Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:"

Transcript

1 Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η f είναι πολύκλαδη στα σημεία αλλαγής τύπου χρησιμοποιούμε τον ορισμό). Ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( )(το οποίο πρέπει να είναι αρνητικό για να ισχύει το θεώρημα).. Δίνεται η συνάρτηση: 3 f 5 4 Να δειχτεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα, και να βρεθεί ο ώστε, f. ΛΥΣΗ Στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο. Είναι f 3 και, f lim f lim 3 lim lim 5 4 Οπότε η f είναι συνεχής στο άρα και στο,.

2 Επίσης f και f 544 δηλαδή f f Συνεπώς ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε. f. Λύνοντας την εξίσωση f. 3 βρίσκουμε,77, 3 και είναι 6. Δίνεται η συνάρτηση: f Να προσδιοριστούν οι παράμετροι και ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3, lim Πρέπει 3 και. f., Λύνοντας το σύστημα αυτών εξισώσεων βρίσκουμε 4 και 3. Όμως στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και πηλίκο συνεχών αντίστοιχα. Άρα η f είναι συνεχής στο,. Για τις τιμές αυτές είναι f 4 3 και f Οπότε f( ) f (). Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 3. Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε:

3 Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 5 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ στο,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Θεωρούμε την συνάρτηση f 5 4 f 5 4 Είναι: άρα f f. f 5 4 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f δηλαδή μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση, με,. έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν ορίζεται στα, οπότε θα κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. e e. 3

4 στο Θεωρούμε την συνάρτηση f e Η f είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. e f e e άρα f f f Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει στο, μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e f e..5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, 3 και για κάθε, 3 f 9, να δειχθεί ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ f f. Θεωρούμε την συνάρτηση g f,, 3. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο g g3 f f 3 9 αφού f και f,., 3 ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει 3 9. Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση, 3. ισχύει, 3. g f μια τουλάχιστον ρίζα στο.6 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ΛΥΣΗ ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι f και f, οπότε f f. τέτοιο, ώστε f. 4

5 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, f. Το είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα '. τέτοιο ώστε.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln και 3 g e. Να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινό σημείο (οι καμπύλες τέμνονται) στο διάστημα,e. Οι εξισώσεις των καμπύλων είναι ΛΥΣΗ y f και y g. Οι συντεταγμένες, y του κοινού σημείου επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις: y f και y g οπότε f g τουλάχιστον ρίζα η εξίσωση: f g f g. Έτσι θα πρέπει να δείξουμε τελικά ότι έχει μία ln e 3. Θεωρούμε την συνάρτηση: h e f g e Η f είναι συνεχής στο ln 3,,., e ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι h e3 και he e ee 3 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, e h f g. ώστε Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν ορίζονται τότε ακολουθούμε δύο μεθόδους. Α μέθοδος Με δοκιμές βρίσκω, (, ) τέτοια ώστε f( ) f( ) οπότε εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. 5

6 Β μέθοδος Υπολογίζουμε τα lim f ( ), lim f ( ) f ομόσημο του lim f ( ) lim f ( ). οπότε θα υπάρχει (, ) με και δ (, ) με Έπειτα εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. f ομόσημο του.8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα,. ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln 4 ln 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln 4, με,. (Το πεδίο ορισμού της f είναι το, και δεν μπορούμε να θεωρήσουμε την f στο Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln 4 διότι lim ln και lim 4. Αφού lim f Παρατηρούμε ότι: Η, υπάρχει, f είναι συνεχής στο Είναι τέτοιο, ώστε f και ln 4 f., ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. f, δηλαδή ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση: f ln 4ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα,,. f f., ) 6

7 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν είναι ετερόσημοι αριθμοί ή δεν μας δίνουν καν το διάστημα (, ). Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τις μεθόδους που περιγράψαμε στον τρόπο αντιμετώπισης 3. e.9 Να δείξετε ότι η εξίσωση: ln, έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. ΛΥΣΗ e e ln ln f,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε : f e ενώ f f e. Θεωρούμε την συνάρτηση ln e f e συνεπώς Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον e e f ln ln e., τέτοιο ώστε Σημείωση: θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το της άσκησης.8. lim f και να ακολουθήσουμε την μέθοδο Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). 7

8 Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα υποδιαστήματα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 ρίζες στο διάστημα,4. ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 3 ln 5 5 3ln Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3 ln 5 5 3, με, 4 3 ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον Η f είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης παρατηρούμε ότι: f 3 ln f 333ln f 434ln ln44 Επομένως έχουμε: Η f είναι συνεχής στο, 3 και ισχύει ότι f f 3 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Από το θεώρημα Bolzano, 3. Η f είναι συνεχής στο 3, 4 και ισχύει ότι f 3 f 4 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: 3 3 f 3ln ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, 4.. Από το θεώρημα Bolzano 3, 4. 8

9 Τρόπος αντιμετώπισης: 6. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (, ) τότε: Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι - ή γνησίως μονότονη στο (, ) οπότε η ρίζα είναι μοναδική.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα () έχει ακριβώς μία ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 3 πολυωνυμική. f 5, με, η οποία είναι συνεχής στο ως Είναι f και f 64, οπότε f f. Από θεώρημα.bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Για να είναι η ρίζα μοναδική, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.,,, με Για ά 5 5 άρα 5 5 άρα f f δηλ. για έχουμε f f. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα, η εξίσωση () έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, που είναι το ζητούμενο. 9

10 Τρόπος αντιμετώπισης: 7. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε δύο κατάλληλα υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία. Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε κάθε υποδιάστημα ή ότι είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού. Οπότε έχει ακριβώς δύο ρίζες. Όμοια αντιμετωπίζουμε και τις ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες.. Αν,, και, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. ΛΥΣΗ Με απαλοιφή των παρονομαστών η εξίσωση γράφεται Θεωρούμε τη συνάρτηση: f με Επειδή δεν μας λέει η άσκηση σε ποιο διάστημα θα αναζητήσουμε τις ρίζες εμείς θα πάρουμε τα διαστήματα που προκύπτουν από τις τιμές που μηδενίζουν τους παρανομαστές δηλαδή τα,,,. Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, συνεπώς είναι συνεχής και στα διαστήματα,,,. Είναι f, f, f οπότε f f, f f Από θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε κάθε ένα από τα ξένα μεταξύ τους διαστήματα,,,.οι ρίζες αυτές είναι άνισες και προφανώς διαφορετικές από τα,,. 3

11 Επειδή η εξίσωση f είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση f έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες άνισες. Τρόπος αντιμετώπισης: 8. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (κλειστό) διάστημα, τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της f στο [, ]. Διαπιστώνουμε ότι f( ) f( ). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν f( ) f( ) τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f. Αν f( ) f( ) τότε f ( ) ή f ( ) οπότε το α ή το β είναι ρίζα της f. Οπότε σε κάθε περίπτωση η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,..3 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο, με f f η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ f f f f (), επίσης ισχύει f f f Αν f f f ή εξίσωσης f. Η f συνεχής στο.. Να αποδειχθεί ότι f, τότε ή είναι ρίζα της Αν f f, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, 3.

12 .4 Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο και για κάθε f g c, c. Αν η εξίσωση, να δειχθεί ότι η εξίσωση,. ισχύει f έχει ρίζες, ετερόσημες με g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΛΥΣΗ Είναι f f. f gc Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και ισχύει:, g g f c f c c g f c Αν gg τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Αν g g g ή g. Τελικά η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. g έχει Τρόπος αντιμετώπισης: 9. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα: Αν η ισότητα που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και στην θέση του ξ τοποθετούμε το. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ

13 3 3 Έχουμε 3 3. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f 3, με Η f είναι συνεχής στο, 3 ως πολυωνυμική συνάρτηση., έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Είναι f f 377 Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε 3 3 f 3 3, που είναι το ζητούμενο..6 Αν f γνησίως αύξουσα στο, με τουλάχιστον, ώστε f. ΛΥΣΗ Αφού η f γνησίως αύξουσα στο, είναι f f Έχουμε f f Θέλουμε ένα τουλάχιστον, που να επαληθεύει την Έστω h f συνεχής στο () h f f h f f,να δειχτεί ότι υπάρχει ένα (). f., ως πράξεις συνεχών. h άρα h Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f τέτοιο, ώστε.7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, με f f f f ώστε να ισχύει.,, που είναι το ζητούμενο.. Να δειχτεί ότι υπάρχει ΛΥΣΗ Έχουμε f f f f f f. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f f f μία λύση στο,. έχει τουλάχιστον 33

14 Θεωρούμε την συνάρτηση g f f f,, Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει: f f f f f f ( g g f f f f Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f f f f. f ).8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f και f, f.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση στο, της εξίσωσης: f f Θεωρούμε τη συνάρτηση: h f, με, Η h είναι συνεχής στο, h f h f Παρατηρούμε ότι: h h Δηλαδή ισχύει hh. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε: Αν hh h ή h, τότε η εξίσωση το. h έχει ρίζα το ή Αν hh, τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε h. Άρα σε κάθε περίπτωση, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: h f f 34

15 Κατηγορία η Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ τότε: Διαπιστώνουμε την συνέχεια της f στο Δ. Λύνουμε την εξίσωση f στο Δ. Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και τα άκρα του διαστήματος Δ. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό λ και βρίσκουμε το πρόσημο του f. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα..9 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f ( ), [, ]. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f (, διότι αν τότε και αυτό όμως είναι αδύνατο). Λύνουμε την εξίσωση, Πρέπει: με, άρα κ = ή κ = Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5 ή

16 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Επιλεγμένος αριθμός π f ( ) Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα 5,,, 4 4 είναι f( ), ενώ στο διάστημα 5, είναι f( ). 4 4 Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν ρ, ρ δύο διαδοχικές ρίζες της συνεχούς συνάρτησης f τότε f( ),. Επίσης η f είναι συνεχής άρα στο διάστημα για κάθε διατηρεί σταθερό πρόσημο.,. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ρίζες της εξίσωσης f. Να βρεθεί το όριο ΛΥΣΗ Θέτουμε με f και, 5 δύο διαδοχικές lim f 3 5. g f 3 5, με Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα,5 και οι αριθμοί, 5 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f, η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο,5. Αφού, f είναι και f, για κάθε,5. Οπότε, Είναι lim g lim f 35 f 3 5 lim f 3 5 f 3 5 lim 36

17 Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,4, με f για κάθε,4 οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο, 5. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 6 f διάστημα,4. β) Να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ lim f Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Επομένως η, της έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο., 4 και ισχύει f για κάθε, 4 f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, 4 f διέρχεται από το σημείο, 5, οπότε ισχύει f 5. Άρα ισχύει ότι: f για κάθε, 4.. Επίσης η γραφική παράσταση της f f f f 6 6 α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f 6, με, 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν: gf f 646 g44f 4f 44 66f 4, αφού είναι f για κάθε, 4 Άρα ισχύει gg4. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g η αρχική, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4. β) Ισχύει ότι: lim f lim f 3 διότι είναι f και lim 3., άρα και 37

18 . Αν η f είναι συνεχής στο, και γνησίως αύξουσα με f f f διατηρεί πρόσημο στο,. ΛΥΣΗ τότε η Έστω ότι η f δεν διατηρεί πρόσημο στο., Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν,, ώστε f f. Επίσης η f είναι συνεχής στο,. Τότε όμως από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει, ή, τέτοιο ώστε f. Όμως: f : f f f f f οπότε f f άτοπο. Τρόπος αντιμετώπισης: f για την οποία ισχύει: f g 4. Έστω μια συνάρτηση : για κάθε A και g για κάθε A. () Από την παραπάνω σχέση δεν προκύπτει ότι ή ότι f g για κάθε A f g για κάθε A αφού υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την (). g, A Για παράδειγμα η f g, A Αν όμως γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο Α τότε μπορούμε να πούμε ότι f g για κάθε Aή ότι f g για κάθε A..3 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει:, για κάθε. e e f f ΛΥΣΗ e Έχουμε e f f e f e f e f f e e f 38

19 Θέτουμε he f με Για ισχύει Επομένως, h και επειδή η h είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο., άρα και h e f, e e f f, e Αν h, τότε e f f Αν h, τότε.4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f με: f 9 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. β) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f. γ) Να αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3. δ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ΛΥΣΗ α) Είναι: f 9 3,3 οπότε 3,3 β) Είναι:. για κάθε f f ή 3. γ) Η f είναι συνεχής στο 3,3 και f για κάθε 3,3 Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 3,3.. δ) Εφόσον η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3, θα είναι: f για κάθε 3,3 ή f για κάθε 3,3 Όμως f 9, οπότε: αν f, τότε f 9, 3,3 αν f, τότε f 9, 3,3. Επειδή f 3 f 3, προκύπτει ότι: f 9, 3,3 ή f 9, 3,3 39

20 Κατηγορία 3 η Θ.Ε.Τ - Θ.Μ.Ε.Τ Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f τότε: Υπολογίζουμε τα f f,. Διαπιστώνουμε f( ) f( ) ή f( ) f( ). τέτοιο, ώστε Με την βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών προκύπτει το ζητούμενο. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θέσουμε χρησιμοποιήσουμε θεώρημα Bolzano. g f και να Δίνεται η συνάρτηση f 5.Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε 5 ΛΥΣΗ f. 5 3 Η συνάρτηση f 5 είναι συνεχής στο 5 3 f f 5 8 Ο αριθμός 5 είναι ανάμεσα στις τιμές f και f τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f 5. Β τρόπος Θέτουμε g f 5,,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική., ως πολυωνυμική.. Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων g 5535 και g 853 άρα g g. Τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον,, g. 4 τέτοιο, ώστε

21 .6 Έστω η συνεχής και περιττή συνάρτηση f : με f ότι υπάρχει σημείο της ΛΥΣΗ C f με τεταγμένη. f Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε Επειδή η f είναι συνεχής έχουμε f f Αφού η f είναι περιττή και Η f είναι συνεχής στο,. D f lim, έχουμε f. lim. Να δείξετε f f και f f. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,,, τέτοιος, ώστε f..7 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :,3. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ακριβώς, 3 τέτοιος, ώστε 3f f f f 3. ΛΥΣΗ Επειδή η f γνησίως φθίνουσα στο, 3 και είναι 3 έχουμε: f f f 3 οπότε f 3 f f f 3 f f f 3 f 3 f. Με πρόσθεση κατά μέλη 3f 3 f f f 3 3f άρα f f f 3 f 3 f 3 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τέτοιος, ώστε: τουλάχιστον,, 3 3 f f f f 3f f f f 3 3 Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, το είναι μοναδικό. Β τρόπος Θα θέταμε h3f f f f 3 για, 3. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Eπίσης h f f f 3 h 3 f 3 f f 3 Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλά- τέτοιο, χιστον, 3 ώστε h. 4

22 Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f f... f f τέτοιο, ώστε και δεν ξέρουμε την μονοτονία της... f τότε: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής. Παίρνουμε δύο περιπτώσεις η f να είναι σταθερή και να μην είναι σταθερή..8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει: f f f 3 f 3 4 f 4,5,5 να αποδειχθεί ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο,5 άρα από το θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν δυο αριθμοί mm, ώστε να ισχύει: για κάθε m f M έχουμε έχουμε έχουμε f m f M f Για έχουμε Για Για 3 Για 4,5. m f M mf M m f 3 M 3m3f 3 3M m f 4 M 4m4f 4 4M Με πρόσθεση κατά μέλη τις ανισότητες ισχύει: f f 3f 34f 4 m f f 3f 3 4f 4M m M Αν η f είναι σταθερή τότε m = M και f c, c για κάθε,5 οποιοδήποτε,5 ικανοποιεί την σχέση: f άρα f f 3f 34f 4 Αν η f δεν είναι σταθερή τότε m < M, οπότε το σύνολο τιμών της η f είναι το mm, και ο αριθμός f f f f mm, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,5 τέτοιο ώστε f f f f f.

23 .9 Αν f, g συνεχείς στο, g f g με f g ώστε,,. ΛΥΣΗ να δειχθεί ότι υπάρχουν, Επειδή h f g,, και συνεχής στο, ελαχίστης τιμής θα υπάρχουν mm, αφού h,, mh M ή m f g M ή g m f g M άρα υπάρχουν, ( m και ) ώστε να ισχύει το ζητούμενο. από θεώρημα μεγίστης και ώστε Κατηγορία 4 η Σύνολο τιμών Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της συνάρτησης f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f. Η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f, f Γνησίως φθίνουσα f, f Γνησίως αύξουσα lim f( ), f Γνησίως φθίνουσα f,lim f( ) 43

24 Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f,lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f( ), f Γνησίως αύξουσα lim f ( ), lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f ( ), lim f( ).3 Δίνεται η συνάρτηση f 5 ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f 5 ln ορίζεται όταν: και και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο,. β) Έστω,, με. Τότε έχουμε: 5 5 () ln ln ln ln () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες () και () προκύπτει ότι: 5 ln 5 ln f f Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: f f f Είναι: lim,. 44

25 f 5 lnl 5 lim f lim 5 ln Επομένως είναι f,5..3 Έστω f συνεχής και γνήσια μονότονη συνάρτηση στο διάστημα,5 με και f 4. α) Να δείξετε ότι f για κάθε,4 f 4 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική λύση στο διάστημα ΛΥΣΗ α) Αφού f γνήσια μονότονη στο,5 και 4 f f 4 στο,5 και επειδή είναι συνεχής θα ισχύει f, 4 f 4, f, 4 f, 4. f 4,5. η f θα είναι γνήσια φθίνουσα επομένως f f f f 4 β) Είναι f f και f f δηλαδή 4 f f 4 επομένως ο αριθμός n είναι μεταξύ του f, f οπότε από θεώρημα f 4 ενδιάμεσων τιμών υπάρχει, ώστε f και επειδή η f είναι γνήσια μονότονη η ρίζα είναι μοναδική. Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα Δ εκτός από την χρήση του θεωρήματος Bolzano υπάρχει και ο παρακάτω τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε f. Δηλαδή η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα. 45

26 .3 Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με f e,,. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e ln έχει ακριβώς μια ρίζα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε,, με έχουμε e e ln ln Επειδή οι ανισώσεις είναι ομοιόστροφες και όλα τα μέλη είναι θετικά, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε e ln e ln e ln e ln f f Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Η f είναι συνεχής στο, και επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα έχει ως σύνολο τιμών το lim, lim f f Είναι lim f lim e ln e ln l lim f lim e ln αφού lim e lim ln Επομένως, το σύνολο τιμών της f, είναι το f,. γ) Είναι e ln e ln f. Επειδή, επομένως, το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, οπότε από η θεώρημα ενδιάμεσων τιμών παίρνει την τιμή μηδέν, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Η ρίζα είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 46

27 Σύνθετες ασκήσεις.33 Μια συνεχής συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα,5. Αν f 3 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, να αποδειχθεί ότι: α) f και f 5, β) η εξίσωση f 3 έχει μοναδική ρίζα. ΛΥΣΗ, 5. α) Είναι 3 5 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Επομένως: f f 3 f 5 f f 5 Επομένως f και f 5. g f. Πρέπει: 35,. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 Επομένως η g ορίζεται στο Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (η f 3 είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f και 3). Είναι g f, αφού f και g f 5 αφού f 5. Επειδή λοιπόν gg, από το θεώρημα του Bolzano συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g, άρα και η f 3, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Επίσης η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, θα είναι: 3 3, f 3 f 3 δηλαδή: f 3 f 3 g g. και Άρα η παραπάνω ρίζα της g είναι μοναδική., αφού με, και.34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 3 f f f e (), για κάθε. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. 47

28 Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Η f είναι συνεχής στο,. Η σχέση () γράφεται f f f e Το τριώνυμο f f έχει διακρίνουσα 3 και για κάθε f, οπότε από την () θα πάρουμε f Από τη σχέση (3) το Για είναι e. Για είναι f είναι ομόσημο του f. (), για κάθε e. e f f e, οπότε f f Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε Το είναι η τετμημένη του σημείου που η, C τέμνει τέμνει τον άξονα f, οπότε είναι θετικό (3) f. '..35 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : Αν η εξίσωση f f g g εξίσωση f g έχει λύση. με την ιδιότητα: f g g f έχει μία τουλάχιστον ρίζα, να αποδειχθεί ότι και η ΛΥΣΗ Έστω ότι η εξίσωση f g δεν έχει λύση. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση: h f g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και δεν μηδενίζεται στο. Επομένως η h διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης f f g g, δηλαδή f f g g ισχύει: h f f f g f και h g f g g g Επομένως: h f hg f f g f f g gg f f gg f gg f διότι f f g g και f g g f. Αλλά η σχέση h f hg οδηγεί σε άτοπο, διότι οι αριθμοί h f, hg είναι ομόσημοι. Επομένως η εξίσωση f g θα έχει μία τουλάχιστον λύση., τότε θα.36 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο, για την οποία ισχύει: f 48

29 Έχουμε f f Είναι f f Η f στο,. Οπότε,. Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι αφού Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι f f, αφού Επειδή, επιπλέον, f έχουμε: f κάθε, Η f στο,. Όμοια με το προηγούμενο f f,, για κάθε, ή f f, για κάθε, ή f, για κάθε, Συνδυάζοντας τα παραπάνω η f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: f, f f,, f,,,, για.37 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, ώστε f και f 3, για την οποία ισχύει: α) Να δείξετε ότι f f f 3 f 4 β) Να δειχτεί ότι υπάρχει ώστε f f f., γ) Να δείξετε ότι η f δεν είναι '' ''. ΛΥΣΗ f f f f 3 f f f f α) Επειδή f συνεχής και f f 3,. σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ώστε Άρα για θα έχουμε: 49, 3 f, f.

30 f f f f 3 f f f f f f f 4 f f f 3 f 4. 3 f β) Θεωρούμε την g f f f, g f f f f f f g f f f f f f οπότε g gf f f f που είναι συνεχής και Αν f f τότε gg g ή g άρα ή Αν f f τότε επειδή f, f συνεχής και σταθερό πρόσημο δηλαδή f, άρα f f και επομένως άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f. f, η f θα έχει, g g γ) Θεωρώντας την f f 3 f 4 ομοίως δείχνουμε ότι υπάρχει 3, 4 ώστε f f 3 f 4. Λόγω α) θα είναι f f f f f, με, και 3, 4 άρα f f. Άρα f όχι '' ''..38 Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύει f f για κάθε δείξτε: α) f είναι σταθερή β) Βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ α) Αν τότε ισχύει: f f f ή f. Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση είναι το και το. Αν η f δεν ήταν σταθερή τότε θα υπήρχαν f. Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (f στο, συνεχής με f f ) η συνάρτηση θα έπαιρνε και τις τιμές που είναι στο, κάτι που δεν ισχύει, άρα f σταθερή. με f και Αν για δύο συναρτήσεις, : f g A ισχύει f g για κάθε τότε δεν έπεται κατά ανάγκη ότι: f για κάθε ή g για κάθε 5

31 β) Αφού η f είναι σταθερή και οι μόνες τιμές που παίρνει το και το θα ισχύει: f για κάθε ή f, για κάθε..39 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :,. α) Να δείξετε ότι η g f e,, έχει μέγιστη τιμή. β) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f e ΛΥΣΗ α) Επειδή η g είναι συνεχής στο,, έχει μέγιστη τιμή. β) Αφού η g έχει μέγιστη τιμή θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε για κάθε, g g f e f e ή Άρα f f e, για κάθε,. να ισχύει f f e e f e f e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Δεν προσθέτουμε ποτέ σύνολα τιμών. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε την συνάρτηση,, f. Είναι άρα οπότε προσθέτοντας τις ανισότητες έχουμε δηλαδή είναι f 3. 3 Είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο τιμών της f f,, 3 γιατί η f είναι 3 5 γνησίως αύξουσα στο, και συνεχής οπότε f, f, f,. Η εξήγηση δίνεται από το ότι η πρόσθεση των ανισοτήτων δεν γίνεται για τις ίδιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σύμφωνα με τον ορισμό της πρόσθεσης. 5

32 e.4 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f ορισμένη στο αποδείξετε ότι η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5. ΛΥΣΗ,5. Να Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,5 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο,5 ως άθροισμα γνησίων φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες). Θεωρούμε τη συνάρτηση g f στο,5. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e g 5, g e 5 4. Παρατηρούμε ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει,5 έτσι ώστε g f. Συνεπώς η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5..4 Δίνεται η συνάρτηση f e,,. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική αρνητική ρίζα. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση e,. ΛΥΣΗ είναι αδύνατη, στο α) Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε,,, με και e e e e. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε e e f f. lim f lim e lim lim e. γιατί Το σύνολο τιμών της f είναι το f f lim και lim e lim, lim,. 5

33 β) Για την εξίσωση e έχουμε (διαιρώντας με ) e e f. Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το α) ερώτημα. γ) Διαιρούμε με και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: e e e f. Όμως ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,. Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e..4 Έστω f :, μια συνάρτηση με f α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f και ότι είναι γνησίως φθίνουσα. f γ) Να βρείτε το lim, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η f είναι συνεχής. f ΛΥΣΗ α) Θα βρούμε τη μονοτονία της f. Για κάθε,, με έχουμε και Άρα η f είναι συνεχής έχουμε f lim f,lim f. Είναι: lim f lim και lim f lim f,. Άρα β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f. Έστω, f f με πεδίο ορισμού το y y, οπότε f. y y με, ). Επομένως f f y f f y, άρα f y f y 53, (αφού

34 γ) Επειδή η lim f. Άρα,, f είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και f f f f f έχουμε lim lim lim. f f.43 Δίνεται η συνάρτηση f ln ln το σύνολο τιμών της f.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και ΛΥΣΗ f ln ln ορίζεται όταν: και Η συνάρτηση και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:, Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln ln διότι lim ln και: lim ln ln Επίσης είναι: lim f lim ln ln διότι lim ln ln 4 και lim ln u lim ln u. u Τέλος, η f είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση. Αν ισχύει: lim f lim f ή lim f lim f τότε το σύνολο τιμών της f είναι το ακόμα και αν η μονοτονία της f αλλάζει στο,. 54

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα