί ο ώστε, f. ΛΥΣΗ Στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο. Είναι f 3 και, f lim f lim 3 lim lim 5 4 Οπότε η f είναι συνεχής στο άρα και στο,.

2 Επίσης f και f 544 δηλαδή f f Συνεπώς ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε. f. Λύνοντας την εξίσωση f. 3 βρίσκουμε,77, 3 και είναι 6. Δίνεται η συνάρτηση: f Να προσδιοριστούν οι παράμετροι και ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3, lim Πρέπει 3 και. f., Λύνοντας το σύστημα αυτών εξισώσεων βρίσκουμε 4 και 3. Όμως στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και πηλίκο συνεχών αντίστοιχα. Άρα η f είναι συνεχής στο,. Για τις τιμές αυτές είναι f 4 3 και f Οπότε f( ) f (). Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 3. Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε:

3 Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 5 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ στο,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Θεωρούμε την συνάρτηση f 5 4 f 5 4 Είναι: άρα f f. f 5 4 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f δηλαδή μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση, με,. έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν ορίζεται στα, οπότε θα κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. e e. 3

4 στο Θεωρούμε την συνάρτηση f e Η f είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. e f e e άρα f f f Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει στο, μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e f e..5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, 3 και για κάθε, 3 f 9, να δειχθεί ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ f f. Θεωρούμε την συνάρτηση g f,, 3. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο g g3 f f 3 9 αφού f και f,., 3 ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει 3 9. Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση, 3. ισχύει, 3. g f μια τουλάχιστον ρίζα στο.6 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ΛΥΣΗ ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι f και f, οπότε f f. τέτοιο, ώστε f. 4

5 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, f. Το είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα '. τέτοιο ώστε.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln και 3 g e. Να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινό σημείο (οι καμπύλες τέμνονται) στο διάστημα,e. Οι εξισώσεις των καμπύλων είναι ΛΥΣΗ y f και y g. Οι συντεταγμένες, y του κοινού σημείου επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις: y f και y g οπότε f g τουλάχιστον ρίζα η εξίσωση: f g f g. Έτσι θα πρέπει να δείξουμε τελικά ότι έχει μία ln e 3. Θεωρούμε την συνάρτηση: h e f g e Η f είναι συνεχής στο ln 3,,., e ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι h e3 και he e ee 3 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, e h f g. ώστε Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν ορίζονται τότε ακολουθούμε δύο μεθόδους. Α μέθοδος Με δοκιμές βρίσκω, (, ) τέτοια ώστε f( ) f( ) οπότε εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. 5

6 Β μέθοδος Υπολογίζουμε τα lim f ( ), lim f ( ) f ομόσημο του lim f ( ) lim f ( ). οπότε θα υπάρχει (, ) με και δ (, ) με Έπειτα εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. f ομόσημο του.8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα,. ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln 4 ln 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln 4, με,. (Το πεδίο ορισμού της f είναι το, και δεν μπορούμε να θεωρήσουμε την f στο Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln 4 διότι lim ln και lim 4. Αφού lim f Παρατηρούμε ότι: Η, υπάρχει, f είναι συνεχής στο Είναι τέτοιο, ώστε f και ln 4 f., ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. f, δηλαδή ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση: f ln 4ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα,,. f f., ) 6

7 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν είναι ετερόσημοι αριθμοί ή δεν μας δίνουν καν το διάστημα (, ). Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τις μεθόδους που περιγράψαμε στον τρόπο αντιμετώπισης 3. e.9 Να δείξετε ότι η εξίσωση: ln, έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. ΛΥΣΗ e e ln ln f,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε : f e ενώ f f e. Θεωρούμε την συνάρτηση ln e f e συνεπώς Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον e e f ln ln e., τέτοιο ώστε Σημείωση: θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το της άσκησης.8. lim f και να ακολουθήσουμε την μέθοδο Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). 7

8 Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα υποδιαστήματα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 ρίζες στο διάστημα,4. ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 3 ln 5 5 3ln Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3 ln 5 5 3, με, 4 3 ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον Η f είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης παρατηρούμε ότι: f 3 ln f 333ln f 434ln ln44 Επομένως έχουμε: Η f είναι συνεχής στο, 3 και ισχύει ότι f f 3 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Από το θεώρημα Bolzano, 3. Η f είναι συνεχής στο 3, 4 και ισχύει ότι f 3 f 4 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: 3 3 f 3ln ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, 4.. Από το θεώρημα Bolzano 3, 4. 8

9 Τρόπος αντιμετώπισης: 6. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (, ) τότε: Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι - ή γνησίως μονότονη στο (, ) οπότε η ρίζα είναι μοναδική.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα () έχει ακριβώς μία ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 3 πολυωνυμική. f 5, με, η οποία είναι συνεχής στο ως Είναι f και f 64, οπότε f f. Από θεώρημα.bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Για να είναι η ρίζα μοναδική, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.,,, με Για ά 5 5 άρα 5 5 άρα f f δηλ. για έχουμε f f. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα, η εξίσωση () έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, που είναι το ζητούμενο. 9

10 Τρόπος αντιμετώπισης: 7. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε δύο κατάλληλα υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία. Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε κάθε υποδιάστημα ή ότι είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού. Οπότε έχει ακριβώς δύο ρίζες. Όμοια αντιμετωπίζουμε και τις ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες.. Αν,, και, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. ΛΥΣΗ Με απαλοιφή των παρονομαστών η εξίσωση γράφεται Θεωρούμε τη συνάρτηση: f με Επειδή δεν μας λέει η άσκηση σε ποιο διάστημα θα αναζητήσουμε τις ρίζες εμείς θα πάρουμε τα διαστήματα που προκύπτουν από τις τιμές που μηδενίζουν τους παρανομαστές δηλαδή τα,,,. Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, συνεπώς είναι συνεχής και στα διαστήματα,,,. Είναι f, f, f οπότε f f, f f Από θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε κάθε ένα από τα ξένα μεταξύ τους διαστήματα,,,.οι ρίζες αυτές είναι άνισες και προφανώς διαφορετικές από τα,,. 3

11 Επειδή η εξίσωση f είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση f έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες άνισες. Τρόπος αντιμετώπισης: 8. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (κλειστό) διάστημα, τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της f στο [, ]. Διαπιστώνουμε ότι f( ) f( ). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν f( ) f( ) τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f. Αν f( ) f( ) τότε f ( ) ή f ( ) οπότε το α ή το β είναι ρίζα της f. Οπότε σε κάθε περίπτωση η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,..3 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο, με f f η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ f f f f (), επίσης ισχύει f f f Αν f f f ή εξίσωσης f. Η f συνεχής στο.. Να αποδειχθεί ότι f, τότε ή είναι ρίζα της Αν f f, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, 3.

12 .4 Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο και για κάθε f g c, c. Αν η εξίσωση, να δειχθεί ότι η εξίσωση,. ισχύει f έχει ρίζες, ετερόσημες με g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΛΥΣΗ Είναι f f. f gc Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και ισχύει:, g g f c f c c g f c Αν gg τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Αν g g g ή g. Τελικά η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. g έχει Τρόπος αντιμετώπισης: 9. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα: Αν η ισότητα που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και στην θέση του ξ τοποθετούμε το. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ

13 3 3 Έχουμε 3 3. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f 3, με Η f είναι συνεχής στο, 3 ως πολυωνυμική συνάρτηση., έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Είναι f f 377 Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε 3 3 f 3 3, που είναι το ζητούμενο..6 Αν f γνησίως αύξουσα στο, με τουλάχιστον, ώστε f. ΛΥΣΗ Αφού η f γνησίως αύξουσα στο, είναι f f Έχουμε f f Θέλουμε ένα τουλάχιστον, που να επαληθεύει την Έστω h f συνεχής στο () h f f h f f,να δειχτεί ότι υπάρχει ένα (). f., ως πράξεις συνεχών. h άρα h Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f τέτοιο, ώστε.7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, με f f f f ώστε να ισχύει.,, που είναι το ζητούμενο.. Να δειχτεί ότι υπάρχει ΛΥΣΗ Έχουμε f f f f f f. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f f f μία λύση στο,. έχει τουλάχιστον 33

14 Θεωρούμε την συνάρτηση g f f f,, Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει: f f f f f f ( g g f f f f Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f f f f. f ).8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f και f, f.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση στο, της εξίσωσης: f f Θεωρούμε τη συνάρτηση: h f, με, Η h είναι συνεχής στο, h f h f Παρατηρούμε ότι: h h Δηλαδή ισχύει hh. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε: Αν hh h ή h, τότε η εξίσωση το. h έχει ρίζα το ή Αν hh, τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε h. Άρα σε κάθε περίπτωση, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: h f f 34

15 Κατηγορία η Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ τότε: Διαπιστώνουμε την συνέχεια της f στο Δ. Λύνουμε την εξίσωση f στο Δ. Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και τα άκρα του διαστήματος Δ. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό λ και βρίσκουμε το πρόσημο του f. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα..9 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f ( ), [, ]. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f (, διότι αν τότε και αυτό όμως είναι αδύνατο). Λύνουμε την εξίσωση, Πρέπει: με, άρα κ = ή κ = Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5 ή

16 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Επιλεγμένος αριθμός π f ( ) Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα 5,,, 4 4 είναι f( ), ενώ στο διάστημα 5, είναι f( ). 4 4 Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν ρ, ρ δύο διαδοχικές ρίζες της συνεχούς συνάρτησης f τότε f( ),. Επίσης η f είναι συνεχής άρα στο διάστημα για κάθε διατηρεί σταθερό πρόσημο.,. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ρίζες της εξίσωσης f. Να βρεθεί το όριο ΛΥΣΗ Θέτουμε με f και, 5 δύο διαδοχικές lim f 3 5. g f 3 5, με Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα,5 και οι αριθμοί, 5 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f, η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο,5. Αφού, f είναι και f, για κάθε,5. Οπότε, Είναι lim g lim f 35 f 3 5 lim f 3 5 f 3 5 lim 36

17 Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,4, με f για κάθε,4 οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο, 5. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 6 f διάστημα,4. β) Να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ lim f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Επομένως η, της έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο., 4 και ισχύει f για κάθε, 4 f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, 4 f διέρχεται από το σημείο, 5, οπότε ισχύει f 5. Άρα ισχύει ότι: f για κάθε, 4.. Επίσης η γραφική παράσταση της f f f f 6 6 α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f 6, με, 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν: gf f 646 g44f 4f 44 66f 4, αφού είναι f για κάθε, 4 Άρα ισχύει gg4. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g η αρχική, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4. β) Ισχύει ότι: lim f lim f 3 διότι είναι f και lim 3., άρα και 37

18 . Αν η f είναι συνεχής στο, και γνησίως αύξουσα με f f f διατηρεί πρόσημο στο,. ΛΥΣΗ τότε η Έστω ότι η f δεν διατηρεί πρόσημο στο., Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν,, ώστε f f. Επίσης η f είναι συνεχής στο,. Τότε όμως από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει, ή, τέτοιο ώστε f. Όμως: f : f f f f f οπότε f f άτοπο. Τρόπος αντιμετώπισης: f για την οποία ισχύει: f g 4. Έστω μια συνάρτηση : για κάθε A και g για κάθε A. () Από την παραπάνω σχέση δεν προκύπτει ότι ή ότι f g για κάθε A f g για κάθε A αφού υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την (). g, A Για παράδειγμα η f g, A Αν όμως γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο Α τότε μπορούμε να πούμε ότι f g για κάθε Aή ότι f g για κάθε A..3 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει:, για κάθε. e e f f ΛΥΣΗ e Έχουμε e f f e f e f e f f e e f 38

19 Θέτουμε he f με Για ισχύει Επομένως, h και επειδή η h είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο., άρα και h e f, e e f f, e Αν h, τότε e f f Αν h, τότε.4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f με: f 9 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. β) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f. γ) Να αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3. δ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ΛΥΣΗ α) Είναι: f 9 3,3 οπότε 3,3 β) Είναι:. για κάθε f f ή 3. γ) Η f είναι συνεχής στο 3,3 και f για κάθε 3,3 Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 3,3.. δ) Εφόσον η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3, θα είναι: f για κάθε 3,3 ή f για κάθε 3,3 Όμως f 9, οπότε: αν f, τότε f 9, 3,3 αν f, τότε f 9, 3,3. Επειδή f 3 f 3, προκύπτει ότι: f 9, 3,3 ή f 9, 3,3 39

20 Κατηγορία 3 η Θ.Ε.Τ - Θ.Μ.Ε.Τ Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f τότε: Υπολογίζουμε τα f f,. Διαπιστώνουμε f( ) f( ) ή f( ) f( ). τέτοιο, ώστε Με την βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών προκύπτει το ζητούμενο. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θέσουμε χρησιμοποιήσουμε θεώρημα Bolzano. g f και να Δίνεται η συνάρτηση f 5.Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε 5 ΛΥΣΗ f. 5 3 Η συνάρτηση f 5 είναι συνεχής στο 5 3 f f 5 8 Ο αριθμός 5 είναι ανάμεσα στις τιμές f και f τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f 5. Β τρόπος Θέτουμε g f 5,,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική., ως πολυωνυμική.. Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων g 5535 και g 853 άρα g g. Τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον,, g. 4 τέτοιο, ώστε

21 .6 Έστω η συνεχής και περιττή συνάρτηση f : με f ότι υπάρχει σημείο της ΛΥΣΗ C f με τεταγμένη. f Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε Επειδή η f είναι συνεχής έχουμε f f Αφού η f είναι περιττή και Η f είναι συνεχής στο,. D f lim, έχουμε f. lim. Να δείξετε f f και f f. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,,, τέτοιος, ώστε f..7 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :,3. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ακριβώς, 3 τέτοιος, ώστε 3f f f f 3. ΛΥΣΗ Επειδή η f γνησίως φθίνουσα στο, 3 και είναι 3 έχουμε: f f f 3 οπότε f 3 f f f 3 f f f 3 f 3 f. Με πρόσθεση κατά μέλη 3f 3 f f f 3 3f άρα f f f 3 f 3 f 3 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τέτοιος, ώστε: τουλάχιστον,, 3 3 f f f f 3f f f f 3 3 Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, το είναι μοναδικό. Β τρόπος Θα θέταμε h3f f f f 3 για, 3. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Eπίσης h f f f 3 h 3 f 3 f f 3 Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλά- τέτοιο, χιστον, 3 ώστε h. 4

22 Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f f... f f τέτοιο, ώστε και δεν ξέρουμε την μονοτονία της... f τότε: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής. Παίρνουμε δύο περιπτώσεις η f να είναι σταθερή και να μην είναι σταθερή..8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει: f f f 3 f 3 4 f 4,5,5 να αποδειχθεί ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο,5 άρα από το θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν δυο αριθμοί mm, ώστε να ισχύει: για κάθε m f M έχουμε έχουμε έχουμε f m f M f Για έχουμε Για Για 3 Για 4,5. m f M mf M m f 3 M 3m3f 3 3M m f 4 M 4m4f 4 4M Με πρόσθεση κατά μέλη τις ανισότητες ισχύει: f f 3f 34f 4 m f f 3f 3 4f 4M m M Αν η f είναι σταθερή τότε m = M και f c, c για κάθε,5 οποιοδήποτε,5 ικανοποιεί την σχέση: f άρα f f 3f 34f 4 Αν η f δεν είναι σταθερή τότε m < M, οπότε το σύνολο τιμών της η f είναι το mm, και ο αριθμός f f f f mm, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,5 τέτοιο ώστε f f f f f.

23 .9 Αν f, g συνεχείς στο, g f g με f g ώστε,,. ΛΥΣΗ να δειχθεί ότι υπάρχουν, Επειδή h f g,, και συνεχής στο, ελαχίστης τιμής θα υπάρχουν mm, αφού h,, mh M ή m f g M ή g m f g M άρα υπάρχουν, ( m και ) ώστε να ισχύει το ζητούμενο. από θεώρημα μεγίστης και ώστε Κατηγορία 4 η Σύνολο τιμών Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της συνάρτησης f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f. Η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f, f Γνησίως φθίνουσα f, f Γνησίως αύξουσα lim f( ), f Γνησίως φθίνουσα f,lim f( ) 43

24 Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f,lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f( ), f Γνησίως αύξουσα lim f ( ), lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f ( ), lim f( ).3 Δίνεται η συνάρτηση f 5 ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f 5 ln ορίζεται όταν: και και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο,. β) Έστω,, με. Τότε έχουμε: 5 5 () ln ln ln ln () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες () και () προκύπτει ότι: 5 ln 5 ln f f Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: f f f Είναι: lim,. 44

25 f 5 lnl 5 lim f lim 5 ln Επομένως είναι f,5..3 Έστω f συνεχής και γνήσια μονότονη συνάρτηση στο διάστημα,5 με και f 4. α) Να δείξετε ότι f για κάθε,4 f 4 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική λύση στο διάστημα ΛΥΣΗ α) Αφού f γνήσια μονότονη στο,5 και 4 f f 4 στο,5 και επειδή είναι συνεχής θα ισχύει f, 4 f 4, f, 4 f, 4. f 4,5. η f θα είναι γνήσια φθίνουσα επομένως f f f f 4 β) Είναι f f και f f δηλαδή 4 f f 4 επομένως ο αριθμός n είναι μεταξύ του f, f οπότε από θεώρημα f 4 ενδιάμεσων τιμών υπάρχει, ώστε f και επειδή η f είναι γνήσια μονότονη η ρίζα είναι μοναδική. Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα Δ εκτός από την χρήση του θεωρήματος Bolzano υπάρχει και ο παρακάτω τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε f. Δηλαδή η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα. 45

26 .3 Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με f e,,. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e ln έχει ακριβώς μια ρίζα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε,, με έχουμε e e ln ln Επειδή οι ανισώσεις είναι ομοιόστροφες και όλα τα μέλη είναι θετικά, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε e ln e ln e ln e ln f f Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Η f είναι συνεχής στο, και επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα έχει ως σύνολο τιμών το lim, lim f f Είναι lim f lim e ln e ln l lim f lim e ln αφού lim e lim ln Επομένως, το σύνολο τιμών της f, είναι το f,. γ) Είναι e ln e ln f. Επειδή, επομένως, το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, οπότε από η θεώρημα ενδιάμεσων τιμών παίρνει την τιμή μηδέν, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Η ρίζα είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 46

27 Σύνθετες ασκήσεις.33 Μια συνεχής συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα,5. Αν f 3 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, να αποδειχθεί ότι: α) f και f 5, β) η εξίσωση f 3 έχει μοναδική ρίζα. ΛΥΣΗ, 5. α) Είναι 3 5 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Επομένως: f f 3 f 5 f f 5 Επομένως f και f 5. g f. Πρέπει: 35,. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 Επομένως η g ορίζεται στο Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (η f 3 είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f και 3). Είναι g f, αφού f και g f 5 αφού f 5. Επειδή λοιπόν gg, από το θεώρημα του Bolzano συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g, άρα και η f 3, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Επίσης η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, θα είναι: 3 3, f 3 f 3 δηλαδή: f 3 f 3 g g. και Άρα η παραπάνω ρίζα της g είναι μοναδική., αφού με, και.34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 3 f f f e (), για κάθε. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. 47

28 Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Η f είναι συνεχής στο,. Η σχέση () γράφεται f f f e Το τριώνυμο f f έχει διακρίνουσα 3 και για κάθε f, οπότε από την () θα πάρουμε f Από τη σχέση (3) το Για είναι e. Για είναι f είναι ομόσημο του f. (), για κάθε e. e f f e, οπότε f f Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε Το είναι η τετμημένη του σημείου που η, C τέμνει τέμνει τον άξονα f, οπότε είναι θετικό (3) f. '..35 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : Αν η εξίσωση f f g g εξίσωση f g έχει λύση. με την ιδιότητα: f g g f έχει μία τουλάχιστον ρίζα, να αποδειχθεί ότι και η ΛΥΣΗ Έστω ότι η εξίσωση f g δεν έχει λύση. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση: h f g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και δεν μηδενίζεται στο. Επομένως η h διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης f f g g, δηλαδή f f g g ισχύει: h f f f g f και h g f g g g Επομένως: h f hg f f g f f g gg f f gg f gg f διότι f f g g και f g g f. Αλλά η σχέση h f hg οδηγεί σε άτοπο, διότι οι αριθμοί h f, hg είναι ομόσημοι. Επομένως η εξίσωση f g θα έχει μία τουλάχιστον λύση., τότε θα.36 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο, για την οποία ισχύει: f 48

29 Έχουμε f f Είναι f f Η f στο,. Οπότε,. Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι αφού Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι f f, αφού Επειδή, επιπλέον, f έχουμε: f κάθε, Η f στο,. Όμοια με το προηγούμενο f f,, για κάθε, ή f f, για κάθε, ή f, για κάθε, Συνδυάζοντας τα παραπάνω η f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: f, f f,, f,,,, για.37 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, ώστε f και f 3, για την οποία ισχύει: α) Να δείξετε ότι f f f 3 f 4 β) Να δειχτεί ότι υπάρχει ώστε f f f., γ) Να δείξετε ότι η f δεν είναι '' ''. ΛΥΣΗ f f f f 3 f f f f α) Επειδή f συνεχής και f f 3,. σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ώστε Άρα για θα έχουμε: 49, 3 f, f.

30 f f f f 3 f f f f f f f 4 f f f 3 f 4. 3 f β) Θεωρούμε την g f f f, g f f f f f f g f f f f f f οπότε g gf f f f που είναι συνεχής και Αν f f τότε gg g ή g άρα ή Αν f f τότε επειδή f, f συνεχής και σταθερό πρόσημο δηλαδή f, άρα f f και επομένως άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f. f, η f θα έχει, g g γ) Θεωρώντας την f f 3 f 4 ομοίως δείχνουμε ότι υπάρχει 3, 4 ώστε f f 3 f 4. Λόγω α) θα είναι f f f f f, με, και 3, 4 άρα f f. Άρα f όχι '' ''..38 Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύει f f για κάθε δείξτε: α) f είναι σταθερή β) Βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ α) Αν τότε ισχύει: f f f ή f. Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση είναι το και το. Αν η f δεν ήταν σταθερή τότε θα υπήρχαν f. Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (f στο, συνεχής με f f ) η συνάρτηση θα έπαιρνε και τις τιμές που είναι στο, κάτι που δεν ισχύει, άρα f σταθερή. με f και Αν για δύο συναρτήσεις, : f g A ισχύει f g για κάθε τότε δεν έπεται κατά ανάγκη ότι: f για κάθε ή g για κάθε 5

31 β) Αφού η f είναι σταθερή και οι μόνες τιμές που παίρνει το και το θα ισχύει: f για κάθε ή f, για κάθε..39 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :,. α) Να δείξετε ότι η g f e,, έχει μέγιστη τιμή. β) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f e ΛΥΣΗ α) Επειδή η g είναι συνεχής στο,, έχει μέγιστη τιμή. β) Αφού η g έχει μέγιστη τιμή θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε για κάθε, g g f e f e ή Άρα f f e, για κάθε,. να ισχύει f f e e f e f e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Δεν προσθέτουμε ποτέ σύνολα τιμών. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε την συνάρτηση,, f. Είναι άρα οπότε προσθέτοντας τις ανισότητες έχουμε δηλαδή είναι f 3. 3 Είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο τιμών της f f,, 3 γιατί η f είναι 3 5 γνησίως αύξουσα στο, και συνεχής οπότε f, f, f,. Η εξήγηση δίνεται από το ότι η πρόσθεση των ανισοτήτων δεν γίνεται για τις ίδιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σύμφωνα με τον ορισμό της πρόσθεσης. 5

32 e.4 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f ορισμένη στο αποδείξετε ότι η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5. ΛΥΣΗ,5. Να Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,5 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο,5 ως άθροισμα γνησίων φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες). Θεωρούμε τη συνάρτηση g f στο,5. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e g 5, g e 5 4. Παρατηρούμε ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει,5 έτσι ώστε g f. Συνεπώς η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5..4 Δίνεται η συνάρτηση f e,,. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική αρνητική ρίζα. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση e,. ΛΥΣΗ είναι αδύνατη, στο α) Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε,,, με και e e e e. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε e e f f. lim f lim e lim lim e. γιατί Το σύνολο τιμών της f είναι το f f lim και lim e lim, lim,. 5

33 β) Για την εξίσωση e έχουμε (διαιρώντας με ) e e f. Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το α) ερώτημα. γ) Διαιρούμε με και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: e e e f. Όμως ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,. Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e..4 Έστω f :, μια συνάρτηση με f α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f και ότι είναι γνησίως φθίνουσα. f γ) Να βρείτε το lim, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η f είναι συνεχής. f ΛΥΣΗ α) Θα βρούμε τη μονοτονία της f. Για κάθε,, με έχουμε και Άρα η f είναι συνεχής έχουμε f lim f,lim f. Είναι: lim f lim και lim f lim f,. Άρα β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f. Έστω, f f με πεδίο ορισμού το y y, οπότε f. y y με, ). Επομένως f f y f f y, άρα f y f y 53, (αφού

34 γ) Επειδή η lim f. Άρα,, f είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και f f f f f έχουμε lim lim lim. f f.43 Δίνεται η συνάρτηση f ln ln το σύνολο τιμών της f.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και ΛΥΣΗ f ln ln ορίζεται όταν: και Η συνάρτηση και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:, Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln ln διότι lim ln και: lim ln ln Επίσης είναι: lim f lim ln ln διότι lim ln ln 4 και lim ln u lim ln u. u Τέλος, η f είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση. Αν ισχύει: lim f lim f ή lim f lim f τότε το σύνολο τιμών της f είναι το ακόμα και αν η μονοτονία της f αλλάζει στο,. 54

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα. Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 8 3 8 9 ) Να αποδειχθει οτι : Η συναρτηση f με f() ειναι γνησιως αυξουσα. Για ισχυουν : d αι d. Η f εχει πεδιο ορισμου το Α[, ) αι ειναι συνεχης σε αυτο. Αομη

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα