Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:"

Transcript

1 Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η f είναι πολύκλαδη στα σημεία αλλαγής τύπου χρησιμοποιούμε τον ορισμό). Ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( )(το οποίο πρέπει να είναι αρνητικό για να ισχύει το θεώρημα).. Δίνεται η συνάρτηση: 3 f 5 4 Να δειχτεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα, και να βρεθεί ο ώστε, f. ΛΥΣΗ Στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο. Είναι f 3 και, f lim f lim 3 lim lim 5 4 Οπότε η f είναι συνεχής στο άρα και στο,.

2 Επίσης f και f 544 δηλαδή f f Συνεπώς ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε. f. Λύνοντας την εξίσωση f. 3 βρίσκουμε,77, 3 και είναι 6. Δίνεται η συνάρτηση: f Να προσδιοριστούν οι παράμετροι και ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3, lim Πρέπει 3 και. f., Λύνοντας το σύστημα αυτών εξισώσεων βρίσκουμε 4 και 3. Όμως στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και πηλίκο συνεχών αντίστοιχα. Άρα η f είναι συνεχής στο,. Για τις τιμές αυτές είναι f 4 3 και f Οπότε f( ) f (). Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 3. Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε:

3 Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 5 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ στο,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Θεωρούμε την συνάρτηση f 5 4 f 5 4 Είναι: άρα f f. f 5 4 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f δηλαδή μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση, με,. έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν ορίζεται στα, οπότε θα κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. e e. 3

4 στο Θεωρούμε την συνάρτηση f e Η f είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. e f e e άρα f f f Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει στο, μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e f e..5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, 3 και για κάθε, 3 f 9, να δειχθεί ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ f f. Θεωρούμε την συνάρτηση g f,, 3. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο g g3 f f 3 9 αφού f και f,., 3 ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει 3 9. Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση, 3. ισχύει, 3. g f μια τουλάχιστον ρίζα στο.6 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ΛΥΣΗ ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι f και f, οπότε f f. τέτοιο, ώστε f. 4

5 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, f. Το είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα '. τέτοιο ώστε.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln και 3 g e. Να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινό σημείο (οι καμπύλες τέμνονται) στο διάστημα,e. Οι εξισώσεις των καμπύλων είναι ΛΥΣΗ y f και y g. Οι συντεταγμένες, y του κοινού σημείου επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις: y f και y g οπότε f g τουλάχιστον ρίζα η εξίσωση: f g f g. Έτσι θα πρέπει να δείξουμε τελικά ότι έχει μία ln e 3. Θεωρούμε την συνάρτηση: h e f g e Η f είναι συνεχής στο ln 3,,., e ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι h e3 και he e ee 3 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, e h f g. ώστε Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν ορίζονται τότε ακολουθούμε δύο μεθόδους. Α μέθοδος Με δοκιμές βρίσκω, (, ) τέτοια ώστε f( ) f( ) οπότε εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. 5

6 Β μέθοδος Υπολογίζουμε τα lim f ( ), lim f ( ) f ομόσημο του lim f ( ) lim f ( ). οπότε θα υπάρχει (, ) με και δ (, ) με Έπειτα εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. f ομόσημο του.8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα,. ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln 4 ln 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln 4, με,. (Το πεδίο ορισμού της f είναι το, και δεν μπορούμε να θεωρήσουμε την f στο Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln 4 διότι lim ln και lim 4. Αφού lim f Παρατηρούμε ότι: Η, υπάρχει, f είναι συνεχής στο Είναι τέτοιο, ώστε f και ln 4 f., ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. f, δηλαδή ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση: f ln 4ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα,,. f f., ) 6

7 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν είναι ετερόσημοι αριθμοί ή δεν μας δίνουν καν το διάστημα (, ). Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τις μεθόδους που περιγράψαμε στον τρόπο αντιμετώπισης 3. e.9 Να δείξετε ότι η εξίσωση: ln, έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. ΛΥΣΗ e e ln ln f,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε : f e ενώ f f e. Θεωρούμε την συνάρτηση ln e f e συνεπώς Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον e e f ln ln e., τέτοιο ώστε Σημείωση: θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το της άσκησης.8. lim f και να ακολουθήσουμε την μέθοδο Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). 7

8 Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα υποδιαστήματα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 ρίζες στο διάστημα,4. ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 3 ln 5 5 3ln Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3 ln 5 5 3, με, 4 3 ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον Η f είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης παρατηρούμε ότι: f 3 ln f 333ln f 434ln ln44 Επομένως έχουμε: Η f είναι συνεχής στο, 3 και ισχύει ότι f f 3 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Από το θεώρημα Bolzano, 3. Η f είναι συνεχής στο 3, 4 και ισχύει ότι f 3 f 4 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: 3 3 f 3ln ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, 4.. Από το θεώρημα Bolzano 3, 4. 8

9 Τρόπος αντιμετώπισης: 6. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (, ) τότε: Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι - ή γνησίως μονότονη στο (, ) οπότε η ρίζα είναι μοναδική.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα () έχει ακριβώς μία ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 3 πολυωνυμική. f 5, με, η οποία είναι συνεχής στο ως Είναι f και f 64, οπότε f f. Από θεώρημα.bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Για να είναι η ρίζα μοναδική, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.,,, με Για ά 5 5 άρα 5 5 άρα f f δηλ. για έχουμε f f. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα, η εξίσωση () έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, που είναι το ζητούμενο. 9

10 Τρόπος αντιμετώπισης: 7. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε δύο κατάλληλα υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία. Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε κάθε υποδιάστημα ή ότι είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού. Οπότε έχει ακριβώς δύο ρίζες. Όμοια αντιμετωπίζουμε και τις ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες.. Αν,, και, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. ΛΥΣΗ Με απαλοιφή των παρονομαστών η εξίσωση γράφεται Θεωρούμε τη συνάρτηση: f με Επειδή δεν μας λέει η άσκηση σε ποιο διάστημα θα αναζητήσουμε τις ρίζες εμείς θα πάρουμε τα διαστήματα που προκύπτουν από τις τιμές που μηδενίζουν τους παρανομαστές δηλαδή τα,,,. Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, συνεπώς είναι συνεχής και στα διαστήματα,,,. Είναι f, f, f οπότε f f, f f Από θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε κάθε ένα από τα ξένα μεταξύ τους διαστήματα,,,.οι ρίζες αυτές είναι άνισες και προφανώς διαφορετικές από τα,,. 3

11 Επειδή η εξίσωση f είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση f έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες άνισες. Τρόπος αντιμετώπισης: 8. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (κλειστό) διάστημα, τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της f στο [, ]. Διαπιστώνουμε ότι f( ) f( ). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν f( ) f( ) τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f. Αν f( ) f( ) τότε f ( ) ή f ( ) οπότε το α ή το β είναι ρίζα της f. Οπότε σε κάθε περίπτωση η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,..3 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο, με f f η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ f f f f (), επίσης ισχύει f f f Αν f f f ή εξίσωσης f. Η f συνεχής στο.. Να αποδειχθεί ότι f, τότε ή είναι ρίζα της Αν f f, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, 3.

12 .4 Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο και για κάθε f g c, c. Αν η εξίσωση, να δειχθεί ότι η εξίσωση,. ισχύει f έχει ρίζες, ετερόσημες με g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΛΥΣΗ Είναι f f. f gc Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και ισχύει:, g g f c f c c g f c Αν gg τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Αν g g g ή g. Τελικά η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. g έχει Τρόπος αντιμετώπισης: 9. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα: Αν η ισότητα που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και στην θέση του ξ τοποθετούμε το. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ

13 3 3 Έχουμε 3 3. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f 3, με Η f είναι συνεχής στο, 3 ως πολυωνυμική συνάρτηση., έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Είναι f f 377 Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε 3 3 f 3 3, που είναι το ζητούμενο..6 Αν f γνησίως αύξουσα στο, με τουλάχιστον, ώστε f. ΛΥΣΗ Αφού η f γνησίως αύξουσα στο, είναι f f Έχουμε f f Θέλουμε ένα τουλάχιστον, που να επαληθεύει την Έστω h f συνεχής στο () h f f h f f,να δειχτεί ότι υπάρχει ένα (). f., ως πράξεις συνεχών. h άρα h Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f τέτοιο, ώστε.7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, με f f f f ώστε να ισχύει.,, που είναι το ζητούμενο.. Να δειχτεί ότι υπάρχει ΛΥΣΗ Έχουμε f f f f f f. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f f f μία λύση στο,. έχει τουλάχιστον 33

14 Θεωρούμε την συνάρτηση g f f f,, Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει: f f f f f f ( g g f f f f Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f f f f. f ).8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f και f, f.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση στο, της εξίσωσης: f f Θεωρούμε τη συνάρτηση: h f, με, Η h είναι συνεχής στο, h f h f Παρατηρούμε ότι: h h Δηλαδή ισχύει hh. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε: Αν hh h ή h, τότε η εξίσωση το. h έχει ρίζα το ή Αν hh, τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε h. Άρα σε κάθε περίπτωση, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: h f f 34

15 Κατηγορία η Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ τότε: Διαπιστώνουμε την συνέχεια της f στο Δ. Λύνουμε την εξίσωση f στο Δ. Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και τα άκρα του διαστήματος Δ. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό λ και βρίσκουμε το πρόσημο του f. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα..9 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f ( ), [, ]. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f (, διότι αν τότε και αυτό όμως είναι αδύνατο). Λύνουμε την εξίσωση, Πρέπει: με, άρα κ = ή κ = Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5 ή

16 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Επιλεγμένος αριθμός π f ( ) Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα 5,,, 4 4 είναι f( ), ενώ στο διάστημα 5, είναι f( ). 4 4 Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν ρ, ρ δύο διαδοχικές ρίζες της συνεχούς συνάρτησης f τότε f( ),. Επίσης η f είναι συνεχής άρα στο διάστημα για κάθε διατηρεί σταθερό πρόσημο.,. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ρίζες της εξίσωσης f. Να βρεθεί το όριο ΛΥΣΗ Θέτουμε με f και, 5 δύο διαδοχικές lim f 3 5. g f 3 5, με Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα,5 και οι αριθμοί, 5 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f, η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο,5. Αφού, f είναι και f, για κάθε,5. Οπότε, Είναι lim g lim f 35 f 3 5 lim f 3 5 f 3 5 lim 36

17 Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,4, με f για κάθε,4 οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο, 5. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 6 f διάστημα,4. β) Να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ lim f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Επομένως η, της έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο., 4 και ισχύει f για κάθε, 4 f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, 4 f διέρχεται από το σημείο, 5, οπότε ισχύει f 5. Άρα ισχύει ότι: f για κάθε, 4.. Επίσης η γραφική παράσταση της f f f f 6 6 α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f 6, με, 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν: gf f 646 g44f 4f 44 66f 4, αφού είναι f για κάθε, 4 Άρα ισχύει gg4. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g η αρχική, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4. β) Ισχύει ότι: lim f lim f 3 διότι είναι f και lim 3., άρα και 37

18 . Αν η f είναι συνεχής στο, και γνησίως αύξουσα με f f f διατηρεί πρόσημο στο,. ΛΥΣΗ τότε η Έστω ότι η f δεν διατηρεί πρόσημο στο., Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν,, ώστε f f. Επίσης η f είναι συνεχής στο,. Τότε όμως από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει, ή, τέτοιο ώστε f. Όμως: f : f f f f f οπότε f f άτοπο. Τρόπος αντιμετώπισης: f για την οποία ισχύει: f g 4. Έστω μια συνάρτηση : για κάθε A και g για κάθε A. () Από την παραπάνω σχέση δεν προκύπτει ότι ή ότι f g για κάθε A f g για κάθε A αφού υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την (). g, A Για παράδειγμα η f g, A Αν όμως γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο Α τότε μπορούμε να πούμε ότι f g για κάθε Aή ότι f g για κάθε A..3 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει:, για κάθε. e e f f ΛΥΣΗ e Έχουμε e f f e f e f e f f e e f 38

19 Θέτουμε he f με Για ισχύει Επομένως, h και επειδή η h είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο., άρα και h e f, e e f f, e Αν h, τότε e f f Αν h, τότε.4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f με: f 9 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. β) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f. γ) Να αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3. δ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ΛΥΣΗ α) Είναι: f 9 3,3 οπότε 3,3 β) Είναι:. για κάθε f f ή 3. γ) Η f είναι συνεχής στο 3,3 και f για κάθε 3,3 Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 3,3.. δ) Εφόσον η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3, θα είναι: f για κάθε 3,3 ή f για κάθε 3,3 Όμως f 9, οπότε: αν f, τότε f 9, 3,3 αν f, τότε f 9, 3,3. Επειδή f 3 f 3, προκύπτει ότι: f 9, 3,3 ή f 9, 3,3 39

20 Κατηγορία 3 η Θ.Ε.Τ - Θ.Μ.Ε.Τ Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f τότε: Υπολογίζουμε τα f f,. Διαπιστώνουμε f( ) f( ) ή f( ) f( ). τέτοιο, ώστε Με την βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών προκύπτει το ζητούμενο. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θέσουμε χρησιμοποιήσουμε θεώρημα Bolzano. g f και να Δίνεται η συνάρτηση f 5.Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε 5 ΛΥΣΗ f. 5 3 Η συνάρτηση f 5 είναι συνεχής στο 5 3 f f 5 8 Ο αριθμός 5 είναι ανάμεσα στις τιμές f και f τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f 5. Β τρόπος Θέτουμε g f 5,,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική., ως πολυωνυμική.. Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων g 5535 και g 853 άρα g g. Τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον,, g. 4 τέτοιο, ώστε

21 .6 Έστω η συνεχής και περιττή συνάρτηση f : με f ότι υπάρχει σημείο της ΛΥΣΗ C f με τεταγμένη. f Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε Επειδή η f είναι συνεχής έχουμε f f Αφού η f είναι περιττή και Η f είναι συνεχής στο,. D f lim, έχουμε f. lim. Να δείξετε f f και f f. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,,, τέτοιος, ώστε f..7 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :,3. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ακριβώς, 3 τέτοιος, ώστε 3f f f f 3. ΛΥΣΗ Επειδή η f γνησίως φθίνουσα στο, 3 και είναι 3 έχουμε: f f f 3 οπότε f 3 f f f 3 f f f 3 f 3 f. Με πρόσθεση κατά μέλη 3f 3 f f f 3 3f άρα f f f 3 f 3 f 3 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τέτοιος, ώστε: τουλάχιστον,, 3 3 f f f f 3f f f f 3 3 Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, το είναι μοναδικό. Β τρόπος Θα θέταμε h3f f f f 3 για, 3. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Eπίσης h f f f 3 h 3 f 3 f f 3 Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλά- τέτοιο, χιστον, 3 ώστε h. 4

22 Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f f... f f τέτοιο, ώστε και δεν ξέρουμε την μονοτονία της... f τότε: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής. Παίρνουμε δύο περιπτώσεις η f να είναι σταθερή και να μην είναι σταθερή..8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει: f f f 3 f 3 4 f 4,5,5 να αποδειχθεί ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο,5 άρα από το θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν δυο αριθμοί mm, ώστε να ισχύει: για κάθε m f M έχουμε έχουμε έχουμε f m f M f Για έχουμε Για Για 3 Για 4,5. m f M mf M m f 3 M 3m3f 3 3M m f 4 M 4m4f 4 4M Με πρόσθεση κατά μέλη τις ανισότητες ισχύει: f f 3f 34f 4 m f f 3f 3 4f 4M m M Αν η f είναι σταθερή τότε m = M και f c, c για κάθε,5 οποιοδήποτε,5 ικανοποιεί την σχέση: f άρα f f 3f 34f 4 Αν η f δεν είναι σταθερή τότε m < M, οπότε το σύνολο τιμών της η f είναι το mm, και ο αριθμός f f f f mm, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,5 τέτοιο ώστε f f f f f.

23 .9 Αν f, g συνεχείς στο, g f g με f g ώστε,,. ΛΥΣΗ να δειχθεί ότι υπάρχουν, Επειδή h f g,, και συνεχής στο, ελαχίστης τιμής θα υπάρχουν mm, αφού h,, mh M ή m f g M ή g m f g M άρα υπάρχουν, ( m και ) ώστε να ισχύει το ζητούμενο. από θεώρημα μεγίστης και ώστε Κατηγορία 4 η Σύνολο τιμών Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της συνάρτησης f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f. Η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f, f Γνησίως φθίνουσα f, f Γνησίως αύξουσα lim f( ), f Γνησίως φθίνουσα f,lim f( ) 43

24 Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f,lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f( ), f Γνησίως αύξουσα lim f ( ), lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f ( ), lim f( ).3 Δίνεται η συνάρτηση f 5 ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f 5 ln ορίζεται όταν: και και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο,. β) Έστω,, με. Τότε έχουμε: 5 5 () ln ln ln ln () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες () και () προκύπτει ότι: 5 ln 5 ln f f Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: f f f Είναι: lim,. 44

25 f 5 lnl 5 lim f lim 5 ln Επομένως είναι f,5..3 Έστω f συνεχής και γνήσια μονότονη συνάρτηση στο διάστημα,5 με και f 4. α) Να δείξετε ότι f για κάθε,4 f 4 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική λύση στο διάστημα ΛΥΣΗ α) Αφού f γνήσια μονότονη στο,5 και 4 f f 4 στο,5 και επειδή είναι συνεχής θα ισχύει f, 4 f 4, f, 4 f, 4. f 4,5. η f θα είναι γνήσια φθίνουσα επομένως f f f f 4 β) Είναι f f και f f δηλαδή 4 f f 4 επομένως ο αριθμός n είναι μεταξύ του f, f οπότε από θεώρημα f 4 ενδιάμεσων τιμών υπάρχει, ώστε f και επειδή η f είναι γνήσια μονότονη η ρίζα είναι μοναδική. Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα Δ εκτός από την χρήση του θεωρήματος Bolzano υπάρχει και ο παρακάτω τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε f. Δηλαδή η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα. 45

26 .3 Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με f e,,. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e ln έχει ακριβώς μια ρίζα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε,, με έχουμε e e ln ln Επειδή οι ανισώσεις είναι ομοιόστροφες και όλα τα μέλη είναι θετικά, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε e ln e ln e ln e ln f f Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Η f είναι συνεχής στο, και επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα έχει ως σύνολο τιμών το lim, lim f f Είναι lim f lim e ln e ln l lim f lim e ln αφού lim e lim ln Επομένως, το σύνολο τιμών της f, είναι το f,. γ) Είναι e ln e ln f. Επειδή, επομένως, το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, οπότε από η θεώρημα ενδιάμεσων τιμών παίρνει την τιμή μηδέν, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Η ρίζα είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 46

27 Σύνθετες ασκήσεις.33 Μια συνεχής συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα,5. Αν f 3 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, να αποδειχθεί ότι: α) f και f 5, β) η εξίσωση f 3 έχει μοναδική ρίζα. ΛΥΣΗ, 5. α) Είναι 3 5 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Επομένως: f f 3 f 5 f f 5 Επομένως f και f 5. g f. Πρέπει: 35,. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 Επομένως η g ορίζεται στο Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (η f 3 είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f και 3). Είναι g f, αφού f και g f 5 αφού f 5. Επειδή λοιπόν gg, από το θεώρημα του Bolzano συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g, άρα και η f 3, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Επίσης η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, θα είναι: 3 3, f 3 f 3 δηλαδή: f 3 f 3 g g. και Άρα η παραπάνω ρίζα της g είναι μοναδική., αφού με, και.34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 3 f f f e (), για κάθε. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. 47

28 Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Η f είναι συνεχής στο,. Η σχέση () γράφεται f f f e Το τριώνυμο f f έχει διακρίνουσα 3 και για κάθε f, οπότε από την () θα πάρουμε f Από τη σχέση (3) το Για είναι e. Για είναι f είναι ομόσημο του f. (), για κάθε e. e f f e, οπότε f f Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε Το είναι η τετμημένη του σημείου που η, C τέμνει τέμνει τον άξονα f, οπότε είναι θετικό (3) f. '..35 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : Αν η εξίσωση f f g g εξίσωση f g έχει λύση. με την ιδιότητα: f g g f έχει μία τουλάχιστον ρίζα, να αποδειχθεί ότι και η ΛΥΣΗ Έστω ότι η εξίσωση f g δεν έχει λύση. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση: h f g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και δεν μηδενίζεται στο. Επομένως η h διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης f f g g, δηλαδή f f g g ισχύει: h f f f g f και h g f g g g Επομένως: h f hg f f g f f g gg f f gg f gg f διότι f f g g και f g g f. Αλλά η σχέση h f hg οδηγεί σε άτοπο, διότι οι αριθμοί h f, hg είναι ομόσημοι. Επομένως η εξίσωση f g θα έχει μία τουλάχιστον λύση., τότε θα.36 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο, για την οποία ισχύει: f 48

29 Έχουμε f f Είναι f f Η f στο,. Οπότε,. Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι αφού Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι f f, αφού Επειδή, επιπλέον, f έχουμε: f κάθε, Η f στο,. Όμοια με το προηγούμενο f f,, για κάθε, ή f f, για κάθε, ή f, για κάθε, Συνδυάζοντας τα παραπάνω η f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: f, f f,, f,,,, για.37 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, ώστε f και f 3, για την οποία ισχύει: α) Να δείξετε ότι f f f 3 f 4 β) Να δειχτεί ότι υπάρχει ώστε f f f., γ) Να δείξετε ότι η f δεν είναι '' ''. ΛΥΣΗ f f f f 3 f f f f α) Επειδή f συνεχής και f f 3,. σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ώστε Άρα για θα έχουμε: 49, 3 f, f.

30 f f f f 3 f f f f f f f 4 f f f 3 f 4. 3 f β) Θεωρούμε την g f f f, g f f f f f f g f f f f f f οπότε g gf f f f που είναι συνεχής και Αν f f τότε gg g ή g άρα ή Αν f f τότε επειδή f, f συνεχής και σταθερό πρόσημο δηλαδή f, άρα f f και επομένως άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f. f, η f θα έχει, g g γ) Θεωρώντας την f f 3 f 4 ομοίως δείχνουμε ότι υπάρχει 3, 4 ώστε f f 3 f 4. Λόγω α) θα είναι f f f f f, με, και 3, 4 άρα f f. Άρα f όχι '' ''..38 Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύει f f για κάθε δείξτε: α) f είναι σταθερή β) Βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ α) Αν τότε ισχύει: f f f ή f. Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση είναι το και το. Αν η f δεν ήταν σταθερή τότε θα υπήρχαν f. Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (f στο, συνεχής με f f ) η συνάρτηση θα έπαιρνε και τις τιμές που είναι στο, κάτι που δεν ισχύει, άρα f σταθερή. με f και Αν για δύο συναρτήσεις, : f g A ισχύει f g για κάθε τότε δεν έπεται κατά ανάγκη ότι: f για κάθε ή g για κάθε 5

31 β) Αφού η f είναι σταθερή και οι μόνες τιμές που παίρνει το και το θα ισχύει: f για κάθε ή f, για κάθε..39 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :,. α) Να δείξετε ότι η g f e,, έχει μέγιστη τιμή. β) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f e ΛΥΣΗ α) Επειδή η g είναι συνεχής στο,, έχει μέγιστη τιμή. β) Αφού η g έχει μέγιστη τιμή θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε για κάθε, g g f e f e ή Άρα f f e, για κάθε,. να ισχύει f f e e f e f e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Δεν προσθέτουμε ποτέ σύνολα τιμών. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε την συνάρτηση,, f. Είναι άρα οπότε προσθέτοντας τις ανισότητες έχουμε δηλαδή είναι f 3. 3 Είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο τιμών της f f,, 3 γιατί η f είναι 3 5 γνησίως αύξουσα στο, και συνεχής οπότε f, f, f,. Η εξήγηση δίνεται από το ότι η πρόσθεση των ανισοτήτων δεν γίνεται για τις ίδιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σύμφωνα με τον ορισμό της πρόσθεσης. 5

32 e.4 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f ορισμένη στο αποδείξετε ότι η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5. ΛΥΣΗ,5. Να Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,5 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο,5 ως άθροισμα γνησίων φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες). Θεωρούμε τη συνάρτηση g f στο,5. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e g 5, g e 5 4. Παρατηρούμε ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει,5 έτσι ώστε g f. Συνεπώς η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5..4 Δίνεται η συνάρτηση f e,,. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική αρνητική ρίζα. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση e,. ΛΥΣΗ είναι αδύνατη, στο α) Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε,,, με και e e e e. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε e e f f. lim f lim e lim lim e. γιατί Το σύνολο τιμών της f είναι το f f lim και lim e lim, lim,. 5

33 β) Για την εξίσωση e έχουμε (διαιρώντας με ) e e f. Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το α) ερώτημα. γ) Διαιρούμε με και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: e e e f. Όμως ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,. Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e..4 Έστω f :, μια συνάρτηση με f α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f και ότι είναι γνησίως φθίνουσα. f γ) Να βρείτε το lim, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η f είναι συνεχής. f ΛΥΣΗ α) Θα βρούμε τη μονοτονία της f. Για κάθε,, με έχουμε και Άρα η f είναι συνεχής έχουμε f lim f,lim f. Είναι: lim f lim και lim f lim f,. Άρα β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f. Έστω, f f με πεδίο ορισμού το y y, οπότε f. y y με, ). Επομένως f f y f f y, άρα f y f y 53, (αφού

34 γ) Επειδή η lim f. Άρα,, f είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και f f f f f έχουμε lim lim lim. f f.43 Δίνεται η συνάρτηση f ln ln το σύνολο τιμών της f.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και ΛΥΣΗ f ln ln ορίζεται όταν: και Η συνάρτηση και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:, Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln ln διότι lim ln και: lim ln ln Επίσης είναι: lim f lim ln ln διότι lim ln ln 4 και lim ln u lim ln u. u Τέλος, η f είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση. Αν ισχύει: lim f lim f ή lim f lim f τότε το σύνολο τιμών της f είναι το ακόμα και αν η μονοτονία της f αλλάζει στο,. 54

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση

1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση 1 η Εργασία ΕΟ 13 014-015 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 010 ΘΕΜΑ: «ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3

Λυση. και επομένως. Αντικαθιστούμε στη σχέση. Λυση. y = f 3 και y = f 3 Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 05 03 2015)

(Έκδοση: 05 03 2015) (Έκδοση: 05 03 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr 4η έκδοση: 05 03 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα